Základy kvaternionů v algebře a geometrii

(1)

Technická univerzita v Liberci

FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ

Katedra: Katedra matematiky a didaktiky matematiky Studijní program: Matematika

Studijní obor: Matematika

Základy kvaternionů v algebře a geometrii

Basics of quaternions in algebra and geometry

Bakalářská práce: 12–FP–KMD–006

Autor: Podpis:

Jana Emilie VESELOVSKÁ

Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Vild

Počet

stran grafů obrázků tabulek pramenů příloh

49 0 7 5 36 0

V Liberci dne: 24. 04. 2012

(2)

(3)

(4)

Čestné prohlášení

Název práce: Základy kvaternionů v algebře a geometrii Jméno a příjmení

autora:

Jana Emilie Veselovská

Osobní číslo: P09000147

Byla jsem seznámena s tím, že na mou bakalářskou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb. o právu autorském, právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů, zejména

§ 60 – školní dílo.

Prohlašuji, že má bakalářská práce je ve smyslu autorského zákona výhradně mým autorským dílem.

Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé bakalářské práce pro vnitřní potřebu TUL.

Užiji-li bakalářskou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědoma povinnosti informovat o této skutečnosti TUL; v tomto případě má TUL právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.

Bakalářskou práci jsem vypracovala samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím bakalářské práce a konzultantem.

Prohlašuji, že jsem do informačního systému STAG vložila elektronickou verzi své bakalářské práce, která je identická s tištěnou verzí předkládanou k obhajobě a uvedla jsem všechny systémem požadované informace pravdivě.

V Liberci dne: 24. 04. 2012

Jana Emilie Veselovská

(5)

Poděkování

Ráda bych poděkovala vedoucímu své bakalářské práce panu doc. RNDr. Jaroslavu Vildovi za cenné rady, připomínky a čas, který mi při konzultacích věnoval.

(6)

Anotace

Tato bakalářská práce popisuje historii a vývoj komplexních čísel, kvaternionů a s nimi souvisejících bikvaternionů a duálních kvaternionů. Uvádí základní vlastnosti kvaternionů, poukazuje na analogii a rozdíly v porovnání s komplexními čísly a ukazuje různé způsoby zavedení kvaternionů. Nabízí stručné pojednání o speciálních rovnicích v tomto oboru a uvádí i několik příkladů. Poukazuje na možnost využití kvaternionů při výpočtech rotace, což je ilustrováno na několika jednoduchých příkladech a zmiňuje souvislost se speciálními ortogonálními maticemi. Nakonec popisuje některé vlastnosti kvaternionových grup.

Klíčová slova: kvaternion, historie kvaternionů, algebra kvaternionů, rovnice v oboru kvaternionů, rotace, kvaternionová grupa.

Annotation

The bachelor work describes the history and the development of complex numbers, quaternions and related biquaternions and dual quaternions. It presents the basic properties of quaternions, points to an analogy and differences in comparsion with complex numbers and shows different ways to introduce quaternions. It offers a brief discussion of the special equations in this division ring and gives a few examples. The work points to the possibility of using quaternions in the calculations of rotation, which is illustrated on several simple examples and it mentions a connection with special orthogonal matrices. Finally, the work describes some features of quaternion groups.

Key words: quaternion, history of quaternions, quaternion algebra, quaternion equations, rotation, quaternion group.

(7)

6

Obsah

Seznam použitého značení ... 8

1 Úvod ... 9

2 Historie kvaternionů ... 10

2.1 Historie komplexních čísel ... 10

2.2 Rozšiřování oboru komplexních čísel ... 11

2.3 Hamiltonovy kvaterniony... 12

2.4 Bikvaterniony a duální kvaterniony ... 15

3 Algebra kvaternionů ... 16

3.1 Vlastnosti kvaternionů a komplexních čísel... 18

3.1.1 Skalární a ryzí kvaternion × reálné a ryze imaginární číslo ... 19

3.1.2 Konjugovaný kvaternion × komplexně sdružené číslo ... 19

3.1.3 Rovnost kvaternionů × rovnost komplexních čísel ... 20

3.1.4 Součet, resp. rozdíl kvaternionů × součet, resp. rozdíl komplexních čísel ... 20

3.1.5 Součin kvaternionů × součin komplexních čísel ... 20

3.1.6 Norma kvaternionu × absolutní hodnota komplexního čísla... 24

3.1.7 Inverzní kvaternion × inverzní komplexní číslo ... 25

3.1.8 Opačný kvaternion × opačné komplexní číslo ... 25

3.1.9 Jednotkový kvaternion × komplexní jednotka ... 25

3.1.10 Podíl kvaternionů × podíl komplexních čísel ... 26

3.1.11 ԯ – nekomutativní těleso × ԧ – komutativní těleso ... 26

4 Rovnice v oboru kvaternionů ... 28

4.1 Příklady ... 28

4.2 Fundamentální věta algebry pro kvaterniony ... 30

5 Kvaterniony a rotace ... 32

5.1 Součin jednotkového a ryzího kvaternionu ... 32

5.2 Skládání po sobě následujících rotací ... 34

5.3 Rotace v SO(3) ... 35

5.4 Příklady ... 37

6 Kvaternionová grupa ... 41

6.1 Grupa ܳ_ͺ ... 41

6.2 Maticová reprezentace ... 42

7 Některé zdroje zabývající se kvaterniony ... 44

8 Závěr ... 46

9 Literatura a zdroje ... 47

(8)

7

Obrázek 1: Wallisovo znázornění komplexního čísla ... 10

Obrázek 2: William Rowan Hamilton ... 12

Obrázek 3: Pamětní deska v Dublinu ... 13

Obrázek 4: Vztahy pro násobení imaginárních jednotek ... 28

Obrázek 5: Rotace s_v ... 32

Obrázek 6: Libovolný vektor v zrotovaný kolem jednotkového vektoru u_v || u o úhel 2߮ ... 34

Obrázek 7: Cyklový graf grupy ܳ ... 41

Tabulka 1: Reálné alternativní algebry ... 13

Tabulka 2: Cayleyho tabulka pro ܳ ... 41

Tabulka 3: Multiplikativní tabulka pro ܳ ... 41

Tabulka 4: Cayleyho tabulka pro ۃܶۄ ... 43

Tabulka 5: Cayleyho tabulka pro ۃܶۄ/N ... 43

(9)

8

Seznam použitého značení

ݍǡ ݍͳǡ ݍʹǡ ݍ͵ǡ ݑǡ ݑݎǡ ݑݒǡ ݏݒǡ ݑͳǡ ݑʹ kvaternion

ͳǡ ܑǡ ܒǡ ܓ kvaternionové jednotky

ݏǡ ݏ_ͳǡ ݏ_ʹ skalární část kvaternionu

ݍ_݀ duální kvaternion

ܞǡ ܞ_ͳǡ ܞ_ʹǡ ࢜ǡ ࢇǡ ࢈ǡ ݓǡ ݐǡ ݐ_ͳǡ ݐ_ʹǡ ࢕ǡ ࢔ vektor

ߙǡ ߙ_ͳǡ ߙ_ʹǡ ߚǡ ߚ_ͳǡ ߚ_ʹǡ ݖǡ ݖ_ͳǡ ݖ_ʹǡ ݖ_͵ komplexní číslo

ߙതǡ ߙതതതǡ ߙ_ͳ തതതത ߚҧǡ ߚ_ʹǡ തതതǡ ߚ_ͳ തതതǡݖҧǡ ݖ_ʹ ഥ ǡ ݖ_ͳ ഥ _ʹ komplexně sdružené číslo

Թ obor reálných čísel

ԯ množina všech kvaternionů

ԯ݌ množina všech ryzích kvaternionů

ԧ obor komplexních čísel

Qǡ ܳ_ͳǡ ܳ_ʹǡ ܤǡ ܫǡ ܬǡ ܼǡ ܼ_ͳǡ ܼ_ʹǡ ܣ matice

ܧ jednotková matice

ݍതǡ ݍ^כǡ ݍതതതǡ ݍ_ͳ തതതǡ ݑതǡ ݑ_ʹ തതതǡ ݑ_ݎ തതത _ݒ konjugovaný kvaternion

ԡǥ ԡ norma

ȁǥ ȁ absolutní hodnota

ݍ^െͳǡ ݍͳെͳǡ ݍʹെͳǡ ݑ^െͳ inverzní kvaternion

ݖ^െͳ inverzní komplexní číslo

ԯ_ͳ množina všech jednotkových kvaternionů

߮ úhel otočení

ܴ_ݒǡ ܴሺ࢜ሻ rotace vektoru

ࡳࡸሺ݊ǡ Թሻ obecná lineární grupa matic ݊-tého stupně nad Թ

ܣ^െͳ inverzní matice

ܣ^ܶ transponovaná matice

ࡻሺ݊ሻ ortogonální grupa matic ݊-tého stupně

ࡿࡻሺ݊ሻ speciální ortogonální grupa matic ݊-tého stupně

ࡿࡸሺʹǡ ԧሻ speciální lineární grupa matic 2. stupně nad ԧ

|| rovnoběžnost

༗ kolmost

ܫ^െͳǡ ܬ^െͳ inverzní matice

N normální podgrupa

E, F těleso

ܳͺ, ܳ kvaternionová grupa

ܶ množina vybraných prvků z grupy ࡿࡸሺʹǡ ԧሻ

ۃܶۄ grupa generovaná množinou ܶ

ۃܶۄ/N faktorová grupa grupy ۃܶۄ podle její normální podgrupy N

(10)

9

1 Úvod

Kvaterniony jsou nekomutativním rozšířením a zobecněním komplexních čísel v trojrozměrném prostoru. Jejich objev se váže k datu 16. 10. 1843 a zasloužil se o něj irský matematik, fyzik a astronom Sir William Rowan Hamilton (1805–1865).

