cv 1 2 F

Lösning B1:

D₁ = 10 cm D2 = 8 cm F_insp = 569 N v1 = 3 m/s Patm = 101 325 Pa ρvatten = 998 kg/m³

K = 2.78 (engångsförlustfaktorn för kröken baserad på medelhastigheten) Beräkna trycket i 1

cv

1 2

F

x A

2 2

1 1 1 1

1 1 2 2 2 2 2

2 2

. . . .

. .

3 0.10

K.E.: 4.6875 m/s

0.08

Kraftbalans: (1)

( )

Stationärt och endast x-led intressant

( )

tryck insp strömning

strömning c s c v

x c s x

v A v D v A v A v

A D

t dV

F v

ρ ρ

ρ

= ⇒ = = = ⋅ =

+ =

= ⋅ + ∂

∂

⇒

= ⋅

∫∫ ∫∫∫

∫∫

F F F

F v v n dA v

v n d _{1 1 1 2 2 2 1}² _{1 2}² ₂

, 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

cos180 cos 0

( ( )) ( ) ( )

(1) ( ) ( ) (2)

tryck x atm tot atm tot atm atm

insp atm atm

v v A v v A v A v A

F P A P A A A P A P A A P P A P P

v A v A F A P P A P P

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

= − + = +

= − − + − − = − + −

⇒ + = + − + −

A

2 2

1 2

1 1 2 2

2

1 2

1 2

2

2 2

1 2 2 1

Bernoullis med förluster:

2 2

Engångsförlust

2

3 4.6875

3.84375 m/s

2 2

horisontellt rör

( ) (3)

2 2

genom att kombinera

f

medel f

medel

medel

v v

P gy P gy P

P Kv v v v

y y

P P v v K v

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

+ + = + + + ∆

⇒

∆ =

+ +

= = =

⇒ =

⇒ − = − +

2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 1 2

1

1 2

2 1 2 1

2 2 2 2

1

ekv 2 och 3 fås:

( )

2 2

0.007854 m 2

0.005027 m 2

142 kPa

medel insp

atm

v A v A F A v v A Kv

P P

A A A D

A D P

ρ ρ ρ ρ

π π

+ − − − −

= − +

+

= =

= =

=

B2

Sökt: Massflödet rökgaser som ger temperaturen 323K ut ur skorstenen [kg/s].

Lösning:

Omgivningens temperatur är 283K utanför hela skorstenen, medan rökgasernas temperatur minskar.

Det sökta massflödet är relaterat till värmefluxet från rökgaserna ut till omgivningen:

( )

, ,

p rökgaser p rökgaser in ut

q=mc
∆ =T mc
T −T (1)

Värmefluxet kan också beräknas genom att betrakta skorstenen som en värmeväxlararea:

q=UA T∆ lm (2)

Uttrycket (2) blir i detta fall:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ln

1 ln

ln

in omg ut omg

lm

in omg

ut omg

in ut

in omg

ut omg

in ut

in omg

ut omg

T T T T

q UA T UA

T T T T T T

UA U

A R T T

T T T T

T T

R T T

 

 

 − − − 

= ∆ =  =

 − 

 

 

 

  −  

 

 

−  

= = = =

 −   

 

 − 

 

= −

 − 

⋅  

 − 

 

∑

∑

(3)

Dessa värmeflux är givetvis lika, varför:

( )

( )

,

1 ln

p rökgaser

in omg

ut omg

mc

T T

R T T

=  − 

⋅  

 − 

 

∑

(4)

Temperaturerna och cp,rökgaser är givna, alltså återstår endast att bestämma ΣR.

ΣR (”summan av resistanserna”) kan skrivas som (se kapitel 15 i boken):

( )

1 ln 1

2

y i

i i skorsten y y

R R

R⁼h A ⁺ πk L⁺h A

∑

där hy = 33 W/m²,K (givet)

kskorsten = 0.59 W/m,K (givet)

L = Ry – Ri = 10 cm (givet)

Lskorsten = 70 m (givet)

D_i = 0.7 m (givet)

Dy = Di + 2(Ry – Ri) = 0.9 m 154 m2

i i skorsten

A =πD L ≈ 198 m2

y y skorsten

A =πD L ≈

Allt som saknas är alltså värmeöverföringskoefficienten på insidan, hi.

