Något om Mekanik-Dynamik och Mathematica

Något om Mekanik-Dynamik och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-10-01

Bungy Jump

Solve the initial value problem using the following rubber band model.

Frb  k H y t L c y ' t H y t L 0

0 H y t L 0; Rubber band model

NDSolve m y '' t m g F_rb, y 0 H, y ' 0 0 . IVP m 75, g 9.81, H 50, L 30, k 125, c 50 , Data y t , t, 0, 15 ;

A picture illuminates the situation

RulePlotLeg , D , t , t, 0, 15

2 4 6 8 10 12 14 t

20 20 40

y t y t

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till mekanik-dynamik med flitig användning av Mathematica. Framställ- ningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Dynamik

Ha e-boken “Något om Mekanik-Statik och Mathematica” till hands och titta igenom så att den är aktuell. Till skillnad från statik som behandlar kroppar i vila, handlar dynamik om kroppar i rörelse, men vilar tungt på statikens friläggning, varför denna kursdel måste vara väl inhämtad. Dynamiken delas dessutom in i

- kinematik som behandlar kroppars rörelse utan påverkan av krafter. Här handlar det om att den bana som en kropp rör sig i är känd och man söker ofta de krafter som detta ger upphov till, exempelvis tåg eller karusell på Liseberg. Enligt Newtons andra lag nedan så upplever en resenär i en karusell tröghetskraften massa acceleration.

- kinetik handlar om den rörelse eller bana som en kropp tvingas till utgående från givna yttre krafter, exempelvis en fotboll som efter avfärd endast utsätts för tyngdkraft och luftmotstånd. Man söker kanske dess hastighet, högsta punkt under färden samt nedslagsplats och restid dit.

Kinematik

läge hastighet acceleration kraft

Kinetik

kraft acceleration hastighet läge

I dynamik handlar det om att derivera och lösa differentialekvationer, så det kan vara idé att plocka fram e-böckerna “Något om Derivator och Mathematica” och “Något om (ODE) och Mathematica”. Vi börjar med kinematik och fortsätter sedan med kinetik, och kommer under resan, liksom vid statik, att vila tungt på “Computational Thinking”!

ť Kinematik

I kinematik läggs den matematiska grunden för dynamiken, alltså även kinetiken. Notera att hela dynamiken vilar på att man kan frilägga, det vill säga statiken måste vara väl inhämtad. Samband mellan läge, hastighet och acceleration utreds och är mycket centralt. Arbeta som vanligt i ett universellt fastspikat koordinatsystem och håll fast vid det! Vanligtvis kommer detta att vara vårt vanliga koordinatsystem med beteckningarna x, y och z och SI-enheter! Enheten radianer måste användas i dynamik annars gäller inte deriveringsreglerna. Läget för tyngdpunkten av en kropp eller punkt som funktion av tiden t beskrivs sedan av sin ortsvektor t x t , y t , z t , som är en vektorvärd funktion av en reell variabel t där varje komponent i vektorn är en funktion av samma oberoende variabel t, och fungerar som vilken annan funktion vi känner från matematiken. Komponenterna kallas koordinatfunk- tioner och t parameterkurva med parametern t. Parameterkurvan kallas ofta bara för kurvan eller banan.

Tillskottet av läge per tidsenhet _t kallas för medelhastighet under tidsintervallet t. Enligt definition på derivata har vi att gränsvärdet lim_{t 0 t t} som kallas (momentan)hastighet vid tiden t. Hastighetsvektorn är alltid tangentvektor till banan och riktad i parameterriktningen. Tidsderivator är mycket vanliga i fysik, därför har man infört beteckningen _t, “ -prick” för tidsderivata. Beloppet av hastigheten kallas fart (skalär).

På samma sätt har vi acceleration som ett tillskott av hastighet per tidsenhet _t. För denna inför vi beteckningen _t, " -prick- prick". Vi kommer ihåg att derivation och integration av en vektor eller matris faller naturligt ut på komponenterna/elementen,

t x t , y t , z t och t t  x t t, y t t, z t t, och blir ny vektor/matris! Alltså

Hastighet vektor är derivatan av läget vektor _t med avseende på tiden t. Beloppet kallas fart skalär . Acceleration vektor är derivatan av hastigheten vektor _{t t} _t ²_t2, eller andraderivatan av läget med avseende på t.

Först en allvarligt menad varning.

Lös inte problem i dynamik med färdiga formler av den typ som härleds i läroböcker och som finns i alla formelsamlingar. Det är nämligen mer arbete att utreda om formeln gäller med hänsyn till begynnelsevärden och övriga förutsättningar än att lösa differentialekvationerna själv. Många formler förutsätter accelerationen konstant. Använd inte heller beteckningarna s, v och a för varierande läge, hastighet och acceleration - även - eller i synnerhet inte - om du från gymnasiet är inarbetad på dem! Du får bara allt svårare att frigöra dig från “färdiga-formler-tänkandet” och kommer inte vidare med “Computational Thinking”!!

Använd istället , och tillsammans med dina kunskaper från kurs i ordinära differentialekvationer!! Läs i e-boken ”Något om (ODE) och Mathematica”.

