Det lutar åt derivatan

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

Det lutar åt derivatan

The derivative – a slippery slope

Daniel de Caprétz

Annelie Eriksson

Lärarexamen 270 högskolepoäng Matematik och lärande

Höstterminen 2007

Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Helena Mühr

Sammanfattning

I denna undersökning tar vi reda på hur det går att förbättra läroböckernas presentation av begreppet derivata i matematik kurs C. Författare till fem olika matematikböcker intervjuades för att ta reda på varför författarna valt det upplägg de har. Böckerna som avhandlas är: Matematik 3000, Matematik från A till E, Liber Pyramid, Räkna med Vux och Exponent. Även nio lärare som använder någon av dessa böcker har intervjuats för att få veta vad lärarna tycker om upplägget. Resultatet visade att det inte finns något optimalt sätt att presentera derivatan som passar alla lärare. Det finns dock förbättringar att göra i samtliga böcker. Den enda åsikt som var gemensamt för de flesta lärarna var att eleverna behöver ha lärarstöd för att få förståelse för begreppet derivata. Med utgång från de svar vi fått från lärare och

författare har vi lagt fram ett eget förslag för hur kapitlet derivata kan läggas upp i en lärobok vilket presenteras.

Nyckelord: derivata, didaktik, läroböcker, läromedel, matematik, matematik kurs C, undervisning.

5

Innehållsförteckning

2.1.1 Forskning om hur läromedel används ... 8

2.1.2 Forskningslitteratur om derivata ... 9 2.2 Matematikböckerna ... 11 2.2.1 Matematik 3000: ... 11 2.2.2 Matematik från A-E ... 13 2.2.3 Pyramid: ... 15 2.2.4 Exponent... 16

2.2.5 Räkna med Vux ... 18

3 Metod ... 21

3.1 Urval... 21

3.2 Datainsamlingsmetod ... 21

3.3 Databearbetningsmetoder... 22

3.4 Procedur ... 22

3.5 Validitet och reliabilitet... 22

3.6 Metodkritik... 23

4 Resultat... 24

4.1 Intervjuer ... 24

4.1.1 Presentation av lärarna ... 24

4.1.2 Matematik 3000... 26

4.1.3 Matematik A till E... 27

4.1.4 Liber Pyramid... 28

4.1.5 Exponent... 30

4.1.6 Räkna med Vux ... 31

4.2 Resultatanalys... 32

6 4.2.2 Hemuppgifter ... 33 4.2.3 Gränsvärden ... 33 4.2.4 Historik... 33 4.2.5 Lutningen på en kurva... 34 4.2.6 Definition ... 34 4.2.7 Deriveringsregler... 34 4.2.8 Tillämpningar ... 34 4.2.9 Extremvärden ... 34 4.2.10 Generellt ... 35 5 Diskussion ... 36 6 Referenslista ... 39 Bilaga 1 - Intervjufrågor... 41

Frågor till lärare... 41

Bakgrund ... 41

Boken ... 41

Hur gör du själv? ... 41

Frågor till författare ... 41

Bakgrund och skapandeprocessen... 41

7

1 Inledning

Under vår verksamhetsförlagda tid (VFT) och under vår egen skoltid har vi upplevt att introduktionen av begreppet derivata har uppfattats väldigt komplicerat av både elever och lärare. Vår uppfattning är att böckerna drar ut på processen att komma fram till derivatans definition alldeles för länge. Man närmar sig ständigt definitionen men sen väntar man och närmar sig från en annan vinkel. Varför väljer man att förklara begreppen på ett så

komplicerat sätt? Kan det vara bättre och mindre frustrerande att direkt berätta vad derivatan är för att sedan arbeta med de andra delarna som genomsnittlig hastighet och kurvans lutning? Undersökningen utgår ifrån fem olika läroböcker som används på olika gymnasium i västra Skåne. Den ämnar ta reda på vad lärare har för åsikt om hur begreppet derivata tas upp i litteraturen och varför författarna har valt att presentera derivata på det vis de gjort. En författare per bok har intervjuats och nio lärare som använder någon av de fem böckerna.

1.1 Syfte

Syftet med detta arbete är att undersöka vad författarna har för grunder för hur man

framställer begreppet derivata, lärarnas syn på denna framställning och i vilken utsträckning de följer de olika böckernas upplägg. Arbetet syftar också till att undersöka hur man kan förbättra läroböckernas presentation av detta begrepp i matematik kurs C.

1.2 Frågeställning

1. Varför har författarna valt att presentera begreppet derivata enligt respektive läromedel?

8

2 Litteraturgenomgång

2.1 Forskningslitteratur

Gerd Arfwedsson (1992) skriver om olika kunskapsbaser, bland annat ”know that”, ”know why” och ”know how”. Hon menar att ett samspel mellan dessa är viktigt för att en elev ska få full förståelse och, som hon uttrycker det, få expertkunskap. Hon skriver också att den stora skillnaden mellan noviser och experter är hur deras kunskap är organiserad. Om man kommer ihåg varje regel som del av en helhet blir den mer varaktig och tillgänglig.

I Leif Strandbergs (2006) ”Vygotskij i praktiken – Bland plugghästar och fusklappar” kan man läsa om Vygotskijs teorier om lärande. Vygotskij menade att för att kunna få igång inre processer för lärande behöver vi först yttre aktiviteter tillsammans med andra, gärna med stöd av olika hjälpmedel.

Arfwedssons (1992) tolkning av Vygotskijs teorier är att elever behöver bli talade till för att deras inre lärande processer ska komma igång. Dessutom anser hon att när lärare talar med och undervisar elever så lägger läraren inte bara en grund för den elevens inre processer just vid det tillfället utan även för kommande tankeprocesser.

2.1.1 Forskning om hur läromedel används

Ulin, B (in Grevholm, 2001) citerar den kända matematikern och pedagogen Georg Pólya, ”låt oss lära oss att gissa”, och menar att vi sedan barnsben fascineras av att lösa gåtor och problem, och att det då i matematiken finns utmärkta tillfällen att låta eleverna själva gissa och söka lösningar på ställda problem. Genom att låta eleverna med hjälp av fantasin gissa sig till möjliga lösningar så är det heller ingen som behöver känna misslyckande om deras idé inte skulle vara lyckad. Han lyfter vikten av uppgifter på basnivå, som inte kräver större

förkunskaper men även repetitionen som Ulin menar är vetandets moder. När eleverna lärt sig en matematisk sats så kräver det i många fall mycket repetition och övning innan de är

kompetenta nog att utnyttja den. Elevernas erfarenhet är i högsta grad betydelsefull för begreppsbildningen. Ulin menar dock att det länge varit en praxis i läromedlen att ta lätt på begreppsbildningen och att läromedel sedan länge vittnar om just detta. Det vanligaste sättet att presentera derivata är genom tangentens riktningskoefficient. Ulin menar också att derivata är ett så viktigt redskap att det måste presenteras med omsorg, generellt och utförligt och att läraren måste ha en kompetens som gör honom oberoende av läromedlen. Johnsen m.fl.

9 (1997) påstår att flertalet lärare använder sig av läroböcker under en större del av sin

undervisning och att de noggrant använder sig av böckernas upplägg, vilket enligt Löwing (2004) gör att eleverna koncentrerar sig på kvantitet istället för kvalitet. Hon påpekar också att många läroböcker utgår ifrån frågan ”Hur gör man?” istället för ”Vad innebär det?”. Enligt Johnsen m.fl. (1997) har nya tankegångar i läroplaner inte inneburit att lärarna har frigjort sig från läroböckerna, utan tvärtom. De anser att tyngdpunkten för tolkning av planerna har förflyttats från förlagen till lärare och elever. De menar också att bedömning av och hur man använder läroböcker borde ingå i lärarutbildningen. En studie gjord av Ball & Feiman-Nemser (i Johnsen m.fl. 1997) med sex lärarstuderande visar att lärarstudenterna hade lärt sig och ansåg att man skulle undvika läroböcker och istället utgå ifrån ämnesdidaktisk teori. När de väl kom ut i arbetslivet så anpassade de sig dock snabbt till att använda läroböcker. Draper (1997) menar att många författare läger ner mycket tid och möda på att göra djupgående förklaringar och exempel. Trots detta så hoppar många elever över att läsa dessa förklaringar och exempel och använder endast boken till att hitta läxuppgifter. Enligt Draper så undviker eleverna att läsa texten av två orsaker. Först, för att texten ofta är väldigt teknisk; man kan inte skumma texten utan vart ord är viktigt för förståelse av texten. Den andra orsaken är att eleverna inte har någon vana att läsa därför att ingen har krävt att de ska lära sig något från matematikböckerna, så de har alltså ingen vana att läsa ett så tekniskt material. Han menar att genom att låta eleverna läsa mer i matematikböckerna så kan man uppnå att de också kan kommunicera matematik.

