AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ
Avdelningen för elektroteknik, matematik och naturvetenskap
Taluppfattning
En studie om hur fyra lärare på en skola arbetar för att stödja varje elevs taluppfattning
Josefine Ehn 2021
Examensarbete, Avancerad nivå, 30hp Matematik
Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3
Handledare: Mikael Cronhjort Examinator: Yukiko Asami Johansson
Sammanfattning: Taluppfattning är ett tänkande och en färdighet som utvecklas med hjälp av erfarenhet och kunskap. Taluppfattning är grunden till all matematik och nödvändigt kunnande för elevens fortsatta matematiska progression. Studiens syfte är att undersöka hur fyra lärare på en skola arbetar för att stärka och utveckla varje elevs talförståelse. Vidare är syftet att synliggöra vilka metoder lärarna använder när en elev har svårt att förstå och
använda tal. I undersökningen används kvalitativa intervjuer av semistrukturerad karaktär och informanterna är lärare som undervisar i matematik i årskurs F-2. I analysen används Gelman och Gallistels fem räkneprinciper som ramverk och resultatet sätts även i relation till John Deweys lärteori. Studiens resultat visar att lärarna har mycket god kännedom om
talförståelsens betydande roll för elevens fortsatta matematiklärande. De låter arbetet med taluppfattning ta tid samt använder varierade undervisningsmetoder ofta med konkret material som stöd.
Nyckelord: matematik, matematikundervisning, räkneprinciper, taluppfattning, årskurs F-1
Innehållsförteckning
1 INLEDNING ... 1
1.1 Bakgrund ... 2
1.1.1 Skolan som studien baseras på ... 2
1.1.2 LGR 11 ... 2
1.1.3 Nationellt kartläggningsmaterial i matematiskt tänkande i förskoleklass ... 3
1.1.4 Nationellt bedömningsstöd i taluppfattning ... 4
1.2 Litteraturgenomgång ... 5
1.2.1 Vad är god taluppfattning? ... 5
1.2.2 Vikten av god taluppfattning ... 6
1.2.3 Undervisning med fokus på taluppfattning ... 7
1.2.4 Svårigheter och missuppfattningar ... 8
1.2.5 Elevanpassad matematikundervisning ... 9
1.2.6 Konkret material som stöd ... 10
1.2.7 Teoretiskt perspektiv ... 12
1.2.8 Gelman och Gallistels fem räkneprinciper ... 13
1.3 Syfte och frågeställningar ... 15
2 METOD ... 16
2.1 Urval ... 16
2.2 Datainsamlingsmetoder ... 16
2.3 Procedur ... 17
2.4 Databearbetning ... 18
3 RESULTAT ... 20
3.1 God taluppfattning ur ett lärarperspektiv ... 20
3.1.1 Lärarnas definition av Gelman och Gallistels fem räkneprinciper ... 21
3.2 Undervisning med fokus på taluppfattning ur ett lärarperspektiv ... 21
3.2.1 Praktisk användning av Skolverkets bedömningsstöd ... 23
3.3 Undervisningsmaterial som lärarna valt att arbeta med ... 23
3.3.1 Konkret material som används på skolan ... 24
3.4 Elevanpassad matematikundervisning med fokus på extra stöd ur ett lärarperspektiv .. 25
4 DISKUSSION ... 28
4.1 Sammanfattning ... 28
4.2 Tillförlitlighet ... 30
4.3 Teoretisk tolkning ... 31
4.4 Slutsats ... 35
4.5 Förslag till praktisk tillämpning och fortsatt forskning ... 36
REFERENSER ... 37
BILAGOR ... 40
1 INLEDNING
Jag har under hela min skolgång haft svårt för matematik och när det blev dags för betyg fick jag redan från början stämpeln att vara en typisk 2: a (betyg 2 enligt det dåvarande relativa betygssystemet). På grund av att jag visste var jag befann mig ansträngde jag mig inte för att försöka få ett bättre betyg, det var ju ingen idé. Jag hade bra betyg i andra ämnen men brydde mig ändå inte om att reflektera över varför jag upplevde att matematik var så svårt. När jag flera år senare läste matematik på Komvux träffade jag en lärare som trodde på mig. Hon formade sin undervisning så att den kunde stödja min utveckling i förståelse och användning av tal. När jag slutligen lyckades få högsta betyg i alla tre matematikkurserna insåg jag vilken viktig roll en lärare har för sina elever. Jag förstod också att valet av undervisningsmetoder har en avgörande roll för förståelse och att ett skadat självförtroende som är djupt rotat faktiskt kan läkas när någon tydligt visar att hon/han tror på att du kan.
Jag tror att mitt matematiksjälvförtroende skadades redan i tidiga skolår (1980-tal).
Undervisningen bestod oftast av en genomgång vid tavlan som efterföljdes av enskilt arbete i övningsboken. När en elev inte förstod förklarade läraren på samma sätt igen och olika lösningar på problemen erbjöds aldrig. Jag minns att jag var rädd för att få ordet på
matematiklektionerna och lärde mig ganska snart att det inte var någon idé att fråga om jag inte förstod. Alternativa undervisningsmetoder som exempelvis laborativt material förekom inte.
Lyckligtvis har både synen på matematikundervisning och övrig undervisning förändrats sedan jag gick i skolan. Min nuvarande hemkommun har nyligen fått en fin utmärkelse som skolkommun vilket har gjort mig nyfiken. Jag vill veta hur dessa lärare arbetar med elevers taluppfattning, vad som avgör deras val av undervisningsmetoder och hur de stöttar elever som har svårt att förstå och använda tal.
Förhoppningsvis kan detta arbete hjälpa mig och andra lärare att lyckas med det mina grundskolelärare inte klarade av, att få varje elev att kunna förstå och använda tal.
1.1 Bakgrund
Det här avsnittet handlar om skolan jag valt till min undersökning, vad läroplanen säger om taluppfattning samt inkluderar en beskrivning av det bedömningsstöd som från och med år 2019 är obligatoriskt att använda i förskoleklass och i årskurs 1.
1.1.1 Skolan som studien baseras på
Skolan där jag genomförde min VFU i matematik arbetar på ett sätt som tilltalar mig mycket.
Det är en F-3skola med cirka 300 elever som arbetar med flexibla undervisningsgrupper i varje årskurs och har ämneslärare och mentorer i stället för traditionella klasser med en klassföreståndare. Basgruppssammansättningen modifieras efter behov (ca 2–3 gånger under elevernas 4 år på skolan) med syfte att möjliggöra trygghet och effektiv inlärning. De flexibla undervisningsgrupperna gör att alla lärare och elever inom årskursen möts och lär känna varandra. Lärarna följer elevgrupperna från årskurs 1 till årskurs 3 och undervisar alla elever i årskursen men endast i ett eller två ämnen. Detta innebär att lärarna inte behöver planera och genomföra så många olika lektioner i veckan utan bara lektioner som hör till det skolämne de undervisar i.
Jag upplever ett lugn, en trygghet och ett självförtroende bland lärarna på skolan. Arbetssättet ger lärarna möjlighet att involvera sig extra mycket i sitt ämne och ger dem förutsättningar att planera få men genomtänkta lektioner.
På skolan finns tre specialpedagoger, två av dem har svenska som specialområde och en av dem har specialiserat sig på matematik. Det finns även åtta fritidspedagoger som lärarna kan få extra hjälp av under lektionerna och fritidspedagogerna är även ute med eleverna på rasterna.
