Časovou řadou rozumíme posloupnost věcně a prostorově srovnatelných dat, která jsou jednoznačně uspořádána z hlediska času. S těmito daty se běžně setkáváme v různých oblastech života. Významnou hodnotu mají v oborech fyziky, biologie, meteorologie, ale třeba i při vyšetření EKG, kdy sledujeme s určitým napětím svůj záznam křivky, která je též časovou řadou. [7] [14]
Časové řady ekonomických ukazatelů se mírně odlišují od časových řad výše zmíněných.
Většina řídících pracovníků s nimi přichází do kontaktu např. při analýze makroekonomického prostředí (vývoj hrubého domácího produktu, míry inflace a nezaměstnanosti) nebo při analýzách nákladů a tržeb podniku. K metodám používaných v podniku při zkoumání časových řad určitě patří popisná statistika, která sděluje hodnotnou představu o vlastnostech zkoumaných dat. Mnohdy jsou zapotřebí i informace o časovém vývoji dat, kterých můžeme dosáhnout právě analýzou sestavenou ze souboru metod, které slouží k popisu dynamických systémů či prognózou budoucího časového vývoje. Časové řady mají základní význam jak pro analýzu příčin, které na tyto jevy působily a ovlivňovaly jejich chování v minulosti, tak pro předvídání jejich budoucího vývoje. [7] [14]
1.4.1 Popisné charakteristiky
Prvotním krokem analýzy časových řad je vizuální analýza grafu studovaného procesu. Ke znázornění nejčastěji původních hodnot časové řady se používají spojnicové a krabičkové grafy. Spolu s celou řadou dalších charakteristik, jakými jsou absolutní diference, koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu, umožňují rychle získat dobrou výchozí představu o elementárních vlastnostech a rysech procesu, který časová řada reprezentuje.
22
Absolutní diference neboli absolutní přírůstky charakterizují přírůstek či úbytek hodnoty sledovaného ukazatele v časovém období 𝑡 oproti předcházejícímu období (𝑡 − 1). Diference prvního řádu se vypočítají pomocí vzorce
∆𝑡(1)= 𝑦𝑡− 𝑦𝑡−1, 𝑡 = 2, … , 𝑛, (1.3) z první diference se poté dají vypočítat diference vyšších řádů.
Koeficient růstu počítáme jako
𝑘𝑡= 𝑦𝑡
𝑦𝑡−1, 𝑡 = 2, … , 𝑛, (1.4)
stejně jako řetězové indexy udává, kolikrát se zvýšila hodnota časové řady v časovém období 𝑡 oproti předcházejícímu období (𝑡 − 1). Průměrný koeficient růstu je konstruován jako geometrický průměr individuálních koeficientů růstu. [7] [14]
1.4.2 Klasický model
K modelování časové řady použijeme jednorozměrný klasický (formální) model. Ten zkoumá vliv časového faktoru na hodnoty analyzované časové řady. Klasický model vychází z předpokladu, že časovou řadu můžeme rozložit na čtyři dílčí složky, kterými jsou trendová, sezónní, cyklická a náhodná složka. Trendová složka (𝑇𝑡) představuje dlouhodobou tendenci ve vývoji analyzovaného ukazatele v čase. Neexistuje časová řada bez trendu, vždy bude mít buďto rostoucí, klesající nebo konstantní trend, kde hodnoty ukazatele v průběhu analyzovaného období fluktuují kolem určité úrovně. [4] [14]
O sezónní složku (𝑆𝑡) se jedná, pokud periodicita časové řady je menší než jeden rok nebo je rovna jednomu roku. Touto složkou rozumíme odchylku od trendové složky, která se pravidelně opakuje během zkoumaného období. Příčiny vzniku sezónní složky mohou být různé. Nejčastější příčinou bývá střídání ročního období, nebo také vliv společenských zvyků.
Cyklická složka (𝐶𝑡) bývá někdy zahrnována pod trendovou složku jako její část. Cyklickou složku určujeme, pokud má časová řada periodicitu delší jak jeden rok. Tato složka určuje dlouhodobé kolísání okolo trendové složky.
