EXAMENSARBETE INOM TEKNIK OCH LÄRANDE, AVANCERAD NIVÅ, 30 HP
STOCKHOLM, SVERIGE 2018
En jämförelse av finska och svenska gymnasieelevers matematiska kunskaper och högskoleberedskap
Emil Johansson Martin Lewin
KTH
SKOLAN FÖR INDUSTRIELL TEKNIK OCH MANAGEMENT
A comparison of Finnish and Swedish upper secondary
school students’ mathematical competencies and college
readiness
Emil Johansson Martin Lewin
EXAMENSARBETE INOM TEKNIK OCH LÄRANDE PÅ PROGRAMMET CIVILINGENJÖR OCH LÄRARE
Titel på svenska: En jämförelse av finska och svenska gymnasieelevers matematiska kunskaper och högskoleberedskap.
Titel på engelska: A comparison of Finnish and Swedish upper secondary school students’ mathematical competencies and college readiness.
Huvudhandledare: Iben Christiansen, Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik SU.
Biträdande handledare: Fredrik Viklund, Institutionen för matematik KTH.
Examinator: Stefan Stenbom, Institutionen för lärande, KTH.
Sammanfattning
Den här masteruppsatsen ämnar jämföra de matematiska kompetenserna av tio svenska och tio finska gymnasieelever som studerar på ett studieförberedande program. Elevernas uppfattningar om tre matematiska koncept undersöktes; funktionsbegreppet, gränsvärdes- begreppet och deduktion. Rapporten börjar med att kort introducera de svenska och finska läroplanerna och jämför några skillnader. Efter det introduceras några teorier om matematisk didaktik, vilka senare används för att fördjupa analysen av den matematiska korrektheten av elevernas svar. Semistrukturerade intervjuer användes för att samla data.
Data analyserades utifrån metodologin fenomenografi för att kategorisera svaren till ett antal uppfattningar. Resultatet visar att det finns en noterbar skillnad hos studiens svenska och finska elevers konceptbild av de tre matematiska koncepten. Det verkar som att medan de svenska eleverna har en djupare konceptuell förståelse om gränsvärden, är de finska eleverna bättre på att lösa konkreta uppgifter som behandlar gränsvärden. Vidare så verkar de finska och svenska eleverna generellt sett vara otillräckligt förberedda för att påbörja högre studier in de tre delområden i matematik som undersöktes.
Abstract
This master thesis report aims to compare the mathematical competencies of ten Swedish and ten Finnish upper secondary school students who attend a program with the purpose of preparing students for higher education. Students’ perceptions of three mathematical concepts were explored; functions, limits and deduction. In particular, the study investigates how prepared the students are for higher education. The thesis starts of by briefly introducing the Swedish and Finnish curricula and engaging some key differences. Next, some theories regarding mathematical learning are introduced, which later are used to deepen the analysis of the mathematical correctness of students’ answers. Semi-structured live interviews were used to gather the data. This data was then analyzed with the methodology phenomenography in order to categorize the answers into a number of perceptions. The results show that there were some notable differences between the Swedish and Finnish students’ concept images of the three mathematical concepts. It seems that while the Swedish students had a deeper conceptual understanding of limits, the Finnish students were much better at solving concrete tasks concerning limits. Furthermore, both the Finnish and Swedish students in general seemed insufficiently prepared for higher education in the three sub-topics of mathematics which were explored.
Förord
Detta arbete började med en tanke hos oss i form av Varför gör Finland bättre ifrån sig än Sverige i PISA-undersökningarna?. Efter några intressanta diskussioner kom det upp mer problematiserande och ifrågasättande frågor såsom Är finska elever verkligen bättre än svenska, eller kan PISA-undersökningarna vara missvisande? och Hur mycket betyder egentligen PISA-resultatet?. Vi fick kontakt med Paul Andrews på Stockholms Universitet och läste hans forskning för att sen ha ett väldigt givande möte och fick således en insikt i forskningen kring detta område. För detta och stöttning under hela processen vill vi tacka Paul Andrews.
Vi vill tacka vår huvudhandledare, Iben Christiansen, som hjälp oss genom arbetets gång.
Ibens häpnadsväckande insikt i såväl gammal som ny forskning har gång på gång förvånat oss, när Iben utan att behöva fundera kommer med förslag på liknande forskning samt teorier som relaterar till det vi arbetat med.
Tack till Fredrik Viklund, vår biträdande handledare, för din hjälp med att hitta relevanta matematiska områden för undersökningen, skriva vetenskapligt samt för spännande diskussioner.
Vi vill tacka Herman, Nikke, Sten, Kerstin och Heléne för hjälpen under arbetets gång.
Vi vill även tacka de härliga gymnasieelever som lät oss intervjua dem, utan underlaget som ni gav oss hade det inte funnits en rapport.
Slutningen vill vi tacka Amir Moemen och Daniel Richter för att de stöttat oss under den sista, mest intensiva, perioden av rapportskrivandet samt för att de skänkte rutin till vår vardag.
Innehåll
1 Inledning ...1
1.1 Bakgrund ...1
1.2 Syfte ...1
1.3 Forskningsfrågor ... 2
1.4 Högskoleberedskap ... 2
1.5 Utveckling av svenska skolan ... 2
1.6 Svenska läroplanen ... 3
1.7 Finska läroplanen ... 3
1.8 Skillnader mellan läroplanerna ... 4
2 Tidigare forskning ... 5
2.1 PISA- och TIMSS-undersökningarna ... 5
2.2 Övergången från gymnasiet till högre utbildning ... 5
3 Teoretisk bakgrund ... 7
3.1 Matematiska färdigheter ... 7
3.2 Funktionslära ... 8
3.3 Gränsvärden ... 9
3.4 Deduktion ... 11
3.5 Fenomenografi ... 11
4 Metod ... 13
4.1 Urval... 13
4.2 Utveckling av intervjuguiden... 14
4.3 Datainsamling ... 14
4.4 Analysmetod ...15
4.5 Val av matematiska begrepp... 16
4.6 Intervjufrågor ... 18
5 Resultat och analys ... 21
5.1 Resultat och analys av blad 1 ... 21
5.2 Resultat och analys av blad 2 ... 24
5.3 Resultat och analys av blad 3... 29
5.4 Resultat och analys av blad 4 ... 31
5.5 Resultat och analys av blad 5 ... 34
6 Diskussion ... 37
6.1 Blad 1 ... 37
6.2 Blad 2 ... 37
6.3 Blad 3 ... 38
6.4 Blad 4 ... 38
6.5 Blad 5 ... 39
6.6 Skillnad mellan länderna ... 39
6.7 Slutsats ... 40
6.8 Metodkritik ... 41
6.9 Vidare forskning ... 42
7 Referenser ... 43
Bilagor ... 47
1
1 Inledning
Följande rapport är indelad i sex kapitel. Detta första kapitel ägnas åt att förklara bakgrunden till undersökningen som rapporten behandlar. Varför har författarna valt området? Vad är syftet med undersökningen? Vilka är forskningsfrågorna som tydliggör syftet? Vilka operationaliseringar har gjorts för att kunna besvara dessa frågor? Frågorna kommer att vara besvarade innan kapitlets slut.
Bakgrund
Det finns två stora internationella studier om hur kompetenta elever är i matematik (vilka behandlas under 2. Tidigare Forskning). Dels organiseras studien TIMSS (Trends in International Mathematics and Sciences Study) av IEA (The International Association for Evaluation of Educational Achievement) som sedan 1995 mäter kunskaper i matematik och naturvetenskap på elever som går den nationella motsvarigheten till Sveriges årskurs 4 och årskurs 8. Detta görs vart fjärde år och den senaste studien (i skrivande stund) gjordes 2015.
Den andra studien organiseras av OECD (the Organisation for Economic Co-operation and Development) som sedan år 2000 har genomfört så kallade PISA-undersökningar (Programme of International Student Assessment) runtom i världen. Undersökningarna utförs på 15-åringar och testar eleverna på samtliga kärnämnen. Denna studie görs vart tredje år och den senaste (i skrivande stund) gjordes 2015.
I båda studiernas senaste omgångar har Sverige presterat sämre än OECD-medel, medan Finland sedan de första undersökningarna har utmärkt sig som högpresterande inom PISA- undersökningarna (OECD, 2016).
