Föreliggande granskning hänför sig närmast t i l l de speciellt nya synpunkter, som författaren v i l l göra gällande i detta verk. De äro i hufvudsak följande:
1) innan de egentliga trigonometriska funktionerna definieras, införes något, som författaren kallar »trigonometriska linjer»;
2) v i d trigonometriens tillämpning på planimetriska beräk- ningsuppgifter utgår författaren från definitionerna och de trigono- metriska satserna (sinus-, cosinus-, tangentteoremen o. s. v.) och uppställer som mål a t t beräkna ett triangelelement hvilket som hälst, då ett tillräckligt antal element äro gifna;
3) författaren v i l l tillmötesgå nyare reformkraf i matematik- undervisningen så t i l l vida, a t t han upptager en grafisk framställning af de trigonometriska funktionerna.
l:o. H v a d det första införandet i trigonometrien be- träffar, så förefaller det, som om författaren gör saken onödigt invecklad. Det är mycket betänkligt a t t börja med en del begrepp, som eleven i det följande af författarens bok endast v i d ett par tillfällen påträffar, och hvilka han i an- dra böcker alldeles icke möter. Författaren börjar a t t tala om »trigonometriska linjer för en viss båge» i en cirkel med godtyck- lig radie och definierar dessa linjer såsom längder af vissa halfkordor eller sträckor afsatta utefter vissa tangenter. Efter a t t hafva gjort en, om man ser saken från den tredje af ofvan antydda synpunkter, ganska sökt öfverenskommelse beträffande tecknen — hvarom me- ra längre fram — , kommer författaren t i l l , a t t exempelvis sinus för en båge varierar med cirkelns radie mellan + 0 0 och — °o . Därefter öfvergår författaren (sid. 4) t i l l a t t införa trigonometriska tal för en gifven vinkel. Samma nomenklatur, sinus, cosinus, tangent, cotan- gent, användes alltså i två bemärkelser, dels för a t t beteckna vissalinje-
längder, dels för a t t beteckna förhållandet mellan nyssnämnda l i n - jelängder och radien i cirkeln. Den enda skillnaden är, a t t författa- ren ena gången talar exempelvis om sinus för en cirkelbåge, andra, gången om sinus för en vinkel. Det ligger nära t i l l hands, a t t man förbiser denna d i s t i n k t i o n , och då kommer en slik framställning a t t med all säkerhet vålla oreda i stället för åskådlighet, såsom förfat- taren påstår. Åskådlighet vinner man tillfyllest, om man definierar de trigonometriska funktionerna såsom tal och grafiskt represente- rar dem som linjelängder med användning af en cirkel med radien l i k a med en längdenhet. Skulle väl åskådligheten blifva större däri- genom, a t t radien antages vara r längdenheter samt genom a t t två jämnlöpande serier af definitioner uppställas, af h v i l k a den första omedelbart lämnas?
Författaren angifver såsom första skälet t i l l nyssnämnda för- farande hänsyn till den historiska utvecklingsgången. Om man läser exempelvis Moritz Cantors}) framställning af Claudii Pfofemceirykt- bara Aln(agest, där han i de 13 första böckerna härleder sin berömda kordatabell,h\ilken är en förelöpare t i l l trigonometrien,såfårmanden uppfattningen, a t t Plolemteus bestämmer kordornas längder som funktioner af den periferivinkel, de upptaga, och förutsätter cirkelns radie vara lika med längdenheten. Vare härmed huru som hälst, så är det olämpligt, a t t lärjungen vid sin första bekantskap med trigono- metrien skall få en uppfs t t n i n g af de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus, o. s. v., hvilken han i nästa ögonblick — redan å sid.
4 i författarens bok — måste så godt som för a l l t i d öfvergifva. E n obetydlig detalj scmdenna,om den n u verkligen är historisk, men som kommer i kollision med det numera gängse uppfattningssättet, bör, om den eljest det förtjänar, meddelas i en not t i l l läsarens nöje och uppbyggelse, men ingalunda sättas i spetsen som en grundval för hela den följande framställningen.
Författaren synes själf ej vidare hålla på de först införda be- greppen, enär han i en not på sidan 1 säger: »de n u följande definitio nerna äro icke afsedda a t t läsas u t a n t i l l utan tjäna endast a t t förkla ra den geometriska bilden» etc. Likväl refererar författaren t i l l dem vid två tillfällen nämligen dels å sidan 7, dels å sidan 71.