I ”Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet” (2019) står det vilka nationella kunskapskrav eleven ska ha uppnått i alla ämnen när hon/han slutar årskurs 3. På skolan har de brutit ner dessa kunskapskrav och delat upp dem på varje årskurs, vilket gör det lättare för lärarna att få med alla ämnesspecifika krav. I skolans kunskapskrav framgår det då tydligt för lärarna vad som ska hinnas med inom matematiken, exempelvis vad som ska göras under höstterminen i årskurs 1.
Eftersom detta arbetssätt tilltalar mig har jag valt denna skola till min undersökning. Skolan som ligger i södra Sverige har dessutom nyligen fått ett hedersvärt pris som skolkommun vilket gör det extra intressant för min undersökning.
1.1.2 LGR 11
Hösten 2018 blev förskoleklassen en obligatorisk skolform i Sverige. Det betyder att alla kommuner enligt Skollagen (SFS 2010:800) 9 kap. 12 § är skyldiga att erbjuda en plats i förskoleklass från och med det år barnet fyller sex år. Förskoleklassen utgår från samma värdegrund, uppdrag, övergripande mål och riktlinjer som de övriga grundskoleårskurserna,
men har även en egen del i läroplanen (Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, 2019).
Förskoleklassens matematikundervisning ska enligt läroplanen ”ta tillvara elevernas
nyfikenhet och ge dem möjlighet att utveckla sitt intresse för matematik och förståelse för hur matematik kan användas i olika situationer” (Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, 2019, s. 19).
Förskoleklassens del av läroplanen säger att ”undervisningen ska ta sin utgångspunkt i elevernas behov och intressen samt i det kunnande och de erfarenheter som eleverna tidigare har tillägnat sig, men också kontinuerligt utmana eleverna vidare genom att inspirera till nya upptäckter och kunskaper” (Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, 2019, s. 18).
I läroplanens centrala innehåll för ämnet matematik i årskurs 1–3 finns sju punkter som handlar om taluppfattning och tals användning:
Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning.
Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några kulturer genom historien.
Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur bråk förhåller sig till naturliga tal.
Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer.
De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer.
Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg. Metodernas användning i olika situationer.
Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar och uppskattningar.
(Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, 2019, .s. 56) I läroplanens del om skolans värdegrund och uppdrag står att undervisningen som bedrivs i skolan ”ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov” (Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, 2019, s.6) vilket betyder att läraren är skyldig att ge varje elev möjlighet och den förutsättning som krävs att utveckla god talförståelse.
1.1.3 Nationellt kartläggningsmaterial i matematiskt tänkande i förskoleklass
Hitta matematiken (Skolverket, 2019a) är ett bedömningsstöd som ska hjälpa lärare i
förskoleklass att kartlägga elevers kunskap i matematik. Materialet (Skolverket, 2019a) som från och med 1 juli 2019 blev obligatoriskt att använda på höstterminen i förskoleklass består
av fyra olika aktiviteter (mönster, tärningsspel, sanden/riset och lekparken) som ska genomföras i grupp.
Syftet är att med materialets (Skolverket, 2019a) hjälp utreda om någon elev är i behov av extra anpassningar eller särskilt stöd, men också uppmärksamma om någon elev behöver utmanas lite extra.
Eleverna genomför aktiviteterna på ett lekfullt sätt och får möjlighet att visa både nyfikenhet och intresse för det matematiska ämnet. Eleverna resonerar tillsammans med sina kompisar, provar idéer och löser problem med hjälp av matematik.
Tärningsspelet är den aktivitet som avser taluppfattning och eleven får möjlighet att bland annat föra en dialog om att:
Direkt känna igen antalen 1–6 utan att räkna
Känna igen och benämna siffrorna 1–6 och koppla till antalet
Visa förståelse för räkneprinciperna; ett-till-ett, kardinalitet och räkneordens ordning
Storleksordna tal
(Skolverket, 2019a, s. 2)
1.1.4 Nationellt bedömningsstöd i taluppfattning
Hitta matematiken (Skolverket, 2019a) innefattar en progression och relaterar till det
nationella bedömningsstödet i taluppfattning (Skolverket, 2019b) som tillämpas i årskurs 1–3.
Det nationella bedömningsstödet i taluppfattning (Skolverket, 2019b) är obligatoriskt i årskurs 1 men i årkurs 2 och 3 är det frivilligt.
Under höstterminen i årskurs 1 består bedömningsstödet (Skolverket, 2019b) av muntliga uppgifter medan vårterminen innefattar både muntliga och skriftliga övningar.
Syftet med bedömningsstödet (Skolverket, 2019b) är likt Hitta matematiken (Skolverket, 2019a) ett material som ska hjälpa läraren att identifiera elever som behöver extra anpassning eller extra utmaning. Bedömningsstödet (Skolverket, 2019b) fungerar även som stöd för uppföljning av elevers utveckling inom taluppfattning samt för att synliggöra eventuella missuppfattningar eller svårigheter som kan leda till att eleven inte kommer kunna nå kunskapskraven i årskurs 3.
I materialets (Skolverket, 2019b) lärarinformation förklaras att skälet till att det främst är elevernas taluppfattning som testas är att en god talförståelse är en förutsättning för den nästkommande matematikinlärningen.
Det nationella bedömningsstödet i taluppfattning (Skolverket, 2019b) grundar sig i Gelman och Gallistels (1986) räkneprinciper som beskrivs närmare i avsnitt 1.2.8. Både de muntliga och skriftliga övningarna är indelat i tre olika nivåer:
Lägre nivå (L)
Mellannivå (M)
Högre nivå (H)
(Skolverket, 2019b)
Mellannivån och högre nivån innefattar enligt bedömningsmaterialet (Skolverket, 2019b) en godkänd kunskapsutveckling.
1.2 Litteraturgenomgång
Det här avsnittet handlar om vad forskningen säger om god taluppfattning, om hur
undervisning med fokus på att förstå tal går till samt vilka svårigheter och missuppfattningar lärare kan stöta på i samband med matematikundervisning för yngre elever.
1.2.1 Vad är god taluppfattning?
Matematikdidaktiker och forskare i matematiklärande definierar god taluppfattning på lite olika sätt. McIntosh m.fl. (1993) skriver i sin artikel att god taluppfattning är när en person har tillräcklig förståelse för tal att han/hon funnit fungerande strategier att operera med dem.
God taluppfattning handlar enligt forskarna inte om ett enskilt kunskapsområde, utan är ett tänkande och en färdighet som tar form och utvecklas med hjälp av erfarenhet och kunskap.
Enligt McIntosh m.fl. är sättet barn förstår tal på mycket individuellt och det innebär att de också skapar sina egna strategier för hur de opererar med talen.
Camilla Björklund skriver i sin avhandling (Björklund, 2007) att barn kommer i kontakt med matematik långt innan skolåldern. Hon konstaterar att barn använder sig av matematiskt tänkande långt innan de har lärt sig räkna. Björklunds studie visar att små barn tidigt kan lägga märke till likheter och skillnader, exempelvis när de ställer sitt glas bredvid kompisens och konstaterar vem som fått mest mjölk. Studien visar även att små barn har förmågan att förstå olika samband, exempelvis mellan delarna i en helhet. Vid fruktstunden ber barnet om ett halvt äpple och ser när pedagogen delar det hela äpplet på mitten. Små förskolebarn kan även enligt Björklund med hjälp av sitt logiska tänkande para ihop saker, exempelvis duka ett bord med ett glas vid varje stol.