Faktumet att det är så stor skillnad mellan Finlands och Sveriges resultat väckte en fundering hos oss. Det sker inte några stora internationella undersökningar inom utbildning bland elever i senare utbildning, såsom på gymnasienivå eller motsvarande. Vi undrar därför vad som sker med elevernas matematiska kunskaper de sista åren i den grundläggande utbildningen. Vi undrar även hur pass bra detta förbereder den svenska respektive den finska gymnasieeleven för högskolestudier.
Vi bestämde oss för att vi ville jämföra svenska och finska gymnasieelever i ett så sent skede som möjligt för att eleverna skulle vara nära en avslutad gymnasieutbildning. Detta för att gymnasieutbildningen har hunnit förbereda dem för vidare studier. Vi har därför valt att intervjua gymnasieelever som klarat av två av sina tre år och genomfört en fjärdedel av sitt sista år av sin gymnasieutbildning. Detta för att försöka notera skillnader i vad de svenska och finska eleverna lärt sig inom matematik som är viktigt för vidare studier. Resultatet är denna rapport.
Syfte
Denna undersökning har för syfte att jämföra samt diskutera svenska och finska gymnasieelevers matematiska kunskaper med data samlat ur en kvalitativ fältstudie gjord i Sverige såväl som svensktalande delar av Finland. Dessutom syftar undersökningen till att ge insikt i hur matematiskt förberedda dessa gymnasieelever är för vidare studier på högskola eller universitet.
2
Forskningsfrågor
Våra forskningsfrågor är valda för att spegla dessa syften.
Vilka skillnader finns det i elevernas matematiska kompetenser i de svenska naturvetenskapliga programmet kontra de finska programmen som läser den så kallade långa matematikkursen?
Hur väl förberedda är de svenska respektive de finska gymnasieeleverna för vidare studier inom matematik på eftergymnasiala utbildningar?
Högskoleberedskap
För att kunna behandla den andra forskningsfrågan så krävs det att det fastställs vad det innebär att vara förberedd för att studera matematik på eftergymnasiala utbildningar.
Generell högskoleberedskap behandlas bland annat av Byrd och MacDonald (2005) som har intervjuat åtta stycken studenter som studerar sitt första år på college i USA (motsvarande universitetsstudier i Sverige). Utifrån studien skapade de en bild av vad dessa studenter anser utgöra högskoleberedskap, vad som är viktigt för att klara av att studera vid högskola.
Bland annat så noterar de att, även om akademiska kunskaper så som att kunna skriva och läsa väl och att kunna matematik är viktiga, så är det inte det som är viktigast för högskoleberedskapen. Bland annat värderas tidsplanering och målorientering som viktigare färdigheter.
Conley (2008) har arbetat med att utveckla en operationell definition utifrån den tidigare forskning som finns. Conley definierar högskoleberedskap som den nivå av förberedelse en student behöver ha för att bli antagen och klara av kurser på grundnivå. Att klara av innebär att hen gör det med sådan förståelse för materialet och sådan färdighet att hen kan fortsätta med en kurs som bygger på grundkursen.
Viktiga komponenter som Conley (2008) listar är kognitiva strategier, akademiska kunskaper och färdigheter, akademiska beteenden och kontextuella färdigheter och medvetenhet. Kognitiva strategier i sammanhanget är främst personliga egenskaper såsom att vara nyfikenhet och analytisk. Även vissa färdigheter så som att kunna resonera, argumentera och värdera information listas. Det som Conley menar är akademiska kunskaper och färdigheter är dels grundläggande färdigheter såsom att läsa och skriva, dels ämnesspecifik kompetens. Akademiska beteenden består av självövervakningsförmågor, en sådan är förmågan att tänka på hur man tänker och studieteknik. Den sista komponenten som Conley listar är kontextuella färdigheter och medvetenhet vilket kortfattat är en förståelse för hur universitetet fungerar socialt och systematiskt samt hur man rör sig i den miljön.
Denna studie behandlar akademiska kunskaper. Akademiska kunskaper i det här avseendet är de matematiska kompetenserna som respondenten har. Studien är även satt i ett svenskt perspektiv där att klara den svenska kursen SF1625 Envariabelanalys vid KTH har använts för att mäta de akademiska kunskaperna mot. Denna kurs valdes för jämförelse eftersom alla civilingenjörsutbildningar inkluderar den eller en variant av den i sin utbildningsplan.
Dessutom ges denna kurs i regel i ett tidigt skede av utbildningen.
Utveckling av svenska skolan
Den svenska skolan förändrades under 1990-talet då den kommunaliserades, det fria skolvalet infördes och privatägda friskolor tilläts att etableras. Resultatet av detta har Holmlund et al. (2014) skrivit om, bland annat hur avgångsbetygens variationen i gymnasiet mellan skolor ökat kraftigt från 1990 till 2010.
3 Innan läroplansreformen på 90-talet så hade gymnasiet använt samma läroplan sedan tidigt på 70-talet. På 90-talet så skiftade fokus i skolvärlden mot mål- och resultatfokus. Detta medförde att den nya läroplanen, Lpf 94, blev mindre specifik än föregångaren i avseende till hur man ska lära ut innehållet. Den fastställer istället mål som eleverna och lärarna skall sträva mot. Det är sedan den lokala personalen, såsom rektorer och lärare, som beslutar hur de skall gå tillväga för att uppnå dessa. Detta är en så kallad decentralisering, då stora delar av beslutstagandet kring utbildningen flyttades från staten till kommuner samt lokal personal (Holmlund et al., 2014).
Decentraliseringen av skolverksamheten har också medfört att skillnaderna mellan kommuner ökat något (Holmlund et al., 2014). Just skillnaden mellan gymnasieskolor menar Holmlund et al. (2014) beror nästan enbart på den ökande elevsorteringen. Vidare menar Holmlund et al. att det inte bör antas bero på kvalitésskillnader mellan skolor eller skillnader i betygssättning. Som en följd av detta verkar valet av skola inte vara mer betydelsefullt för elevernas betyg idag än det var för 25 år sedan menar Holmlund et al. I den undersökning som Holmlund et al. har gjort framgår det att, trots betygsspridningen mellan skolor, så har spridningen av den kognitiva förmågan mellan pojkar vid 18 års ålder inte ökat för pojkar födda 1950 till de födda 1982. Dessa pojkar var därmed påverkade av decentraliseringen under 1990-talet.
Svenska läroplanen
År 2011 kom det en ny läroplan som ersatte matematikkurserna Matematik A, Matematik B, Matematik C, Matematik D samt Matematik E. I det svenska Naturvetenskapsprogrammet på gymnasiet så läser eleverna obligatoriskt matematikkurserna; Matematik 1c, Matematik 2c samt Matematik 3c. Beroende på inriktning, som eleven väljer själv, så läses även Matematik 4 obligatoriskt. Kurserna Matematik 4 samt Matematik 5 kan annars väljas till som programfördjupning (Skolverket, 2011b).
Finska läroplanen
Det har skett tre stora förändringar i den finska matematiska läroplanen sedan 70-talet enligt Martio (2009), då läroplanen gick igenom flera stora reformer som gemensamt kallas new math (ny matte) (Hemmi, Lepik & Viholainen, 2013). Den senaste förändringen till finska läroplanen, kallad problem solving (problemlösning), hade ett stort fokus mot matematikens applicerbarhet (Martio, 2009). Martio menar att detta är ett misslyckande och att de matematiska uppgifterna som nu förekommer i den finska skolan inte är sådana som eleverna kommer att möta i vardagslivet. Vidare menar Martio att problemlösning har blivit överskattat i den matematiska läroplanen. Dessutom menar Hemmi, Lepik och Viholainen (2013) att varje uppdatering av finska läroplanen i matematik har lagt mindre och mindre fokus på bevis och att bevis inte ens nämns i den nuvarande finska läroplanen för gymnasiet. Nedan är ett utdrag från den finska utbildningsstyrelsen som påvisar det fokus som den finska gymnasiala läroplanen har mot praktisk matematik.
I undervisningen undersöks sambanden mellan matematiken och vardagslivet, och de tillfällen att utveckla de studerandes personlighet som ges utnyttjas medvetet (Utbildningsstyrelsen, 2016, s. 134).
I den finska gymnasieskolan så kan eleverna läsa antingen lärokursen Matematik, lång lärokurs, eller Matematik, kort lärokurs. Den förstnämnda har som syfte att förbereda eleven för yrkes- samt högskoleutbildning och den sistnämnda skall förbereda eleven för fortsatta gymnasiestudier. Oavsett lärokurs så läser alltid eleven en grundkurs, Tal och talföljder (MAG1), men i övrigt så har de båda lärokurserna separata delkurser.
