Schrödingerekvationen i 3 dim: Väteatomen

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Löstes av Schrödinger 1926. Förklarar spektrallinjer från vätet och visar därmed att S.E fungerar!!!

Schrödinger ekv i 3D: Ψ( , ) ( )Ψ( , ) Ψ( , ) 2

2 2

t t r i t r r U t m r

 











 







Sannolikhetstolkning:

t r

r d r

d t

r, ) sannolikhetenatthittapartikelnivolymselementet 3 i vidtiden (

Ψ ^{2 3}  

Normering: Ψ(r^,t)²d³r 1

Stationära tillstånd: Ψ(r,t)^ψ(r)e^iEt/^ Ψ( , ) ( )Ψ( , ) Ψ( , )

2 ²

2 r t V r r t E r t

m ^{   }

   



Väteatomen

proton +q_e

elektron -q_e

Antag att kärnan har fix position pga m_p≈ 2000 m_e

Coulomb-potential

2 2 9 0

2

0

10 πε 9

4 1

πε 4 ) 1 (

 







C Nm

r r q

V ^{ e}

Schrödingerekvationen i 3 dim: Väteatomen

^.

Föreläsning 10:

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

x

y z

 r



Lämpligt att använda sfäriska koordinater ) θ cos , φ sin θ sin , φ cos θ r(sin r^

xyzr z y x r

arctan φ

arccos θ

2 2 2











SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Schrödingerekvationen:

 ψ 0

2 φ

ψ θ sin

1 θ

θ ψ θ sin θ sin

1 ψ

1

2 2 2 2 2 2 2

2   



 



 











 



 











 m E U

r r r

r r

r 

Variabelseparation: ψ(r,θ,φ)R(r)Θ(θ)Φ(φ)

πε 0 4 θ sin 2 Φ

Φ Φ

1 θ θ Θ θ sin Θ

θ sin θ

sin

0 2 2

2 2 2

2 2

2 

 



 

 

 



 











 



 











  E

r q mr

r r R r

R _ ^e

2 2

Φ Φ Φ

1



 måste vara konstant. Vi kan redan nu ansätta den till -m_ℓ2 vi visar senare varför



 











 





 



 





 











 

θ θ Θ θ sin θ sin Θ

1 θ sin πε

4 2 1

2 2

0 2 2

2 2 



E m r q mr r

r R r

R ^e

VL och HL måste här vara konstant

Ansätt = ℓ(ℓ+1) Vi har nu tre ordinära differentialekvationer:

 

 1 ₀

πε 4 2 1

0 θ Θ 1 sin θ

θ Θ θ sin θ sin1

0 φ Φ

Φ

0 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

 











  

 



 





 













 



 



  





 















 



r R r E

q m r

r R r r

m m

e 





 ^



0 φ Φ

Φ 2

2

2  



 m

Betrakta -beroendet:

Vilket/vilka av nedanstående påståenden är sanna för väteatomen?

1)  kan vara en exponentialfunktion (av formen )

2)  kan vara en sinusoid av formen där m_ℓmåste vara ett positivt heltal > 0 3)  kan vara en sinsuoid av formen där m_ℓmåste vara ett heltal

e φ

) φ (

Φ  ^im

e φ

) φ (

Φ  ^m

e φ

) φ (

Φ  ^im

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Fullständiga lösningar av dessa ekvartioner studeras i andar kurser i kvantmekanik. Här visar vi bara de enklaste stegen och ger i övrigt resultaten utan härledningar.

Lösning i -led:

0 φ Φ

Φ 2

2

2  





m Lösningar är av typen exponentialfunktion eller sinusoid.

Exponentialfunktion är här ofysikalisk  Φ(φ)e^imφ

Funktionen skall vara kontinuerlig då φ ändras med 2π gäller: e^{im(φ2π)}e^imφ  e^i2πm 1

 0,1,2,...,

 m

maximala |m_ℓ|=ℓ

  Θ 0

θ 1 sin θ

θ Θ θ sin θ sin

1

2 2  

 



  





 











 _



 m

Lösning till mer komplicerad.

Bara givna värden ger fysikaliska lösningar där Θ inte divergerar vid θ=0 eller π

Lösningar är Legendre-funktioner Θ_ℓ,_mℓ(θ) 0, ,12, ... m_ 0,  ,1 2,...,  m_ℓkallas magnetiska kvanttalet

Kan visas att energinivåerna ges av 6 eV , 13 1

ε π

32 ² ₀^{2 2 2 2}

4

n n

E_n ^ mq^{e }



nkalla huvudkvanttalet ℓkallas bankvanttalet 1

..., , 2 ,1 , 0

...

, 3 , 2 ,1







n n



SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Bankvantisering:

Radiella ekvationen   ₀

2 1 πε

4 2 1

2 2

0 2 2 2

2  













 



   





 











 R

E mr r q m r

r R r

r _ ^{e  }

(Klassiskt) gäller att E E_kin^radiell E_kin^ban q^e r

0 2

πε

4



 ^e E E_kin^radiell E_kin^ban

r

q _{  }

0 2

πε Vi tolkar därför 4

Vi vill nu försöka tolka termen  

2 2

2 1 mr







För att den radiell ekvationen endast skall bero av antar vi att de två extra energitermerna tar ut varandra

radiell

Ekin

 

2 2

2 1 E_kin^ban  mr^

  

Betrakta rörelsemängdsmomentet: L^r^p^{ }mr^v^{ } L^mrvban

r^ v^r

ban

r v

v v^{    } v^ban

2 2 2

2 2

1

mr mv L

E_kin^ban  _ban 

Vi får då för rörelsemängdsmomentet alltså att: L²  ( 1)² L _{(  1)} z-komponenten: L_z m m_ 0,  ,1 2, ..., 

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Vinkellösningarna ges som Klotytfunktioner

(Spherical Harmonics) Θ_, (θ)Φ (φ)





 

m m m

Y 

Egenfunktioner till rörelsemängdsmomentet:

φ θ θ sin Ω

δ δ Ω

,1 ...

