Rozšíření a testování knihovny pro výpočet elektrického výkonu

Rozšíření a testování knihovny pro výpočet elektrického výkonu

Bakalářská práce

Studijní program: B2612 – Elektrotechnika a informatika

Studijní obor: 2612R011 – Elektronické informační a řídicí systémy

Autor práce: Jan Třmínek Vedoucí práce: Ing. Leoš Kukačka

Liberec 2017

Poděkování

Tímto děkuji své rodině a svým blízkým za podporu jak při psaní bakalářské práce, tak při studiu samotném. Jmenovitě bych chtěl poděkovat vedoucímu práce Ing. Kukačkovi, který mi daroval svůj čas, zkušenosti, znalosti a byl pro mě po celou dobu velikou oporou.

Abstrakt

Práce se zabývá definicí třífázového elektrického výkonu podle CPC teorie. V teoretické části je popsána definice IEEE 1459-2010 a CPC teorie pro 3f systémy.

V praktické části je CPC teorie třífázového elektrického výkonu se zapojením do hvězdy naimplementována do již existující knihovny pro výpočty výkonů podle dalších teorií. Definice je testována jak na reálně naměřených, tak i na uměle generovaných datech.

V závěru práce je porovnání výkonů podle CPC teorie a IEEE definice.

Klíčová slova: elektrický výkon, CPC teorie, IEEE 1459-2010

Abstract

This thesis focuses on definitions of electric power in three-phase system according to CPC theory. The theoretical part includes definition of IEEE 1459-2010 and CPC theory.

The practical part is CPC theory of electric power in four-wire system implemented into existing library for power computation involving other theories. Definition is tested on real data and generated data.

The conclusion contains comparison between CPC and IEEE results.

Key words: electrical power, CPC theory, IEEE 1459-2010

6

Obsah

Prohlášení ... 3

Poděkování ... 4

Abstrakt ... 5

Abstract ... 5

Obsah... 6

Seznam obrázků... 8

Seznam tabulek ... 9

Seznam použitých zkratek ... 10

1 Úvod ... 11

2 Matematický aparát ... 13

2.1 Jednotné značení ... 13

2.2 Fourierova transformace ... 13

2.3 Fortescueova metoda symetrických komponent ... 14

2.3.1 Ukázka symetrické soustavy ... 16

2.3.2 Ukázka nesymetrické soustavy a následné dekompozice ... 16

2.4 Sekvence vyšších harmonických ... 17

3 Obecně teoretický základ ... 19

3.1 Průmyslový standard IEEE 1459-2010 ... 19

3.1.1 IEEE: 1-fázový systém bez harmonického zkreslení ... 19

3.1.2 IEEE: 1-fázový systém s harmonickým zkreslením ... 20

3.1.3 IEEE: 3-fázový symetrický systém bez harmonického zkreslení ... 20

3.1.4 IEEE: 3-fázový nesymetrický systém bez harmonického zkreslení ... 21

3.1.5 IEEE: 3-fázový nesymetrický systém s harmonickým zkreslením ... 22

3.2 Current’s Physical Components Theory – CPC teorie ... 24

3.2.1 CPC předcházející události ... 24

3.2.2 CPC... 26

3.3 CPC jednofázové systémy ... 26

3.3.1 CPC: činný výkon ... 26

7

3.3.2 CPC: jalový výkon ... 26

3.3.3 CPC: deformační výkony ... 27

3.3.4 CPC: další výkony ... 27

3.4 CPC třífázové systémy se zapojením do hvězdy ... 28

3.5 CPC třífázové systémy se zapojením do trojúhelníku ... 32

4 Implementace ... 33

4.1 SWA analýza ... 33

4.2 CPC implementace ... 36

4.3 Počítání koeficientů nesymetrie a nevyváženosti ... 37

4.4 Jiné práce na knihovně výkonů ... 38

4.5 Vzorkování ... 38

5 Zpracování výsledků výkonů ... 39

5.1 Interpretace generovaných signálů ... 39

5.1.1 Napětí s amplitudovou symetrií ... 39

5.1.2 Napětí s amplitudovou nesymetrií ... 39

5.1.3 Proud s amplitudovou symetrií ... 40

5.1.4 Proud s amplitudovou nesymetrií ... 40

5.2 Zkrácený popis průběhů... 40

5.3 Výsledky ... 42

5.3.1 Generovaná data ... 42

5.3.2 Naměřená data ... 50

6 Závěr ... 54

Použitá literatura ... 55

Přílohy ... 56

A Obsah přiloženého CD ... 56

8

Seznam obrázků

Obrázek 1: Symetrická soustava ... 16

Obrázek 2: Nesymetrická soustava ... 16

Obrázek 3: Sousledná sekvence ... 16

Obrázek 4: Nulová sekvence ... 16

Obrázek 5: Zpětná sekvence ... 16

Obrázek 6: Positive sequence ... 17

Obrázek 7: Zero sequence ... 18

Obrázek 8: Negative sequence ... 18

Obrázek 9: Aritmetický vs. vektorový zdánlivý výkon[3] ... 22

Obrázek 10: Přelévání výkonu [6] ... 25

Obrázek 11: Naměřená data AS motoru Y... 50

Obrázek 12: SWA krátká – filtr 0,01 % ... 52

Obrázek 13: SWA krátká – filtr 0,1 % ... 53

Obrázek 14: SWA dlouhá – filtr 0,1 % ... 53

9

Seznam tabulek

Tabulka 1: Sekvence vyšších harmonických ... 17

Tabulka 2: Přehled výkonů IEEE[2, 3] ... 23

Tabulka 3: Přehled počítaných výkonů ... 42

Tabulka 4: IEEE – 1 ... 43

Tabulka 5: CPC – 1 ... 43

Tabulka 6: IEEE – 2 ... 44

Tabulka 7: CPC – 2 ... 44

Tabulka 8: IEEE – 3 ... 46

Tabulka 9: CPC – 3 ... 46

Tabulka 10: Koeficienty – 1 ... 47

Tabulka 11: Koeficienty – 2 ... 47

Tabulka 12: IEEE – 4 ... 48

Tabulka 13: CPC – 4 ... 48

Tabulka 14: Koeficienty – 3 ... 49

Tabulka 15: IEEE – 5 ... 50

Tabulka 16: CPC – 5 ... 50

Tabulka 17: Koeficienty – 4 ... 51

10

Seznam použitých zkratek

CPC Current’s Physical Components CSV Comma Separated Values DAL Data Access Layer

SWA Sliding Window Analysis DFT Discrete Fourier Transform FFT Fast Fourier Transform

IEEE Instutute of Electrical and Electronics Engineers

RMS Root Mean Square

11

1 Úvod

Když se doma rozsvítí světlo, pustí pračka, či se vysává, k těmto všem činnostem je potřeba elektrická energie. Ale než se tato energie dostane domů k lidem, musí urazit dlouhou cestu a ne vždy je tato cesta ideální.

Abychom mohli tuto cestu co možno nejvíc zefektivnit, musíme ji nejprve zanalyzovat a zjistit, jaká tato cesta je. K tomu nám pomáhají různé definice elektrických výkonů, na jejichž základech můžeme zjistit přítomnost jevů, které se v elektrické síti nachází. Ať už to je fázový posun napětí a proudu, harmonické zkreslení napětí a proudu, či napěťová nesymetrie. Vlivem těchto prvků se zkresluje průběh námi požadovaného sinusového harmonického signálu.

Tyto deformace jsou způsobovány používáním nelineárních spotřebičů, polovodičových součástek, výbojek apod. Dále nelze přehlédnout existenci tzv. přechodových jevů, které vznikají spouštěním nebo naopak vypínáním spotřebičů.

Obecně řečeno, ve 20. století s rozmachem technického pokroku vznikalo mnoho teorií, které by jevy v elektrické rozvodné síti popsaly detailněji, než bylo tomu do té doby již nedostačujícím popisem pomocí zdánlivého, činného a jalového výkonu. Různé definice elektrických výkonů nahlíží na problematiku trochu jiným způsobem [2].