Björklund (2014) använder Gelman och Gallistels fem räkneprinciper när hon definierar taluppfattningsbegreppet. Hon framhåller att principerna utgör ett tillförlitligt verktyg när läraren ska göra en kartläggning av vad barn bör kunna tillämpa för att utvecklas inom matematiken.
Kilborn (1989) skriver att när ett barn har förmågan att konservera antal tar de det första steget mot god taluppfattning. Piaget (refererad i Kilborn, 1989) myntade begreppet
konservera antal i samband med sin forskning om barnets kognitiva inlärning och förmågan innebär att barnet insett kopplingen mellan frågan ”hur många?” och antalet i en mängd.
Piaget insåg att yngre barn ofta uppfattar att föremål som är större i storlek eller på grund av sin placering upptar större yta vara fler till antal än föremål som är mindre eller ligger tätt ihop. I linje med Piagets teori skriver Kilborn att barn som inte utvecklat förmågan att konservera antal kan heller inte gå vidare för att göra enklare beräkningar.
Bo Johansson har länge forskat om hur barn lär sig förstå matematik. I sin artikel (Johansson, 2005) skriver han om tre studier vars resultat visar att det finns ett positivt samband mellan att kunna skriva siffror på ett korrekt sätt och förstå aritmetiska problem. Johanssons studier visar
att det framför allt är när ramsräkning och sifferkunskap vävs samman som grunden för ordinaltalsförståelse skapas. (Ordinaltal är siffrorna i talraden vilka definieras utifrån sin placering i förhållande till de andra siffrorna i talraden.)
Enligt Johansson & Wirth (2007) är det räkneramsan som utgör grunden för sifferkunskap.
Författarna poängterar dock vikten av att vuxna ska vara medveten om att räkneramsan till en början saknar numerisk betydelse för barnet. Johansson och Wirth beskriver god
taluppfattning med hjälp av fem basfärdigheter. Eleven ska kunna; tillämpa spontan antalsuppfattning (subitize), ramsräkna, praktiskt kunna använda ramsräkning, känna förtrogenhet för sifferkunskap samt ha ordinaltalsförståelse.
Löwing (2008) definierar begreppet god taluppfattning med hjälp av följande punkter:
Förstå skillnaden och sambandet mellan tal och antal.
Kunna talens namn och uppbyggnad.
Förstå hur tal kan användas på olika sätt.
Behärska positionssystemet och förstå att siffrors plats i ett tal avgör dess värde (exempelvis ental, tiotal, hundratal).
1.2.2 Vikten av god taluppfattning
Enligt Heidberg Solem m.fl. (2017) är god talförståelse grunden till all matematik och en viktig kunskap för eleverna att ha innan de börjar räkna med addition och subtraktion. Löwing (2008) påpekar att både forskning och beprövad erfarenhet visar att de som saknar förståelsen för tal och dess egenskaper riskerar att få problem vid användning av tal. Johansson (2005) fann att god taluppfattningen har en avgörande roll för barnets fortsatta matematiska
utveckling. Vidare förklarar Johansson att elever som har problem med matematik i de senare skolåren ofta orsakas av att de har brister i den grundläggande taluppfattningen.
McIntosh m.fl. (1993) skriver i sin artikel att det är viktigare med en god talförståelse idag än vad det var förr. Med det menar McIntosh m.fl. att vi i nutidens tekniska tidsålder omges av en mängd olika siffror som vi behöver förstå för att inte verka ointelligenta. Det kan
exempelvis handla om tävlingar som avgörs med små enheter som tusendels sekunder eller statliga budgetar i biljoner dollar. Vi behöver även enligt McIntosh m.fl. kunna läsa av och förstå tabeller och diagram vilket kräver en god förståelse för siffror och siffrornas relation till varandra.
Björklund (2014) skriver om kognitiva områden som har en avgörande roll i barns matematikutveckling och den första, antalsuppfattning, har med taluppfattning att göra.
Björklund menar att om barnet inte har känslan för mängder som exempelvis fler eller färre, eller saknar förmågan att uppskatta och jämföra kommer det få svårigheter i sin fortsatta aritmetiska utveckling. Detta stöds även av Häggström m.fl. (2014) som tillägger att barnet redan i ett tidigt skede ska kunna se mönster, förstå hur tal kan delas upp och hur olika tal kan sättas samman för att senare kunna tillämpa svårare matematiska uträkningar.
Häggström m.fl. (2014) betonar vikten av att inte endast fokusera på kunskap om begreppen utan eleven bör även förstå relationerna mellan dem och kunna göra viktiga kopplingar till
tidigare erfarenheter och vardagssituationer. Vidare förklarar Häggström m.fl. att god taluppfattning bidrar till en utveckling av elevens flexibla tänkande inom matematiken.
Författarna menar att ju bättre talförståelse en elev har, desto lättare kan eleven hitta passande strategier när han/hon ska lösa avancerade matematiska uträkningar.
McIntosh (2008) poängterar vikten av att kunna räkna i steg (exempelvis två-skutt; 2, 4, 6 eller fem-skutt; 5, 10, 15 o.s.v.). Författaren förklarar att när barn får träna på att räkna i steg ökar förståelsen för talradens siffror och deras uppbyggnad vilket sedan blir en värdefull hjälp vid huvudräkning. Häggström m.fl. (2014) tillägger att även kunskapen om hur tal kan delas upp och förståelsen för relationer mellan tal bidrar till att kunna använda huvudräkning på ett snabbt och effektivt sätt.
1.2.3 Undervisning med fokus på taluppfattning
Barn som börjar förskoleklass har alla olika erfarenheter och kunskaper vilket innebär att det finns olika förutsättningar för att kunna uppfatta och förstå den undervisning som
tillhandahålls. Löwing (2004) betonar lärarens viktiga roll för elevens inlärningsprocess. Hon hävdar att för att kunna planera undervisningen måste en kartläggning av varje elevs aktuella kunskaper göras och för att lyckas med detta bör läraren känna till barns talutveckling.
Kilborn (1989) anser att lärare bör utgå från aktuell forskning om barns matematikinlärning för att förstå hur de bygger upp sitt matamatiska kunnande. I dagens mångkulturella klassrum är det enligt Löwing (2008) även viktigt att lärare känner till andra kulturers
talradsuppbyggnad. Löwing menar att läraren måste vara medveten om den variation som råder och ha förståelse för hur elever med svenska som andraspråk resonerar när det gäller taluppfattning.
Enligt Skott m.fl. (2010) är det dock inte tillräckligt att läraren har förståelse för barns lärande, det är enligt författarna också viktigt att läraren reflekterar över sina egna alternativ för att kunna stödja elevernas lärande. McIntosh m.fl. (1993) betonar vikten av att först analysera elevernas kunnande för att sedan utgå från resultatet vid planeringen och
genomförandet av matematiklektionerna. Det är enligt McIntosh m.fl. viktigt att läraren har förståelse för att en elev som är bra på att utföra skriftliga matematiska uträkningar inte nödvändigtvis har god talförståelse. Det kan enligt McIntosh m.fl. finnas en risk att eleven kopierat lärarens uträkningsmodell, men fortfarande saknar förståelsen för vad uträkningen egentligen innebär.
