April4,2005 AlexeiIantchenkoMalmöHögskolaSweden Resonansfenomenikvantmekaniken:Vadharresonanserförbetydelseförvårvärldsbild

(1)

Mål Innehåll Vad menar jag med resonanser? Vågekvationen Schrödingerekvation Betydelse Images from Eric J Heller gallery Scattering by obstacle Resonanser i lokalt periodiska system

Resonansfenomen i kvantmekaniken:

Vad har resonanser för betydelse för vår världsbild

Alexei Iantchenko Malmö Högskola

Sweden

<ai@ts.mah.se>

(2)

Mål

Syfte med denna föreläsning är att introducera

begreppet “resonans”

och

att övertyga er om att resonanser är en del av vår

verklighet.

Jag ska också ge exempel som visar hur resonanser

kan användas för att studera vår värld.

(3)

Mål

Syfte med denna föreläsning är att introducera

begreppet “resonans” och

att övertyga er om att resonanser är en del av vår

verklighet.

Jag ska också ge exempel som visar hur resonanser

kan användas för att studera vår värld.

(4)

Mål

Syfte med denna föreläsning är att introducera

begreppet “resonans” och

att övertyga er om att resonanser är en del av vår

verklighet.

Jag ska också ge exempel som visar hur resonanser

kan användas för att studera vår värld.

(5)

Mål

Syfte med denna föreläsning är att introducera

begreppet “resonans” och

att övertyga er om att resonanser är en del av vår

verklighet.

Jag ska också ge exempel som visar hur resonanser

kan användas för att studera vår värld.

(6)

Innehåll

Mål

Vad menar jag med resonanser?

Resonansfenomen

Resonanser som tidsavtagande tillstånd

Vågekvationen

Egenfrekvenser av en sträng, “normal modes” Laplaceoperator i ett kompakt område Decay due to escape to infinity.

Schrödingerekvation

Kvantmekaniska resonanser

Betydelse

Images from Eric J Heller gallery

Scattering by obstacle

Scattering by convex obstacle

(7)

Vad är Resonansfenomen?

Resonanser brukar associeras med Tacoma bridge krasch

http://www.pbs.org/wgbh/nova/bridge/meetsusp.html

(8)

Vad är Resonansfenomen?

(9)

Vad är Resonansfenomen?

(10)

Resonanser som jag betraktar har sitt ursprung i kvantmekanisk och elektromagnetisk vågspridning (scattering). De är relaterade till begreppet egenvärde.

Egenvärden av sjalv-adjungerande operatorer beskriver energier av bundna tillstånd, tillstånd med oändligt lång livstid.

(11)

(12)

(13)

Bundna tillstånd i Atom.

Eller rättare bild

(14)

Bundna tillstånd i Atom.

Eller rättare bild

(15)

(16)

Egenvärden existerar i verkligheten.

(17)

Egenvärden existerar i verkligheten.

(18)

States must decay!

Men oftast existerar inte tillstånd oändligt länge utan avtar exponentiellt då t → ∞ :

t ∞

Förfallet orsakas av dämpning eller möjligheten att kunna rymma ut. För att beskriva dessa mer realistiska tillsånd använder man resonanser.

(19)

States must decay!

t ∞

Förfallet orsakas av dämpning eller möjligheten att kunna rymma ut.

(20)

States must decay!

t ∞

Förfallet orsakas av dämpning eller möjligheten att kunna rymma ut. För att beskriva dessa mer realistiska tillsånd använder man resonanser.

(21)

Matematik.

(22)

Svängningar av sträng spänt mellan x = 0 och x = π.

x=0

Φ(t,x)

x=π x

Betrakta små svängningar hos en masshomogen elastisk sträng i ett plan och med fastspända ändpunkter.

Låt Φ(t, x) beteckna avvikelsen från jämviktsläget av punkten x på strängen vid tidpunkten t.

(23)

Svängningar av sträng spänt mellan x = 0 och x = π.

x=0 Φ(t,x) x=π x Vågekvationen (−∂_t2− P)Φ(t, x) = 0, P := −∂2 x Dirichlet randvillkor Φ(t, 0) = Φ(t, π) = 0.