2.1.2 Forskningslitteratur om derivata

Enligt Nilsson (1993) så är det vanligaste sättet att presentera derivata att se till

medelhastigheter under en allt kortare tidsperiod och sedan ställa frågan vad man menar med hastigheten i ett givet ögonblick. Ordet tangent behöver en förklaring men sen ska det gå ganska lätt att förstå att hastigheten i ett givet ögonblick ges av tangentens

riktningskoefficient. En annan begriplig fråga skulle vara hur snabbt vatten svalnar och Nilsson lyfter också vikten av bilder i inlärningssammanhang som ett stöd åt minnet. Hon menar också att det är bra att ta god tid på sig vid introduktion av begreppet och att en del vill börja med beräkning av differenskvoter i olika sammanhang. Beteckningar som dy, df

dx dx eller

´( )

f x bör man vänta med medan man ganska fort kan införa bekanta beteckningar som

eller y

x

x

Δ Δ

10 tid då ”vad eleven gjort själv stöder också både begreppsbildning och minne” (Nilsson, 1993: s.114). Nilsson tar också upp vikten av elevernas förkunskaper och värdesätter då förståelse för linjens riktningskoefficient och för algebraiska förenklingar. Det är viktigt att eleverna får känslan av att känna igen, att de kan och har förståelse för de uttryck som dyker upp i

samband med derivata. Hon ger exempel på uppgifter som man kan låta eleverna arbeta med redan i de första kurserna. Alla elever bör få olika punkter och de sista uppgifterna kan ges till elever som behöver lite större utmaningar. Nedan visas några exempel på sådana

hemmuppgifter.

• Bestäm riktningen för den linje, som går genom punkterna (1, 1) och (2, 4) på kurvan 2

y=x . Rita och förklara hur du har gjort.

• Vilken riktning får linjen om den istället går genom (1, 1) och (1.5, 2.25)? • Beräkna 3 3 (2 h) 2 k h + − = för h = 0.5, 0.1 och 0.01 • Förenkla 4 4 (1 h) 1 k h + −

= (Tips: Pascals triangel, Derive)

• En linje går genom punkterna (1, 4) och (2, 2) på kurvan y=4 /x. Vilken riktning har linjen? Rita och förklara hur du har gjort.

• Vilken riktning får linjen i föregående uppgift, om den går genom (1, 4) och genom en annan punkt, vars x-koordinat är 1 h+ ? Rita kurvan y=4 /x, låt h→0, och försök förklara vad du har gjort. (Nilsson, 1993 s. 119)

Vid härledning av derivator kan man enligt Nilsson göra klart för eleverna att de nu ska lära sig att derivera alla funktioner de känner till. Vid härledning kan man hänvisa till de

hemuppgifter eleverna gjort. Även Löwing (2004) stöder denna teori och menar att lärarens medvetenhet om elevernas förkunskaper är ett av de viktigaste instrumenten och att läraren inför ett nytt undervisningsmoment bör kartlägga dessa förkunskaper. Har läraren tidigare inte haft möjlighet att förbereda eleverna inför kommande moment så föreslår Löwing

diagnostiska test eller systematiska elevintervjuer.

Efter en undersökning gjord med fem 17-åriga finska elever upptäckte Hähkiöniemi (2004) att

perceptuell framställning fungerade speciellt bra som grund för eleverna att förstå relationen

mellan en funktion och dess derivata. Under undersökningen undervisade Hähkiöniemi själv eleverna och introducerade begreppet derivata genom förändringshastigheten för en funktion och en penna fick representera tangenten. På så vis undersökte de hur brant grafen var och de lokala extrempunkterna. Den genomsnittliga förändringshastigheten beräknades genom differenskvoten och sekantens lutning. Sedan ställdes frågan ”Hur bestämmer man den

11 ögonblickliga förändringshastigheten i en viss punkt?” (s.2). Till slut definierades derivatan som gränsvärdet av differenskvoten. Enligt Hähkiöniemi är ofta den vanligaste perceptuella framställningen tangentens lutning och förändringshastighet men menar att man också bör överväga andra framställningar. Genom kurvans lutning kan man undersöka derivatan som ett objekt och genom de lokala extrempunkterna undersöka differenskvotens gränsvärde.

Brosnan & Ralley (2004) har i sin undersökning tagit med en lärobok som är skriven på ett ovanligt sätt. Ur dess förord kan man skapa sig en bild om bokens upplägg. I boken har man lagt mindre vikt vid ”tragglande” av formler och mycket mer vikt lagd vid tolkning av dessa, eleverna ska ofta förklara sina idéer i ord eller grafer. Få exempel används som liknar de som sedan ska räknas hemma, vilket ska motverka att eleverna letar upp exempel och sedan löser uppgiften precis som i exemplet. Många problem i boken är öppna så att det finns mer än ett korrekt svar eller lösning. Boken kräver också att man kan använda sig av tekniska

hjälpmedel så som grafritande räknare och betonar vikten av dessa för bättre förståelse men påpekar samtidigt att man ofta inte behöver räknaren för att lösa uppgifterna. Boken använder tre sätt för att beskriva funktioner och lägger lika mycket vikt vid var och en. Grafisk lösning, numerisk lösning och algebraisk lösning och betonar att det är viktigt att vara flexibel i sin ansats, om en inte fungerar prövar man en annan. Med hjälp av denna bok och en föreläsare som var villig att förändra sin undervisning fick svaga elever helt nya förutsättningar och bättre förståelse för matematik och begreppet derivata än elever som tidigare gått samma kurs.

2.2 Matematikböckerna

Då det för vissa av böckerna finns en upplaga för NV/TE och en annan för SP har vi valt att studera den upplaga som vänder sig mot NV/TE.

De böcker som har olika upplagor är: Matematik 3000, Liber Pyramid och Exponent.

2.2.1 Matematik 3000:

Matematik 3000 har delat upp avsnittet derivata i två kapitel: Förändringshastigheter och

derivator och Kurvor och derivator. I det första kapitlet böjar man med att behandla

genomsnittliga förändringshastigheter med exempel och generaliseringar. Man kommer här fram till begreppet ändringskvot och y

x

Δ Δ .

Därefter tar man upp kurvors lutning med grafiska illustrationer där man ritat ut en sekant och låter den gå mot tangenten i en punkt. Sekantens riktningskoefficient fås fram genom att

12 ( ) ( ) ( ) ( ) y f a h f a x a h a y f a h f a k x h Δ = + − Δ = + − Δ + − = = Δ Här står också:

”Med kurvans lutning i punkten P menar vi lutningen för kurvans tangent i P. Kurvans lutning i en punkt kallar vi derivatan i punkten” (s. 63).

Gränsvärden är nästa område som avhandlas genom förenkling av bråk där ett exempel resulterar i 4 h+ vilket sedan närmar sig 4 då h närmar sig noll; 4+ →h 4 då h→0. Här introduceras begreppet limes och att man hur man betecknar detta.

Derivatans definition lyfts fram i nästa avsnitt och man förklarar att derivatan av funktionen ( )

y= f x i punkten x=akan tecknas

0 ( ) ( ) '( ) lim h f a h f a f a h → + − = .

Läsaren får sedan lära sig hur man deriverar grafiskt om man inte har tillgång till funktionen och hur man kan använda en grafritande räknare för att få ett numeriskt värde på derivatan i en viss punkt, men även hur man får fram ett numeriskt värde om man bara har tillgång till en tabell med värden.

Genom att beräkna derivatan av f x( )=x f x, ( )=x2, f x( )=x3, och f x( )= och se ett x4

mönster härleds deriveringsregler för polynomfunktioner. Man fortsätter att härleda

deriveringsregler för potensfunktioner och kommer sedan in på hur och varför man tar fram talet e och hur man deriverar ( )f x =ex och ( )f x =ekx. Sedan tar man upp deriveringsregeln för ( )f x =ax. Efter detta kommer några sidor med blandade övningar på derivata.

I andra derivatakapitlet får läsaren veta att vi med hjälp av derivata kan få reda på om en funktion är en polynomfunktion, dvs. om funktionen är kontinuerlig. Här introduceras även andraderivatan ''f . Efter detta tar man upp att ”1. Om f x'( )> för 0 a< <x b, så växer f för

a< <x b och 2. Om f x'( )< för 0 a< <x b, så avtar f för a< <x b” (s. 96).

