7 8 9 10 11 12
Skattade frekvenskomponenter med ESPRIT(8,100)−algoritmen. Bandpassfiltrerad signal 7 − 12 Hz. Grön givare 6 − 8 februari.
Hz Tid Skattning 1 Lågpassfiltrerad skattning 6/2 7/2 8/2 5 6 7 8 9 10
Skattade frekvenskomponenter med ESPRIT(8,100)−algoritmen. Bandpassfiltrerad signal 5 − 10 Hz. Grön givare 6 − 8 februari.
Hz
Tid
Skattning 3 Lågpassfiltrerad skattning
Figur 5.8. Skattningar gjorda med ESPRIT(8,100) på mätdata från grön givare 6 - 8 februari. Den övre skattningen är gjord på intervallet 7 - 12 Hz och den undre på 5 - 10 Hz. Den skattade frekvenskomponenten visas i grått och den tjocka svarta linjen visar lågpassfiltrering av skattningen för att visa på trender i frekvensändringen. De streckade intervallen markerar sotningsintervall.
6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10−6 10−5 10−4 Frekvens [Hz] Effekt/Frekvens
Periodogram med Welchs metod. Gul givare 26 januari kl 00:04 − 00:34.
6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
10−4
Frekvens [Hz]
Effekt/Frekvens
Periodogram med Welchs metod. Gul givare 26 januari kl 00:34 − 01:04.
Figur 5.9.Frekvensinnehåll skattat med Welchs metod hos signaler från gul givare. Det är svårt att urskilja vilka lokala maxima som är resonansfrekvenser och vilka som beror på brus.
5.3
Analys av signaler från SAKAB:s panna
MUSIC och ESPRIT har använts på mätdata från SAKAB. SAKAB:s panna sotas två gånger per timme till skillnad från Ryaverkets panna som endast sotas en6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Frekvens [Hz] Normerad amplitud
Periodogram med Welchs metod. Gul givare 26 januari kl 00:34 − 01:04.
Welchs metod Tröskelvärde 0,6
Figur 5.10.Normerat frekvensinnehåll skattat med Welchs metod. Ett tröskelvärde på 0,6 bestämmer vilka maxima som ska räknas med.
27/1 28/1 29/1 30/1 0.7 0.8 0.9 1 1.1 Tid µ
Automatiserad statistisk metod på intervallet 6 − 10 Hz. Gul givare 26 − 30 januari.
y(t) = µy(1) 27/1 28/1 29/1 30/1 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 Tid µ
Automatiserad statistisk metod på intervallet 6 − 10 Hz. Röd givare 26 − 30 januari.
y(t) = µy(1)
Figur 5.11. Frekvensförändring beräknad med en automatiserad statistisk metod för signaler från gul och röd givare i intervallet 6 - 10 Hz. Det enda intervall där det finns ett avtagande beteende hos µ är hos gul givare mellan sotningarna 29 - 30 januari. När det är avbrott i skattningen har inte µ kunnat beräknas.
gång om dagen. Därför kan inte lika många sampel per skattning användas för att skatta frekvenskomponenter. Antalet sampel är 413 vilket är mycket färre än vad som använts vid skattningarna av signaler från Ryaverets panna. Signalerna har bandpassfiltrerats med ett 12:e ordningens Butterworthfilter med intervallen 6 - 10 Hz och 10 - 14 Hz. Figur 5.12 visar skattningar gjorda på intervallet 6 - 10 Hz med MUSIC och ESPRIT.
Skattningen med ESPRIT visar en avtagande trend från kl 17:18 fram till strax efter andra sotningen. Skattningen avtar, till synes, linjärt från strax under 8 Hz till under 7 Hz. Antas förändringen vara konstant mellan sotningarna skulle det
5.3 Analys av signaler från SAKAB:s panna 55 16:556 17:18 17:45 7 8 9 10 Hz Tid
Skattad frekvenskomponent med MUSIC(8,100)−algoritmen. Bandpassfiltrerad signal 6 − 10 Hz. SAKAB 27 november 2008. Skattning 1 Lågpassfiltrerad skattning 16:556 17:18 17:45 7 8 9 10 Hz Tid
Skattad frekvenskomponent med ESPRIT(6,100)−algoritmen. Bandpassfiltrerad signal 6 − 10 Hz. SAKAB 27 november 2008. Skattning 2
Lågpassfiltrerad skattning
Figur 5.12.Skattningar är gjorda, i den övre bilden med MUSIC(8,100) och i den undre med ESPRIT(8,100), på mätdata från SAKAB-pannan 27 november 2008. Skattningen med ESPRIT avtar till synes linjärt från kl 17:18 fram till strax efter andra sotningen.
