F O R S K O L M A T E M A T I K
Å R G Å N G 2 Dec. 1956
N r 2
små blankette?
kan avgöra TfS:s öde! F ö r att kunna hålla sin höga klass ifråga om innehåll och utformning m å s t e Tidskrift för Skolmatematik nu få effektivt stöd av sina läsare, så att tidskriften blir alltmer spridd bland l ä r a r n a . Sök därför placera åtminstone någon av de bifogade prenumerationsblanketterna hos någon kollega och övertyga honom vänligt men bestämt om nyttan och nöjet av att vara prenumerant på TfS!
Tidskrift för Skolmatematik är ett n y t t , intressant pedagogiskt i n i t i a t i v , som borde intressera varje lärare, som har med räkneundervisningen att göra. Varje lärare, som gör a n s p r å k på att vilja följa med utvecklingen och hålla sig å jour med de aktuella problemställningarna i ett av skolans viktigaste ä m n e n , kan inte g ä r n a undandra sig ansvaret att stödja TfS och dess idé.
En u r s ä k t , som möjligen kan tas på allvar, för att man försummar att prenumerera på TfS är att det finns så m å n g a andra tidskrifter och k å r o r g a n . »Vi hinner inte med ytterligare att studera en specialtidskrift». H ä r e m o t kan med skärpa i n v ä n d a s , att v i borde ha och också har b å d e råd och t i d att ägna en liten stund var tredje m å n a d å t ett av v å r t skolschemas allra viktigaste ämnen!
Tidskrift för Skolmatematik är den enda tidskrift i v å r t land, som n å r och t j ä n a r lärare från v å r a m å n g a olika lärarkategorier. Den u t n y t t j a r dock icke något ekono- miskt stöd från några k å r e r eller fonder. Den ynka prenumerationsfemman skall inte behöva subventioneras! Tidskriften r ä k n a r med att kunna lita på den enskilde lära- rens stöd och intresse.
De lärare, som redan intresserat slutit upp kring TfS, har nu möjlighet t i l l en av- görande insats för tidskriften. Sprid TfS med hjälp av postgiroblanketterna! Så h ä r i starten har TfS ingen ekonomisk möjlighet t i l l någon mer omfattande reklam och annonsering. Dess spridning beror främst på läsarnas villighet att föra tidskriften vidare till sina kolleger. F ö r s t härigenom kan tidskriftens idé definitivt förverkligas.
N å g r a små blanketter kan avgöra tidskriftens öde! Hjälp t i l l !
Matematik-kurs i Jönköping
Den 6—11 augusti i å r hölls en kurs i matematik-metodik på Södra V ä t t e r n b y g d e n s Folkhögskola i J ö n k ö p i n g . Kursdeltagare var ett t r e t t i o t a l lärare från småskole- och folkskoleseminariérna. A t t K u n g l . Skolöverstyrelsen ansett det angeläget a t t an- ordna en så pass omfattande kurs som denna, v i t t n a r om ett alltmer ökat intresse för r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n och ett e r k ä n n a n d e av dess vitala betydelse.
Mången undrade nog före kursen, om det inte skulle b l i väl drygt med en hel vecka med långa arbetsdagar med enbart r ä k n e m e t o d i k . Men återigen visade matematiken sina inre, rika möjligheter! Det blev en stimulerande och givande vecka! De intres- santa, o m v ä x l a n d e föredragen och de givande diskussionerna s k ä n k t e kursdelta- garna b e s t å e n d e impulser för den praktiska räkneundervisningen.
Ledare för den förnämliga kursen var Lektor Charles H u l t m a n , Lärarhögskolan, Stockholm, med medarbetarna seminarielärarna Viola Käll, J ö n k ö p i n g och Helga Nilsson, Stockholm.
Följande föredrag ingick i kursen: Docent O. Magne: N y a metodiska rön. Docent E. Vanas: Terminologiutredningen — rön och problemställningar. Seminarielärare G. Wahlberg: Diagnostiska prov contra p r o v r ä k n i n g a r . Lektor T. Ljunggren: E n matematiker ser p å låg- och mellanstadiets matematikundervisning. Seminarielärare Helga Nilsson: L å g s t a d i e p r o b l e m . Lektor Charles H u l t m a n : Mellanstadieproblem.
F i l . mag. O. Carli: Högstadieproblem. Folkskollärare Sven Olsson: Granskarens syn på m a t e m a t i k l ä r o b ö c k e r n a — ros och ris.
E t t av de m å n g a skälen för startandet av Tidskrift för Skolmatematik var a t t skapa ett forum, d ä r föredrag och diskussioner från olika kurser kunde presenteras för en vidare krets av lärare. Därför kommer detta och följande nummer av TfS a t t i stor u t s t r ä c k n i n g ägnas å t Jönköpings-kursen.
EN MATEMATIKER SER PÅ
LÅG- OCH MELLANSTADIETS MATEMATIKUNDERVISNING
Av Lektor Torbjörn Ljunggren.
N ä r jag tar t i l l orda v i d detta tillfälle för att säga n å g o t om en matematikers syn på låg- och mellanstadiets matematikundervisning, m å s t e jag nog börja med att tala om, att jag ä r tveksam, om jag uppfyller de villkor, man bör ställa på en matematiker i egentlig mening. Hela min verksamhet u t ö v e r elementärstadiet v i d universitetet har jag ä g n a t den teoretiska fysiken; det innebär, att jag aldrig v a r i t i tillfälle att skapa någon ny matematik. D ä r e m o t har jag flitigt a n v ä n t andra »riktiga» matematikers resultat v i d studiet av de problem, som den omgivande naturen furnerar oss med. N ä r jag trots detta v å g a t å t a mig att tala om det förelagda ä m n e t , beror det p å att jag vet, att man för att kunna a n v ä n d a en matematisk teori m å s t e grundligt s ä t t a sig in i dess f ö r u t s ä t t n i n g a r och innebörden av dess resultat.
Ofta har man då anledning att fundera över de fundamenter, matematiken vilar på, och då kan man inte g ä r n a u n d g å att syssla med talbegreppet och det axiomsystem som r ä k n a n d e t med t a l bygger på. D ä r m e d ä r man inne p å något, som för den fråga, jag skall y t t r a mig i , ä r väsentligt. De metodiska anvisningarna för folkskolans första klass betonar, och det med r ä t t a , att stor v i k t skall läggas v i d a t t klargöra talföreställ- ningar och räkneförlopp. Vare det mig fjärran a t t tro, a t t man för de små liven i sju- årsåldern kan eller b ö r presentera en sträng och modern teori för vad t a l är! Men för oss, som sitter i katedern, finns det all anledning a t t s ä t t a sig i n i de mera moderna teorierna. H ä r och var kan man komma att dra slutsatser, som p å v e r k a r det metodiska handlandet redan p å begynnelsestadiet. N ä r jag säger detta, har jag ett par peda- gogiska principer i tankarna, som gäller för all pedagogisk verksamhet, och som jag v i l l formulera så:
1) Eleverna får aldrig bibringas en begränsad kurs i n å g o t ä m n e på ett s å d a n t s ä t t , att ett senare i n h ä m t a n d e av en större kurs på något s ä t t försvåras.
2) Den a n v ä n d a metodiken får aldrig stå i vägen för k u n s k a p s i n h ä m t a n d e t . M.a.o.
man får inte väja för en n å g o t svårare lärogång, om man p å det viset kan ge eleverna b ä t t r e kunskaper och färdigheter.
Detta låter som självklarheter. Men jag skulle vilja träffa den lärare, som, på vilket stadium han än undervisa m å n d e , v å g a r påstå, att han aldrig syndat emot dem.