Kvaternionem nazval výraz ve tvaru ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ, či zkráceně ሾݏǡ ܞሿ, kde ܞ je vektor ve trojrozměrném prostoru. Pro násobení imaginárních složek stanovil vztahy

ܑ^ʹ ൌ ܒ^ʹ ൌ ܓ^ʹ ൌ ܑܒܓ ൌ െͳ. Kvaterniony tvoří nekomutativní těleso, které je nadtělesem komutativního tělesa komplexních čísel.

Jednotkové kvaterniony, tj. kvaterniony s jednotkovou normou, jsou významné pro počítačovou grafiku a využívají se i pro počítačové hry k dosažení plynulé 3D rotace.

Jednotkový kvaternion lze zapsat ve tvaru ݑ ൌ ߮ ൅ ݑ_ݒ ߮, kde ݑ_ݒ ൌ ሾͲǡ ࢛_࢜ሿ je jednotkový ryzí kvaternion. Pomocí ݑ se dá vyjádřit rotace kolem ࢛_࢜ o úhel ʹ߮. Tato reprezentace rotace pomocí kvaternionů je pak výhodnější než pomocí matic, protože v trojrozměrném prostoru počítáme pouze se čtyřmi složkami kvaternionu, u matic typu

͵ ൈ ͵ bychom jich potřebovali devět.

Primárním záměrem následujících kapitol je bližší seznámení s problematikou kvaternionů a shromáždění základních poznatků. Nejdříve je zde popsán historický vývoj kvaternionů, výčet některých vlastností a jejich podobnost s vlastnostmi komplexních čísel. Další kapitola se věnuje rovnicím v oboru kvaternionů a prostřednictvím řešených příkladů poukazuje na jisté obtíže, které jsou spojeny s nekomutativností kvaternionů. Následuje část věnovaná rotacím, ve které se s užitím předchozích vlastností zavede výchozí vztah pro rotace, tj. ݑݒݑ^െͳ. Ten se později využívá k praktickým výpočtům. Závěr je mimo jiné věnován pojednáním o kvaternionových grupách, jejich vlastnostech a izomorfii s dalšími grupami.

(11)

10

2 Historie kvaternionů 2.1 Historie komplexních čísel

První zmínka o druhých odmocninách ze záporných čísel pochází z 1. století našeho letopočtu a vyskytla se v práci řeckého matematika Herona Alexandrijského.

Ten ve své Stereometrice došel k výrazu ξͺͳ െ ͳͶͶ.

Podnětem ke studiu komplexních čísel byly objevy italských matematiků, kteří se v 16. století zabývali řešením algebraických rovnic. Gerolam Cardano (1501–1576) se jimi zabývá v knize Ars magna (1545) a Rafael Bombelli (1526–1573) ve svém díle Algebra (1572). V 17. a 18. století s komplexními čísly pracovala řada dalších matematiků, mj. i René Descartes (1596–1650), který použil termín „imaginární číslo“

či Leonhard Euler (1707–1783), jenž zavedl symbol i pro ξെͳ. Koncem 18. století našla komplexní čísla hojné využití v matematické analýze, hydrodynamice nebo kartografii. Stále však byla kladena otázka, jak si představit

komplexní čísla a jak chápat prvek ξെͳ.

O první vysvětlení se pokusil matematik John Wallis (1616–1703), jehož znázornění imaginárního čísla ξെܾܿ

jako kolmé úsečky k opačně orientovaným úsečkám b, c se však nedočkalo žádného ohlasu.

Euler použil polární souřadnice a komplexní číslo vyjádřil v goniometrickém tvaru

ݔ ൅ ݕ ൌ ݎሺ ߮ ൅ ߮ሻ.

Chápal tedy komplexní číslo ݔ ൅ ݕ jako bod roviny s kartézskými souřadnicemi (x, y).

Roku 1799 se o další interpretaci pokusil norský kartograf a geodet Caspar Wessel (1745–1818). Ten zavedl osu imaginární kolmou k reálné, vektory roviny reprezentoval komplexními čísly a operace s vektory prováděl pomocí operací s komplexními čísly. Pro ξെͳ užíval označení ε. Tento systém využil pro řešení geodetických úloh. Jeho práce však zapadla.

O 7 let později interpretoval švýcarský matematik Jean Robert Argand (1768–1822) ξെͳ jako otočení roviny o 90°.

Obrázek 1: Wallisovo znázornění komplexního čísla

(12)

11

Na přelomu 18. a 19. stol. dospěl ke geometrické interpretaci komplexních čísel jako bodů roviny i Carl Friedrich Gauss (1777–1855). Jeho myšlenka se rozšířila i díky knize Augustina Louise Cauchyho (1789–1857). V 19. stol. pak proto byla rovina komplexních čísel nazývána Gaussova či Cauchyova rovina. Pro sčítání a násobení byly zavedeny tyto vztahy:

ሺݔ ൅ ݕሻ ൅ ሺݔԢ ൅ ݕԢሻ ൌ ሺݔ ൅ ݔԢሻ ൅ ሺݕ ൅ ݕԢሻ, ሺݔ ൅ ݕሻሺݔԢ ൅ ݕԢሻ ൌ ሺݔݔԢ െ ݕݕԢሻ ൅ ሺݔݕԢ ൅ ݕݔԢሻ, popř. v goniometrickém tvaru:

ݎሺ ߮ ൅ ߮ሻ ൉ ݎԢሺ ߮^Ԣ ൅ ߮^Ԣሻ ൌ ݎ ൉ ݎԢሾሺ߮ ൅ ߮Ԣሻ ൅ ሺ߮ ൅ ߮Ԣሻሿ.

Hamilton toto pojetí roku 1833 mírně modifikoval v souladu s chápáním komplexních čísel jako uspořádaných dvojic reálných čísel. Pro uvedené operace tedy zavedl tyto vztahy:

ሺݔǡ ݕሻ ൅ ሺݔԢǡ ݕԢሻ ൌ ሺݔ ൅ ݔԢǡ ݕ ൅ ݕԢሻ, ሺݔǡ ݕሻ ൉ ሺݔԢǡ ݕԢሻ ൌ ሺݔݔԢ െ ݕݕԢǡ ݔݕԢ ൅ ݕݔԢሻ.

Komplexní číslo ݔ ൅ ݕ je v rovině s kartézskými souřadnicemi znázorněno bodem M = [x, y] či vektorem ܱܯሬሬሬሬሬሬԦ, kde O je počáteční bod a M koncový.

2.2 Rozšiřování oboru komplexních čísel

Geometrická interpretace komplexních čísel a způsob, jakým jsou komplexní čísla vytvořena z čísel reálných procesem zdvojení, vedly k pokusům o rozšíření oboru komplexních čísel na větší číselný obor. Tato vícesložková čísla se později začala nazývat hyperkomplexní čísla.

Předmětem zájmu se staly formální výrazy typu

ܽ_Ͳߙ_Ͳ൅ ܽ_ͳߙ_ͳ൅ ڮ ൅ ܽ_݊ߙ_݊,

kde n א Գ a je pevně zvolené, ܽͲǡ ܽͳǡ ǥ ǡ ܽ݊ reálná čísla a ߙͲǡ ߙͳǡ ǥ ǡ ߙ݊ nové základní jednotky. Sčítání těchto výrazů bylo definováno po složkách a mělo tyto vlastnosti:

asociativita, komutativita, existence nulového prvku a existence opačných prvků.

Násobení těchto nových čísel mělo být asociativní a komutativní, měl existovat

(13)

12

jednotkový prvek a ke každému nenulovému prvku prvek inverzní. Tyto požadavky tak komplikovaly nalezení vhodných vzorců.

Těmito problémy se začal zabývat Hamilton, Arthur Cayley (1821–1895), Augustus de Morgan (1806–1871) a další. Cílem bylo nalézt nový číselný obor (alespoň trojsložkových čísel), který by rozšiřoval obor čísel komplexních a tvořil by komutativní těleso.