Tato práce navazuje na diplomovou práci „Definice výkonu v elektrické síti a jejich praktické aplikace“ [2]. Jejím autorem je Ing. Leoš Kukačka. Diplomová práce se zabývá různými definicemi elektrických výkonů (IEEE 1459-2010, CPC teorie a dále teorie pracující s okamžitým činným a jalovým výkonem a dalšími). V rámci diplomové práce byla také vytvořena knihovna, která počítá výkony podle jednotlivých definic, jak na reálně naměřených datech, tak i na generovaných datech.

Diplomová práce nakonec srovnává jednotlivé definice. Knihovna pro výpočty výkonů byla později rozšířena v rámci bakalářského projektu [12] o další definice výkonů podle Shepherda a Zakikhaniho.

Tato bakalářská práce tedy navazuje na zmíněnou diplomovou práci [2]. Bakalářská práce se v první řadě zabývá CPC teorií (klade si za cíl pokrýt svými definicemi veškeré možné druhy zkreslení a zároveň své definice přímo propojit s fyzikálními jevy) pro třífázové systémy se zapojením do hvězdy a jejím hlavním cílem je důkladné otestování vlastností CPC. Jako reference byla použita definice v normě IEEE 1459-2010 (standardní přístup k definování základních i složitějších výkonových veličin).

V teoretické části je popsána definice IEEE 1459-2010 a CPC teorie pro 3f systémy.

V praktické části je jeden z hlavních bodů rozšíření stávající knihovny pro výpočet elektrických výkonů o skript počítající výkony podle CPC teorie pro třífázové systémy se zapojením do hvězdy.

Analýza výkonů je prováděna jak na reálně naměřených, tak na generovaných datech. Výsledné

12

hodnoty CPC jsou porovnány s referencí IEEE 1459-2010 a vyhodnoceny. Vzniklé implementace mohou nalézt své užití v hloubkové analýze dat pro měření kvality elektrické energie.

13

2 Matematický aparát

V této části jsou popsány základní matematické nástroje využívané v definicích různých výkonu zmiňovaných v této práci [2].

2.1 Jednotné značení

Aby nedocházelo v matematickém značení v textu k nejasnostem, je v práci matematický popis sjednocen.

Vektory jsou v textu značené klasickým způsobem 𝑥⃗. Fázory jsou značené 𝑋̂. Prosté velké písmeno X značí magnitudu fázoru. Efektivní hodnota veličiny závislé na čase je značena ‖𝑥‖. Dále absolutní velikost vektoru je značena |𝑥⃗|. Značení 𝑋⃗̂ znamená vektor fázorů [2]. Pro harmonický průběh bude vypadat značení takto:

𝑥(𝑡) = √2‖𝑥‖ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝑋 cos(𝜔 𝑡 + 𝜑) = 𝑅𝑒{𝑋𝑒^𝑗𝜑𝑒^𝑗𝜔𝑡} = 𝑅𝑒{𝑋̂𝑒^𝑗𝜔𝑡}.

2.2 Fourierova transformace

Fourierova transformace je nepostradatelný pomocník v matematické analýze. Jedná se o jednu z integrálních transformací, která umožnuje rozklad libovolného spojitého periodického signálu na harmonické složky, z nichž lze signál opět beze ztráty informace složit.

𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}𝑑𝑡

∞

−∞

(1)

Práce se bude výhradně zabývat diskrétní Fourierovou transformací (DFT), jelikož je pro numerické výpočty vhodnější. DFT je definována:

𝐹(𝑛) = 1

𝑁∑ 𝑓(𝑘)𝑒^{𝑗𝜔𝑘𝑛/𝑁}

𝑁

𝑘=1

.

(2)

Výsledkem DFT jsou fázory jednotlivých harmonických složek vstupního signálu. Vypočtené spektrum závisí na počtu period, na které je transformace aplikována a na vzorkovací frekvenci původního signálu. I zde by měl být dodržen Nyquistův teorém tzn., že nejvyšší frekvenci, kterou lze detekovat pomocí DFT, je rovna polovině vzorkovací frekvence. Pokud není Nyquistův teorém dodržen, dojde k aliasingu, tzn. k přeložení do nižších frekvencí.

Takzvané dvoustranné spektrum DFT obsahuje tolik prvků, kolik bylo vzorků v analyzovaném signálu. Stačí ale uvažovat jenom tzv. jednostranné spektrum, jelikož polovina prvků dvoustranného spektra (odpovídajících záporné frekvenci), je komplexně sdruženou hodnotou odpovídajícího člena v kladné části spektra. Lze ukázat, že záporná hodnota frekvence odpovídá záporné fázi (a tedy komplexnímu sdružení fázoru), a tudíž tyto prvky nesou stejnou informační hodnotu jako kladná část

14

spektra – tato informace je pouze rozdělena do dvou komplexních čísel. Aby se ale dostaly správné hodnoty jednostranného spektra, je ještě třeba započítat přínosy ze záporné poloviny spektra, čehož se docílí tím, že amplitudy kladného spektra vynásobíme dvěma [2].

2.3 Fortescueova metoda symetrických komponent

Tato metoda se používá k analýze vícefázových (především třífázových) nesymetrických soustav. Autorem této metody je C. L. Fortescue [11]. Nesymetrie nastává, pokud není dodržen stejný rozestup jednotlivých fází mezi sebou, či pokud mají fázory nestejnou magnitudu. Při počítání s vícefázovými nesymetrickými soustavami je vhodné si je rozložit do několika soustav, které jsou symetrické, což nám právě tento matematický nástroj umožňuje. Libovolnou nesymetrickou trojici fázorů lze rozložit na tři specifické trojice symetrických fázorů, které se nazývají:

- Sousledná složka (označení indexem „+“), sled fází je stejný jako v původní třífázové nesymetrické soustavě.

- Zpětná složka (označení indexem „-“), sled fází je opačný jako v původní třífázové nesymetrické soustavě.

- Složka nulové sekvence (označení indexem „0“), jednotlivé fáze jsou ve fázi (fáze jsou totožné).

Jelikož jsou fázory sousledné a zpětné složky symetrické a fázory složky nulové sekvence totožné, stačí vypočítat fázory jednotlivých složek pouze pro jednu (základní) fázi. Pro zbývající fáze dostaneme ostatní fázory natočením fázoru základní fáze proti směru hodinových ručiček:

- O 240 ° pro fázory sousledné složkové soustavy.

- O 120 ° pro fázory zpětné složkové soustavy.

- O 0 ° (bez natáčení) pro fázory složky nulové sekvence.

𝑈⃗⃗⃗̂

𝑅𝑆𝑇 = [ 𝑈̂_𝑅⁰ 𝑈̂_𝑆⁰ 𝑈̂_𝑇⁰

] + [ 𝑈̂_𝑅⁺ 𝑈̂_𝑆⁺ 𝑈̂_𝑇⁺

] + [ 𝑈̂_𝑅⁻ 𝑈̂_𝑆⁻ 𝑈̂_𝑇⁻

] = 𝑈⃗⃗⃗̂0+ 𝑈⃗⃗⃗̂++ 𝑈⃗⃗⃗̂−.

(3)

Při výpočtech se natáčení fázorů realizuje pomocí operátoru ∝, který značí pootočení komplexního čísla v Gaussově rovině o úhel ^2𝜋

3 rad.

Když se zvolí fáze R jako základní fáze, můžou se původní nesymetrické fázory zapsat pomocí transformační matice a sloupcové matice, kde se nachází jeden fázor se základní fází z trojice symetrických fázorů jednotlivých složek:

15 [

𝑈̂_𝑅 𝑈̂_𝑆 𝑈̂_𝑇

] = [

1 1 1

1 ∝² ∝

1 ∝ ∝²

] [ 𝑈̂⁰ 𝑈̂⁺ 𝑈̂⁻

],

(4)

𝑈̂_𝑅⁰ = 𝑈̂⁰; 𝑈̂_𝑅⁺= 𝑈̂⁺; 𝑈̂_𝑅⁻= 𝑈̂⁻.

(5)

Fázory jednotlivých souměrných složek se dají následně vyjádřit:

[𝑈̂⁰ 𝑈̂⁺ 𝑈̂⁻

] = [

1 1 1

1 ∝² ∝

1 ∝ ∝²

]

−1

[ 𝑈̂_𝑅 𝑈̂_𝑆 𝑈̂_𝑇

] =1 3[

1 1 1

1 ∝ ∝²

1 ∝² ∝

] [ 𝑈̂_𝑅 𝑈̂_𝑆 𝑈̂_𝑇

].