De olika arbetsmoment som kinematik och kinetik erbjuder sammanfattas i schemat nedan, Fig 1. För att förflytta sig mellan de önskade storheterna läge t , hastighet t och acceleration t är det derivation som gäller i ena riktningen och integration i den andra, enligt vänstra sidan. Sådan integration är typisk handräkning som vi inte befattar oss med, utan betraktar integration som att lösa begynnelsevärdesproblem (BVP) enligt högra sidan. Notera att lösningen till ett begynnelsevärdesproblem (BVP) tar oss hela vägen “ner” till t . Hastighet fås sedan genom derivering. På grund av Newtons accelerationslag, m , är modeller i kinetik naturligt formulerade som en andra ordningens (ODE), men kinematik är lika ofta formulerat som en första ordningens (ODE). För alla dessa moment i schemat finns Mathematica till mycket god hjälp.

Acceleration, ^..

t

.. t

Hastighet,

t t

Läge,

Begynnelsevärdesproblem BVP BVP f t, t , t ,^..t , 0 ODE

0 0, 0 0, BV Mathematica

DSolve NDSolve t , D t

Fig 1. Lösningsmetoder

Det moderna datoranpassade arbetssättet i dynamik är att formulera (BVP) som löses med DSolve.

Som vanligt ska (ODE) gälla för alla t, och (BV) känt tillstånd vid början (i begynnelsen) av studien och/eller vid något annat känt tillstånd längs vägen (RV). Vi kallar blandningen lite vanvördigt för (BV) och använder dem för att fixera konstanterna i allmänna lösningen av (ODE).

Kom ihåg att tiden t för en ögonblicksbild är spindeln i nätet som knyter ihop t , t och t Därför dyker den (nästan) alltid upp som obekant när frågor ska besvaras utan att vara direkt efterfrågad! Men är ofta det ändå!

Frågor till modellen kan väsentligen delas in i två kategorier, se figurer nedan.

Den vänstra är den enkla som går från definitionsmängd till värdemängd;

t Dt V , V , V , så kallad rättfram enligt modellen. Frågorna besvaras direkt med Replace, /.t .

Den högra handlar om relationen mellan t , t och t , dvs mellan olika V vid någon ögonblicksbild då t är okänd.

Frågorna formuleras som ekvationer, där t ingår implicit, och hanteras av Solve. Spindeln t knyter alltså ihop olika tillstånd, exempelvis här “Sök hastigheten x t då läget är x t ?” Därmed är högra bilden reducerad till den vänstra.

x t x t

t t

x t x t

x t x t

t t

x t x t

Nu några exempel som visar hur man använder Mathematica för att derivera och lösa (BVP), vilket förhoppningsvis förtydligar teorin och formar det moderna arbetssättet enligt “Computational Thinking”. Återvänd till denna inledning så ofta du hinner!

Exempel Km1: Vi börjar med en enkel deriveringsövning, enligt vänstra sidan i Fig 1. Här är läget som funktion av tiden. Att derivera är naturligtvis väldigt enkelt i Mathematica som förstår vanlig ´-notation vid sidan om funktionen D.

t : b t, c t², d t³ Läget vektor i 3D som fkn av t

' t Hastighet vektor i 3D som fkn av t. Tangentvektor till banan t

b, 2 c t, 3 d t²

'' t Acceleration vektor i 3D som fkn av t 0, 2 c, 6 d t

Db t, c t², d t³, t Eller derivera med D. Här hastighet som ovan

b, 2 c t, 3 d t²

Db t, c t², d t³, t, 2  Acceleration som ovan, andraderivatan 0, 2 c, 6 d t

I Mathematica används funktionen DSolve för att lösa en stor klass av differentialekvationer, allt från enkla separabla och linjära av godtycklig ordning till mycket komplicerade olinjära, och är mycket lättanvänd. Strängt taget handlar det om att skriva av rätt!

Notera nedan de nödvändiga []-parenteserna eftersom funktionen x t ska vara en funktion av t! Mathematica förstår den vanliga

“sparv”-notationen för derivata men inte “prickar” för tidsderivata. Observera dubbla likhetstecken eftersom det är en ekvation! Det är inte bara namnet som antyder släktskap med Solve, utan även hantering av indata och resultat på Rule-form. Som vanligt gäller att när man väl förstått filosofin bakom Mathematica är det mesta självklart! Här en saftig linjär första ordningens (ODE).

DSolve1 t² x ' t 2 t x t 1 t² ArcTan t , x t , t

x t c1t² 1 1

2^t² 1tan¹t²

Även system av differentialekvationer löses lika lätt. Men DSolve klarar inte indata på vektorform, exempelvis , utan denna måste expanderas till sina koordinatfunktioner som DSolve sedan skedmatas med som en lista.