Både Löwing (2008) och Johansson och Wirth (2007) menar att god taluppfattning inte byggs av sig själv utan kräver både välplanerad undervisning samt uppföljning för att utvecklas.
Johansson (2005) betonar vikten av att ge eleverna en så bra grund som möjligt under de första skolåren för att de sedan ska kunna förstå matematiken ur ett bredare perspektiv.
Häggström m.fl. (2014) framhåller att läraren först måste se till att elevernas förståelse utvecklas men betonar också vikten av att även komma ihåg den värdefulla
färdighetsträningen som krävs för att befästa kunskapen.
I linje med pragmatismens teori om barnets lärande påpekar Twomey Fosnot och Dolk (2018) att inlärningen bör baseras på språk, lek och förståelse samt de anser även att läraren gärna
kan utnyttja vardagsrutiner för att skapa förståelse för tal. Twomey Fosnot och Dolk förklarar att det kan handla om närvarokoll, dagens datum eller i samband med att material delas ut.
Detta stöds även av Solhem m.fl. (2017) som menar att för att barn ska förstå varför vi ska lära oss matematik bör läraren sätta in siffror och tal i ett ”vardagligt sammanhang” (Solhem m.fl., 2017, s. 51). McIntosh (2008) skriver att läraren bör vänta med att undervisa om matematiska beräkningar och i stället börja med olika vardagsaktiviteter där barnen får tänka och resonera kring tal. Detta stöds även av Björklund (2014) som betonar vikten av att yngre barn bör få utforska matematiken i för dem betydelsefulla sammanhang.
Björklund (2014) anser att för att ge eleverna en god begreppslig grund bör pedagogen låta dem upptäcka former, mängder, mönster och förändringar och sen låta dem föra ett
resonemang om sina upptäckter. Detta stöds även av McIntosh (2008) som menar att för ökad förståelse ska det talade och skrivna språket samspela med varandra. McIntosh menar att när exempelvis muntligt uppåträkning och nedåträkning genomförs hjälper det hjärnan att
etablera känslan för talradens uppbyggnad. Häggström m.fl. (2014) tillägger att när eleven får delta i samtal om matematik får de både träna på att sätta ord sina egna metoder och lyssna på och lära av kamraternas strategier.
Häggström m.fl. (2014) beskriver undervisning med fokus på taluppfattning genom att ge några exempel. Ett exempel som författarna menar har en betydande roll för god
taluppfattning är att arbeta med ”tio-kamraterna” vilket innebär två tal som tillsammans bildar summan tio. Ett annat exempel som Häggström m.fl. använder är dubbleringskunskap vilket innebär att eleven lär sig summan av alla ”dubblor” (exempelvis 5+5 eller 7+7). Twomey och Dolk (2018) tillägger att när en elev behärskar dubbleringskunskap kan han/hon gå vidare med strategin ”nästan-dubblor” vilket betyder att eleven snabbt läser av summan av de tal som nästan är ”dubblor” (exempelvis 5+6 eller 5+4).
1.2.4 Svårigheter och missuppfattningar
Enligt McIntosh (2008) finns det några kända problematiska punkter inom taluppfattning som eleverna bör få förståelse för. McIntosh menar att läraren bör vara medveten om dessa
problem och planera undervisningen för att förekomma svårigheterna och reda ut eventuella missförstånd. ”Att känna igen och förstå de bakomliggande orsakerna till dessa svårigheter och missuppfattningarna hos enskilda elever är en del av lärarkompetensen…” (McIntosh, 2008, s. 2). McIntosh betonar vikten av insiktsfull och tydlig undervisning för att undvika eventuella missuppfattningar.
Ett exempel på en svårighet inom området kan enligt McIntosh (2008) vara att yngre barn ofta skriver siffror i omvänd ordning och skriver exempelvis 31 när de egentligen menar 13. Det är dock enligt McIntosh oftast ett övergående skede och behöver nödvändigtvis inte vara bevis på missförstånd.
Ett annat exempel som både Kilborn (1989) och McIntosh (2008) valt att synliggöra är att talnamnen kan vara en kritisk punkt för elever eftersom namnen på talen innefattar en något osystematisk struktur. McIntosh påpekar att läraren bör vara medveten om att talen mellan 11–19 kan innebära svårigheter särskilt för yngre barn eller barn med svenska som
andraspråk. Kilborn och McIntosh framhåller att talen 11–19 har en egen struktur som inte återkommer inom andra tiotal.
Kilborn förklarar att för det första skiljer sig elva och tolv språkligt jämfört med de andra talen mellan tretton och tjugo. Författaren påpekar att vi säger elva och tolv i stället för
”etton0” och ”tvåton” som egentligen borde vara logiskt eftersom vi säger tretton, fjorton, femton och så vidare.
Vidare förklarar McIntosh (2008) att talen 13–19 också skiljer sig från övriga tiotal. Vi säger talen 13–19 med entalet först och tiotalet sen i stället för ”tio-tre” och ”tio-fyra” som borde vara mer logiskt jämfört med talen 20 och uppåt. Från och med 20 används samma teknik för att bygga tal och vi säger först antalet tiotal och sen antalet ental när vi nämner dem vid namn (Kilborn, 2008).
Ett annat exempel som Kilborn (2008) valt att synliggöra är att även fjorton och arton kan vara problematiskt för yngre barn och barn med svenska som andraspråk eftersom de enligt mönstret egentligen borde heta ”fyrton” och ”åtton”.
Enligt McIntosh (2008) kan tiotalsövergångar räknas som något elever kan ha vissa
svårigheter med. Eftersom barn gärna följer mönster så borde det enligt McIntosh innebära att ”trettiotio” kommer efter trettionio. McIntosh anser att barn behöver övningstillfällen för att kunna skapa förståelse för talradens egenskaper.
1.2.5 Elevanpassad matematikundervisning
Enligt Löwing (2008) trodde lärare förr att elever inte var tillräckligt redo att lära sig matematik när de inte lyckades att förstå matematikundervisningen. Löwing skriver att forskare som exempelvis Gelman och Gallistel (1986) påstår att talutveckling inte har med mognad att göra. Löwing menar att rätt insats vid rätt tidpunkt kan justera de eventuella brister som uppstått i barnets utvecklingsprocess.
Enligt McIntosh (2008) är en av skolans viktigaste uppdrag att alla elever ska kunna utveckla god taluppfattning. McIntosh betonar att undervisningens mål ska vara att alla elever
utvecklar ingående kännedom om tal och antal samt känner trygghet i att operera med tal.
Lärare som undervisar i matematik måste enligt Grevholm (2014) kunna förklara på olika sätt så att alla elever förstår. Resonemanget stöds av Häggström m.fl. (2014) som tillägger att för att bäst kunna utveckla alla elevers förståelse av de matematiska begrepp och innehåll bör läraren använda olika uttrycksformer i sin undervisning. Matematiklektionerna ska enligt Häggström m.fl. (2014) inte bara innefatta mekaniskt räknande utan undervisningens fokus bör till största del handla om att skapa förståelse hos alla elever.
Även Skott m.fl. (2010) anser att lärarens fokus ska ligga på att skapa förståelse för tal och menar att varje enskild elev har rätt till sin individuella utvecklingsplan. Johansson och Wirth (2007) anser dock att den individuella undervisningen kan föra med sig vissa svårigheter.
