2 /g]Lindhard- Scharff Stopping power [MeV cm

Radioaktivitet

Ndt dN = − λ

∫

∫ _N ^N

^dN _N ^{= − λ t} ₀ ^dt

integreras ⇒ λ t

N N _{= −}

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ln 0

t

e λ

N N ⁼ ₀ ⁻

t λ t

λ R e e

λ dt N

R ⁼ dN ⁼ ₀ ^{− =} ₀ ⁻

Antal radioaktiva partiklar vid tid t

Sönderfallsfrekvens

Halveringstid: τ

T ⁼ ln λ 2 ⁼ ln 2 ^⋅

2 / 1 Bq = 1 sönderfall/s 1

Föreläsning 21

Antal partiklar som sönderfaller under tidsintervallet t till t + dt ges av

där N är antalet partiklar vid tiden t och λ är den i tiden

konstanta sannolikeheten att en partikel sönderfaller

under tidsintervallet (sönderfallskonstanten)

Radioaktiva sönderfall

He Y

X _Z ^A

Z A 4 2 ⁴ 2 +

→ ⁻ ₋

α -sönderfall

t.ex. ²³⁸ ₉₂ U ^{→ 234} ₉₀ Th ⁺ ₂ ⁴ He

Sönderfallsenergi: Q = ( M

– M

– M

⁾ c

Går till kinetisk energi hos sönderfallsprodukterna.

Hur mycket som går till α –partikeln kan beräknas från energins och rörelsemängdens bevarande.

Om en α –partikel bildas i kärnan binds den i en potential som är en kombination av

”kärnkraft” och Coulombbarriär.

För att sönderfalls-reaktionen skall ske

måste ^α –partikeln tunnla genom barriären.

β-sönderfall

I β-sönderfall bildas en e

eller en e

β-partikelns kinetiska energi

−

+

+

→ Y e X

A

Z 1

+

−

+

→ Y e X

A

Z 1

Egentligen bildas också en tredje partikel: neutrino

ν + +

→

Y e

X

A

Z 1

ν + +

→

Y e

X

A

Z 1

Exempel:

C →

N + e

+ ν

ν + +

→ C e

N

12 7

Q-värde:

e

: Q =( M

- M

) c

e

: Q = ( M

- M

-2 m

) c

M

och M

är atommassor.

I e

fallet är elektronmassan inräknad i M

.

I e

fallet till kommer både elektronen från X och e

γ-sönderfall

γ X X _Z ^A

Z A * → +

Som ett resultat av sönderfall kan vi få kärnor i exciterade tillstånd.

Dessa kan sedan ngenomgå ytterligare ett sönderfall där de deexciterar genom att sända ut en högenergetisk foton.

Exempel:

ν e

C

B ^{→ 12} ₆ * ^{+ − +}

12 5

γ C C ^{→ 12} ₆ ⁺

12 6 *

följt av

Naturlig radioaktivitet: Sönderfallsserier

Naturlig radioaktivitet: instabila kärnor som förekommer i naturen.

Fyra sönderfalls serier. Börjar med ett instabilt ämne med lång livstid, längre än senare i kedjan och slutar

i ett stabilt ämne.

Tvärsnitt

Betrakta ett antal mindre cirklar ritade på en krittavla.

Sannolikheten att föreläsaren träffar cirklarna med en pingisboll beror av cirklarnas och bollens gemensamma tvärsnittyta σ i förhållande till tavelytan A.

Tänk oss på samma sätt för neutronstråle mot en folie. Med n = antal kärnor per volymsenhet (kärnor/m

)

x = foliens tjocklek (så tunn att kärnorna inte skymmer varandra)

och σ = tvärsnittet för neutronens växelverkan med kärnan

En sträcka dx innehåller nA dx kärnor med total tvärsnittsyta σnA dx jämför med totalytan A . Antal

neutroner som reagerar dN jämfört med antalet inkommande neutroner N blir:

dx σ A n

dx nA σ N

dN _{= =}

−

Integreras från N

vid x =0:

∫

∫ _N ^N

^dN _N ^{= − n σ}

^{x dx} _N ^N ⎟⎟ ⎠ ^{= − n σ x}

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ ln

x σ

e n

N

N ⁼ ₀ ⁻ Linjära absorptionskoeffcienten μ = nσ (jmfr lab AM36)

Tvärsnitt σ mäts i enheten 1 b = 10 ^-28 m ^{2 (Barn)} Jmfr (kärnradie)

typiskt 10

m

Thin foil target

A σ

Tvärsnitt (forts)

Med R

inkommande partiklar per tidsenhet får vi antal reaktioner per tidsenhet:

x σ n A Ax R

σ R n

R ⁼ ₀ ⁼ ₀ Notera att R

/ A är antal partiklar per yt- och tidsenhet (flux) och nAx är antal kärnor i ”strålmålet”.