Hamilton se při svém snažení zaměřil na trojsložková čísla. Věděl, že komplexní čísla mohou být znázorněna jako body v rovině a že je lze sčítat a násobit užitím geometrických operací. Hamilton se snažil najít způsob, jak udělat to samé pro body v prostoru. Ty mohou být reprezentovány

souřadnicemi, což jsou trojice čísel a lze je sčítat.

Hamilton se však potýkal s problémem, jak definovat odpovídající násobení a dělení. Ve snaze nalézt vzorec pro násobení stále narážel na struktury s netriviálními děliteli nuly. Při dělení nemohl přijít na to, jak vypočítat podíl souřadnic dvou bodů v prostoru. Hamilton svůj problém zmínil i v dopise svému synovi Archibaldovi: Na začátku října 1843 jste se mě, ty a tvůj bratr William Edward, každé ráno u snídaně ptali: „Táto,

už umíš násobit trojice?“ A já vždy smutně zavrtěl hlavou a odpověděl: „Ne, umím je pouze sčítat a odčítat.“

2.3 Hamiltonovy kvaterniony

Průlom nastal v pondělí 16. října 1843 v Dublinu, kdy se Hamilton procházel se svou manželkou a byl na cestě do Královské irské akademie věd. Když přecházel pro Broughamském mostu (nyní Broom Bridge) přes Royal Canal, vytanulo mu na mysli řešení. Ačkoliv neuměl „násobit trojice“, viděl způsob, jak totéž provést pro čtveřice.

Užitím tří čísel ze čtveřice jako bodů souřadnic prostoru mohl Hamilton reprezentovat body prostoru novým systémem čísel. Neodolal tedy nutkání a tento vzorec, resp.

generující vztahy

݅^ʹ ൌ ݆^ʹ ൌ ݇^ʹ ൌ ݆݅݇ ൌ െͳ

Obrázek 2: William Rowan Hamilton

(14)

13

pro násobení základních jednotek vyryl kapesním nožem do mostu. Čtveřice s těmito pravidly pro násobení nazval kvaterniony. Dodnes tuto událost připomíná deska s nápisem:

Here as walked by

on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication

݅^ʹ ൌ ݆^ʹ ൌ ݇^ʹ ൌ ݆݅݇ ൌ െͳ

& cut it on a stone of this bridge.

Následující den napsal dopis svému příteli matematikovi Johnu T. Gravesovi a popsal mu myšlenkové pochody, které ho dovedly k jeho objevu. Dopis byl později publikován v London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Graves se Hamiltonem inspiroval a již v prosinci téhož roku nalezl systém hyperkomplexních čísel s osmi základními jednotkami. Nezávisle na Gravesovi je však objevil i Cayley. Pro tato čísla se proto užívá termín Cayleyova čísla nebo Gravesova-Cayleyova čísla, případně jsou podle Hamiltona označována jako oktávy či oktoniony. Graves se dále pokoušel nalézt systém hyperkomplexních čísel s 16 základními jednotkami. Jeho úsilí však bylo marné, neboť roku 1898 dokázal německý matematik Adolf Hurwitz (1859–1919), že systém hyperkomplexních čísel lze vytvořit pouze pro ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ Ͷǡ ͺ. S tím souvisí tzv. zobecněná Frobeniova věta, která říká, že reálné alternativní algebry s dělením konečné dimenze existují právě čtyři.

Tabulka 1: Reálné alternativní algebry

݊ číselný obor algebra

ͳ reálná čísla…Թ komutativní, asociativní ʹ komplexní čísla…ԧ komutativní, asociativní Ͷ kvaterniony… ԯ nekomutativní, asociativní ͺ oktoniony nekomutativní, neasociativní

Obrázek 3: Pamětní deska v Dublinu

(15)

14

Existuje však nekonečně mnoho algeber, které nejsou ani alternativní, ale jejich popis ještě není zcela znám.

Poznámka: Algebra je alternativní, platí-li pro každou dvojici jejích prvků ݔǡ ݕ:

ሺݔݔሻݕ ൌ ݔሺݔݕሻ ר ݕሺݔݔሻ ൌ ሺݕݔሻݔ.

Hamilton kvaterninony oprávněně označoval jako obor hyperkomplexních čísel, který je nejbližší číslům komplexním a předpovídal jim i stejnou důležitost. Posléze zasvětil zbytek svého života studiu a vyučování kvaternionů, založil dokonce i školu

„kvaternionistů“ a rovněž vydal i několik knih pro jejich popularizaci. V jedné z nich rozpracoval pomocí kvaternionů vektorovou algebru. Poslední a nejrozsáhlejší kniha s názvem Elements of Quaternions měla 800 stran a byla publikována krátce po jeho smrti.

Hamiltonovými následovníky se potom stali jeho žáci Peter Tait či Benjamin Peirce. Oba pokračovali ve snaze propagovat kvaterniony. Ty našly své využití ve fyzice a geometrii. Od 80. let 19. stol. však začaly být kvaterniony nahrazovány vektorovou analýzou, která byla jednodušší a srozumitelnější. Posléze zastávaly stále menší roli v matematice a fyzice, což bylo mj. způsobeno i rozvleklým a nejasným stylem, jakým Hamilton svá díla psal. Často byla pro čtenáře obtížně pochopitelná i kvůli svým nezvyklým definicím.

Důležitost kvaternionů však byla obnovena na konci 20. stol. díky jejich užitečnosti při popisu rotací v prostoru. Znázornění rotací pomocí kvaternionů je totiž výhodnější než pomocí matic. Z toho důvodu jsou užívány např. v počítačové grafice, robotice, fyzice, bioinformatice, molekulární dynamice nebo pro počítačové simulace.

První masově prodávanou počítačovou hrou, u které byly využity kvaterniony k dosažení plynulé 3D rotace, byl roku 1996 Tomb Raider. Nicméně význam kvaternionů se nikdy nevyrovnal významu komplexních čísel.

(16)

15

2.4 Bikvaterniony a duální kvaterniony

Kromě kvaternionů zavedl Hamilton roku 1853 tzv. bikvaterniony ݍ ൌ ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖǡ ݏǡ ݔǡ ݕǡ ݖ א ԧ,

tedy kvaterniony s komplexními koeficienty. O 20 let později byl následován anglickým matematikem a filozofem Williamem Kingdonem Cliffordem (1845–1879), jenž Hamiltonovo zavedení považoval za zbytečné a „kvaternion s komplexními čísly“ tak nahradil „komplexním číslem s kvaterniony“. Zavedl tedy výrazy typu

ܾ ൌ ݔ ൅ ߱ݕ,

kde ݔǡ ݕ א ԯ a ω je nová základní jednotka, pro kterou platí ߱^ʹ ൌ ͳ.

Cliffordovy články o bikvaternionech vedly k objevu duálních čísel. Tato dvousložková čísla jsou jistou modifikací komplexních čísel, mají s nimi společné i některé vlastnosti a zapisují se ve tvaru

ݖ ൌ ܽ ൅ ߝܾ,

kde ܽǡ ܾ א Թ a ߝ je tzv. duální jednotka, pro kterou platí ߝ^ʹ ൌ Ͳ, tzn. že ߝ je nilpotentní.

(Prvotně se místo symbolu ߝ užívalo značení ω. To bylo později nahrazeno z důvodu možné záměny se symbolem pro úhlovou rychlost.) Vznikla tedy rozšířením reálných čísel přidáním prvku ߝ. Poprvé byla zmíněna roku 1901 německým matematikem Eduardem Studym (1862–1930) a následně aplikována na bikvaterniony. Výsledkem byl vznik duálních kvaternionů. Ty jsou definovány podobným způsobem jako kvaterniony, ale jejich koeficienty jsou místo čísel reálných duální. Duální kvaternion ݍ_݀ lze tedy zapsat pomocí uspořádané čtveřice ve tvaru

ݍ݀ ൌ ሺݏ ൅ ߝݏͲǡ ݔ ൅ ߝݔͲǡ ݕ ൅ ߝݕͲǡ ݖ ൅ ߝݖͲሻ,

kde ߝ^ʹ ൌ Ͳ a ostatní prvky jsou reálné. Další úpravou tak dostaneme výraz ݍ_݀ ൌ ሺݏǡ ݔǡ ݕǡ ݖሻ ൅ ߝሺݏ_Ͳǡ ݔ_Ͳǡ ݕ_Ͳǡ ݖ_Ͳሻ ൌ ݍ ൅ ߝݍͲ,

kde ݍ ൌ ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ a ݍͲ ൌ ݏͲ൅ ܑݔͲ൅ ܒݕͲ൅ ܓݖͲ jsou reálné kvaterniony.