De begrepp och övriga föreställningar, som en teori sysslar med, kan indelas i t v å slag, de som kan definieras och de som inte kan det. Men vad menar man då med a t t definiera? Ofta menar man sig klara ut ett begrepp, n ä r man uppdelar det i dess be- ståndsdelar. Men inom matematiken kan man inte nöja sig med en så diffus uppfatt- ning om definitionens roll; d ä r gäller i stället följande syn. Man väljer ut en serie be- teckningar (d.v.s. storheter och relationer mellan dessa). V i betecknar denna serie med P. Sedan tar v i n å g o t (x) som ej tillhör P. Om x kan beskrivas med hjälp av beteck- ningarna i P p å ett s å d a n t sätt, att icke samtidigt något annat beskrives, ä r x de- finierbart inom den föreställningsvärld, d ä r begreppen P valts som de qdefinierbara.
H u r ä r det nu med talen? Skall man uppfatta dem som odefinierbara eller ej? Det vore oriktigt a t t utan vidare avfärda det ena eller andra av de b å d a möjliga svaren på den frågan. Det beror på a t t referenssystemet P i viss u t s t r ä c k n i n g ä r godtyckligt val-
bart. Det man dock m å s t e begära är, att P ej innehåller några m o t s ä t t n i n g a r , vidare att det ä r fullständigt, samtidigt som det ej skall innehålla någon beteckning som ä r definierbar med hjälp av resten av P.
Emellertid talar åtskilligt för att man ej bör låta talen och dess räknelagar ingå i P.
Kroneckers b e r ö m d a aforism »Gud skapade de hela talen, allt annat är människoverk»
blir inte sämre för det. Men det har visats, att alla o m r å d e n av ren matematik kan byggas upp med hjälp av en liten grupp begrepp och relationer mellan dessa h ä m t a d e från logiken; Russeli kallar dem logiska konstanter. Den förste, som var inne p å t a n k e n , att det skulle kunna förhålla sig så, var Leibniz, och den egentliga orsaken t i l l a t t han inte drog ut de fulla konsekvenserna av sin åsikt var, a t t han hade svårt att få geo- metrien a t t passa in i schemat; det var oundvikligt på en t i d , då man ä n n u inte kunde tro annat, ä n att den euklidiska geometrien var den enda t ä n k b a r a . Det blev därför en senare tids och andra m ä n s verk att genomföra detta återförande av matematiken p å logiska principer. Jag n ä m n e r namnen på några av dem, som betytt mest i detta ar- bete: Cantor, Dedekind, Peano, Whitehead, Russell.
Som en opponent mot denna s t r ä v a n antecknar jag Felix Klein. Det han var r ä d d för, var a t t det intuitiva momentet i matematiken skulle försvinna. Så h ä r faller hans ord i hans » E l e m e n t a r m a t h e m a t i k vom höheren Standpunkte aus»: »Det synes mig, som om man m å s t e bibehålla något, om ä n aldrig så litet av intuition. Man m å s t e all- tid a n v ä n d a en viss intuition i de mest abstrakta formuleringar med de symboler, man a n v ä n d e r i operationer, för a t t kunna å t e r k ä n n a igen symbolerna.» Som ni m ä r k e r , ä r det en u p p e h å l l a n d e försvarskamp, han för, och n å g o t senare skriver han: »Naturligt- vis m å s t e de logiska förknippningarna, man skulle kunna säga det stela skelettet i den matematiska organismen, bestå för att ge den dess artegna tillförlitlighet. Men det som lever i matematik, dess mest betydande stimulans, , beror helt på dess a n v ä n d - ningar, d.v.s. på de ömsesidiga relationerna mellan dessa rent logiska ting och alla andra domäner.» I det senare av dessa citat i n s t ä m m e r jag helt, det utsäger n å g o t mycket väsentligt, men icke i det förra. Intuitionen har sin väsentliga roll kvar ä n d å : den ä r metodfinnaren och problemlösaren, under det a t t logiken får komma efter och se t i l l , a t t de misstag, dess geniala släkting eventuellt b e g å t t , r ä t t a s t i l l .
E t t av matematikens grundläggande begrepp ä r mängden. Med en sådan menar man sammanfattningen av ett antal åtskilda föremål. N i , som sitter här, och som jag hoppas hör på mig, u t g ö r sålunda en m ä n g d . De ord, som jag släpper utanför mina t ä n d e r s galler i detta föredrag, ä r en annan m ä n g d , med litet fler termer. Alla heltal ä r ett tredje exempel, denna gång på en m ä n g d med oändligt m å n g a termer. Om man slår upp en lärobok i matematik för första klassen, finner man fullt med exempel på mängder: äpplen, leksaker, barn, fåglar, slantar. T i l l varje sådan m ä n g d kan man nu ordna ett t a l , angivande antalet termer i m ä n g d e n . Det ä r j u så man introducerar t a l - begreppet i skolan, naturligtvis utan att explicit o m n ä m n a m ä n g d b e g r e p p e t . F ö r a t t inte något missförstånd eventuellt skall u p p s t å på den punkten, ä r det väl bäst, a t t jag säger ifrån, a t t jag inte tror att det ens vore möjligt. Man låter barnen r ä k n a före- målen i m ä n g d e n . Men rent teoretiskt m å s t e man i n v ä n d a t v å saker mot den metoden.
F ö r det första kan man på det viset endast handskas med m ä n g d e r med ett ändligt antal termer. F ö r det andra är det inte så alldeles l ä t t att komma underfund med vad man gör, då man r ä k n a r . Undersökningen av den processen är en uppgift för psyko- logien. H u r u v i d a den varseblivning av föremålen, som m å s t e äga rum, är »samtidig i rummet» eller »eftervartannat i tiden», skall v i inte h ä r gå in på; v i slår bara fast, a t t redan r ä k n a n d e t av ett litet antal föremål är en mycket komplicerad process och icke av logisk art.
Det ä r därför fördelaktigt att betrakta m ä n g d e n själv; man slipper då gå utanför de logiska begreppen för att göra reda för vad talen skall uppfattas som. Men då m å s t e man först klara ut, vad man skall fordra av t v å mängder, för a t t de skall kunna repre-
senteras av samma tal. Villkoret är, att mellan elementen i den ena och den andra m ä n g - den skall föreligga, vad man kallar en (l,l)-korrespondens. D ä r m e d menas, att mot varje element i den ena m ä n g d e n skall svara ett och endast ett element i den andra mängden, och vice versa. Men h ä r måste man se upp! Så som v i h ä r formulerar villkoret har v i a n v ä n t r ä k n e o r d e t ett. Och det får v i s t r ä n g t taget inte! Lyckligtvis är det di- lemmat endast av språklig art. Så här kan man uttrycka villkoret, litet mera om- ständligt och abstrakt men utan räkneord: Sådan korrespondens föreligger mellan m ä n g d e r n a X och Y (med elementen x resp. y), om ur sambanden x = f (y) och x ' = f(y) följer att x = x ' samt om ur sambanden x = f (y) och x = f (y') följer att y = y ' . Om nu denna korrespondens föreligger, säger man, att m ä n g d e r n a är ekvivalenta. Be- trakta nu en viss m ä n g d och alla med denna m ä n g d ekvivalenta mängder! Då har man försökt att definiera det för dessa m ä n g d e r representativa talet som den för dem gemensamma egenskapen. Gör man så har man definierat talen genom abstraktion; en analys av förfaringssättet i skolan ger väl v i d handen att den metod, som där a n v ä n d s , mer eller mindre implicit är just en sådan procedur.
Nu lider denna metod av en mycket allvarlig brist. Den klarlägger på intet sätt, att ett och endast ett t i n g skulle satisfiera definitionen. V i m å s t e t v ä r t o m r ä k n a med att v i får en m ä n g d (i ordets matematiska mening) av gemensamma egenskaper, och v i vet inte ens utan vidare, hur m å n g a element denna m ä n g d har. I själva verket har den oändligt många. Vilken av dessa egenskaper, som skall definiera talet, kan man icke på logisk v ä g avgöra. En aldrig så liten gnutta intuition klarar visserligen den saken, men i en teori, som v i söker bygga upp på logisk grund, m å s t e det ä n d å uppfattas som mindre tillfredsställande. Det dilemma, som v i h ä r r å k a r in i , har förresten sin mot- svarighet, närhelst man söker definiera något genom abstraktion; idealiseringen från
»oväsentligheter» är ingen logisk operation.