Matematik, lång lärokurs innehåller följande obligatoriska kurser; Polynomfunktioner och polynomekvationer (MAA2), Geometri (MAA3), Vektorer (MAA4), Analytisk geometri
4 (MAA5), Derivatan (MAA6), Trigonometriska funktioner (MAA7), Rot- och logaritmfunktioner (MAA8), Integralkalkyl (MAA9), Sannolikhet och statistik (MAA10) samt följande fördjupande kurser; Talteori och bevis (MAA11), Algoritmer i matematiken (MAA12), Fortsättningskurs i differential- och integralkalkyl (MAA13).
Matematik, kort lärokurs innehåller följande obligatoriska kurser; Uttryck och ekvationer (MAB2), Geometri (MAB3), Matematiska modeller (MAB4), Statistik och sannolikhet (MAB5), Ekonomisk matematik (MAB6) samt följande fördjupande kurser; Matematisk analys (MAB7), Statistik och sannolikhet II (MAB8) (Utbildningsstyrelsen, 2016).
Skillnader mellan läroplanerna
De delområden som behandlas i undersökningen är funktionsbegreppet, gränsvärdes- begreppet och logik. Själva funktionsbegreppet tas i det svenska gymnasiet upp och behandlas i Matematik 1c, efter det behandlas olika typer av funktioner i kurserna Matematik 2c, Matematik 3c och Matematik 4 (Skolverket, 2011a). I jämförelse med det svenska gymnasiet tas funktionsbegreppet upp under MAG1 i det finska gymnasiet. Sedan behandlas det, som i det svenska gymnasiet, som olika typer i kurserna (tidigare lyfta under 1.7 Finska läroplanen) MAA2, MAA7, MAA8 och till sist i fördjupningskursen MAA11. Värt att notera att enligt den finska Utbildningsstyrelsen (2016) behandlas begreppet derivata i koppling till funktioner i kursen MAA6. På samma sätt behandlas derivatan i svenskt gymnasium under Matematik 3c.
Begreppet gränsvärde introduceras i Matematik 3c i svenskt gymnasium och behandlas inte senare (Skolverket, 2011a). Liknande fokus läggs, i den finska skolan, vid gränsvärdesbegreppet. Det behandlas i MAA6 och i fördjupningskursen MAA11 (Utbildningsstyrelsen, 2016).
Grundläggande logik så som implikation och ekvivalens tas upp i Matematik 1c (Skolverket, 2011a). Dessutom lyfts skillnaden mellan att argumentera vardagligt och att argumentera inom de naturvetenskapliga ämnena (Skolverket, 2011a). Detta nämns inte igen i högre matematikkurser och induktionsbevis behandlas i Matematik 5 (Skolverket, 2011a). I den finska skolan så ligger en introduktion till logik i fördjupningskursen MAA11, tillsammans med induktionsbevis (Utbildningsstyrelsen, 2016).
5
2 Tidigare forskning
Detta andra kapitel ägnas åt den tidigare forskning som är relevant för studien. Frågor som tas upp är: Vad säger forskningen om PISA-undersökningar? Vad är svårigheterna vid övergången från gymnasium till högskola? Hur har den svenska respektive den finska skolan ändrats sedan 90-talet? Vilka liknande studier har gjorts tidigare? Dessa frågor besvaras i tur och ordning genom kapitlet.
PISA- och TIMSS-undersökningarna
Astala et al. (2006) anser att PISA-undersökningarna snarare testar simpla, vardagliga, matematiska kunskaper än djupare, teoretiska, sådana, såsom kunskaper inom bråk- och ekvationslösning, geometri samt algebra. Andrews (2014) visar att trots den finska framgången i PISA-undersökningar så har de finska eleverna presterat sämre i TIMSS- undersökningarna, som de deltagit i 1991 och 2011, jämfört med länder som de normalt presterar likvärdigt med på PISA-undersökningar. Dessutom så presterade finska elever noterbart sämre på områdena geometri samt algebra, men Andrews menar att helhetsresultatet vägdes upp av bättre resultat i de resterande kategorierna. Vidare poängterar Andrews att kategorierna som de finska eleverna presterade högst i behandlar nummer och deras tillämpningar.
Övergången från gymnasiet till högre utbildning
Thunberg och Filipsson (2005) genomförde en empirisk studie om de ökade svårigheterna som nyantagna förstaårsstudenter på högskolan har med matematiken vid civilingenjörsutbildningar på KTH. Studien gjordes innan den nya läroplanen gick i kraft 2011. De menar på att ett uttryck av detta är att de förkunskapstester som ges de nyantagna studenterna på flera av landets högskolor visar på att kunskapsnivåerna hos studenter dels har sett en ökad spridning och dels att gruppen med svaga kunskaper blivit större, något som Johansson (1998) tidigare diskuterat. I sin tur medför detta att många studenter har saknat förutsättningar att tillgodogöra sig de första matematikkurserna som de registrerats till vid antagning. Problemet menar de härstammade bland annat ur ett gap mellan det stoff som behandlas i gymnasiets matematikkurser och högskolans förväntningar på sina studenters kunskaper, ett så kallat stoffgap. I relation till Thunbergs och Filipssons rapport ingår idag en del av det efterfrågade stoffet. Bland annat cirkelns ekvation, skissning av grafer och tillhörande asymptoter samt en behandling av begreppen definitionsmängd, värdemängd, kontinuerliga respektive diskreta funktioner, gränsvärde, sekant och tangent (Thunberg & Filipsson, 2005). För förtydligandets skull ingår stoffet i kurserna matematik 1c, 2c, 3c, 4 och 5, alltså de kurser som bland annat det naturvetenskapliga programmet behandlar. Dessa kurser ska förbereda eleverna på framtida högskolestudier med matematisk eller naturvetenskaplig inriktning (Skolverket, 2011b).
Thunberg och Filipsson (2005) skriver även om att det existerar något som de kallar för en kulturklyfta, att högskolan och gymnasiet ser olika på vad som utgör matematiskt kunnande. Klyftan sågs öka under tiden som rapporten skrevs, då behörighetskraven sänktes flera gånger av olika anledningar medan högskolan inte anpassade sig efter detta (Thunberg & Filipsson, 2005). Specifika skillnader som noterades var bland annat synen på vikten av räknefärdighet, kunskap om identiteter för elementära funktioner. Dessa syntes på förkunskapstesterna där bland annat begreppskännedom i aritmetik, grundläggande algebra och funktioner testas. Resultatet av kulturklyftan och mildrandet av behörighetskraven ger sig i uttryck i att det existerar en skillnad mellan de formella och de reella behörighetskraven. Det påvisas av att de studenter som precis uppfyllt kraven för att bli antagna till en civilingenjörsutbildning klarar sig sämre under första årets matematikstudier
6 i jämförelse med de som läst även de högre matematikkurserna i gymnasieskolan (Thunberg
& Filipsson, 2005).
Förutom den kulturklyfta som Thunberg och Filipsson (2005) beskriver, menar Erika Stadler (2009) att matematiken skiftar karaktär från att vara skolmatematik till att bli ett akademiskt ämne. Studenten måste därför anpassa sig för att klara de tidiga matematikkurserna. Tillsammans visar de båda rapporterna på att hoppet från gymnasiets matematik till högskolans matematik är långt.
Det är välkänt att elever och studenter har svårigheter med konceptet av matematiska funktioner (Sierpinska, 1992; Thomas et al., 2012) och att detta kan bidra med svårigheter i övergången mellan gymnasiet och högskolestudier (Thomas et al., 2012). Dessutom har de ofta problem med att koppla ihop olika representationsformer av funktioner (Sierpinska, 1992). Junior (2006, refererad i Thomas et al., 2012) menar att vissa har visat att konflikter med högskolematematik kan ha en grund i en bristande förståelse för funktioner.
7
3 Teoretisk bakgrund
Den teoretiska grunden kommer till stor del att bestå av fyra stycken teorier och arbeten, dessa är: Sfards teori om objekt-processdualiteten hos de flesta matematiska koncepten (Sfard & Linchevski, 1994; Sfard, 1991), Sierpinskas (1992) teori om förståelsehandlingar och hinder för att förstå konceptet funktioner, Kilpatrick, Swafford och Findells (2001) matematiska färdigheter och Thomas et al. (2012) arbete kring högskoleberedskap. Fler teorier nämns senare i detta kapitel som stöd till analysen.