Johansson och Wirth menar att läraren bör ha den kunskap som krävs för att förstå elevernas matematikutveckling för att lyckas skapa undervisning som passar alla elever.
Löwing (2008) varnar för att när den taluppfattning yngre barn byggt upp blir för självklar kan läraren ha svårt att uppfatta eventuella svagheter. Löwings studie (2004) visar att det är viktigt att göra en kartläggning av varje elevs kunskaper för att sedan kunna planera den fortsatta undervisningen.
Johansson och Wirth (2007) anser att läraren har lyckats med sund elevanpassad undervisning när hon/han efter en gemensam genomgång låter eleverna arbeta med nivåanpassade
uppgifter.
1.2.6 Konkret material som stöd
Den främsta anledningen till att barn har problem med att hantera tal är enligt Löwing (2004) att de saknar förståelse för talens uppbyggnad. Hennes studie visar att glappet i
kommunikationen mellan lärare och elev ibland kan vara för stort. Löwing anser att om elever ska kunna förstå kopplingen mellan teori och praktik måste de få möjlighet att praktisera sin kunskap. Löwing fann att konkret material kan fungera som en bro där läraren kan visa vad han/hon menar och eleven kan förstå vad läraren sagt.
Häggblom (2013) skriver att synen på undervisning med konkret material som stöd har förändrats på de senaste 30 åren. Idag förespråkar vi arbetsätt med eleven i centrum vilket enligt Häggblom innebär att eleverna själva, i par eller i grupp ska få möjlighet att laborera med och resonera om det aktuella materialet. Det skiljer sig enligt Häggblom från tiden när eleverna tvingades inta en passiv roll och titta på när läraren själv visade det konkreta materialet.
Konkret material heter manipulatives i USA vilket enligt Twomey Fosnot och Dolk (2018) signalerar föremål som kan hanteras med händerna. Twomey Fosnot och Dolk betonar vikten av att låta elever få laborera med konkret material i undervisningen vilket går i linje med pragmatismens resonemang. Enligt pragmatismens kunskapssyn är det genom handling eleven får den verkliga förståelsen (Liedman, 2017).
I linje med pragmatismen menar även McIntosh (2008) att det mest fördelaktiga lärtillfället är när eleverna får arbeta med utmaningar tillsammans med laborativt material och samtidigt föra diskussioner med varandra och med läraren. Att arbeta tyst i sin bok ger enligt McIntosh inte samma möjligheter som när eleverna för samtal och resonemang om det konkreta
material de laborerar med. McIntosh anser att lärare bör använda sin fantasi och hitta konkret material som passar det särskilda undervisningsområdet.
När elever arbetar med fler och färre eller mer och mindre kan läraren enligt Kilborn (1989) använda vilket material man vill eftersom det handlar om att göra jämförelser. Björklund (2014) tillägger att detta är en praktisk princip och läraren kan med fördel använda olika typer av material som finns i klassrummet, exempelvis pennor, suddgummi och gem.
Tallinjen
I samband med sin undervisning om sifferkunskap kan läraren enligt både McIntosh (2008), Löwing (2008) och Häggblom (2013) använda tallinjen som verktyg. Enligt Löwing kan eleverna få arbeta med följande punkter med tallinjen som konkret material som stöd:
Träna på talens namn och ordning
Räkna framåt och bakåt utgående från ett givet tal
Använda tallinjen som stöd när de räknar föremål
Addera från ett givet tal
Subtrahera från ett givet tal
(Löwing, 2008, s. 63)
Häggblom (2013) tillägger att eleverna även kan öva på att räkna stegvis (två-skutt, fem-skutt o.s.v.) med tallinjen som stöd och McIntosh (2008) skriver att läraren även kan använda en tallinje med luckor där eleverna får öva på att fylla i de tal som fattas. McIntosh påpekar att läraren även kan använda en hundra-kvadrat (även kallad hundramatta eller hundraruta) när man ska studera talens relationer samt visa det logiska system av vilket talen är uppbyggda.
Enligt både McIntosh (2008) och Häggblom (2013) går det även med fördel att använda en meterlinjal eller måttband som konkret material när eleverna arbetar med talens ordningsföljd, storleksordning samt inbördes relationer. Tallinjen är enligt Häggblom något som tillhör ett klassrum, men när eleverna jämför tallinjen med material som används i vardagen får de förståelse för matematikens användning.
Räkneknappar/Counters (”plockisar”)
Räkneknappar/counters kan se lite olika ut, några exempel på finns på Beta Pedagogs webbsida (Betapedagog, u.å). Materialet som Häggblom (2013) beskriver är genomskinliga runda plattor av plast vilka kan användas vid arbete med att dela upp tal, talmönster eller likhetstecknets betydelse.
McIntosh (2008) anser att räkneknappar även kan användas när eleven arbetar med
grupperingar och jämförelser men varnar även för att det kan finnas en risk med användandet av räkneknappar. Författaren förklarar att om elever använder räkneknapparna som stöd vid addition är risken att de även räknar den redan kända termen vilket McIntosh menar
ineffektiviserar additionen. McIntosh menar att läraren i stället ska visa eleverna den mer effektiva strategin ”störst först”. ”Störst först” innebär enligt McIntosh att eleven ska utgå från siffran med högst värde och addera den lägre (exempelvis 3+7, börja på talet 7 och lägg till 3 räkneknappar samtidigt som du räknar uppåt).
En annan risk med räkneknappar är enligt Twomey Fosnot och Dolk (2018) att elever räknar samma knapp fler än en gång.
Tiobasmaterial
Tiobasmaterialet är ett strukturerat konkret material som används vid arbetet med positionssystemet (Kilborn, 1989, McIntosh, 2008, & Häggblom, 2013).
Enligt McIntosh bygger vårt talsystem som härstammar från det hindu-arabiska talsystemet på att gruppera och räkna i tiotal. Häggblom (2013) förklarar att tiobasmaterialet som oftast är gjort av trä består av ental, tiotal, hundratal och tusental. Materialet kan med fördel användas som konkret material för att skapa förståelse för att samma siffra kan ha olika värde beroende
på vilken plats i talet det har (McIntosh, 2008). Det blir även enligt Kilborn (1989) tydligt att tomma platser markeras med 0.
McIntosh (2008) anser att en av tiobasmaterialets fördelar är att tiostaven är exakt tio gånger så stor som entalskuben och hundraplattan är tio gånger så stor som tiostaven. Detta gör enligt McIntosh det extra tydligt för eleverna att förstå både värde och samband mellan de olika talenheterna.
För att skapa en vardagskoppling i samband med positionssystemsarbetet kan läraren enligt Kilborn (1989) även använda pengar. En nackdel med att använda pengar kan enligt
Häggblom (2013) vara att våra mynt- och sedelvalörer upplevs något förvirrande. Om läraren endast använder enkronor, tiokronor, hundralappar och tusenlappar kan dock enligt Häggblom pengar användas i samband med positionssystemsarbetet.
En introduktionsfilm om tiobasmaterial finns på Youtube (Betapedagog, 2018).
Numicon
Numicon är en multisensorisk metod från Storbritannien som tagits fram i syfte att ge stöd åt grundläggande aritmetik (Wing & Tacon, 2007).