(viz [1], [29], [23], [27], [28])

(17)

16

3 Algebra kvaternionů

Definice: Kvaternion q je definován vztahem

ݍ ൌ ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ,

kde s, x, y, z א Թ, s je koeficient reálné jednotky ,,ͳˮ a i, j, k jsou imaginární jednotky splňující následující vztahy:

ܑܒ ൌ ܓǡ ܒܓ ൌ ܑǡ ܓܑ ൌ ܒ

ܑ^૛ൌ ܒ^૛ൌ ܓ^૛ൌ ܑܒܓ ൌ െͳ, ܒܑ ൌ െܓǡ ܓܒ ൌ െܑǡ ܑܓ ൌ െܒ.

Každý kvaternion je tedy lineární kombinací prvků 1, i, j, k. Kvaternion lze též psát ve tvaru uspořádané čtveřice

ݍ ൌ ሾݏǡ ሺݔǡ ݕǡ ݖሻሿǡ ݏǡ ݔǡ ݕǡ ݖ א Թ či zkráceně

ݍ ൌ ሾݏǡ ܞሿǡݏ א Թǡ ܞ א Թ^͵,

kde ݏ je skalár a ܞ je chápán jako vektor v trojrozměrném prostoru.

Poznámka: O vzájemné poloze kvaternionů rozhodují jejich vektorové složky, tzn., že kvaterniony jsou paralelní, resp. ortogonální, jsou-li paralelní, resp. ortogonální jejich vektorové složky.

Množina všech kvaternionů se značí ԯ (podle objevitele Hamiltona).

Kvaterniony lze zavést též pomocí matic:

Nechť ͳ ൌ ቂͳ ͲͲ ͳቃ, ܑ ൌ ቂ Ͳ ͳെͳ Ͳቃ, ܒ ൌ ቂͲ ݅݅ Ͳቃ, ܓ ൌ ቂ݅ Ͳ

Ͳ െ݅ቃ, takže tyto prvky splňují výše uvedené vztahy. Nechť je ԯ množina prvků tvaru ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ, kde ݏǡ ݔǡ ݕǡ ݖ א Թ. Pak ԯ můžeme chápat jako množinu komplexních matic typu 2×2 ve tvaru

Q ൌ ൤ ߙ ߚ

െߚҧ ߙത൨,

(18)

17

kde ߙ ൌ ݏ ൅ ݅ݖ a ߚ ൌ ݔ ൅ ݅ݕ jsou komplexní čísla a ߙത ൌ ݏ െ ݅ݖ, ߚҧ ൌ ݔ െ ݅ݕ čísla k nim komplexně sdružená. (viz [22]) Neboť jednoduchým sečtením jednotlivých matic dostaneme, že

ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ = ݏ ቂͳ ͲͲ ͳቃ ൅ ݔ ቂ Ͳ ͳ

െͳ Ͳቃ ൅ ݕ ቂͲ ݅

݅ Ͳቃ ൅ ݖ ቂ݅ Ͳ Ͳ െ݅ቃ = ൤ ݏ ൅ ݅ݖ ݔ ൅ ݅ݕെݔ ൅ ݅ݕ ݏ െ ݅ݖ൨ ൌ Q,

matice Q tedy reprezentuje kvaternionݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ.

Kvaternionݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ, ݏǡ ݔǡ ݕǡ ݖ א Թ může být reprezentován též reálnou maticí typu 4×4 ve tvaru

ܤ ൌ ቎

ݏ ݔ

െݔ ݏ ݕ ݖ

െݖ ݕ

െݕ ݖ

െݖ െݕ ݏ െݔ

ݔ ݏ

቏.

Matici ܤ získáme jako součet skalární diagonální matice a kososymetrické matice (= matice, jejíž prvky jsou souměrné podle hlavní diagonály a liší se znaménkem), tedy

ܤ ൌ ቎

Ͳ ݏݏ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ

Ͳ Ͳ ݏ Ͳ

Ͳ ݏ

቏ ൅ ቎

Ͳ ݔ

െݔ Ͳ

ݕ ݖ

െݖ ݕ

െݕ ݖ

െݖ െݕ Ͳ െݔ

ݔ Ͳ

቏.

V této reprezentaci pak konjugovaný kvaternion odpovídá transponované matici. Čtvrtá mocnina normy kvaternionu odpovídá determinantu jeho příslušné matice. (viz [30]) Definice: Nechť jsou dána dvě tělesa, E a F. Říkáme, že E je rozšířením F, jestliže F je podmnožinou E a operace v F jsou tytéž jako v restrikci E na F. (viz [5 s. 3])

Další možná reprezentace kvaternionů je pomocí komplexních čísel. Komplexní čísla vznikají rozšířením reálných čísel zavedením jednotky i, pro kterou platí ݅^ʹ ൌ െͳ.

Každé komplexní číslo může být zapsáno ve tvaru ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅, ܽǡ ܾ א Թ. Kvaterniony mohou být zkonstruovány z komplexních čísel podobným způsobem. Nová jednotka ݆ je definována tak, že platí ݆^ʹ ൌ െͳ a zároveň předpokládáme antikomutativnost násobení obou jednotek, tzn. ݆݅ ൌ െ݆݅. Kvaternion pak zapíšeme ve tvaru ݍ ൌ ݖͳ൅ ݆ݖʹ, kde ݖͳǡ ݖʹ jsou komplexní čísla. (viz [14 s. 2]) Platí tedy:

(19)

18

Nechť je ԧ^ʹ dvourozměrný vektorový prostor nad komplexními čísly. Zvolme bázi o dvou prvcích ͳ a ݆. Vektor z ԧ^ʹ lze pak zapsat pomocí těchto prvků jako

ሺܽ ൅ ܾ݅ሻͳ ൅ ሺܿ ൅ ݅݀ሻ݆.

Použijeme-li ݆^ʹ ൌ െͳ a ݆݅ ൌ െ݆݅, můžeme násobit dva vektory užitím distributivního zákona. Označení ݆݅ symbolem ݇ následně vede ke stejným pravidlům pro násobení jako u obvyklých kvaternionů. Proto výše uvedený vektor komplexních čísel odpovídá kvaternionu

ܽ ൅ ܾ݅ ൅ ݆ܿ ൅ ݇݀.

Využijeme-li pro prvky z ԧ^ʹ zápis uspořádaných dvojic a pro kvaterniony zápis uspořádaných čtveřic, dostaneme vztah

ሺܽ ൅ ܾ݅ǡ ܿ ൅ ݅݀ሻ ՞ ሺܽǡ ܾǡ ܿǡ ݀ሻ.

(viz [30])

3.1 Vlastnosti kvaternionů a komplexních čísel

Pro úplnost nejprve doplním definici komplexních čísel.

Definice: Komplexní číslo je číslo ve tvaru ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅, ܽǡ ܾ א Թ, kde i je imaginární jednotka, pro kterou platí ݅^ʹ ൌ െͳ. Komplexní číslo lze též psát ve tvaru uspořádané dvojice

ݖ ൌ ሾܽǡ ܾሿǡ ܽǡ ܾ א Թ.

Množina všech komplexních čísel se značí ԧ.

Komplexní čísla mohou být reprezentována pomocí matic:

Nechť je dána jednotková matice ܧ ൌ ቂͳ ͲͲ ͳቃ a matice ܫ ൌ ቂͲ െͳͳ Ͳቃ a také platí ܫ^ʹ ൌ ቂെͳ Ͳ

Ͳ െͳቃ. Nechť je ԧ množina prvků tvaru ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅, kde ܽǡ ܾ א Թ. Pak ԧ můžeme chápat jako množinu reálných matic typu 2×2 ve tvaru

ܼ ൌ ቂܽ െܾܾ ܽቃ,

(20)

19 kde ܽǡ ܾ א Թ. Neboť dosazením a sečtením dostanu:

ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅ ൌ ܽܧ ൅ ܾܫ ൌ ܽ ቂͳ ͲͲ ͳቃ ൅ ܾ ቂͲ െͳ

ͳ Ͳቃ ൌ ቂܽ െܾ

ܾ ܽቃ ൌ ܼ. (viz [24])

3.1.1 Skalární a ryzí kvaternion × reálné a ryze imaginární číslo Definice: Nechť ݍ ൌ ሾݏǡ ܞሿ א ԯ a ܞ ൌ ૙, pak q nazýváme skalární kvaternion.

Definice: Nechť ݍ ൌ ሾݏǡ ܞሿ א ԯ a ݏ ൌ Ͳ, pak q nazýváme ryzí kvaternion.

Množinu všech ryzích kvaternionů značíme ԯ_݌. Definice: Nechť ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅ א ԧ a ܾ ൌ Ͳ, pak z je reálné číslo.

Definice: Nechť ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅ א ԧ a ܽ ൌ Ͳ, pak z je ryze imaginární číslo.

3.1.2 Konjugovaný kvaternion × komplexně sdružené číslo

Definice: Nechť ݍ ൌ ሾݏǡ ܞሿ א ԯ, resp. ݍ ൌ ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ א ԯ, ݏǡ ݔǡ ݕǡ ݖ א Թ. Pak kvaternion ݍത nazveme konjugovaným kvaternionem s kvaternionem q, jestliže platí ݍത ൌ ሾݏǡ ܞሿതതതതതത ൌ ሾݏǡ െܞሿ, resp. ݍത ൌ ݏ െ ܑݔ െ ܒݕ െ ܓݖ.