Exempel 1 : Inelastisk spridning av neutron mot xenon

neutroner Y

X U

U

n + ²³⁵ ₉₂ → ²³⁶ ₉₂ ^* → + +

( 4 b )

n Xe Xe

n + ¹²⁹ ₅₄ → ¹²⁹ ₅₄ ^* + σ =

Exempel 2 : Uran 235 tar upp en neutron och fissionerar (sönderdelas)

Ur figur ser vi att tvärsnittet är ca 10

b vid låga energier men minskar kraftigt med ökande energi. De låga energierna motsvarar energin för termisk rörelse för neutronerna vid rumstemperatur

eV T

k

E _{kin B} 0 , 04 2

3 ≈

=

Generellt gäller att i de material där neutroninfångning sker är tvärsnittet högst vid låga (termiska) energier.

I vissa material och för snabba neutroner dominerar elastiska kollisioner.

Dessa material kallas moderatorer. Exempel: bor, grafit och vatten.

T.ex. överförs maximal energi då neutronen frontalkolliderar med en proton i elastisk stöt.

Modereringstid i vatten för 1 MeV neutron, typiskt < 1 ms..

Fission

Betrakta reaktionen: a + X → Y + b ( kan skrivas X(a,b)Y )

Som alltid gäller att energi, rörelsemängd, rörelsemängdsmoment och laddning bevaras.

Dessutom bevaras antalet nukleoner (masstalet).

Betraktar vi energin gäller då (materialet X i vila): M

c

+ E

+ M

c

= M

c

+ E

+ M

c

+ E

Definition: Q = frigjord kinetisk energi

Om Q>0 avges energi. Exotermisk.

Om Q<0 krävs energi för reaktionen. Tröskelenergin E

är > |Q| pga att rörelsemängdens bevarande kräver att slutprodukterna får kinetisk energi.

( ) ²

_ _

_ )

( E E E M M M M c

Q = _{kin y} + _{kin b} − _{kin a} = _X + _a − _Y − _b

Fission

Betrakta nu n + ²³⁵ ₉₂ U → ²³⁶ ₉₂ U ^* → X + Y + neutroner

(Observerades av Otto Hahn, Lise Meitner och Fritz Strassmann.

Förklarades av Lise Meitner och Otto Frisch)

Livstid för

U

: ca 10

s. X och Y är fissionsfragment . n

3 Kr Ba

U

n + ²³⁵ ₉₂ → ¹⁴¹ ₅₆ + ⁹² ₃₆ + n 2 Sr Xe

U

n + ²³⁵ ₉₂ → ¹⁴⁰ ₅₄ + ⁹⁴ ₃₈ + n 3 Mo Sn

U

n + ²³⁵ ₉₂ → ¹³² ₅₀ + ¹⁰¹ ₄₂ + Exempel:

I medel bildas 2,5 neutroner vid fission.

Tillämpningar av kärnfysik

Fission (forts 1)

Modell för hur fissionen sker:

1.

U-kärnan fångar in en termisk neutron 2. 236U* bildas. Överskotts energin ger

häftiga svängningar.

3. 236U*-kärnans form distorderas vilket förstärks av Coulomb-repulsion mellan protoner i ”timglasets” två delar

4. Kärnan splittras i två delar samtidigt som flera neutroner sänds ut.

140

Xe

94

Sr

Fissions- fragmenten ligger över stabilitets- linjen. Därför avges lätt neutroner.

