Utifrån hur Jerkert (2017) beskriver deduktion så innebär det alltså att ur en eller flera premisser dra en giltig slutsats. Om det då görs egna antaganden och dessa utnyttjas som etablerade premisser så kan det dras slutsatser som inte grundar sig i de givna premisserna. Detta innebär att slutsatserna är falska. Utifrån adaptivt resonemang så kan kategorin ses som att respondenten inte saknar förståelse. Som Kilpatrick et al. (2001) menar är en manifestation av adaptivt resonemang; att ge en tillräcklig förklaring för sitt arbete.
5.5.2.2 Implikation är ekvivalens (L2)
Att tolka en implikation som om det vore en ekvivalens ändrar innebörden av premissen i fråga. Denna förändring gör att en kan bilda samband och resonemang som inte
36 överensstämmer med beskrivningen. I vissa fall, såsom fallet av denna undersökning, så kan detta även medföra motsägelser. Ett exempel på detta är då respondenter motbevisade existensen av regnbågar då de utläste att solen inte kan skina samtidigt som det regnar ur meningen Om det inte regnar så skiner solen.
5.5.2.3 Det som står är det som gäller (L3)
Detta är den mest matematiskt korrekta kategorin, då respondenterna tagit texten bokstavligt och inte läst in något ospecificerat eller gjort egna antaganden. Istället har de utfört deduktion enligt hur Jerkert (2017) beskriver det.
37
6 Diskussion
Diskussionen utgår från vart och ett av bladen från intervjuerna för sig, med korsdiskussion där det döms intressant och relevant av författarna. Sedan dras allmänna slutsatser kring diskussionen följt av metodkritik och avslutningsvis förslag till vidare forskning på området.
Blad 1
Från figur 3 så kan en utläsa en noterbar skillnad. Medan svenska elever verkar ha en tendens att beskriva funktioner som en av dess representationsformer (F2), grafer, så tenderar finska elever att beskriva funktioner som en maskin eller låda, där man stoppar in ett värde och får ut ett annat (F1). Bägge dessa uppfattningar är begränsade då man betraktar dem utifrån Sierpinskas (1992) förståelsehandlingar, men på två olika sätt. Dessa sätt lyfts under rubriken 5.1.2 Analys av fenomenografiska kategorier blad 1.
Som nämnt i analysen under rubriken 5.1.2 Analys av fenomenografiska kategorier blad 1 så visar uppfattningen om att funktioner är grafer på en objektorienterad förståelse. Enligt Sfard och Linchevski (1994) uppkommer objektorienterad förståelse först efter en processorienterad förståelse. Detta ställt mot uppfattningen kring att funktioner fungerar som maskiner, som då är en processorienterad förståelse, kan innebära att de svenska eleverna i denna undersökning har en något djupare förståelse för konceptet funktioner inom matematiken.
Den mest definitionsenliga uppfattningen (F4) lokaliserades i fem av de tjugo intervjuerna. Av dessa så var tre elever svenska samt två elever finska. Detta anses inte vara en tillräckligt stor skillnad för att dra någon slutsats kring vilket lands elever som har bäst förståelse för funktionsbegreppet i denna undersökning. Dock så bör det noteras att sju av tio svenska och åtta av tio finska elever inte besitter denna uppfattning. Eftersom samtliga elever går sista året på ett studieförberedande gymnasieprogram så kan detta peka mot att varken de deltagande svenska eller finska elever är särskilt förberedda för högre studier, med avseende till just funktionsbegreppet.
Blad 2
Betraktas kategorifördelningen för blad 2 så verkar denna undersökning peka på att det antingen i den finska skolan inte lärs ut vad en oberoende variabel är. Alternativet skulle vara att de använder ett annat namn för koncepten. Undersökningens omfattning innebär dock en risk för att detta kan vara en slump. Bland de svenska eleverna verkar det finnas en tydlig uppdelning där eleven antingen har lärt sig att den oberoende variabeln är funktionsargumentet (O2) eller inte har lärt sig det och då tror att den oberoende variabeln är någon av de faktorer eller termer som inte är varierande (O1). Samma missuppfattning om den oberoende variabeln finns hos de finska eleverna som besvarar frågan och det skulle kunna innebära att grunden till missförståelse finns i ordet oberoende. Detta skulle dock kräva vidare studier för att komma tillrätta med.
Liknande skillnad mellan länderna som för begreppet oberoende variabel synes för begreppet beroende variabel. Tillsammans med resonemanget ovan kan man närma sig en slutsats att man i den finska skolan lär sig begreppet variabel och sedan inte skiljer på funktionsargumentet och funktionsvärdet med benämningarna oberoende och beroende variabler. Betraktas kategorifördelningarna för variablerna så går det att utläsa att samma förväxling mellan variabelbegreppet och konstanter eller koefficienter inte förekommer hos mer än en elev bland dem. Bland de svenska eleverna är det som situationen med den oberoende variabeln. Det finns en tydlig linje mellan de som vet och kan beskriva den beroende variabeln som funktionsvärdet och som element i värdemängden (B3) och de som
38 beskriver den beroende variabeln som de termer där funktionsargumentet utgör en faktor (B2) eller beskriver den som om den vore den oberoende variabeln (B4).
Definitionsmängden har de finska och de svenska eleverna liknande uppfattningar om, så länge de kan förmedla den faktiska innebörden av begreppet. De övriga fyra kategorierna som identifierades bestod av en eller två respondenter per kategori. Förutom de som inte besvarar frågan och den respondenten som inte inser att funktionen är odefinierad för funktionsvärdet likt noll så finns det de som blandar ihop värdemängdsbegreppet och definitionsmängdsbegreppet. Dessutom finns en kategori för respondenten som tror att värdemängden utgör de funktionsvärden som inte kunde evalueras då funktionen för dessa värden skulle vara odefinierad.