Poznámka: Místo označení ݍത se někdy používá i symbol ݍ^כ.

Věta: Nechť ݍͳ, ݍʹ א ԯ. Pak platí, že ሺݍͳכሻ^כൌ ݍͳ, ሺݍͳݍʹሻ^כൌ ݍʹכݍͳכ.

Definice: Nechť ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅ א ԧ. Pak komplexní číslo ݖҧ nazveme komplexně sdruženým číslem k číslu z, jestliže platí ݖҧ ൌ ܽ െ ܾ݅.

Věta: Nechť ݖͳǡ ݖʹ א ԧ. Pak platí, že ݖഥഥ ൌ ݖͳ ͳ, ݖതതതതതതതതത ൌ ݖͳേ ݖʹ ഥ േ ݖͳ ഥ , ݖʹ തതതതതത ൌ ݖͳݖʹ ഥ ݖͳഥ , ʹ

ቀ^ݖ_ݖ^ͳ

ʹቁ തതതതത ൌ^ݖ^തതത_ݖ^ͳ

തതതʹ , tedy komplexně sdružené číslo ke komplexně sdruženému číslu se rovná číslu samotnému, komplexně sdružený součet, rozdíl, součin nebo podíl prvků se rovná součtu, rozdílu, součinu nebo podílu komplexně sdružených prvků.

(21)

20

3.1.3 Rovnost kvaternionů × rovnost komplexních čísel Definice: Nechť ݍ_ͳ, ݍ_ʹ א ԯ, kde ݍ_ͳ ൌ[ݏ_ͳ, ܞ_ͳ] a ݍ_ʹ ൌ[ݏ_ʹ, ܞ_ʹ]. Pak platí

ݍ_ͳ ൌ ݍ_ʹ ֞ ݏ_ͳ ൌ ݏ_ʹר ܞ_ͳ ൌ ܞ_ʹ.

Definice: Nechť ݖ_ͳ, ݖ_ʹ א ԧ, kde ݖ_ͳ ൌ ܽ_ͳ൅ ܾ݅_ͳ a ݖ_ʹ ൌ ܽ_ʹ൅ ܾ݅_ʹ. Pak platí ݖ_ͳ ൌ ݖ_ʹ ֞ ܽ_ͳ ൌ ܽ_ʹר ܾ_ͳ ൌ ܾ_ʹ.

3.1.4 Součet, resp. rozdíl kvaternionů × součet, resp. rozdíl komplexních čísel

Definice: Nechť ݍͳ, ݍʹ א ԯ, kde ݍͳ ൌ ሾݏͳǡ ܞͳሿ ൌ ݏͳ൅ ܑݔͳ ൅ ܒݕͳ൅ ܓݖͳ

a ݍʹ ൌ ሾݏʹǡ ܞʹሿ ൌ ݏʹ൅ ܑݔʹ൅ ܒݕʹ൅ ܓݖʹ. Pak je součet, resp. rozdíl definován takto ݍ_ͳേ ݍ_ʹ ൌ ሾݏ_ͳǡ ܞ_ͳሿ േ ሾݏ_ʹǡ ܞ_ʹሿ ൌ ሾݏ_ͳേ ݏ_ʹǡ ܞ_ͳേ ܞ_ʹሿ, resp.

ݍͳ േ ݍʹ ൌ ሺݏͳ൅ ܑݔͳ൅ ܒݕͳ൅ ܓݖͳሻ േ ሺݏʹ൅ ܑݔʹ൅ ܒݕʹ൅ ܓݖʹሻ = ሺݏͳേ ݏʹሻ ൅ ሺݔͳേ ݔʹሻܑ ൅ ሺݕͳ േ ݕʹሻܒ ൅ ሺݖͳേ ݖʹሻܓ.

Definice: Nechť ݖͳ, ݖʹ א ԧ, kde ݖͳ ൌ ܽͳ൅ ܾ݅ͳ a ݖʹ ൌ ܽʹ൅ ܾ݅ʹ. Pro součet, resp. rozdíl platí

ݖͳേ ݖʹ ൌ ሺܽͳ൅ ܾ݅ͳሻ േ ሺܽʹ൅ ܾ݅ʹሻ ൌ ሺܽͳേ ܽʹሻ ൅ ሺܾͳേ ܾʹሻ݅.

3.1.5 Součin kvaternionů × součin komplexních čísel Definice: Nechť ݍ_ͳ, ݍ_ʹ א ԯ, kde ݍ_ͳ ൌ ݏ_ͳ൅ ܑݔ_ͳ ൅ ܒݕ_ͳ൅ ܓݖ_ͳ a ݍʹ ൌ ݏʹ൅ ܑݔʹ൅ ܒݕʹ൅ ܓݖʹ. Pak je součin definován vztahem ݍͳݍʹ = ሺݏͳ൅ ܑݔͳ൅ ܒݕͳ൅ ܓݖͳሻሺݏʹ൅ ܑݔʹ ൅ ܒݕʹ൅ ܓݖʹሻ

= ݏͳݏʹ൅ ܑݏͳݔʹ൅ ܒݏͳݕʹ൅ ܓݏͳݖʹ൅ ܑݔͳݏʹ൅ ܑ^ʹݔͳݔʹ൅ ܑܒݔͳݕʹ൅ ܑܓݔͳݖʹ൅ ܒݕͳݏʹ൅ ܒܑݕͳݔʹ൅ ܒ^ʹݕͳݕʹ൅ ܒܓݕͳݖʹ൅ ܓݖͳݏʹ൅ ܓܑݖͳݔʹ൅ ܓܒݖͳݕʹ൅ ܓ^ʹݖͳݖʹ

= ݏͳݏʹ൅ ܑݏͳݔʹ൅ ܒݏͳݕʹ൅ ܓݏͳݖʹ൅ ܑݔͳݏʹെ ݔͳݔʹ൅ ܓݔͳݕʹെ ܒݔͳݖʹ൅ ܒݕ_ͳݏ_ʹെ ܓݕ_ͳݔ_ʹെ ݕ_ͳݕ_ʹ൅ ܑݕ_ͳݖ_ʹ൅ ܓݖ_ͳݏ_ʹ൅ ܒݖ_ͳݔ_ʹെ ܑݖ_ͳݕ_ʹെ ݖ_ͳݖ_ʹ = ሺݏ_ͳݏ_ʹെ ݔ_ͳݔ_ʹെ ݕ_ͳݕ_ʹെ ݖ_ͳݖ_ʹሻ ൅ ሺݏ_ͳݔ_ʹ൅ ݔ_ͳݏ_ʹ൅ ݕ_ͳݖ_ʹെ ݖ_ͳݕ_ʹሻܑ ൅ ሺݏͳݕ_ʹെ ݔ_ͳݖ_ʹ൅ ݕ_ͳݏ_ʹ൅ ݖ_ͳݔ_ʹሻܒ ൅ ሺݏͳݖ_ʹ൅ ݔ_ͳݕ_ʹെ ݕ_ͳݔ_ʹ൅ ݖ_ͳݏ_ʹሻܓ.

(22)

21

Věta: Nechť ݍ_ͳ, ݍ_ʹ א ԯ, kde ݍ_ͳ ൌ[ݏ_ͳ, ܞ_ͳ] a ݍ_ʹ ൌ[ݏ_ʹ, ܞ_ʹ]. Pak pro násobení platí vztah ݍ_ͳݍ_ʹ ൌ ሾݏ_ͳݏ_ʹെ ܞ_ͳή ܞ_ʹǡ ܞ_ͳ ൈ ܞ_ʹ൅ ݏ_ͳܞ_ʹ൅ ݏ_ʹܞ_ͳሿ,

kde ∙ je skalární součin a × je vektorový součin v Թ^͵. Poznámka:

Součin skalárních kvaternionů odpovídá součinu reálných čísel, výsledkem je opět reálné číslo a operace je komutativní.

Součinem skalárního a ryzího kvaternionu je ryzí kvaternion a operace je komutativní, neboť

ݍ_ͳݍ_ʹ ൌ ݏ_ͳሺͲ ൅ ܑݔ_ʹ൅ ܒݕ_ʹ൅ ܓݖ_ʹሻ ൌ ܑݏ_ͳݔ_ʹ൅ ܒݏ_ͳݕ_ʹ൅ ܓݏ_ͳݖ_ʹ

ൌ ܑݔ_ʹݏ_ͳ ൅ ܒݕ_ʹݏ_ͳ൅ ܓݖ_ʹݏ_ͳ ൌ ሺͲ ൅ ܑݔ_ʹ൅ ܒݕ_ʹ൅ ܓݖ_ʹሻݏͳ ൌ ݍ_ʹݍ_ͳ. Součin ryzích kvaternionů ݍͳ ൌ[0, ܞͳ] a ݍʹ ൌ[0, ܞʹ] odpovídá výrazu

ݍ_ͳݍ_ʹ ൌ ሾെܞ_ͳή ܞ_ʹǡ ܞ_ͳ ൈ ܞ_ʹሿ.