Q-värde

”Back of the envelope” ur figur 13.10:

141*8,0 + 92*8,5 – 236*7,2 ≈ 211 MeV Bättre värde: 208 MeV för n +

U Med atomvikt 235 g/mol ger 1 kg

U:

N=1 kg * (6,022·10

kärnor/mol)/(0,235 kg/mol)=

2,56·10

kärnor

E = NQ = 2,56·10

* 208 MeV = 5,32·10

MeV

≈ 2,4·10

kWh

n 3 Kr Ba

U

n + ²³⁵ ₉₂ → ¹⁴¹ ₅₆ + ⁹² ₃₆ +

Fission (forts 2)

I kärnkraftverk:

Naturligt uran

U: 99.3 %,

U: 0,7 %.

U fissionerar,

U tar upp n och går till

Pu eller

Np.

Måste därför anrikas för att öka halten

U till minst några %.

Multiplikationskonstanten K definieras som medelantalet neutroner från varje fission som ger upphov till en ny fission.

För att reaktionen skall fortgå krävs att K ≥ 1 ( K = 1, reaktorn kritisk).

Regleras genom konfiguration av bränsleceller, moderator och styrstavar, där de senare är gjorda i

material som effektivt absorberar neutroner.

Fusion

Bindningenergin för mycket lätta kärnor är mindre än för tyngre kärnor. Fusion skulle därför kunna avge energi.

) eV M 02 ,1 ( e

e

) MeV 42 , 0 ( e

H H

H

1

= +

→ +

= +

+

→ +

− +

+

Q γ

γ

Q ν

) eV M 02 ,1 ( e

e

) MeV 42 , 0 ( e

H H

H

1

= +

→ +

= +

+

→ +

− +

+

Q γ

γ

Q ν

) MeV 49 , 5 ( He

H

H

1

+ → + γ Q =

H +

H →

He + γ ( Q = 5 , 49 MeV )

) MeV 86 , 12 (

H H He He

He ^{3 4 1 1}

3 + → + + Q =

I solen: proton-proton-cykeln. Totalt 4

H ger

He och Q ≈ 26,7 MeV

Problem: För att reaktion skall kunna ske måste protonerna (och

He) ha tillräcklig energi för att komma igenom Coulomb-barriären (tunnling).

Energi fördelning n ( K ) i solen, sannolikheten att penetrera Coulombbarriären som funktion av kinetisk energi p ( K ) och k

T i solen.

k

T = 1,3 keV motsvarar temperaturen T = 1,5·10

K.

Coulomb-barriären är ca 400 keV ⇒ tunnling.

(Princip)

Fusion (forts)

Fusionsreaktor?:

Kräver hög temperatur för tändning.

2

H +

H kräver 4·10

K (35 keV)

2

H +

H kräver 4,5·10

K (4 keV) Dessutom hög jontäthet • tid.

Tokamaker:

Framtida: ITER klar ca 2015 i Frankrike

eller Japan.

Partiklars växelverkan med materia

Kunskap om partiklar växelverkan med materia viktig för att:

• kunna detektera dem

• avgöra skadlighet

• design av strålskydd

Alla möjliga växelverkningar i enlighet med deras tvärsnitt skall tas hänsyn till.

Tunga laddade partiklar (ej elektroner)

Muon momentum 1

10 100

Stopping power [MeV cm2/g] Lindhard- Scharff

Bethe-Bloch Radiative

Radiative effects reach 1%

μ

on Cu

Without δ Radiative

losses

0.001 0.01 0.1 1 10 βγ 100 1000 10⁴ 10⁵ 10⁶

[MeV/c] [ GeV/c]

100 10

1

0.1 1 10 100 1 10 100

[TeV/c]

Anderson- Ziegler

Nuclear losses

Minimum ionization

E_μc

μ

”Stopping power”

1/β ²

Minimum vid ca βγ=4 Logaritimiskt ökande

Laddade partiklar förlorar huvudsakligen sin energi genom jonisation och excitation.

Även elastiska kollisioner mot kärnor är av betydelse, speciellt vid så låga hastigheter att jonisationen minskar.

dE / dx beror av densiteten av elektroner i mediet, dvs materialets densitet.