F ö r att undvika denna svårighet har man nu tvingats t i l l ett steg, som v i d första påseende verkar chockerande. V i talade nyss om en m ä n g d , som v i kan kalla X , och alla med denna ekvivalenta mängder. P å det viset får v i en m ä n g d av mängder, och det visar sig naturligt att definiera det för X representativa talet som just denna m ä n g d av m ä n g d e r . De krav, v i ställer på en definition, blir nu uppfyllda; medlemskapet i mängden är tydligen en gemensam egenskap för alla X men för inga andra m ä n g d e r . Vidare är relationen mellan X och m ä n g d e n sådan att X inte står i samma relation t i l l något annat. Det paradoxala i definitionen försvinner nog, n ä r man gjort sig litet mera förtrogen med vad den innebär. L å t oss ta ett enkelt exempel! En pokerspelare, som blir synad, säger, att han har fyrtal i kungar, som synes en ganska lycklig situa- tion. Logiskt sett är detta p å s t å e n d e en produkt av de b å d a enklare: »Jag har ett fyr- tal» och »Detta fyrtal b e s t å r av kungar». Anslutning t i l l den syn på talbegreppet, som jag just lagt fram för er, får man, om man transformerar hans uttalande t i l l detta:
»Jag har en m ä n g d av kungar på min hand, och denna m ä n g d tillhör den m ä n g d av mängder, som innehåller alla fyrtal.» Det är logiskt sett ett alldeles oantastligt s ä t t att uttrycka sig på, men jag kan mycket väl förstå, om en pokerspelare, som a n v ä n d e r de ordalagen, i alla fall blir missförstådd. Dock icke av logiska skäl. Likaväl som en klass alldeles säkert skulle tycka, att det vore knas på den nya magister, som på en mate- matiklektion skulle eftersträva ett s å d a n t ö v e r m å t t av tydlighet.
Nu undrar kanske m å n g a , om allt detta krångel verkligen är n ö d v ä n d i g t . Då m å s t e jag säga, att den anvisade vägen är den enda, jag k ä n n e r t i l l , som på ett i n v ä n d n i n g s - fritt s ä t t inför talbegreppet. Den allvarligaste konkurrenten är väl det förfaringssätt, som går tillbaka t i l l Hilbert, och som på det bästa s ä t t jag vet utförts av Peano. Denne bygger upp ett talbegrepp av rent formell art utan att i förstone bekymra sig, om det har någon motsvarighet eller a n v ä n d n i n g i verkligheten. U t g å e n d e från tre odefinier- bara begrepp (talet O, ändligt tal, begreppet omedelbart efterföljande tal) och fem axiom för dessa, som jag inte h ä r skall redovisa, härleder han de räknelagar, som
gäller för tal. Mot denna metod finns det nu en mycket allvarlig invändning, nämligen den, att det kan konstrueras m å n g a system av kvantiteter, som satisfierar de fem axi- omen. Sålunda kan man företa en »translation» av det vanliga talsystemet, och l å t a talet 1 (eller något annat heltal) spela nollans roll. N u skall onekligen talen också kunna a n v ä n d a s t i l l något, nämligen att r ä k n a föremål med, och då bör man nog be- gära av teorien för talbegreppet, att den inte skall sväva på m å l e t i detta avseende.
Den m ä n g d t e o r e t i s k a definitionen klarar den svårigheten: m ä n g d e n av alla m ä n g d e r , som ingenting innehåller, är förvisso i g e n k ä n n b a r och representerar talet noll.
H u r skall man nu definiera r ä k n e p r o c e d u r e r n a med de på så vis införda talen? Alldeles tydligt är att man m å s t e börja med de direkta r ä k n e s ä t t e n addition och multiplika- tion, alltså dem, som alltid ur t v å eller flera heltal leder fram t i l l ett n y t t heltal.
Med den logiska additionen av t v å p å s t å e n d e n menas, att antingen det ena eller andra gäller. Summan av »Han är svensk» och »Han är norrman» är alltså »Han är svensk eller norrman». H ä r u r fås motsvarande definition av den logiska summan av mängder: Betrakta en m ä n g d k av mängder! Den logiska summan av m ä n g d e r n a i k är då den m ä n g d , som innehåller alla element som ingår i de m ä n g d e r som tillhör k.
Men d ä r m e d ä r även begreppet aritmetisk addition klarlagt. Varje element i k repre- senterar j u ett tal. Summan av de tal som motsvarar m ä n g d e r n a i k är då det t a l som motsvarar den m ä n g d som är den logiska summan av m ä n g d e r n a i k. E t t villkor m å s t e emellertid vara uppfyllt: m ä n g d e r n a i k får inte ha någon gemensam term. Den- na definition är alldeles generell: den håller, även om någon eller alla termer är oändliga, eller om antalet termer är oändligt. Enda begränsningen är att den endast talar om positiva heltal. Den inskränkningen skall jag snart komma tillbaka t i l l och motivera.
H ä r kan v i notera en del viktiga omständigheter. F ö r det första blir additionens k o m m u t a t i v i t e t en omedelbar följd av definitionen: de enskilda m ä n g d e r n a i k ä r j u på intet s ä t t numrerade, och kan i det a l l m ä n n a fallet inte med någon metod numreras.
A t t man m å s t e p å p e k a , att a + b = b + a , framstår som enbart en brist i den a n v ä n d a symbolen.
Man bör dessutom minnas, att definitionen talar om m ä n g d e r utan gemensamma termer. Glömmer man det, kan man ofta komma t i l l felaktiga resultat. T ä n k t . ex.
på den gamla r ä k n e g å t a n om ett sällskap av t v å fäder och t v å söner, som tillsammans utgör tre personer. Men man behöver inte tillgripa ett så artificiellt exempel på detta.
Följande problem taget från en bok i Unterhaltungsmathematik är bra mycket mera verklighetsbetonat:
En herre k ö p t e i en juveleraraffär en k r å s n å l för 35 kr. I likviden ingick en nål av oäkta metall. Han betalade med en 100-kronesedel. Juveleraren m å s t e för att kunna ge tillbaka v ä x l a i en grannaffär, och gav sedan kunden 66:50 k r v a r p å denne försvann.
Snart visade det sig emellertid att sedeln var falsk och juveleraren m å s t e e r s ä t t a grannen med en ä k t a sedel. Trots att juveleraren för att egga den polis som spanade efter bedragaren gav honom den o ä k t a kråsnålen, kunde man inte få tag på denne.
Juveleraren påstod sig nu ha gjort en förlust på 204:50 kr, nämligen:
Addition
Nålen t i l l polisen..
100'kr t i l l grannen 1 nål
1 nål b e r ä k n a d t i l l
Kontanta pengar t i l l tjuven
35: — 1: 50 66: 50 1: 50 100: — Summa k r 204: 50
H u r stor var förlusten i verkligheten?
Säkerligen finns det ä n d å mer närliggande exempel. I varje fall bör eleverna någon gång, och det ganska tidigt, konfronteras med att 2 + 2 = 4 ej ä r en absolut förut- sättningslös sanning.
Multiplikation
Det vanliga s ä t t e t att definiera multiplikation är väl att u t g å från en upprepad addi- tion men i längden kan man inte stanna v i d en så okomplicerad metod. Den kan ej a n v ä n d a s , om någon eller några av faktorerna är oändliga, och ej heller, om de är annat än hela t a l . H u r svårt detta problem faktiskt är, framgår t y d l i g t av en upp- sats från år 1917 i Elementa av lektor A. Meyer. D ä r presenterar han en egen defini- tion baserad på begreppet proportionalitet efter att verkningsfullt ha kritiserat tidigare definitioner. Så v i t t jag kan bedöma, har han dock inte själv lyckats undgå alla blindskär; det ä r n å g o t av en cirkeldefinition i hans artikel.