På förstnämnda stället v i l l författaren visa, a t t sinus och tan- genten för små vinklar växa proportionellt med vinkeln. Mot denna
') Moritz Cantor, Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik 1, sid. 350 och följande, Leipzig, Teubner, 1880.
undersökning kan man invända, dels a t t den näppeligen k o m m i t på sin rätta plats, dels a t t framställningen från pedagogisk synpunkt blir otroligt svårbegriplig, t y meningen är väl icke a t t det som här afhandlas, skall tagas dogmatiskt. A E är en båge på en cir- kel med godtycklig radie och sinus A E samt tångens A E fattas såsom sträckor i öfverensstämmelse med de första definitionerna å sid. 2. För- fattaren säger utan a t t anföra något skäl, a t t sinus A E och tångens A E närma sig a t t b l i lika stora,ju mindre bågen A E göres1). E n b a r t på åskådningen kan nämnda påstående icke grundas. Det enda man kan se är, a t t alla tre dessa storheter samtidigt gå m o t noll. Hvar- för icke uppskjuta denna fråga — såsom exempelvis Phragmén gör
— tills man behandlat vinkelns mätning med tillhjälp af förhållan- det mellan bågen och radien? Först då blir man i stånd a t t genom- föra de betraktelser, som författaren å sid. 75 gör, rörande denna sak. På sistnämnde ställe visas strängt, a t t
lim sin x x=0 x
och undersökningen å sidan 7 låter omedelbart anknyta sig härtill.
Det blir då först möjligt a t t utröna a t t 1" är en så liten v i n k e l , a t t 2 TT sin 1 , tagen ur tabellen, verkligen ligger mycket nära
3 6 0 . 6 0 . 6 0 o.s.v. Samtidigt kan man då på ett naturligt och okonstlaclt sätt i anslutning t i l l den grafiska framställningen gifva lärjungen en på åskådning grundad föreställning om, hur pass hastigt de olika trigonometriska funktionerna variera inom olika variationsområden för den oberoende variabeln. I sammanhang härmed kunde då ock- så den synpunkten komma fram, som eljest i detta arbete v u n n i t mycket litet beaktande, nämligen hur räkningen bör anordnas för a t t lämna noggrant resultat. Så t . ex. ser författaren användbarheten af olika beräkningsmetoder,däri flere sådana gifvas, uteslutande från bekvämlighetssynpunkt (exempelvis sid. 16) och framhåller icke den synpunkten, a t t man stundom måste låta noggrannheten i det åsyftade resultatet bestämma metoden. Detta sistnämnda kommer egentligen endast i exempel 5 sidan 57 t i l l beaktande. Å andra sidan ser det ut, som om författaren i vissa fall skulle lägga an på en b l o t t
r) Författaren tangerar här kapitlet om »ahtuelt oändligt små stor- heter», hvilka betraktelser, äfven de af historiskt intressse, absolut icke lämpa sig för nybörjaren.
och bart illusorisk noggrannhet, såsom då jordens radie i åtskilliga exempel angifves så noggrannt som på I O m e t e r när.
Å sidan 71 ändtligen förutsätter författaren, a t t lärjungen skall fullkomligt behärska definitionerna på båda de system af trigonometriska storheter, som tillförene uppställts. Det heter näm- ligen där: »de trigonometriska linjernas mätetal äro entydiga funk- tioner af däremot svarande cirkelbåges mätetal. Välj er man t i l l längd- enhet cirkelns radie, så äro de trigonometriska linjernas mätetal identiska med de trigonometriska talen för motsvarande båges me- delpunktsvinkel». Hade det ej v a r i t enklare, som of van är sagdt, a t t icke alls införa sådana definitioner, som göra trigonometriska storheter t i l l funktioner af cirkelns radie? Saken blir af författaren onödigt tillkrånglad, då en trigonometrisk funktion för en cirkelbåge göres t i l l funktion af två variabler: cirkelns radie och bågen, under det man, om den vanliga framställningen följes, slipper undan med b l o t t den senare variabeln.