Låt E vara egenvärde av P : Pu = Eu, u(0) = u(π) = 0, med egenfunktion u. Vi har E = λ2_{, λ = 1, 2, 3, . . . , u} λ(x ) = sin λx , λ/2π är strängens egenfrekvenser. 1 2π frekvensen av grundtonen, 2 2π, 3 2π, 4 2π, . . . , övertoner.

(24)

Svängningar av sträng spänt mellan x = 0 och x = π.

x=0 Φ(t,x) x=π x Vågekvationen (−∂_t2− P)Φ(t, x) = 0, P := −∂2 x Dirichlet randvillkor Φ(t, 0) = Φ(t, π) = 0. Låt E vara egenvärde av P : Pu = Eu, u(0) = u(π) = 0, med egenfunktion u. Vi har E = λ2_{, λ = 1, 2, 3, . . . , u} λ(x ) = sin λx , λ/2π är strängens egenfrekvenser. 1 2π frekvensen av grundtonen, 2 2π, 3 2π, 4 2π, . . . , övertoner.

(25)

Svängningar av sträng spänt mellan x = 0 och x = π.

x=0 Φ(t,x) x=π x Vågekvationen (−∂_t2− P)Φ(t, x) = 0, P := −∂2 x Dirichlet randvillkor Φ(t, 0) = Φ(t, π) = 0. Låt E vara egenvärde av P : Pu = Eu, u(0) = u(π) = 0, med egenfunktion u. Vi har E = λ2_{, λ = 1, 2, 3, . . . , u} λ(x ) = sin λx , λ/2π är strängens egenfrekvenser. 1 2π frekvensen av grundtonen, 2 2π, 3 2π, 4 2π, . . . , övertoner.

(26)

Harmonics.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 0 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 0 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 0 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 0 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 0 1

(27)

(28)

Svängande sträng

Lösningar till Vågekvationen (−∂_t2− P)Φ(t, x) = 0, P := −∂2 x (1) Dirichlet randvillkor Φ(t, 0) = Φ(t, π) = 0 är superposition av “normal modes” Φλ(t, x ) = aλeitλuλ(x ) :

Φ(t, x ) =

∞

X

λ=1

aλΦλ(t, x ).

(29)

Trummor.

Samma princip gäller för alla kompakta klassiska linjära oscillerande system som membraner, håligheter fyllda med elektromagnetisk strällning osv.

(30)

Trummor.

(31)

Trummor.

(32)

Mer trummor.

(33)

Mer trummor.

(34)

Matematik: vågekvationen i ett kompakt området

Låt Ω vara ett kompakt område i R3 _{med randen ∂Ω och}

P = −∆ = −P ∂xi. E ∈ σ(P) ⇔ Pu = Eu, E ∈ R, Z Ω |u|2_{dx < ∞, u} |∂Ω= 0 (2) Ω kompakt ⇔ 0 < E1≤ E2≤ . . . ≤ Ek→ ∞.

Spektrum är diskret (består av egenvärden). Låt λ =√E . Svängningar av Ω är superposition av “normal modes”

Φ(t, x ) =X

λ

(35)

Normal modes.

Även atmosfären och havet på Jorden, planeter och stärnor oscillerar enligt samma princip.

Med hjälp av egenvärden kan man studera det inre av t ex asteroider utan att behöva borra in!

(36)

Normal modes.

Även atmosfären och havet på Jorden, planeter och stärnor oscillerar enligt samma princip.

Med hjälp av egenvärden kan man studera det inre av t ex asteroider utan att behöva borra in!

(37)

Asteroider.

Om man kan mäta egenfrekvenser av en asteroid då kan man rekonstruera material asteroiden består av:

“Knowing the frequencies at which a body naturally wants to vibrate (normal modes) is one approach to reconstructing the interior geometry and material properties of an asteroid.”

(38)

Asteroider.

Om man kan mäta egenfrekvenser av en asteroid då kan man rekonstruera material asteroiden består av:

“Knowing the frequencies at which a body naturally wants to vibrate (normal modes) is one approach to reconstructing the interior geometry and material properties of an asteroid.”

(39)

States must decay!