(6)

Daná nesymetrie je charakterizována součinitelem nesymetrie 𝜌_𝑥:

𝜌_𝑢=𝑈̂⁻

𝑈̂⁺∙ 100 (%), 𝜌_𝑖 =𝐼̂⁻

𝐼̂⁺ ∙ 100 (%).

(7)

- Když je 𝜌 > 0, je soustava fázorů nesymetrická. Pro 𝜌 = 0 je splněná podmínka souměrnosti dané soustavy fázorů.

- Je známo, že pro trojfázovou soustavu při amplitudové nesymetrii je součinitel nesymetrie v intervalu (0;100> %.

- Při fázové nesymetrii může být součinitel nesymetrie v intervalu (0;273,205> %. [5]

- Při kombinované nesymetrii může být součinitel nesymetrie v intervalu (0;∞).

Můžeme zde zmínit ještě součinitel nevyváženosti 𝜀_𝑥, který definuje míru posunutí uzlu spotřebiče vůči uzlu souměrné soustavy [2, 5]. Součinitel nevyváženosti je definován takto:

𝜀_𝑢 = 𝑈̂⁰

𝑈̂⁺∙ 100 (%), 𝜀_𝑖 = 𝐼̂⁰

𝐼̂⁺∙ 100 (%).

(8)

16 2.3.1 Ukázka symetrické soustavy

Obrázek 1: Symetrická soustava

2.3.2 Ukázka nesymetrické soustavy a následné dekompozice

Obrázek 2: Nesymetrická soustava

Obrázek 4: Nulová sekvence

Obrázek 3: Sousledná sekvence

Obrázek 5: Zpětná sekvence

17

2.4 Sekvence vyšších harmonických

Tento jev se vyskytuje u třífázových systémů s harmonickým zkreslením. S řádem harmonické se mění i fáze jednotlivých fází (vždy je to celočíselný násobek fáze základní harmonické), to může způsobit změnu sledu fází a v některých případech mohou mít jednotlivé fáze i fázi stejnou (fáze jsou totožné), takové harmonické jsou zvláště škodlivé, neboť způsobují nezanedbatelný tok proudu nulovým vodičem (harmonické, jejichž řád je „lichým“ násobkem tří). Je dobré poznamenat, že v reálných podmínkách se u třífázových systémů objevují veskrze liché harmonické. Podle výsledného fázového posunutí rozlišujeme harmonické v kladné sekvenci (positive-sequence harmonics), harmonické v záporné sekvenci (negative-squence harmonics) a harmonické nulové sekvence (zero-sequence harmonics). Je třeba dát pozor na to, aby nedošlo k záměně pojmů s Fortescueovou dekompozicí [2].

V rovnici č. 9 je vidět jak se „tvoří“ jednotlivé harmonické signály fáze S. Na obr. 6 - 8 je zobrazená 1., 3. a 5. harmonická a jejich součty.

𝑢_𝑛^𝑆(𝑡) = 𝑈_𝑛^𝑆cos(2𝜋𝑛𝑓𝑡 + 2𝜋𝑛/3) 𝑢₁^𝑆(𝑡) = 𝑈₁^𝑆cos(2𝜋1𝑓𝑡 + 2𝜋1/3) 𝑢₃^𝑆(𝑡) = 𝑈₃^𝑆cos(2𝜋3𝑓𝑡 + 2𝜋3/3)

(9)

Tabulka 1: Sekvence vyšších harmonických

řád fáze R fáze S fáze T pořadí sekvence

1 0 120 240 RST +

2 2x0 = 0 2x120 = 240 2x240 = 120 RTS -

3 3x0 = 0 3x120 = 360 = 0 3x240 = 720 = 0 R = S = T 0

4 4x0 = 0 4x120 = 480 = 120 4x240 = 960 = 240 RST +

5 5x0 = 0 5x120 = 600 = 240 5x240 = 1200 = 120 RTS -

Obrázek 6: Positive sequence

18

Obrázek 7: Zero sequence

Obrázek 8: Negative sequence

19

3 Obecně teoretický základ

Tato část je věnována v přiměřeném rozsahu standardu IEEE 1459-2010 a CPC teorii. Oba tyto přístupy si kladou za cíl pokrýt svými definicemi veškeré možné druhy zkreslení. Každý z nich se ale o to snaží odlišnými způsoby [2].

3.1 Průmyslový standard IEEE 1459-2010

Klasické pojetí výkonu v jednofázových a třífázových systémech shrnuje norma IEEE 1459-2010. Výkonové veličiny jsou definovány pro různé případy, kdy je uvažováno harmonické zkreslení, nesymetrie mezi fázemi, popř. kombinace obou. Výkony jsou (až na okamžitý výkon) vždy agregovaná hodnota za analyzovaný interval [2, 3].

Následující definice jsou ve všech posléze zmiňovaných případech stejné. Okamžitý výkon je jediná výjimka v IEEE definicích, kdy jde o výkon jakožto funkci času (uvedeno pro 1 fázi a 3 fáze):

𝑝(𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑖(𝑡), 𝑝(𝑡) = 𝑢_𝑅(𝑡)𝑖_𝑅(𝑡) + 𝑢_𝑆(𝑡)𝑖_𝑆(𝑡) + 𝑢_𝑇(𝑡)𝑖_𝑇(𝑡).

(10)

Činný výkon, zvaný též jako reálný výkon, je průměrná hodnota okamžitého výkonu během měřeného časového intervalu (násobky doby základní periody 𝑇₁= ¹

𝑓₁) [3]. Činný výkon je vlastně skalárním součinem napětí a proudu – čím více mají tyto dva průběhy společného, tím vyšších nabývá hodnot:

𝑃 = 1

𝑘𝑇∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡, 𝑘 𝜖 𝑁

𝜏+𝑘𝑇

𝜏

; 𝜏 = 𝑜𝑘𝑎𝑚ž𝑖𝑘 𝑘𝑑𝑦 𝑚ěř𝑒𝑛í 𝑧𝑎č𝑎𝑙𝑜.

(11)

Zdánlivý výkon je největší možný výkon, obsahuje v sobě všechny činné i neaktivní složky (1 fáze, 3 fáze) [2, 3]:

𝑆 = ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖(𝑡)‖,

𝑆 = ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗(𝑡)‖ = √‖𝑢‖_𝑅² + ‖𝑢‖_𝑆²+ ‖𝑢‖_𝑇²√‖𝑖‖_𝑅² + ‖𝑖‖_𝑆²+ ‖𝑖‖_𝑇² .

(12)

Poměr činného a zdánlivého výkonu je veličina zvaná účiník:

𝜆 =𝑃

𝑆.

(13)

3.1.1 IEEE: 1-fázový systém bez harmonického zkreslení Pro harmonický průběh napětí a proudu platí:

𝑃 = ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖(𝑡)‖𝑐𝑜𝑠𝜑,

(14)

𝑄 = ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖(𝑡)‖𝑠𝑖𝑛𝜑.

(15)

Úhel 𝜑 je úhel mezi fázorem proudu a fázorem napětí.

20

𝑃²+ 𝑄²= ‖𝑢(𝑡)‖²‖𝑖(𝑡)‖²(𝑠𝑖𝑛²𝜑 + 𝑐𝑜𝑠²𝜑) =

= ‖𝑢(𝑡)‖²‖𝑖(𝑡)‖²= 𝑆² => 𝑆² = 𝑃²+ 𝑄².

(16)

3.1.2 IEEE: 1-fázový systém s harmonickým zkreslením

U tohoto případu rozlišuje norma fundamentální činný výkon a harmonický činný výkon (norma ‖∙‖₁ označuje efektivní hodnotu základní harmonické):

𝑃1= ‖𝑢‖1‖𝑖‖₁𝑐𝑜𝑠𝜑1, 𝑃𝐻 = 𝑃 − 𝑃1.

(17)

Je zde třeba rozlišovat jalový výkon (fundamentální) a neaktivní výkon:

𝑄₁ = ‖𝑢‖₁‖𝑖‖₁𝑠𝑖𝑛𝜑₁, 𝑁 = √𝑆²− 𝑃².