2^0. För a t t närmare precisera, h v a r i författarens framställning af trigonometriens tillämpningar på trianglars solvering skiljer sig från andras, kan det vara skäl a t t erinra sig den gängse tankegången.
Man uppställer den frågan: hvad behöfver man i allmänhet känna om en triangel, för a t t han skall vara fullt bestämd? Svaret härpå lämnar i de enklaste fallen de af lärjungen från hans geometristudium bekanta euklideiska kongruensfallen Därpå formuleras motsvarande beräkningsuppgifter, h v a r v i d man för tillämpningar i andra fall får på köpet en del satser: sinusteoremet, cosinusteoremeto. s. v . — H r Rydberg följer en något afvikande tankegång. H a n bevisar de sist- nämnda teoremen först. Efter h v a r t och ett lämnas en redogörelse för dettas användbarhet v i d trianglars solvering. Det torde vara en smaksak, hvilkendera riktningen man v i l l följa. Det förefal- ler, som om den äldre uppfattningen ledde t i l l en mera metodisk undervisning, — för a t t använda gängse pedagogiska distinktioner — den senare t i l l en mera systematisk. Men äfven om man behandlar saken på det sätt, som hr Rydberg gör, så är det nog nödvändigt a t t äfven låta den andra synpunkten göra sig gällande, åtminstone så t i l l v i d a a t t lärjungen inser fullkomligt det i n t i m a sambandet mellan hvad han i den plana geometrien tidigare inhämtat om trianglar, och de beräkningsuppgifter, som här genomgås. Författaren und- viker sorgfälligt t.o. m . hvarje hänvisning t i l l kongruensfallen,hvilken väl i alla händelser v i d en r i k t i g t bedrifven undervisning måste gö-
ras. Därför behöfver man ingalunda riskera a t t , såsom i förordet yttras, med den gängse undervisningsmetoden de ofvannämnda sat- serna, sinusteoremet o. s. v., »likasom trängas åt sidan». De kunna nog i alla fall komma t i l l sin rätt och utgöra i själfva verket, såsom författaren betonar, »den viktigaste behållningen af detta kapitel».
Sedan i kapitlet 2 trigonometriens användning v i d trianglars beräkning behandlats,lämnar författaren i det följande kapitlet y t - terligare tillämpningar äfven på stereometriska uppgifter. Här läm- nas en i alla detaljer utförd lösning af 20 allmänna uppgifter och t i l l hvar och en af dessa ansluter sig sedan i exempelsamlingen i ordning ett af de 20 första exemplen, där det således endast gäller a t t insätta speciella värden på bokstäfverna i tidigare härledda formler. V i d de allmänna uppgifterna hade det v a r i t tillfyllest, a t t endast svaren anförts och härledningen lämnats åt lärjungen, undantagsvis i några enstaka fall med en obetydlig anvisning. De följande exemplen 21
—48 äro förträffligt valda och ansluta sig nära t i l l det föregående.
Några af dessa kunna också med fördel lämnas som tillämpningsupp- gifte • på kapitel 4. Måhända är det nyttigare a t t uppskjuta svårare exempel, tills lärjungen någorlunda behärskar ämnet, så a t t han kan komma t i l l målet på olika vägar. H a r han b l o t t en utväg t i l l sitt förfogande, kan det stundom bero på en slump mera än på skick- lighet, om han kommer i n i den r i k t i g a tankekretsen.
Framställningen i kapitlen 4—7, som af han dia generella defi- nitioner, formler, trigonometriska ekvationer, förtjänar likaväl som i kapitlen 2 och 3 a t t betecknas som mönstergill. H v a d som kan vara a t t anmärka är ofta beroende på olika tycke och smak — i alla hän- delser endast obetydligheter. Några sådana må exempelvis anföras.
Man kan fråga, hvarför författaren ej medtager upprepade rötter mera än en gång v i d trigonometriska ekvationer, då d y l i k a v i d något tillfälle uppträda. (Exempelvis i det uträknade exemplet 8 sid. 62 och 63 samt i svaren t i l l exemplen 5 och 17 efter kapitlet 7). I algebran har lärjungen vant sig a t t räkna en d y l i k r o t så många gånger som multiplicitetsgraden angifver, och detta icke endast af det formella skälet, a t t ekvationen då får lika många rötter, som gradtalet anger.
