Bakgrundskunskaper

I vissa böcker har vi sett att man inte tar upp exponentialfunktioner alls förrän i ett eget kapitel som kommer efter derivatakapitlet. Vi anser dock att exponentialfunktioner och

logaritmer bör tas upp tidigare i kursen så att eleverna har kännedom om dem. Vi vill kunna ta upp talet e i derivatakapitlet då det är framtaget enbart för att man ska kunna derivera

exponentialfunktioner.

4.2.2 Hemuppgifter

Efter att ha läst det förslag Nilsson (1993) tar upp om att låta eleverna få hemuppgifter för att ge dem förkunskap kom vi fram till att vi anser att detta är en bra metod. Från terminens början ger man därför eleverna hemuppgifter som underbygger förståelsen för de moment som ingår i derivatbegreppet. Bland dessa hemuppgifter bör minst en ta upp lutningen på en rät linje.

4.2.3 Gränsvärden

Vi håller med Bo Silborn beträffande gränsvärden så vi tar upp gränsvärden i ett eget kapitel för att eleverna senare ska känna igen det och för att detta nya begrepp inte ska verka

skräckinjagande för att det är med i derivatakapitlet. De gränsvärden som tas upp i detta avsnitt bör vara generella och inte bara ha liknande utseende som derivatans definition, vi vill gärna ha med att ett tal går mot noll, mot oändligheten och även mot vilket heltal som helst.

4.2.4 Historik

Innan vi går in på begreppet derivata och hur man kommer fram till och använder det, tycker vi att en kortare introduktion av bakgrunden kan vara bra. Att få höra om konflikten mellan Leibniz och Newton och hur stort det var när det begav sig och även hur dessa män arbetade för att komma fram till derivata och varför. Detta anser vi kan vara ett kul avbrott från den rena matematiken. Vi har inte funnit någon litteratur som stödjer detta förutom de små Historik-rutor man kan finna i några av de läroböcker vi tagit upp. Vi har även inspirerats av flera lärare vi haft under vår tid på lärarutbildningen som har fört fram historiska personer och ögonblick som varit signifikanta för matematiken.

34

4.2.5 Lutningen på en kurva

Den räta linjen och dess lutning är något eleverna kan sedan innan, så det kan vara bra att starta derivatakapitlet med någon som de känner sig bekväma med. För att komma fram till hur man beräknar lutningen på en kurva kan vi applicera de kunskaper eleverna har när det gäller en rät linje, genom att rita upp sekanter på en kurva och låta dem gå mot en tangent. Vi beräknar alltså lutningen på sekanterna och tangenten. Här får vi då nytta av det vi gick igenom i kapitlet om gränsvärden. I detta avsnitt förklarar vi också skillnaden mellan medelvärde och momentanvärde för eleverna. Detta gör vi genom att använda oss av det exempel läraren Bodil tar upp, där man kan hålla en medelhastighet som är under högsta tillåtna men ändå bryta mot lagen. Vi tar här även upp begreppen förändringshastighet och förändringskvot.

4.2.6 Definition

Efter föregående avsnitt kommer man ganska enkelt in på derivatans definition.

4.2.7 Deriveringsregler

Här härleder vi de vanligaste deriveringsreglerna, det vill säga de för polynomfunktioner, för potensfunktioner samt för exponentialfunktioner. I detta avsnitt väljer vi att presentera talet e och hur och varför man tagit fram det. Vi vill också inkludera derivering av 1

x och x .

Anledningen till att vi väljer att ta med talet e och dessa två funktioner är att vi anser att det inte finns något bra argument till att vänta med dem.

4.2.8 Tillämpningar

Här tar vi upp exempel från andra ämnen, till exempel fysik eller kemi, där man har användning för det man lärt sig i detta kapitel.

4.2.9 Extremvärden

Här vill vi ta upp lokala och globala maximipunkter, minimipunkter och terasspunkter. Vi visar hur man gör en teckentabell och vad man har för användning av den. Vi anser att det är naturligt att ta upp andraderivatan i samband med att man studerar extremvärden så det har vi också med i detta avsnitt.

