Schrödingerekvationen Kvantmekanik

(1)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Elektromagnetisk strålning (ljus) och materia har både våg- och partikelegenskaper

p

 h



h f  E

Fotoelektrisk effekt E_kin,max = hf –φ

Comptonspridning '  1cos

c m

h

e

Parbildning + Z  e⁺+ e^-+ Z där Z är en atomkärna som tar upp rekylen

Både för EM-strålning (röntgen) och materiepartiklar kan man ha diffraktion och reflektion.

Bragg-villkor för konstruktiv inteferens: n2dsin

2 2

2



      





p_x x p_y y p_z z

2





 tE Heisenbergs obestämbarhetsprincip

Det är teoretiskt omöjligt att precist bestämma position och rörelsemängd längs en och samma axel.

Viktigt för svag växelverkan, möjliggör att vi ”lånar” energi ΔEunder kort tid Δt så att ΔE Δt för ”lånet” inte överstiger h/2

Förra gången:

Föreläsning 5:

Kvantmekanik

Schrödingerekvationen

Innan vi börjar:

Postulat = grundläggande antagande som – Inte kan härledas

– Möjliggör lösning av ett problem och kan förutsäga utgången av experiment – Är konsisten med hittills utförda experiment

I klassisk mekanik har vi att

F= ma (kraft = massa • acceleration)

För konservativa krafter (dvs när arbetet bara beror av start- och slutpunkter och inte av väg)

där totala energin E= E_kin+ U = ½ mv ²+ U bevaras.

Härledes ur:

dUdx F  Föreläsning 5:

(2)

Klassisk mekanik fungerar bra för makroskopiska system, men inte för mikroskopiska (jmfr t.ex. Heisenberg).

För att motivera lösning för mikroskopiska system utgår vi från partikel-våg dualiteten (experimentell bakgrund)

1) Alla mikroskopiska partiklar har vågegenskaper Visas av dubbelspaltexperiment.

Interferensmönster uppstår även om bara en partikel åt gången passerar genom spalten.

2) Fotoelektrisk effekt. Ljus består av fotoner med energi enl. Einstein Sambandet antas inom kvantmekaniken att gälla alla partiklar. Plancks konstant

ω = 2πf Postulat:

Partiklar beskrivs av en vågfunktion Ψ(x,t) som kan förklara interferensen.

ω



hf E

Js 10 63 , 6 π

2   ^³⁴

 

h

vinkelfrekvens

frekvens

Einstein: Nobelpris 1921

”for his services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect"

3) De Broglie-våglängden

Comptoneffekten påvisar att fotonen rörelsemängd uppfyller där

De Broglies hypotes var att denna relation gäller alla partiklar.

Påvisas experimentellt: Davisson – Germer och Bragg.

h liten  λ liten.

Vågegenskaer kan endast observeras för mikroskopiska partiklar t.ex. elektroner och neutroner, men ej för makroskopiska objekt.

h k p 

λ ^λ ^vågtal

π våglängd, 2

λ k 

Davisson - Germer

Bragg: nλ^2dsinθ

(3)

Klassiska vågekvationen: (t.ex. våg längs sträng)

   

2 2 2

2 2 , ,

txt xxt f

v f







Lösningar:

   

xt Aeⁱ^^kx ^t^ f

t kx A t x f

, ω

ω sin ,

ω cos ,

 









under förutsättning att ω²v²k²  k v^ω k v^ω våg i +x riktning

k ^^v^ω våg i -x riktning

ω =vk kallas dispersionsrelation v_fas k^ω är fashastigheten ofta mer komplicerat med dispersiva vågor med ickelinjär relation ω = ω(k )

ddk

vgrupp  ω grupphastighet

x,t Aeⁱ^^kx ^ω^t^

Ψ  ^

Schrödinger antog att vågfunktionen för en fri partikel hade formen av en plan våg

För denna form blir:

•

i t E ^Ψ^^ω^Ψ^ _^^Ψ

i x k

p^Ψ^ ^Ψ^^ _^^Ψ

2 2 2 2 2

2Ψ Ψ Ψ

k x

p 

 



 

Om vi nu sätter in detta i får vi att E ^₂pm² ^U

xt ^ xt

²Ψ , Ψ ,

2

(4)

Schrödingerekvationen

     

t t t x

x xx t U

m ^

 

 

  Ψ , Ψ , i Ψ ,

2 ²

2 2

 

Schrödinger motiverade ekvationen (som är ett postulat pss som Newtons F ⁼ma^{) som den} enklastevågekvationen som gav de Broglies vågor som lösningar.

