eventuella asymptoter, stationära punkter och deras typ

(1)

Sida 1 av 20 GRAFRITNING

För att skissera (rita) grafen till en funktion y = f(x) undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med x och y-axeln, gränsvärdena

) ( lim f x

x +∞→ , lim f(x)

x −∞→ eventuella asymptoter, stationära punkter och deras typ. Vi kan dessutom bestämma eventuella inflexionspunkter. Genom att lösa olikheten f( >x) 0kan vi undersöka för vilka x ligger grafen ovanför x-axeln. I några fall kan det vara nyttigt att bestämma om funktionen är jämn, udda eller "varken udda eller jämn".

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde) eller globalt minimum ( =minsta värde).

Inflexionspunkter: Inflexionspunkt är en punkt där funktionen växlar mellan att vara konvex och konkav. Anta att f(x) har kontinuerlig andraderivata. Nödvändig och tillräckligt villkor för att x ska vara en inflexionspunkt är att ₀ f ′′ x( ₀)=0 och att andraderivatan växlar tecken i x₀.

1. POLYNOM

Polynom dvs funktion f(x)=a_nxⁿ +a₂x² +a₁x+a₀ har ingen asymptot. Polynom är definierat, kontinuerligt och deriverbar för alla x. För att skissera polynomets graf undersöker vi eventuella skärningspunkter med x och y-axeln, stationära (kritiska) punkter f′ x( =) 0) (och deras karakter) och eventuella inflexionspunkter.

Uppgift1. Låt f(x)= x³−3x

a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med axlarna . b) Beräkna lim f(x)

x +∞→ och lim f(x)

x −∞→ .

c) Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter.

d) Bestäm eventuella inflexionspunkter

e) Rita grafen till funktionen. ( Tips. Polynom har ingen asymptot)

f) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maximum/minimum) om de finns?

Lösning.

a) Funktionens definitionsmängd:

Funktionen är definierad för alla x.

---

(2)

Sida 2 av 20 Skärningspunkter med axlarna

y-axeln : vi beräknar f(0) och får f( =0) 0 Grafen skär y-axeln i punkten (0, 0) x-axeln: f(x)=0⇔ x³ −3x=0⇔ x(x² −3)=0.

Tre skärnings punkter x₁ =− 3, x₂ =0 och x₃ =+ 3 ---

b) Vi undersöker funktionen då x→+∞ och x→−∞

lim_{𝑥𝑥→+∞}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→+∞}𝑥𝑥³(1 − 3

𝑥𝑥²) = +∞

𝑥𝑥→−∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→−∞}𝑥𝑥³(1 − 3

𝑥𝑥²) = −∞

c) Stationära punkter (kritiska punkter): f′ x( =) 0 Vi har

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥²− 3 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 ⇒ 3𝑥𝑥²− 3 = 0 ⇒ 𝑥𝑥1,2 = ±1 Två stationära punkter: x₁ =−1 och x₂ =1.

1 =−1

x , maximipunkt eftersom f ′′(−1)=−6<0. Maximivärdet är f(x₁)=2 Motsvarande punkt på grafen är S₁ =(−1,2).

2 =1

x är en minimipunkt eftersom f ′′(1)=6>0. Minimivärdet är f(x₂)=−2 Motsvarande punkt på grafen är S₂ =(1,−2).

d) Inflexionspunkter: Inflexionspunkt är en punkt där funktionen växlar mellan att vara konvex och konkav. Anta att f(x) har kontinuerlig andraderivata. Nödvändig och tillräckligt villkor för att x ska vara en inflexionspunkt är att ₀ f ′′ x( ₀)=0 och att andraderivatan växlar tecken i x₀.

Vi löser ekvationen f ′′ x( =) 0 dvs 6x=0⇔ x=0. Notera att f ′′( =x) 6xändrar tecken i punkten x=0

Alltså är x=0en inflexionspunkt. Motsvarande punkt på kurvan är P=(0,0)

e) Funktionens graf

(3)

Sida 3 av 20

f) Grafen visar att funktionen saknar globalt maximum (dvs största värde). Samma gäller för globalt minimum (minsta värde).