I Wing och Tacons (2007) artikel diskuteras användandet av Numicon i samband med matematikundervisning av barn med Downs syndrom. Författarna förklarar att metoden innebär att barn genom multisensorisk aktivitet ska lära sig förstå tal, antal och
talförhållanden. Wing och Tacon skriver att talblocken har olika färger och de passar även ihop, vilket innebär att barnet fysiskt kan kombinera siffror, se mönster och göra beräkningar.
Författarna betonar vikten av att barn ska få uppleva tal och antal på många olika sätt. Wing och Tacon menar att när barn fysiskt kombinerar och jämför mönster, ser effekterna av sina handlingar och pratar om vad de gör blir deras talförståelse gradvis säkrare.
En introduktionsfilm om Numicon finns på Youtube (Intervention Teacher, 2015).
1.2.7 Teoretiskt perspektiv
John Deweys lärteori
John Dewey framställs som en av de pedagoger som haft mest inflytande på skola och
utbildning under 1900-talet (Hartman m.fl. 2004). Dewey sympatiserade med pragmatismens idéer som växte fram under 1870-talet. Det centrala för denna teori är intresset för hur vi använder den kunskap vi tar till oss i vår vardag, det vill säga intresset för relationen mellan människan och dess omvärld (Säljö, 2017).
Dewey kritiserade det rådande skolsystemet som innebar att läraren skulle leda klassen längst fram i klassrummet och ge kunskap till eleverna (Hopkins, 2017). Eleverna fungerade som mottagare och det enda som krävdes av dem var att de skulle ta emot den information som läraren delade ut (Hopkins, 2017). Pragmatismen arbetade för en mer barncentrerad
pedagogik i skolan och ville föra in en praktisk användning av lärprocessen (Hartman m.fl., 2004). I linje med detta ansåg Dewey att eleven inte bara ska få höra eller läsa om en sak, utan på ett naturligt sätt även få uppleva sakerna (Hopkins, 2017). Eleverna måste få möjlighet att
pröva och experimentera och läraren ska enligt Dewey fungera som guide (Hartman m.fl., 2004).
John Dewey drev den progressiva utbildningsrörelsen som ansåg att lärare måste lära elever hur de ska tänka i stället för att utsätta dem för meningslösa memoreringsaktiviteter (Hopkins, 2017). Den progressiva utbildningen handlar om att den kunskap som eleverna ges i skolan måste vara av betydelse för det vardagliga livet (Hopkins, 2017). Eleverna ska få uppleva verkliga saker och aktiviteterna ska vara kopplade till elevernas livserfarenheter (Hopkins, 2017). Den progressiva läraren ska fungera som stöd i elevernas utveckling och förbereda dem för högre utbilning och arbete (Hopkins, 2017).
John Dewey använde praktiska projekt vilka gav eleverna möjlighet att genom aktivitet använda den kunskap de fått till sig (Hartman m.fl., 2004). Dewey ville att skolans uppgifter skulle aktivera elevens kreativa förmåga och kritiska tänkande. Elevens intresse ska vara utgångspunkt och läraren ska integrera och uppmuntra eleven till att tänka kreativt och att ifrågasätta världen omkring sig (Hartman m.fl., 2004).
Ett av Deweys största projekt kallas intelligent action och handlar om att tanke och handling bör ses som en enhet (Hartman m.fl., 2004). Dewey ansåg att teori och praktik alltid ska vara sammanflätade och han menade att båda delarna bör upplevas (Hartman m.fl., 2004). När praktisk och teoretisk kunskap smälts samman synliggörs ett bredare sammanhang och en djupare förståelse skapas (Hartman m.fl., 2004).
Uttrycket learning by doing som används flitigt än idag lär enligt Hartman m.fl. (2004) aldrig ha sagts av Dewey ordagrant, men visar ändå delvis vad han stod för. Enligt Hartman m.fl.
(2004) ansåg dock inte Dewey att handens pedagogik var tillräcklig. Eftersom vi lever i en omgivning som ständigt förändras betonade Dewey även vikten av att reflektera över sina handlingar (Hopkins, 2017). Det är först när en reflektion av handlingen skett och en insikt om att följande tillvägagångssätt antingen bör ändras eller bibehållas som ny kunskap kan bildas.
Enligt Hartman m.fl. (2004) ansåg Dewey att barn har en förmåga som han kallade för ”the Power to grow” (Hartman m.fl., 2004, s. 19). Dewey värnade om ”barnets rätt till fri utveckling” (Hartman m.fl., 2004, s. 31) och betonade vikten av att skolan ska ge det utrymme som krävs för att varje enskilt barn ska få växa och utvecklas.
Eftersom min undersökning handlar om vilka metoder lärare använder i sin
matematikundervisning för att alla elever ska kunna förstå och använda tal anser jag att John Deweys syn på kunskap och utbildning är viktig för min analys.
1.2.8 Gelman och Gallistels fem räkneprinciper
Studiens teoretiska ramverk utgår från Gelman och Gallistels fem räkneprinciper;
abstraktionsprincipen, ett-till-ett-principen, principen om talens stabila ordning,
antalsprincipen och principen om godtycklig ordning. Eftersom dessa fem räkneprinciper ligger till grund för Skolverkets bedömning (Skolverket, 2019a & Skolverket, 2019b) av god taluppfattning anser jag att de är viktiga för min studie om undervisning i matematik. I
följande avsnitt hämtar jag främst information från boken ”The child´s understanding of number” (Gelman & Gallister, 1986). Jag refererar även till böckerna Grundläggande aritmetik (Löwing, 2008), Tal och Tanke (Heiberg Solhem mfl, 2011) och Didaktisk
ämnesteori i matematik (Kilborn, 1989) eftersom jag också skriver hur principerna översätts och beskrivs på svenska.
I boken ”The child´s understanding of number” (Gelman & Gallister, 1986) beskriver de amerikanska forskarna Gelman och Gallistel barnets uppfattning om nummer och hur den uppfattningen utvecklas. I boken presenteras en modell som forskarna har utvecklat vilken bygger på fem grundläggande principer om barns talutveckling.
Kilborn (1989) anser att Gelman och Gallistels principer är centrala i varje barns
utvecklingsprocess. I enlighet med Kilborn menar även Löwing (2008) att de fem stegen innebär en viktig grund för att barn ska ha möjlighet att förstå och använda tal samt att lära sig matematik.
“The abstraction principle” (Gelman & Gallistel, 1986, s. 80).
Vi kallar det för abstraktionsprincipen vilket enligt Löwing (2008) kan liknas vid ordet subitizing. Heiberg Solhem m.fl. (2011) beskriver subitizing som en egenskap som innebär att barnet snabbt kan uppfatta skillnader och likheter mellan antal. Enligt Gelman och Gallistel innebär abstraktionsprincipen att barnet med endast ett ögonkast snabbt kan se skillnaden mellan en, två, tre eller fyra föremål. Det är en egenskap som enligt Gelman och Gallistel utvecklas i tidig ålder.
”The one-one principle” (Gelman & Gallistel, 1986, s. 77).
Enligt Löwing (2008) kallar vi denna princip för ett-till-ett-principen och den handlar om att barnet jämför antalet i två mängder med varandra. Genom att låta föremålen i den ena mängden bilda par med föremålen i den andra mängden och kan på detta vis avgöra om de innehåller lika många eller olika antal föremål (Gelman & Gallistel, 1986).