Den alldeles generella definitionen har Whitebead givit, och den är trots allt inte så komplicerad, som den v i d första påseende verkar. V i betraktar en m ä n g d k av m ä n g d e r och bildar h ä r u r den s. k. multiplikativa m ä n g d e n K t i l l k på följande s ä t t . Varje term i K är själv en mängd, vars termer har tagits ur m ä n g d e r n a i k med en och endast en term ur varje m ä n g d . N ä r man erhållit alla m ä n g d e r , som bildats på detta vis är den multiplikativa m ä n g d e n K färdigbildad. Det t a l som K representerar, ä r produkten av de tal, som motsvarar de m ä n g d e r som ingår i k.
L å t oss som exempel ta produkten 3-4! Mängden k kan då symboliseras av (1, 1, 1);
(1, 1, 1, 1), där alltså ettorna anger elementen i m ä n g d e r n a i k. Den multiplikativa m ä n g d e n K kan då tecknas (1, 1, 1 , 1 , 1 , 1, 1, 1 , 1 , 1 , 1, 1) d ä r varje etta denna gång symboliserar ett t v å t a l taget ur m ä n g d e r n a i k. S ä t t e r man h ä r plustecken i stället för kommatecken och multiplikationstecken i stället för semikolon, finner man, att det hela återger ett mycket naivt men korrekt s ä t t att utföra räkningen 3-4.
Märk, att med denna definition blir även nu den kommutativa lagen självklar och ett uttryck för symbolernas otillräcklighet! Det är fullkomligt t r i v i a l t , om man skri- ver a-b eller b-a, och enligt denna uppfattning är det då ej heller meningsfyllt att i längden behålla de särskiljande beteckningarna multiplikator och multiplikand. Det enda ordet faktor bör räcka och få beteckna dem bägge. Det är en helt annan sak att den t a n k e g å n g , som förorsakat räkneoperationen ev. f r a m h ä v t den ena eller andra faktorns dominans i det speciella problemet. Men så snart funderandet över detta lett t i l l slut- satsen, att det ä r lämpligt att multiplicera t v å t a l a och b med varandra, ä r det en tom sifferräkning, som skall vidtaga, och den skall utföras utan p å v e r k a n av det speci- ella problemet. N ä r räkningen utförts, får man tolka, vad resultatet betyder för det problem, man studerar. Vore det inte en fördel, om man mer än nu är fallet framhävde den kommutativa lagen och förde beteckningarna multiplikand och multiplikator i bakgrunden? Det ä r k l a r t att detta k r ä v e r en abstraktionsprocess hos eleverna, som m å s t e ta en rundlig t i d . Men innan den är klar har barnen inte fått en r i k t i g bild av vad multiplikation ä r .
De inversa räknesätten
Det enda logiska s ä t t e t att införa dessa r ä k n e s ä t t är genom att studera ekvations- typerna x + a = b och a-x = b. N ä r man subtraherar eller dividerar u t n y t t j a r man förresten alltid mer eller mindre implicit samma t a n k e g å n g a r som när man löser dessa ekvationer. Studiet av dessa ekvationer har j u dessutom konsekvenser för talsyste- mets utvidgning t i l l b r å k och negativa tal, men det skall jag inte denna gång för- djupa mig i , inte därför att dessa problem skulle vara mindre viktiga, utan helt enkelt av tidsnöd. Jag v i l l nämligen något mera ingående diskutera r ä k n e s ä t t e t division.
Det är naturligtvis den eventuella uppdelningen i delningsdivision och innehålls- division, jag därvid t ä n k e r på. H ä r skulle jag visserligen kunna nöja mig med ett ganska k o r t resonemang på följande s ä t t . Eftersom multiplikation definieras så, att ingen skillnad kan u p p r ä t t h å l l a s mellan a-b och b-a, kan man ej heller skilja på de bägge ekvationerna a - x = b och x-a = b. De är identiska, och d ä r a v följer, att den räkneoperation, som löser den ena, även löser den andra. Men i förra fallet talar en del om delnings- och i det senare om innehållsdivision. Enligt det resonemang, jag nu för, skulle det vara en alldeles onödig komplikation att införa t v å namn på en och samma sak, och absolut förvirrande att tala om fem räknesätt. Men jag har en känsla, att t a n k e g å n g e n är litet för abstrakt, och att en konkretisering därför är befogad.
Jag menar verkligen, att det inte är lämpligt att skilja på multiplikator och m u l t i - plikand. I det allt överväldigande antalet problem, som föranleder en multiplikation, ä r det inte ens i den speciella situationen möjligt att utan att ikläda tanken en a r t i - ficiell t v å n g s t r ö j a ge företräde för den ena faktorn. Vad är multiplikator n ä r man multiplicerar ( m ä t e t a l e n för) basyta och höjd för att få ( m ä t e t a l e t för) en lådas volym?
Eller n ä r man ur v o l t t a l och amperetal b e r ä k n a r wattal? Endast i den speciella grupp, där ena (men ej den andra) faktorn i det studerade problemet motsvarar ett dimen- sionslöst tal, kan t ä n k a n d e t förleda en t i l l att ge den ena faktorn en annan betydelse än den andra. Det är att beklaga, att just denna grupp problem har en så stor betydel- se under de första årens matematikundervisning. Så stor, att den metodik man a n v ä n t för att få barnen att fatta tydligen f å t t dominera allting annat.
Det farliga med en artificiell uppdelning av ett r ä k n e s ä t t är enligt min mening följande. Den egentliga innebörden av ett p å s t å e n d e av arten »För att lösa detta problem skall jag företa följande innehållsdivision» framgår först n ä r man upplöser det i de t v å , varav det utgör produkten: »För att lösa detta problem skall jag företa föl- jande division; för att komma fram t i l l det resultatet har jag m å s t t ä n k a på det och det viset». Risken ä r nu, att man bibringar eleven den tron, att endast t v å skilda re- sonemang resulterar i att en division skall utföras, då väl sanningen är den, att ett mycket stort antal, från varandra v i t t skilda t a n k e g å n g a r kan leda t i l l en och samma r ä k n e o p e r a t i o n . L å t oss ta ett par exempel! Antag, att man k ä n n e r sannolikheten för att t v å av varandra oberoende händelser skall inträffa samtidigt och dessutom sanno- likheten för att den ena av dem skall ske, samt söker sannolikheten för att den andra skall ske. Eller betrakta den division man får genom övergång från rot t i l l potens:
n m
y am = av Jag efterlyser ett resonemang, som enkelt och oomtvistligt hänför dessa divisioner t i l l antingen gruppen innehålls- eller gruppen delningsdivision.
Enligt min b e s t ä m d a mening är ett särskiljande av t v å slags division inte förenligt med de principer, som jag talade om i början. Elevernas r ä t t a förståelse för division försvåras, och metodiken har fått stå i vägen för ett i n h ä m t a n d e av korrekt kunskap.
Man kan nog uttrycka det skarpare ä n d å . Just på denna punkt löper man fara att för- sitta ett u t m ä r k t tillfälle att i n p r ä n t a i sin klass en annan matematisk sanning av mycket stor räckvidd, den nämligen, att v i t t skilda problem kan leda t i l l precis samma räkningar. Det gäller h ä r i begynnelsen, det gäller även i den mest avancerade mate- matik. Jag har ett lustigt och slående exempel på detta. En av mina v ä n n e r , som specialiserat sig på studiet av problem om neutroners spridning i en moderator, be- r ä t t a d e att han en dag uppsöktes av en annan kamrat, som sysslade med biologiska problem. N u var denne sysselsatt med fältförsök, d ä r han släppte ut fjärilar på en äng. Han ville höra, om man på något s ä t t kunde b e r ä k n a sannolikheten för att hitta fjärilarna inom en viss yta v i d en viss t i d p u n k t efter u t s l ä p p e t . M i n kamrat studerade problemet en stund — och fann, att efter en lämplig idealisering var detta »fjärils- problem» förbluffande l i k t hans eget neutronproblem och möjligt att studera med samma ekvationer.