2. RATIONELLA FUNKTIONER

) (

) ) (

( Q x

x x P

f = , där P(x) och Q(x)är två polynom.

TIPS:

a) Funktionen

) (

) ) (

( Q x

x x P

f = , där P(x)och Q(x)är polynom, är definierad om nämnaren 0

) ( ≠x

Q .

b) Vertikala (lodräta ) asymptoter letar vi bland nämnarens nollställen dvs bland lösningar till Q( =x) 0. (Nämnarens nollställen är vertikala asymptoter om de inte kan förkartas bort)

Exempelvis

x x x x

f 5

) 3

( ₂

+

= + har två vertikala (=lodräta) asymptoter x=0 och x=−5.

c) För sneda och horisontella(=vågräta) asymptotter till rationell funktion

) (

) ) (

( Q x

x x P

f =

gäller följande:

asymptot vågrät

en har ) ( )) ( ( ))

(

(P x grad Q x f x

grad ≤ ⇔

asymptot sned

en har ) ( )) ( ( 1

)) (

(P x grad Q x f x

grad = + ⇔

asymptot ät

eller vågr sned

har varken

) ( )) ( ( 1

)) (

(P x grad Q x f x

grad > + ⇔

i) Om grad(P(x))≤ grad(Q(x)) har funktionen en vågrät(=horisontell) asymptot b

y = , (somär både vänster ochhöger asymptot)

(4)

Sida 4 av 20 Talet b lim f(x)

x +∞→

= .

ii) Om grad(P(x))=1+grad(Q(x)) har funktionen en sned asymptot y=ax+b asymptot).

höger och vänster både

är

(som Vi kan bestämma a och b med hjälp av formlerna

x x a f

x

) lim_→_+∞ (

= , b lim[f(x) ax]

x −

= →+∞

eller (enklare sätt) genom att utföra polynom division

) (

) ( )

( ) (

x Q

x b R x ax

Q x

P = + +

iii) Om grad(P(x))>1+grad(Q(x)) har funktionen varken sned eller vågrät asymptot Exempel:

i) x x

x x

f 5

) 1

( ₃³

+

= + har en vågrät asymptot {y=1 eftersom 1 5 lim ₃³ 1 =

+ +

+∞

→ x x

x

x }

x x x x

f +

= ₃+4 )

( har en vågrät asymptot {y=0 eftersom lim ₃ 4 =0 + +

+∞

→ x x

x

x }

ii)

x x

x x x x

f +

+ +

= ³+3₂² 3 3 )

( har en sned asymptot , eftersom grad(täljaren)

=1+grad(nämnaren).

Vi kan bestämma asymptoten med hjälp av ovanstående formler eller direkt med polynom division

x x x x

x x

x x x x

f +

+ + + + =

+ +

= ³+3₂² 3 3 2 ₂ 3

)

( .

Därför är y= x+2 en sned asymptot ( både vänster och höger) Förklaring: Vi ser att termen

x x

x + +

2 3 går mot 0 om x→±∞ och därför f(x)−(x+2)→0. iii)

4 ) 1

( ₂⁵

−

= + x x x

f har varken sned eller vågrät asymptot eftersom ))

( ( 1

)) (

(P x grad Q x

grad > + .

Uppgift 2. Låt

1 ) 1

( ²

− +

= − x

x x x

f .

i) Bestäm

(5)

Sida 5 av 20 a) funktionens definitionsmängd

b) eventuella skärningspunkter med axlarna c) Beräkna lim f(x)

x +∞→ och lim f(x)

x −∞→ . d) asymptoter

e) stationära (kritiska) punkter f) inflexionspunkter

ii) Rita grafen till funktionen

iii) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maximum/minimum) om de finns?