(18)

Zdánlivý výkon je zde rozdělen do několika složek. Jde o fundamentální a nefundamentální zdánlivý výkon:

𝑆₁ = ‖𝑢‖₁‖𝑖‖₁, 𝑆₁² = 𝑃₁²+ 𝑄₁², 𝑆_𝑁 = √𝑆²− 𝑆₁².

(19)

Z nefundamentálního zdánlivého výkonu lze definovat deformační výkon proudu, deformační výkon napětí a harmonický zdánlivý výkon [2, 3]:

𝑆_𝑁² = 𝐷_𝐼²+ 𝐷_𝑉²+ 𝑆_𝐻², 𝐷_𝐼= ‖𝑢‖₁‖𝑖‖_𝐻, 𝐷_𝑉 = ‖𝑢‖_𝐻‖𝑖‖₁, 𝑆_𝐻= ‖𝑢‖_𝐻‖𝑖‖_𝐻 = √𝑃_𝐻²+ 𝐷_𝐻².

(20)

Platí:

𝑆²= 𝑆₁²+ 𝑆_𝑁² = 𝑆₁²+ 𝐷_𝐼²+ 𝐷_𝑉²+ 𝑆_𝐻².

(21)

3.1.3 IEEE: 3-fázový symetrický systém bez harmonického zkreslení Pro činný a jalový výkon v tomto případě platí:

𝑃 = 3‖𝑢_𝑥‖‖𝑖_𝑥‖𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑄 = 3‖𝑢_𝑥‖‖𝑖_𝑥‖𝑠𝑖𝑛𝜑; 𝑥 = 𝑘𝑡𝑒𝑟á𝑘𝑜𝑙𝑖𝑣 𝑓á𝑧𝑒

(22)

𝑆²= 𝑃²+ 𝑄² = 9‖𝑢_𝑥‖²‖𝑖_𝑥‖²(𝑠𝑖𝑛²𝜑 + 𝑐𝑜𝑠²𝜑) = 9‖𝑢_𝑥‖²‖𝑖_𝑥‖²

=> 𝑆 = 3‖𝑢_𝑥‖‖𝑖_𝑥‖.

(23)

21

3.1.4 IEEE: 3-fázový nesymetrický systém bez harmonického zkreslení Jalový výkon po fázích:

𝑄_𝑅 = ‖𝑢_𝑅‖‖𝑖_𝑅‖𝑠𝑖𝑛𝜃_𝑅; 𝑄_𝑆= ‖𝑢_𝑆‖‖𝑖_𝑆‖𝑠𝑖𝑛𝜃_𝑆; 𝑄_𝑇 = ‖𝑢_𝑇‖‖𝑖_𝑇‖𝑠𝑖𝑛𝜃_𝑇.

(24)

Celkový jalový výkon lze definovat jako:

𝑄 = 𝑄𝑅+ 𝑄𝑆+ 𝑄𝑇.

(25)

Činný výkon po fázích:

𝑃_𝑅 = ‖𝑢_𝑅‖‖𝑖_𝑅‖𝑐𝑜𝑠𝜃_𝑅; 𝑃_𝑆= ‖𝑢_𝑆‖‖𝑖_𝑆‖𝑐𝑜𝑠𝜃_𝑆; 𝑃_𝑇 = ‖𝑢_𝑇‖‖𝑖_𝑇‖𝑐𝑜𝑠𝜃_𝑇.

(26)

Celkový činný výkon lze definovat jako:

𝑃 = 𝑃_𝑅+ 𝑃_𝑆+ 𝑃_𝑇.

(27)

Dále standard používá Fortescuovu dekompozici k definici činného výkonu sousledné, zpětné a nulové složky:

𝑃⁺= 3𝑈⁺𝐼⁺𝑐𝑜𝑠𝜑⁺; 𝑃⁻= 3𝑈⁻𝐼⁻𝑐𝑜𝑠𝜑⁻; 𝑃⁰ = 3𝑈⁰𝐼⁰𝑐𝑜𝑠𝜑⁰ ,

(28)

kde 𝑈⁺= |𝑈̂⁺| (obdobně pro ostatní složky). Podobně to platí i pro složky 𝑄⁺, 𝑄⁻𝑎 𝑄⁰, jen je místo funkce cosinus funkce sinus.

Zdánlivý výkon je zde definován dvěma způsoby; jednak existuje tzv. aritmetický zdánlivý výkon jako součet zdánlivých výkonu jednotlivých fází:

𝑆_𝑅 = ‖𝑢_𝑅‖‖𝑖_𝑅‖; 𝑆_𝑆= ‖𝑢_𝑆‖‖𝑖_𝑆‖; 𝑆_𝑇 = ‖𝑢_𝑇‖‖𝑖_𝑇‖

(29)

𝑆𝐴= 𝑆𝑅+ 𝑆𝑆+ 𝑆𝑇

𝑆_𝐴 ≠ √𝑃²+ 𝑄²

(30)

a vektorový zdánlivý výkon:

𝑆_𝑉= √𝑃²+ 𝑄².

(31)

Aritmetický a vektorový výkon se obvykle liší. Platí, že 𝑆_𝐴 ≥ 𝑆_𝑉. Rozdíl těchto dvou veličin vypovídá o přítomnosti nesymetrie v systému. Grafické znázornění těchto definic je na následujícím obrázku (viz obr. 9).

22

Obrázek 9: Aritmetický vs. vektorový zdánlivý výkon[3]

Dále je zmiňován tzv. efektivní zdánlivý výkon. Jeho definice předpokládá, že existuje obdobný symetrický obvod se stejným odběrem jako skutečný obvod:

𝑆_𝑒= √3(‖𝑢‖_𝑅²+ ‖𝑢‖_𝑆²+ ‖𝑢‖²_𝑇) + ‖𝑢‖_𝑅𝑆² ‖𝑢‖_𝑆𝑇² ‖𝑢‖_𝑅𝑇²

18 √‖𝑖‖_𝑅² + ‖𝑖‖_𝑆²+ ‖𝑖‖_𝑇²+ ‖𝑖‖_𝑛²

3 .

(32)

Z efektivního zdánlivého výkonu lze definovat nesymetrický výkon způsobený zpětnými a nulovými složkami:

𝑆_𝑢= √𝑆_𝑒²− (𝑆⁺)², 𝑆⁺= 3𝑈⁺𝐼⁺.

(33)

3.1.5 IEEE: 3-fázový nesymetrický systém s harmonickým zkreslením

U třífázového systému je nesymetrický systém s harmonickým zkreslením nejobecnější případ, který může nastat. Pracuje se zde s mnoha matematickými aparáty, jako je Fourierova transformace, či Fortescueův rozklad. Složek je v tomto případě mnoho, jsou ale definovány většinou intuitivně a relevantně k již zmíněným definicím. Proto je zde uvedena pouze tabulka nejdůležitějších veličin.

23

Tabulka 2: Přehled výkonů IEEE[2, 3]

veličina celkový výkon fundamentální složka harmonická složka

zdánlivý [VA] 𝑆𝑒 𝑆𝑒1, 𝑆₁⁺, 𝑆1𝑢 𝑆𝑒𝑁, 𝑆𝑒𝐻

činný [W] 𝑃 𝑃₁⁺ 𝑃_𝐻

neaktivní [var] 𝑁 𝑄₁⁺ 𝐷_𝐴, 𝐷_𝑒𝑉, 𝐷_𝑒𝐻

harmonické zkreslení 𝑆_𝑒𝑁/𝑆_𝑒1

nesymetrie 𝑆_1𝑢/ 𝑆₁⁺

24

3.2 Current’s Physical Components Theory – CPC teorie

Tato část se zabývá předcházejícím událostem vzniku CPC teorie a samotné CPC teorii pro jednofázové a třífázové systémy.

3.2.1 CPC předcházející události

Jedny z větších diskusí o definicích výkonů začaly v roce 1892, když už popis pomocí rovnice

𝑆²= 𝑃²+ 𝑄²

(34)

nebyl dostačující pro popis složitějších nesinusových systémů.

K nejpozoruhodnějšímu rozšíření přístupů k výkonovým definicím přispěli v té době pan Budeanu a pan Fryze.