Z vlastností skalárního a vektorového součinu proto vyplývá, že:

· pokud je q¹|| q2, pak ݍ_ͳݍ_ʹ ൌ ሾെܞ_ͳή ܞ_ʹሿ,

· pokud je q1 ༗q², pak ݍͳݍʹ ൌ ሾܞͳൈ ܞʹሿ.

Poznámka: Maticová reprezentace součinu kvaternionu ݍ_ͳܽݍ_ʹ, kde

1) ݍ_ͳ odpovídá matici ܳ_ͳ ൌ ൤ ߙ_ͳ ߚ_ͳ

െߚതതത ߙ_ͳ തതത൨_ͳ a ݍ_ʹ odpovídá matici ܳ_ʹ ൌ ൤ ߙ_ʹ ߚ_ʹ

െߚതതത ߙ_ʹ തതത൨_ʹ :

ܳ_ͳܳ_ʹ = ൤ ߙͳ ߚͳ

െߚതതത ߙͳ തതത൨ ൤ͳ

ߙʹ ߚʹ

െߚതതത ߙʹ തതത൨ ൌ ቈʹ ߙ_ͳߙ_ʹ െ ߚ_ͳߚതതത_ʹ ߙ_ͳߚ_ʹ൅ ߚ_ͳߙതതത_ʹ

െߚതതതߙ_ͳ _ʹെ ߙതതതߚ_ͳതതത െߚ_ʹ തതതߚ_ͳ _ʹ൅ ߙതതതߙ_ͳതതത_ʹ቉ = ቈ ߙ_ͳߙ_ʹെ ߚ_ͳߚതതത_ʹ ߚ_ͳߙതതത ൅ ߙ_ʹ _ͳߚ_ʹ

െሺߚതതതതതതതതതതതതതതതതതത ሺߙ_ͳߙതതത ൅ ߙ_ʹ _ͳߚ_ʹሻ തതതതതതതതതതതതതതതതതത቉, _ͳߙ_ʹെ ߚ_ͳߚതതതሻ_ʹ

kde ߙͳǡ ߙʹǡ ߚͳǡ ߚʹ א ԧ a využíváme zde komutativitu komplexních čísel;

(23)

22 2) ݍ_ͳ ൌ ቎

ݏͳ

ݔͳ

ݕͳ

ݖͳ

቏ a ݍ_ʹ ൌ ቎ ݏʹ

ݔʹ

ݕʹ

ݖʹ

቏:

ݍͳݍʹ ൌ ቎

ݏͳ െݔͳ

ݔ_ͳ ݏ_ͳ െݕͳ െݖͳ

െݖͳ ݕͳ

ݕ_ͳ ݖ_ͳ

ݖ_ͳ െݕ_ͳ ݏ_ͳ െݔ_ͳ ݔ_ͳ ݏ_ͳ

቏ ቎ ݏ_ʹ ݔ_ʹ ݕ_ʹ ݖ_ʹ

቏,

resp.

ݍ_ͳݍ_ʹ ൌ ቎

ݏ_ʹ െݔ_ʹ ݔʹ ݏʹ

െݕ_ʹ െݖ_ʹ ݖ_ʹ െݕ_ʹ ݕʹ െݖͳ

ݖʹ ݕʹ

ݏʹ ݔʹ

െݔʹ ݏʹ

቏ ቎ ݏͳ

ݔͳ

ݕͳ

ݖͳ

቏.

(viz [13 s. 2, 3], [22]) Poznámka:

1) Násobení kvaternionů není komutativní, tzn.

ݍ_ͳݍ_ʹ ് ݍ_ʹݍ_ͳ, ale není ani antikomutativní, tzn.

ݍ_ͳݍ_ʹ ് െݍ_ʹݍ_ͳ, neboť např. ͳܑ ് െܑͳ, protože ͳܑ ൌ ܑͳ.

2) Násobení kvaternionů je asociativní, tzn.

ሺݍͳݍ_ʹሻݍ͵ ൌ ݍ_ͳሺݍ_ʹݍ_͵ሻ.

3) Násobení kvaternionů je distributivní vůči sčítání, tzn.

ݍͳሺݍʹ൅ ݍ͵ሻ ൌ ݍͳݍʹ൅ ݍͳݍ͵, ሺݍʹ൅ ݍ͵ሻݍͳ ൌ ݍʹݍͳ൅ ݍ͵ݍͳ.

Poznámka: Součinem dvou na sebe kolmých nenulových ryzích kvaternionů je ryzí kvaternion.

Definice: Nechť ݍ_ͳ, ݍ_ʹ א ԯ, kde ݍ_ͳ ൌ ሾݏ_ͳǡ ܞ_ͳሿ ൌ ሾݏͳǡ ሺݔ_ͳǡ ݕ_ͳǡ ݖ_ͳሻሿ

a ݍ_ʹ ൌ ሾݏ_ʹǡ ܞ_ʹሿ ൌ ሾݏ_ʹǡ ሺݔ_ʹǡ ݕ_ʹǡ ݖ_ʹሻሿ. Pak je vektorový součin definován jako ݍͳൈ ݍʹ ൌݍ_ͳݍ_ʹെ ݍ_ʹݍ_ͳ

ʹ ൌ ሺݕͳݖʹെ ݖͳݔʹሻܑ ൅ ሺݖͳݔʹെ ݔͳݖʹሻܒ ൅ ሺݔͳݕʹെ ݕͳݔʹሻܓǤ

(24)

23

Definice: Nechť ݍͳ, ݍʹ א ԯ݌. Pak je vektorový součin definován jako

ݍͳൈ ݍʹ ൌ ݍ_ʹݍതതത ൅ ݍ_ͳ _ͳݍ_ʹ

ʹ Ǥ

Definice: Nechť ݍͳ, ݍʹ א ԯ, kde ݍͳ ൌ ሾݏͳǡ ܞͳሿ ൌ ሾݏͳǡ ሺݔͳǡ ݕͳǡ ݖͳሻሿ

a ݍʹ ൌ ሾݏʹǡ ܞʹሿ ൌ ሾݏʹǡ ሺݔʹǡ ݕʹǡ ݖʹሻሿ. Pak je skalární součin definován jako ݍ_ͳή ݍ_ʹ ൌ ݏ_ͳݏ_ʹ൅ ܞ_ͳ൉ ܞ_ʹ ൌ ݏ_ͳݏ_ʹ൅ ݔ_ͳݔ_ʹ൅ ݕ_ͳݕ_ʹ൅ ݖ_ͳݖ_ʹ.

Definice: Nechť ݖͳ, ݖʹ א ԧ, kde ݖͳ ൌ ܽͳ൅ ܾ݅ͳ a ݖʹ ൌ ܽʹ൅ ܾ݅ʹ. Pak je součin definován vztahem

ݖͳݖʹ = ሺܽͳ൅ ܾ݅ͳሻሺܽʹ൅ ܾ݅ʹሻ ൌ ܽͳܽʹ൅ ሺܽͳܾʹ൅ ܾͳܽʹሻ݅ ൅ ܾͳܾʹ݅^ʹ

= ሺܽͳܽ_ʹ െ ܾ_ͳܾ_ʹሻ ൅ ሺܽͳܾ_ʹ൅ ܾ_ͳܽ_ʹሻ݅.

Poznámka: Maticová reprezentace součinu komplexních čísel ݖ_ͳa ݖ_ʹ, kde

1) ݖ_ͳ odpovídá matici ܼ_ͳ ൌ ൤ܽ^ͳ െܾͳ

ܾͳ ܽͳ൨ a ݖ_ʹ odpovídá matici ܼ_ʹ ൌ ൤ܽ^ʹ െܾʹ

ܾʹ ܽʹ൨:

ܼͳܼʹ = ൤ܽ^ͳ െܾ_ͳ

ܾ_ͳ ܽ_ͳ൨ ൤ܽ^ʹ െܾ_ʹ

ܾ_ʹ ܽ_ʹ൨ ൌ ൤ܽ^ͳܽ_ʹെ ܾ_ͳܾ_ʹ െܽ_ͳܾ_ʹെ ܾ_ͳܽ_ʹ

ܾ_ͳܽ_ʹ൅ ܽ_ͳܾ_ʹ െܾ_ͳܾ_ʹ൅ ܽ_ͳܽ_ʹ൨

= ൤ܽ^ͳܽ_ʹെ ܾ_ͳܾ_ʹ െሺܽ_ͳܾ_ʹ൅ ܾ_ͳܽ_ʹሻ

ܽ_ͳܾ_ʹ൅ ܾ_ͳܽ_ʹ ܽ_ͳܽ_ʹെ ܾ_ͳܾ_ʹ൨, kde ܽ_ͳǡ ܽ_ʹǡ ܾ_ͳǡ ܾ_ʹ א Թ;

2) ݖͳ ൌ ቂܽ_ͳ

ܾ_ͳቃ a ݖʹ ൌ ቂܽ_ʹ

ܾ_ʹቃ:

ݖ_ͳݖ_ʹ ൌ ܼ_ͳݖ_ʹ ൌ ൤ܽ^ͳ െܾ_ͳ

ܾ_ͳ ܽ_ͳ൨ ቂܽ_ʹ

ܾ_ʹቃ ൌ ൤ܽ^ͳܽ_ʹെ ܾ_ͳܾ_ʹ

ܾ_ͳܽ_ʹ൅ ܽ_ͳܾ_ʹ൨, resp.