Man kommer sen in på hur man använder derivatan för att konstruera grafer och introducerar användandet av teckentabell samt maximi-, minimi- och terasspunkter. Man använder även

13 begreppet extremvärde men förklarar det inte ytterligare. Hur man kan skissa en graf med hjälp av derivatan och absolutbelopp förklaras i nästa avsnitt. Därefter går man igenom begreppen lokala och globala extremvärden.

Sedan kommer ett stort avsnitt med tillämpningar av derivatan, för både polynomfunktioner, potensfunktioner och exponentialfunktioner. Detta avsnitt innehåller många uppgifter, alla är så kallade textuppgifter. Avslutningsvis har man ett kort avsnitt som enbart är tänkt att göras med hjälp av en grafritande räknare.

Samtliga kapitel i Matematik 3000 avslutas med Hemuppgifter, Problemlösning och Arbeta utan räknare. Efter en introduktion med förklaringar och exempel på ett avsnitt finns ett antal uppgifter som eleverna kan räkna. Dessa uppgifter är nivågrupperade; A-uppgifter är lättast, B-uppgifter är något svårare och C-uppgifter är för de elever som behöver extra utmaning. Längst bak i boken finns det facit till samtliga uppgifter, flera gånger med förklaring hur man löser uppgiften. Insprängt lite här och var i boken finns Historikrutor där man berättar om någon matematiker eller annan känd historisk person som har haft stor inverkan på just det matematikområde som tas upp.

2.2.2 Matematik från A-E

Boken börjar med att introducera genomsnittliga förändringar och berättar att en

genomsnittlig förändring som t ex ökning/år kallas ändringskvot. Sedan följer två exempel på en sådan ändringskvot. Efter de båda exemplen följer en ruta som inför uttrycket y

x

Δ Δ och berättar att detta utryck är en genomsnittlig förändring och kallas för ändringskvot. Man har även med en kort beskrivning av marginalskatt och en ny ruta:

Då löneökningen är liten gäller att marginalskatt

skatteökning i kronor löneökning i kronor

=

Nästa avsnitt kallas En kurvas lutning och avsnittet inleds med att berätta eller påminna om att en linjes lutning bestäms av linjens k-värde. Med hjälp av en graf resonerar man sen om lutningen i olika punkter på en kurva. I grafen ser man tydligt att lutningen är större i punkt B än i punkt A och att punkt C har en negativ lutning. Sedan ställer man frågan hur stor är lutningen i punkterna. Vidare så studerar man grafiskt en temperaturkurva och beräknar den genomsnittliga temperaturökningen mellan en punkt A och en punkt B och noterar att den beräknade ändringskvoten betyder kurvans medellutning i intervallet. Man minskar sedan

14 tidsintervallet Δxoch låter punkten B närma sig punkten A och i detta intervall får man en något mindre medellutning. Sedan låter man B vara en rörlig och allmän punkt som närmar sig punkt A allt mer och mer. Punkten B benämns därför med koordinaterna ( , ( ))x f x och

lutningen mellan punkterna som ( ) (2) 2 f x f k x − =

− . När B närmar sig A så innebär det att x närmar sig 2 och detta skrivs x→2. Man säger att linjen genom punkterna A och B närmar sig ett gränsvärde då linjen tangerar kurvan i punkten A och att denna linje är en tangent till kurvan. Man berättar kort om limes och att uttrycket

2 ( ) (2) lim 2 x f x f k x → − = − är ett gränsvärde som också kallas derivata. Man visar även att detta kan skrivas som f´(2)och utläses ”f prim två”. Eftersom man ännu inte kan beräkna f´(2)så avläser man derivatans värde i grafer. I följande avsnitt så beräknar man gränsvärden och man visar grafiskt hur punkten B går mot punkten A på kurvan y=x2. När A och B går ihop så får man

2

2 4 0

2 2 0

k= − =

− med slutsatsen att uttrycket inte är definierat. Man provar sen med små värden nära punkten A. Man ser då att linjens k-värde närmar sig gränsvärdet 4 då x→2. Vidare så gör man en algebraisk beräkning. Under rubriken deriveringsregler låter man båda punkterna A och B vara allmänna punkter på kurvan y= f x( ). Linjen genom punkterna, allt illustrerade i en graf, skrivs då som

( ) ( ) ( ) ( ) f x h f x f x h f x k x h x h + − + − = =

+ − . När A→Bså blir sträckanhmindre och man säger

att h→0. Tangenten i punkten A har k-värdet

0 ( ) ( ) lim ´( ) h f x h f x k f x h → + − = = och uttrycket

kallas derivatans h-definition. Sedan härleds deriveringsregler för 2 3

, , , 1

x x x och 2

5

x + x. Under rubriken Tolka derivatan 1 ska man tolka olika påståenden, från symboler till ord och tvärtom. Under rubriken Tillämpningar på derivata beräknar och tolkar man olika funktioner som t ex föremåls hastigheter eller gränskostnader. Avsnittet Tangenten till en kurva

behandlar tangentens ekvation där man med hjälp av derivatan kan bestämma k-värdet.

Växande och avtagande inleds med en kurva som visar ett företags vinst under en

tioårsperiod, där man introducerar begrepp som strängt växande och avtagande funktioner men även växande och avtagande kurvor i intervall. Med hjälp av teckenstudie löser man sen problem relaterade till växande och avtagande och ritar grafer i anslutning till detta finns också ett avsnitt med uppgifter anpassade för att lösa med hjälp av grafritande hjälpmedel. Under rubriken Största och minsta värde tar man upp maximi- och minimipunkter samt bestämning av största och minsta värde av olika funktioner. Ett kort avsnitt visar hur man kan

15 lösa ut konstanter med hjälp av derivata. Under rubriken Derivatans graf tolkas och ritas derivatan utifrån olika grafer. I följande avsnitt introducerar man andraderivatan som ett hjälpmedel till att finna maximi- och minimipunkter och under rubriken Maximi- och

minimiproblem löser man sen uppgifter där man kan använda sig av andraderivatan. Vidare

under rubriken Tolka derivatan 2 ska man med hjälp av att känna till olika värden på en funktion dess derivata och andraderivata skissa grafer och tolka vad olika symboler betyder. Efter kapitlet finns en sammanfattning, blandade uppgifter och ett test. I fördjupningsavsnittet längst bak i boken finner man förklaringar exempel och uppgifter till derivatan av

2

1 1

( ) , ( )

f x f x

x x

= = och ( )f x = x som följs av ekonomiska och geometriska

tillämpningar, fler maximi- och minimiproblem och svårare uppgifter till derivatakapitlet.

2.2.3 Pyramid:

I boken Pyramid börjar man skriva lite om hastigheten när man kör bil och att det

hastighetsmätaren visar är derivatan av vägen med avseende på tiden. För att sedan förklara Ändringskvot tar man upp tre typiska exempel nämligen Medelhastighet, Temperaturändring och Marginalskatt. Här intresserar man sig i slutet för ändringskvoter i små intervall för att sedan komma in på begreppet derivata och dess definition. Derivatans geometriska tolkning visas genom att man ritar en graf och illustrerar hur det ser ut när man låter sekanten gå mot tangenten i en punkt. Man poängterar att ”Sekantens lutning ges av ändringskvoten och tangentens lutning ges av derivatans värde” (s. 92).

När man sen går in på deriveringsregler härleder man att om f x( )=x2 så är f x'( )=2x och om f x( )=x3 så är f x'( )=3x2 och godtar sedan utan bevis att om ( )f x =xn där n är ett positivt heltal så är f x'( )= ⋅n xn−1 och för ( )f x = konstant så är '( ) 0f x = .

Man berättar sedan att derivatan av en summa ( )f x +g x( )är '( )f x +g x'( )och att om

( ) n

f x = ⋅ så är a x f x'( )= ⋅a nxn−1.

Efter detta tar man upp att det finns andra sätt att beteckna derivatan och visar några av dessa sätt, nämligen: dy, df och ( )Df x

dx dx och man berättar att man i andra sammanhang har andra

bokstäver istället för f och x, till exempel om man ska beteckna volymen som funktion av radien så kan man skriva ( ), '( )V r V r .

16 Hur man beräknar tangentens och normalens ekvation för en kurva i en viss punkt visas sen med ett exempel var.

Nästa underkapitel heter Derivator i verkligheten och i det visar man exempel på hur man kan göra en enkel matematisk modell av verkligheten med hjälp av derivata.