Matematiska färdigheter
Sfard och Linchevski (1994) beskriver att majoriteten av alla matematiska koncept besitter en dualitet i det avseende att de dels har en processorienterad natur och dels en objektorienterad natur. Det är dock av stor vikt att poängtera att den ena inte utesluter den andra (Sfard, 1991). Med detta menas att konceptet kan ses som en procedur och som en struktur samt att dessa två synsätt kompletterar varandra (Sfard & Linchevski, 1994; Sfard, 1991). En dogm för denna teori är att lärande i regel besitter en processförståelse först och en objektförståelse senare (Sfard & Linchevski, 1994).
Kilpatrick et al. (2001) skriver om matematisk färdighet (mathematical proficiency) och menar att den består av fem stycken strån; konceptuell förståelse (conceptual understanding), procedurellt flyt (procedural fluency), strategisk kompetens (strategic competence), adaptivt resonemang (adaptive reasoning) och produktiv disposition (productive disposition).
Konceptuell förståelse som begrepp betyder att personen som har det har en övergripande syn på olika matematiska koncept och idéer, istället för att se på dem som isolerade faktum och metoder. En indikator på att en elev besitter konceptuell förståelse är att eleven kan representera matematiska situationer på olika sätt, såsom att kunna koppla samman olika representationsformer för en funktion.
Procedurellt flyt innebär att en person har kunskap om procedurer och hur de används. De menar att man inte ska sätta konceptuell förståelse och procedurellt flyt mot varandra i meningen att den ena är viktigare än den andra, då konceptuell förståelse kan växa ur, eller hjälpas av, procedurellt flyt (Kilpatrick et al., 2001).
Strategisk kompetens är förmågan att formulera, representera och lösa matematiska problem och har en nära koppling till procedurellt flyt. Kilpatrick et al. (2001) menar på att en kompetent problemlösare besitter strategisk kompetens då denne mentalt kan representera ett problem, finna matematiska relationer och hitta nya lösningar.
Produktiv disposition är att se på matematik som rimlig, användbar och vettig. Kilpatrick et al. (2001) lägger stor vikt vid detta strå och menar på att den är grunden till att kunna utveckla de övriga fyra stråna som beskrivits ovan. De menar att man behöver besitta en viss motivation för att kunna lära sig matematiken.
Adaptivt resonemang är det sista strået och kommer att behandlas under 3.4 Deduktion då det är nära kopplat till detta avsnitt.
För undersökningens analys kommer de tre stråna konceptuell förståelse, procedurellt flyt och adaptivt resonemang vara viktiga.
Två begrepp som Tall och Vinner (1981) beskriver är konceptdefinition (concept definition) och konceptbild (concept image). Konceptdefinition är de av en individ valda ord som utgör specificeringen av matematiska koncept. Tall och Vinner menar att dessa ord kan vara memorerade från någon källa och vara mer eller mindre insiktsfullt relaterade till konceptet.
8 Det kan också vara en personlig rekonstruktion av en faktisk matematisk definition, vilken då speglar den förklaring som individen använder för sin konceptbild. Konceptbild är enligt Tall och Vinner hela den kognitiva struktur som hos individen tillhör det matematiska konceptet. I konceptbilden ingår alla mentala bilder, associerade egenskaper och processer.
De menar vidare att delar av individens konceptbild kan vara aktiva, eller väckta efter Tall och Vinners begrepp evoked. Konsekvensen av detta är att delar av en konceptbild inte behöver vara konsekventa med andra delar om de aldrig är väckta samtidigt. Detta innebär att en konceptbild inte heller behöver vara logiskt sammansatt, en individ kan se på och angripa samma matematiska koncept på olika sätt beroende på hur det presenteras.
Funktionslära
Begreppet funktion är centralt för matematiken och definieras i Nationalencyklopedin som;
Om X och Y är två givna mängder och om till varje element x i X är ordnat ett bestämt element y i Y så säger man att en funktion är definierad från X till Y. Funktioner betecknas ofta med bokstaven ƒ och det till x ordnade elementet i Y skrivs då y=ƒ(x). Man säger att den beroende variabeln y är en funktion av den oberoende variabeln x (NE, 2017c).
Figur 1. Visualisering av Nationalencyklopedins funktionsdefinition. Figur skapad av författarna.
Ur definitionen ovan noteras flera delkoncept till funktionskonceptet som helhet. De kanske mest uppenbara sådana är X - definitionsmängden, Y - värdemängden, x - oberoende variabeln samt y - beroende variabeln.
Definitionsmängden representerar alltså ursprungsmängden, X, i definitionen för en funktion och beskrivs av Nationalencyklopedin som ”till en matematisk funktion ƒ mängden av de värden på den oberoende variabeln x för vilka funktionsvärdet ƒ(x) är definierat”
(NE, 2017b).
Värdemängden representerar alltså målmängden, Y, i definitionen för en funktion och beskrivs av Nationalencyklopedin som ”till en matematisk funktion ƒ är mängden av de värden ƒ( x) som ƒ antar då den oberoende variabeln x antar alla värden i funktionens definitionsmängd.” (NE, 2017f)
Oberoende variabel representerar alltså elementen i mängden X, x, i definitionen för en funktion och beskrivs av Nationalencyklopedin som ”i matematiken variabel som fritt kan tilldelas olika värden” (NE, 2017e).
Beroende variabel representerar alltså elementen i mängden Y, y, i definitionen för en funktion och beskrivs av Nationalencyklopedin som ”matematisk term för en storhet som är en funktion av en eller flera variabler” (NE, 2017a).
9 Sierpinska (1992) ger sig på uppgiften i att försöka definiera hur en individ kan förstå konceptet funktion i sin helhet. Detta sker genom att undersöka och resonera fram vilka grundläggande förståelsehandlingar, U(f), som krävs för att uppnå denna förståelse samt vilka hinder som individen behöver överkomma, EO(f). Dessa handlingar och hinder finns samlade i bilaga 1 utan sitt sammanhang, istället är de uppställda för att lättare kunna lokalisera dem i relation till undersökningen. Dessa kommer att lyftas i metod- och analysavsnittet för att argumentera för de valda frågorna. Förutom det så används de för att resonera kring de fenomenografiska kategoriernas matematiska korrekthet. Det ska poängteras att dessa är skilda från vilka situationer som krävs för att en individ skall lära sig konceptet i fråga. För sådana situationer menar Sierpinska att sociologiska, psykologiska samt didaktiska aspekter av lärandet skulle vara relevanta.
Sfard & Linchevski (1994) menar som tidigare nämnt att de flesta matematiska koncepten besitter process-objektdualiteten. Mer specifikt för funktioner så exemplifierar Sfard (1991) en dualitet i form av två synsätt på funktioner. Första synsättet, ett strukturellt och därmed objektorienterat sådant, är att se funktioner som en uppsättning av ordnade par. Det operationella, och därmed processorienterade, exemplet är synsättet att en funktion är en beräkningsprocess. Vidare lyfter Sfard att representation av funktioner även kan tolkas utifrån en process-objektdualitet i att till exempel en graf sammanfogar många komponenter i en representationsform, medan ett datorprogram som manipulerar en funktion sker rent operationellt.
Gränsvärden
Konceptet gränsvärde inom matematik definieras av Nationalencyklopedin såsom följer.
En funktion ƒ sägs ha gränsvärdet b i punkten a om dess värde ƒ(x) ligger nära b då variabeln x ligger nära a. Tydligen är det avgörande vad ‘nära’ betyder. Uttryckt i avstånd preciseras definitionen så: för varje avstånd ε, hur litet som helst, finns ett avstånd δ sådant att avståndet mellan ƒ(x) och b är mindre än ε om avståndet mellan x och a är mindre än δ (NE, 2017d).
För att förstå matematisk analys är gränsvärdesbegreppet fundamentalt (Pettersson, 2008;
Artigue, 2001), det är grunden för att förstå både derivata och integraler. Samtidigt som mycket vilar på förståelsen för begreppet, visar studier på att det är ett begrepp som är svårt att ta till sig som student (Pettersson, 2008; Cottrill, Dubinsky, Nichols, Schwingendorf, Thomar & Vidakovic, 1996).