Den grafiska framställningen lär honom också, a t t en djupare grund härtill förefinnes, enär därigenom k l a r t ådagalägges a t t i en d y l i k p u n k t har a>axeln en mer eller mindre i n t i m k o n t a k t med k u r v a n . Men detta senare gäller n a t u r l i g t v i s likavä1, när han har a t t göra med transcendenta som algebraiska ekvationer. Om man således vid en algebraisk ekvation talar om en dubbelrot, 3-faldig r o t o. s. v .
så förefinnes intet skäl a t t frångå den principen v i d transcendenta ekvationer.
I allmänhet menar författaren med Va i öfverensstämmelse med i våra skolböcker gängse bruk en positiv storhet, så i exemplet 10 sid.
64, som är fullständigt uträknadt. I exemplet 9 sid. 63, som också är fullständigt solveradt, förutsätter författaren utan undersökning, då han utbyter cos x m o t ett r o t u t t r y c k , a t t cos x är positiv, såvida icke författaren här tänker sig r o t u t t r y c k e t definieradt på ett all- männare sätt än annorstädes.
I detta sammanhang må också framdragas ex. 22 kap. 7.
| sin x + sin y = a
\ cos x . cos y = b
I det hithörande svaret å sid. 85 angifver författaren värdena på sin x och sin y samt får två värdesystem på dessa storheter. Det i en lärobok meddelade svaret bör, då ej särskilda skäl t i l l undantag före- finnas, vara l i k a fullständigt som det man kräfver af lärjungarne.
Om det är författarens mening a t t å sid. 85 i detta fall b l o t t a n t y d - ningsvis angifva svaret, så behöfves det en upplysning, a t t det ej
i den gifna formen kan anses fullständigt utfördt utan kräfver dis- kussion. Och denna är så pass svår, a t t den tarfvar en ytterligare vägledning än den, som kan anses ligga i det för ändamå et väl valda numeriska exemplet, där a och b erhållit sådana värden, a t t u t t r y c - ket under rotmärket försvinner, så a t t sin x och sin y få samma Vär- den, och b är valdt negativt. Säkerligen behöfves här en t i l l eftertanke ledande fråga. Man har a l l anledning a t t befara, a t t eleven eljest går saken tanklöst förbi, om han ej får uppmärksamheten på lämp- l i g t sätt r i k t a d på a t t b i svaret endast ingår i kvadrat, men i den ursprungliga ekvationen t i l l första dignitet. — Det torde för öfrigt vara obehöfligt påpeka, a t t det omordade svaret t i l l detta i och för sig svåra exempel kan skrifvas under en annan form, som för diskus- sion är mera ändamålsenlig.
Recensenten tycker, a t t äfven i de 16 exempel, som finnas ut- förda i kapitlet 7 på trigonometriska ekvationer, författaren gått väl långt i n på enskildheter. Man löper härvid fara, a t t eleverna få hos sig innött en stereotyp tankegång och a t t behållningen blir vä- sentligt reducerad, därigenom a t t deras själfverksamhet icke tillbör- ligen tages i anspråk. Få de en viss tankegång t i l l skänks, så k a n man vara öfvertygad om, a t t de icke göra sig besvär med att se saken från
någon annan själfständig synpunkt. A t t det ges andra fullt u t så goda betraktelsesätt, som dem läroboken innehåller, kan icke för- nekas. T i l l bestyrkande af detta påstående må följande två exem- pel anföras.
Å sid. 60 har författaren som uppgift n :o 5 a t t lösa ekvationen
a sin x + b cos x ~ c
som bland annat äfven löses på det sätt, a t t sin x och cos x uttryckas x
i tang—. Längre fram sid. 66 finnes en annan uppgift n:o 11 Å
a sin 2x + b sin x cos x + c cos 2x —- d,
och författaren antyder,att man äfven här kan u t t r y c k a sin X och cos x x
i tang —. Man kan hemställa, huruvida det icke är lämpligare a t t o
tvärtom i det förra exemplet u t t r y c k a sin x och cos x i sinus och x
cosinus för — och sedan behandla denna uppgift så, som författaren förfar v i d det sist anförda exemplet. Införas nämligen i det senare exemplet sin x och cos x u t t r y c k t a i tang —, får man j u en fullständig x
a X ekvation af 4:de graden i afseende på tang —.