Lösning:

1 1 1

) 1

( ²

+ −

− = +

= −

x x x

f ( polynomdivision)

Funktionen är definierad om x≠1 b) Skärningspunkter med axlarna

y-axeln: f(0)=−1. Grafen skär y-axeln i punkten (0, –1)

x-axeln: Ekvationen f(x)=0⇔ x² −x+1=0 har inga reella lösningar ⇒ ingen skärnings punkt med x-axeln

𝒄𝒄) lim_{𝑥𝑥→+∞}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→+∞}(x + 1

x − 1) = ∞ + 0 = ∞ lim_{𝑥𝑥→ − ∞}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→−∞}(x + 1

x − 1) = −∞ + 0 = −∞

d) asymptoter

d1. Funktionen har en lodrät asymptot x=1 eftersom f(x)→∞ då x→1. d2. Vågräta asymptoter saknas eftersom

𝑥𝑥→+∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ∞ , lim_{𝑥𝑥→ − ∞}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −∞ , ( se frågan c)

d3. Sneda asymptoter

(6)

Sida 6 av 20

Metod1. ( Passar bra för rationella funktioner) Om vi analyserar funktionen på formen 1

) 1

( = + −

x x x

f då ser vi att bråkdelen 1 1

x− går mot 0 då x→±∞. Eftersom

±∞

→

≈ x x

x

f( ) då d v s f(x)−x→0 då x→±∞

har funktionen en sned asymptot y = då x x→±∞. Metod2. ( Kan användas för alla funktioner)

Vi beräknar 𝑘𝑘 = lim_{𝑥𝑥→+∞}𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑥𝑥 = lim^{𝑥𝑥→+∞}(1 + 1

x(x − 1)) = 1 𝑛𝑛 = lim_{𝑥𝑥→+∞}(𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑘𝑘𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→+∞}(x + 1

x − 1 − 1𝑥𝑥) = lim^{𝑥𝑥→+∞}( 1

x − 1) = 0

därför y=x är en höger sned asymptot ( samma resultat gäller för rationella funktioner om

−∞

x→

e) Stationära punkter (kritiska punkter): f′ x( =) 0

Första derivatan: ₂ ² ₂

) 1 (

) 2 ( )

1 (

) 1 (

) 1 )(

1 2 ) (

( −

= −

−

+

−

= −

′ x

x x x

x x f

Andra derivatan: ₃

) 1 ( ) 2

( = −

′′ x x f

Stationera punkter: 0 0, 2

) 1 (

) 2 0 (

)

( ₂ = ⇒ ₁ = ₂ =

−

⇒ −

′ = x x

x x x x

f

Två stationära punkter: x₁ =0, x₂ =2.

1 =0

x är en maximipunkt eftersom f ′′(0)=−2<0. Maximivärdet är f(0)=−1 Motsvarande punkt på grafen är S₁=(0,−1).

2 =2

x är en minimipunkt eftersom f ′′(2)=2>0. Minimivärdet är f( =2) 3 Motsvarande punkt på grafen är S₁ =(2,3).

f) Inflexionspunkter:

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 0 ⇒ 2

(𝑥𝑥 − 1)³ = 0 (𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑙𝑙ö𝑠𝑠𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖) Funktionen har ingen inflexionspunkt

g) funktionens graf

(7)

Sida 7 av 20

iii) Funktionen saknar globalt maximum/minimum (största/ minsta värde)

Uppgift 3.

Låt 2 5

) 4

( ₂²

+ +

+

= +

x x

x x x

f

Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen.

Bestäm funktionens största och minsta värde (dvs globalt maximum och minimum) om de finns?

Lösning:

1. (Definitionsmängd.) Ekvationen x² +2x+5=0⇔x=−1± 1−5 saknar reella lösningar (nämnaren har inga reella nollställen) . Därmed är funktionen definierad (och kontinuerlig) för alla x.

2. (Asymptoter).

2a) (Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla x) ^⇒(Ingen vertikal (=lodrät) asymptot)

(8)

Sida 8 av 20

2b) 1

5 ) 1 2

(

4 ) 1 1

lim ( 5 2 lim 4

2 2

2

2 =

+ +

+

= + + +

+ +

+∞

→ +∞

→

x x x

x x

x

x . (y = 1 är en höger horisontell (vågrät)

asymptot).