I nästa avsnitt avhandlas växande och avtagande kurvor. ”Då f x'( )> i ett intervall är 0 funktionen f strängt växande i intervallet. Då f x'( )< i ett intervall är funktionen f strängt 0 avtagande i intervallet” (s. 114). Detta poängteras men man tar inte upp

'( ) 0 eller '( ) 0

f x ≥ f x ≤ utan skriver sedan felaktigt avtagande och växande i efterföljande

uppgifter även om man egentligen menar strängt avtagande och strängt växande. Nästa område som presenteras är Maximum och minimum. Man förklarar lokala

maximivärden och minimivärden och maximi- och minimipunkter. Även terasspunkt och terassvärde tas upp. Globala extrempunkter förklaras också, man tar dock aldrig upp samlingbegreppet extrempunkt.

Efter introduktion och exempel i varje delavsnitt kommer några uppgifter som övning på det nya man fått lära sig. I slutet av varje huvudkapitel finns Konsten att lösa problem, en grupp kluriga problem, Sammanfattning, sammanfattning av begrepp och formler och till sist ett avsnitt med Blandade uppgifter.

2.2.4 Exponent

Kapitlet börjar med en inledning om vad derivatan används till och om personerna som utvecklade begreppet. Att det används framförallt inom fysiken och ekonomisk teori men även i sannolikhetslära och statistik. I första avsnittet undersöker man hur man kan beskriva förändringar hos funktioner och börjar med att undersöka linjära funktioner och hänvisar till kapitlet innan där man arbetat med just linjära funktioner. I avsnittet undersöks den linjära funktionen y=2x− med riktningskoefficienten 3 k =2. Det skrivs att då lutningen är 2 för alla x-värden så är funktionens derivata lika med 2 och betecknas ´ 2y= där ´y läses ”y

prim”. En ruta berättar sedan att en linjär funktion y=kx+ har derivatan ´m y= , och att k

derivatan är lika med riktningskoefficienten. Sedan undersöker man funktionen y= och 3 bestämmer att riktningskoefficienten och därmed förändringshastigheten är noll för alla x-värden, vilket ger att derivatan är ´ 0y= . En ruta följer där man skriver att en konstant

funktion y= har derivatan ´ 0C y= . Beteckningarna ( )f x och ´( )f x införs. Man undersöker

17 därmed också varierar. Här tar man även upp begrepp som ändringskvot, medellutning och sekant. Ett exempel på en fallande sten används, med en fallsträcka s meter som en funktion av tiden t sekunder, s t( )=5t2, både tabell och graf används. En ruta sammanfattar det viktiga från avsnittet med ändringskvoten 2 1

2 1 y y y x x x − Δ ₌

Δ − och att detta är medellutningen för kurvan mellan punkterna ( ,x y_{1 1}) och ( ,x y_{2 2}) i rutan finns även en liten graf som illustrerar det skrivna. Under rubriken Förändringshastighet och derivata så fortsätter man med exemplet den fallande stenen och tar nu två punkter på grafen, punkt A och B, och låter punkt B närma sig punkt A för att tillslut låta de båda punkterna sammanfalla i punkt A. Man gör en grafisk lösning genom att hitta en punkt till på tangenten. Vid införandet av deriveringsregler och derivatans definition så använder man sig åter av funktionen y=5t2, den fallande stenen. Argumentationen är att man också behöver en algebraisk lösning av derivatan. Man utgår från en känd fast punkt A =(2, (2))s och en rörlig punkt B =(2+h s, (2+h)) på kurvan. En linje dras mellan punkterna och lutningen bestäms av ändringskvoten s

t

Δ

Δ . Sedan låter man B närma sig A och fastslår att tangentens lutning är gränsvärdet av ändringskvoten och att detta skrivs 0 lim h s t → Δ

Δ som läses ”limes för delta s genom delta t när h går mot 0” (s. 69). Sen gör man ett liknande resonemang för en funktion ( )f x med två godtyckliga punkter A och B och inför derivatans definition. Med hjälp av derivatans definition motivera man sen deriveringsregler för potensfunktioner, då även f x( ) 1 och ( )g x x

x

= = , och polynomfunktioner. Vidare tar

man upp lite om olika beteckningar för derivata med förklaringar till om hur de läses och används. Sedan kommer ett avsnitt om numerisk derivering där man presenterar och förklarar den symetriska ändringskvoten med hjälp av graf och text. På slutet av kapitel 2 finns en sida avsedd för att eleven ska reflektera över vissa påstående som ska besvaras med ord eller beräkningar. Sedan följer tre test, Blandade övningar och Utmaningar. Kapitel 3 inleds med en förklaring till varför man vill undersöka en funktions största och minsta värde, dess eventuella extrempunkter och var den växer eller avtar. Sen tar man kort upp vad som från förra kapitlet anknyter till det som nu ska behandlas. Sen bestämmer man lutningen på två punkter på funktionen 2

( )

f x =x som illustreras i ett koordinatsystem. Under rubriken

Tangentens ekvation finns två exempel med förklaringar på hur man löser tangentens ekvation med hjälp av derivatan, enpunktsformen och räta linjens ekvation. Nästa avsnitt heter

18

Extrempunkter och börjar med en förklaring till extrempunkter och att derivatan är till hjälp för att finna dessa. Man tittar sen på en graf med en växande och en avtagande funktion och fastslår att deras derivator är större eller lika med respektive mindre eller lika med noll. I ytterligare en graf visar man tre extrempunkter och förklarar att i dessa punkter är derivatan lika med noll. Med hjälp av teckenschema undersöker man sen olika funktioners egenskaper. Med hjälp av grafritande räknare illustreras hur funktionen y=x2−4x och dess derivata

´ 2 4

y= x− förhåller sig till varandra. Sen görs grafiska tolkningar av funktioner och deras

derivator. I nästa avsnitt så behandlas största och minsta värde där man grafiskt eller med hjälp av teckenstudie löser funktioners största och minsta värden. Detta tillämpas sen i uppgifter. Kapitlet avslutas med en reflektion där svaren ska motiveras med ord eller beräkningar, tre test, en Sammanfattning, Blandade övningar och slutligen Utmaningar.

2.2.5 Räkna med Vux

Genom en koppling till det som studerats i kapitlet innan så introduceras begreppet derivata som förändringshastigheten. Ett genetiskt forskningsexempel används och man gör en grafisk lösning av bananflugornas tillväxthastighet. Ändringskvoten över ett intervall beräknas genom sekantens lutning, för att sen låta sekanten gå mot tangenten. Derivatan beräknas till 9,4 flugor/dygn vid tidpunkten 20 dygn. Och betäckningen ´(20)N ≈9, 4 flugor/dygn införs. Nästa steg är numerisk derivering och det förklaras att ”Om funktionssambandet är känt kan man beräkna ett ungefärligt värde på derivatan i en punkt.” (s.136) som exempel används funktionen y=x2 och derivatan ska beräknas i punkten (2; 4). Ändringskvoten för några små värden på h beräknas och man kan se att när h blir mindre så tycks ändringskvoten gå mot värdet 4. Derivatan av y=x2 är ungefär lika med 4 då x=2 och detta skrivs y´(2)≈ . 4 Samma resonemang använder man sen i ett exempel till men då för funktionen y= . I nästa x3

avsnitt bestämmer man sen derivatan analytiskt och förklarar att man grafiskt och numeriskt bara får ett ungefärligt värde för derivatan men att man kan utnyttja algebra för att bestämma ett exakt värde. Funktionen y=x2 och punkten P= (2; 4) används igen och man förflyttar sig h enheter åt höger till punkten 2

(2 ; (2 ) )

Q= +h +h . En sekant ritas mellan punkterna och dess riktningskoefficient beräknas till 4 h+ . Man undrar sedan vad som händer när avståndet h blir mindre alltså när punkten Q kommer allt närmre punkten P. Svaret är att man får

19 omöjligt att sätta h lika med 0 och att man istället säger att h går mot 0 och att 4 h+ då går mot 4. 4+ →h 4 då h→0. Vidare förklarar man att när h går mot 0 så övergår sekanten i tangenten i punkten (2; 4) och att tangentens riktningskoefficient blir exakt 4. ´(2)y = . Man 4 förklarar också att detta är en gränvärdesbestämning av ändringskvoten y när h 0

x

Δ

→

Δ och att

istället för att skriva 4+ →h 4 då h→0kan skriva

0

lim(4 ) 4

h→ +h = . En historisk beskrivning

av limes görs i en faktaruta i anslutning till genomgången. I ett kort avsnitt beskrivs sedan derivatan som en funktion och med hjälp av den analytiska bestämningen av derivata för

2

y=x beräknas derivatan exakt för några värden på x. värdena sammanställs i en tabell och punkterna markeras i ett koordinatsystem. Man ser att de bildar en rät linje genom origo med riktningskoefficienten 2. Man kan sen skriva derivatan som en funktion y´ 2= ⋅ . Med hjälp x

av den analytiska metoden kan man sen också bestämma derivatan i en godtycklig punkt ( ; ( ))x f x och det är åter funktionen f x( )=x2 som studeras. Man låter åter sekanten gå mot tangenten och ändringskvoten = riktningskoefficienten beräknas, 2x+h, och sen beräknar man gränsvärdet av denna då h går mott 0 och detta skrivs

0

lim(2 ) 2

h→ x+h = x. Man har funnit

tangentens riktningskoefficient ´( )f x =2x. Man sätter sen upp en sammanfattning på fyra steg.