Å sidan 58 påpekar författaren, a t t det är n y t t i g t a t t u n d v i k a införandet af »rotmärken», ett u t t r y c k , som bättre kunde ersättas med, a t t man af vissa anförda skäl bör söka ställa så t i l l , a t t man ej behöfver kvadrera. Då författaren behandlar exemplet 9 sid. 63
sin x + cos x = v 2
på två sätt, där anförda råd icke beaktas, så hade lämpligen e t t tredje sätt med vänstra ledets uppdelning i faktorer bort anföras. Som sagdt är, håller recensenten före, a t t såväl den ena som den andra af nämnda uppgifter bör lämnas t i l l lärjungarnas eget arbete, då nog alla tänkbara lösningar själfmant komma före t i l l diskussion v i d lexförhöret.
3:o. H r Rydberg har slutligen enligt egen utsago velat taga hänsyn t i l l »med växande styrka höjda röster, som y r k a på ett omläggande af matematikens studium på gymnasialstadiet i syfte a t t göra lär- jungarna förtrogna med funktionsbegreppet och i synnerhet med gra- fisk framställning af funktioner».1 V i d genomförandet af denna före- sats har författaren slagit i n på en väg, som i Sverige och äfven an- norstädes visserligen kan berömma sig af historisk häfd, men som i högsta grad verkat hämmande på utvecklingen, nämligen det för- faringssättet, a t t man fogar en del nya synpunkter såsom ett löst påhäng på den öfriga framställningen. Man erinre sig, hur det gick t i l l , då matematikkurserna i början och m i d t e n af 1800-talet u t v i d - gades, hur planimetrien i stället för a t t inarbetas i den öfriga geo- m e t r i — och algebrakursen blef ett särskildt fristående moment;
hur analytiska geometrien blef tillagd såsom ett nytt ämne i högsta klassen på reallinjen o. s. v . Det ser ut, som om h r Rydberg endast läst första af handlingen i Neue Beiträge,2 hvarför han också enbart citerar denna. Hade han läst jämväl d:r Göttings uppsats i samma band TJber das Lehrziel im mathematischen Unterricht der höheren Realanstalten, hade han funnit, a t t denna modärna sträfvan går utpå • a t t bringa funktionsbegreppet så småningom t i l l klarhet genom a t t omgestalta det sätt, hvarpå matematiken och fysiken h i t t i l l s före- dragits i skolan.
Hur nära t i l l hand ligger det icke a t t v i d införandet af de gene- rella trigonometriska funktionerna motivera deras tecken med a t t helt enkelt hänvisa t i l l , h u r u en punkts läge i planet representeras af koordinaterna x och y med föreskrifna positiva eller negativa tec- ken allt efter punktens läge i olika axelvinklar. Författaren förut- sätter i alla händelser å sidan 73, a t t lärjungarna äro förtrogna med koordinatbegreppet, men å sidan 2, där tecknen för de »trigonome- triska linjerna» bestämmas, refereras ej därtill. Man jämföre härmed Borels" arbete, h v a r i genast nämnda saker komma t i l l sin fulla rätt.
Redan i första kapitlet kommer Borel fram t i l l en grafisk framställ- n i n g af k u r v a n
1 Grafisk framställning skall vara det medel, hvarigenom den nämnda förtrogenheten med funktionsbegreppet vinnes. Man v i l l bi- bringa funktionsbegreppet i geometrisk form, således åskådligt.
. 2 Klein und Riecke, Neue Beiträge zur Frage des mathematischen und physikalischen Unterriehts e t c , Teil I , Leipzig und Berlin, Teubner, 1904. ,
8 Emile Borel, Trigonométrie, Secohd cycle, Paris, Colin, 1904.
y — sin x,
men så har han också a t t stödja sig på sina läroböcker i algebra,1 tack vare h v i l k a funktionsbegreppet i sin geometriska form allt ifrån den klass, som svarar m o t vår femte så småningom bringats t i l l klar- het.