Men ofta förekommer tillstånd som avtar med tiden: resonanstillstånd eller “quasi-normal modes”.

Ett spektakulärt exempel är att “man kan studera” svarta hål genom att analysera resonanser av gravitationsvågor från någon stor kollision (mellan svarta hål)!

http://www.solarsystem.com/gallery/blackholes.htm

(40)

States must decay!

(41)

States must decay!

(42)

States must decay!

(43)

Vågekvation i icke-begränsad område, resonanser.

Antag nu att ∂Ω har ett litet hål genom vilket akustiska eller elektromagnetiska vågor innanför Ω kan rymma ut.

Som t ex i Helmholtz resonator:

( From “On the Sensation of Tone”, 1877:

In the 19th century, the famous German acousticians Helmholtz used small glass and metal globes of different sizes to study sound.)

(44)

Vågekvation i icke-begränsad område, resonanser.

Antag nu att ∂Ω har ett litet hål genom vilket akustiska eller elektromagnetiska vågor innanför Ω kan rymma ut.

Som t ex i Helmholtz resonator:

( From “On the Sensation of Tone”, 1877:

In the 19th century, the famous German acousticians Helmholtz used small glass and metal globes of different sizes to study sound.)

(45)

Vågekvation i icke-begränsat område, resonanser.

I ett sådant icke-begränsad området har P inga egenvärden ⇔ problemet Pu = Eu, u_|_{randen = 0,} (4) där E ∈ R, har inga lösningar medR

området |u|2dx < ∞.

Istället för “normal modes” har man “quasi-normal modes” som har formen

eitλ−tΓu, Γ > 0,

där u satisfierar (4) med E komplext och u ∼ f (x /|x|)e

−i λ|x|+Γ|x|

|x| . Sådana tillstånd kallas resonanstillstånd och λ + i Γ ∈ C+resonans.

(46)

Vågekvation i icke-begränsat område, resonanser.

I ett sådant icke-begränsad området har P inga egenvärden ⇔ problemet Pu = Eu, u_|_{randen = 0,} (4) där E ∈ R, har inga lösningar medR

området |u|2dx < ∞.

Istället för “normal modes” har man “quasi-normal modes” som har formen

eitλ−tΓu, Γ > 0,

där u satisfierar (4) med E komplext och u ∼ f (x /|x|)e

−i λ|x|+Γ|x|

|x| . Sådana tillstånd kallas resonanstillstånd och λ + i Γ ∈ C+resonans.

(47)

Resonanstillstånd

Φ(t, x ) = eitλ−tΓu, u ∼ f (x/|x |)e

−i λ|x|+Γ|x|

|x| , Γ > 0, beskriver utgående vågor som avtar exponentiellt då t → ∞.

Realdelen av resonans λ + i Γ beskriver vågfrekvensen (rate of oscillation), imaginärdelen Γ > 0 beskriver “livslängd” (rate of exponential decay).

Om hålet i ∂Ω är litet då Γ är litet och resonanstillstånd existerar lång tid. Resonanser ersätter egenvärden för icke-kompakta områden.

(48)

Resonanstillstånd

−i λ|x|+Γ|x|

Realdelen av resonans λ + i Γ beskriver vågfrekvensen (rate of oscillation), imaginärdelen Γ > 0 beskriver “livslängd” (rate of exponential decay). Om hålet i ∂Ω är litet då Γ är litet och resonanstillstånd existerar lång tid.

(49)

Resonanstillstånd

−i λ|x|+Γ|x|

Realdelen av resonans λ + i Γ beskriver vågfrekvensen (rate of oscillation), imaginärdelen Γ > 0 beskriver “livslängd” (rate of exponential decay). Om hålet i ∂Ω är litet då Γ är litet och resonanstillstånd existerar lång tid.

(50)

Resonanser i kvantmekaniken

Kvantmekaniken beskriver mikroskopiska system.

Till exempel elektroner i en molekul.

Resonanser beskriver tillstånd med ändlig livslängd.

(51)

Resonanser i kvantmekaniken

Kvantmekaniken beskriver mikroskopiska system.

Till exempel elektroner i en molekul.

Resonanser beskriver tillstånd med ändlig livslängd.