1. Skriv upp ( ) och (f x f x+ h)

2. Skriv ändringskvoten f x( h) f x( )

h

+ −

3. Förenkla ändringskvoten. Målet är att ”få bort” h i nämnaren. 4. Beräkna gränsvärdet när h→0

I en ruta så visas sen definitionen av derivatan som en funktion och i exempel härleder man sen två potensfunktioner. I nästa avsnitt så fortsätter man med härledning av derivatan av potensfunktioner. Och börjar med ( )f x = . ( )x f x = och (x f x+h)= + , x h)

( ) ( ) 1 f x h f x x h x h h h h + − ₌ + − _{= = och} 0 ´( ) lim1 1 h f x →

= = . Man utgår sen från tidigare

härledningar och sammanfattar i en tabell, man ser mönstret och visar följande regel

( ) a

f x =x , f x´( )= ⋅a xa−1. Man tittar sen på en funktion ( )g x = ⋅C f x( ) och frågar vilken derivata denna funktion har. Funktionens derivata härleds och visar att konstanten C finns kvar. Sedan härleder man en konstant funktion ( )f x = . I en ruta presenterar man de 2

20 deriveringsregler man nu har lärt sig och i följande exempel använder man sig sen av

deriveringsreglerna. I nästa avsnitt härleder man en polynomfunktion av andra graden och visar sen att det blir samma resultat som när varje term deriveras. Sambandet

( ) ( ) ( )

f x =g x +h x , ´( )f x =g x´( )+h x´( ) visas i en ruta med texten Derivata av en summa. Man härleder också funktionerna f x( ) 1

x

= och ( )f x = x och visar hur de deriveras med

hjälp av deriveringsreglerna. På slutet visar man olika skrivsätt för derivata och förklarar att man för enkelhetens skull använts sig av ´f som derivatan av funktionen f . Man förklarar

också att symbolen dy

dx inte ska tolkas som en kvot och att man kan se den som

differenskvoten y

x

Δ

Δ när denna övergår i derivatan

dy

dx när Δ →x 0. Efter detta presenterar

man kort de två grundarna till begreppet derivata, Newton och Leibniz. Till slut avslutar man kapitlet med en sammanfattning av deriveringsreglerna. Efter kapitlet finns blandade

21

3 Metod

För att undersöka hur derivatan introduceras i matematikböckerna och vad användarna anser om introduktionen har nio lärare från fem olika skolor i Skåne intervjuats, enligt den

definition som Johansson & Svedner (2006) benämner kvalitativt, djupgående med, till större delen, öppna frågor. En författare för varje bok har också intervjuats per telefon för att man skulle få fram tanken bakom böckernas upplägg. Till största del har vi koncentrerat oss på naturvetenskapligt och tekniskt program, men på KomVux har detta ej varit möjligt då man inte läser program på Komvux utan enbart enskilda kurser.

3.1 Urval

Fem skolor, som har matematik kurs C, i västra Skåne kontaktades per telefon för att fastställa vilka läroböcker som används på varje skola för just C-kursen och vilka lärare som undervisar med dessa. Två av de fem läroböckerna och tre av de nio lärarna valdes dock utifrån kontakter på respektive partnerskola. För att ta reda på vilket läromedel som har störst

användningsfrekvens har ytterligare femton olika gymnasier i Skåne slumpmässigt valts ut och därefter tagits kontakt med för att fastställa vilket läromedel för kurs C de använder sig av. De böcker som ingår i undersökningen är Exponent röd kurs C, Liber Pyramid NT/c+d,

Matematik 3000 NT/TE kurs C och D, Matematik från A-E kurs C och Räkna med Vux kurs

C.

3.2 Datainsamlingsmetod

Intervjuer är enligt Johansson & Svedner (2006) den vanligaste metoden vid

lärarexamensarbeten och då intervjuer passade vårt syfte bäst har vi i detta examensarbete valt att använda intervjuer. När vi har intervjuat lärarna har vi börjat med att ta reda på hur länge de har varit lärare för att på så vis få reda på vilken erfarenhetsnivå de ligger på. Vi har sedan frågat hur de går till väga när de introducerar begreppet derivata och hur de närmar sig

deriveringsmetoderna. Detta har följts av att vi frågar om de håller sig till bokens upplägg och sedan vad de tycker om bokens upplägg. Vi frågade också om det var något de saknade i bokens upplägg eller om det var något de skulle kunna tänka sig att ta bort. Författarna frågades om processen att skriva en bok, om de själva undervisar och i så fall följer det upplägg boken har, vilka didaktiska tankar som ligger bakom introduktionen och om det är tänkt att eleverna på egen hand ska kunna få förståelse genom att enbart läsa i boken.

22

3.3 Databearbetningsmetoder

Vi har valt att sammanställa svaren från intervjuerna i löpande text. För författarna har vi valt att dela upp svaren under två rubriker: Skapandeprocessen och Upplägget. Under rubriken

Skapandeprocessen beskrivs hur författarna har arbetat med att ta fram läroboken och vad

som har inspirerat dem. Frågor som: Hur skapar man en lärobok i matematik? Vad tar man inspiration ifrån? Testade ni materialet på målgruppen innan boken gavs ut? Besvaras under denna rubrik. Hur författarna resonerat när de gjort sitt upplägg på boken och framför allt avsnittet derivata tas upp under rubriken Upplägget. Här finns svar på frågorna: Vilka didaktiska tankar ligger bakom derivatakapitlet? Har ni gjort upplägget så att det är tänkt att elever skulle kunna lära sig och få förståelse för derivata utan tillgång till handledare eller lärare? Lärarnas svar har vi valt att del upp under varje bok och sedan delat upp svaren under fyra huvudfrågor: Följer du bokens upplägg på derivatakapitlet? Vad tycker du om bokens upplägg över lag? Varför används just denna bok? och Tror du att eleverna skulle klara av att lära sig genom att bara använda boken? För att säkerställa att svaren verkligen var svar på de frågor vi hade följde vi ibland upp med följdfrågor för att specificera. För vissa av författarna berättade vi hur upplägget på någon annan lärobok är och frågade varför de valt sitt sätt istället för det som den andra läroboken har. När vi presenterar lärarna har vi fingerat alla utom ett namn för att skydda deras identitet, så som Johansson & Svedner (2006) skriver att man ska.

3.4 Procedur

Alla intervjuer med lärare, med undantag av en, gjordes på respektive skola och diktafon användes vid samtliga av dessa intervjuer. Med fyra av lärarna bokade vi i förväg in tid för intervju och en ringdes upp och intervjuades via telefon. Intervjuer med resterande lärare gjordes på respektive skola direkt i samband med att de tillfrågades. Lärarintervjuerna tog 10-15 min. Intervjuer med författare gjordes via telefon och även dessa intervjuer spelades in. Liknande och relativt öppna frågor ställdes till författarna och tiden för intervjuerna varierar kraftigt, ca 10-30 min.

3.5 Validitet och reliabilitet

23 Det är i en vetenskaplig undersökning viktigt att veta att man verkligen undersöker det som avsågs att undersöka. Patel & Davidson (2003) skriver om innehållsvaliditet, innehållet i det instrument man använder sig av. I detta fallet intervjuerna och litteraturen. De frågor vi använde för våra intervjuer stämmer väl överens med vår ursprungliga frågeställning, hur går det att förbättra läroböckernas presentation av begreppet derivata i matematik kurs C. Även litteraturundersökningen stämmer väl överens med vad vi avsåg att undersöka. Litteraturen vi använt diskuterar och behandlar hur läromedel används och dess upplägg av begreppet derivata. Enligt Patel & Davidson så kan man säkerställa validiteten på ett sätt till, den samtidiga validiteten, vilket innebär att man bör jämföra sitt instrument med andra, detta har vi dock inte gjort.

Reliabilitet, har vi gjort det på ett tillförlitligt sätt?