Güçler (2013) tar upp att under det initiala mötet med gränsvärden för elever så framställs gränsvärden både informellt som dynamiska förlopp och formellt som ett objekt. Güçler menar då att synen på gränsvärden som förlopp cementeras. Güçlers arbete är grundat på studier om amerikanska studenter och liknande studier på svenska elever saknas.
Parameswaran (2007) menar på att detta kan vara på grund av de avrundningar som används i gymnasiala klassrum för att tydliggöra vad transcendentala tal har för närmevärden. Vidare menar Parameswaran på att det i litteratur oftast exemplifieras av en tabell av funktionsvärden jämförda med funktionens variabel och hur det metodisk rör sig mot gränsvärdet som variabeln rör sig mot ett givet värde. Detta exemplifieras nedan, i tabell 1.
10 Tabell 1, föreställande hur ett gränsvärde närmar sig värdet två då x närmar sig ett.
Figuren skapad av författarna.
x f(x) = 2x2-2xx-1
0,9 1,8
0,999 1,998
0,999999 1,999998
0,999999999 1,999999998
0,999999999999 1,999999999998
De avrundningar som Parameswaran (2007) skriver om kallar Parameswaran approximativ aritmetik som barn lär sig. Det är att tal med många decimaler kan skrivas med färre decimaler utan att innebörden i aritmetiken ändras. Med den informella definitionen av gränsvärden menar Parameswaran att det beskrivs som att en funktion går mot ett värde eller oändligheten när den oberoende variabeln går mot ett givet tal. Det berör oftast approximationer av tal när elever först möter begreppet. Detta bygger upp en konceptbild som Tall (1980) menar betonar gränsvärden som en process snarare än ett finit numeriskt värde vilket gör den kognitiva motsättningen större när eleven möter den formella definitionen. Det beror på att en konceptbild av gränsvärden redan finns.
Przenioslo (2004) har undersökt vilken konceptbild samt konceptdefinition som universitetsstudenter hade av gränsvärden efter att ha slutfört en universitetskurs i kalkyl.
Przenioslo kom till den för undersökningens viktiga observation att många av de uppfattningar som studenterna har av gränsvärden verkar ha formats redan under gymnasiet. Universitetskursen verkade inte ha korrigerat de felaktiga uppfattningarna utan enbart byggt ut studentens konceptbild med fler inkorrekta associationer, vilket resulterar i att den blir ännu mindre sammanhängande (Przenioslo, 2004).
Cornu (2001) skriver om att första bemötandet med gränsvärdet är just som ett dynamiskt förlopp. Konceptet gränsvärde sätts sedan i arbete med att lösa problem som inte kräver mer än egenskaper av det intuitiva konceptet och inte definitionen. Cornu menar även om studenten eller eleven inte tillägnat sig det formella konceptet om gränsvärden så är hen ofta fullt kapabel att klara övningar eller uppgifter som behandlar gränsvärden. Det går även i linje med Przenioslos (2004) undersökning. Przenioslo menar att för majoriteten av studenterna var det viktigaste elementet i deras konceptbild av gränsvärden att man kan lösa problem med hjälp av gränsvärden.
Ytterligare en dimension av hur elever lär sig gränsvärden har Fernández-Plazas och Simpsons (2016) arbete producerat. Arbetet undersökte hur elevers syn på gränsvärdesbegrepp påverkas av att det introduceras vid tre olika tillfällen i deras matematiska utbildning. Vid dessa olika tillfällen presenteras gränsvärdet av en sekvens, gränsvärdet av en funktion i en punkt och gränsvärdet av en funktion i oändligheten. Detta menar de kan medföra att eleverna skiljer på olika sorters gränsvärden utifrån hur de måste bemötas för att kunna hanteras.
11
Deduktion
Jerkert (2017) beskriver deduktion som att ur en eller flera premisser dra en giltig slutsats.
En premiss är ett påstående som antas vara sant. Vad som avgör att något är en giltig slutsats menar Jerkert är beroende av två faktorer: ordens betydelse och meningens utformning i relation till vissa nyckelord. I övrigt gäller det att om premisserna är sanna och en giltig slutsats kan dras så kan inte denna slutsats vara falsk.
Induktion i vetenskapliga sammanhang beskriver Jerkert (2017) som att man ur ett begränsat antal observationer drar en generell slutsats om ett fenomen. Induktivt resonemang är en viktig del av matematiken och induktionsbevis utgör delområden i matematikkurser både i svenska (Skolverket, 2011a) och finska gymnasiet (Utbildningsstyrelsen, 2016).
Adaptivt resonemang är enligt Kilpatrick et al. (2001) kapaciteten för logiska tankegångar, förklaringar och rättfärdigande av matematiska lösningar. Detta strå är viktig för att förstå sig på bevis och att själv kunna bevisa postulat. I samband med konceptuell förståelse kan man se på det som att konceptuell förståelse består av metaforer och representationer som man med adaptivt resonemang kan logiskt rättfärdiga om något är, eller inte är, korrekt slutlett.
Fenomenografi
Den metodologiska (Marton, 1981; Kroksmark, 2007) och epistemologiska teorin (Kroksmark, 2007) fenomenografi myntades i slutet av 1970-talet av en forskningsgrupp vid namn Inom-gruppen på Institutionen för pedagogik vid Göteborgs universitet.
Metodologi, eller metodlära, ”i mer begränsad mening omfattar frågor om urval och representativitet/generaliserbarhet, reliabilitet och validitet” (Åsberg, 2001, s.61).
Metodologi är alltså en beskrivning av ett tillvägagångssätt och argumenterar ofta för en metods legitimitet (Åsberg, 2001). Epistemologi, eller kunskapsteori, behandlar bland annat individers uppfattningar och möjligheten för kunskap genom att lägga fokus på att erfarenheter är grunden till kunskap (Åsberg, 2001).
Fenomenografi har för syfte att genom insamlad data, oftast i form av intervjuer, kategorisera respondenternas upplevelser. Istället för att fokusera på hur fenomen är, beter sig eller fungerar så flyttar fenomenografin fokus till hur fenomenet uppfattas av individen.
Istället för att ställa frågor såsom Hur fungerar detta fenomen? eller Varför är fenomenet på detta vis? så ställer en fenomenograf frågor i stil med Varför tror du att fenomenet fungerar som det gör? eller Varför tror du att fenomenet är på detta vis?. Den förstnämnda varianten av frågor kallar Marton för första ordningens perspektiv, som frågar efter sanning eller fakta. Den andra varianten kallar Marton för andra ordningens perspektiv, som frågar efter hur individen upplever världen omkring sig (Marton, 2005;
Larsson, 2011).
Fenomenografen är alltså inte intresserad av hur världen faktiskt ser ut eller om de uppmätta uppfattningarna är korrekta eller inte (Marton, 2005; Larsson 2011). Dock så skriver Marton (2005) att ”phenomenography is also interested in mistaken conceptions of reality”. Med detta i åtanke kan fenomenografi, enligt Marton (2005), ses som ett slags mellanting mellan naturvetenskap och samhällskunskap.
Larsson (2011) lyfter tre variationer av pedagogikcentrerade fenomenografiska ansatser;
fackdidaktiska studier, allmänpedagogiska studier samt studier av utbildningseffekter.
Denna undersökning tillhör domänen av fackdidaktiska studier som kommer beskrivas djupare under kommande rubrik.
12
Fackdidaktiska studier
Som Larsson (2011) använder uttrycket fackdidaktiska studier syftar det på studier som undersöker ”hur elever uppfattar innehållet - kunskapen - som behandlas i skolan”
(Larsson, 2011, s.14). Fackdidaktik liknas eller likställs ofta med ämnesdidaktik, men som det kan ses ur citatet ovan så används uttrycket i detta sammanhang som ett mer specifikt koncept. Ändamålet med sådana studier är att identifiera elevers olika uppfattningar kring ett fenomen. Vidare går det att sträva efter att hitta potentiella missuppfattningar. Det är dock ett kontroversiellt ämne, eftersom det är svårt att kalla en uppfattning för helt korrekt eller felaktig. Detta eftersom en uppfattning som av många uppfattas som korrekt i själva verket kan vara fel ur en annan synpunkt och en uppfattning som flera uppfattar som felaktig kan stämma överens med ett omodernt synsätt. Det kan också vara ett uttryck av viss förståelse, som sedan kan komma att leda till en bättre sådan.