Lösningen Ψ(x,t) kallas vågfunktioner och beskriver systemets tillstånd.

Genom att visa att ekvationen ger lösning ar till väteatomen lyckades han övertyga vetenskapssamhället att ekvationen fungerar.

Schrödinger fick Nobelpriset 1933 för sitt arbete inom kvantmekaniken med motiveringen

”for the discovery of new productive forms of atomic theory”

(Nobelpriset delades med Paul Dirac)

Sannolikhetstolkning. Lådpotential.

Sannolikheter, diskret fall

T.ex. vid kast med tärning uppkommer siffrorna 1-6 i genomsnitt var 6:e gång.

Man säger att sannolikheten att slå en sexa är 1/6.

Allmänt: Om en diskret slumpprocess kan ge värden x = x₁, x₂, x₃, ... x_N och om ett stort antal mätningar av processen ger

x₁ n₁gånger x₂ n₂gånger

..

x. _N n_Ngånger

Så är sannolikheten att vid observation få värdet x_i där är totala antalet mätningar . nn

Pi  ⁱ  

 N i ni

n 1

(5)

Två grundläggande egenskaper:

1) Positivt definitdvs P_i0 2) Normering

   ² ² ²

1

Δx 2 ^N x x x x

i i   

 

1

2 1

1     

 nn

n n n

P n ^N

N

i i 

Medelvärdetav alla mätresultat beräknas som väntevärdet

 

 N i xiPi

x 1

Spridningen kring väntevärdet hos de individuella mätningarna kallas osäkerheten,

t.ex. Δx i x och definieras som standardavvikelsen, vars kvadrat kallas variansen (jmfr föreläsn 5)



 N i xi Pi

1 2

Sannolikheter, kontinuerliga fallet

Betrakta en slumpprocess som kan ge vilket som helst reellt värde x som resultat vid mätning.

Dela in intervallet av möjliga delintervall med längd dx .

Om vi nu låter P (x) dx vara relativa frekvensen av att få ett mätresultat inom (x, x + dx) kommer dx^0 att definiera

P (x ) = sannolikhetstätheten och

P (x )dx = sannolikheten att få mätvärdet x , där x är inom (x, x + dx) Sannolikhetstätheten uppfyller de två tidigare villkoren

1) Positivt definit P(x )  0 2) Normering

Väntevärdetav x ges av

 



P(x)dx 1

 ^xP x dx

x ( )

(6)

Sannolikhetstolkning

Hur skall vågfunktionen Ψ(x,t) tolkas? Ψ(x,t) är komplex  saknar direkt tolkning.

Om Ψ är en lösning till Schrödingerekvationen (SE) så är

även Z • Ψ en lösning där Z är komplex konstant. Kan inte heller tolka Re Ψ , Im Ψ . Borns sannolikhetstolkning (1926)

= sannolikheten att hitta partikeln inom (x, x+ dx) vid tiden t .

|Ψ|² kallas sannolikhetstätheten och vågfunktionen Ψ kallas även sannolikhetsamplituden.

Jämför klassiska vågor där f (x,t )=Asin (kx-ωt ) : A= amplituden, |A|²= intensiteten

Den klassiska mekanikens exakt bestämda partikelbanorx= x(t ) ersätta alltså i kvantmekaniken av en sannolikhet att hitta partikeln ix vid tident. Denna sannolikhet kan studeras experimentellt genom att som i dubbelspaltexperimentet mäta fördelningen av positioner som är  | Ψ(x,t)|².

Det är inte möjligt att bestämma var enskilda partiklar skall träffa detektorskärmen.

Normering

Eftersom partikeln måste finnas någonstans så måste vågfunktionen uppfylla normeringskravet:

dx t x, )² ( Ψ

1 ) , (

Ψ ² 





 xt dx