Vi börjar med klassisk mekanik...

(52)

Klassisk mekanik.

Betrakta rörelse av en rullande boll i en fördjupning av formen

som beskrivs av funktionen V (x) ≥ 0, V ∈ C∞ c (X ).

Den klassiska mekaniken beskriver en partikel (bollen) genom att specificera dess läge x och moment ξ. Klassiska rörelsen ska följa klassiska ekvationer som t ex konservering av energi

(53)

Kvantmekanik.

Kvantmekanik beskriver en partikel i det stationära tillståndet med vågfunktion, u(x) och |u(x)|2_{dx ger sannolikhetsdensitet att finna}

partikel i ett givet område.

Speciellt gällerR |u(x)|2_{dx < ∞.}

Vågfunktionen uppfyller “quantized version ” av (5), ξ2_{+ V (x ) = E :}

Quantum: h i∂x 2 + V (x ) ! u(x ) = Eu(x), ξ → h i∂x. (6) Här h är Planckkonstant, h = 6, 626 · 10−34_{J · s.}

(54)

Kvantmekanik.

partikel i ett givet område. Speciellt gällerR |u(x)|2_{dx < ∞.}

(55)

Kvantmekanik.

partikel i ett givet område. Speciellt gällerR |u(x)|2_{dx < ∞.}

(56)

Klassisk/kvantmekanisk korrespondensprincipen.

Då h är mycket liten jämfört med allt annat,

förväntas att kvantmekaniska bild ligger nära sin

klassiska motsvarighet.

(57)

Kvantmekanik på [0, π].

Låt Ω = [0, π] begränsat området. Kvantmekanisk Hamiltonfunktion P(h) = h

i∂x 2

+ V (x )

har diskret spektrum: 0 < E1≤ E2≤ E3, . . . , Ek→ ∞, k → ∞,

P(h)u = E (h)u, E (h) ∈ R, Z

Ω

|u|2dx < ∞, u|∂Ω= 0.

Egenfunktioner uk beskriver tillåtna tillstånd, egenvärdena Ek beskriver

(58)

Kvantmekanik på [0, π].

Kvantmekaniska evolution av vågfunktionen u ges av eitP(h)/hu = eitE /hu. Tillståndet har oändlig livsläng.

Då h & 0 ligger energinivåer allt tättare och kvantmekaniska tillstånd övergår i klassiska tillstånd: alla energnivåer är tillåtna.

(59)

Kvantmekanik på [0, π].

Kvantmekaniska evolution av vågfunktionen u ges av eitP(h)/hu = eitE /hu. Tillståndet har oändlig livsläng.

Då h & 0 ligger energinivåer allt tättare och kvantmekaniska tillstånd övergår i klassiska tillstånd: alla energnivåer är tillåtna.

(60)

Kvantmekanik på R.

Om vi ersätter Ω = [0, π] med Ω = R

förblir den klassiska bilden oförändrad: den rullande bollen känner inte värden backom berg.

Men kvantmekaniska bundna tillstånd existerar inte! ⇔ Operator P(h) = h

i∂x

2

+ V (x ) har inga egenfunktioner u som satisfierar R

Ω|u|

2_{dx < ∞,}

(61)

Kvantmekanik på R.

Om vi ersätter Ω = [0, π] med Ω = R

förblir den klassiska bilden oförändrad: den rullande bollen känner inte värden backom berg.

Men kvantmekaniska bundna tillstånd existerar inte! ⇔ Operator P(h) = h

i∂x

2

+ V (x ) har inga egenfunktioner u som satisfierar R

Ω|u|

(62)

Klassisk/kvantmekanisk korrespondensprinsipen på R.

Om vi tror att kvantmekanisk bild övergår i klassisk bild då h & 0 så ska det finnas kvantmekaniskt objekt som ersätter egentillstånd.

Låt u var lösning till Pu = zu med Im z > 0 av formen u ∼ e−i

√

z|x |/h_{, |x | → ∞ utgående våg.}

Då z = E + i Γ kallas resonans och

eitP(h)/hu = eitE /h−tΓ/hu(x) → 0 då t → ∞

(63)

Klassisk/kvantmekanisk korrespondensprinsipen på R.