En fråga, som jag faktiskt v i l l ställa här, ä r denna: I vilken u t s t r ä c k n i n g sker egent- ligen denna uppdelning av divisionen »ute på fältet»? Hos de elever i klass l5, som jag t i d efter annan har undervisat, har jag aldrig funnit någon b e n ä g e n h e t att särskilja de bägge sorterna. I folkskolans undervisningsplan har jag inte h i t t a t n å g o t p å b u d om särskiljandet. I lektor Wigforss' lärobok i aritmetik faller hans ord så: »Vid under- visningen i skolans lägre klasser brukar man med h ä n s y n härtill dela upp division i . . . Någon fanatisk a n h ä n g a r e av uppdelningen var han tydligen icke.
Till dem som håller på uppdelningen v i l l jag säga a t t ett s å d a n t förfaringssätt ä r teoretiskt omotiverat och felaktigt. Ej heller kan jag inse, att det kan försvaras med några metodiska fördelar av varaktig art. Har jag nu u t t r y c k t mig tillräckligt t y d l i g t på denna punkt, så att jag kan förvänta en debatt? Jag upprepar vad jag sade nyss.
H ä r föreligger en sammanslagning av t v å led i t a n k e g å n g e n , ett, som rör motiveringen för en räkning, och ett, som rör själva räkningen. De b ö r hållas i sär.
En reflexion t i l l ! V i l l man på n å g o t s ä t t systematiskt hålla reda på de tanke- gångar, som leder fram t i l l en viss räkneoperation, m å s t e man l ä m n a den rena mate- matikens fält och övergå t i l l den tillämpades. Det nya, som då kommer t i l l , ä r stor- heternas sorter; i den rena matematiken är allt rena t a l , även y t o r och s å d a n t . Det man m å s t e hålla reda p å , är produktens dimension (i ordets fysikaliska mening). Så gör man med framgång i fysiken. Men all sådan systematik bedömer jag ligga långt ovanför de problem, varmed man kan sysselsätta elever på låg- och mellanstadiet.
A t t matematik ä r en abstrakt vetenskap, och att varje lärogång i detta ä m n e m å s t e innehålla en t r ä n i n g i konsten att abstrahera, är ovedersägligt. L i k a v i k t i g t är emeller- t i d a t t t r ä n a den o m v ä n d a proceduren: a t t i en abstrakt matematisk formel eller räcka av operationer kunna läsa i n ett konkret innehåll. Det sista ä r lika svårt om inte svårare än det förra. H u r ofta h ä n d e r det t . ex. inte, att en gymnasist misslyckas med en uppgift därför a t t han inte sett eller förstått vad han själv har gjort. Problemets lösning har legat framför honom men han har inte »sett skogen för bara träd». Alltför sällan t r ä n g e r det verkligen in i elevernas medvetande, a t t matematiken p å s ä t t och vis ä r ett språk, men ett underligt, så a t t säga polyfont språk. A t t läsa det språket det är att ge de abstrakta uttrycken ett konkret innehåll.
Den synpunkten ä r nu rikligt beaktad i lärogången för lågstadiet. T i l l små enkla ut- r ä k n i n g a r får barnen själva hitta på räknehistorier. Men hur blir det litet längre upp, n ä r de u t t r y c k , som man kan behärska, blir litet mer komplicerade? Samma fråga kan man ställa t i l l dem, som undervisar på högre stadier också: realskolor, gymnasier, högskolor. Matematiken skall leva för eleverna men gör det beklagligt ofta inte.
Emellertid får denna synpunkt inte överdrivas. Det ä r så r ä t t , som Whitehead säger:
»Det är en fullständig falsk truism, som ofta framföres av framstående människor, n ä r de håller t a l , att v i alltid skall öva v å r vana att t ä n k a på vad v i gör. E x a k t det mot- satta är fallet. V å r civilisation går f r a m å t i samma m å n , som v i kan öka antalet av de operationer, som v i kan utföra utan att behöva t ä n k a p å dem. Tankeoperationer ä r som kavallerichocker i ett fältslag — de ä r mycket begränsade t i l l sitt antal.de k r ä v e r utvilade h ä s t a r och m å s t e därför s ä t t a s i n i de a v g ö r a n d e ögonblicken». — Det b ö r kanske talas om, a t t dessa ord skrevs något av åren strax före det första världskriget.
Nå, förhållandena i en skola är inte alldeles identiska med v å r civilisations. Det gäller a t t få eleverna a t t förstå operationerna om och när det behövs. N ä r läraren ä r säker p å a t t hans elever verkligen begriper, vad det ä r de gör, kan han låta dem börja räkna mekaniskt.
Man kan lägga en synpunkt t i l l på detta. N ä r Poincaré i en av sina populariseringar kommer in på frågan, vad matematik är, och hur den n å r sina resultat, betonar han det märkliga i att den ö v e r h u v u d taget kan nå några som helst resultat. V i d sina de- duktioner börjar dock en matematiker omedelbart eller medelbart med någon alldeles
9
1
t r i v i a l sanning. Då borde väl också resultatet u t m ä r k a s av samma trivialitet. Det förklaras nu av matematikens förmåga att skapa nya begrepp; men ett av de m å n g a kraven på en matematiker är just att han skall kunna nyttiggöra t i l l synes menlösa sammanhang. E t t exempel på detta, som i varje fall gjort ett visst intryck på mig, är
a c detta. A t t man från likheten 7" —~z kan kom-
a b - . b d
i l i i a _ b
ma t i l l s a m b a n d e t- — ; , är ju alldeles t r i v i -
1 i i 1 c d J
alt. L i k a f u l l t är det beviset för en alls inte t r i - vial reciprocitetssats för harmoniska punkt- par. Se figuren! Det är b ä t t r e j u tidigare man kan få in denna vana att läsa in ett konkret och icke betydelselöst innehåll i alldeles självklara matematiska sammanhang.
Men faror lurar förvisso v i d denna konkretisering! Man m å s t e tidigt lära sina elever att aldrig helt lita på de resultat, en matematisk k a l k y l ger. V i d idealiseringen kanske något för problemet väsentligt g å t t t i l l spillo. P å den tiden, det fortfarande var i n - t r ä d e s p r ö v n i n g a r t i l l läroverken, brukade jag ofta som sista problem ge en uppgift av följande art: En man äger 18 stockar av tre meters längd. Han önskar d ä r a v förfärdiga stockar av bara t v å meters längd. H u r m å n g a får han? N i får tro mig eller inte, men
18 • 3
praktiskt taget alla som »löste uppgiften» fick antalet stockar t i l l — - — = 27. Det var först, n ä r jag frågade efter receptet på det goda l i m , de a n v ä n t , som de kom på a t t de bort pröva lösningen genom att konfrontera den med verkligheten.
Problemet avkortning (eller, längre ned i klasserna division, som inte går j ä m n t ut) kan också vålla en hel del trassel. Jag har alltid revolterat mot den mekaniska regel, som säger, att man skall höja, om den första strukna siffran är 5 eller högre.
J ä m f ö r de b å d a problemen:
1) En handlande skall tappa upp 299 liter fotogen på dunkar, som vardera rymmer 6 liter. H u r m å n g a kan han försälja?
2) En å k a r e skall transportera 301 ton grus med en lastbil, som lastar 6 ton. H u r m å n g a lass m å s t e han köra?
Vad jag v i l l ha sagt med detta, är att eleverna så tidigt som möjligt bör ges tillfälle att k r i t i s k t bedöma v ä r d e t av det, de r ä k n a t fram. Jag har läst litet slarvigt, men i varje fall vimlar det inte av lämpliga problem av den arten i de räkneläror, jag har studerat före utarbetandet av det h ä r föredraget.
