Från kvantmekaniken, lösning till Schrödingerekvationen i 3 dimensioner, har vi att elektronerna har rörelsemängdsmoment

Från kvantmekaniken, lösning till Schrödingerekvationen i 3 dimensioner, har vi att elektronerna har rörelsemängdsmoment





 (  1 )

 L

Klassiskt ger en elektron i moturs bana kring en centralpunkt upphov till en ström I = q _e / T där q _e är elementarladdningen och T omloppstiden. Strömslingan, som omsluter en area A =π r ² resulterar i ett magnetiskt moment

  ^L

m r q

m m r q

r q r

r q T IA q

e e e

e e e

e e

2 2

2 /

2

2

2    



   



 



Elektronladdningen är negativ  strömmen riktad medurs samt att  är motriktad L

Potentiella energin för en magnetisk dipol: U = -  B Föreläsning 12

m L q

e e L

 

 2

 

Atomer: rörelsemängdsmoment och spinn.

Pauliprincipen och periodiska systemet.

Men: i lösningar till Schrödingerekvationen erhölls, förutom att det totala rörelsemängdsmomentet var kvantiserat, att en kvantisering av rörelsemängdens komponent längs en axel var kvantiserad.

När man lägger på ett magnetfält skapar man en definierad axel, (standard är att definiera denna som z-axeln). Kvantiteter man då kan studera är baserade på B eller  x B där i båda fallen kvantiseringen längs z-axeln (kvantal m _ℓ ) är avgörande.

Potentiella energin för en magnetisk dipol:

Notera att m _ℓ både kan ha positiva och negativa värden.

Tillstånd med m _ℓ > 0 i magnetfält B har högre energi än då z-komponenten av L är motriktad B . Denna typ splittring av degenerererade energinivåer i magnetfält som kan

observeras i fotonenergier i övergångar kallas Zeeman- effekten.

där  _B är Bohr-magnetonen 9 , 274 10 J/T 2

 24







e e

B m

q 



B m m Bm

L q m

B B q

B

U _B

e e z

e e

z   

   

      



 2 2





 m m

m L q

m q

B e

e z

e e

z 

       2

2

Innan vi går vidare och mäter om effekten finns där:

Eftersom L vars storlek är aldrig är upplinjerad med z-axeln kommer L   (   1 )   x B att vara ≠ 0.

Klassiskt är vridmomentet på en dipol  ₌  x B motsvarande  _{= =} dL / dt

Ur figuren fås: | dL |= L sin θ  dφ

Men vi också att | dL |=|  | dt där  sin  2 BL

m q

e

 

L kommer att precessera kring z-axeln med Larmor-frekvensen:

m B q dt

L d L

dt d

e e

2 sin

1

L   





 

Är det magnetiska dipolmomentet för väte i grundtillståndet:

1) > 0 ?

2) = 0 ?

3) < 0 ?

Stern-Gerlachs experiment

En atomstråle passerar ett inhomogent magnetfält. Fältet är symmetriskt i y-led och homogent i x-led  kraft beroende på dipolmoment i z-led.

Klassikt: ingen kvantisering, alla värden tillåtna.

Observerat För väte (i grundtillståndet) observerades två band,

men i grundstillståndet är ℓ =0, dvs L = 0.

 Elektronen har ett inre magnetiskt moment och därmed ett slags inre rörelsemängdsmoment:

spinn

Spinn skall inte ses som att en ”utbredd” elektron roterar och därmed får ett rörelsemängdsmoment utan är en relativistisk kvantmekanisk effekt. Vi (i partikelfysikens standardmodell) betraktar idag elektronen som en punktpartikel.

Parantes:

(Jämför: Elektronen är den enda stabila punktpartikel vi idag kan använda för att studera andra partiklar. I dagens läge har man i laboratorier accelererat elektroner till ca 100 GeV/c rörelsemängd. Detta motsvarar en deBroglievåglängd av ca 10

m. Mycket bättre än så kan vi inte uttala oss om utbredning av en partikel. Elektriska dipolmomentet är

(0,70,7)10

q

cm. Protonen, som vi idag betraktar i det närmaste som en ”kulpåse” av kvarkar och gluoner (vilka är punktpartiklar) har en radie av 10

m)

p

 h /



Spinn kan ses analogt med rörelsemängdsmomentet för

”banrörelse” av elektroner. S  s ( s  1 ) 

s är ett kvanttal som beror av partikelslag. Varje partikel har ett bestämt s och kan inte anta olika värden. Detta gäller för alla slags partiklar, inte bara elektroner. För elektroner är s =1/2, medan för t.ex. W ^- (förmedlar svag växelverkan) och fotonen är s =1.

Notera att för elektronen och andra spinn-1/2 partiklar gäller:   2 ) 3

2 1 ( 1 2

1  



S

På samma sätt som för banrörelsemängdsmomentet är z-komponenten kvantiserad:



s

z m

S  där m _s = - s , - s +1, ... s -1, s För e ^- : m _s = -1/2 eller m _s =+1/2

Magnetiska momentet:

m S g q

e e e s

 

 2

  Där gyromagetiska faktorn för

elektronen, g _e ≈ 2,00232 ≈ 2

Faktorn ges av relativistisk kvantmekanik (=2) med kvantfältteoretiska korrektioner  faktorn något större än 2.

Totala vågfunktionen för vätes elektron kan nu skrivas:  n ,  , m

, m

där n = huvudkvantalet

ℓ = rörelsemängsmomentskvanttalet m _ℓ = komponenten löngs z-axelm

m _s = spinnets komponent längs z-axeln

Vi talar oftast om om spinnet som: m _s = +1/2 spinn upp () m _s = -1/2 spinn ner () Tillåtna värden: n = 1, 2, ...