“The stable-order principle” (Gelman & Gallistel, 1986, s. 79).
Begreppet som översätts till principen om talens stabila ordning handlar om att barnen lärt sig siffrornas namn och ordningsföljd och att de gör en parbildning mellan räkneord och enhet (Löwing, 2008). Enligt Gelman och Gallistel är det inte säkert att barn som lärt sig
räkneramsan förstår räkneproceduren. Kilborn (1989) tillägger att principen innebär att de vet vilken siffra som kommer innan och efter.
“The cardinal principle” (Gelman & Gallistel, 1986, s. 79).
När barn behärskar antalsprincipen förstår de att det räkneord som nämns sist vid en uppräkning är det som anger antalet på den mängd de räknar. Det talet som representerar antalet i mängden heter kardinaltal (Gellman & Gallistel, 1986).
“The order-irrelevance principle” (Gellman & Gallistel, 1986, s. 82).
Enligt Löwing (2008) kallas denna princip för principen om godtycklig ordning. Gelman och Gallistel förklarar att när barn behärskar proceduren förstår de att det inte spelar någon roll i vilken ordning de räknar föremålen och de vet också att samma föremål inte får räknas fler gånger.
Enligt Gelman och Gallistel (1986) är ett-till-ett-principen, abstraktionsprincipen och principen om godtycklig ordning genetiskt ärvda, men för att barn ska kunna utveckla och använda dessa principer behöver de befinna sig i en omgivning där de kan praktiseras.
Barn som inte befinner sig i en omgivning där de kan använda sin numeriska förmåga saknar den nödvändiga grund som behövs för att utveckla god taluppfattning. Löwing (2008)
poängterar vikten av att läraren gör en kartläggning över var varje elev befinner sig i sin talutveckling för att tidigt kunna upptäcka eventuella brister.
Antalsprincipen och principen om talens stabila ordning är enligt Gelman och Gallistel (1986) inte genetiskt ärvda förmågor utan utvecklas i ett socialt sammanhang. Övning krävs och det är viktigt att barnen får möjlighet att träna och praktisera detta i skolan.
Ett-till-ett-principen, principen om talens stabila ordning och antalsprincipen beskriver enligt Gelman och Gallistel (1986) hur räkningsprocessen fungerar och de kallar dem för ”how-to- count principles” (Gelman & Gallistel, 1986, s. 80).
1.3 Syfte och frågeställningar
Eftersom undersökningen består av intervjuer med matematiklärare på en skola skildras resultatet ur ett lärarperspektiv. Undersökningens syfte är att belysa vilka metoder lärarna i förskoleklass och årskurs 1 på den aktuella skolan arbetar med avseende elevers
taluppfattning. Studien ska synliggöra hur de formar sin undervisning för att bemöta varje elevs förutsättningar och behov att utvecklas inom området. För att ta reda på detta avser undersökningen besvara följande frågor:
- Hur arbetar 4 lärare i förskoleklass och i årskurs 1 på en skola för att utveckla varje elevs taluppfattning?
- Vad använder lärarna för undervisningsmaterial?
- Vilka metoder använder lärarna när en elev har svårt att förstå och använda tal?
2 METOD
2.1 Urval
I studien deltar fyra matematiklärare på en skola i södra Sverige som vid intervjutillfället undervisar årskurs F-3. Enligt Bryman (2016) bör en kvalitativ studies forskningsfrågor styra valet av enheter eller individer och jag väljer i linje med Brymans målstyrda urval att
intervjua lärare med matematikundervisning som huvudsakliga arbetsuppgift. Skolan har nyligen fått ett hedersvärt pris som skolkommun vilket gör urvalet extra intressant för min undersökning.
På skolan finns totalt sex lärare som undervisar i ämnet matematik (fem kvinnliga lärare och en manlig lärare) och jag börjar med att prata med var och en. Jag berättar att mitt arbete handlar om grundläggande taluppfattning och att jag vill undersöka hur lärarna på denna skola arbetar för att stödja alla elevers utveckling inom området. Jag informerar dem om att studien ska bygga på intervjuer och frågar sedan om de kan tänka sig att delta i min undersökning varpå fyra av dem svarar ja. De fyra lärare som blir studiens kommande informanter är alla kvinnor och arbetar vid intervjutillfället i förskoleklass, årskurs 1 samt årskurs 2. Samtliga får dock information om att undersökningens fokus framför allt ligger på förskoleklass samt årskurs 1.
Enligt Vetenskapsrådet (2017) är det viktigt att alla eventuella personuppgifter behandlas på ett ansvarfullt sätt och eftersom de individuella intervjuerna ska spelas in måste särskilda forskningsetiska krav uppfyllas. Jag skickar därför ett informationsbrev (se bilaga 1) till de fyra lärarna som erbjudit sig att delta i min undersökning. Brevet innehåller information om arbetet och lärarna får möjlighet att ge sitt godkännande till att den kommande intervjun spelas in. Brevet ger även information om att inspelningen endast ska användas i
forskningssyfte och att de när som helst har rätt att återkalla samtycket till analys och användning av inspelningen.
Lärarna får även information om att materialet ska avidentifieras i samband med
transkriberingen. Det betyder att alla eventuella kopplingar mellan inspelning och persondata kodas och ingen kommer att kunna kombinera ett svar med en bestämd persons identitet.
Inspelningen, som först spelas in med hjälp av telefonens röstmemon, förs sedan över till ett USB-minne som i sin tur förvaras på ett säkert ställe, oåtkomligt för obehöriga. I samband med att inspelningen överförs till ett USB-minne raderas den från telefonen. USB-minnet kommer tillsammans med det transkriberade materialet i enlighet med offentlighets- och arkivlagstiftningen arkiveras på Högskolan i Gävle efter att studien färdigställts.
2.2 Datainsamlingsmetoder
Studien är en kvalitativ undersökning och bygger på individuella intervjuer med fyra lärare vars huvudsakliga uppgift är att undervisa i ämnet matematik.
Enligt Olsson och Sörensen (2011) är forskarens roll subjektiv i en kvalitativ studie och resultatet bygger på ett litet antal enheter eller individer. Syftet är enligt Olsson och Sörensen att koppla teori med verklighet och resultatet är djupgående till skillnad från den kvantitativa studien som leder till ett generellt och ytligt resultat.
Mitt syfte med undersökningen är att i linje med Olsson och Sörensens beskrivning av kvalitativ forskningsteknik skapa ett ”inifrån-perspektiv” (Olsson & Sörensen, 2011, s. 19).
Med detta menar författarna att forskaren och informanten får en närhet och ett ”jag och du förhållande” (Olsson & Sörensen, 2011, s. 19). Med hjälp av språket och berättandet gör forskaren en egen tolkning och resultatet blir därför något som forskaren känner närhet till vilket jag tycker passar min undersökning. Jag föredrar ett resultat och analys som består av ord i stället för statistik, tabeller och diagram.
Jag väljer en semistrukturerad intervjuform som enligt Bryman (2016) innebär att allmänt formulerade frågor används. När forskaren vill undvika att styra informantens svar ställs öppna frågor som kräver en beskrivande utläggning. Forskaren har sedan möjlighet att ställa följdfrågor om saker som uppfattas vara viktiga för studien (Bryman, 2016). Jag väljer i linje med Brymans förklaring att ställa öppna frågor som inleds med exempelvis; ”berätta hur...?”
eller ”kan du ge exempel på...? och försöker med hjälp av följdfrågor uppmuntra informanten att utveckla sina svar.