ge en uppskattad procentuell minskning i frekvens hos skattningen kring 20 %. Figur 5.13 visar ytterligare en skattad frekvens med en långsamt avtangade trend högre upp i frekvensplanet som tydligast syns efter andra sotningen.
16:55 17:18 17:45 10 11 12 13 14 Hz Tid
Skattad frekvenskomponent med MUSIC(6,100)−algoritmen. Bandpassfiltrerad signal 10 − 14 Hz. SAKAB 27 november 2008. Skattning 3
Lågpassfiltrerad skattning
Figur 5.13.Skattning gjord med ESPRIT(6,100). Avtagande trend hos skattningen efter andra sotningen.
Den automatiserade statistiska metoden har inte gett goda resultat med signa- lerna från SAKAB. Sotning sker mycket oftare i jämförelse med Ryaverket. Därför går det inte att få en tillräckligt bra upplösning i periodogrammet om samtidigt brus ska kunna medelvärdesbildas bort över flera intervall med Welchs metod.
5.4
Diskussion
Frekvenskomponenter har skattats i signaler från Ryaverkets panna och SAKAB:s panna med MUSIC, ESPRIT och den automatiserade statistiska metoden. I sig- nalerna från Ryaverkets panna är det svårt att tydligt se en avtagande trend i intervallen mellan sotningarna. Det finns perioder då de snabba variationerna hos skattningen är små vilket gör att det går att se en avtagande trend. Figur 5.4 i intervallet 7 - 12 Hz visar detta tydligast hos skattningarna av Ryaverkets signaler. Skattningar av signaler från SAKAB:s panna visar ett tydligare avtagande beteen- de mellan sotningarna även om färre sampel används per skattning, se Figur 5.12 och 5.13. Trots att det används färre sampel per skattning verkar skattningar i SAKAB:s panna ge ett tydligare resultat än skattningar i Ryaverkets panna.
Testerna på simulerade data i Kapitel 3 har visat att skattningarna kan hoppa mellan olika dominerade frekvenskomponenter. Skulle exciteringen av olika reso- nansfrekvenser variera över tiden hos överhettartuberna skulle resultatet bli att skattningarna hoppar mellan dessa. För att kunna se vilka skattningar som följer samma resonansfrekvens skulle en algoritm behövas som kan sortera skattningarna utifrån om de ser ut att följa en avtagande trend eller inte. En lösning skulle kunna vara att använda sig av en målföljningsalgoritm som presenteras i Kapitel 6.
Kapitel 6
Följning av
resonansfrekvenser i
skattningar från MUSIC och
ESPRIT
Skattningarna gjorda med MUSIC och ESPRIT på signaler från Ryaverkets panna varierar ofta för mycket för att kunna se om de följer några resonansfrekvenser. I avsnitt 6.1 presenteras en målföljningsalgoritm. Denna används i avsnitt 6.2 för att följa resonansfrekvenser i skattningarna gjorda med MUSIC och ESPRIT utifrån en modell av resonansfrekvensernas förväntade beteende. Resultaten från målföljningsalgoritmen diskuteras i avsnitt 6.3. I detta kapitel avser ett mål en möjlig resonansfrekvens i skattningar med MUSIC och ESPRIT.
6.1
Målföljning
Antag att en givare, precis som i detta examensarbete, mäter vibrationer hos en överhettartub där resonansfrekvenserna minskar vid masspåslag. I signalen detek- teras ett flertal frekvenser där några beror på resonansfrekvenser och resterande beror på brus eller ointressanta signalkomponenter. Att automatiskt kunna sär- skilja resonansfrekvenser från andra frekvenskomponenter behövs för att skapa en algoritm som kan detektera sotpåslag på överhettartuberna. För att lösa sådana typer av problem undersöks olika typer av målföljningsalgoritmer1.
