MATEMATISKA VETENSKAPER Chalmers

MATEMATISKA VETENSKAPER Chalmers

Datum: 2011-08-25

Telefon: Adam Wojciechowski 0703 - 088304

Skrivtid: 8.30  13.30

Tentamen i Fourieranalys MVE030 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 för TM2

Hjälpmedel: Godkänd räknedosa, BETA samt Några tips om Fou- rierserier m.m. i BETA (två sidor).

(maxpoäng inom parentes, med summa 60) 1. Bestäm Fourierserien för den 2π-periodiska funktion f som

ges av f(x) = cosh x, |x| ≤ π. Beräkna också

∞

X

n=1

1 1 + n

.

(4+4) 2. Lös problemet







(1 + t

)u

= ku

, 0 < x < `, t > 0, u(0, t) = 0, u

(`, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = x, 0 < x < `.

Här är ` och k positiva konstanter. (8) 3. Ett dynamiskt system kännetecknas av att insignalen f ger en utsignal vars Fouriertransform är ˆ f (ω)/(1 + ω

) . Vilken insignal ger då utsignalen x

sin 2x ? Vad är systemets im-

pulssvar? (4+3)

4. Bestäm en lösning till värmeledningsekvationen u

= u

i första kvadranten x, t > 0, med randvillkoren

u(x, 0) = cos x, x > 0 och u

(0, t) = 1/ √

t, t > 0.

(8)

5. Bestäm den bästa approximationen, mätt med normen i L

[0, π] , av funktionen f(x) = cos x i det linjära rum som spänns upp av funktionerna sin x, sin 2x och sin 3x. (7) 6. Lös följande Dirichletproblem i den cylinder som ges av

x

+ y

< R

, 0 < z < h :



 



 



∆u(x, y, z) = 0

u(x, y, 0) = 1 för x > 0 och = 0 för x < 0 u(x, y, h) = 0

u(x, y, z) = 0 för x

+ y

= R

.

(10) 7. Härled formeln för den genererande funktionen för Bessel-

funktioner. (6)

8. Givet ett ortogonalsystem i rummet L

[a, b] , ange tre ekvi- valenta villkor för att detta system är fullständigt. Ge också exempel på ett fullständigt och ett ofullständigt system, för

något val av a och b. (4+2)

2

MATEMATISKA VETENSKAPER

Chalmers Datum: 2011-08-25

L ¨ OSNINGAR TILL

tentamen i Fourieranalys MVE030 f¨ or F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 f¨ or TM2

Uppgift 1.

Eftersom funktionen f ¨ ar j¨ amn, kan den utvecklas i cosi- nusserie, f (x) = a

/2 + P

1

a

cos nx, d¨ ar a

= 2

π Z

0

cosh x cos nx dx, n = 0, 1, 2, . . . .

Denna integral kan ber¨ aknas p˚ a flera s¨ att. Det enklaste ¨ ar kanske att se faktorn cos nx som realdelen av e

och in- tegrera de tv˚ a termerna e

f¨ or att sen ta realdelen av den erh˚ allna integralen. Detta ¨ ar lite elegantare ¨ an att ut- trycka integranden i termer av exp av ±x och ±inx och integrera fyra termer. Man kan ocks˚ a partialintegrera tv˚ a g˚ anger, vilket ger att integralen ¨ ar summan av utintegre- rade termer och en multipel av samma integral. H¨ ar ska vi i st¨ allet anv¨ anda formeln 332 i BETA 7.4, sidan 175, som ger en primitiv funktion till exp ax cos bx. Genom att v¨ alja a = ±1 och b = n f˚ ar man

a

= 1 π

 e

1 + n

(cos nx + n sin nx) + e

1 + n

(− cos nx + n sin nx)



. H¨ ar ger sinustermerna inget bidrag, och cosinustermerna tar ut varandra i 0. Man f˚ ar

a

= 2 sinh π π

(−1)

1 + n

. Fourierutvecklingen av f ¨ ar allts˚ a

f (x) = sinh π

π + 2 sinh π π

∞

X

1

(−1)

1 + n

cos nx.