Budeanu představil definici činného výkonu pro jednofázové systémy se sinusovým průběhem (ve vzorci n = 1), podporovanou standardem IEEE, a nesinusovým průběhem napětí a proudu:

𝑃 = ∑ 𝑈_𝑛𝐼_𝑛cos 𝜑_𝑛

𝑛∈𝑁

(35)

a později následující definici jalového výkonu rovněž v jednofázových systémech se sinusovým průběhem (ve vzorci n = 1), podporovanou standardem IEEE, a nesinusovým průběhem napětí a proudu:

𝑄 = ∑ 𝑈_𝑛𝐼_𝑛𝑠𝑖𝑛𝜑_𝑛

𝑛∈𝑁

,

(36)

interpretovaný jako míra zvýšeného okamžitého výkonu v důsledku energetických oscilací mezi zdrojem a zátěží (energetickému přelévání mezi zdrojem a spotřebičem tam a zpět).

Uvedl také definici deformačního výkonu jako míru zvýšeného okamžitého výkonu v důsledku zkreslení průběhu po zjištění, že součet čtverců činného a zdánlivého výkonu je někdy menší než čtverec zdánlivého výkonu:

𝑆 = ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖(𝑡)‖,

(37)

𝐷 = √𝑆²− 𝑃²− 𝑄².

(38)

Bohužel jsou ale tyto dva výklady chybné. Jedním z problému je to, že Q může být u různých harmonických jak kladné, tak i záporné. Záleží na tom, jestli je zátěž kapacitního, nebo induktivního charakteru. To může vést v extrému i k tomu, že po součtu všech dílčích harmonických Q, bude celkové Q nulové i přesto, že okamžitý výkon nebude nulový. Výkony Q a D tedy v tomto případě neodpovídají ničemu fyzikálně opodstatněnému. Rovnice č. 39 demonstruje nedostatky Budeanua:

25

𝑢(𝑡) = √2(100𝑠𝑖𝑛𝜔₁𝑡 + 25𝑠𝑖𝑛3𝜔₁𝑡) 𝑉, 𝜔₁= 1𝑟𝑑 𝑠, 𝑖(𝑡) = √2(25𝑠𝑖𝑛(𝜔₁𝑡 − 90°) + 100sin (3𝜔₁𝑡 + 90°)) 𝐴,

𝑄 = 𝑄₁+ 𝑄₃= 2500 − 2500 = 0.

(39)

I přes nulový jalový výkon je zde energie kmitání, jelikož okamžitý výkon p(t) mění znaménko. Je-li kladné, energie proudí k zátěži, je-li záporné, teče zpět do napájecího zdroje. I přes zřejmé a prokázané nedostatky jednotlivých definic se tyto chybné definice stále vyučují.

Obrázek 10: Přelévání výkonu [6]

Pan Fryze zavedl definici jalového výkonu na základě rozkladu zátěžového proudu do činného a jalového proudu v časové oblasti bez použití harmonické koncepce:

𝑖(𝑡) = 𝑖_𝑎(𝑡) + 𝑖_𝑟(𝑡).

(40)

Činný proud je definován jako součást proudu, která je úměrná napětí:

𝑖_𝑎(𝑡) = 𝐺_𝑒𝑢(𝑡), 𝐺_𝑒= 𝑃

‖𝑢‖²,

(41)

kde 𝐺_𝑒značí ekvivalentní vodivost. 𝑖_𝑎(𝑡) je minimální hodnota potřebná k poskytnutí činného výkonu.

Činný a jalový proud jsou vzájemně kolmé a jejich RMS hodnoty splňují vztah:

‖𝑖‖²= ‖𝑖𝑎‖²+ ‖𝑖𝑟‖²,

(42)

který po vynásobení druhou mocninou RMS napětí dává vztah:

𝑆²= 𝑃²+ 𝑄², 𝑄 = ‖𝑢‖‖𝑖𝑟‖.

(43)

Tato definice je velmi jednoduchá, ale má bohužel zásadní nedostatky. Jeden z nich je, že jalový proud zde není uveden explicitně, a tím pádem není možné určit průběh tohoto proudu a na základě toho upravovat parametry zátěže a tím snížit jalovou složku výkonu [6].

26 3.2.2 CPC

The Currrent’s Physical Components (CPC) popisuje jedno nebo třífázové systémy bez harmonického zkreslení nebo s harmonickým zkreslením.

CPC teorie přistupuje k definicím výkonů poněkud jinak, než je tomu u IEEE definic. Jak již trochu název napovídá, jednotlivé složky výkonů se dají vysvětlit fyzikálně identifikovanými jevy.

Autorem této teorie je prof. L. S. Czarnecki.

CPC teorie byla vyvinuta na základě teorie pana S. Fryze (viz rovnice č. 40), ale na rozdíl od něj, CPC používá rozklad na jednotlivé harmonické signálu, který S. Fryze po určitých nedokonalostech C. Budeanuových definic zavrhoval.

Jak již bylo zmíněno, CPC teorie vychází z konceptu S. Fryzeho, který pracuje s pojmem takzvané ekvivalentní vodivosti viz vzorec č. 41. L. S. Czarnecki tento koncept rozšířil a namísto dvou složek proudu výkonů, jich definuje několik [2, 6].

3.3 CPC jednofázové systémy

V této části budou rozebrány jednotlivé výkony CPC teorie pro jednofázové systémy.

3.3.1 CPC: činný výkon

Činný výkon se dá u CPC teorie spočítat z efektivní hodnoty činné složky proudu, k jejíž výpočtu je zapotřebí znát ekvivalentní vodivost 𝐺_𝑒, která je definována pomocí činného výkonu:

𝐺_𝑒= 𝑃

‖𝑢‖².

(44)

Se znalostí ekvivalentní vodivosti můžeme dopočítat činnou složku proudu a následně činný výkon:

𝑖𝑎= 𝑅𝑒 {∑ 𝐺𝑒𝑈̂_𝑛𝑒^{𝑗𝜔𝑛𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝑃 = ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖𝑎(𝑡)‖.

(45)

Vypočtený činný výkon ale není totožný se vztahem č. 11, na rozdíl od definice v IEEE je u CPC činný výkon vždy nezáporný [2, 10].

3.3.2 CPC: jalový výkon

Jalový výkon stejně jako v IEEE je neužitečný výkon, který vzniká, když je nenulový fázový posun mezi napětím a proudem. U CPC je k této problematice přistupováno přes komplexní admitanci 𝑌̂ = 𝐺 + 𝑗𝐵 – zátěž se nechová jako reálný odpor. Tímto tvrzením jde k původu tohoto posunutí. CPC tedy potřebuje pro své definice znalost zátěže (komplexní admitance), kterou lze dopočítat z hodnot proudu a napětí.

27

Jalový proud a jalový výkon jsou potom definovány takto:

𝑖_𝑟 = 𝑅𝑒 {∑ 𝑗𝐵𝑈̂_𝑛𝑒^{𝑗𝜔𝑛𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝑄 = ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖_𝑟(𝑡)‖.

(46)

Jalový výkon Q může nabývat pouze kladných hodnot, to znemožňuje určit, zdali jde o kapacitní, nebo induktivní zátěž [2, 10].

3.3.3 CPC: deformační výkony

Roztroušený výkon (scattered power) je první z deformačních složek u CPC. Vzniká, pokud se reálná složka obecně komplexní admitance mění s frekvencí [2, 10]:

𝑖_𝑠 = 𝑅𝑒 {∑(𝐺_𝑛− 𝐺_𝑒)𝑈̂_𝑛𝑒^{𝑗𝜔𝑛𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝐷_𝑠= ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖_𝑠(𝑡)‖.

(47)

3.3.4 CPC: další výkony

Další ze složek je generovaný výkon. Tato složka je dodávaná zátěží do sítě – nese záporný činný výkon. Je tudíž třeba roztřídit harmonické složky do množin (značíme D a C) podle znaménka činného výkonu:

cos 𝜑𝑛< 0 ∀𝑛 ∈ 𝐶, cos 𝜑𝑛 ≥ 0 ∀𝑛 ∈ 𝐷 .

(48)

Generovaný proud a výkon je pak určen vztahem:

𝑖_𝐶 = 𝑅𝑒 {∑ 𝐼̂_𝑛𝑒^{𝑗𝜔𝑛𝑡}

𝑛∈𝐶

} , 𝑆_𝐶 = ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖_𝐶(𝑡)‖.

(49)

Pokud chceme uvažovat přítomnost generovaného výkonu, je u ostatních definic potřeba množinu vyšších harmonických složek zaměnit z N na D.