DSolve x '' t 5 t, y '' t x t Sin t , x t , y t , t

x t c2t c1

5 t³

6 , y t c₂t³ 6

c₁t²

2 c4t c3

7 t⁵ 12 t 5 t⁴

8 cos t sin t t cos t

Utan begynnelsevärden kommer det som vanligt ut lika många konstanter ci som vi har ordning på differentialekvationen. Man kan givetvis ta med begynnelsevärden för att få konstanterna bestämda. (BV) paketeras då som ekvationer, det vill säga med två likhet- stecken, tillsammans med (ODE) i en lista. Kom ihåg att en (ODE) är rik på lösningar. Olika val av (BV) ger vitt skilda lösningar på (BVP). Så i Mathematica är det bara att skicka in, se fig nedan, exempelvis begynnelsevärdesproblemet (BVP)

BVP x' t x t sin t ODE

x 0 2 BV

Då vi inte kan finna lösningen analytiskt, vilket naturligtvis är långt ifrån ovanligt ute i verkliga livet, finns funktionen NDSolve till vår hjälp för att göra en ren numerisk lösning. Utdata från denna är en InterpolatingFunction som kan verka lite märkvärdig innan man blivit vän med den. Den fungerar dock som vilken annan funktion som helst. För övrigt är den ett kraftfullt redskap om man vill göra interpolation i t.ex. mätdata. Som exempel kör vi en repris på begynnelsevärdesproblemet ovan. Det enda som skiljer i menyn jämfört med DSolve är att man, likt Plot, måste ange i vilket intervall man vill att spektaklet ska utspela sig.

Sedan jämför vi den fina överensstämmelsen mellan analytiska/numeriska lösningarna i en figur.

RulePlotLab DSolve x ' t x t Sin t , x 0 2 , x t , t ,

NDSolve x_N' t x_N t Sin t , x_N 0 2 , x_N t , t, 0, 5 , t, 0, 5

x txNt

1 2 3 4 5 t

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

Beroende på problemets dimension sjunker t ihop till x t , y t eller x t x t men fortfarande en vektor! Rörelse i enbart en koordinatriktning, exempelvis x t , brukar kallas rätlinjig rörelse. Viktigt att alltid arbeta i ett koordinatsystem, liksom dimensions- analys av ekvationer och svar.

I många fall är man inte primärt intresserad av x t och x t utan hastigheten som funktion av läget x x . Då är det mycket populärt att med kedjeregeln göra omskrivningen x ^x

t KR x x

x t

x

xx, vilket ibland leder till en separabel (ODE) i x x . I handräkningskurser används detta flitigt, eftersom det ofta är enda vägen fram. Men gör inte dé! Stanna i ursprungliga (BVP) med x t och DSolve!

Enklare och rikare lösning med t. När vi betraktar x t arbetar vi i tidsplanet och i fasplanet då x x . Vi får enkelt diagram i fasplanet med ParametricPlot.

I dyra mekanikböcker för tröttande handräkning brukar man slentrianmässigt räkna igenom ändlöst med differentialekvationer i syfte att meka ihop en formelsamling; x f1t , x f2 x , x f3t, x , x f4t , x f5t, x , x f5t, x, x f6t, x, x, zzz , där fi

är några vanliga funktioner som dyker upp i tillämpningar. Why, när vi har DSolve som klarar allt?? Vi tar några exempel istället!

Exempel Km2:Vi börjar enkelt med en vagn som tvingas röra sig längs x–axeln som funktion av tiden x t sin t , t 0, 2Π. Sök och rita läge, hastighet och acceleration som funktion av t.

Lösningsförslag: Först ett jordfast koordinatsystem som vanligt, här vid väggen. Sedan definierar vi rörelsen som en funktionen i Mathematica.

x t : Sin t

Slutligen ritar vi en grafer med kroppens läge, hastighet och acceleration som funktion av tiden. Observera återigen att Mathematica förstår vanlig ´-beteckning för derivata, x' t hastighet och x'' t acceleration.

RulePlotLab läge x t , hastighet x ' t , acceleration x '' t , t, 0, 2 Π

läge hastighet

acceleration

1 2 3 4 5 6 t

1.0 0.5 0.5 1.0

Ofta hör man att “arean under hastighetskurvan är den tillryggalagda vägen”, det vill säga integralen, där area räknas med tecken, är den tillryggalagda vägen. De flesta mekanikböcker skiljer sig inte så mycket åt när det gäller att uttrycka sig korrekt.

RulePlotLab hastighet x ' t , t, 0, 2 Π , Filling Axis

Enligt läges-kurvan är vi tillbaka där vi startade, eftersom x 0 x 2Π, så läget är detsamma. Däremot har vi varit ute på en liten rundtur som kan avläsas på trippmätaren vid hemkomsten, den så kallade tillryggalagda vägen. Vi kollar båda



0 2 Π

x ' t , Abs x ' t t 0, 4

Till sist en odramatisk resa i fasrummet.

ParametricPlot x t , x ' t , t, 0, 2 Π , AxesLabel "x t ", "x t ", PlotStyle Pink

1.0 0.5 0.5 1.0 x t

1.0 0.5 0.5 1.0 x t

Exempel Km3:Man har noterat läget x t för en motorcykel,

x t t² 0 t 10

20 t 100 t 10 .

Vi är intresserade av hastighet x t och acceleration x t .

Lösningsförslag: Först en jordfast koordinat där resan börjar. Läget är en styckvis definierad funktion. Höghöjdsträning är inte fel, så blir alla andra icke styckvis definierade funktioner så mycket enklare att “skriva in”. I Mathematica finns Piecewise som med pw

͓

x t : t² 0 t 10

20 t 100 t 10

Nu är det dax att derivera x t x t x t . Först läget x t som vi fått det beskrivet, sedan hastighet och slutligen acceleration.