Praktiskt utförande
Fenomenografi utgår, som tidigare nämnt, från ihopsamlad data av individers uppfattningar. Dessa samlas ofta ihop med hjälp av intervjuer som sedan transkriberas.
Respondenternas svar används som grund till att hitta kategorier av synsätt eller uppfattningar.
Efter att kategorierna skapats kan undersökarna placera respondents svar under den kategori vars uppfattning den passar i. Sedan kan undersökarna enkelt se hur vanligt förekommande de olika kategorierna var och då få en översikt över respondenternas uppfattningar (Dahlgren & Johansson, 2011).
13
4 Metod Urval
Eftersom författarna endast talar svenska och engelska så skulle undersökningar på finsktalande skolor kräva att matematiken översätts till engelska eller finska. Detta medför en risk för missförstånd och matematiska felaktigheter. För att undvika språkbarriärer så togs beslutet att utföra intervjuerna på svensktalande skolor. Detta kan anses vara ett bekvämlighetsurval (Denscombe, 2016). Det underlättar för författarna att hantera all logistik samt matematik på deras modersmål. Dessutom så ligger de flesta svensktalande delarna av Finland på västkusten och har direkt färjekontakt till och från Sverige, vilket minskar restiden. Andrews, Ryve, Hemmi & Sayers (2014) poängterar att det finns svensk- och samisktalande minoriteter i Finland, men att de utbildas på sitt modersmål och med samma förutsättningar som finsktalande.
Detta kan tolkas medföra en liten påverkan av bekvämlighetsurvalet. Undersöker man medelresultatet för finska elever i PISA så ser man dock att eleverna på svensktalande skolor i Finland, ca 6,4% av befolkningen, har ett lägre medelresultat inom läsning och matematik än finska elever i allmänhet (Hautamäki, Laaksonen, & Scheinin, 2008).
Kvale (2013) poängterar att en intervjuare behöver etablera en viss bekantskap med kulturen om denne ämnar utföra intervjuer i en annan kultur än den egna. Därför tillfrågade författarna två separata personliga kontakter med stark koppling till Finland om skillnader mellan de två kulturerna. Då en intervjuare skall intervjua någon som inte talar samma språk så uppkommer ytterligare bekymmer, såsom att välja en kulturellt acceptabel översättare som inte har någon egen agenda i undersökningen och som inte tar över rollen som intervjuare (Kvale, 2013). Detta är den huvudsakliga anledningen till att författarna valde att utföra intervjuerna i svensktalande delar av Finland.
Vidare beslutades det att inte utföra varken hela eller delar av studien på privatägda skolor.
Dessa privata aktörer kan uppmuntras att anpassa undervisningen till att lära ut mer mätbara kunskaper eller lägga undervisningen på en lägre än rekommenderad nivå då elevernas uppmätta resultat till stor del påverkar hur nöjda föräldrarna, vilket påverkar hur attraktiv skolan är för föräldrar (Holmlund et al., 2014). Detta kan medföra en bristande likvärdighet mellan svenska, privatägda, gymnasieskolor och därför valdes det att utföra studien på endast statligt styrda skolor för att få en så god representation av likvärdigheten som möjligt.
Kraven på respondenterna var att de går en studieförberedande utbildning och går sista året på denna. Författarna använde sitt kontaktnät på KTH och SU för att komma i kontakt med gymnasielärare. Målet var att finna två kontakter i Sverige och två kontakter i Finland som kunde hitta fem elever vardera.
De två svenska och de två finska lärarna som var snabbast med att visa intresse tillfrågades om de kunde hitta elever som uppfyllde kraven för studien. Efter att de två svenska gymnasielärarna (på samma skola i Stockholmsområdet) och en av de finska lärarna hade hittat varsin klass frågade de eleverna om de ville delta. Upp till de första fem eleverna i varje klass som ville delta fick göra det. Den andra finska läraren hittade en lämplig klass och frågade istället vilka som inte ville vara med i studien, sedan lottades fem av de frivilliga fram som sedan deltog i studien. På detta sätt värvade de tio finska respondenterna som önskades för undersökningen.
Efter att de två svenska lärarna frågat sina klassar saknades det fortfarande elever för intervjuerna, de svenska eleverna var fortfarande färre än de finska. Därför söktes en tredje
14 svensk matematiklärare, vilken hittades på samma skola som de övriga två lärarna. Läraren frågade sin klass och de som var frivilliga deltog sedan i studien. Vid ett intervjutillfälle på den svenska skolan fick författarna en chans att presentera undersökningen för en av de tre lärarnas klasser. I samband med det fick författarna kontakt med ett antal frivilliga elever vilka ställde upp på undersökningen. Detta resulterade i att tio svenska elever hade värvats till undersökningen.
Utveckling av intervjuguiden
Innan första förpilotstudien skrevs ett manus, eller en intervjuguide, som författarna använde under samtliga förstudier och ordinarie intervjuer. Denna guide innehåller de inledande huvudfrågorna samt förslag till sonderande frågor enligt ovan, vilket passar väl för en halvstrukturerad intervju (Kvale & Brinkmann, 2014).
Intervjuguiden ändrades i sin helhet, både inledande och sonderande frågor. Till stor del gjordes detta baserat på observationer av författarna samt uttryckta åsikter från respondenterna i samband med förstudieintervjuerna. Se bilaga 2 och 3 för en jämförelse av uppgiftsbladen som använts under förpilotsstudien och under studien. Ordningen på bladen som behandlar gränsvärden och bladen som behandlar funktioner bytte plats, då respondenterna i förpilotstudien uttryckte ett obehag av att börja intervjun med frågan Vad är ett gränsvärde?. Dessutom så ändrades formuleringar såsom Vad är ett gränsvärde? då frågan tolkades som att det sökta svaret skulle vara den faktiska definitionen. Om en respondent inte kunde komma ihåg denna så ville hen i vissa fall inte svara på frågan vidare utan tyckte att hen inte klarade av den.
Eftersom det inte var författarnas mål att kontrollera om respondenten kunde definitioner så ändrades frågeformuleringar, exempelvis till Beskriv med egna ord vad ett gränsvärde är. Även den andra uppgiften om gränsvärden ändrades till en uppgift som är mindre algebraiskt utmanande, eftersom bladet inte ämnar testa respondentens algebraiska kunskaper. Blad 5, som omfattar deduktion, var till en början ett stycke med påståenden i löpande text. Respondenterna i förpilotstudien hade svårt att skilja på de olika påståendena och det blev snarare en utmaning i läsförståelse än logik. Dessutom så hade respondenterna svårt att förstå vilken typ av samband som eftersöktes, därför lades ett exempel till.
Datainsamling
Datainsamlingen skedde genom intervjuer där en eller två av författarna medverkade.
Intervjuerna hade halvstrukturerad form. Halvstrukturerade intervjuer innebär för den enskilda respondenten att hen får samma frågor som alla andra respondenter, att hen intervjuas ungefär lika länge som alla andra samt att den leds genom specifika teman av intervjuarens följdfrågor för att täcka in samma ämnen som andra respondenter (Gillham, 2008). Under övervägandet om hur forskningsfrågorna skulle undersökas vägdes ett kvantitativt arbetssätt med frågeformulär mot ett kvalitativt arbetssätt med intervjuer. Den tidsekonomiska aspekten avgjorde valet och då intervjuer är mindre ekonomiskt krävande än utvecklandet av enkäter i avseende till tid och resurser (Silverman, 2006) valdes det kvalitativa arbetssättet.
Valet av halvstrukturerad intervju har medfört att en förpilotstudie och en pilotstudie föregått huvudintervjuerna. Detta betyder att intervjumaterialet testades på studenter som påbörjat sitt första år vid högskolan. Dessa hade då inte påbörjat sin första analyskurs och ansågs vara representativa för målgruppen. En förpilotstudie är en form av testintervju där de framtagna frågorna ställs men där respondenten vet att syftet med intervjun är att testa materialet och där respondenten förväntas framföra kritik om intervjuns genomförande samt materialet (Gillham, 2008). Vidare är pilotstudien ett genrep för den riktiga intervjun.
15 I det skedet testas innehållet medan intervjuguiden ses över och intervjuaren identifierar stödord som kan utgöra grunden för följdfrågor (Gillham, 2008).