Enligt Patel & Davidsson innehåller resultatet både en individs ”sanna värde” och ett

”felvärde”. Ett sådant felvärde kan bero på olika faktorer som vi inte kan påverka. Att vi inte säkerställt den samtidiga validiteten kan dock medföra felvärden, då instrumentet på grund av detta har brister. Enligt Patel & Davidson så är reliabiliteten kopplad till intervjuarens

förmåga att göra intervjuer. Det ska därför påpekas att vi inte var tränade i intervju situationer och att det kan påverka våra resultat. Att vi alltid var två vid intervjuerna och att vi samtidigt spelade in samtalen höjer reliabiliteten.

3.6 Metodkritik

Vi borde ha förberett alla lärarna på att de skulle bli inspelade och även berättat lite mer vad vi tänkte fråga om. Många agerar inte naturligt när de vet att de blir inspelade och därför kan svaren bli kortare än annars. Någon lärare var väldigt oförberedd på att vi skulle spela in och vi märkte att den läraren kände stort obehag av att bli inspelad. Kanske skulle vi ha talat lite mer om annat innan vi påbörjade intervjun så att inspelningen kanske hade glömts bort. Enligt Johansson & Svedner (2006) kan våra miner, gester och även sättet vi ställt frågorna ha haft inverkan på de svar vi fått. Vid alla slags undersökningar finns det viss felmarginal då man inte kan kontrollera om den som svarar faktiskt är ärlig. Då vi bara har intervjuat nio lärare går det inte att generalisera utifrån dessa intervjuer. Matematik 3000 är den mest använda boken och fyra lärare för denna bok intervjuades. Boken är därför överrepresenterad i examensarbetet och fler lärare för de andra böckerna borde ha intervjuats. En del av den litteratur som använts i undersökningen är baserad på undersökningar gjorda i andra länder och kan därför inte generaliseras för det svenska samhället.

24

4 Resultat

4.1 Intervjuer

Vi har valt att sammanställa intervjuerna med författarna i löpande text då vi haft relativt öppna frågor och vi har fått väldigt långa och övergripande svar. Vi har grupperat svaren under två kategorier. Skapandeprocessen: Hur skapar man en lärobok i matematik? Vad tar man inspiration ifrån? Testade ni materialet på målgruppen innan boken gavs ut?

Upplägget: Vilka didaktiska tankar ligger bakom derivatakapitlet? Har ni gjort upplägget så att det är tänkt att elever skulle kunna lära sig och få förståelse för derivata utan tillgång till handledare eller lärare?

Författare: Hans Brolin (Matematik 3000), Eva Smedhamre (Matematik A till E), Sven Jacobsson (Liber Pyramid), Susanne Gennow (Exponent) , Gert Gabrielsson (Räkna med Vux)

Vi intervjuade någon eller några lärare för varje bok. Vi ställde nedanstående frågor och eventuellt några följdfrågor när det behövdes. Vi har här valt att sammanställa svaren under varje bok. Dessa är frågorna:

1. Följer du bokens upplägg på derivatakapitlet? 2. Vad tycker du om bokens upplägg över lag? 3. Varför används just denna bok?

4. Tror du att eleverna skulle klara av att lära sig genom att bara använda boken?

4.1.1 Presentation av lärarna

För att lärarna ska vara anonyma är alla utom Bo Silborns namn fingerade.

Carina undervisar på NV-programmet och har undervisat i 24 år och av dem 2,5 år på den skola hon nu undervisar. Tidigare har Carina undervisat på grundskolan och lärarutbildningen. Terminen som detta arbete skrivs har hon inte undervisat i matematik kurs C men det har hon gjort andra terminer och använde då boken Matematik 3000. Carina undervisar även i fysik.

25 Veronika undervisar på NV-programmet och har gjort det i 7-8 år. Hon har undervisat i 35 år varav 14 på gymnasiet. Terminen för arbetets skrivande undervisar Veronika i matematik kurs C och använder då boken Matematik 3000. Hon undervisar också i fysik.

Linus undervisar på gymnasiets NV-program och har gjort så i 15 år. Han undervisar i både matematik och fysik och i matematik kurs C använder han sig av boken Matematik 3000.

Inga har ämnena matematik och naturvetenskap och sedan 2 år har hon undervisat på NV/TE-programmet, men har för tillfället också OP-programmet. Allt som allt har hon undervisat i 6 år. På NV-programmets matematik kurs C använder hon boken Matematik 3000.

Bodil undervisar på Komvux och har denna termin matematik kurs C. Hon har undervisat i ca 30 år på både gymnasium och KomVux. Hon är fysiker i grunden men undervisar för tillfället i matematik. På skolan använder man Matematik från A till E.

Paula undervisar på NV-programmet och har undervisat i 41 år. För NV-programmets matematik kurs C använder hon Liber Pyramid.

Bo Silborn har undervisat på de flesta programmen och har 20 år undervisningserfarenhet. Bo undervisar även i ämnena fysik och programmering. Anledningen till att vi använder oss av Bos riktiga namn är att han är en av medförfattarna till boken Exponent. Vi har dessvärre inte lyckats få tag på någon annan lärare som använder denna bok.

Martin har undervisat i 15-20 år på både grundskola, gymnasium, komvux och högskola. För närvarande undervisar han på KomVux och då även i matematik kurs C. Han använder sig av boken Räkna med Vux.

Nils har undervisat i 30 år och undervisar för närvarande på KomVux där han denna termin undervisar i matematik kurs C. Han använder sig av boken Räkna med Vux.

26

4.1.2 Matematik 3000

Intervjuad författare: Hans Brolin

Lärare: Carina, Veronika, Linus och Inga

Skapandeprocessen

Hans Brolin berättar att han och Lars-Erik Björk börjar med att skaffa idéer. Hans Brolin berättar att han säkert har tio hyllmeter med matematikböcker från olika länder, större delen dock från USA, som han har som inspiration. Det som ger mest inspiration och idéer är dock att åka på matematikkonferenser. Han och Lars-Erik åkte på flera sådana, framför allt i USA. Hans Brolin berättar också att de ofta sneglar i bibeln, som han kallar den, ”How to solve it” av George Polya (2004). De läser även områdesspecifik facklitteratur, till exempel ekonomi, fysik och kemi för att se vad eleverna behöver kunna och för att kunna skapa passande uppgifter. När de fått idéer sitter de sedan och skriver och därefter skickar de sina förslag till varandra.

Uppläget

Hans Brolin menar att de lagt upp Matematik 3000 på ett sådant sätt att eleverna ska få upptäcka matematiken innan man sätter namn på den, ser till att ha det underbyggt så att eleverna får en ordentlig bakgrund. Enligt honom förstår de inte om man bara sätter upp definitionen och deriveringsregler, men när man väl har visat numeriskt och grafiskt så ser eleverna att det är praktiskt att ha deriveringsregler. Genom att ge exempel och uppgifter som eleverna ska lösa så visar man att matematiken som ska tas upp är något eleverna har nytta av. Hans Brolin anser att även om det är fördelaktigast och, för vissa elever, nödvändigt att ha tillgång till någon slags handledning, så bör ändå upplägget av boken göra att elever kan läsa sig till förståelse av derivata.

Lärarnas svar

1. De flesta lärarna som intervjuades följde bokens upplägg i stora drag, men använde egna exempel. En lärare som hade en svag grupp hoppade över avsnittet med numerisk derivering då hon sett i tidigare årskullar att hon vid detta moment ofta förlorade eleverna. Flera lärare kommenterade att boken förkortar för snabbt i

exemplen, framför allt när det gäller hur man får h ensamt i nämnaren när man jobbar med ändringskvot och gränsvärden.

27 2. Flera av lärarna tycker att det är bra att boken har nivågrupperade uppgifter. Någon

lärare som intervjuades för en annan bok hade hellre använt denna då den, enligt den läraren, är väldigt strukturerad. Vi frågade inte specifikt om vad lärarna tyckte om andelen fysikrelaterade uppgifter som fanns i boken, ändå kommenterades detta av flera lärare, dock med olika åsikter. Några tyckte att det var för mycket koppling till fysik medan andra tyckte att det var alldeles för lite.

3. Övervägande argument till varför man köpt in just denna bok till skolan var att det inte fanns några direkta alternativ för kurs C till E när beslutet om att köpa in den togs. 4. Ingen av lärarna trodde att eleverna skulle kunna lära sig och få förståelse för

begreppet derivata enbart genom att läsa i denna bok. Två lärare kommenterade att de inte trodde elever skulle kunna lära sig materialet själva oberoende av vilken bok som används. En lärare uttryckte det så här: ”Jag tror inte på Hermodskurser i matematik.”.