RulePlotLab läge x t , t, 0, 30 ,

RulePlotLab hastighet x ' t , t, 0, 30 , PlotStyle Red , RulePlotLab acceleration x '' t , t, 0, 30 , PlotStyle Brown



läge

5 10 15 20 25 30 t 100

200 300 400 500

,

hastighet

5 10 15 20 25 30 t 5

10 15 20

,

acceleration 5 10 15 20 25 30 t

0.5 1.0 1.5 2.0



Arean under hastighets-kurvan stämmer bra med värdet som avläses i figuren för läget, ¹₂ 10 20 30 10 20 500.



0 30

x ' t t 500

Exempel Km4:En bil accelererar enligt x t a bt.

Sök läge x t och hastighet x t om x 0 d och x 0 v.

Lösningsförslag: Vi har direkt begynnelsevärdesproblemet (BVP) och dess lösning med DSolve enligt Fig 1 ovan. Lägg märke till självdokumenterande svar om vi behåller lösningen på regelform. Bra!

DSolve x '' t a b t, x 0 d, x ' 0 v , x t , t

x t 1

6^3 a t² b t³ 6 d 6 t v

Slutligen hastighet genom att derivera x t x t . D , t

x t 1

6^6 a t 3 b t² 6 v

Exempel Km5:En raketsläde rör sig längs ett rakt spår. Den startar från vila med konstant acceleration 10 m s². Efter 10 s börjar den bromsa in,retardation negativ acceleration, med 2 m s². Många ord att hålla reda på om man inte trivs med det vanliga vokabuläret för reella tal. Sök hastighet och läge När stannar den, och hur långt har den då hunnit?

Under tiden efter andra världskriget gjorde sig överste John P. Stapp, 1910–1999, berömd för att utsätta sin egen kropp för hundratals farliga experiment för att i militärt syfte utreda vilka påkänningar människokroppen tål. Mest känt är då han 1954 på en släde bromsades in från över 1000 km h till stillastående på 1.4 s Bilderna är från denna övning som bland annat gav honom problem med synen då blodkärlen i näthinnan blev skadade.

Lösningsförslag: Som föregående exempel, fast accelerationen varierar nu över tid enligt en styckvis definierad funktion. Med hjälp av problemtexten formulerar vi först (BVP) i ett jordfast koordinatsystem, och löser det enligt högra sidan i Fig 1 med DSolve.

DSolvex '' t  10 t 10

2 t 10, x 0 0, x ' 0 0, x t , t

x t 5 t² t 10

t² 120 t 600 True ^

Typiskt, vi kommer “ner” till läget x t . Hastigheten får vi genom att derivera med avseende på tiden.

D , t

x t

10 t t 10

100 t 10

120 2 t True



Sedan frågor till modellen. Tiden t är alltid spindeln i nätet som håller ihop t t t . Så först restid till stillastående. Frågor besvaras med Solve eller FindRoot, beroende på hur svåra ekvationerna blir.

T0 FindRoot x ' t 0 . D , t , t, 50 t 60.

Visst vill vi se några bilder på resan från start till stillastående.

RulePlotLab D , t, 1 , t, 0, t . T0 , PlotStyle 2 & 0, Red , 1, Blue , 2, Brown



x t

10 20 30 40 50 60 t 500

1000 1500 2000 2500 3000

,

10 20 30 40 50 60 tx t 20

40 60 80 100

,

10 20 30 40 50 60 t x t 2

2 4 6 8 10



Läge och hastighet då den precis ska börja bromsa, samt total körsträcka? Spara om möjligt alla resultat på regelform (Rule) så blir det självdokumenterande svar! Jämför fig ovan!

, D , t . t 10, . T0

 x 10 500

x 10 100 , x 60. 3000. 

Exempel Km6:En gepard startar från stillastående med konstant acceleration under de fyra första sekunderna. Den då uppnådda hastigheten 30 m s hålls sedan konstant. Sök hastighet och läge Hur långt har den hunnit då t 5 s?

Lösningsförslag: Givetvis formulerar vi gepardens övning som ett begynnelsevärdesproblem (BVP) i ett jordfast koordinatsystem och låter Fig 1 och DSolve lösa det. Tyvärr vet vi inte accelerationen under de första fyra sekunderna, även om den är lätt att räkna ut, så vi kallar den a och kör på! Som omväxling till Piecewise använder vi If.

DSolve x '' t If t 4, a, 0 , x 0 x ' 0 0 , x t , t

x t

a t²

2 t 4

4 a t 2 a True^

Lös ut a ur villkoret x 4 30. Visst besvaras frågor med Solve. Meka sedan in a i x t . Solve x ' t 30 . D , t . t 4 First

.

a 15 2^

x t

15 t²

4 t 4

4^{15 t}₂ 15 True^

Denna gång ritar vi i samma diagram för omväxlings skull Fungerar bra om funktionernas värdemängder är ungefär lika.

RulePlotLeg , D , t , t, 0, 5

1 2 3 4 5 t

20 40 60 80

x t x t

Slutligen svaret på frågan . t 5 x 5 90

Notera åter fördelen med att behålla Rule formatet! Vi får ett självdokumenterande svar x T svar.