35

4.2.10 Generellt

Som alla i alla andra läroböcker vill vi också ha uppgifter i slutet av varje avsnitt som

avhandlar det som avsnittet handlat om. Vi vill också ha med flera uppgifter som är tänkta att lösas i grupp och gärna laborativa uppgifter. Detta grundar vi på Arfwedssons (1992) och Strandbergs (2006) tolkningar av och reflektioner över Vygotskijs teorier om hur människor bäst får förståelse. Allra sist vill vi också ha uppgifter som tar upp samtliga delar från detta kapitel men även använder sig av kunskap eleverna fått tidigare under sin utbildning.

36

5 Diskussion

I den litteratur vi har läst förespråkar flera av författarna goda förkunskaper hos eleverna. Löwing (2004) föreslår att läraren ska ge eleverna diagnostiska test eller intervjua eleverna för att ta reda på om varje elev har relevanta förkunskaper, detta om läraren tidigare inte haft tillfälle att förbereda eleverna. Då derivata är ett så pass viktigt moment och även komplicerat så anser vi att Löwings teori är väldigt relevant. Flera av böckerna, och även lärarna,

presenterar begreppet gränsvärde relativt grundligt trots att det inte står med i kursmålen just för att eleverna ska få god förståelse för något som kommer att vara dem behjälplig när man går igenom derivatans definition. Andra böcker nämner bara kort detta begrepp vilket vi tror kan förvirra eleverna då det är ett helt nytt begrepp.

När vi har frågat författarna om det är tänkt att eleverna ska kunna lära sig och få förståelse enbart genom att läsa läroboken så ha de flesta svarat att så är fallet. När vi sedan har frågat lärarna om de tror att eleverna faktiskt skulle kunna få förståelse och kunskap utan

handledning från någon lärare så svarade de flesta nej. Om Draper (1997) har rätt i sin artikel så är ju en trolig orsak att elever inte får eller behöver lära sig hur man läser en matematikbok. Är det så att lärare gör sina elever en björntjänst när de har alltför noggranna genomgångar? Enligt våra informella observationer ute på skolor så används böckerna på det vis Draper förklarar, nämligen mest till att finna räkneuppgifter. Boken ses inte som ett läromedel utan som ett övningshäfte. För att motverka den inställningen anser vi att det är ytterst viktigt att man utformar läroböcker på ett sätt som inbjuder till att läsa förklaringar och exempel och inte bara ser ut som ett räknehäfte. Vi föreslår, med inspiration av Draper, att man låter eleverna läsa igenom introduktionen av ett nytt avsnitt och sedan diskuterar texten och dess innebörd tillsammans för att uppnå förståelse genom flervägskommunikation snarare än rena

genomgångar. Dessa dikussioner ger det aktiva samspel som Vygotskij enligt Strandberg (2006) anser är så viktigt för elever för att få förståelse genom att vara grund för elevernas inre processer. Enligt Arfwedsson (1992) bidrar detta till både resonerande och inlärning hos eleverna. Brosnan & Ralley (2004) skriver om en bok som lägger mindre vikt vid rent repetitivt räknande och mer på tolkning. Vi tycker att detta kan vara bra och skulle hjälpa eleverna mycket men vi undrar om det är genomförbart när man idag redan har så lite tid att disponera.

Enligt den studie Ball & Feiman-Nemser (i Johnsen m.fl. 1997) gjort lär sig inte lärarstuderande hur man använder böcker eller hur man bedömer dem då man på lärarutbildningarna förespråkar att man frångår böckerna och koncentrerar sig på

37 ämnesdidaktisk teori. Undersökningen visar också att trots detta så anpassar sig de

nyutexaminerade lärarna sig snart till hur det är på deras arbetsplats, där läroböcker används i stor utsträckning. Vi tror då att eftersom man inte har lärt sig hur man använder böckerna på ett bra sätt så utnyttjar man inte bokens fulla potential. Då man dessutom har med sig

uppfattningen att det är fel att använda böcker så har lärare inte kompetensen att lära elever att använda böckerna på rätt sätt utan låter dem ha böckerna enbart som räknehäfte.