Po přesunutí celé harmonické do generovaného signálu už s danou harmonickou dále nepracujeme. Přicházíme tak o informace o její admitanci, a tím i o informaci, jestli poskytuje jalový či roztroušený výkon. Tato složka výkonu má tedy charakter zdánlivého výkonu – značíme ji 𝑆_𝐶.

Obdobné definice, jako tomu bylo u doposud zmiňovaných jednofázových systémů, platí i pro třífázové systémy se symetrickým napětím a zátěží. Pouze namísto skalárních hodnot napětí a proudu je třeba uvažovat vektory. Vektor napětí 𝑢⃗⃗(𝑡) = [𝑢_𝑅(𝑡) 𝑢_𝑆(𝑡) 𝑢_𝑇(𝑡)]^𝑇 (a obdobně u proudu). Celková efektivní hodnota trojfázové veličiny např. napětí se spočítá jako [2]:

‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖ = √‖𝑢_𝑅(𝑡)‖²+ ‖𝑢𝑆(𝑡)‖²+ ‖𝑢𝑇(𝑡)‖².

(50)

28

3.4 CPC třífázové systémy se zapojením do hvězdy

U třífázových systémů se zapojením do hvězdy není problém dopočítat hodnotu zátěží z průběhů napětí a proudu a následně aplikovat CPC teorii.

Stejně jako u jednofázových systémů (viz kap. 3.3) a třífázových systémů se zapojením do trojúhelníku (viz kap. 3.5), i zde pro výpočet činného výkonu potřebujeme znát efektivní hodnotu činné složky proudu, jež je definována celkovou ekvivalentní vodivostí, která je definovaná činným výkonem:

𝐺_𝑒= 𝑃

‖𝑢⃗⃗‖²,

(51)

𝑖⃗_𝑎(𝑡) = 𝑅𝑒 {∑ 𝐺_𝑒𝑈⃗⃗⃗̂

𝑛𝑒^{𝑗𝜔𝑛𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝑃 = ‖𝑢(𝑡)‖‖𝑖_𝑎(𝑡)‖.

(52)

Jelikož je systém třífázový, budou místo jedné komplexní admitance tři:

𝑌̂_𝑅𝑛= 𝐺_𝑅𝑛+ 𝑗𝐵_𝑅𝑛= 𝐼̂_𝑅𝑛 𝑈̂_𝑅𝑛, 𝑌̂𝑆𝑛 = 𝐺𝑆𝑛+ 𝑗𝐵𝑆𝑛 = 𝐼̂_𝑆𝑛

𝑈̂_𝑆𝑛, 𝑌̂_𝑇𝑛 = 𝐺_𝑇𝑛+ 𝑗𝐵_𝑇𝑛= 𝐼̂_𝑇𝑛

𝑈̂_𝑇𝑛.

(53)

Než se dojde k dalším vztahům, je nutné znát celkovou vodivost každé harmonické:

𝐺_𝑒𝑛 = 𝑃_𝑛

‖𝑢⃗⃗_𝑛‖²=1

3(𝐺_𝑅𝑛+ 𝐺_𝑆𝑛+ 𝐺_𝑇𝑛)

(54)

a celkovou susceptanci každé harmonické:

𝐵𝑒𝑛 = − 𝑄_𝑛

‖𝑢⃗⃗_𝑛‖²=1

3(𝐵_𝑅𝑛+ 𝐵𝑆𝑛+ 𝐵𝑇𝑛).

(55)

Celková komplexní admitance každé harmonické je dána vztahem:

𝑌̂_𝑒𝑛= 𝐺_𝑒𝑛+ 𝐵_𝑒𝑛.

(56)

Pokud je zátěž nesymetrická, tak daná harmonická obsahuje navíc tzv. nevyvážený proud:

𝑖⃗𝑢𝑛(𝑡) = 𝑖⃗_𝑛(𝑡) − 𝑖⃗_𝑎𝑛(𝑡) − 𝑖⃗_𝑟𝑛(𝑡).

(57)

Tento nevyvážený proud může být navíc nesymetrický, dá se tedy rozložit pomocí Fortescueové dekompozice na jednotlivé symetrické složky, souslednou složku, zpětnou složku a složku nulové sekvence:

29

𝑖⃗̂_𝑢𝑛= 𝑖⃗̂_𝑢𝑛⁺ + 𝑖⃗̂_𝑢𝑛⁻ + 𝑖⃗̂_𝑢𝑛⁰

(58)

Tento vztah se dá vyjádřit:

[ 𝐼̂_𝑢𝑛⁰ 𝐼̂_𝑢𝑛⁺ 𝐼̂_𝑢𝑛⁻

] = 1 3[

1 1 1

1 𝛼 𝛼²

1 𝛼² 𝛼

] [ 𝐼̂_𝑅𝑢𝑛 𝐼̂_𝑆𝑢𝑛 𝐼̂_𝑇𝑢𝑛

] = 𝑆 [ 𝐼̂_𝑅𝑢𝑛 𝐼̂_𝑆𝑢𝑛 𝐼̂_𝑇𝑢𝑛

] ; 𝛼 = 𝑒^𝑗2𝜋/3, 𝛼²= 𝑒^𝑗4𝜋/3

(59)

[ 𝐼̂𝑢𝑛0

𝐼̂_𝑢𝑛⁺ 𝐼̂_𝑢𝑛⁻

] = 𝑆 [

(𝑌̂_𝑅𝑛− 𝑌̂_𝑒𝑛)𝑈̂_𝑅𝑛 (𝑌̂𝑅𝑛− 𝑌̂𝑒𝑛)𝑈̂_𝑆𝑛 (𝑌̂𝑅𝑛− 𝑌̂𝑒𝑛)𝑈̂_𝑇𝑛

].

(60)

Definice uvažuje symetrické třífázové napětí, musí se tedy zahrnout problematika sekvencí vyšších harmonických:

- Kladná sekvence pro 1, 4, 7, 10… harmonickou; obecně n = 3k+1 harmonickou, kde k = 0, 1, 2…

𝑈̂_𝑆𝑛 = 𝛼²𝑈̂_𝑅𝑛 , 𝑈̂_𝑇𝑛= 𝛼𝑈̂_𝑅𝑛.

(61)

- Záporná sekvence pro 2, 5, 8, 11… harmonickou; obecně n = 3k-1 harmonickou, kde k = 0, 1,

2…

𝑈̂_𝑆𝑛 = 𝛼𝑈̂_𝑅𝑛 , 𝑈̂_𝑇𝑛= 𝛼²𝑈̂_𝑅𝑛.

(62)

- Nulová sekvence pro 0, 3, 6, 9… harmonickou; obecně n = 3k harmonickou, kde k = 0, 1, 2…

𝑈̂_𝑆𝑛 = 𝑈̂_𝑅𝑛 , 𝑈̂_𝑇𝑛= 𝑈̂_𝑅𝑛.

(63)

Po dalších úpravách se dosáhne vztahu, kde hodnoty naplňují nevyvážené komplexní admitance 𝑌̂_𝑢𝑛⁰ , 𝑌̂_𝑢𝑛⁺, 𝑌̂_𝑢𝑛⁻ podle harmonických sekvencí. Lze ukázat [7], že harmonické daných sekvencí mají jednu z typů nevyvážených komplexních admitancí nulovou. Pro harmonické nulové sekvence je 𝑌̂_𝑢𝑛⁰ = 0, kladné sekvence 𝑌̂_𝑢𝑛⁺ = 0 a záporné sekvence 𝑌̂_𝑢𝑛⁻ = 0. Vztahy komplexních nevyvážených admitancí pro dané sekvence vypadají následovně.

Vztah pro nulovou sekvenci:

[ 𝑌̂_𝑢𝑛⁰ 𝑌̂𝑢𝑛+

𝑌̂𝑢𝑛−

] =¹

3[

0

𝑌̂_𝑅𝑛+ 𝛼𝑌̂_𝑆𝑛+ 𝛼²𝑌̂_𝑇𝑛 𝑌̂_𝑅𝑛+ 𝛼²𝑌̂_𝑆𝑛+ 𝛼𝑌̂_𝑇𝑛

].