Inte sällan har man ett (RV) vid någon ögonblicksbild som ska hjälpa till att bestämma någon konstant i modellen. Här är det a som bestäms av villkoret x 4 30. Som bekant kan vi inte ha med fler (BV) + (RV) än vi har “sparvar” i modellen. Ett trick jämfört med ovan är att betrakta konstanten a som en funktion a t redan från början. Då kan vi lägga till a' t 0 och få ett system av två (ODE) och därmed möjlighet att få med ytterligare ett villkor!

DSolve x '' t If t 4, a t , 0 , x 0 x ' 0 0, a ' t 0, x ' 4 30 , x t , a t , t Simplify

a t 15

2, x t 30 t 2 t 4

15 t²

4 True^

RulePlotLeg , D , t , t, 0, 5

1 2 3 4 5 t

20 40 60

80 a t

x t a t x t

Exempel Km7:En polisbil startar från stillastående för att ingripa mot en bilist som passerar med konstant fart 40 m s.

Polisbilen har konstant acceleration 2 m s²upp till 50 m s, därefter konstant fart. Sök tid, läge och hastighet då polisen hinner ifatt bilisten.

Lösningsförslag: Naturligtvis formulerar vi det som ett begynnelsevärdesproblem (BVP) i ett jordfast koordinatsystem och låter enligt Fig 1 DSolve lösa det. Låt både Polisen och Bilisten vara i origo vid tidens början. Tyvärr vet vi inte hur länge polisbilens accelerationsfas varar, så vi börjar med den.

DSolve xP'' t 2, xP 0 0, xP' 0 0 , xP t , t

xPt t²

Nu kollar vi hur mycket klockan är då polisbilen nått upp till 50 m s.

T50 t . Solve xP' t 50 . D , t First 25

Meka sedan ihop och lös (BVP) som besvarar frågorna.

DSolvexP'' t 2 t T50

0 t T50

, xP 0 0, xP' 0 0,

xB'' t 0, xB 0 0, xB' 0 40, xP t , xB t , t

xPt t² t 25

50 t 625 True , xBt 40 t

Så restid till ingripande. Frågor formuleras alltid som ekvationer. Kom ihåg att t är länken mellan x t , x t och x^.. t och kommer därför in naturligt som obekant.

Ti FindRoot xP t xB t . First, t, 60 t 62.5

Avslutningsvis har vi svaren på frågorna och en liten reseberättelse.

, D , t . Ti

xP62.5 2500., xB62.5 2500.

x_P 62.5 50, x_B 62.5 40

RulePlotLab , t, 0, t . Ti , RulePlotLab D , t , t, 0, t . Ti , PlotRange All



xPt xBt

10 20 30 40 50 60 t 500

1000 1500 2000 2500

,

xP t xB t

10 20 30 40 50 60 t 10

20 30 40 50



NDSolve x_P'' t If x_P' t 50, 2, 0 , x_P 0 0, x_P' 0 0,

x_B'' t 0, x_B 0 0, x_B' 0 40 , x_P t , x_B t , t, 0, t . T_i ; RulePlotLab , t, 0, t . T_i , RulePlotLab D , t , t, 0, t . T_i , PlotRange All



xPt xBt

10 20 30 40 50 60 t 500

1000 1500 2000 2500

,

xP t xB t

10 20 30 40 50 60 t 10

20 30 40 50



Exempel Km8:För en vagn har man noterat

BVP x t x t ODE

x 0 0, x 0 1 BV . Vi är intresserade av läge x t och hastighet x t .

Lösningsförslag: Först en jordfast koordinat där resan börjar. Accelerationen bestäms tydligen av läget. Skådespelet börjar i origo med hastigheten 1 m s då t 0. Det är bara att enligt Fig 1 peta in (BVP) i DSolve.

DSolve x '' t x t , x 0 0, x ' 0 1 , x t , t x t sin t

Vi känner igen lösningen som den vi studerade i Exempel Km2. Nu är det bara att rita x t och x t . RulePlotLab D , t, & 0, 1 , t, 0, 5

x t x t

1 2 3 4 5 t

1.0 0.5 0.5 1.0

Exempel Km9:En sportbilstillverkare begränsar prestandan för en av modellerna genom att styra bränsletillförseln vid full gas så accelerationen i varje ögonblick är proportionell med k 0.1 s ¹mot skillnaden mellan önskad toppfart 80 m s och aktuell fart. Starta från stillastående med gasen i botten.

a Formulera och lös BVP som bestämmer bilens läge x t . Rita x t och x t . b Vilket läge och fart har bilen efter 20 s ?

c Hur lång tid tar det till 50 m s och hur långt har den då kört?

Lösningsförslag: a) Ur texten vaskar vi fram en andra ordningens linjär (ODE) med (BV) för bilens läge. I Mathematica behöver man naturligtvis inte stuva om sin modell till någon standardform. Minst en felkälla mindre!

DSolve x '' t 0.1 80 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t First Simplify

x t 80. t 800. ^{0.1 t} 800.

Lite efterfrågade grafer. Alltid bra att ha och snegla på när kommande frågor b) och c) ska besvaras.

RulePlotLab , t, 0, 60 , RulePlotLab D , t , t, 0, 60 , PlotStyle Red



x t

10 20 30 40 50 60 t 1000

2000 3000 4000

,

x t

10 20 30 40 50 60 t 20

40 60 80



b) Så bilens läge och fart efter 20 s.