Ulin (2001) anser att de flesta läromedel tar lätt på begreppsbildningen. Han anser att derivata är ett så viktigt begrepp att man som lärare måste ha så pass god kompetens att man är

oberoende utav läromedlet. Detta tycker vi inte talar emot att använda läromedel, utan bara understryker vikten av matematisk kompetens hos lärarna i ämnet. Som Smedhamre påpekar så kan man inte i en lärobok skriva ut allt som rör ämnet. Istället måste läraren ha kompetens nog att komplettera den fakta som tas upp i boken och kunna förklara ytterligare för de elever som inte kan ta till sig det som står i boken helt och hållet.

Susanne Gennow vill att eleverna ska få lära sig om derivatan direkt i början av kapitlet för att det annars blir för segt. Detta står i direkt motsägelse mot det som Nilsson (1993) skriver om att vänta med nya beteckningar och i stället hålla sig till ändringskvoten så länge som möjligt. Vi anser att en mellanväg skulle fungera bäst. Bygg upp elevernas förkunskaper men dra inte ut på nya begrepp och beteckningar längre än nödvändigt. För att eleverna ska kunna förstå derivata och börja använda sig av den måste de kunna begreppen och känna till

beteckningarna. Vi ser helst att man i läroboken tar upp de vanligaste beteckningarna på derivata då vi inte vet vad eleverna kommer att använda sig av för litteratur i framtiden. Vi ser det som en viktig matematisk allmänbildning att känna till de vanligaste beteckningarna för derivata. Ser man dessutom till att blanda uppgifter som kräver beräkning av ändringskvot med uppgifter om derivata så får eleverna en bättre förståelse för skillnaden mellan de två.

Det vi kan se på de svar vi fått från författarna så är det tydligt att samtliga författare har valt att presentera begreppet derivata på ett sätt som ger eleverna förståelse för detta begrepp, som för eleverna är helt nytt. Det råder dock skilda meningar, både hos författare och hos lärare, vilket sätt som är det bästa när det gäller att introducera och vidare arbeta med derivata. För att uppnå målet att ge eleverna förståelse jobbar författarna länge med hur de ska lägga upp boken i helhet men också avsnittet derivata. Det är dock tydligt att det finns många sätt att se på derivata och dess introduktion. Väldigt få av lärarna är helt nöjda med den bok de

38 alternativ förklaring till vissa delar av avsnittet derivata. Enligt det vi har läst och de svar vi fått från lärare och författare måste vi dra slutsatsen att det inte går att skriva ett läromedel som tar upp begreppet derivata på ett helt optimalt sätt som passar alla lärare och elever. Vi anser dock att det är viktigt att man lär både elever och lärare hur man använder sig av läromedel på rätt sätt så att allt det arbete författarna lägger ner faktiskt kommer till nytta.

Hähkiöniemi (2004) talar i sin undersökning om den vanligaste perceptuella framställningen som är tangentens lutning och förändringshastighet. Han menar dock att man bör överväga andra framställningar. Vi tycker att det hade varit intressant att undersöka elevers förståelse efter att man på andra sätt infört begreppet derivata. Vi har inte haft tillfälle att använda det upplägg vi presenterat i Resultatanalys då man tar upp begreppet derivata tidigare under terminen. Våra förslag till vidare forskning är alltså att undersöka flera olika introduktioner, framförallt vårt eget, av derivata och därigenom förhoppningsvis se om något sätt ger mer förståelse än något annat.