Samma resultat får vi i detta exempel om x → –∞

) 1 5 1 2

(

4 ) 1 1

lim ( 5 2 lim 4

2 2

2

2 =

+ +

+

= + + +

+ +

−∞

→

−∞

→

x x x

x x

x

x (y = 1 är en höger horisontell (vågrät) asymptot).

Alltså har funktionen en horisontell (vågrät) asymptot y = 1.

3. (Stationära punkter) Inga sneda asymptoter. Vi har

+ = +

+ +

+

− + +

= +

′ ² ₂ ² ₂

) 5 2 (

) 2 2 )(

4 (

) 5 2 )(

1 2 ) (

( x x

x x

x x x

f

+ = +

−

− + + + +

= +

′ ³ ² ² ₂ ³ ₂ ² ²

) 5 2 (

8 8 2 2 2 2 5 2 10

4 ) 2

( x x

x x x x x x

x x x

x x f

1 ,

3 ) 0

5 2 (

) 1 )(

3 ( ) 5 2 (

3 ) 2

( ₂² ₂ ₂ ₂ = ⇒ =− =

+ +

−

= + + +

−

= +

′ x och x

x x

x x x

x x x x

f

75 , 4 0 ) 3 1 ( 25

, 4 1 ) 5 3

(− = = och f = =

f

Derivatans teckentabell: Notera att nämnaren (x² +2x+5)² är >0 för alla x och därmed inte påverkar derivatans tecken. Vi behöver inte inkludera denna term i tabellen.

–3 1

3

x+ – 0 + + +

1

x− – – – 0 +

)

f ′ (x + 0 – 0 +

)

f(x MAX MIN

visar att – 3 är en lokal maximipunkt, funktionens maximivärde är

4 ) 5 3 (− =

f ,

(9)

Sida 9 av 20

medan 1 är en lokal minimipunkt, funktionens minimivärde är

4 ) 3 1

f( = .

Motsvarande punkter på grafen är )

4 ,3 1 ( och 4)

,5 3

( ₂

1 S

S − .

4.Funktionens graf.

Funktionen har globalt maximum (största värde) = 45 Funktionens globalt minimum (minsta värde) =

4 3

Uppgift 4.

Låt ³ ₂

) 3

( x

x x f

y= = − .

a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med axlarna.

b) Bestäm eventuella asymptoter

c) Bestäm stationära (kritiska) punkter och deras typ e) Rita grafen till funktionen.

Lösning.

a) (Definitionsmängd.) Funktionen är definierad om nämnaren 3−x² ≠0 dvs om x ≠± 3.

(10)

Sida 10 av 20 0

0 )

(x = ⇔x =

f . Grafen går genom origo.

b) (Asymptoter).

(Funktionen har två vertikala (=lodräta) asymptoter x= 3 och x=− 3.

−∞

− =

= ∞

−

− =

= →+∞ →+∞

+∞

→ lim 3 1 0 1

lim 3 ) ( lim

2 2

3

x x x

x x

f x x

x . (ingen höger horisontell (vågrät)

asymptot).

+∞

− =

∞

= −

−

− =

= →−∞ →−∞

−∞

→ lim 3 1 0 1

lim 3 ) ( lim

2 2

3

x x x

x x

f x x

x . (ingen vänster horisontell (vågrät)

asymptot).

För att bestämma eventuella sneda asymptoter för en rationell funktion, i vårt fall ³ ₂ 3 x y x

= − utför vi först polynomdivision:

2 2

3

3 3

3 x

x x x y x

+ −

−

− =

= (kontrollera själv)

Vi ser direkt att 0 3

3

2 →

−x

x om x→±∞.