(64)

30 Vztah pro kladnou sekvenci:

[ 𝑌̂_𝑢𝑛⁰ 𝑌̂𝑢𝑛+

𝑌̂_𝑢𝑛⁻ ] =¹

3[

𝑌̂_𝑅𝑛+ 𝛼²𝑌̂_𝑆𝑛+ 𝛼𝑌̂_𝑇𝑛 0

𝑌̂𝑅𝑛+ 𝛼𝑌̂𝑆𝑛+ 𝛼²𝑌̂𝑇𝑛

].

(65)

Vztah pro zápornou sekvenci:

[ 𝑌̂_𝑢𝑛⁰ 𝑌̂_𝑢𝑛⁺ 𝑌̂_𝑢𝑛⁻

] =¹

3[

𝑌̂_𝑅𝑛+ 𝛼𝑌̂_𝑆𝑛+ 𝛼²𝑌̂_𝑇𝑛 𝑌̂_𝑅𝑛+ 𝛼²𝑌̂_𝑆𝑛+ 𝛼𝑌̂_𝑇𝑛

0

].

(66)

Když se chce u symetrických třífázových systémů spočítat proud či napětí, stačí danou veličinu spočítat jenom pro jednu fázi, následné vyčíslení pro tři fáze se provede vynásobením veličiny √3, toho se využije ve vztazích č. 85–89.

Nyní je vše potřebné k výpočtu ostatních proudů a následných výkonů. Stejně jako u jednofázových systémů se zde objevuje roztroušený výkon. Vzniká, pokud se reálná složka obecně komplexní admitance mění s frekvencí:

𝑖⃗_𝑠(𝑡) = 𝑅𝑒 {∑(𝐺_𝑒𝑛− 𝐺_𝑒)𝑈⃗⃗⃗̂

𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝐷_𝑠 = ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑠(𝑡)‖.

(67)

Dále neužitečný jalový výkon, který vzniká, pokud je nenulový fázový rozdíl mezi napětím a proudem:

𝑖⃗_𝑟(𝑡) = 𝑅𝑒 {∑ 𝐵_𝑒𝑛𝑈⃗⃗⃗̂

𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝑄 = ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑟(𝑡)‖.

(68)

Nyní zbývají již zmiňované nevyvážené výkony jednotlivých sekvencí. V následujících vzorcích jsou použity symetrické třífázové jednotkové vektory:

[ 1 𝛼²

𝛼

] = 1⃗⃗⁺, [ 1 𝛼 𝛼²

] = 1⃗⃗⁻, [ 1 1 1

] = 1⃗⃗⁰.

(69)

31 Nevyvážený výkon sousledné sekvence:

𝑖⃗_𝑢⁺(𝑡) = 𝑅𝑒 {∑ 𝑌̂_𝑢𝑛⁺1⃗⃗⁺𝑈̂_𝑅𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝐷_𝑢⁺= ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑢⁺(𝑡)‖.

(70)

Nevyvážený výkon zpětné sekvence:

𝑖⃗_𝑢⁻(𝑡) = 𝑅𝑒 {∑ 𝑌̂_𝑢𝑛⁻1⃗⃗⁻𝑈̂_𝑅𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝐷_𝑢⁻= ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑢⁻(𝑡)‖.

(71)

Nevyvážený výkon nulové sekvence:

𝑖⃗_𝑢⁰(𝑡) = 𝑅𝑒 {∑ 𝑌̂_𝑢𝑛⁰ 1⃗⃗⁰𝑈̂_𝑅𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

} , 𝐷_𝑢⁰= ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑢⁰(𝑡)‖.

(72)

Celkový nevyvážený proud se může znovu získat dosazením vypočtených admitancí a napětí:

𝑖⃗𝑢𝑛(𝑡) = 𝑅𝑒{(𝑌̂_𝑢𝑛⁺1⃗⃗⁺+ 𝑌̂𝑢𝑛−1⃗⃗⁻+ 𝑌̂𝑢𝑛0 1⃗⃗⁰)𝑈̂_𝑅𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}}.

(73)

Symetrické komponenty jednotlivých sekvencí jsou ortogonální, z toho vyplývá:

‖𝑖⃗_𝑢𝑛(𝑡)‖²= ‖𝑖⃗_𝑢𝑛⁺ (𝑡)‖²+ ‖𝑖⃗_𝑢𝑛⁻ (𝑡)‖²+ ‖𝑖⃗_𝑢𝑛⁰ (𝑡)‖².

(74)

Ortogonální jsou ale i všechny složky celkového proudu:

‖𝑖⃗(𝑡)‖²= ‖𝑖⃗_𝑎(𝑡)‖²+ ‖𝑖⃗_𝑠(𝑡)‖²+ ‖𝑖⃗_𝑟(𝑡)‖²+ ‖𝑖⃗_𝑢⁺(𝑡)‖²+ ‖𝑖⃗_𝑢⁻(𝑡)‖²+ ‖𝑖⃗_𝑢⁰(𝑡)‖².

(75)

Celkový zdánlivý výkon S v sobě zahrnuje všechny jmenované dílčí výkony:

𝑆

²

= 𝑃

²

+ 𝑄

²

+ 𝐷

_𝑆²

+ 𝐷

_𝑢⁺²

+ 𝐷

_𝑢⁻²

+ 𝐷

_𝑢⁰²

. (76)

32

3.5 CPC třífázové systémy se zapojením do trojúhelníku

Celkový proud u třífázových systémů se zapojením do trojúhelníka se symetrickým zkresleným napětím je dán čtyřmi složkami proudu [4]:

𝑖⃗ = 𝑖⃗𝑎+ 𝑖⃗𝑠+ 𝑖⃗𝑟+ 𝑖⃗𝑢.

(77)

Proudy se jmenují postupně zleva doprava činný, roztroušený, jalový a rozvážený.

Činný proud a činný výkon:

𝑖⃗_𝑎= 𝑅𝑒 ∑ 𝐺_𝑒𝑈⃗⃗⃗̂

𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

, 𝑃 = ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑢(𝑡)‖.

(78)

Roztroušený proud a roztroušený výkon:

𝑖⃗_𝑠= 𝑅𝑒 ∑(𝐺_𝑒𝑛− 𝐺_𝑒)𝑈⃗⃗⃗̂

𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

, 𝐷_𝑠= ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑠(𝑡)‖.

(79)

Jalový proud a jalový výkon:

𝑖⃗_𝑟 = 𝑅𝑒 ∑ 𝐵_𝑒𝑛𝑈⃗⃗⃗̂

𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

, 𝑄 = ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑟(𝑡)‖.

(80)

Další složkou celkového proudu je rozvážený proud. Pro jeho definici je potřeba si nadefinovat tzv.

rozváženou admitanci a zpětný vektor fázoru napětí:

𝐴̂ = −(𝑌̂_𝑆𝑇+∝ 𝑌̂_𝑅𝑇+∝²𝑌̂_𝑅𝑆), 𝑈⃗⃗⃗̂# = [𝑈̂_𝑅 𝑈̂_𝑇 𝑈̂_𝑆]^𝑇.

(81)

Rozvážený proud a rozvážený výkon:

𝑖⃗_𝑢 = 𝑅𝑒 ∑ 𝐴𝑈⃗⃗⃗̂

𝑛#𝑒^{𝑗𝑛𝜔𝑡}

𝑛∈𝑁

, 𝐷_𝑢 = ‖𝑢⃗⃗(𝑡)‖‖𝑖⃗_𝑢(𝑡)‖.

(82)

U zapojení do trojúhelníku je nemožné dopočítat hodnotu zátěží z průběhu napětí a proudu, tím pádem nelze CPC vůbec použít k analýze systémů s trojúhelníkovou konfigurací. CPC lze použít pouze pokud je admitance předem známa [2, 4].

33

4 Implementace

V rámci bakalářské práce bylo jedním z bodů doplnění stávající knihovny pro výpočet elektrických výkonů o nové funkce a definice. V následující části práce je vysvětlováno, jak základní části knihovny fungují. To může pomoci případným dalším zájemcům, kteří by chtěli doplnit knihovnu o další definice, zorientovat se v logice programu. Pro názornost je doporučováno si následující text konfrontovat s níže zmíněnými programovými skripty.