Författarna valde att använda sig av öppna frågor för att låta respondenterna påvisa sin konceptuella förståelse på ett bredare vis än vad som skulle tillåtas med slutna frågor. Detta eftersom slutna frågor har en tendens att kunna tolkas på olika sätt beroende på bakgrund, kontext med mera. Öppna frågor lämnar plats för fullständigare svar. Vidare användes samma, eller åtminstone snarlika, sonderande frågor i samtliga intervjuer för att ge varje respondent samma förutsättningar att svara på frågorna. Sonderande frågor valdes för att få fram mer information om respondentens konceptuella förståelse utan att leda dessa mot ett önskvärt eller förväntat svar (Kvale & Brinkmann, 2014).
Etik
För att ta hänsyn till informationskravet så blev respondenterna informerade om undersökningens omfattning innan de skulle intervjuas. Detta skedde när respondenten och en eller två av intervjuarna träffades för intervjun. Med hänsyn till samtyckeskravet så blev respondenterna tillfrågade om de tillät att intervjun spelades in och blev informerade om att de under intervjun var tillåtna att när som helst avsluta intervjun om de inte längre ville deltaga. Konfidentialitetskravet togs hänsyn till genom att ingen utom författarna tog del av de inspelningar som intervjuerna resulterade i. Under intervjuerna nämns endast ett namn, tillhörande en av författarna och de intervjuade förblir anonyma i alla steg i arbetet, från namn på ljudfiler till namn på transkriptioner. Varken skolornas namn eller respondent- ernas namn är noterade i rapporten. Insamlad data kommer inte att användas i kommersiellt syfte och kommer inte att användas i icke-vetenskapligt syfte. Därmed är även nyttjandekravet uppfyllt. Kraven beskrivs i boken Forskningsetiska principer av Vetenskapsrådet (2002).
Respondenterna informerades även om att de skulle få tillgång till rapporten via mejl när den sammanställts, för att försäkra respondenterna att de får ta del av resultatet.
Analysmetod
En kombination av metodansatser valdes för möjliggöra jämförandet av svenska och finska elevers matematiska kompetenser. En del av denna kombination som valts är fenomenografi för att strukturera vad elever kan ha för uppfattning om den valda matematiska teorin. Detta på grunden att fenomenografi undersöker de kvalitativt olika sätten som ett fenomen uppfattas av personer (Marton, 2005). De olika sätten som ett fenomen kvalitativt kan uppfattas kallas utfall och dessa antas vara begränsade (Dahlgren & Johansson, 2011), därför är de möjliga att kartläggas och struktureras upp i ett utfallsrum.
Metodansatsen brister dock i att avgöra hur matematiskt korrekt ett givet svar är då fenomenografi är enbart en metodansats som kartlägger olika sätt som personer upplever, konceptualiserar, uppfattar och förstår olika aspekter av, och fenomen i, världen kring dem (Marton, 2005). För att avgöra hur matematiskt korrekt ett svar är tillämpar författarna de koncept, teorier och begreppsdefinitioner som tidigare lyfts under rubriken 3. Teoretisk bakgrund. Vidare studerar författarna i skrivande stund sista året på en matematikfokuserad civilingenjörsutbildning och har därmed goda matematiska kunskaper som kan väga in i avgörandet av kategoriernas matematiska korrekthet. Se matematisk analys under rubrikerna; 5.1.1 Analys av fenomenografiska kategorier blad 1, 5.2.2 Analys av fenomenografiska kategorier blad 2, 5.3.2 Analys av fenomenografiska kategorier blad 3, 5.4.2 Analys av fenomenografiska kategorier blad 4 och 5.5.2 Analys av fenomenografiska kategorier blad 5.
16
Praktiskt utförande
Samtliga intervjuer, både de finska och svenska, skrevs ut anonymt och blandades. Detta gjordes för att författarna inte skulle veta i vilket land intervjuerna utfördes. Sedan märktes varje intervju med en bokstav från och med A till och med T, för att kunna placera intervjuerna i de olika kategorierna.
Kategorierna togs fram på så sätt att författarna var för sig läste igenom en intervju i taget samt fokuserade på ett intervjublad i taget och lokaliserade utifrån detta vad som var utmärkande med elevens svar. Detta diskuterades sedan mellan författarna och antingen så definierades en ny kategori eller så placerades respondentens svar i en redan befintlig kategori. Slutligen undersöktes det vilka intervjuer som utfördes i Sverige respektive Finland. Detta gjordes genom att jämföra de bokstaverade men anonyma transkriptionerna med originaltranskriptionerna. Utifrån detta kunde författarna utföra en jämförelse mellan de två ländernas elever.
Val av matematiska begrepp
Processen för att välja relevanta och givande matematiska områden till studien påbörjades med rådgivning av matematikprofessorer på Kungliga Tekniska Högskolan (KTH) och Stockholms Universitet (SU). Dessa professorer uttryckte vilka delar av matematiken som de finner viktiga i högskolestudier samt vilka kunskaper de anser vara bristande hos nyantagna högskolestuderande. Det som avgjorde vilka matematiska områden som skulle behandlas i undersökningen var, förutom rådgivning med professorer, lärandemålen som är uppställda för kursen SF1625 Envariabelanalys (Kungliga Tekniska Högskolan, 2015) och vikten av områdena som det beskrivs under kommande rubriker (4.5.1 Funktionslära, 4.5.2 Gränsvärden och 4.5.3 Deduktion).
Funktionslära
Funktionsbegreppet är som tidigare nämnt en central del av matematiken. Pinter (2010) menar att det är ett av de mest grundläggande matematiska idéerna som återfinns i nästan alla matematiska diskurser. Det är ett grundläggande koncept för all högskolematematik och det är därför viktigt att behärska konceptet för högre studier. Följande utdrag är från kursplanen SF1625 Envariabelanalys som ges på Kungliga Tekniska Högskolan:
Använda, förklara och tillämpa de viktigaste grundbegreppen och problemlösnings- metoderna från differential- och integralkalkyl i en variabel, särskilt:
- Redogöra för de elementära funktionernas grundläggande egenskaper, såsom t ex potenslagar, logaritmlagar och trigonometriska formler, samt använda dessa i problemlösning och beräkningar
[...]
- Avgöra om en given funktion är inverterbar och om möjligt beräkna inversen (Kungliga Tekniska högskolan, 2015, s. 1)
Då studien utgår från att högskoleberedskap är att besitta nödvändiga kunskaper för att klara av kursen SF1625 ger detta vikt åt att undersöka funktionsbegreppet.
Gränsvärden
Gränsvärdesbegreppet är en central del i matematisk analys eller, som Parameswaran (2007) beskriver det, hörnstenen till koncept som kontinuitet, deriverbarhet, integration och konvergens, men som det har behandlats under 3.3 Gränsvärden är det ett svårt koncept att ta till sig. Utifrån Przenioslos (2004) undersökning så gäller det att om en gymnasieelev kommer till universitetet med en felaktig uppfattning så kommer hens
17 konceptbild fortsätta att byggas ut utan att vara sammanhängande. På samma sätt kommer hens konceptdefinition fortsätta att stå i kontrast mot den matematiskt korrekta definitionen.
I relation till Parameswarans (2007) beskrivning av gränsvärden som hörnsten och 1.4 Högskoleberedskap går det att argumentera för valet gränsvärden som en av studiens valda begrepp utifrån kursplanen för SF1625 Envariabelanalys:
Använda, förklara och tillämpa de viktigaste grundbegreppen och problemlösnings- metoderna från differential- och integralkalkyl i en variabel, särskilt:
[...]
Beräkna derivator med hjälp av bl a produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln
Använda derivata för att undersöka en funktions egenskaper, t ex avgöra frågor om växande och avtagande, skissera funktionsgraf, bestämma tangent, bevisa olikheter och hitta extremvärden
[...]
Redogöra för Riemann-integralens definition och tillämpningar, samt approximera integraler med Riemannsummor
Beräkna integraler med hjälp av primitiv funktion, partiell integration, variabel- substitution och partialbråksuppdelning
Redogöra för analysens huvudsats om sambandet mellan derivata och integral, samt använda denna i problemlösning och beräkningar
Lösa vissa linjära ordinära differentialekvationer med konstanta koefficienter och redogöra för hur dessa uppkommer i tillämpningar
Beräkna gränsvärden och använda dessa för att studera funktioners beteende lokalt eller asymptotiskt
[...]
Avgöra om vissa serier är konvergenta eller divergenta och om möjligt beräkna dem (Kungliga Tekniska Högskolan, 2015, s. 1)
I enlighet med Parameswarans (2007) beskrivning av gränsvärde som hörnsten har utdragen ur läroplanen med detta att göra.