Därför är y −= x en sned asymptot då x→±∞. c) Stationära punkter

2 2

2 2 2

2 3 2 2

) 3 (

) 9 ( )

3 (

) 2 ( ) 3 ( ) 3

( x

x x

x

x x x x x

f −

= −

−

= −

′

0 )

′ x( =

f ger tre stationära punkter x₁ =−3, x₂ =0 och x₃ =+3. Lägg märke till att endast utrycket 9 x− ² ändrar tecken.

x-värden −3 − 3 0 3 3

x 2 + + + + + 0 + + + + +

) 9

( −x² – 0 + + + + + + + 0 –

2 2) 3

( −x + + + 0 + + + 0 + + +

)

f ′(x – 0 + ej def + 0 + ej def + 0 –

)

f(x ↘ MIN ↗ ej def ↗ terrassp ↗ ej def ↗ MAX ↘

(11)

Sida 11 av 20 Funktionen har (lokalt) minimum

2 ) 9 3 (− =

f i punkten x₁ =−3, terrasspunkt i x₂ =0 och (lokalt) maximum

2 ) 9 3 ( =−

f ix₃ =+3

Grafen till ³ ₂ ) 3

( x

x x

f = − .

NÅGRA EXEMPEL MED EXPPONENTIAL- LOGARITM- OCH ANDRA FUNKTIONER

Uppgift 5. Låt f(x)=e⁻^x²

a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med axlarna.

b) Bestäm eventuella asymptoter

c) Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter.

d) Bestäm eventuella inflexionspunkter e) Rita grafen till funktionen.

f) Bestäm funktionens värdemängd

(12)

Sida 12 av 20

g) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maximum/minimum) om de finns?

Lösning.

Funktionen är definierad för alla x.

Skärningspunkter med axlarna

y-axeln: f( =0) 1 . Grafen skär y-axeln i punkten (0, 1)

x-axeln: f(x)=0⇔e^−x² =0, ingen lösning (e^t >0 för alla t) Ingen skärning punkt med x-axeln

b) Ingen vertikal asymptot ( f(x) är definierad och kontinuerlig för alla x) 0

lim ) (

lim = ⁻ ² =

+∞

→ +∞

→

x x

x f x e , lim ( )= lim ⁻ ² =0

−∞

→

−∞

→

x x

x f x e

Därför har funktionen en vågrät asymptot y=0 ( dvs x-axeln) c) Stationära punkter (kritiska punkter):

2 2

)

(x xe ^x

f′ =− ⁻ _, f ′′(x)=−2e⁻^x² +4x²e⁻^x² 0

0 2

0 )

( = ⇔− ² = ⇔ =

′ x xe⁻ x

f ^x

En stationär punkt x=0 , maximipunkt eftersom f ′′(0)=−2<0. Mutsvarande punkt på grafen är S=(0,1)

d) Inflexionspunkter:

2 0 1

) 4 2 ( 0

4 2

0 )

( = ⇔− ² + ² ² = ⇔ ² − + ² = ⇔ ₁_,₂ =±

′′ x e⁻ x e⁻ e⁻ x x

f ^x ^x ^x .

Två inflexionspunkter

2

2 1

, 1 =±

x . Motsvarande punkter på grafen:

𝐼𝐼₁ = �⁻¹_√2, 𝑖𝑖^−1/2 � och 𝐼𝐼₂ = �_√2¹ , 𝑖𝑖^−1/2 � e) Funktionens graf:

(13)

Sida 13 av 20

Notera att funktionen är jämn eftersom f(−x)= f(x)och därför är funktionens graf symetrisk i y-axeln.

f) Funktionen antar alla värden i intervallet 0<y≤ 1. Därför är funktionens värdemängd lika med intervallet Vf= (0, 1]

g) Funktionen har globalt maximum (största värde) =1 Globalt minimum (minsta värde) saknas

Uppgift 6 Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen

a) f(x)=(x−2)e^x b) f( =x) 5x²e^x Svar a) Funktionen är definierad för alla x.

ex

x x

f( )=( −2) , f′(x)=(x−1)e^x, f ′′ )(x = xe^x Funktionen har minimum y_min = −e om x=1.

y=0 är en vänster vågrät asymptot.

