TENTAMEN I REGLERTEKNIK FORTSÄTTNINGSKURS M, TSRT06
TID: Måndag 13 januari 2020, klockan 8 - 12.
ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel 070-3113019 BESÖKER SALEN: 09:00, 11:00
TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: ”Reglerteknik, Grund- läggande teori”, Läroboken Glad-Ljung, ”Reglerteori. Flervariabla och olin- jära metoder”. Formelsamling. Miniräknare. MATLAB i lärosalens dator.
PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 p betyg 5 43 p
OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. MATLAB-kod som används skall redovisas (lämpligen samlar man all kod i en fil som skrivs ut och skickas med). Bris- tande motiveringar ger poängavdrag.
Lycka till!
UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel
lp -d printername file.pdf
i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till
-Pprintername
i rutan vid Device option.
TENTAND-ID (AID) PÅ UTSKRIFTER: Man kan lägga in text i mat- labplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text.
1
1. (a) Utred om nedanstående system är linjära eller olinjära.
(i) y(t) = tu(t)˙ (ii) y(t) = 1 + u(t)˙
(2p) (b) Antag att ett återkopplat reglersystem innehåller en linjär kompo-
nent och en statisk olinjäritet på formen
f (e) =
1 e ≥ 1
e3 −1 < e < 1
−1 e ≤ −1
Vilket område i komplexa talplanet blir enligt cirkelkriteriet otillå- tet för den linjära komponentens nyquistkurva? (4p) (c) Ange fördel respektive nackdel med användandet av observatörer (t.ex Kalmanfilter) jämfört med enklare strategier baserat på t.ex lågpassfilter då det skulle kunna fungera. (2p) (d) Betrakta
G(s) =
" 3
(s+1)2 1 s+1 1
s+1 1 s+2
#
Visa analytiskt hur många poler G har i −1. (2p)
2. Vi skall analysera en reglerloop med en olinjäritet f (·) i kretsen.
Figur 1: Reglersystem
Den linjära komponenten ges av ett resonant andra ordningens system, som även kan ha en tidsfördröjning T ≥ 0 (obs, här betecknar e expo- nentialfunktion och har inget med reglerfelet att göra)
G(s) = 1
s2+ 0.1s + 1e−sT
Olinjäriteten f (·) är ett enkelt relä utan dödzon (dvs det linjära systemet regleras av en reläregulator där styrsignalen är reglerfelets tecken)
(a) Förklara om och varför man kan förväntas få eller inte få oscillativt beteende, asymptotisk stabilitet, eller instabilitet för fallen T = 0
resp T > 0. (3p)
(b) Antag att man kan acceptera oscillationer med en amplitud på 2.
Red ut hur stor tidsfördröjning T som då kan tillåtas. För full poäng
krävs analytiska beräkningar. (7p)
Tips 1: För att skapa tidsfördröjningar kan man antingen skapa en sådan s = tf(’s’);Gdelay = exp(-s*T) och arbeta vidare med när man definierar det fullständiga systemet, eller genom att manipulera en given överföringsfunktion G.InputDelay = T.
Tips 2: Teori för frekvensegenskaper på en tidsfördröjning redogörs i grundkursboken om du glömt bort.
3
3. Betrakta det flervariabla systemet
Y (s) = G(s)U (s) där
G(s) =
1 s + 1
s s + 1 s
s + 1 1 s + 1
(a) Bestäm systemets RGA för frekvensen ω = 0 och för fallet då ω går
mot oändligheten (3p)
(b) Antag att man vill styra systemet med en diagonal regulator på formen
F (s) = K 0
0 K
!
Använd resultatet i a) för att bedöma lämpligheten i detta. (2p) (c) Antag att man använder regulatorn i b). Använd MATLAB för att kontrollera slutna systemets stabilitet för olika K > 0 och relatera
till resultaten ovan. (5p)
4. Vi ska utveckla ett styrsystem för en så kallad differential drive robot, dvs ett fordon som man styr riktning på genom att köra vänster och höger hjul med olika hastighet (vanligt på självgående dammsugare och gräsklippare).
Figur 2: Differential drive robot
Om vi låter strömmen till vänster hjulmotor vara u1(t) och till höger hjulmotor u2(t) så beskrivs robotens hastighet (efter förenklingar) av
˙v(t) = u1(t) + u2(t), och dess riktning av ˙θ(t) = u1(t) − u2(t) (med diverse geometriska parametrar antagna så att alla konstanter blir enkla i modellen). Med x1(t) = v(t) och x2(t) = θ(t) har vi
x(t) =˙ 0 0 0 0
!
x(t) + 1 1 1 −1
! u(t)
(a) Tag fram en LQ-återkoppling för systemet. Vid reglering från från ett initaltillstånd v(0) = 10 och θ(0) = π/6 så har vi följande krav:
• Roboten måste snabbt ställa in sig i rätt vinkel så |θ(t)| måste vara mindre än 0.2 efter högst 0.5 sekunder.
• Styrsignalen måste uppfylla |u(t)| ≤ 5.
(7p) (b) Utvidga regulatorn till att inkludera referensföljning på hastighet och riktning. Simulera något fall för att visa att det fungerar. (3p)
5
5. Givet en modell över ett enkelt skalärt system med insignal u(t), mätning y(t), processbrus w(t) och mätbrus v(t).
x(t) = a˙ mx(t) + u(t) + w(t), y(t) = x(t) + v(t)
Antag att vi parameteriserar variansen (intensiteten) på processbruset respektive mätbruset som Ew2 = µ och Ev2 = 1, samt att am < 0.
(a) Tag fram ett analytiskt uttryck för Kalmanförstärkningen, och tolka denna med avseende på designparametern µ > 0. (3p) (b) Vi skapar en observatör med Kalmanförstärkningen, och använder tillståndsskattningen i styrlagen u(t) = −ˆx(t) + r(t). Tyvärr så är modellen inte korrekt utan i verkligheten ges dynamiken av
x(t) = ax(t) + u(t) + w(t), y(t) = x(t) + v(t)˙
där a är okänt och sannolikt skiljer sig från värdet am som vi an- vänder i observatören. Ställ upp tillståndsmodellen som beskriver dynamiken för det återkopplade systemet från r(t) (och w(t) och v(t)) till y(t), med x(t) och ˆx(t) som tillstånd. (3p) (c) Vi vet att systemet är stabilt (a < 0) och har således am < 0. Visa att det återkopplade systemet är asymptotiskt stabilt, oavsett hur fel vi har valt modellparametern am! (4p)