En målföljningsalgoritm skapar ett antal mål och letar efter nya mätningar som stämmer med den modell som beskriver systemet. När ett mål associerats med ett tillräckligt antal mätningar under ett bestämt tidsintervall antas mätningarna komma från ett riktigt objekt som algoritmen detekterat i signalen. Finns det inga mätningar, som indikerar att målet finns, plockas målet bort ur algoritmen.
1
eng. Target Tracking
ESPRIT
Således letar algoritmen efter ett förväntat beteende i mätningarna och finns det flera mätningar i rad som indikerar att algoritmen hittat något så fortsätter den att följa det målet. Finns det inga mätningar som kan associeras med ett existerande mål skapas istället ett nytt mål utifrån den mätningen.
Det finns frågeställningar som uppkommer när en sådan algoritm ska imple- menteras. Hur ska algoritmen avgöra om en ny mätning beror på något av de existerande målen eller om det är brus? Hur många mätningar behövs för att be- stämma att algoritmen har hittat ett mål? Behöver algoritmen alltid matas med nya detekteringar från målet eller kan det finns tidsintervall då målet är osynligt och hur ska algoritmen i så fall hantera detta? Förslag på hur dessa frågeställningar kan hanteras diskuteras i avsnitten nedan.
6.1.1
Kalmanfilter
Antag att ett system kan beskrivas med hjälp av en linjär tidsdiskret signalmodell på formen nedan
x(t + 1) = Ax(t) + Be(t) (6.1)
y(t) = Cx(t) + v(t) (6.2)
där e(t) är processbrus, eller modellosäkerheter, och v(t) är mätbrus som båda antas vara normalfördelade och oberoende. Kovariansen för e(t) och v(t) skrivs som Ee(t)eT(τ ) och E v(t)vT(τ ) som båda är diagonalmatriser. Modellen beskriver
vad för information som är känd via mätningar, y(t), och hur systemets interna tillstånd, x(t) förändras över tiden.
En önskan vore att kunna utnyttja tillståndsmodellen i (6.2) för att kunna skatta tillstånden x(t) som beskriver det riktiga systemets egenskaper. Det vill säga veta hur de riktiga tillstånden förändras över tiden. Detta kan hanteras med ett kalmanfilter, se [2], vilket är ett optimalt linjärt filter för att skatta tillstånden x(t) hos ett system från en mätsignal y(t). Kravet är att tillstånden är observer- bara i mätsignalen. Ett observerbart system med ordningstal n definieras av en observerbarhetsmatris, se 6.3, som har full rang.
O = C CA CA2 .. . CAn−1 (6.3)
Kalmanfiltret arbetar i ett par steg där först prediktionen av tillstånden vid nästa tidpunkt beräknas. Därefter beräknas den optimala förstärkningen, K(t), och kovariansen för prediktionsfelet P (t + 1|t) uppdateras. Algoritmen för kalman- filtret finns beskriven i [6] och kan förklaras i följande steg:
ˆ x(t + 1|t) = Aˆx(t|t − 1) + K(t)(y(t) − C ˆx(t|t − 1)) (6.4) K(t) = AP (t|t − 1)CT (CP (t|t − 1)CT + R)−1 (6.5) P (t + 1|t) = AP (t|t − 1)AT + BQBT − AP (t|t − 1)CT (CP (t|t − 1)CT + R)−1 CP (t|t − 1)AT (6.6)
6.1 Målföljning 59
Kalmanfiltrets prestanda kan justeras med hjälp av Q och R som designpara- metrar. Q och R bestäms utifrån variansen hos modellosäkerheterna samt varian- sen hos mätbruset. Q beskriver hur mycket som tillståndet x(t) kan avvika från modellen x(t + 1) = Ax(t) i (6.2). På samma sätt beskriver R hur mycket mätbrus som finns i signalen y och hur mycket tillstånden x ska anpassas efter förändringar i y.
6.1.2
Associera data
Antag att y(t) är en mätning i målföljningsalgoritmen. Utifrån (6.2) och de skat- tade tillstånden säger [14] att residualen
˜
y(t) = y(t) − ˆy(t|t − 1) (6.7)
där ˆy(t|t − 1) = Cx(t|t − 1), är normalfördelad ∼ N(0, S(t)). S(t) är kovariansma- trisen för (6.7) och defineras som
S(t) = AP (t|t − 1)AT + R (6.8)
Det går då att associera troliga mätningar till ett visst mål där avståndet från målets predikterade position och nästa detektering ligger inom ett bestämt trös- kelvärde. Genom att vikta kvadraten av avståndet med S(t) fås en variabel κ(t), definierad i (6.9), som är χ2-fördelad med n frihetsgrader där n är dimensionen på ˜
y(t).