Om också ämnets behandling icke under i Sverige rådande förhål- landen kan blifva lika glatt som hos Borel, så måste man dock besinna, att den grafiska framställningen på grund af sin rent praktiska be- tydelse äfven hos oss ansetts förtjäna en plats redan i realskolan. De skäl, som därvid k o m m i t t i l l sin rätt, äro många gånger omtalade, men må här ännu en gång antydas. E n framställning på grafisk väg, hur en storhet beror af en annan, möter lärjungen under snart sagdt alla lifvets förhållanden. Det är den typiska form, hvarunder den matematiska tankegången på e t t åskådligt sätt gör sig gällande, och det är ej b l o t t i den exakta vetenskapen man påträffar i by- systemet uppdragna k u r v o r . De återfinnas i populära framställningar öfver a l l t i n g , som kan underkastas beräkningar, äfven i våra van- liga tidningar.
Skall väl då denna tankegång, h v a r t i l l grunden b l i f v i t lagd re- dan i femte klassen, förkväfvas för den gosse som fortsätter på gym- nasium? Skall den först i gymnasiets fjärde r i n g återupptagas? Man måste anse a t t författaren gått t i l l väga med en rent af ängslig för- siktighet, då han »för a t t i denna fråga ej gå utvecklingen i förväg» 3 låtit sig ledas af den gamla principen a t t foga de af tidsandan fram- tvingade nya momenten i matematikundervisningen såsom et t supplement t i l l det föregående och fristående från detta. Författa- ren har måhända befarat, a t t e t t r a d i k a l t försök a t t utgifva en bok i trigonometri efter exempelvis Borels mönster skulle finna lika l i - ten genklang som K. P. Nordlunds^ försök för snart 20 år .>edan a t t införa grafisk framställning i nederskolan. Men saken gestaltar sig helt annorlunda nu än då. När lektor Nordlund utgaf sin bok, hade ingen människa tänkt sig, a t t det skull;; vara möjligt a t t införa små- gossar i d y l i k a saker, h v i l k a ansågos först i 7: 2 och ai somliga lärare knappast där kunna med framgång bibringas. N u återigen är den- na reform med godt resultat genomförd i Frankrike genom skol •
1 Emile Borel, Algebre premier vycle, 2 éd., Paris, Colin, 1905, och Algebre 2:e cycle, 2 éd., Paris Colin, 1905.
2 Jämför förordet!
3 Elementarbok i algebra, Upsala, Schultz, 1887.
ordningen af 1902 och på försök i en hel del af Preussens skolor, för a t t ej tala o m det ofantliga inflytande som perry-rörelsen i Eng- land utöfvat på den matematiska undervisningen i detta l a n d8) Goda skäl finnas således för a t t anse författarens försiktighet härvid- lag vara icke så l i t e t öfverdrifven. —
Anda t i l l bokens sista kapitel (sidan 71) uppskjutes införandet af namnet funktion, hvarefter i samband med införandet af nämnda begrepp kurvorna för de enkla trigonometriska funktionerna medde- las. (Därvid må i förbigående anföras, a t t de meddelade sinusoiderna äro misslyckade. Författaren bevisar själf, a t t nämnda k u r v o r skola skära x-axeln under 45 graders vinkel, e t t v i l l k o r , som icke uppfylles af kurvorna i fig. 24 sid 73). Boken afslutas med a t t härleda deriva- torna för sin x och tang x (dock utan a t t införa namnet derivata) samt med a t t lämna några antydningar om de inversa funktionernas mångtydighet.
Om således detta arbete icke kan anses i någon nämnvärd mån tillmötesgå tidens reformkraf på matematikundervisningen, så i n - tager det dock ett framstående r u m bland de böcker af konventionell art, som finnas i vår literatur. Förbigås det, som gäller »trigo- nometriska linjer», d. v . s. om man börjar med sid 4 samt bibringar sista delen af första k a p i t l e t i anslutning t i l l framställningen å sidan 75, så erhåller man en god lärobok, klar, redig och exakt samt försedd med utmärkta exempel. Särskildt torde den inledning, som erhål- les, om saken anordnas på ofvan a n t y d t sätt, t i l l t a l a alla de lärare, som först önska sig de trigonometriska funktionerna definierade för v i n k l a r från och med 0° t i l l och med 360° och därefter omedelbart tillämpade på trianglar.
I I I .
Följer i synnerhet den förstnämnda boken af Mellberg en mo- därnare omklädnad af den väg, som Ptolemazus i sin Almagest inslagit