Poslední složkou je náhodná složka (𝜀𝑡), která vzniká drobnými a v jednotlivostech nepostižitelnými příčinami. Při tvorbě pseudopredikcí nesmíme zapomenout zahrnout do
23
sledování náhodnou složku, která je velmi důležitým průsečíkem činností při analýze ekonomických časových řad. [7] [14]
Dekompozici časové řady můžeme provést pomocí aditivního modelu, který určuje hodnoty časové řady jako součet hodnot jednotlivých složek
𝑦𝑡 = 𝑇𝑡+ 𝐶𝑡+ 𝑆𝑡+ 𝜀𝑡 (1.5)
a je vhodný v případě, kdy variabilita hodnot časové řady je přibližně konstantní v čase. Nebo zvolíme multiplikativní model, který určuje hodnoty časové řady jako součin hodnot jednotlivých složek, tj.
𝑦𝑡= 𝑇𝑡∗ 𝐶𝑡∗ 𝑆𝑡∗ 𝜀𝑡 (1.6)
a je vhodný, pokud se variabilita hodnot časové řady v čase výrazně mění.
Trendová analýza
Mezi jednoduché trendové funkce patří lineární trend, exponenciální trend a parabolický trend. Nejběžnějším nástrojem pro odhad parametrů trendových funkcí se nejčastěji používá metoda nejmenších čtverců. Tento nástroj, který je relativně nenáročný a numericky snadný, lze přímo použít u lineární a parabolického trendu. V případě exponenciálního trendu lze použít tento nástroj až po provedení linearizující transformace. [7] [14]
Lineární trend je nejběžnějším typem trendové funkce, jelikož je nejjednodušší. Lineární přímku vyjádříme ve tvaru
𝑇𝑡 = 𝛼0+ 𝛼1𝑡, (1.7)
kde 𝛼0 a 𝛼1jsou neznámými parametry. Dalším jednoduchým a často používaným typem je parabolický trend, který lze vyjádřit jako rovnici
𝑇𝑡 = 𝛼0+ 𝛼1𝑡 + 𝛼2𝑡2. (1.8)
Posledním typem trendové funkce, který si zde popíšeme, je exponenciální trend, který vyjádříme jako
𝑇𝑡 = 𝛼0 ∗ 𝛼1𝑡. (1.9)
Odhady parametrů u této funkce nemají příliš dobré statistické vlastnosti, nedává nezkreslené nebo konzistentní odhady.
24 interpolační a extrapolační. Pokud je účelem modelování časové řady konstrukce předpovědi dalšího vývoje, používají se extrapolační kritéria. [4] [7]
Interpolační kritéria se zaměřují spíše na popis minulého vývoje ukazatele a jsou založena na porovnání součtu čtverců odchylek empirických a vyrovnaných hodnot. Nejběžnějším kritériem kvality trendu je M.S.E. (střední čtvercová chyba odhadu), které je vhodné používat jen v případě srovnávání funkcí se stejným počtem parametrů. Funkce, která nabývá nejmenší hodnotou M.S.E., je nejvhodnější volbou pro modelování časové řady. R.M.S.E. je odmocninou tohoto kritéria. [7] [14]
1.4.3 Adaptivní model
Klasický model vychází z předpokladu, že se parametry během sledovaného období nemění.