2

Anm 1. Ett smart, alternativt s¨ att att hitta denna Fouri- erserie ¨ ar att observera att cosh x = cos ix och att Fourier- serien f¨ or funktionen cos αx i BETA 13.1 (15) g¨ aller ¨ aven f¨ or α = i.

F¨ or att finna den s¨ okta summan vill vi v¨ alja x = π i denna serieutveckling. Fr˚ agan ¨ ar d˚ a om serien konvergerar i den- na punkt. Men f ¨ ar kontinuerlig i punkten x = π, eftersom den ¨ ar j¨ amn och 2π-periodisk. D¨ armed ¨ ar den kontinuer- lig p˚ a hela linjen. Eftersom f ocks˚ a ¨ ar styckvis glatt, ger konvergenssatsen att Fourierserien konvergerar mot f (x) i varje punkt x. Vi kan allts˚ a s¨ atta x = π och f˚ ar

∞

X

1

1

1 + n

= π coth π

2 − 1

2 .

Anm. 2 Man kan v¨ alja att best¨ amma den komplexa formen av Fourierserien i st¨ allet f¨ or cosinusserien. R¨ akningarna blir ganska likartade. Men f¨ or att sedan ber¨ akna den s¨ okta sum- man m˚ aste man d˚ a sl˚ a ihop termerna med n och −n eller ta realdelen, vilket v¨ asentligen betyder att g˚ a ¨ over till co- sinusserien.

Uppgift 2.

Randvillkoren f¨ or x = 0 och x = ` ¨ ar homogena, s˚ a man kan variabelseparera och ans¨ atta u(x, t) = X(x)T (t). Ek- vationen blir

1

k (1 + t

) T

T = X

X ,

och denna kvantitet m˚ aste vara konstant, s¨ ag µ. Det be- tyder att X

= µX, och randvillkoren ger X(0) = 0 och X

(`) = 0. D˚ a ser vi (som vanligt) att det inte finns n˚ agra l¨ osningar med µ > 0 eller µ = 0, f¨ orutom noll¨ osningen. F¨ or µ < 0 skriver vi µ = −ν

d¨ ar ν > 0 och finner l¨ osningar X(x) = sin νx med ν = (n − 1/2)π/`, n = 1, 2, . . . . F¨ or T f˚ ar vi ekvationen

T

T = − kν

1 + t

,

3

en ekvation som ¨ ar separabel och l¨ oses genom integration av b˚ ada leden. Man f˚ ar

ln T = −kν

arctan t + C,

s˚ a T ¨ ar proportionell mot exp (−kν

arctan t). Nu kan vi ans¨ atta

u(x, t) =

∞

X

n=1

a

e

2

`2 arctan t

sin(n − 1 2 ) π

` x.

Initialvillkoret ger att

∞

X

n=1

a

sin(n − 1 2 ) π

` x = x

f¨ or 0 < x < `. I detta intervall bildar funktionerna

sin(n −

)

x ett fullst¨ andigt ortogonalsystem. De ¨ ar n¨ am- ligen egenfunktionerna till det regulj¨ ara Sturm-Liouville- problemet

f

+ λf = 0, f (0) = 0 f

(`) = 0.

Att det ¨ ar s˚ a s˚ ag vi n¨ ar vi best¨ amde X nyss, µ motsvarar

−λ. Man finner att k sin(n −

)

xk

= `/2, och koefficien- terna a

ges av

a

= 2

` Z

0

x sin(n − 1 2 ) π

` x dx = 8`

π

(−1)

(2n − 1)

,

det sista efter en partialintegration. Vi kan sammanfatta svaret:

u(x, t) = 8`

π

∞

X

n=1

(−1)

(2n − 1)

e

2

`2 arctan t

sin(n − 1 2 ) π

` x.