Program byl psán v programovacím jazyce Python v2.7. Tento jazyk byl zvolen pro svou jednoduchost a snadnou přenositelnost mezi platformami. Pro manipulaci s daty a některé matematické operace je použita knihovna NumPy (ve skriptech k ní lze přistupovat pomocí zkratky np), volně dostupná pod BSD licencí [13]. Pro vykreslování grafů je použita knihovna Matplotlib, rovněž dostupná pod BSD kompatibilní licencí.

Zdrojové kódy jsou organizovány do jednotlivých souborů – modulů podle toho, kterou část problému řeší. Můžou to být jednotlivé knihovny (DAL.py, functionals.py) nebo přímé výpočty.

Každý výpočet je nadefinovaná funkce, která je volána z mateřského skriptu. Každý modul má příponu .py a dále je uveden hlavičkou, která obsahuje typicky tzv. hashbang, tj. řádek určující, který interpreter se má pro spuštění skriptu zvolit tedy např.:

#!/usr/bin/python2.

Další věc, kterou lze v hlavičce nalézt, je stručný komentář, k čemu daný modul je, kontakt na autora, v jakém formátu modul vrací data a jiné. Dále pak skript obsahuje načítání dalších potřebných modulů a knihoven.

Zmíněný mateřský skript je pak skript, jehož hlavním úkolem je obsloužit zvolené výpočtové skripty. Mateřský skript obstarává data (načtená ze souboru nebo generovaná), která se budou jednotlivými výpočtovými skripty analyzovat. Mateřský skript dále výsledná data uloží do textového souboru ve formátu CSV s příponou, která napovídá, jaká z teorií byla použita k analýze [2, 12].

4.1 SWA analýza

Analýza výkonů v rámci bakalářské práce byla spouštěna ze skriptu SWAnalysis.py.

SWAnalysis.py je mateřský skript, ze kterého jsou volány jednotlivé výpočtové funkce načtených modulů pro přímé výpočty 3f teorií (IEEE, CPC), které analyzují data v podobě tzv. klouzavého okénka (SWA – sliding window analysis). Data pro výpočet jsou vždy poskytována za jednu periodu základní síťové frekvence a posléze posouvána vždy o jeden vzorek až na konec analyzovaného rozsahu. Vypočtené výkony nelze brát jako funkci času, ale jako hodnoty agregované právě po jedné periodě. Výstupní data jsou tak o jednu periodu kratší než vstupní signál [2, 12].

34

Jak již bylo zmíněno výše, každý skript i včetně mateřského skriptu obsahuje hlavičku a načtení potřebných modulů popř. knihoven. Toto je zde prováděno pomocí prvků from a import. Za from se uvádí název modulu, který je potřeba načíst a za import funkce potřebné k zpřístupnění. Pokud je potřeba zpřístupnit všechny funkce, dá se za import *.

Dále se v kódu programu nachází proměnná PathSave (stejný obsah i v proměnné Fpath), do které se zadává cesta k adresáři, ve kterém jsou umístěny datové soubory k analýze (do stejného adresáře se ukládají i vypočtená data). Do proměnné Measurement se zadává název datového souboru, který se bude analyzovat, popřípadě při generování dat se uvádí libovolný název měření.

Po vyplnění výše zmíněných proměnných je cesta k souboru i včetně přípony .csv přístupná v proměnné InFName.

Další částí je přístup k datům, která se budou zpracovávat. Ať už se budou vstupní data načítat ze souboru nebo generovat, používají se k tomu funkce, které jsou obsaženy v modulu DAL.py.

Pro potřebu načtení dat ze souboru (použit formát CSV) se použije funkce ReadColumnsCSV(…,…), kde prvním argumentem funkce je cesta k danému souboru a druhým argumentem vektor ve kterém jsou obsaženy čísla sloupců, které je potřeba načíst. Funkce předpokládá sktrukturu CSV, kde ve sloupcích jsou po sobě jdoucí středníkem oddělené navzorkované veličiny U1, U2, U3, I1, I2, I3 (u měření byla použitá Fs = 6400 Hz). Funkce vrací dvourozměrné pole s veličinami ve stejném pořadí.

ReadColumnsCSV(InFName, range(6))

Pokud je potřeba data generovat, použije se k tomu funkce:

Generate_3f(Fs, fundamental, periods, harmonicsU, harmonicsI, phis, unbalanceU, unbalanceI).

Argumenty funkce následující za sebou jsou vzorkovací frekvence; základní (síťová) frekvence; počet generovaných period; pole vyšších harmonických napětí; pole vyšších harmonických proudu;

tříprvkové pole fázových posunů mezi napětím a proudem; bitově zapínatelná nesymetrie napětí;

bitově zapínatelná nesymetrie proudu. Výsledná generovaná data se budou řídit předpisem, viz kap. 5.1.1–5.1.4. Pro nastavení vzorkovací frekvence Fs = 20000 Hz; síťové frekvence f = 50 Hz;

počtu period 100; 3., 5. harmonické napětí; 2., 3. harmonické proudu; fázového posunu mezi napětím a proudem jednotlivých fází 30°, 60°, 90°; napěťové symetrie; proudové nesymetrie; vypadala by funkce takto:

Generate_3f(20000, 50, 100, [3,5], [2,3,], [pi/6, pi/3, pi/2], False, True).

35

Funkce pro generování vrací opět dvourozměrné pole ve formátu jako je tomu u funkce ReadColumnsCSV(…,…).

Poté následuje kód, kde se nastavuje např. vzorkovací frekvence (musí být stejná jako u analyzovaných dat), počet vzorků za periodu, délka analyzovaných dat, naplnění polí proudu a napětí hodnotami, vytvoření prázdných dvourozměrných polí pro ukládání výsledků z jednotlivých teorií a jiné. Kvůli větší přehlednosti programového kódu jsou některé části kódu opatřeny komentáři.

Jelikož výpočtové funkce pracují se spektrem daného signálu, musí se v každém cyklu na data napětí a proudu po jednotlivých fázích aplikovat frekvenční analýza. Toto umožní rychlá Fourierova transformace, jejímž výsledkem jsou fázory jednotlivých harmonických složek vstupního signálu.

Rychlá Fourierova transformace je součástí knihovny NumPy. K této funkci se přistupuje v podobě np.fft.fft(diskrétní signál). Funkce vrací pole komplexních čísel, kde první prvek pole značí nultou harmonickou (stejnosměrnou složku), druhý prvek první harmonickou atd. Kvůli správné normalizaci musejí být výsledné hodnoty ještě vyděleny počtem vzorků Tsmpl. Jelikož postačuje pouze jednostranné spektrum, kde se neuvažují záporné frekvence, musí se hodnoty pro správnou interpretaci ještě vynásobit dvěma. Po transformaci pak stačí vzít pouze první polovinu vzorků, jelikož druhá polovina hodnot je komplexně sdružená. Výsledné magnitudy fázorů odpovídají maximální hodnotě harmonického průběhu dané frekvence. Nyní se předají hodnoty výpočtovým funkcím, které provedou jednotlivé výpočty a výsledky z každého cyklu se uloží do dvourozměrných polí, které byly předtím vytvořeny. Následně jsou n-tice obsažené v polích převedeny do formátu pole užívaného knihovnou NumPy [2].

V poslední fázi je třeba výsledky uložit do souboru CSV. K tomu slouží funkce Write2CSV(…,…).

Prvním argumentem funkce je cesta včetně názvu výstupního soboru. Cesta je přístupná v proměnné OutFName, která se skládá z již zmíněných proměnných PathSave a Measurement a z přípony souboru, která napovídá, podle které teorie byly data analyzovány. Do druhého parametru funkce se vkládá již zmíněné dvourozměrné pole obsahující výsledky z jednotlivých definic. Pole formátu užívaného knihovnou Numpy jsou ještě před odesláním do souboru transponovány pomocí syntaxe pole.T (např. IEEE.T). Veškeré rutinní operace určené pro práci s CSV soubory totiž předpokládají, že data jsou ve sloupcích a jsou i tak optimalizované. Tím pádem tato změna zrychlí následné operace s těmito soubory. Rozdíly v rychlosti jsou patrné hlavně při práci s objemnějšími daty. Výsledný soubor CSV je strukturovaný tak, že každý sloupec odpovídá jednotlivým výkonům a co řádek to jedna perioda, z které jsou jednotlivé výkony spočítané. Jednotlivé výkony v řádcích jsou mezi sebou oddělené středníkem [12].