, D , t . t 20 x 20 908.268 , x 20 69.1732

c) Restid till 50 m s och tillhörande läge.

, D , t . Solve x ' t 50 . D , t First x 9.80829 284.663 , x 9.80829 50.

Exempel Km10:Barnen leker lite med husmusen. Ena änden av en gummisnodd fästes i stugväggen tillsammans med en liten bit läcker ost. Den andra änden där husmusen placeras hålles rakt ut från väggen i gummisnoddens fulla längd L. Så börjar det Samtidigt som husmusen släpps och börjar börjar springa in mot väggen med den konstanta hastigheten v relativt gummisnodden dras den fria änden av gummisnodden rakt ut från väggen med den konstanta hastigheten u relativt väggen. Hur lång tid tar det för den lilla husmusen att nå väggen och den hägrande ostbiten?

Lösningsförslag: Lägg in ett koordinatsystem x t med origo vid väggen. Musens position vid en godtycklig tidpunkt är alltså x t . Gummibandet töjs linjärt och dess hastighet ug relativt väggen vid x ges av likformiga trianglar ^u_u^g _{L ut}^x . Musens hastighet blir då

x

t ug v. Vi får direkt (BVP) och dess lösning.

DSolvex ' t u L u t

x t v, x 0 L, x t , t Simplify

x t L t u v log L t u v log L u

u ^

Musens restid till ostbiten.

TO Solve x t 0 . , t

t L ^{u v} 1

u ^

Men om barnen är snälla och låter u 0? Då får vi ⁰₀!!! Rätt svar borde vara ^L_v! Serieutveckla med Taylor kring u 0 taylor Series t . T_O 1 , u, 0, 0 . u 0

L v

Exempel Km11:Klockan 18.00 på julafton börjar tomtefar och nissarna den långa färden från Storstad hem till stugan. Låt koordinataxlarna ha enheten km så går tomtarnas resväg längs vägen y x ¹₃x x , x 0, 12 . Det har varit en jobbig dag för Rudolf som tröttnar så farten är 201 ₅₆₀^9s²km h när de kört sträckan s. Hur lång färdväg har våra vänner och hur mycket är klockan då de kommer hem?

Lösningsförslag: Vi börjar med resvägen S hem. Vi kommer ihåg “formel” för båglängd, så

S 

0 12

1 D

1

3x x , x

2

x 56

3

Sedan körd sträcka s t längs resvägen som ett (BVP).

DSolves ' t 20 1 9 s t

560

2

, s 0 0, s t , t

s t 560 t 9 t 28^

Slutligen restid.

Solve s t S . , t

t 4 3^

Det vill säga 1 h och 20 min efter 18.00, så de går i mål 19.20.

I klassiska mekanikböcker tycker man av tradition om att arbeta i olika baser. Hårdsmält materia! Höghöjdsträning på derivering av vektorer i diverse olika exotiska koordinatsystem. Man kan låta sig fascineras av hur svårt man kan göra enkla saker, sedan räcker det. Vi behöver ingen formelsamling för hastighet och acceleration i olika koordinatsystem! Grundidén håller, stanna i det vanliga rätvinkliga koordinatsystemet med läget t och projicera på andra riktningar om så önskas! Låt Mathematica jobba!!

En bra grundbult är att hastighetsvektorn t x t , y t , z t alltid är tangent till bankurvan t och pekar i parameterriktningen t.

Vi sammanfattar de vanligaste ON-systemen som brukar dyka upp i litteraturen, det vill säga koordinatsystem där basvektorerna är parvis vinkelräta (Ortogonala) och enhetsvektorer (Normerade).

x y

t

x y

r Θ

t

n

x, y, z Kartesiskt, vårt vanliga xyz–system.

r, Θ, z Polärtellercirkulärt 2D ,cylindriskt 3D .

t, n, b Naturligt tangent, normal och binormal ,

ttangentvektor som alltid är riktad i parameterriktningen,

nnormalvektor vinkelrät mot toch alltid riktad in mot krökningscentrum,

b t nkallas binormal. Definition så t, n, b bildar högersystem.

Läget t x t , y t , z t , hastigheten t x t , y t , z t och accelerationen t x t , y t , z t uttrycks alltid i det karte- siska. Om man vill projicera på något av de andra systemen måste först deras ortonormerade basvektorer bestämmas. Vi kommer ihåg att om en vektor har konstant längd, det vill säga i vårt fall oberoende av parametern t, så är den vinkelrät mot sin derivata.

Speciellt gäller det då för alla enhetsvektorer , ty _t1²  0 0 , med 1 vanligtvis. Så för att bestämma önskade basvektorer räknar vi som vanligt i 3D (vektorprodukt ;-) och följer kokboken;

r Samma riktning som t , så r t

t . I vårt språk t .

Θ Θ D r,t .

t Hastighetsvektorn t är alltid tangentvektor till banan t och pekar alltid i parameterriktningen, så t t

 t. I vårt språk ' t .

n Normalvektor vinkelrät mot t och alltid riktad in mot krökningscentrum, n D _t,t .