Lusten att k r i t i s k t bedöma, vad som sker på en matematiklektion, kan man också u p p ö v a i ett annat avseende. Jag har en erfarenhet, som jag tror har en viss betydelse i detta avseende. Jag undervisade en gång för nu m å n g a år sedan en 21; det var en i alla avseenden alldeles ovanligt v ä l a r t a d klass. Disciplinen var perfekt, de lyssnade t i l l varje ord, som sades, och trodde sin lärare om gott, bl. a. utgick de från, att han var felfri. Det gick mig t i l l slut på nerverna, och en lektion slog det mig som en b l i x t , hur jag skulle få slut på detta tillstånd. Jag höll på att lösa en ekvation på tavlan, och beslöt mig för att r ä k n a fel. Ingen reaktion från klassen. Jag gjorde ett fel t i l l , ä n n u horriblare. E t t tredje. Folkets mummel hördes nog bakom min rygg, men ingen öppen revolt. Då v ä n d e jag mig om, slog näven i katedern och frågade dundrande, vilka fel jag egentligen skulle göra, innan de reagerade. Då brast äntligen fördämningarna, och sedan hade jag inte något besvär med den klassen i detta avseende heller: oppositionen var levande och aktiv. Det är nämligen en sanning v ä r d att spilla mycken m ö d a på vid u t l ä r a n d e t : D i n hjärna är lika kapabel som någon annans att fatta detta (även 10
om det tar t i d ibland), och du skall icke acceptera något annat än det, du förstår. Det är framför allt v i k t i g t a t t något s å d a n t säges i ett ä m n e som matematik, d ä r läraren faktiskt t i d efter annan r å k a r ut för att inte vara bäst i klassen — och d ä r det inte betyder något, bara han erkänner faktum.
Alla ä r väl ense om vikten av, att eleverna är säkra i numerisk räkning, och a t t detta k r ä v e r mycken övning. H u r mycket skall de då öva? H ä r skall jag p å p e k a t v å saker. F ö r det första a t t en slentrianmässig »fri räkning» ger den den mesta träningen, som minst behöver den. Det dilemmat kan man komma ur endast om man byter kvantitet mot kvalitet genom att ha svårare problem för de duktigare. Och det sker väl, förmodar jag? Min andra a n m ä r k n i n g ä r jag litet tveksam om — över huvud taget är det vanskligt a t t y t t r a sig om ting och förhållanden, som man inte har självupplevd erfarenhet om. Men ett par goda v ä n n e r t i l l mig, som ä r folkskollärare, har v i d upp- repade tillfällen sagt, att en stor grupp bland de intellektuellt sämre hade mekanisk räkning som sitt k ä r a s t e ä m n e (läs: det enda tolerabla ä m n e t ) . Annars disciplinärt svår- hanterliga pojkar i en gallrad sjua kunde sitta timvis och addera långa räckor med tal. Förklaringen ä r naturligtvis den, att eleverna gärna sysslade med något, som de behärskade och kunde utföra utan att t ä n k a . Just mekanisk r ä k n i n g skulle därigenom ha verkat lugnande; n ä r v i diskuterade detta, var det t.o.m. någon av oss, som (med- vetet överdrivet) undrade, om man inte kunde tala om ett »intellektuellt bedövnings- medel». Det vore mycket värdefullt, om jag i debatten kunde få höra, om den erfaren- het, jag h ä r talat om, eventuellt gjorts på något mer håll.
N u ä r det väl så, a t t det inte ä r lämpligt att låta barnen för mycket syssla med vad de redan kan. Undervisningen skall vara progressiv. Man bör i varje fall hesitera inför att ge alltför m å n g a alldeles likartade uppgifter. Säkerheten kan man säkert nå ändå, t . ex. genom a t t systematiskt t r ä n a h u v u d r ä k n i n g . F ö r min del anser jag att denna räkning utan papper och penna inte skall ske fristående utan i samband med »benämn-
da uppgifter».
P å dessa b e n ä m n d a t a l kan man ha anledning att lägga m å n g a synpunkter. Så- lunda borde man nog k r ä v a litet mer redovisning av t a n k e g å n g e n . F r å n m å n g a för- äldrar har jag hört, att de förgäves sökt att få sina telningar a t t skriva ett eller annat ord t i l l förklaring, n ä r de r ä k n a d e sina hemuppgifter. Barnen har frenetiskt v ä r j t sig med orden: »Det fordrar inte fröken.» D ä r e m o t ä r barnen ofta ålagda (eller tror sig vara det) a t t teckna hela uträkningen, och det kan vara s v å r t nog. Även om de t ä n k t (dimmigt men) r ä t t och fått r i k t i g t svar, kan denna teckning vara felaktig. D ä r står t. ex. a — b i st. f. b — a. H u r skall ett s å d a n t fel bedömas? Vore det inte enklare att dressera barnen t i l l att skriva några förklarande ord i stället och r ä k n a ut talet i etap- per? E t t s å d a n t tillvägagångssätt vore i varje fall matematiskt mera tillfredsställande.
Eleverna vänjes alltför mycket v i d uppgifter, d ä r hela det framlagda siffermateri- alet skall a n v ä n d a s . Kunde man inte ibland ge någon uppgift, som är litet längre och där man m å s t e välja bland siffrorna. Det h ä n d e r väl, a t t man skapar en uppgift så a t t säga laborationsmässigt, d.v.s. klassen får själva ta reda på vad olika saker kostar e.d.
Men något av det, jag v i l l ha sagt, framgår på ett muntrande s ä t t av ett citat från Dagens Nyheter i oktober 1947, d ä r man på slaskspalten s k ä m t a r med räknelärorna för realskolan och föreslår en reform. I allt s k ä m t e t innehåller detta en hel del v ä r t a t t t ä n k a p å . Se figur på sid. 13.
Bland de b e n ä m n d a talen finns det en grupp som man kan ha skäl att vara särskilt skeptisk mot. Det är den, som behandlas med reguladetri, »enkla praktiska problem», som de kallas. Många har r i k t a t angrepp mot den metod, som har a n v ä n t s för a t t lösa dem; självklart ansluter jag mig t i l l dem, som menar, a t t man m å s t e resonera sig
fram »över enheten». Men man kan även hysa betänkligheter mot själva det kunskaps- innehåll, metoden förmedlar. De problem, det gäller, är j u sådana, där mellan t v å storheter x och y råder ett samband av endera av formerna y = k x och y = — (med de
x
generaliseringar som gäller för problem med flera oberoende variabler). Eleverna drillas ofta t i l l en betydande skicklighet i att lösa dem. Men problemen är ibland varken enkla eller praktiska, och innehållet ligger k l a r t utanför den unges erfarenhets- värld. Föreligger det inte då en a v s e v ä r d risk, att eleverna t y r sig t i l l de invanda for- merna, och så kan det u p p s t å en oreflekterad tro på dessa funktionsformer som de enda t ä n k b a r a . H u r ställer sig en så drillad elev t i l l en uppgift av följande t y p : 1) 100° på en Celsiustermometer motsvarar 212° på en Fahrenheittermometer. Vad
motsvarar då 80° på en Celsiustermometer?
Uppgiften ä r a v s e v ä r t u n d e r b e s t ä m d , men det hindrar inte en r e g u l a d e t r i t ä n k a n d e . 2) Genom ett elektriskt m o t s t å n d skickas en ström på 3A. Därvid utvecklas 300 W . H u r stor blir effekten om s t r ö m s t y r k a n ä n d r a s t i l l 4A?
Ä n n u i studentexamen kan man någon gång hos mycket svaga elever i uppgifter av denna t y p finna fel, som beror på felaktig a n v ä n d n i n g av reguladetri. — Man kan också t ä n k a på en ren vansinnesuppgift av typen:
3) K a r i n som är 6 år har fått 24 karameller. H u r m å n g a bör Lisa ha som är 8 år?
I fråga om dessa uppgifter har jag för min del inte kommit fram t i l l någon färdig uppfattning, men det har varit min avsikt att p å p e k a en allvarlig och ofta bortglömd nackdel med nuvarande lärogång. Systematisk kan man inte bli här, förrän propor- tionsläran g e n o m g å t t s . Kanske är det därför skäl att h ä v d a , att denna typ problem absolut inte får ta för mycken t i d i a n s p r å k .
Det kan istället vara lämpligt att ta den t i d , man på det viset ev. kan vinna, t i l l att tidigare, än nu sker, introducera ekvationsmetoden för problems lösande. De rena ekvationerna av enklaste t y p (»med x på ett ställe») kan man enligt min erfarenhet börja med mycket tidigt, och m å n g a viktiga problemtyper kan lösas med hjälp av ekvationer av denna typ. Om det går, ä r vinsten den, att man v i d resonemanget fram t i l l ekvationen kan undvika att tala om divisioner; det är väl den räkning, som elever- na har s v å r a s t att besluta sig för.