Grafen:

(14)

Sida 14 av 20 Svar b) Funktionen är definierad för alla x.

ex

x x

f( =) 5 ² , f′(x)=5(x² +2x)e^x, f ′′(x)=5(x² +4x+2)e^x Funktionen har maximum y_max =20e⁻² om x=–2.

Funktionen har minimum y =_min 0 om x=0.

y=0 är en vänster vågrät asymptot.

Grafen:

Uppgift 7. Låty = f( =x) xlnx

Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med axlarna. Bestäm eventuella asymptoter, stationära (kritiska) punkter (och deras karakter), inflexionspunkter och rita grafen till funktionen.

(15)

Sida 15 av 20 Lösning.

Funktionen är definierad för x>0 b) Skärningspunkter med axlarna

y-axeln: Funktionen skär inte y-axeln eftersom f(0) är inte definierad.

( Vi kan däremot beräkna lim_{𝑥𝑥→0+}𝑓𝑓(𝑥𝑥), se frågan c nedan) x-axeln: f(x)=0⇔ xlnx=0⇔lnx =0⇔ x=1 En skärningspunkt, x=1, med x-axeln.

( Anmärkning: x=0 kan inte accepteras som ett nollställe eftersom funktionen är inte definierad i 0)

c) Vi undersöker funktionen vid definitionsområdets gränspunkter dvs då 𝒙𝒙 → 𝟎𝟎 och då 𝒙𝒙 → +∞.

lim_{𝑥𝑥→0+}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→0+}𝑥𝑥𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥

[= "0 ∙ (− ∞)" 𝑠𝑠. 𝑘𝑘. 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖𝑠𝑠𝑜𝑜ä𝑚𝑚𝑜𝑜 𝑢𝑢𝑜𝑜𝑜𝑜𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘]

Vi skriver om uttrycket och använder l’ Hospitals regel

𝑥𝑥→0+lim𝑥𝑥𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 = lim_{𝑥𝑥→0+}𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥

𝑥𝑥⁻¹ = [𝐿𝐿′𝐻𝐻𝑜𝑜𝑠𝑠𝐻𝐻𝑖𝑖𝑜𝑜𝐻𝐻𝑙𝑙 ] lim_{𝑥𝑥→0+} 𝑥𝑥⁻¹

−1𝑥𝑥⁻² = lim_{𝑥𝑥→0+}(−𝑥𝑥) = 0 Alltså f(x) går mot 0 då x går mot 0 och därför har funktionen ingen lodrät asymptot.

( Funktionen är inte definierad i 0 me grafen ”går” mot punkten (0,0) )

𝑥𝑥→+∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→+∞}𝑥𝑥𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 = ∞ Därför har funktionen ingen vågrät asymptot

Sneda asymptoter saknas eftersom

𝑥𝑥→+∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) /𝑥𝑥 = lim_{𝑥𝑥→+∞}𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 = ∞ Därmed har funktionen ingen sned asymptot.

d) Stationära punkter (kritiska punkter):

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1 + 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) =1 𝑥𝑥

(16)

Sida 16 av 20

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 ⇒ 1 + 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑖𝑖⁻¹ En stationär punkt x =1/e.

e e e e

f(1/ )=1ln(1)=−1. Minimum f ′′(1/e)=e>0 Mutsvarande punkt på grafen

𝑆𝑆 = (𝑖𝑖⁻¹, −𝑖𝑖⁻¹) = (1 𝑖𝑖 ,

−1 𝑖𝑖 )

e) Inflexionspunkter saknas eftersom ekvationen 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 0 har ingen lösning f) Funktionens graf

Uppgift 8.Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen

2 ) 2 ln(

) 10

( +

= + x x x

f .

Svar. Funktionen är definierad för x > –2.

x = –2 är en vertikal (=lodrät) asymptot, y=0 är en höger vågrät asymptot.

2 ) 2 ln(

) 10

( +

= + x x x

f , ₂

) 2 (

)) 2 ln(

1 ( ) 10

( +

+

= −

′ x

x x f Funktionen har maximum

y 10e

max = om x=e–2.