I en semistrukturerad intervju kan både frågor och frågornas ordningsföljd anpassas efter situationen, vilken enligt Eriksson-Zetterquist och Ahrne (2011) ger en bredare bild och kan leda till fler svar än i en intervju med detaljerade och standardiserade frågor. Anledningen till valet av den kvalitativa metoden med semistrukturerad intervjuform är att få veta så mycket som möjligt om informanternas syn på undervisningen och vad han/hon tycker är viktigt. Jag vill ha ett naturligt samtal där informanten ges möjlighet att styra ordningen och jag vill undvika att mina frågor leder intervjun och dess svar.
Jag väljer att spela in mina intervjuer för att sedan transkribera dem och enligt Bryman (2016) finns det många fördelar med denna metod. Dels menar Bryman att det är viktigt att höra nyanser, det vill säga på vilket sätt en person säger saker. En annan fördel med inspelade intervjuer är enligt Bryman att intervjuaren kan gå igenom sitt material flera gånger.
2.3 Procedur
De lärare som svarade ja till intervjun fick ett brev (se bilaga 1) som dels innehöll information om mitt examensarbete, men som också beskrev de forskningsetiska krav som gäller för studien (Vetenskapsrådet, 2017). Lärarna fick möjlighet att ge sitt samtycke till att intervjun spelas in vilket tre lärare gav sitt godkännande till. Den fjärde läraren önskade svara på intervjufrågorna via email.
För att de tre lärarna som skulle intervjuas muntligt skulle få möjlighet att fundera lite extra på svaren skickade jag först intervjufrågorna till dem via email (se bilaga 2). Eftersom jag valt att göra en semistrukturerad intervju undvek jag frågor på detaljnivå, däremot förberedde jag ett manus till mig själv med eventuella följdfrågor om det skulle behövas. Frågorna till
intervjun som genomfördes via email gjorde jag dock detaljerade så att läraren lättaren skulle förstå sammanhanget.
På grund av pandemin Covid-19 råder det under studiens gång speciella restriktioner på skolorna runt om i Sverige och till följd av detta genomför jag samtliga muntliga intervjuer digitalt. Intervjuerna spelas in på min telefon med hjälp av Röstmemon vilket är en app som kan användas vid olika inspelningar.
Efter varje intervju för jag över inspelningen till ett USB-minne och raderar dem från min telefon. USB-minnet förvarar jag i en skrivbordslåda på mitt hemmakontor och när studien är klar skickas den tillsammans med transkriberingen till Högskolan i Gävle för arkivering.
När intervjuerna är klara transkriberar jag dem, vilket innebär att jag gör en överföring av det talade språket till det skrivna språket (Bryman, 2016). Jag använder både transkribering och inspelning till min analys eftersom det enligt Bryman är viktigt för en kvalitativ studie att både höra vad och hur informanterna säger.
Intervjun som sker via email för jag över till samma USB-minne som de inspelade
intervjuerna finns på. Efter överföringen raderar jag e-mejlet från min inkorg. I samband med transkriberingen av de inspelade intervjuerna ger jag lärarna kodnamnen L1-L3 och läraren som intervjuas via email får kodnamnet L4. Läraren som får namnet L1 arbetar för tillfället i förskoleklass och lärare L2-L4 undervisar i skrivande stund elever i årskurs 1 och 2. Samtliga lärare som intervjuas får dock information om att mitt arbete främst handlar om
matematikundervisning för elever i förskoleklass och årskurs 1.
L1 undervisar matematik i förskoleklass och arbetar ett par gånger i veckan som resurs på en lärarkollegas svenskalektioner. De är alltid två lärare på L1s matematiklektioner. L2
undervisar endast matematik, hon har resurshjälp av en kollega en gång i veckan och tre gånger i veckan finns en fritidspedagog tillgänglig för att arbeta enskilt med elever som behöver extra stöd. L3 och L4 undervisar matematik och NO och de har båda resurshjälp av en kollega en gång i veckan.
2.4 Databearbetning
När det blir dags för mig att påbörja arbetets resultat-del börjar jag med att läsa intervjuerna i syfte att hitta passande teman. De teman som ska göra resultatdelen mer överskådlig ska också kunna kopplas till mina forskningsfrågor samt till tidigare forskning i min
litteraturgenomgång. Mitt syfte är också att all data från intervjuerna som är relevant för studien ska kunna passa ihop med de teman jag väljer.
Varje tema får egna rubriker och det första temat ger jag namnet God taluppfattning ur ett lärarperspektiv. För att ha möjlighet att kunna göra en rättvis tolkning av lärarnas
undervisningsmetoder behöver jag redovisa deras definition av vad god taluppfattning är.
Eftersom jag kommer att använda Gelman och Gallistels fem räkneprinciper som ramverk är det också relevant att redovisa vad lärarna vet om dessa principer. Jag ger därför denna del en underrubrik som jag döper till Lärarnas definition av Gelman och Gallistels fem
räkneprinciper.
Nästa tema får namnet Undervisning med fokus på taluppfattning ur ett lärarperspektiv. Den här delen kopplar jag till min första forskningsfråga och i samband med resultatanalysen kommer jag att använda John Deweys lärteori. Även detta tema får en underrubrik som lyder Praktisk användning av Skolverkets bedömningsstöd. I kapitlen 1.2.3 och 1.2.4 skriver jag om Skolverkets obligatoriska bedömningsstöd (Skolverket, 2019a; Skolverket, 2019b) och i denna del redovisar jag hur lärarna valt att använda kartläggningsmaterialet.
Det tredje temat ger jag rubriken Undervisningsmaterial som lärarna valt att arbeta med och kopplar det till min andra forskningsfråga. I det här avsnittet redovisar jag även exempel på det laborativa material som lärarna använder och det resultatet får underrubriken Konkret material som används på skolan.
Den sista delen som får rubriken Elevanpassad matematikundervisning med fokus på extra stöd ur ett lärarperspektiv kopplar jag till den tredje och sista av mina forskningsfrågor. Här redovisar jag vad lärarna gör när de märker att en elev har svårt att förstå och använda tal.
När jag bestämt vilka teman jag vill ha och varje tema fått en rubrik ger jag också varje tema en färg. För att lättare kunna sortera ut relevant data från intervjuerna färglägger jag delar av materialet med samma färg som temaområdet det passar ihop med. Detta gör det hela mer överskådligt och underlättar mitt resultatskrivande.
Efter skrivandet av resultatdelen gör jag en sammanfattning i syfte att plocka ut delar av resultatet som kommer bli relevanta för min diskussion. För att enklare kunna göra en sammanfattning färgmarkerar jag de ord och meningar i resultatet som jag önskar ta upp i diskussionsdelen.
I min resultatanalys använder jag Gelman och Gallistels fem räkneprinciper som teoretiskt ramverk. Med räkneprinciperna som stöd tolkar och jämför jag både lärarnas definition av begreppet god taluppfattning och deras planering av undervisning.
Med John Deweys lärteori som stöd redogör jag för de val av undervisningsmetoder lärarna berättar om samt kopplar teorin till läromedel de valt att använda. I min analys jämförs även undersökningens resultat med tidigare forskning.