D ä r m e d har jag presenterat det axplock av synpunkter, som jag har valt ut.
Emellertid v i l l jag avslutningsvis föra fram ett problem t i l l , fastän det s t r ä n g t taget inte hör t i l l m i t t ä m n e s o m r å d e . Det gäller frågan, vad som egentligen sker, n ä r en elev löser ett problem. Det är naturligtvis ett mycket s v å r t psykologiskt spörsmål, men har jag fattat den litteratur r ä t t , som jag läst i ä m n e t , går det schematiskt talat t i l l så här. Man s ä t t e r sig i n i problemet. Under funderandet över det i n t r ä d e r en om- strukturering, och n ä r denna fortskridit tillräckligt långt, i n t r ä d e r insikt i problemet.
D ä r m e d ä r detta löst. F ö r denna verksamhet behövs nu psykisk energi. Dels skall denna disponeras så att den räcker t i l l dess problemet är löst, dels skall den över huvud taget kunna disponeras för ä n d a m å l e t . Inför varje problem har psyket ett slags tröskel att komma över, och är denna för hög, kan man inte alls komma i gång med lösandet.
Försök har visat, att ett s ä t t att bygga upp en sådan tröskel är att inge en elev den föreställningen, att problemet är svårt. E t t hinder för omstruktureringen är även att lösarens tankar är fel inriktade: han är som man säger a v b l ä n d a d . F ö r all pedagogisk verksamhet i matematik gäller nu att k ä m p a så att t r ö s k l a r n a blir låga och att elever-
(Forts, å sid. 31)
12
Sedan det blivit tydligt att stor brist på matematiklärare inom kort kommer att föreligga har Namn och nytt gått i författning om utgivande av den Realskolans räknebok för själv- studium varav nedanstående utgör en provsida.
kunde man räkna till 39 tomahawker, 17 skalperknivar och 8 räffelbössor, som insamlats från de fallna indianerna. De resande förfogade själva över 16 karbiner och 4 dubbelpipiga coltrevolvrar.
Huru många vapen hade de nu sammanlagt? Det beslöts att skjutvapnen skulle fördelas lika mellan de 4 männen i diligensen, medan de båda flickorna skulle sättas i arbete med att ladda om.
Krutdurkens återstående innehåll vägde endast 0,7 kg. H u r många skott skulle kunna avfyras mot indianerna, då till varje skott beräknades åtgå 15 gram svartkrut? Situationen var alltså, trots att indianerna för tillfället blivit tillbakaslagna, h ö g s t förtvivlad.
Medan de resande i bergspasset var sysselsatta med dessa beräkningar upptäckte de plötsligt i fjärran på den vidsträckta prärien en ensam ryttare, i vilken de lätt igenkände Buffalo Bill.
Oförväget stormade han fram mot de tätt hopade indianerna, och en rökpuff från hans höjda revolver tillkännagav att han icke var att leka med. Precis 1 minut senare genljöd knallen av skottet mellan bergspassets väggar. H u r långt borta var han, då man vet att ljudet t i l l r y g g a l ä g g e r 340 meter i sekunden?
I nästa ögonblick var han framme och svängde sin hatt till hälsning.
—• Skynda! ropade han och hoppade vigt ur sadeln. — Prärien vimlar av rödskinn! V i m å s t e bygga ett blockhus medan tid är!
Han ryckte ett måttband ur sitt vänstra pistolhölster och begynte mäta ut grunden. Han gjorde ena sidan 3 meter lång och den andra 2 meter. Därpå tillsade han de skräckslagna diligenspassagerarna att skyndsamt fälla de träd som behövdes till blockhuset.
— H u r många träd m å s t e vi fälla, sade 0'Flanagan ängsligt,
BuTrALO M L L
y ^ y
B l o c k H'ui&T. indiane&na olh
DEN likSTEAANOt S*X>&E^N .
•ANMÄLAN:
Lancelot Högben: M A T E M A T I K E N I B I L D Vetenskap, magi och roande lek Översättning: Conrad L ö n n q v i s t
Almqvist & Wiksell, Stockholm
» M a t e m a t i k e n i bild» b e r ä t t a r l ö r oss p å 64 f ä r g s p r a k a n d e sidor den fascinerande h i s t o r i e n o m h u r m ä n n i s k a n under å r t u s e n d e n a l l t m e r t a g i t m a t e m a t i k e n i sin t j ä n s t , och hur m a t e m a t i k e n d ä r v i d själv u t v e c k l a t s t i l l e t t a l l t finare i n s t r u m e n t i vetenskapens och det p r a k t i s k a l i v e t s b r u k .
R ä k n e m e t o d i s k t intressant ä r bokens presentation av de g a m l a k u l t u r f o l k e n s olika siffersystem.
Gemensamt för dem alla, det egyptiska, b a b y l o n i s k a , kinesiska, grekiska och romerska siffersystemet var, a t t de f ö r u t o m tecken för de 9 f ö r s t a t a l e n dessutom m å s t e a n v ä n d a y t t e r l i g a r e tecken för 10, 50, 100, 500, 1000 osv. M ä r k l i g t ä r a t t m a y a - f o l k e t i C e n t r a l a m e r i k a å r t u s e n d e n före den G a m l a v ä r l d e n s c i v i l i s a t i o n lyckades fundera u t e t t system, d ä r siffersymbolernas a n t a l reducerades. D e t t a folk k u n d e s k r i v a v a r j e t a l med h j ä l p av endast t r e tecken: en p r i c k , e t t streck och en oval
• • • • •• • •••
5 6 7 8 9 10
• • • • •••
• •• ••• ••••
1 2 3 4
• ••• • •••
^ g j ^ CSSS^ *S*nW* <*in£^ cSSk
2 0 4 0 6 0 80 100 120 140 160 180 2 0 0 Med dessa tre tecken k u n d e de bygga upp alla t a l f r å n e t t t i l l n i t t o n * * * *
Genom a t t l ä g g a t i l l en o v a l under en siffra gjorde de dess v ä r d e 20 g å n g e r s t ö r r e . O m de lade t i l l ä n n u en oval, b l e v talets v ä r d e m u l t i p l i c e r a t med 20 en g å n g t i l l . M o t s v a r a n d e f ö r e n k l i n g i den gamla v ä r l d e n s siffersystem skedde f ö r s t i och med u p p t ä c k t e n eller u p p f i n n i n g e n a t t m a n k u n d e m a r k e r a en t o m r a d i abacusen med e t t s ä r s k i l t tecken. »Nollans i n t å g » har o c k s å f å t t e t t eget k a p i t e l , som b e r ä t t a r om nollans t i l l b l i v e l s e i I n d i e n o m k r i n g 500 e. K r . och dess v i d a r e u t b r e d n i n g ö v e r B a g d a d t i l l v ä s t e r l a n d e t . F ö r s t under 1400-talet hade de i n d i s k a siffrorna och positionssystemet d e f i n i t i v t slagit igenom och k o m m i t t i l l a n v ä n d n i n g v i d n a v i g e r i n g och k ö p e n s k a p i hela v ä s t r a E u r o p a .