4.1.3 Matematik A till E

Intervjuad författare: Eva Smedhamre Lärare: Bodil

Skapandeprocessen

Eva Smedhamre och Martin Holmström arbetar tillsammans med samtliga delar. Eva Smedhamre kanske börjar med, vad de kallar ett skelett, som hon sedan skickar till Martin Holmström som sedan skriver vidare på det och förändrar det. När det kommer tillbaka till Eva så kan det vara så förändrat att hon knappt känner igen det. Så fortsätter de att skicka utkasten fram också tillbaka tills de är klara. De senaste böckerna har inte testats i

målgrupper, eftersom författarduon har material från gamla böcker. Men de första gjordes i försöksversion som utvärderades.

Upplägget

Eva Smedhamre menar att man måste ha en logisk följd. Det ena bygger på det andra. För att kunna härleda derivatans definition måste man ha gått igenom gränsvärde. De vill börja med något påtagligt, vardagligt då hon och Martin Holmström anser att det är lättare att förstå det teoretiska om man kan få en praktisk tolkning. Även om de tänker sig att det ska finnas en lärare som kan handleda eleverna så har de fått höra, och tror själva, att det går bra att lära sig och få förståelse för innehållet i boken även utan lärare. Det upplägg de valt att ha

28 genomgående i sina böcker, har de fått höra att vissa lärare tycker är för lätt, men författarna tycker att det viktigaste är att eleverna förstår och blir nyfikna på innehållet, inte att lärarna tycker om upplägget.

Lärarens svar:

1. Boken förklarar inte vad begreppet derivata är, anser den lärare vi intervjuade. För att förklara medelhastighet, momentanhastighet och skillnaden mellan dem, använder sig Bodil av ett exempel med bilkörning där man kör på en väg där högsta tillåtna

hastighet är 50 km/h och blir stoppad av polisen trots att man haft en medelhastighet på under 50 km/h. Hon försöker dock följa bokens upplägg då flera av hennes elever måste läsa själva.

2. När det kommer till bokens upplägg överlag tycker hon dock att det är väldigt bra. Bodil anser att det är relativt enkel text och boken har bra förklaringar.

3. Matematik från A till E är inköpt med anledning av att den är enkel att läsa och lättförstålig för eleverna, eftersom det är viktigt på KomVux att eleverna kan läsa själva.

4. Bodil tror att vissa elever skulle kunna läsa sig till förståelse men inte alla. Hon tror dock att om man ska lyckas så är det betydligt lättare med denna bok än någon annan, framför allt lättare än Matematik 3000.

4.1.4 Liber Pyramid

Intervjuad författare: Sven Jacobsson Lärare: Paula

Skapandeprocessen

Sven Jacobsson börjar med att se på läroplanen för att veta vilka moment som ingår i den kursen som boken kommer att avhandla. Man lägger upp en grundstruktur och diskuterar strukturen och vilken ordning man ska ha i boken i författargruppen. För Liber Pyramid NT var det så att Hans Wallin skrev brödtexten och när han var klar skickades den till de andra författarna i gruppen som hade synpunkter på den. Efter en del modifieringar lades

övningsuppgifter in på rätt ställen. ”Självklart tittar man på andra böcker, det kan man ju inte undgå”, säger Sven Jacobsson. Han menar att många upplägg blir ganska likartade eftersom det finns en naturlig gång i matematiken, man kan inte ta momenten i vilken ordning som

29 helst. Innan boken gick till tryck gav man en stencilupplaga till några klasser att testa.

Eleverna som använde den fick sedan utvärdera materialet så att det kunde modifieras lite innan den väl var klar för utgivning.

Upplägget

Hans Wallin, som har skrivit större delen av brödtexten i Liber Pyramid, ville ha en, enligt Sven Jacobsson, svårare nivå på boken och då även kapitlet derivata. Författargruppen tyckte att det viktiga var att förklara ändringskvot och sedan via den gå över till den grafiska och geometriska tolkningen av derivata och på så vis få in förståelsen. Begreppet gränsvärde tonades ner för at det är ett svårt begrepp. Sven Jacobsson hoppas att boken ska ha ett upplägg som gör att eleverna ska kunna lära sig även utan hjälp av lärare, men poängterar att böckerna inte är skrivna för enbart självstudier. Sven Jacobsson själv håller hårt på att undervisning ska vara lärarledd.

Lärarens svar

1. Läraren vi intervjuade följer inte bokens upplägg när derivatan ska introduceras. Istället får deriveringsreglerna komma först, och sedan maximum- och

minimumproblem efter detta är det derivatans definition som gäller.

2. Läraren i fråga tycker inte alls om boken. Hon tycker att det finns alldeles för få enkla uppgifter för eleverna att träna på och de svåraste uppgifterna tar ofta upp saker från nästkommande kapitel så de går ofta inte att lösa. En annan lärare kommenterade att flera av eleverna hade beklagat sig över att det inte fanns så många svåra uppgifter heller utan när de väl löst en uppgift så kunde de inte försöka igen på en liknande. 3. På den skolan vi var och intervjuade denna lärare är det så att lärarlaget bestämmer

vilken bok som ska köpas in och tydligen fanns det andra lärare som tycker att boken är bra. Tyvärr lyckades vi inte få tag på någon av dessa lärare för att få specificerat varför man väljer att använde denna bok.

4. Läraren som intervjuades tror inte att eleverna skulle klara av att lära sig och få förståelse för begreppet derivata enbart genom att läsa denna bok.

30

4.1.5 Exponent

Intervjuad författare: Susanne Gennow Lärare: Bo Silborn

Skapandeprocessen

Susanne Gennow och hennes medförfattare skrev i början enskilt och träffades sedan på Gleerups i Malmö och läste och kommenterade varandras arbete. Då var även redaktörerna med mer i processen, men senare, framför allt när de skrev boken till kurs E så skrev de mer tillsammans, genom att skicka mycket e-post och ringa och kommentera.

Susanne Gennow vill inte av misstag kopiera från andra svenska läromedel så hon tar istället inspiration och idéer från utländsk litteratur, framförallt amerikansk, engelsk och finsk. Sen tar hon tankar från den egna undervisningen, där hon även testar lite av materialet. Hon tycker att hon inte hade kunnat skriva en lärobok utan att undervisa själv.

Upplägget

Susanne Gennow tycker att det är viktigt att eleverna ska förstå innebörden av det man lär sig, vad man ska ha derivatan till. Hon börjar med att visa lutningen på en rät linje, för den

förändras ju inte utan är konstant, och applicerar sedan de resonemangen på vanliga funktioner och för att eleverna på så vis ska få förståelse, för att sedan gå över till definitionen. Susanne Gennow vill komma till skott och inte dra ut på introduktionen av derivata därför att det annars kan bli för segt för eleverna. Kapitlets upplägg, menar Susanne Gennow, bygger på att få in förståelse och utgå ifrån bilder. Man har det matematiska språket för att förklara och en bild för att ge förståelse. Susanne Gennow tror att eleverna hade klarat att lära sig förstå och använda derivatan genom att bara läsa i Exponent, men att det inte hade blivit lika bra som om de skulle ha tillgång till lärare. Lärare kan lägga till saker i förklaringar om de märker att en elev inte förstår, medan man i en bok inte kan skriva allt.

Lärarens svar

1. Bo börjar med att gå igenom begreppet gränsvärde med sina elever och visar vad som händer med vissa funktioner när man låter variablen gå mot ett specifikt värde. Han låter eleverna se att även om man inte kan sätta exakt det värdet på variabeln så kan man låta värdet komma väldigt nära. Bo följer alltså inte bokens upplägg här eftersom begreppet gränsvärde inte tas upp i boken över huvud taget. Anledningen till att han gör på detta sätt är att han anser att derivatans definition är för svår för att vara det

31 första gränsvärde eleverna kommer i kontakt med. Efter den inledningen följer han dock bokens upplägg för resten av avsnittet derivata.

2. Bo Silborn tycker att bokens upplägg är bra och tror att han skulle tyckt det även om han inte var en av författarna.

3. Då Exponent kom ut bad Bo att få använda den röda upplagan, det vill säga den för NV/TE-programmet, eftersom han är medförfattare. Han var den första på hans skola att använda den på NV/TE medan det var flera lärare som valde att använda SP-upplagan. Efter att han började med Exponent har fler lärare på NV/TE-programmet bytt till den.

4. Bo tror att ganska många elever kan läsa texten och därigenom förstå vad derivata är, men anser att det finns flera som inte hade kunnat det utan behöver vägledning från lärare.

