3. Matematické podklady
3.3. Black-Scholesův vzorec
distribuční funkci F(x) rozdělení N(µ, σ2).
kde Φ ... distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, tj. normálního rozdělení N(0,1).
Pro kvantily platí vztah
takže platí
kde uP značí 100P% kvantil rozdělení N(0,1).
Bodový odhad parametrů
2-parametrický odhad
V případě 2-parametrického modelu lze odhad získat např.
metodou maximální věrohodnosti, kdy získáme nejvěrohodnější parametry µ,σ2.
Pro náhodnou veličinu X můžeme spočítat
kde µ,σ2jsou odhad střední hodnoty přírůstku a odhad rozptylu.
3.3. Black-Scholesův vzorec ,
V roce 1997 byla udělena Nobelova cena Myronu Scholesovi a Robertu Mertonovi za model oceňování určitého typu opčních kontraktů, tzn. opcí na obchody s cennými papíry. Opce jsou termínové kontrakty s právem volby pro držitele, zda na realizaci kontraktu trvá. Budeme-li mít opci na nákup akcií dojednanou na určitý den a za určitou cenu, opci uplatníme, pouze pokud v tento den budou tyto akcie na burzovním trhu dražší. V opačném případě nebude mít uskutečnění obchodu význam. Hodnota opčního kontraktu bude záviset na realizační ceně a na době trvání opce. Čím delší doba, tím větší je možný zisk. Stejným důvodem pro hodnotu opce je již výše zmíněná (3.1.) volatilita, tj. pohyblivost cen akcie, neboli směrodatná odchylka. Opce na stabilní, tedy málo volatilní akcie, budou levnější než opce na riskantní akcie s vysokou volatilitou. Posledním důležitým faktorem je výše úrokových měr.
Black, Scholes a Merton publikovali vzorce v roce 1973, následkem čehož došlo k rozkvětu opčních obchodů. Fischer Black zemřel v roce 1995, a proto mu Nobelova cena nebyla udělena vzhledem k tomu, že se ceny neudělují in memoriam.
Zajímavou skutečností je, že ani jeden z těchto objevitelů neměl původní vzdělání ekonomického směru.
Black-Scholesův (Mertonův) vzorec pro oceňování opcí má mnoho nesplnitelných předpokladů. Je jím např. zanedbání kreditního rizika. Obchodník se může stát obětí platební neschopnosti a opce jím vydané ztrácejí cenu. Podobnost s naší kupónovou privatizací není náhodná. Také byla plná různých slibů, které měly vlastně povahu opcí. Z nich však byly splněny jen některé.
- ceny akcií konají geometrickou náhodnou procházku s konstantní očekávanou mírou výnosu µ a standardní odchylkou výnosů σ.
- neexistují transakční náklady a daně.
- neexistují dividendy (v Mertonově modelu jsou, ale jejich procentuální výše je konstatní).
- obchodování je spojité.
- míra výnosu bezrizikové investice µB je konstantní.
Black-Scholesův vzorec pro hodnocení opčních kontraktů zní:
( ) ( ) ( )
p ... cena opčního kontraktu put S ... aktuální cena akciíX ... vykonávací cena opčního kontraktu µB... míra výnosu bezrizikové investice t ... doba trvání opčního kontraktu σ ... volatilita
N().. distribuční funkce normálního rozdělení
Mertonův model se od Black-Scholesova modelu liší v podstatě pouze tím, že počítá s dividendami:
( ) ( ) ( ) ( )
kde q ... spojitý dividendový výnos
4.1. Historie
Rebol je programovací jazyk pro dostupné internetové aplikace běžící ve všech prostředích. Jeho autor, Carl Sassenrath, ho připravoval více než 20 let. V té době byl systémovým architektem zodpovědným za první operační systém osobních počítačů na světě podporující multitasking, Commodore Amiga. První zavedení Rebolu do praxe se uskutečnilo v roce 1997 pro menší skupinu uživatelů tří různých operačních systémů. Dnes se odhaduje počet příznivců Rebolu na více než jeden milion uživatelů, a to na víc jak čtyřiceti platformách.