κ(t) = (y(t) − ˆy(t|t − 1))TS−1
(t|t − 1)(y(t) − ˆy(t|t − 1)) (6.9) Ett tröskelvärde kan då väljas utifrån önskad sannolikhet från χ2-fördelningen för att associera data till ett mål. Metoden kallas på engelska för gating.
Om ett mål som följs har flera detekteringar inom sitt tröskelvärde eller om flera mål har samma detektering inom sina respektive tröskelvärden uppstår frågan hur dessa ska fördelas mellan målen. Här antas att ett mål endast kan ge upphov till en detektering och att en detektering inte kan tillhöra flera mål samtidigt. Ett sätt, enligt [11], är att endast välja den närmaste detekteringen för ett mål och sedan ta bort den för andra mål. Resultatet kommer därför att påverkas av vilken ordning som detekteringar associeras med målen. En sådan metod kallas för en ”Global Nearest Neighbour”-metod för att associera detekteringar till mål.
Ett exempel går att se i Figur 6.1 två mål, markerade med o, och ett an- tal detektioner i en mätning som gjorts, markerade med x, samt de olika målens tröskelvärden som representeras av stora cirklar. Skulle mål b få associera en de- tektering först till sig skulle x1 väljas för att den ligger närmast. Då skulle mål abli utan detekteringar. Skulle istället associeringen ske i omvänd ordning skulle a få x1 som detektering och b skulle associeras med x3. x2 och x4 ligger utanför tröskelvärdet och kommer inte att associeras till ett mål. Nya mål kommer istället att skapas som börjar vid dessa.
6.1.3
Initiering och terminering
För att algoritmen ska kunna bestämma när ett mål är aktivt samt när ett mål är förlorat krävs någon form av kriterium. Till exempel beskriver [11] olika former
ESPRIT
o
x
x
x
o
4 2 1x
3 b aFigur 6.1. Mål a och b har båda samma detektering som sina närmaste och därför kommer ordningen som detekteringarna detekteras till målen att påverka resulatet.
av poängbaserade metoder där initierade mål, när de uppnått en viss poängnivå, uppgår till att bli aktiva mål eller vid en undre gräns plockas bort. Skulle ett initierat mål aldrig uppfylla kraven för att bli aktivt kommer det endast tas bort och detekteringarna kommer inte att sparas. Skulle ett aktivt mål tas bort sparas målet och dess skattade bana.
I [14] beskrivs en algoritm, kallad M/N-logik, som endast hanterar när och hur många detekteringar inträffar i den initierade fasen. Metoden ger ett krav som säger att under N tidpunkter ska M av dessa innehålla detekteringar. Sedan kan flera kriterier kombineras i serie som till exempel 2/2&2/3-logik där först två detekteringar i rad krävs och sedan två av de nästkommande tre för att målet ska bli aktivt.
Samma metod kan användas för att bestämma när ett mål ska termineras. Istället för detekteringar så kräver algoritmen ett antal missade detekteringar en- ligt M/N-logiken för att målet ska anses vara borta.
6.1.4
Algoritm
När det är bestämt hur data associeras och kriterier för initering och terminering definierats går det att skapa en algoritm som automatiskt letar efter intressanta mönster i en eller flera signaler. Antag att en modell finns för det beteende som ska detekteras och att den är implementerad med, till exempel, ett kalmanfilter enligt avsnitt 6.1.1. Då kan strukturen för algoritmen beskrivas i följande steg:
1. Vid varje ny tidpunkt läs in nya mätningar.
2. Associera mätningar med aktiva mål och sedan initierade mål (till exempel gating och Global Nearest Neighbour-metoden) och uppdatera dessa. 3. Initiera nya mål utifrån de oanvända mätningarna för att se om nya mål
finns.
4. Uppdatera status för alla mål (till exempel M/N-logik) för att se vilka som är aktiva eller terminerade.