4.1.6 Räkna med Vux

Intervjuad författare: Gert Gabrielsson Lärare: Martin och Nils

Skapandeprocessen

Räkna med Vux är skriven av en författargrupp på tre personer. Dessa tre författare har jobbat som team i 30 år. Som de andra författargrupperna vi har tagit upp jobbar den här också gemensamt hela tiden och delar inte upp så att en författare håller i ett moment och en annan författare i ett annat. Gruppen börjar med att diskutera och drar upp riktlinjer för ett kapitel tillsammans och delar sedan upp texten. När var och en är klar med sitt manus, byter man författare på manuset och omarbetar det. Gert Gabrielsson berättar att de ser på hur andra läroböcker är upplagda men man tar inte efter någon annan, man har själv så mycket tankar och idéer. Gruppen tittar en hel del på vad utländsk litteratur har att tillföra och åker på matematikkonferenser.

Upplägget

När Gert Gabrielsson börjar intervjuas och får frågan varför de valt det upplägg av

derivataavsnittet som vi kan se i boken, hänvisar han till att det i kursplanen står att eleverna ska kunna förklara, åskådliggöra och använda begreppen ändringskvot och derivata. De väljer därför att börja med att klara ut ändringskvot med ett praktiskt exempel. Gert Gabrielsson

32 berättar att de i boken ägnar mycket tid åt att förstå skillnaden mellan ändringskvot, som är ett medelvärde, och derivata, som är ett momentanvärde. Han tycker att det är viktigt att lägga stor vikt vid att få förståelsen för detta innan man går in på gränsvärdesdefinitionerna. Eftersom det är en bok som riktar sig mot KomVux så vet författarna att det tyvärr brukar vara begränsat med tid och resurser så man vill komma fram till väsentligheterna och snabbt kunna se sammanhang. Gert Gabrielsson anser att man bör koppla begreppet ändringskvot till derivata så att eleverna vet vad man är ute efter.

Boken är tänkt att fungera för självstudier men Gert Gabrielsson tycker, som flera av de andra författarna, att den bästa undervisningssituationen är med lärare.

Lärarens svar

1. Lärarna som intervjuades följer bokens upplägg utan att avvika alltför mycket, för att underlätta för eleverna. Skulle någon elev missa en lektion så vet den eleven vad som gåtts igenom. De anser att det inte finns så många olika sätt att introducera derivata på så de tycker att boken gör det på ett helt ok sätt.

2. Lärarna vi pratat med tycker inte om boken utan anser den vara för ostrukturerad. Vidare anser den ene läraren att man i boken har flera olika exempel som man visar lösningen på men sedan är första uppgiften, som eleverna ska lösa själva, ett helt annat slags uppgift så de har ingen hjälp av de lösta exemplen.

3. Enligt båda lärarna så är boken inköpt enbart för att författarna har jobbat på skolan. 4. Den ena läraren tror att eleverna eventuellt skulle kunna läsa sig till förståelse, men det

skulle ta betydligt längre tid. Den andra läraren tror inte att man kan läsa sig till matematik över huvud taget.

4.2 Resultatanalys

Samtliga författare vill att eleverna ska få förståelse och gärna tycka att matematik och derivata är intressant och något man kan ha nytta av.

I intervjuerna med lärarna kan vi se att ingen av lärarna är helt nöjd med hur

derivatabegreppet introduceras och behandlas i respektive lärobok. Alla har sitt sätt att inviga eleverna i detta nya moment. Även om de flesta lärarna ändå håller sig till bokens upplägg så tar man in egna tolkningar och perspektiv. Vi har inte kunnat se något speciellt sätt eller någon särskild ordning som har utkristalliserat sig och varit generellt för vad samtliga intervjuade har sagt. Istället för att därför beskriva en modell som alla är överens om har vi

33 valt att försöka beskriva en modell som vi tror skulle kunna fungera som bygger på element från flera av läroböckerna samt resultatet av våra intervjuer. Detta är vårt förslag på modell:

4.2.1 Bakgrundskunskaper

I vissa böcker har vi sett att man inte tar upp exponentialfunktioner alls förrän i ett eget kapitel som kommer efter derivatakapitlet. Vi anser dock att exponentialfunktioner och

logaritmer bör tas upp tidigare i kursen så att eleverna har kännedom om dem. Vi vill kunna ta upp talet e i derivatakapitlet då det är framtaget enbart för att man ska kunna derivera

exponentialfunktioner.

4.2.2 Hemuppgifter

Efter att ha läst det förslag Nilsson (1993) tar upp om att låta eleverna få hemuppgifter för att ge dem förkunskap kom vi fram till att vi anser att detta är en bra metod. Från terminens början ger man därför eleverna hemuppgifter som underbygger förståelsen för de moment som ingår i derivatbegreppet. Bland dessa hemuppgifter bör minst en ta upp lutningen på en rät linje.

4.2.3 Gränsvärden

Vi håller med Bo Silborn beträffande gränsvärden så vi tar upp gränsvärden i ett eget kapitel för att eleverna senare ska känna igen det och för att detta nya begrepp inte ska verka

skräckinjagande för att det är med i derivatakapitlet. De gränsvärden som tas upp i detta avsnitt bör vara generella och inte bara ha liknande utseende som derivatans definition, vi vill gärna ha med att ett tal går mot noll, mot oändligheten och även mot vilket heltal som helst.

4.2.4 Historik

Innan vi går in på begreppet derivata och hur man kommer fram till och använder det, tycker vi att en kortare introduktion av bakgrunden kan vara bra. Att få höra om konflikten mellan Leibniz och Newton och hur stort det var när det begav sig och även hur dessa män arbetade för att komma fram till derivata och varför. Detta anser vi kan vara ett kul avbrott från den rena matematiken. Vi har inte funnit någon litteratur som stödjer detta förutom de små Historik-rutor man kan finna i några av de läroböcker vi tagit upp. Vi har även inspirerats av flera lärare vi haft under vår tid på lärarutbildningen som har fört fram historiska personer och ögonblick som varit signifikanta för matematiken.

34

4.2.5 Lutningen på en kurva

Den räta linjen och dess lutning är något eleverna kan sedan innan, så det kan vara bra att starta derivatakapitlet med någon som de känner sig bekväma med. För att komma fram till hur man beräknar lutningen på en kurva kan vi applicera de kunskaper eleverna har när det gäller en rät linje, genom att rita upp sekanter på en kurva och låta dem gå mot en tangent. Vi beräknar alltså lutningen på sekanterna och tangenten. Här får vi då nytta av det vi gick igenom i kapitlet om gränsvärden. I detta avsnitt förklarar vi också skillnaden mellan medelvärde och momentanvärde för eleverna. Detta gör vi genom att använda oss av det exempel läraren Bodil tar upp, där man kan hålla en medelhastighet som är under högsta tillåtna men ändå bryta mot lagen. Vi tar här även upp begreppen förändringshastighet och förändringskvot.

4.2.6 Definition

Efter föregående avsnitt kommer man ganska enkelt in på derivatans definition.

4.2.7 Deriveringsregler

Här härleder vi de vanligaste deriveringsreglerna, det vill säga de för polynomfunktioner, för potensfunktioner samt för exponentialfunktioner. I detta avsnitt väljer vi att presentera talet e och hur och varför man tagit fram det. Vi vill också inkludera derivering av 1

x och x .

Anledningen till att vi väljer att ta med talet e och dessa två funktioner är att vi anser att det inte finns något bra argument till att vänta med dem.

4.2.8 Tillämpningar

Här tar vi upp exempel från andra ämnen, till exempel fysik eller kemi, där man har användning för det man lärt sig i detta kapitel.

4.2.9 Extremvärden

Här vill vi ta upp lokala och globala maximipunkter, minimipunkter och terasspunkter. Vi visar hur man gör en teckentabell och vad man har för användning av den. Vi anser att det är naturligt att ta upp andraderivatan i samband med att man studerar extremvärden så det har vi också med i detta avsnitt.

35

4.2.10 Generellt

Som alla i alla andra läroböcker vill vi också ha uppgifter i slutet av varje avsnitt som

avhandlar det som avsnittet handlat om. Vi vill också ha med flera uppgifter som är tänkta att lösas i grupp och gärna laborativa uppgifter. Detta grundar vi på Arfwedssons (1992) och Strandbergs (2006) tolkningar av och reflektioner över Vygotskijs teorier om hur människor bäst får förståelse. Allra sist vill vi också ha uppgifter som tar upp samtliga delar från detta kapitel men även använder sig av kunskap eleverna fått tidigare under sin utbildning.