Anm. Det g˚ ar att f˚ a fram uttrycket f¨ or a

ur BETA 13.1 (6) med h = L = `, om man d¨ ar s¨ atter t = (x + `)/2 f¨ or att g˚ a ¨ over fr˚ an en cosinusserie till en sinusserie.

Uppgift 3.

Systemfunktionen ¨ ar 1/(1 + ω

). Impulssvaret ¨ ar inversa

Fouriertransformen av systemfunktionen, i detta fall

e

.

4

Den givna utsignalen x

sin 2x har Fouriertransformen πχ

. Genom att dividera med systemfunktionen kom- mer vi till insignalens Fouriertransform, som allts˚ a m˚ aste vara π(1 + ω

)χ

. Insignalen vi s¨ oker ¨ ar d¨ arf¨ or inversa Fouriertransformen av πχ

+ πω

χ

. Eftersom fak- torn ω p˚ a Fouriersidan motsvarar derivering av funktionen,

¨

ar detta sin 2x

x − d

dx

sin 2x

x = (5x

− 2) sin 2x + 4x cos 2x

x

,

det sista efter lite r¨ akningar. Det ¨ ar ungef¨ ar lika enkelt att i st¨ allet direkt ber¨ akna inversa Fouriertransformen av πω

χ

.

Svaren p˚ a fr˚ agorna blir allts˚ a (5x

− 2) sin 2x + 4x cos 2x

x

resp. 1

2 e

.

Uppgift 4.

H¨ ar anv¨ ander man l¨ ampligen en Laplacetransform i t-varia- beln, och s¨ atter U (x, s) = Lu(x, s). P˚ a grund av begynnelse- villkoret u(x, 0) = cos x blir d˚ a differentialekvationen

sU (x, s) − cos x = U

(x, s).

Detta ¨ ar f¨ or varje fixt s > 0 en ordin¨ ar differentialekva- tion i varabeln x med konstanta koefficienter. Motsvarande homogena ekvation sU (x, s) = U

(x, s) har den allm¨ an- na l¨ osningen U (x, s) = A exp(x √

s) + B exp(−x √

s) med konstanter A och B, som dock kan bero av s. F¨ or att hit- ta en partikul¨ arl¨ osning kan man ans¨ atta en linj¨ arkombi- nation av cos x och sin x (eller exp(±ix)), och man finner U (x, s) = (s + 1)

cos x. Vi kommer allts˚ a fram till att den allm¨ anna l¨ osningen till differentialekvationen ¨ ar

U (x, s) = cos x

s + 1 + A exp(x √

s) + B exp(−x √

s).

5

H¨ ar f¨ orkastar vi termen A exp(x √

s) eftersom exp(x √ s) v¨ axer f¨ or snabbt f¨ or stora t f¨ or att vara en Laplacetrans- form. Observera att uppgiften ¨ ar att hitta en l¨ osning till problemet. Randvillkoret u

(0, t) = 1/ √

t blir Laplacetrans- formerat U

(0, s) = pπ/s, enligt BETA 13.5 L57. Genom att derivera uttrycket f¨ or U ovan (utan A-term) map. x och sen s¨ atta x = 0, f˚ ar vi

0 − B √

s = p π/s.

Allts˚ a ¨ ar B = − √

π/s, och d˚ a blir U (x, s) = cos x

s + 1 −

√ π

s exp(−x √ s).

Vi tar nu inversa Laplacetransformen av detta. BETA 13.5 L21 och L62 ger

u(x, s) = e

cos x − √ π erfc

 x 2 √

t

 , som ¨ ar den s¨ okta l¨ osningen.

Uppgift 5.