Grafen:

(17)

Sida 17 av 20

Uppgift 9.Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen

a) 1

) 1

( ₂

= + x x

f b)

) 1

( ₄

= + x x x

f c) f(x)=1− 3+2x−x² Svar:

a) 1

) 1

( ₂

= + x x f

Funktionen är definierad för alla x. En vågrät( horisontell) asymptot y=0.

2 / 3 2 1) ) (

( +

= −

′ x

x x

f ger y_max =1 för x=0 Grafen:

(18)

Sida 18 av 20 Notera att e funktionen

1 ) 1

( ₂

= + x x

f är jämn eftersom f(−x)= f(x)och därför är funktionens graf symetrisk i y-axeln.

b) ( ) 1

4+

= x

x x

f Funktionen är definierad för alla x. En vågrät( horisontell) asymptot y=0.

2 / 3 4

4

) 1 ( ) 1

( +

= −

′ x

x x

f ger

2

min = − 2

y för x = –1 och

2 2

max =

y för x=1

Grafen:

Notera att funktionen ) 1

( = 4+

x x x

f är udda eftersom f(−x)=−f(x)och därför är funktionens graf symetrisk i origo.

c) f(x)=1− 3+2x−x² .

Funktionen är definierad om –1 ≤ x ≤3 ( lös olikheten 3+2x−x² ≥0)

2 2

3 ) 1

( x x

x x

f + −

= −

′

min =−1

y för x = 1.

Funktionen antar sitt största värde y_max =1 i ändpunkterna x=±1. .

(19)

Sida 19 av 20 Uppgift 10.. Låt 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 + 2𝐻𝐻𝑢𝑢𝑢𝑢𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑥𝑥) − 4√1 − 𝑥𝑥² Bestäm funktionens definitionsmängd.

Bestäm eventuella asymptoter

Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter.

Rita grafen till funktionen.

Villkor 1. Funktionen 𝐻𝐻𝑢𝑢𝑢𝑢𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑥𝑥) är definierad om −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1.

Villkor 2. Funktionen √1 − 𝑥𝑥² är definierad om 1 − 𝑥𝑥²≥ 0 ⇔ 𝑥𝑥²≤ 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 − 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 ( samma krav som i V1)

Alltså 𝐷𝐷𝑓𝑓 = [−1, 1] ( Lägg märke till att funktionen är definierad i ändpunkterna -1 och 1.) b) Asymptoter:

För funktionens värden i ändpunkterna har vi

𝑥𝑥→−1lim+𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(−1) = 1 − 𝜋𝜋

𝑥𝑥→1lim₋𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(+1) = 1 + 𝜋𝜋 Alltså saknar funktionen lodräta (vertikala) asymptoter.

Vi kan inte betrakta gränsvärdena 𝑥𝑥 → ±∞ eftersom funktionen är definierad endast för

−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1. Därför saknar funktionen sneda ( och vågräta) asymptoter.

(20)

Sida 20 av 20 c) Stationära punkter (kritiska punkter):

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2

√1 − 𝑥𝑥²+ 4𝑥𝑥

√1 − 𝑥𝑥² = 2 + 4𝑥𝑥

√1 − 𝑥𝑥² (∗) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 ⇔ 2 + 4𝑥𝑥

√1 − 𝑥𝑥²= 0 ⇔ 𝑥𝑥 = −1/2 Funktionens värde i punkten 𝑥𝑥 = −1/2 är

𝑓𝑓(−1/2) = 1 + 2𝐻𝐻𝑢𝑢𝑢𝑢𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(−1/2) − 4�3/4 = 1 −^𝜋𝜋₃ − 2√3

Alltså har funktionen en stationär punkt 𝑆𝑆1= ( −¹₂, 1 −^𝜋𝜋₃ − 2√3 ) Enligt (*) har vi

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 om 𝑥𝑥 < −1/2 ( avtar funktionen ) och

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 om 𝑥𝑥 > −1/2 ( växer funktionen ) Därmed har funktionen

minimum i punkten

𝑥𝑥 = −1/2, 𝑢𝑢𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1 −^𝜋𝜋₃ − 2√3