Om vi tror att kvantmekanisk bild övergår i klassisk bild då h & 0 så ska det finnas kvantmekaniskt objekt som ersätter egentillstånd.

Låt u var lösning till Pu = zu med Im z > 0 av formen u ∼ e−i

√

z|x |/h_{, |x | → ∞ utgående våg.}

Då z = E + i Γ kallas resonans och

eitP(h)/hu = eitE /h−tΓ/hu(x) → 0 då t → ∞

(64)

Slutsats.

Existensen av klassiska tillstånd medför ofta

existensen av motsvarande kvantmekaniska

tillstånd som kan vara egentillstånd eller

resonanser.

(65)

Vad har resonanser för betydelse för vår världsbild?

I Resonanser beskriver tillstånd som avtar med tiden.

I Resonanser är komplexa tal med imaginärdelen omvändt

proportionäll mot livslängd.

I Resonanser existerar i verkligheten.

I Genom att mäta resonanser kan man skapa bilden av det verkliga

(66)

Vad har resonanser för betydelse för vår världsbild?

I Resonanser beskriver tillstånd som avtar med tiden. I Resonanser är komplexa tal med imaginärdelen omvändt

(67)

Vad har resonanser för betydelse för vår världsbild?

(68)

Vad har resonanser för betydelse för vår världsbild?

(69)

http://www.ericjhellergallery.com

A quantum wave builds up in a resonant cavity between the straight and curved walls, when waves are arriving from below. Most of the wave energy is reflected back, but a surprisingly large fraction of it gets through the tiny hole if the wavelength is just right to make the cavity resonant.

(70)

http://www.ericjhellergallery.com

In this image, a quantum wave builds up in a resonant cavity between the straight and curved walls, when waves are arriving from below. Most of the wave energy is reflected back, but a surprisingly large fraction of it gets through the tiny hole if the wavelength is just right to make the cavity resonant.

(71)

Resonances in obstacle scattering.

Let O be compact with a C∞ _{boundary ∂O.}

In the connected exterior domain Rd_{\ O consider the Helmholz equation}

−∆ − λ2_{v = 0, v}

|∂O= 0. (7)

Scattering poles or resonances are the values of λ in the upper half-plane Im λ > 0, for which (7) has an outgoing solution vλ,

i.e. v ∼ f (x/|x |)|x |−(d−1)/2_e−i λ|x|_{, |x | → ∞, d odd.}

Then u(t, x) = eitλ_v

λ(x ) is a time decaying solution of the wave

equation (∂2

(72)

Scattering by convex obstacle.

Resonances for convex bodies has a long tradition originating in diffraction theory.

Resonances for convex bodies are created by waves creeping along the geodesics on the boundary and loosing energy at a rate depending on the curvature.

(73)

Resonances behave in ways that do not have

eigenvalue analogues.

Using the resonances we can reconstruct the form of

the obstacle.

(74)

Resonances behave in ways that do not have

eigenvalue analogues.

Using the resonances we can reconstruct the form of

the obstacle.

(75)

Resonances associated to trapped trajectories.

Consider a scatterer consisting of two strictly convex bodies. There is one trapped orbit coming from bouncing along the ray, minimizing the distance between two bodies:

This closed hyperbolic orbit generates a string of resonances parallel to the real axis with no resonances below them.

(76)

Resonanser i lokalt periodiska system.

Antag att potential består av N kopior av V (x) som i exempel ovan så att potential är periodisk funktion i strikt mening då N → ∞.

En linjär molekyl eller kristall är exemplen av sådana system där V (x) beskriver potential i en atom eller grupp av atomer.

Resonanser koncentreras i band ovanför elektronisk bandspektrum för motsvarande periodiska potential.

(77)

Resonanser i lokalt periodiska system.

Antag att potential består av N kopior av V (x) som i exempel ovan så att potential är periodisk funktion i strikt mening då N → ∞.

En linjär molekyl eller kristall är exemplen av sådana system där V (x) beskriver potential i en atom eller grupp av atomer.

Resonanser koncentreras i band ovanför elektronisk bandspektrum för motsvarande periodiska potential.