Partiklar med hög laddning förlorar

snabbare sin energi (går som (laddning)

)

Växelverkan med materia (forts 2) Fotoner

Tvärsnitt för fotoners växelverkan med bly

p.e.: fotoelektrisk effekt (fotojonisation) coherent: Rayleighspridning

incoh: Comptonspridning

K

: parbildning mot kärnans fält

K

: parbildning mot atomära elektronernas fält nuc: fotonukleär absorption

Liknande effekter för de flesta ämnen.

Vid låga energier dominerar fotojonisation.

Vid energier en bit över 2 m

c

≈ 1,02 MeV dominerar parbildning.

Däremellan har Comptonspridning stor betydelse.

En inkommande fotonstråle med intensitet I

har efter en sträcka x i materialet dämpats till

x

e μ

I x

I ( ) ⁼ ₀ ⁻

där den linjära absorptionskoefficienten μ fås ur nσ där n är antal atomer per volymsenhet och

σ tvärsnittet per atom

Växelverkan med materia (forts 1)

Elektroner

Vid låga energier (< 1MeV) liknande förluster som för tunga laddade partiklar. Dock större statistisk

variation i räckvidden (”straggling”) och sprids lättare pga dess mindre storlek och massa vid samma energi.

Vid höga energier påverkas elektroner av det elektriska fältet kring atomerna och decellererar varvid den avger bromsstrålning. Vid höga energier är detta den dominerande energiförlusten för elektroner.

Energideposition från 200 MeV protoner i vatten Som en följd av energiförlusterna kommer

laddade partiklar att färdas en given sträcka innan de stannas upp.

Räckvidd (= range på engelska) ”Bragg”-kurva

Exempel : Jämför ^α -partiklar och protoner.

α har dubbelt så stor laddning, dessutom högre massa varför den färdas långsammare vid samma kinetiska energi. Dess räckvidd är därför bara ca 1/10 av protonens räckvidd vid

samma energi.

Enheter för doser

Absorberad dos mäts i Gy (gray) = 1 J/kg

Olika slags strålning har olika biologisk skadeeffekt för samma stråldos.

Skadligheten anges i Relativ Biologisk effekt (RBE).

Vi definierar: dosekvivalenten = absorberad dos x RBE

Mäts i Sv (sievert) = 1 J/kg

Kosmisk bakgrundsstrålning: 1 mSv/år

Gränsvärde för person som arbetar med strålning:

50 mSv/år men högst 100 mSv under 5 år

Tillämpningar av kärnfysik

Atomkärnan har ett inre rörelsemängdsmoment, ” kärnspinn ”, vilket vi betecknar med I. Spinnets storlek är . Detta kärnspinn är det totala rörelsemängdsmomentet från alla nukleoner, både från

banrörelsemängdsmoment och spinn.

Kopplat till kärnspinnet har kärnan ett gyromagnetiskt moment μ .

Kärnmagneton: 3 , 152 10 eV/T m

= protonmassan

2 = ⋅ ^{− 8}

≡ p

n q m e

μ ^h

-1,9135 μ

½ 939,57

neutron

2,7928 μ

½ 938.28

proton

Magnetiskt moment Spin

Massa (MeV/ c

) Partikel

Neutronen har trots att den är neutral ett magnetiskt moment Inre laddningsstruktur ⇓

) h

1

( + I

I

NMR och MRI

Den potentiella energin från en magnetisk dipol med moment μ i ett externt magnetfält B är - μ·B.

Skillnad i energi då μ upplinjerat med B är ∆ E = 2 μ·B . μ kommer att precessera kring B med

Larmor-frekvensen f

=∆ E / h (42,577 MHz för p i B =1T).

Genom ett svagt oscillerande magnetiskt fält med Larmor-frekvensen överlagrat vinkelrätt mot ett konstant magnetfält B kan man få dipolen att byta spinn-riktning, “spin-flip”.

Denna energiabsorption från det oscillerande fältet kan detekteras elektroniskt!

NMR = Kärnspinnresonans (Nuclear Magnetic Resonance).

Om man använder ett inhomogent, varierbart magnetfält B kan man åstadkomma att Larmor-frekvensen är olika på olika ställen i rummet.

Larmorfrekvensen varierar dessutom med kärnan. Väte, dvs protonen, ger en distinkt NMR-signal.

Detta används i MRI (Magnetic Resonance Imaging) på

svenska ofta MR ( magnetröntgen ) för at mha dator

få en bild av vävnadstäthet