39

6 Referenslista

Arfwedsson, Gerd (1992). Hur och när lär sig elever? En kritiskt kommenterad

sammanfattning av kognitiva teorier kring elevers inlärning. Stockholm: HLS förlag

Brolin, Hans & Björk, Lars-Erik (2000). Matematik 3000, kurs C och D, Naturvetenskap och

teknik. Stockholm: Natur och Kultur

Brosnan, Patricia A., Ralley, Thomas G. (1995). Impact of Calculus Reform in a Liberal Arts

Calculus Course. Paper presented at the Annual Meeting of the North American Chapter of

the International Group for the Psychology of Mathematics Education (17th, Columbus, OH, October 21-24, 1995).

Draper, Roni Jo (1997). Jigsaw: Because Reading Your Math Book Shouldn't Be a Puzzle.

Clearing House, v71 n1 p33-36

Gabrielsson, Gert, Löfstrand, Bengt, Danielsson, Ragnar (2005). Räkna med Vux, kurs C. Malmö: Gleerups Utbildning AB

Gennow, Susanne, Gustafsson, Ing-Marie & Silborn, Bo (2004). Exponent, C röd, matematik

för gymnasieskolan. Malmö: Gleerups Utbildning AB

Holmström, Martin & Smedhamre, Eva (2001). Matematik från A till E, Gymnasiets

matematik kurs C. Stockholm: Liber AB

Hähkiöniemi, Markus (red.) (2004). Perceptual and Symbolic Representations as a Starting

Point of the Acquisition of the Derivative. International Group for the Psychology of

Mathematics Education, 28th, Bergen, Norway, July 14-18, 2004. 8 pp

Johansson, Bo, Svedner, Per Olov (2006). Examensarbetet i Lärarutbildningen –

40 Johnsen, Egil Børre, Lorentzen, Svein, Selander, Staffan, Skyum-Nielsen, Peder (1997).

Kunskapens texter. Oslo: Universitetsforlaget AS

Löwing, Madeleine (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning, En studie av

kommunikationen lärare – elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Göteborg : Acta

Universitatis Gothoburgensis

Nilsson, Margita (1993). Matematikundervisning i gymnasieskolan 2. Malmö: Lärarhögskolan

Patel, Runa, Davidson, Bo (2003). Forskningsmetodikens grunder – Att planera, genomföra

och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur

Polya,George (2004) How to solve it. New Jersey: Princeton U.P.

Strandberg, Leif (2006). Vygotskij I praktiken – Bland plugghästar och fusklappar. Stockholm: Norstedts Akademiska Förlag

Wallin, Hans, Lithner, Johan, Wiklund, Staffan & Jacobsson, Sven (2001). Liber Pyramid

NT/c+d. Stockholm: Liber AB

Ulin, Bengt (2001). Mer matematik i skolmatematiken!. I Barbro Grevholm (red.),

41

Bilaga 1 - Intervjufrågor

Frågor till lärare

Bakgrund:

Vilket program undervisar du på? Hur länge har du undervisat?

Boken:

Följer du bokens upplägg på avsnittet derivata?

Vad tycker du om bokens sätt att introducera derivata? Varför valdes den boken ni använder?

Vad tycker du om boken överlag?

Hur gör du själv?

Hur gör du när du introducerar begreppet derivata? Tror du att eleverna har fått förståelse för derivata?

Frågor till författare

Bakgrund och skapandeprocessen: Varför bestämde ni er för att skriva bok? Hur har ni gjort när ni har arbetat med boken? Vad har ni tagit intryck och fått inspiration ifrån? Har ni testat materialet i målgruppen?

Har det varit bra att jobba som lärare samtidigt som ni skrev bok? Har du undervisat själv? I så fall, i vilka ämnen och på vilken nivå? Har du då använt ditt egna läromedel?

Upplägget:

Varför har ni valt det upplägg på derivatakapitlet som ni har valt? Vilka didaktiska tankar ligger bakom ert upplägg?

42 Är det tänkt att eleverna skulle kunna lärarna sig och få förståelse för begreppet derivata bara genom att använda boken?