Vad gäller värdemängdsbegreppet är det som med definitionsmängdsbegreppet ingen större skillnad mellan svenska och finska elever. En förekommande idé som tre av de tjugo respondenterna hade var att då funktionen inte var definierad, då funktionsargumentet är likt noll, skulle värdemängden utgöra det funktionsvärde som i samband med detta inte skulle existera. I fallet med funktionen på blad 2 skulle detta funktionsvärde vara tre. Sammanfattningsvis för blad 2 så har undersökningen resulterat i att svenska och finska elever är likvärdiga vad gäller förståelsen för begreppen definitionsmängd och värdemängd. De svenska eleverna utmärker sig dock när det gäller att beskriva och skilja på vad som är den oberoende och den beroende variabeln. Sierpinska (1992) lägger tonvikt på att förståelse för funktionsbegreppet kräver bland andra förståelser att eleven kan skilja på vad som är en beroende och vad som är en oberoende variabel. Som tidigare nämnt kan detta vara en fråga av språkskillnader mellan länderna. Detta lyfts vidare under rubriken 6.8
Metodkritik. Om det inte är så, utan de finska eleverna i studien inte förstår
variabelbegreppen trots att de använder samma benämningar i Finland, så kan det innebära att de svenska eleverna i denna studie är bättre förberedda på att studera vid högre utbildningar med avseende på funktionsförståelse. Efter att ha studerat på en matematiskt krävande utbildning menar dock författarna på att de inte stött på begreppen sedan sina gymnasiestudier. Även om författarna respekterar Sierpinskas auktoritet i ämnet vågar de hävda att om man inte kan beskriva de två begreppen så påverkar detta inte elevens högskoleberedskap markant. Det är dessutom lätt att lära sig begreppen i efterhand för en student som i övrigt har en god förståelse för konceptet funktion.
Blad 3
I figur 8 syns det att majoriteten, 6 av 10, av de svenska eleverna har en god förståelse för gränsvärden som objekt (G1) och att inga svenska elever uppfattar gränsvärden som intervall (G2). Av de finska eleverna är det tre respondenter som uppfattar gränsvärden som objekt (G1) och fyra respondenter beskriver gränsvärden som intervall, eller ändpunkter för värde- eller definitionsmängd (G2). Detta kan påvisa en skillnad mellan de två ländernas elever, både i hur eleverna uppfattar gränsvärden och hur pass förberedda eleverna är för vidare studier. Skillnaden mellan eleverna behandlas vidare under kommande rubrik, 6.4
Blad 4.
Blad 4
Här syns att i studien så besitter endast fem av de tio svenska eleverna och nio av tio finska elever den mest korrekta uppfattningen (H3) som behandlas i samband med blad 4. Denna skillnad noteras alltså när en konkret uppgift presenterades för respondenterna. Detta faktum samt resultatet för blad 3 öppnar för en intressant jämförelse.
När respondenterna skulle beskriva vad ett gränsvärde är, i samband med blad 3, så hade i regel de svenska eleverna en bättre förståelse för begreppet än de finska eleverna. Alltså har fler av de svenska eleverna en mer matematiskt korrekt konceptdefinition, som Tall och
39 Vinner (1981) kallar det. När eleverna ombads att betrakta ett befintligt gränsvärde så hade de finska eleverna överlägset bättre förståelse för hur man faktiskt går tillväga för att manipulera gränsvärdet i fråga. Med andra ord så verkar fler finska eleverna ha ett bättre, vad Kilpatrick et al. (2001) kallar, procedurellt flyt. Detta kan peka mot ytterligare en skillnad mellan de svenska och finska eleverna som deltog i studien, nämligen i form av den teoretiska och praktiska förståelsen för gränsvärden. Kanske har de deltagande svenska elever en forte för teoretisk matematik och de deltagande finska eleverna en forte för praktisk matematik.
Blad 5
I tabell 8 syns att resultatet för de svenska samt finska intervjuerna är snarlika. Den absolut vanligaste förekommande kategorin var uppfattningen om att implikationer är ekvivalenser (L2). Detta går emot hur Jerkert (2017) beskriver att en giltig slutsats kan dras. Endast en elev från vartdera landet besitter den mest korrekta uppfattningen (L3), som stämmer överens med Jerkerts beskrivning av deduktion. Detta påvisar en bristande deduktionskunskap hos såväl de svenska som de finska eleverna som deltog. Det kan i sin tur peka mot bristande studieförberedande kunskaper hos båda ländernas gymnasieelever. Det är viktigt att poängtera att i den uppgiftsformulering som författarna har satt upp så kan språkvariationer spela en viktig roll. Valet av uppgiftsformulering har behandlats under
4.6.4 blad 4.
På grund av ordbruket kan det finnas en risk för att respondenterna satte uppgiften i en vardaglig kontext istället för i en matematisk kontext. Det som kan följa då är att de inte gjorde skillnad på vad som är premisser och vad som är logiskt ur ett vardagligt perspektiv. Under intervjuerna kommenterade flera respondenter på att det var lätt att läsa meningarna, då vissa ord var kursiverade och personernas namn var i fet stil. Författarna skulle vilja mena på att det bör ha tydliggjort skillnaden mellan de samband med implikation och de med ekvivalens.