De tre sinusfunktionerna ¨ ar sinsemellen ortogonala p˚ a [0, π], eftersom de ing˚ ar i ortogonalsystemet sin nx, n = 1, 2, . . . . Enligt satsen om b¨ asta approximation ¨ ar den s¨ okta b¨ asta approximationen detsamma som ortogonalprojektionen av f p˚ a det angivna linj¨ ara rummet och ges av de tre f¨ orsta termen i utvecklingen av f i sinusserie p˚ a intervallet. Enligt BETA 13.1 (11) med L = π och h = 1 ¨ ar denna utveckling

cos x = 8 π

∞

X

k=1

k

4k

− 1 sin 2kx.

Detta inneb¨ ar att de udda Fourierkoefficienterna ¨ ar 0, s˚ a att de tre f¨ orsta termerna tillsammans ¨ ar 0 +

sin 2x + 0.

Svaret p˚ a uppgiften blir d˚ a

sin 2x.

6

Uppgift 6.

Vi anv¨ ander cylindriska koordinater s˚ a att u = u(r, θ, z), d¨ ar 0 ≤ r ≤ R

och |θ| ≤ π och 0 ≤ z ≤ h. Ekvationen blir

u

+ 1

r u

+ 1

r

u

+ u

= 0,

med randv¨ ardena u(r, θ, 0) = 1 d˚ a |θ| < π/2 och = 0 d˚ a π/2 < |θ| ≤ π samt u(r, θ, h) = 0 och u(R

, θ, z) = 0. Vi separerar variabler genom att ans¨ atta u = R(r)Θ(θ)Z(z) och f˚ ar

R

+ r

R

R + r

Θ

Θ = − Z

Z = λ,

d¨ ar som vanligt λ m˚ aste vara konstant. Det f¨ oljer att r

R

+ rR

R − λr

= − Θ

Θ ,

och denna kvantitet m˚ aste ocks˚ a vara konstant. Eftersom Θ ¨ ar 2π-periodisk, m˚ aste konstantens v¨ arde vara av formen n

f¨ or n˚ agot heltal n ≥ 0, och Θ ¨ ar en linj¨ arkombination av cos nx och sin nx. F¨ or R f˚ ar vi d˚ a

r

R

+ rR

− (λr

+ n

)R = 0.

Om λ < 0, s¨ ag λ = −µ

med µ > 0, ¨ ar detta Bessels differentialekvation r

R

+ rR

+ (µ

r

− n

)R = 0. Dess allm¨ anna l¨ osning ¨ ar R(r) = aJ

(µr) + bY

(µr). Eftersom R ska vara begr¨ ansad f¨ or r n¨ ara 0, m˚ aste h¨ ar b vara 0.

Randvillkoret R(R

) = 0 medf¨ or d˚ a att µ = λ

/R

, d¨ ar λ

, k = 1, 2, . . . , som vanligt betecknar nollst¨ allena till J

p˚ a positiva halvaxeln.

Innan vi forts¨ atter med detta fall, unders¨ oker vi ¨ ovriga v¨ arden p˚ a λ. Om λ = ν

> 0, f˚ ar vi den modifierade Bes- selekvationen r

R

+ rR

− (ν

r

+ n

)R = 0, med allm¨ an l¨ osning R(r) = aI

(νr) + bK

(νr). H¨ ar f¨ orkastar vi K

- termen eftersom den ¨ ar singul¨ ar i 0 och observerar sedan att I

inte har n˚ agra nollst¨ allen p˚ a den positiva halvaxeln.

Detta fall ger allts˚ a ingenting. F¨ or λ = 0 har vi en Euler- ekvation, med allm¨ an l¨ osning R(r) = ar

+ br

om n > 0.