Rebol je odlišný od tradičních počítačových jazyků jako jsou C, Basic nebo Java. Narozdíl od nich byl navržen k vyřešení jednoho z nejpodstatnějších problémů v počítačovém světě, kterým je výměna a interpretace informací mezi rozdílnými počítačovými systémy. Řešení tohoto problému má Rebol již ve svém názvu – Relative Expression-Based Object Language, neboť relativní výrazy jsou tím vhodným prostředkem a jsou nejsilnější zbraní Rebolu. Nabízejí totiž mnohem větší možnosti a schopnost reprezentování jak zdrojového kódu, tak dat. Rebol umí nejen vytvořit grafické uživatelské rozhraní jedním řádkem kódu, ale i má také možnost tento řádek odeslat jako data, aby mohl být zpracován a zobrazen na jakémkoli jiném internetovém systému kdekoliv na světě.
Kompaktní architektura Rebolu umožňuje široký rozsah možností, od základního jádra interpreteru REBOL/Core až po kompletní internetový operační systém REBOL/IOS. Na obr.3.1.
je znázorněna architektura rebolovských systémů a jejich jednotlivé vrstvy.
Obr.4.1. Architektura systémů a vrstev Rebolu
Prvořadý cíl Rebolu je zprostředkovat nový systém ukládání informací, jejich výměnu a zpracování mezi všemi prostředky připojenými přes internet. Narozdíl od jiných metod, které vyžadují desítky megabytů zdroje, mnoho vrstev na sobě, které beží pouze na jedné platformě, nebo jsou úzce specializované, Rebol je malý, snadno přenosný a ovladatelný. Velikost aplikací pro Rebol je také důležitou výhodou, neboť jsou velmi rychle stažitelné z jakéhokoliv připojení k internetu. Je snadnější je vytvářet a upravovat. Jejich velikost se pohybuje v řádek desítek kilobytů, a to nejen programy pro tvorbu webových stránek, práci s kreditními kartami nebo síťově sdílený kalendář, ale i grafické aplikace se mohou pyšnit vskutku nepatrnou velikostí. Například grafická prezentace na
Obr.4.2. Příklad grafické prezentace napsané v Rebolu (převzato z www.rebol.com)
4.2. Struktura a základní principy
Rebol umožňuje širokou škálu variací s příkazy, bezmezné kombinování a prolínání. Na následujících řádkách je uvedeno několik příkladů, jak je možno používat a kombinovat matematické výpočty. Na prvním řádku je vždy zadaná operace a pod ní je výsledek.
10:55 + 0:10 11:05
1-Jan-2001 + 100 11-Apr-2001
$10.55 + $100
$110.55
100.30.5 + 100.5.5 200.35.10
100x200 + 100x40 200x240
Na prvním příkladu se sčítají čísla v časovém formátu.
Druhý příklad ukazuje možnost přičítat libovolné číslo k datu, což je užitečné zejména pro funkce využívající časové cykly.
Výsledkem je den, který odpovídá časovému posunu o 100 dní.
Na třetím příkladu vidíme součet čísel v měnovém formátu, v tomto případě v dolaru.
Velmi zajímavý je příklad čtvrtý, kde se sčítají části řetězce mezi tečkami. 100 + 100, 30 + 5 a 5 + 5.
Podobný princip nám ukazuje pátý příklad.
Rebol má celkem 45 datových typů (většina ostatních jazyků má do 10 typů), které jsou navíc přímou součástí jazyka. Zároveň platí, že funkce Rebolu pracují se všemi datovými typy. Jejich seznam si můžeme v konzoli vyvolat zadáním příkazu help datatype!. Velmi názorně to ukazuje funkce find, která vyhledává zadaný řetězec doslova kdekoliv.