ݖ_ͳݖ_ʹ ൌ ܼ_ʹݖ_ͳ ൌ ൤ܽ^ʹ െܾ_ʹ

ܾ_ʹ ܽ_ʹ൨ ቂܽ_ͳ

ܾ_ͳቃ ൌ ൤ܽ^ͳܽ_ʹെ ܾ_ͳܾ_ʹ

ܾ_ͳܽ_ʹ൅ ܽ_ͳܾ_ʹ൨.

(viz [22])

(25)

24 Poznámka:

1) Násobení komplexních čísel je komutativní, tzn.

ݖ_ͳݖ_ʹ ൌ ݖ_ʹݖ_ͳ. 2) Násobení komplexních čísel je asociativní, tzn.

ሺݖ_ͳݖ_ʹሻݖ_͵ ൌ ݖ_ͳሺݖ_ʹݖ_͵ሻ.

3) Násobení komplexních čísel je distributivní vůči sčítání, tzn.

ݖ_ͳሺݖʹ൅ ݖ_͵ሻ ൌ ݖͳݖ_ʹ൅ ݖ_ͳݖ_͵, ሺݖʹ൅ ݖ_͵ሻݖͳ ൌ ݖ_ʹݖ_ͳ൅ ݖ_͵ݖ_ͳ.

3.1.6 Norma kvaternionu × absolutní hodnota komplexního čísla

Definice: Nechť ݍ א ԯ, kde ݍ ൌ ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ. Normu kvaternionu pak definujeme jako

ԡݍԡ ൌ ඥݍݍത ൌ ඥݍതݍ ൌ ඥݏ^ʹ൅ ݔ^ʹ൅ ݕ^ʹ൅ ݖ^ʹ,

tedy ԡݍԡ ൒ Ͳ. Norma je nulová, právě když je q nulový kvaternion, tedy když pro jeho koeficienty platí: ݏ ൌ ݔ ൌ ݕ ൌ ݖ ൌ Ͳ.

Věta: Nechť ݍͳǡ ݍʹ א ԯ. Pak platí ԡݍͳݍʹԡ ൌ ԡݍͳԡԡݍʹԡ, ԡݍͳԡ^ʹ ൌ ݍͳݍതതത, tedy norma ͳ

součinu se rovná součinu norem a druhá mocnina normy prvku se rovná součinu daného prvku s jeho konjugovaným prvkem.

Poznámka: V některých zdrojích (viz [6 s. 2]) se můžeme setkat s označením N(q) nazývaným též norma, ale definovaným

ܰሺݍሻ ൌ ܰሺݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖሻ ൌ ݏ^ʹ൅ ݔ^ʹ൅ ݕ^ʹ൅ ݖ^ʹ.

Tato norma splňuje vlastnosti: ܰሺݍ^כሻ ൌ ܰሺݍሻ, ܰሺݍͳݍ_ʹሻ ൌ ܰሺݍͳሻܰሺݍʹሻ.

Definice: Nechť ݖ א ԧ, kde ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅. Absolutní hodnotu, resp. modul, resp. normu komplexního čísla pak definujeme jako

ȁݖȁ ൌ ξܽ^ʹ൅ ܾ^ʹ ൌ ξݖݖҧ ൌ ξݖҧݖ, tedy ȁݖȁ ൒ Ͳ. Absolutní hodnota je nulová, právě když ݖ ൌ Ͳ ൅ ݅Ͳ.

Věta: Nechť ݖ_ͳ, ݖ_ʹ א ԧ. Pak platí ȁݖ_ͳݖ_ʹȁ ൌ ȁݖ_ͳȁȁݖ_ʹȁ, ȁݖ_ͳȁ^ʹ ൌ ݖ_ͳݖഥ . _ͳ

(26)

25

3.1.7 Inverzní kvaternion × inverzní komplexní číslo

Definice: Nechť ݍ א ԯ, kde ݍ ൌ ݏ ൅ ܑݔ ൅ ܒݕ ൅ ܓݖ a nechť ݍ ് Ͳ. Pak je inverzním prvkem ke kvaternionu q jediný kvaternion ݍ^െͳ s vlastností ݍݍ^െͳ ൌ ݍ^െͳݍ ൌ ͳ, pro který platí

ݍ^െͳ ൌ _ݍݍത^ݍത ൌ_ԡݍԡ^ݍത_ʹ ൌ_ܰሺݍሻ^ݍത .

Věta: Nechť ݍ_ͳ, ݍ_ʹ א ԯ. Pak platí ሺݍ_ͳ^െͳሻ^െͳ ൌ ݍ_ͳ, ሺݍ_ͳݍ_ʹሻ^െͳ ൌ ݍ_ʹ^െͳݍ_ͳ^െͳ, tedy inverzní prvek k inverznímu prvku je roven prvku samotnému a inverzní součin prvků je roven součinu inverzních prvků v opačném pořadí.

Definice: Nechť ݖ א ԧ, kde ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅ a nechť ݖ ് Ͳ. Pak je inverzním prvkem ke komplexnímu číslu z jediné komplexní číslo ݖ^െͳ s vlastností ݖݖ^െͳ ൌ ݖ^െͳݖ ൌ ͳ, pro které platí

ݖ^െͳ ൌ _ݖݖҧ^ݖҧ ൌ_ȁݖȁ^ݖҧ_ʹ.

3.1.8 Opačný kvaternion × opačné komplexní číslo

Definice: Nechť ݍ א ԯ, kde ݍ ൌ ሾݏǡ ܞሿ. Pak je opačným kvaternionem ke kvaternionu q kvaternion Ȃ ݍ ൌ ሾെݏǡ െܞሿ.

Definice: Nechť ݖ א ԧ, kde ݖ ൌ ܽ ൅ ܾ݅. Pak je opačným komplexním číslem ke komplexnímu číslu z komplexní číslo െݖ ൌ െܽ െ ܾ݅.

3.1.9 Jednotkový kvaternion × komplexní jednotka

Definice: Nechť ݍ א ԯ. Je-li ԡݍԡ ൌ ͳ, pak q nazýváme jednotkovým kvaternionem.

Množinu všech jednotkových kvaternionů značíme ԯͳ. Věta: Nechť ݍ_ͳ, ݍ_ʹ א ԯ_ͳ. Potom platí

ԡݍ_ͳݍ_ʹԡ ൌ ԡݍ_ʹݍ_ͳԡ ൌ ͳ,

tj. součin dvou jednotkových kvaternionů je také jednotkový kvaternion a platí ݍ_ͳ^െͳ ൌ ݍതതത, _ͳ

tj. inverzní prvek jednotkového kvaternionu je roven jeho konjugovanému kvaternionu.

(27)

26

Poznámka: Dva jednotkové ortogonální kvaterniony nazýváme ortonormální.

Poznámka: Dosazením do vzorce pro násobení snadno zjistíme, že ݍ^ʹ ൌ െͳ, kde ݍ א ԯ_ͳ.

Definice: Nechť ݖ א ԧ. Je-li ȁݖȁ ൌ ͳ, pak ݖ nazýváme komplexní jednotkou.