Teorin kring kurvor är omfattande och hör hemma inom det som i matematik kallas differentialgeometri. I en del framställningar används båglängdsparametern s t ₀^t t t, som är den körda sträckan längs banan. Avsikten är att uttrycka alla derivator ovan med avseende på s istället för t, vilket leder till lite enklare uttryck. Men, som synes vilar s på så det är ingen förenkling för oss.

Några begrepp som nämns ovan kan var nyttigt att känna till i mekanik och skådespelet utspelas då vanligtvis i det naturliga koordi- natsystemet. Det plan som går genom t och har b som normalvektor kallas det osculerande planet. I detta plan som “svänger”

fram med t ligger också ett hjul, osculerande cirkeln, som rullar fram på kurvan och utgör ett mått på hur mycket kurvan kröker eller svänger likt en vanlig väg. Det lite udda namnet kommer från vår kompis Leibniz som döpte det till “circulus osculans” som är latin och betyder ungefär “kyssande cirkel”, eftersom av alla möjliga tangentcirklar är det den som passar “bäst”. Osculerande cirkelns krökningsradie R t defineras av krökningen Κt _{R t}¹ . Verkar rimlig definition, rak väg betyder “oändligt” R och följaktligen ingen krökning. Krökningscentrum c är läget för centrum på den osculerande cirkeln och ligger alltid på “den sida av kurvan man svänger åt”, det vill säga i riktning n, så ct t R t nt . Ett mått på hur mycket kurvan vrider sig likt en skruv i färdriktningen, eller hjulet “svajar” för att följa vägens dosering, definieras av torsionen Τt .

Sammantaget kan man alltså se en kurva i rymden som en rak ståltråd vilken man böjer (krökning) och vrider (torsion) fram till önskad form. De två återstående planen kallas normalplanet och rectifying plane (inget bra svenskt namn) vilka har t respektive n

som normalvektor. Egenskaperna krökning och torsion som nämns ovan är lite omständiga att härleda, så de kommer här direkt Κt ^{' t}_{' t}^{'' t}₃ Τt ^{' t}_{' t}^{'' t}_{'' t}^{''' t}₂

Låt oss testa på något enkelt, exempelvis en cirkel med radien R

Κ t : ' t '' t

' t ³

; Τ t : ' t '' t . ''' t ' t '' t ²

t R t

R cos t , R sin t , 0

Så krökning och torsion Κ t , Τ t

1 R, 0

Verkar ju ok! Krökningen konstant ¹_R och torsionen noll, det räcker ju att böja tråden till en cirkel. Motsvarande resultat för en vanlig funktion i 2D, y f x , får vi lätt med en parametrisering till vektorform x x, f x , 0 och sedan låta Mathematica jobba. Som väntat är det bara att böja i 2D, behövs ingen torsion.

x x, f x , 0 ; Κ x , Τ x

 f x

f x² 1^{3 2} , 0

Avslutningsvis en liten reseberättelse från ett hjul på turné längs kurvan y f x , med en repetion av tangentvektor, hastighetsvek- tor, som alltid pekar i parameterriktningen, normalvektor som är vinkelrät mot tangentvektorn och alltid pekar “inåt” i kurvan mot krökningscentrum , centrum för den osculerande cirkeln (hjulet). Så man “svänger” alltid lokalt vid varje tidpunkt längs en cirkel- båge när man är ute och åker på en väg.

y f x

2 4 6 8 10 x

2 1 1 2 y

Exempel Km12:En horisontellt roterande arm innehåller en hylsa P vars radiella läge kontrolleras av en skruvanordning, se figur. Låt r t ochΘt och studera hylsans liv i det kartesiska och polära systemen

Lösningsförslag: Planpolära koordinater, som tillåter att radien varierar med tiden, r t . Först tar vi en titt på läge, hastighet och acceleration i vårt vanliga kartesiska xyz-system som vi “alltid” arbetar i. Mathematica räds inte saftig symbolisk derivering.

t r t Θ t r t r

r t cosΘt , r t sinΘt , 0

' t

r t cosΘt r t Θ t sinΘt , r t sinΘt r t Θ t cosΘt , 0

'' t

r t cosΘt 2 r t Θ t sinΘt r t Θ t sinΘt r t Θ t² cosΘt , r t sinΘt 2 r t Θ t cosΘt r t Θ t cosΘt r t Θ t²sinΘt , 0

Sedan det polära systemet r, Θ. Skriv dem som enkla e, så inte våra nyttiga funktioner körs över!

er t

cosΘt , sinΘt , 0

eΘ D er,t

sinΘt , cosΘt , 0

Slutligen projektion av de kartesiska vektorerna på det polära systemets basvektorer, så har vi komponenterna i r, _Θ Det räcker med lågbudgetprojektion eftersom 1. Vi behöver ingen formelsamling! Bara Mathematica och “Computational Thinking”!

rΘ ' t .er, ' t .eΘ Simplify r t , r t Θ t

rΘ '' t .er, '' t .eΘ Simplify

r t r t Θ t², 2 r t Θ t r t Θ t

Att projektionerna ovan är sunda inser vi efter att dragit oss till minnes koordinattransformation från kurs i linjär algebra. För en sådan gäller att , där en vektor i det “gamla” systemet, en vektor i det “nya” och transformationsmatrisen, vars kolonner är basvektorerna i det “nya” systemet uttryckt i det “gamla”. Om dessa är ortonormerade så är en ortogonal matris och då gäller att