,1 ˆ ,

...

, 2 ,1 )

1 ˆ (

' ' '

2 2

'

d d d

d Y Y

m Y

m Y L

Y Y

L

m m m

m

m z m

m m



 







































 

































Klotytfunktioner

 

osv

2 π

32 e 15

θ πsin 32

15

) ( π 8 e 15

θ cos θ πsin 8 15

3 π 16 1 5 θ cos π 3 16

5

π 8 e 3

θ πsin 8

3

π 4 θ 3 πcos 4

3 π 4

1

2 2 φ 2

2 2 22

φ 2 21

2 2 2 2

20

φ 1 1

10 00

r ixy y

Y x

riy z Y x

r r Y z

riy Y x

r Y z

Y

i i i



 



 



 





 

























e 0

) 2

( 3

0 ra

a r

R  ^

För ℓ=0 fås för lägsta energilösningen av formen : där a₀är en konstant.

Är sannolikheten att hitta partikeln störst vid:

1) r = 0 ? 2) r = a₀?

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Radiella egenfunktioner r

r u R_n( ) ^n

Normering: _{    ' '}

0 '' 0

' 2

' _{n n n} δ_nnδ

n R r dr u u dr

R  ^

 ^{ }

 

Bohrradien: 4πε 2 0,529 10 10m

20

0    

e

e m

a q ^

Inför spektroskopisk notation: ℓ = 0 1 2 3 4 5 s p d f g h

0

0

0 0

0 0

2 3 0

3

2 0 , 3

3 0 2

0 1 0

, 3

3 0 2

0 0

0 0 , 3

2 0 2

1 0 , 2

2 0 0 0 0

, 2

0 0 0

, 1

15 e 81

2 : 2

d 3

6 e 3 1

27 2 : 4

p 3

27 e 2 3

1 2 3 3 : 2 s 3

6 e 2 : 1

p 2

2 e 1 1 2 : 1

s 2

2 e :

s 1

r a

r a

r a r a

r a ra

ar u a

a r a r u a

ar ar ar

u a

a r u a

ar ar u a

ar u a

















 



 

















 



 









 



 





SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

I gasurladdningar (vätgaslampa) observerades ljus som inte hade ett kontinuerligt spektrum och dominerades av diskreta våglängder. Även absorbtion av ljus i gas påvisade diskreta absorbtionsvåglängder.

Väte:

Spektrallinjer

Redan på 1800-talet kände man till att väre emitterar ljus enbart med våglängder i serien:

1 2 , 3, 4, 5,... 107

1 4 1 λ

1    



 

 

 n R m

R_H n _H

Detta är den s.k. Balmer-serien för den synliga delen av vätets spektrum.

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

...

, , 32 1 1

8 _{0 0} ²

2  



 





 

 n

n a

E_n q^e



Lägsta energinivå, grundtillståndet, i väte:

 

    13,6eV

) 3 , 197 ( 2

eV 10 0596 , nm 1 eV 3 , 197 2c c

nm eV 440 , 1 keV 511

nm eV 440 , 4 1

4 8 2

1

2 6 2

2

2

0 2

2 2 0

4

1 2

0 1



 









 



 









  











 

 

 ^e ^{e e e}

q q

m r

E q

Exciterade tillstånd: 1 eV 1,2,3...

6 .

13 ₂  



 



 

 n

E_n n

eV 54 , 5 0

6 , 13

eV 85 , 4 0

6 , 13

eV 51 , 3 1

6 , 13

eV 4 , 2 3

6 , 13

5 2 4 2 3 2 2 2



 





 





 





 



E E E E

där Bohr-radien: 4 ₂ 0,0529nm

2 0

0 

e eq a  m

Från kvantmekaniken (Schrödinger ekv) har vi kvantiserade energitillstånd av elektroner i väreatomen:

Spektrallinjer och elektronövergångar

När en elektron i ett exciterat tillstånd (n2) övergår till ett tillstånd med lägre energi utsänds en foton med energin hf =E_i –E_f där E_ioch E_fär energinivån i ursprungs- respektive sluttillstånd.

T.ex. gäller för för övergången från n=3 till n =2 (Balmer-) att fotonens energi är

eV 89 , 1 4 eV 1 9 6 1 .

2 13

3  



 

 







E E hf

Våglängden för ljus i denna övergång:

nm eV 656

89 , 1

nm eV 1240  







foton

E hc f

 c

656nm är rött ljus. De lägre övergångarna i Balmer-serien ger spektrallinjer i det synliga våglängdsomtrådet (ca 400-700 nm) Ljus av rätt våglängd kan även orsaka excitation, dvs om fotonenergin överenstämmer med en övergång från ett lägre

energitillstånd till ett högre. Detta ger absorbtionslinjer i spektrum.

Triumf för kvantmekaniken att ha förklarat!!!