3.1.10 Podíl kvaternionů × podíl komplexních čísel

Definice: Nechť ݍ_ͳ, ݍ_ʹ א ԯ. Definujeme pravé (P) a levé (L) dělení (z důvodu nekomutativnosti). Podíl je pak definován vztahem

ݍ^ͳ ݍʹฬ

ܲ ൌ ݍ_ͳݍതതത_ʹ

ԡݍʹԡ^ʹǡݍ_ͳ ݍʹฬ

ܮ ൌ ݍതതതݍ_ʹ _ͳ ԡݍʹԡ^ʹǤ

Definice: Nechť ݖͳ, ݖʹ א ԧ, kde ݖͳ ൌ ܽͳ൅ ܾ݅ͳ, ݖʹ ൌ ܽʹ൅ ܾ݅ʹ a ݖʹ ് Ͳ. Pak je podíl definován vztahem

ݖͳ

ݖʹ ൌ ܽͳ൅ ܾ݅ͳ

ܽʹ൅ ܾ݅ʹ ൌ ሺܽͳ൅ ܾ݅ͳሻሺܽʹെ ܾ݅ʹሻ ሺܽʹ൅ ܾ݅ʹሻሺܽʹെ ܾ݅ʹሻ ൌ

ሺܽͳܽʹ൅ ܾͳܾʹሻ ൅ ݅ሺܾͳܽʹെ ܽͳܾʹሻ

ܽ_ʹ^ʹ൅ ܾ_ʹ^ʹ

ൌ ቆܽ_ͳܽ_ʹ൅ ܾ_ͳܾ_ʹ

ܽ_ʹ^ʹ൅ ܾ_ʹ^ʹ ቇ ൅ ݅ ቆܾ_ͳܽ_ʹെ ܽ_ͳܾ_ʹ

ܽ_ʹ^ʹ൅ ܾ_ʹ^ʹ ቇǡ tedy

ݖ_ͳ

ݖʹ ൌ ݖ_ͳݖഥ_ʹ ȁݖʹȁ^ʹǤ

3.1.11 ԯ – nekomutativní těleso × ԧ – komutativní těleso Věta: (ԯ, +) je komutativní grupa, kde platí:

1. ׊ܽǡ ܾ א ԯ׌ܿ א ԯǣ ܽ ൅ ܾ ൌ ܿ (úplnost sčítání)

2. ׊ܽǡ ܾǡ ܿ א ԯǣܽ ൅ ሺܾ ൅ ܿሻ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܿ (asociativita sčítání) 3. ׊ܽǡ ܾ א ԯǣܽ ൅ ܾ ൌ ܾ ൅ ܽ (komutativita sčítání)

4. ׌Ͳ א ԯ׊ܽ א ԯǣܽ ൅ Ͳ ൌ Ͳ ൅ ܽ ൌ ܽ (existence nulového prvku) Ͳ ൌ ሾͲǡ ሺͲǡ Ͳǡ Ͳሻሿ…nulový kvaternion

5. ׊ܽ א ԯ׌ െ ܽ א ԯǣܽ ൅ ሺെܽሻ ൌ ሺെܽሻ ൅ ܽ ൌ Ͳ (existence opačných prvků)

(28)

27 Věta: (ԯ, ∙) je nekomutativní grupa, kde platí:

1. ׊ܽǡ ܾ א ԯ׌ܿ א ԯǣ ܽ ή ܾ ൌ ܿ (úplnost násobení)

2. ׊ܽǡ ܾǡ ܿ א ԯǣܽ ή ሺܾ ή ܿሻ ൌ ሺܽ ή ܾሻ ή ܿ (asociativita násobení) 3. ׊ܽǡ ܾ א ԯǣܽ ή ܾ ് ܾ ή ܽ (nekomutativita násobení)

4. ׌ͳ א ԯ׊ܽ א ԯǣܽ ή ͳ ൌ ͳ ή ܽ ൌ ܽ (existence jednotkového prvku) ͳ ൌ ሾͳǡ ሺͲǡ Ͳǡ Ͳሻሿ

5. ׊ܽ א ԯǡ ܽ ് Ͳ׌ܽ^െͳ א ԯǣܽ ή ܽ^െͳ ൌ ܽ^െͳ ή ܽ ൌ ͳ (existence inverzních prvků) Navíc platí distributivita násobení vzhledem ke sčítání:

׊ܽǡ ܾǡ ܿ א ԯǣ ܽ ή ሺܾ ൅ ܿሻ ൌ ܽ ή ܾ ൅ ܽ ή ܿ ሺܾ ൅ ܿሻ ή ܽ ൌ ܾ ή ܽ ൅ ܿ ή ܽ Věta: (ԯ, +, ∙) je nekomutativní těleso.

Věta: (ԧ, +) je komutativní grupa, kde platí:

1. ׊ܽǡ ܾ א ԧ׌ܿ א ԧǣ ܽ ൅ ܾ ൌ ܿ (úplnost sčítání)

2. ׊ܽǡ ܾǡ ܿ א ԧǣܽ ൅ ሺܾ ൅ ܿሻ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܿ (asociativita sčítání) 3. ׊ܽǡ ܾ א ԧǣܽ ൅ ܾ ൌ ܾ ൅ ܽ (komutativita sčítání)

4. ׌Ͳ א ԧ׊ܽ א ԧǣܽ ൅ Ͳ ൌ Ͳ ൅ ܽ ൌ ܽ (existence nulového prvku) Ͳ ൌ ሾͲǡ Ͳሿ

5. ׊ܽ א ԧ׌ െ ܽ א ԧǣܽ ൅ ሺെܽሻ ൌ ሺെܽሻ ൅ ܽ ൌ Ͳ (existence opačných prvků) Věta: (ԧ, ∙) je komutativní grupa, kde platí:

1. ׊ܽǡ ܾ א ԧ׌ܿ א ԧǣ ܽ ή ܾ ൌ ܿ (úplnost násobení)

2. ׊ܽǡ ܾǡ ܿ א ԧǣܽ ή ሺܾ ή ܿሻ ൌ ሺܽ ή ܾሻ ή ܿ (asociativita násobení) 3. ׊ܽǡ ܾ א ԧǣܽ ή ܾ ൌ ܾ ή ܽ (komutativita násobení)

4. ׌ͳ א ԧ׊ܽ א ԧǣܽ ή ͳ ൌ ͳ ή ܽ ൌ ܽ (existence jednotkového prvku) ͳ ൌ ሾͳǡ Ͳሿ

5. ׊ܽ א ԧǡ ܽ ് Ͳ׌ܽ^െͳ א ԧǣܽ ή ܽ^െͳ ൌ ܽ^െͳή ܽ ൌ ͳ (existence inverzních prvků) Navíc platí distributivita násobení vzhledem ke sčítání:

׊ܽǡ ܾǡ ܿ א ԧǣ ܽ ή ሺܾ ൅ ܿሻ ൌ ܽ ή ܾ ൅ ܽ ή ܿ ሺܾ ൅ ܿሻ ή ܽ ൌ ܾ ή ܽ ൅ ܿ ή ܽ

Věta: (ԧ, +, ∙) je komutativní těleso.

(29)

28

4 Rovnice v oboru kvaternionů

Nejprve budeme uvažovat lineární rovnice ve tvaru např.

ܽݔܾ^ʹ ൌ ܿ,

kde a, b, c jsou dané kvaternionové výrazy a x je neznámý kvaternion, eventuelně soustavu lineárních rovnic ve tvaru např.

ܽݔܾ ൌ ܿ,

݀ݔ ൅ ݕ݁ ൌ ݂,

kde a, b, c, d, e, f jsou kvaterniony a x, y neznámé kvaterniony. Tvary těchto rovnic můžeme považovat jako zástupce příkladů, které se ještě dají „rozumně“ řešit.

V případě složitějších rovnic by výpočty byly velmi pracné a to zejména z důvodu nekomutativnosti kvaternionů. (viz [17])

4.1 Příklady

1. Vyřešte v ԯ rovnici ሺͳ െ ݅ ൅ ݆ െ ʹ݇ሻ^െʹݔሺ݅ ൅ ͵݇ሻ^ʹ ൌ ͵݅ െ ݇.

Řešení: Bereme v úvahu nekomutativnost násobení kvaternionů a vztahy pro násobení imaginárních jednotek, které lze ilustrovat uvedeným schématem:

Osamostatníme neznámou x:

ݔ ൌ ሺͳ െ ݅ ൅ ݆ െ ʹ݇ሻ^ʹሺ͵݅ െ ݇ሻሺ݅ ൅ ͵݇ሻ^െʹ, poté zjednodušíme mocniny:

ሺͳ െ ݅ ൅ ݆ െ ʹ݇ሻ^ʹ ൌ ሺͳ െ ݅ ൅ ݆ െ ʹ݇ሻሺͳ െ ݅ ൅ ݆ െ ʹ݇ሻ ൌ

ൌ ͳ െ ݅ ൅ ݆ െ ʹ݇ െ ݅ ൅ ݅^ʹെ ݆݅ ൅ ʹ݅݇ ൅ ݆ െ ݆݅ ൅ ݆^ʹെ ʹ݆݇ െ ʹ݇ ൅ ʹ݇݅ െ ʹ݆݇ ൅ Ͷ݇^ʹ ൌ ͳ െ ݅ ൅ ݆ െ ʹ݇ െ ݅ െ ͳ െ ݇ െ ʹ݆ ൅ ݆ ൅ ݇ െ ͳ െ ʹ݅ െ ʹ݇ ൅ ʹ݆ ൅ ʹ݅ െ Ͷ ൌ

ൌ െͷ െ ʹ݅ ൅ ʹ݆ െ Ͷ݇ ൌ െሺͷ ൅ ʹ݅ െ ʹ݆ ൅ Ͷ݇ሻ.

Všimněme si, že se výrazy s opačným součinem kvaternionových jednotek odečtou, např. ʹ݅݇ ൅ ʹ݇݅ nebo െʹ݆݇ െ ʹ݆݇.

Obrázek 4: Vztahy pro násobení imaginárních

jednotek