Vi har gasströmning inuti ett cirkulärt rör. Strömningsregim (laminärt eller turbulent) ej känd

⇒ antag t ex turbulent strömning (mest rimligt för avgaser i skorsten) ⇒ hitta lämplig korrelation (forced convection; internal, turbulent flow) ⇒

Dittus & Boelter: _D ⁱ 0.023Re Pr^0.8_D ⁿ

rökgaser

Nu h D

= k = (6)

(1) ⇒ n = 0.3 (rökgaserna kyls)

(2) ⇒ alla fluidegenskaper skall tas vid bulkmedeltemperaturen (OK, ty de är givna och får antas konstanta på aktuellt temperaturintervall)

(3) ⇒ ReD > 10⁴ (kontrollera i efterhand!) (4) ⇒ 0.7 < Pr < 100 (OK)

(5) ⇒ L/D > 60 (OK)

Reynolds tal baserat på massflödet:

2

4 Re_D 4

m D

vD D m

D πρ

ν ν πρν

 

 

 

= = =

(7)

…kan sättas in i (6), varefter hi löses ut och sätts in i (4) via (5). Detta ger då:

( ) ( )

( )

,

0.8 0.3

1

1 ln 1

2 ln

0.023 4 Pr

p rökgaser

y i in omg

skorsten y y ut omg

rökgaser

i

mc

R R T T

k L h A T T

k m

D D A

π πρν

= 

   − 

 

+ + ⋅  

     − 

   

   

 

(8)

som efter insättning^* ger m = 1.42 kg s

Måste utföra kontroll (3) för Dittus & Boelter ⇒ OK, ty ReD = 1.2 ^. 10⁵ > 10⁴

* Det går naturligtvis bra att iterera också, om man inte känner för att jobba med så stora uttryck.

Lösning B3:

Beräkna tiden det tar för koncentrationen i mitten av sfärerna att nå 25% av den ursprungliga koncentrationen.

,

,0

7 2 11 2

, ,0

, ,0 ,0

Instationär masstransport i en sfär!

Diagramlösning Data:

0 0.25

5 10 cm / 5 10 m / s 1.5 mm = 0.0015 m

0 0.25 0 0.25 0 (i mitten av sfären)

0 (d

A s

A A

AB

sfär

A s A A

A s A A

c

c c

D s

D

c c c

Y c c c

n m

− −

⇒

⇒

=

=

= ⋅ = ⋅

=

− −

= = =

− −

=

=

2 2 2

1

11

et yttre motståndet kan försummas) Ur diagram fås: 0.21

0.21 0.0015

2360 s = 39 min

4 4 5 10

sfär

AB AB

X Xx XD

t D D ⁻

=

⇒ = = = ⋅ =

⋅ ⋅

B4

Sökt: Hastigheten med vilken isen sublimerar [kg/m²,s].

Lösning:

Hastigheten med vilken isen sublimerar [mol/m²,s] (omvandla till kg senare) ges av:

N_A = k_c(c_surface - c_∞)

Bägge koncentrationerna är givna (antaget torr luft långt bort respektive mättad ånga vid ytan):

c∞ = 0 Pa (torr luft)

c_surface = (p_A/RT) = (600/(8.3145*273.15)) Pa = 0.2642 mol/m³ (mättad ånga) Vi saknar alltså endast massöverföringskoefficienten k_c.

Strömning runt en kropp ⇒ analogi mellan masstransport och värmetransport (Chilton- Colburn) är giltig ⇒ använd information om h för att bestämma k_c:

j_D = j_H ⇒

2 3 2 3

Pr ^c

p

k

h Sc

v c v

ρ _∞ ⁼ _∞ ^⇒

Pr 2 3 c

p

k h

c Sc ρ

 

=  

 

h = 20 W/m²,K (givet i uppgiften)

Materialdata hämtas ur lämpligt appendix:

ρ = 1.3 kg/m³ (luft 0°C) cp = 1000 J/kg,K (luft 0°C) Pr = 0.715 (luft 0°C) ν = 1.3 ^. 10^-5 m²/s (luft 0°C)

Diffusiviteten av vatten i luft vid 273 K och 1 atm totaltryck fås ur appendix med omräkning:

DAB,298KP = 2.634 m²,Pa/s

P = 1 atm ⇒ DAB,298K = 2.67 ^. 10^-5 m²/s

DAB,273K = DAB,298K. (T273/T298)^3/2 = 2.34 ^.10^-5 m²/s (försumma kollisionsintegralen) Sc = ν/DAB = 0.556

Insättning ⇒ k_c = 0.0182 m/s ⇒ N_A = 0.00481 mol/m²,s

Omvandla till [kg/m²,s] mha molmassan för A (18.0 g/mol) ⇒ NA = 8.65 ^. 10^-5 kg/m²,s