ℓ = 0, 1, .... n -1

m _ℓ = - ℓ , - ℓ +1, .. 0,..., ℓ -1, ℓ

m _s = -1/2, 1/2

Betrakta ett system av två kvantpartiklar, (t.ex. elektroner i en Heliumatom) med gemensam vågfunktion

Om partiklarna är av samma typ och rumsmässigt har visst överlapp går de inte att särskilja.

Sannolikhetstätheten måste då vara lika vid utbyte av de två partiklarna:

) , ( r  ₁ r  ₂



2 1 2 2

2

1 , ) | | ( , ) |

(

|  _ab r  r    _ab r  r 

 ( ) ( ) ( ) ( ) 

2 ) 1

,

( r

r

r

r

r

r

Sab

           



Låt partiklarna vara i två tillstånd, a och b , vardera med en kombination av kvantal n , ℓ , m _ℓ , m _s .

) ( r ₁

a

  innebär då partikel 1 i tillstånd a.

Variabelseparation ger lösning av typen ψ _ab = ψ _a ψ _b men denna ger i sig inte symmetri vid partikelbyte.

Eftersom Schrödingerekvationen är en linjär diff-ekvation, är dock också lösningar av typen:

 ( ) ( ) ( ) ( ) 

2 ) 1

,

( r

r

r

r

r

r

Aab

           

och 

(symmetrisk) (antisymmetrisk)

lösningar till S.E.

För båda dessa lösningar gäller att sannolikhetstätheten bevaras vid utbyte av de två partiklarna.

2 1 2 2

2

1 , ) | | ( , ) | (

|  r  r    r  r 

Om vi bara betraktar spinn-delen kan vi konstruera symmetriska och antisymmetriska tillstånd enligt:

Symmetriskt Antisymmetriskt

  +  Triplett-tillstånd  -  Singlett-tillstånd



Pauliprincipen:

Det har visat sig i naturen att partiklar med halv- (1/2, 3/2,...) och heltaligt (0,1,2,...) spinn uppträder på oilka sätt.

• Bosoner

Ett system med ej särskiljbara partiklar med heltaligt spinn har en symmetrisk vågfunktion m.a.p utbyte av partiklarna.

• Fermioner

Ej särskiljbara partiklar med halvtaligt spinn har en asymmetrisk vågfunktion m.a.p. partikelbyte.

Vågfunktionen för två fermioner i exakt samma tillstånd:  ( ) ( ) ( ) ( )  0 2

) 1 ,

(

 



 







r ^ r ^

r ^

r ^

r ^

r ^

bosoner fermioner

partikel

-partikel Foton Pion, π ⁰

spinn 0

1 0

partikel elektron proton Omega

spinn

½

½ 3/2 Exempel:

) , ( )

,

( r ₁ r _{2 ab} r ₂ r ₁

ab







 

 

) , ( )

,

( r ₁ r _{2 ab} r ₂ r ₁

ab







 

  

Pauliprincipen (the exclusion principle)

Två ej särskiljbara fermioner kan inte vara i samma individuella kvanttillstånd

Hur många elektroner kan finnas i en atom i ett n=2 tillstånd?

1) 3 2) 6

3) 8

Genom att utnyttja att elektroner är fermioner och måste uppfylla Pauliprincipen kan man förklara det periodiska systemet:

Nomenklatur: exempel: 1s ² 2s ² 2p ⁵

huvudkvantal n = 1, 2

tillstånd med olika ℓ anges med bokstav: s=0, p=1, d=2, f=3 ...

Antal e ^- för viss n , ℓ -kombination Varje kombination av n , ℓ och m _ℓ kan enligt Pauliprincipen ha 2 elektroner om dessa har olika m _s ( respektive ).

s-skal ( ℓ =0) hara bara m _ℓ =0 och därför max 2 e ^- p-skal ( ℓ =1) hara m _ℓ =-1,0,1 och därför max 6 e ^- för visst ℓ finns 2 ℓ+1 olika m _ℓ -värden, vilket tillåter 2(2 ℓ +1) elektroner i n , ℓ -kombinationen

(När elektroner ”fylls på” i p-skal för högre atomtal, är det oftast (beroende på e ^- i andra n , ℓ –skal) energimässigt fördelaktigt att fylla på i olika m _ℓ -värden med lika

riktade spinn (assymetrisk rumsdel, symmetrisk spinndel) därför att elektronerna, som har samma laddning hamnar längre ifrån

varandra. (Hunds regel). )

Relativa energinivåer för olika skal som funktion av atomnummer.

Med fler än en elektron i atomen, kommer elektronerna att skärma kärnladdningen för varandra.

Systemet kan inte lösas analytiskt utan beräknas med hjälp av dator i approximationer.

Notera dock: kärnladdningen ökar med atomnummer. 1s skalet är närmast kärnan och har minst skärmning.

Bindningsenergin för en jon med bara en elektron är proportionell mot Z ² . (Z ² -beroendet fås genom att i alla härledningar för väte ersätta q _e ² me Zq _e ² )

(Mosley visade att spektrallinjer för övergångar mellan n=2 och n=1 skalen ändras proportionellt mot ( Z -1)

)

Jonisationsenergin för först frigjorda elektronen som funktion av Z.

Ädelgaser är svårast att jonisera.

Notera: helium, 24,6 eV för första frigjorda elektronen. Kvar finns en e ^- bunden till kärna med Z=2.

Bindningsenergin för denna enda