TENTAMEN I REGLERTEKNIK FORTS ¨ ATTNINGSKURS M, TSRT06
TID: Fredag 20 mars 2015, klockan 14 - 18.
ANSVARIG L ¨ARARE: Johan L¨ofberg, tel 070-3113019 BES ¨OKER SALEN: 15:00, 17:00
TILL˚ATNA HJ ¨ALPMEDEL: L¨aroboken Glad-Ljung: ”Reglerteknik, Grund- l¨aggande teori”, L¨aroboken Glad-Ljung, ”Reglerteori. Flervariabla och olin- j¨ara metoder”. Minir¨aknare. MATLAB i l¨arosalens dator.
L ¨OSNINGSF ¨ORSLAG: Ansl˚as p˚a hemsida efter tentamen.
PRELIMIN ¨ARA BETYGSGR ¨ANSER: betyg 3 23 po¨ang betyg 4 33 p betyg 5 43 p
OBS! L¨osningar till samtliga uppgifter ska presenteras s˚a att alla steg (utom triviala ber¨akningar) kan f¨oljas. Bristande motiveringar ger po¨angavdrag.
Lycka till!
UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalf¨onster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man v¨aljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att l¨agga till -Pprintername i rutan vid Device option.
TENTAND-ID (AID) P˚A UTSKRIFTER: Man kan l¨agga in text i mat- labplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att h¨ogerklicka i dem och v¨alja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka p˚a n˚agot blankt st¨alle och sedan skriva in text.
1
1. Betrakta det flervariabla systemet
Y (s) = G(s)U (s) d¨ar
G(s) =
1 s + 2
2 s + 4 1
s + 1 1 s + 2
(a) Best¨am systemets RGA f¨or frekvensen ω = 0. (3p) (b) Antag att man vill styra systemet med en diagonal regulator p˚a
formen
F (s) = K 0
0 K
Anv¨and resultatet i a) f¨or att bed¨oma hur framg˚angsrikt detta kan bli. Verifiera ditt resultat genom att ber¨akna det ˚aterkopplade
systemets poler f¨or fallet K = 5. (3p)
(c) Hur kan modellen (eller regulatorstrukturen) modifieras, baserat p˚a RGA-analysen, s˚a att man har st¨orre chans att n˚a ett bra resultat? Verifiera att ditt nya ˚aterkopplade system blir stabilt f¨or
fallet K = 5. (4p)
2. Ett system best˚aende av ett antal seriekopplade vattentankar kan be- skrivas av ¨overf¨oringsfunktionen
G(s) = ( 2 s + 1)n
d¨ar n ¨ar antalet tankar. Systemet styrs med till/fr˚an-reglering, d v s med hj¨alp av ett rel¨a. Rel¨aet antas ha utsignalen ±1. Reglersystemet kan allts˚a beskrivas med blockschemat nedan.
Σ
-1
r = 0 e
f(e)
w yG(s)
Figur 1: Reglersystem med rel¨a
(a) Hur m˚anga tankar kan systemet inneh˚alla f¨or att asymptotisk sta- bilitet skall kunna garanteras med cirkelkriteriet? (3p) (b) Hur m˚anga tankar kan systemet inneh˚alla utan att sj¨alvsv¨angning
kan f¨orv¨antas intr¨affa? (3p)
(c) Studera det minsta antalet tankar f¨or vilket sj¨alvsv¨angning kan misst¨ankas intr¨affa. R¨akna ut f¨orv¨antad frekvens och amplitud p˚a sv¨angningen. B¨or sj¨alvsv¨angningen bli stabil eller instabil? (4p)
3
3. (a) Betrakta det olinj¨ara systemet
˙x1 = −βx1x2− u
˙x2 = βx1x2− γx2
d¨ar β > 0 och γ > 0. Antag att styrsignalen h˚alls konstant u = 1.
Ange systemets station¨ara punkter. Ber¨akna ¨aven det linj¨ariserade systemet och analysera dess stabilitet. (5p) (b) En dynamisk system med tv˚a insignaler och tv˚a utsignaler ges p˚a
tillst˚andsform av ekvationerna
˙x(t) = −2 1 1 −2
x(t) + 1 0 0 1
u(t)
y(t) = 1 0 0 1
x(t) Verifiera att ˚aterkopplingen
u(t) = −Lx(t) + r1(t) r2(t)
i fallen
L1 = 3 1 1 3
respektive
L2 = 3 3 1 3
ger samma poler f¨or det ˚aterkopplade systemet. (3p)
4. P˚a filen airc.mat finns matriserna A och B i den linj¨ariserade till- st˚andsbeskrivningen
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) f¨or ett flygplan, d¨ar
x1 h¨ojd relativt en j¨amviktsniv˚a x2 hastighet fram˚at
x3 tippvinkel
x4 tippvinkelhastighet x5 vertikalhastighet och
u1 ”spoiler”-vinkel u2 acceleration fram˚at u3 h¨ojdroder-vinkel
(a) Systemet har en pol i origo, vilket inneb¨ar att det finns begynnel- setillst˚and x(0) = x0 s˚adant att x(t) ej g˚ar mot noll d˚a t → ∞.
Vilket begynnelsetillst˚and ¨ar detta f¨or systemet ovan? (2p) (b) Antag nu att systemet startas i begynnelsetillst˚andet
x0 = (0 0 1 0 0)T
d v s nosen pekar upp˚at, samt att ingen ˚aterkoppling anv¨ands.
Vilken/vilka poler hos systemet syns tydligast i systemets upp- tr¨adande vid en simulering. Motivera! (2p) (c) Antag nu ˚ater att systemet startas i begynnelsetillst˚andet
x0 = (0 0 1 0 0)T Best¨am en ˚aterkoppling p˚a formen
u(t) = −Lx(t)
s˚adan att avvikelsen i h¨ojd blir liten samtidigt som styrytorna anv¨ands s˚a lite som m¨ojligt. Kraven kan formuleras enligt:
• | x1(t) |< 1 hela tiden.
• | u1(t) |< 3 · 10−5 hela tiden.
• | u3(t) |< 2 · 10−5 hela tiden.
(6p)
5
5. Sambandet mellan infl¨ode och niv˚a i en tank kan kring en arbetspunkt beskrivas med ¨overf¨oringsfunktionen
Y (s) = k
sτ + 1U (s)
(a) Inf¨or tillst˚andsvariabeln x1(t) = y(t) och skriv modellen p˚a till-
st˚andsform. (1p)
(b) I verkligheten m¨ats niv˚an med en m¨atgivare som ger ett viss m¨atfel, d v s
y(t) = Cx(t) + v2(t)
d¨ar v2(t) har medelv¨arde noll och R2 = 1. Antag att niv˚an skattas med ett kalmanfilter p˚a formen
˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + K(y(t) − C ˆx(t))
utan att man antar att n˚agon systemst¨orning p˚averkar systemet.
Vad blir kalmanfiltrets f¨orst¨arkning? ¨Ar detta resultat rimligt?
Analytiska r¨akningar kr¨avs f¨or fullst¨andiga po¨ang. (3p) (c) Antag nu att vi dessutom modellerar en systemst¨orning, d v s
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + v1(t)
d¨ar v1(t) har medelv¨arde noll och varians R1, och att niv˚an skattas med ett kalmanfilter enligt ovan. G¨or en skiss av hur f¨orst¨arkningen K beror av R1. Analytiska r¨akningar kr¨avs f¨or fullst¨andiga po¨ang.
(6p)