I » M a t e m a t i k e n i bild» har den engelske f ö r f a t t a r e n Professor H ö g b e n g j o r t k o n s t s t y c k e t a t t p å r e l a t i v t få sidor s k r i v a en r i k t i l l u s t r e r a d v ä l d s h i s t o r i a , som f å n g a r v ä s e n t l i g a skeden i v å r k u l t u r s u t v e c k l i n g f r å n h e d e n h ö s f r a m t i l l m o d e r n t i d . B o k e n k u n d e l i k a g ä r n a ha t i t u l e r a t s » K u l t u r h i s t o r i a i bild». M a t e m a t i k e n ä r med som en r ö d t r å d och får belysa m ä n n i s k a n s s t r ä v a n a t t s ö k a b e m ä s t r a sin o m v ä r l d genom observation, m ä t n i n g , b e r ä k n i n g . B o k e n b ö r j a r m e d a t t en u r t i d s m ä n n i s k a r ä k - nar sina spjutspetsar, i slutet av boken ges en p o p u l ä r f r a m s t ä l l n i n g av m a t e m a t i k m a s k i n e n . D ä r e m e l l a n har v i f å t t stifta bekantskap med de e g y p t i s k a och b a b y l o n i s k a k u l t u r e r n a , m ö t t det a n t i k a G r e k l a n d , följt de stora geografiska u p p t ä c k t e r n a och u p p l e v a t Galileis och N e w t o n s upp- t ä c k t e r , som lade g r u n d e n t i l l m o d e r n vetenskap, som skapat betingelserna för den snabba t e k n i s k a u t v e c k l i n g , v i j u s t n u s t å r m i t t uppe i .
Genom a t t p å d e t t a s ä t t m a t e m a t i k e n s och k u l t u r e n s u t v e c k l i n g skildras sida v i d sida och det ö m s e s i d i g a samspelet dem emellan k l a r l ä g g e s , f r a m h å l l e s p å e t t s l å e n d e s ä t t m a t e m a t i k e n s v i t a l a betydelse för den m ä n s k l i g a k u l t u r e n . P å så s ä t t är det o c k s å p r a k t i s k m a t e m a t i k v i m ö t e r . N y a p r a k t i s k a p r o b l e m s t ä l l e r n y a k r a v p å m a t e m a t i k e n . I det g a m l a E g y p t e n b e h ö v d e m a n formler för y t b e r ä k n i n g av j o r d b r u k e n s areal, v i d de geografiska u p p t ä c k a r f ä r d e r n a u p p k o m behov av a t t k u n n a s ä k e r t b e r ä k n a l o n g i t u d och l a t i t u d . N e w t o n v a r t v u n g e n a t t skapa en n y m a t e m a t i k för a t t k u n n a f ö r k l a r a och b e r ä k n a planeternas r ö r e l s e r , v å r t e k n i s k a t i d s stora k r a v p å snabbhet och effek- t i v i t e t t i l l f r e d s s t ä l l e s m e d de elektroniska m a t e m a t i k m a s k i n e r n a . Genom d e t t a grepp a t t s ä t t a i n m a t e m a t i k e n i dess k u l t u r e l l a sammanhang, har » M a t e m a t i k e n i bild» l y c k a t s p å e t t b å d e roande och intressant s ä t t presentera levande matematik.
T i d s k r i f t för S k o l m a t e m a t i k , som ä r t i l l för a t t s t i m u l e r a intresset för m a t e m a t i k och m a t e m a t i k - u n d e r v i s n i n g , h ä l s a r med g l ä d j e en bok som denna. I n g e t s k o l b i b l i o t e k b ö r f ö r s u m m a a t t i n k ö p a d e t t a v e r k , som b å d e l ä r a r e och elever k a n ha n ö j e av. S å som den ä r s k r i v e n ger den en intressant u n d e r h å l l n i n g för s å v ä l y n g r e som ä l d r e l ä s a r e . Som j u l k l a p p s b o k t i l l en m a t e m a t i k i n t r e s s e r a d elev ä r den idealboken, för a t t i n t e t a l a om v i l k e t v ä r d e den skulle ha för en icke m a t e m a t i k i n t r e s s e r a d u n g d o m , för v i l k e n det borde b l i en upplevelse a t t se h u r t r e v l i g t och u n d e r h å l l a n d e en » m a t e m a t i k - bok» k a n skrivas!
A l m q v i s t & W i k s e l l , som å t a g i t sig a t t ge u t en så p å k o s t a d bok — den i n n e h å l l e r ö v e r 250 b i l d e r i f ä r g — ä r v ä r d a l l u p p s k a t t n i n g för s i t t l o v v ä r d a i n i t i a t i v a t t p å d e t t a s ä t t s ö k a popularisera m a t e m a t i k e n . „ „
A . Jr.
14
»Matematiken i bild är värd be- undran och kommer mig att önska att jag var barn på nytt. Jag kan inte nog rekommendera detta mäs- terverk av förenkling utan förfalsk- ning»
säger Bertrand Russel om
L A N C E L O T H Ö G B E N
M a t e m a t i k e n i b i l d
Översatt av lektor Conrad Lönnqvist Redigerad av lektor Lennart Dalen
• Ger läraren ett rikt material av idéer och uppslag för en åskådlig undervisning.
% Ger eleverna möjlighet att leva sig in i de matematiska be- greppen och gör matematiken till en roande lek.
» D e n upplyser om matematikens uppkomst och mening. Den är s p ä n n a n d e och fattbar för alla l ä s k u n n i g a . Den är en praktfull kavalkad med 250 bilder i färg, d ä r matematik, astronomi, historia, navigation, filosofi och arkeologi tvinnats samman i ett s t r å l a n d e m ö n s t e r .
Högben berättar oemotståndligt eggande!»
Stort format 250 färgbilder I n b . 19:75
A L M Q V I S T & W I K S E L L
B o x 159, S t o c k h o l m 1 - P o s t g i r o 758
(457381) 81754 Vilken siffra är struken?
I föregående nummer av TfS presenterades ett »tankeläsarknep» enligt följande:
V i uppmanar en person att t ä n k a på ett t a l a, vilket som helst. Sedan han successivt utfört r ä k n e o p e r a t i o n e r n a 10 • a, 10 • a — a och 10 • a — a + 54, uppmanas han att stryka en siffra (men ej en nolla) och meddela slutresultatet. V i kan nu r ä k n a ut vilken siffra han strukit genom att dra slutresultatets siffersumma från n ä r m a s t högre mul- tipel av 9.
Förklaringen är den, att man efter r ä k n e o p e r a t i o n e r n a 10a — a erhåller 9 • a d. v. s.
ett tal, som är delbart med 9 och vars siffersumma följaktligen också är delbar med 9.
Lägger man nu t i l l 54 erhålles 9a + 54 = 9 • (a + 6) d. v. s. fortfarande ett t a l , som är delbart med 9 och vars siffersumma är delbar med 9. Om nu en siffra x strykes, blir givetvis nu siffersumman x enheter mindre d. v. s. x enheter mindre än en multipel av 9. V i kan således l ä t t ta reda på den strukna siffran genom att se efter, hur mycket som fattas i n ä r m a s t högre multipel av 9. Om t. ex. siffersumman i slutsvaret är 22, är den strukna siffran 27 — 22 = 5. Om siffersumman i slutsvaret blir en multipel av 9, kan v i inte avgöra, om 9 eller 0 har strukits; för att få en entydig lösning har därför strykning av ev. nolla förbjudits.
I stället för 54 kan v i lägga t i l l eller dra ifrån vilken multipel som helst av 9. V i kan därför skriva upp en m ä n g d multiplar av 9: 27, 54, 108, 126, 153 o. s. v. och be v å r person a t t ta vilket som helst av dessa tal och lägga t i l l eller dra ifrån (om det går), och han b e h ö v e r för oss ej uppge, vilken r ä k n e o p e r a t i o n han utför. F ö r att göra det ä n n u mer förbluffande kan v i be honom (före eller efter den sista additionen) att god- tyckligt kasta om siffrorna i sitt tal — siffersumman ä n d r a s j u härigenom icke!
Var skall villan placeras?
H u r ett t i l l synes enkelt geometriskt problem kan ställa relativt stora krav på lösarens matematiska förmåga, visar följande problem.
S t r ä c k a n AC representerar en h u v u d v ä g . V i bygga oss en villa utefter bivägen A B . I D befinner sig en källa. V i v i l l nu placera villan på ett s å d a n t ställe E, att v ä g e n t i l l källan blir lika lång som den kortaste vägen ned t i l l h u v u d v ä g e n . Sträckorna E D och E F skall alltså vara lika och E F v i n k e l r ä t mot s t r ä c k a n AC. H u r skall v i med hjälp av passare och linjal exakt kunna konstruera fram läget av punkten E? Vem av läsarna ger den elegantaste lösningen?