För undersökningen har vikt lagts på att behandla kunskap om gränsvärden i relation till funktioner och inte exempelvis serier. Innan undersökningen utfördes påverkade det hur frågorna utformades, se 4.6.4 blad 4. Efter undersökningen syntes det att ingen annan aspekt av gränsvärden behandlades av respondenterna och det har påverkat vilken teori som rapporten behandlar.
Deduktion
Vid utformningen av undersökningen och de matematiska kompetenserna som skulle testas uttryckte de tillfrågade professorerna på KTH samt SU ett intryck av bristande logiska resonemang hos nyantagna studenter. Då kompetenser angående bevis var av intresse redan innan togs beslutet att studera den deduktiva förmågan hos elever. Ett vanligt inslag i litteratur som behandlar matematikkurser vid högskola och universitet är övningar som behandlar bevis av olika slag. Av dessa är många övningar sådana som behandlar den
18 deduktiva förmågan. Studenten får i uppgift att bevisa ett påstående. För att göra detta ska studenten samla ihop ett antal satser, följdsatser och definitioner ur det föregående kapitlet.
Sedan ska studenten logiskt deducera det sökta påstående med hjälp av dessa (Sparr &
Sparr, 2000; Vretblad, 2005; Persson & Böiers, 2010; Persson & Böiers, 2005; Zill & Cullen, 2009; Boyce & DiPrima, 2013; Saff & Snider, 2014).
Flera menar att deduktion och bevis är centralt för matematiken. Exempel på detta är ”The difficulties met by transition students concerning logic are well recognized by teachers and mathematics educators around the world” (Thomas et al., 2012, s.106) (där transition students syftar till individer som går från en gymnasial utbildning till en högskoleutbildning) samt ”Students cannot be said to have learned mathematics, or even about mathematics, unless they have learned what a proof is” (Hanna, 2000, s. 24).
Intervjufrågor Blad 1
I denna sektion av rapporten så kommer olika förståelsehandlingar och hinder som lyfts av Sierpinska (1992) att kopplas till de valda intervjufrågorna. Dessa finns samlade i bilaga 1.
Eftersom valet av öppna frågor fastställts så behöver givetvis uppgifterna till intervjuerna reflektera detta. Författarna valde därför att formulera första uppgiften som; Beskriv med egna ord vad en funktion är. Detta för att lämna stort utrymme för respondenten att visa och förklara sin uppfattning om begreppet funktion samt sina kunskaper om det i sin helhet.
Vidare användes sonderande frågor enligt intervjuguiden (se bilaga 3). Dessa frågor valdes för att låta respondenten påvisa sina kunskaper och sin förståelse för funktionsbegreppet.
Den första sonderande frågan, Formulera en funktion?, användes huvudsakligen för att kontrollera att respondenten kunde representera en funktion. Nästa sonderande fråga, Karaktäristiska egenskaper?, användes för att uppmuntra respondenten att reflektera kring vad som gör en funktion till en funktion. Därmed skulle respondenten problematisera den eventuella representativa beskrivningen av funktionsbegreppet.
Den sonderande frågan; Appliceringsområde? ger respondenten en chans att påvisa en förståelse för vad funktioner kan användas till. Sierpinska (1992) lägger stort fokus vid vad en funktion har för användningsområde, se U(f)-1, EO(f)-8 samt U(f)-8. Sierpinska menar att den första och en av de mest fundamentala förståelsehandlingarna, U(f)-1, är att identifiera förändringar omkring sig som ett praktiskt problem som går att lösa. Detta kan respondenten påvisa genom att ge verkliga exempel på när funktioner kan appliceras för att lösa eller beskriva en situation eller ett problem. Vidare menar Sierpinska att ett hinder, EO(f)-8, är att individen tror att fysikens lagar och funktionskonceptet inte har med varandra att göra. Även här kan respondenten visa på förståelse om detta genom att beskriva detta samband. Dessutom påpekar U(f)-8 vikten av förståelsen för att individen i fråga kan använda funktioner för att modellera exempelvis fysiska relationer. Respondenten ges en chans att beskriva även detta i samband med den sonderande frågan.
Avslutningsvis för blad 1 så finns den sonderande frågan; Olika representationsformer?.
U(f)-4, EO(f)-10, E(f)-11, U(f)-15 och U(f)-16 kan alla menas vara kopplade till frågan om representationsformer av funktioner. Som exempel på förståelsehandlingen U(f)-4 så ger Sierpinska (1992) bland annat exemplet Fibonaccis talföljd och menar att denna kan representeras antingen rekursivt eller mindre komplicerat. EO(f)-10 och EO(f)-11 grundas i den falska tron om att funktioner endast innehåller formella operationer på algebraiska uttryck och måste vara uttryckbara med hjälp av algebra. Med U(f)-15 så läggs det stor vikt i att förstå att även om det finns många sätt att representera funktioner så förblir dessa endast representationer. Sierpinska menar att det är vanligt hos elever att de snarare ser dessa representationsformer som själva funktionen, vilket enligt Sierpinska är felaktigt.
19 Vidare menar Sierpinska att då funktioner kan representeras på flera olika, icke grafiska, vis så som att kartlägga värden till varandra, ordna mängder eller relatera två enheter så är det viktigt att uppnå en slags syntesförstålse av de flera formerna, U(f)-16. Den sonderande frågan lämnar utrymme för att påvisa dessa förståelser eller missförstånd.
Dessa förståelsehandlingar och hinder är överskridande och kan komma att påvisas från andra frågor eller resonemang än vad som är nämnt ovan. Föregående är endast exempel på hur författarna såg till att respondenten hade förutsättningar att behandla dessa utvalda förståelsehandlingar och hinder.
Blad 2
Blad 2 smalnar ner den konceptuella förståelsen för funktionsbegreppet till begreppsförståelse för vissa utvalda delar av helheten. Till en början så efterfrågas respondentens syn på begreppen beroende variabel och oberoende variabel. U(f)-5 poängterar vikten i att differentiera mellan de två begreppen. Dessutom efterfrågades en förklaring av begreppen definitions- och värdemängd, vilka är viktiga koncept för såväl definitionerna som förståelsen av funktionskonceptet i sin helhet.
Den sonderande frågan; Kolla på en term i taget, hjälper det? har som enda syfte att uppmuntra respondenten att reflektera över funktionens olika delar. Därmed kanske respondenten påminns om något av intresse som inte hade behandlats annars.
Efterföljande sonderande fråga, Kan du beskriva definitions- och värdemängd?, har som mål att kontrollera att respondenten kan beskriva begreppen på samma vis som hen beskrivit dem innan. Detta för att hjälpa författarna att identifiera kategorier för den fenomenografiska analysen.
Berätta vad du kan om vart och ett av begreppen är den avslutande sonderande frågan för funktionsavsnittet för att ge respondenten en chans att berätta fritt om begreppen efter hen har funderat över dem. Det ska ge hen en chans att påvisa annan förståelse eller andra missförstånd som annars hade gått omärkta.
Blad 3
Enligt liknande metod som för funktionsbegreppet så är frågan på det tredje bladet öppen.
Frågan Beskriv med egna ord vad ett gränsvärde är för något? ger respondenten en chans att själv välja vad frågan ska behandla och kan med sina formuleringar hjälpa författarna att avgöra vilken syn på gränsvärden som hen har.
De sonderande frågorna syftar var och en till att uppmana respondenten till att konkretisera sina tankar. Förutom det så ska de få respondenterna att följa en förutbestämd linje för att möjliggöra den jämförelsen som krävs för att kunna göra en fenomenografisk undersökning.
Blad 4
Blad 4 delar likheter med blad 2 i att den konceptuella förståelsen smalnas av, i detta fallet till hantering av ett gränsvärde. Detta medför även att det ur detta blad främst går att uppvisa en processorienterad förståelse.
Respondenternas svar kan komma att tangera Fernández-Plazas och Simpsons (2016) arbete då de undersöker hur elevers syn på gränsvärdesbegrepp påverkas av att det introduceras vid tre olika tillfällen i deras matematiska utbildning. Dessa tre tillfällen presenterar gränsvärdet av en sekvens, gränsvärdet av en funktion i en punkt och gränsvärdet av en funktion i oändligheten. Detta kan medföra att eleverna skiljer på olika sorters gränsvärden utifrån hur de formuleras och därmed behandlar dem på olika sätt.