1 , vilket gör det “billigt” att gå mellan systemen. I vårt fall är det “gamla” det vanliga xyz-systemet som vi alltid räknar i och det “nya” något av de exotiska systemen ovan. Det är med andra ord ¹ som gäller för att överföra våra storheter till dessa. Vi noterar att då innehåller de “nya” basvektorerna som rader, vilket passar utmärkt för att möblera den i Mathematica och uttrycken ovan är bara en expanderad form, exempelvis rΘ ' t .er, ' t .eΘ er, eΘ . ' t . ' t , vilket alltså är en matris-vektor multiplikation. I 3D är det bara att hänga på sista basvektorn ez. Eftersom matrismultiplikation passar utmärkt för att hantera flera högerled (kolonner) tar vi rΘ och rΘ en gång till parallellt, med svaret på kolonnform som det egentligen anstår en vektor! Jämför ovan!

er, eΘ . ' t , '' t Simplify r t r t r t Θ t²

r t Θ t 2 r t Θ t r t Θ t

Till slut några grafer under de första sekunderna av skådespelet, om Θt 0.2t 0.02t²och r t 0.2 0.04t².

P t r Cos Θ , Sin Θ . r 0.2 0.04 t², Θ 0.2 t 0.02 t³;

Vi har läge, hastighet och acceleration för hylsan i vårt vanliga x, y, z -system.

Grid ParametricPlot P t , t, 0, 5 , PlotStyle Red, Thick , GridLines Automatic, GridLinesStyle GrayLevel 0.7 , AxesLabel x, y ,

Epilog Text "t " ToString , P , Background White & Range 0, 5 , RulePlotLab Thread xP' t , yP' t , xP'' t , yP'' t

Flatten P' t , P'' t , t, 0, 5 , Spacings 5

1.0 0.5 x

0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 y

t 0t 1 t 2 t 3 t 4

t 5

xP t

yP t yP t xP t

1 2 3 4 5 t

2 1 1

Ett ofta använt specialfall är cirkulär rörelse i planet. Här handlar det om rörelse i det polära systemet r, _Θ med r konstant. Då sammanfaller det polära systemet med det naturliga t, n. Antingen kan vi göra om exakt samma härledning vi nyligen gjort ovan med r t r, eller så lånar vi bara slutresultaten och mekar in alla tidsderivator av r till noll. Mathematica é duktig!

rΘ . r t r, r ' t 0, r '' t 0 0, rΘ t

rΘ . r t r, r ' t 0, r '' t 0

 rΘ t², rΘ t

Vi sammanfattar cirkulär rörelse i planet. Med r konstant är r r 0 och , ty 0 _tr² _t 0. Lägg märke till begreppet centripetalacceleration rΘ² r riktad in mot centrum. Det är detta man kanske menar när man pratar om en utåtriktad centrifugalkraft i radiell riktning, vilken inte finns.

t r r

t rΘ _Θ

t rΘ² r rΘ _Θ

speciellt med Θt Ω konstant

t r r

t rΩ _Θ

t rΩ² _r v rΩ ^v_r² _r

Θ r

r Θt

x y

Många problem i kinematik löses smidigt med en kombination av geometri och derivering (eller implicit dito)! Använd ett jordfast koordinatsystem och ställ sedan upp geometrin statiskt vid godtycklig tidpunkt t, derivera med avseende på t, så tar matematiken hand om att generera rörelseekvationen med tecken och allt!!

Håll koll (ingen nackdel ;-) vid modelleringen på allt som ska variera med t, och definiera dem som funktioner, [t], derivera sedan med '[t] eller D. Vid implicit derivering av ekvationer är det naturligt D som gäller, undvik absolut Dt. Om man är konsekvent med tecken på indata enligt koordinatsystemet kommer även utdata, resultat, med rätt tecken! Mycket smidigt!

Geometrin är ofta enkel, Pytagoras sats, likformiga trianglar eller lite trigonometri.

Exempel Km13:Ett flygplan flyger på konstant höjd h med farten v. Det passerar rakt ovanför O då t 0. För att styra radarn behöver man vetaΘ, Θ,Θ, r, r och r som funktion av tiden t.

Lösningsförslag: Ställ upp geometrin för en (statisk) ögonblicksbild vid godtycklig tidpunkt och sedan derivera fram dynamiken!

Först Θ med rätvinklig triangel tanΘ ^y_{x vt}^h.

Θ t : ArcTan h v t



Θ t , Θ ' t , Θ '' t Simplify

tan¹ h

t v , h v

h² t²v², 2 h t v³

h² t²v²²



Va? Enklare kan det inte bli! Så nu en repris för r och annan tillämpning på geometri i rätvinklig triangel, nämligen Pytagoras sats r² x² y² r x² y² vt² h² .

r t : v t ² h²

r t , r ' t , r '' t Simplify

 t²v² 1 , t v² t²v² 1

, v²

t²v² 1^{3 2}



Exempel Km14:En kolv drivs av en vevsläng enligt figur. Sök kolvens hastighet och acceleration som funktion avΘ,ΘochΘ.