F¨ or n = 0 f˚ ar vi i st¨ allet R(r) = a + b ln r. I b˚ ada dessa fall

f¨ orkastar vi f¨ orst den andra termen som ¨ ar obegr¨ ansad vid

7

0. D¨ arefter ser vi att ¨ aven den f¨ orsta termen m˚ aste vara 0, eftersom R(r) skall ha ett nollst¨ alle.

Bara fallet λ = −µ

< 0 kan allts˚ a ge n˚ agot, och d¨ ar ser vi att ekvationen f¨ or Z blir Z

= µ

Z. Dessutom skall Z(h) = 0, s˚ a Z m˚ aste vara proportionell mot sinh µ(z − h). D¨ armed har vi funnit de separerade l¨ osningarna. Med v¨ ardet p˚ a µ som vi fann ovan insatt, ska vi d¨ arf¨ or ans¨ atta

u(r, θ, z) =

∞

X

n=0

∞

X

k=1

J

 λ

r R



(a

cos nθ+b

sin nθ) sinh  λ

(z − h) R

 . Randv¨ ardena f¨ or z = 0 ger oss nu att

(1)

−

∞

X

n=0

∞

X

k=1

J

 λ

r R



(a

cos nθ +b

sin nθ) sinh  λ

h R



= χ

, detta f¨ or |θ| ≤ π och 0 < r < R

.

F¨ or att best¨ amma koefficienterna a

och b

utvecklar vi h¨ ogerledet i Fourierserie. Med BETA 13.1 (1), d¨ ar L = π, h = 1 och α = 1/2, f˚ ar man, eftersom sin nπ/2 = (−1)

f¨ or n = 2m − 1 och = 0 f¨ or j¨ amna n,

χ

= 1 2 + 2

π

∞

X

m=1

(−1)

2m − 1 cos(2m − 1)θ.

(Dessa koefficienter f˚ ar man ungef¨ ar lika enkelt fram ge- nom att integrera enligt formeln i st¨ allet f¨ or att anv¨ anda tabellen.)

Dubbelsumman i v¨ ansterledet i (1) kan vi ocks˚ a se som en vanlig Fourierserie d¨ ar koefficienterna ¨ ar summor i k, allts˚ a s˚ a h¨ ar:

∞

X

n=0

∞

X

k=1

J

 λ

r R



sinh  λ

h R

 !

(a

cos nθ+b

sin nθ).

8

Genom att identifiera koefficienterna ser man d˚ a att alla b

= 0 och att a

= 0 f¨ or j¨ amna n > 0. F¨ or n = 0 har

man

X

k=1

J

 λ

r R



a

sinh  λ

h R



= − 1 2 och f¨ or n = 2m − 1

∞

X

k=1

J

 λ

r R



a

sinh  λ

h R



= 2 π

(−1)

2m − 1 . Nu kan man anv¨ anda Besselfunktionernas ortogonalitets- egenskap (BETA 12.4 sid 275) och f˚ a

a

= − 1

R

J

(λ

) sinh(λ

h/R

) Z

0

J

 λ

r R

 r dr resp.

a

= 4(−1)

πR

J

(λ

)(2m − 1) sinh(λ

h/R

)

× Z

0

J

 λ

r R

 r dr, det sista f¨ or m = 1, 2, .... D¨ armed ¨ ar problemet l¨ ost. Svaret blir allts˚ a

u(r, θ, z) =

∞

X

k=1

a

J

 λ

r R



sinh  λ

(z − h) R



+

∞

X

m=1

∞

X

k=1

a

J

 λ

r R



× cos(2m − 1)θ sinh  λ

(z − h) R

 med a

som ovan.

Anm. Ett alternativt s¨ att att ber¨ akna a

och b

¨ ar att utnyttja att funktionerna J





cos nθ, k ≥ 1, n ≥ 0, och J





sin nθ, k ≥ 1, n ≥ 1, tillsammans bildar ett

fullst¨ andigt ortogonalsystem i det viktade produktrummet

9

L

([0, R

] × [−π, π]; r drdθ). Man f˚ ar d˚ a uttryck f¨ or a

och

b

i form av dubbelintegraler, d¨ ar man kan utf¨ ora integra-

tionen i θ. Detta leder till samma resultat som ovan.