Naproti tomu adaptivní model nepředpokládá stabilitu strukturálních parametrů v čase a není požadována spojitost funkce, jsou vhodné pro časové řady, které se vyznačují velkými nepravidelnostmi nebo zlomy trendu. Patří sem exponenciální vyrovnávání a klouzavé průměry, které si blíže vysvětlíme. [7] [14]
Klouzavé průměry
Podle Hindlse a kol. (2003, str. 185) tkví podstata vyrovnání pomocí klouzavých průměrů v tom, že „posloupnost empirických pozorování nahradíme řadou průměrů vypočítaných z těchto pozorování“. Jak nám samotný název naznačuje, při výpočtu „kloužeme“ vždy o jedno pozorování dopředu a zároveň nejstarší pozorování z počítané skupiny vypouštíme. Důležité je určit počet pozorování, ze kterých se budou klouzavé průměry počítat. U časových řad se sezónností (denní, týdenní, měsíční) je délka klouzavé části určena počtem sezón. U ostatních časových řad se tato délka určí pomocí rovnice
𝑚 = 2𝑝 + 1; 𝑚 < 𝑛. (1.2)
Klouzavé průměry se dělí na prosté, vážené a centrované klouzavé průměry. Zjednodušeně řečeno, prosté klouzavé průměry se počítají u liché hodnoty délky klouzavé části
25
a předpokládá se, že je na těchto klouzavých částech definován lineární trend. U vážených klouzavých průměrů je vlastnost délky klouzavé části stejná, jen s tím rozdílem, že je zde předpokládána možnost popisu pomocí parabolické trendové funkce. Centrované klouzavé průměry jsou speciálním případem vážených klouzavých průměrů. Aplikují se v případě, že hodnota délky klouzavé části je sudá. Klouzavé průměry se používají k vyrovnání ČŘ se sezónní složkou. [4] [7] [14]
1.4.4 Sezónní očišťování
V krátkodobých časových řadách se vyskytuje i složka sezónní, obvykle s měsíční či čtvrtletní periodicitou. Grafické znázornění pomocí periodogramu nebo autokorelační funkce je pouze orientační. Pro ověření, zda časová řada obsahuje také tuto složku, je nutné použít test hypotézy o existenci sezónnosti. Pokud se nám potvrdila přítomnost sezónních výkyvů, je třeba tuto ČŘ vyrovnat pomocí klouzavých průměrů, které jsme si přiblížili v minulé podkapitole. Po vyrovnání ČŘ klouzavými průměry kvantifikujeme velikost sezónních výkyvů pomocí sezónních faktorů, záleží, zda jsme si vybrali aditivní či multiplikativní model. Při zvolení aditivního modelu (nebo též model konstantní sezónnosti) se předpokládají neměnné sezónní výkyvy, které neovlivňují vývojové změny v charakteru trendové složky.
Při ročním součtu sezónních rozdílových faktorů se jejich výsledek rovná nule, to znamená, že se sezónní výkyvy v rámci roku kompenzují. Při zvolení multiplikativního modelu (nebo též model proporcionální sezónnosti) se výkyvy mění přímo úměrně dosažené úrovni trendové složky. [7]
1.4.5 Popis náhodné složky
Náhodná složka tvoří tzv. bílý šum, pokud splňuje následující předpoklady, kterými jsou:
nulová střední hodnota,
homoskedasticida (konstantní rozptyl),
nezávislost.
K ověření těchto předpokladů se používají testy založené na vlastnostech reziduí - např. Durbin-Watsonův test autokorelace. Nulová hypotéza korelace koeficientů vyjadřuje nezávislost po sobě jdoucích hodnot náhodné složky. [14]
26
1.4.6 Konstrukce předpovědí
Odhad trendu centrovanými klouzavými průměry považujeme za předběžný odhad, jelikož se jedná o zkrácenou časovou řadu. Trendovou složku určíme ze sezónně očištěné řady, podle ní poté volíme vhodný typ trendu. K následné předpovědi trendu se poté přičtou sezónní průměry nebo se vynásobí sezónními indexy.
Níže je popsán postup při provádění metody pseudoprognóz:
1. Analyzovanou časovou řadu zkrátíme o určitý počet pozorování (o d pozorování).
2. Zkrácenou časovou řadu vyrovnáme pomocí vhodné trendové funkce.
3. Ze zkráceného modelu časové řady vypočítáme předpovědi na d období dopředu (pseudoprognózy).
4. Porovnáme vypočtené pseudoprognózy se skutečnými předpověďmi – k porovnání použijeme Theilův koeficient nesouladu, který interpretujeme jako procentní chybu předpovědi.
5. Za nejvhodnější model pro konstrukci předpovědí považujeme tu funkci, která poskytla nejlepší pseudoprognózy. [7] [14]