find "Technická Univerzita Liberec" "univerzita"
Univerzita Liberec
find student@univerzita.cz "univerzita"
univerzita.cz
find http://www.vslib.cz/univerzita/fakulty.html "univerzita"
univerzita/fakulty.html
find %/c/dokumenty/univerzita.doc "univerzita"
%univerzita.doc
find #ABC-UNIVERZITA-46001 "univerzita"
#UNIVERZITA-46001
find #{7465636820756E697665727A697461206C6263} "univerzita"
#{756E697665727A697461206C6263}
find [123 10:30 "univerzita" 1-Jan-2003] "univerzita"
["univerzita" 1-Jan-2003]
Rebol má vestavěných 14 síťových protokolů, které mají použití při různých operacích s internetem. Opět je zde nepřeberné množství možností. Základní příkaz na čtení je read, např. read %soubor.txt pro čtení z disku. Jeho použití při čtení ze sítě (internetu) vidíme na příkladech.
read http://www.adresa.com/index.html (přečte HTML stránku z internetu)
read ftp://ftp.rebol.com/test.txt (stáhne soubor přes protokol FTP)
read pop://jmeno:heslo@email.com (přečte všechny e-mailové zprávy)
read nntp://news.adresa.com/alt.test (přečte všechny nové nástěnky)
read whois://adresa.com@rs.internic.net (zjistí informace o internetové doméně)
read finger://uzivatel@adresa.com (vrátí informace o uživatelském účtu)
read daytime://everest.cclabs.missouri.edu (zjistí čas ze serveru)
read dns://100.100.100.100
(vrátí dns adresu počítače (bez zadané IP vrátí vlastní jméno)
Toto je jen malý výřez schopnostmi Rebolu. Umí také například přečíst z internetu obrázkový soubor a uložit jej na disk.
write/binary %obrazek.jpg read/binary
http://www.adresa.com/grafika/obrazek.jpg
Podobně jako při přenosu dat přes FTP (File Transfer Protocol) je nutno rozlišit, zda se jedná o textový nebo binární soubor.
O to se stará v tomto případě /binary.
Chceme-li poslat textový soubor jako součást e-mailové zprávy, napíšeme:
send petr@email.com read %zprava.txt
Stejným způsobem můžeme ovšem poslat i webovou stránku:
send petr@email.com read http://www.adresa.com
Nebo jednoduše pošleme klasickou zprávu:
send petr@adresa.com "Ahoj!"
Můžeme také nahrát soubor z disku na server přes FTP, kdy opět musíme rozlišit charakter souboru.
write/binary ftp://jmeno:heslo@adresa.com/obrazek.jpg read/binary %obrazek.jpg
Následující skript zajistí nahrání celého adresáře přes FTP:
stranka: ftp://jmeno:heslo@adresa.com/
foreach file read %adresar/ [
write/binary stranka/:file read/binary file ]
Budeme-li chtít zkopírovat pouze soubory určitého typu, necháme tento typ „najít“ příkazem find:
foreach file read %adresar/ [ if find file ".jpg" [
write/binary stranka/:file read/binary file ]
]
Takto se zapíše požadavek na dva typy souborů:
foreach file read %adresar/ [ if any [
find file ".jpg"
find file ".gif"
] [
write/binary stranka/:file read/binary file ]
]
Soubory můžeme také roztřídit podle jejich stáří, například změněné do dvou dnů:
datum: now - 2
foreach file read %adresar/ [ if (modified? file) > datum [
write/binary stranka/:file read/binary file ]
]
Stejně tak funguje hledisko velikosti souboru:
if (size? file) < 100000 [
Také se můžeme vyhnout podadresářům:
if not dir? file [
Tyto funkce také nefungují pouze na disku, ale i přes internet:
print size? ftp://jmeno:heslo@adresa.com/obrazek.jpg print modified? ftp://jmeno:heslo@adresa.com/obrazek.jpg
Integrace Rebolu s internetem je vskutku velmi výrazná. Další jeho schopnost umožňuje v REBOL/View jednoduše vytvořit okno s obrázkovým souborem z internetu:
view layout [
image http://www.adresa.com/grafika/obrazek.jpg ]
Výsledek bude okno, ve kterém bude požadovaný obrázek:
Snadno lze změnit barva okna, resp. pozadí. Můžeme také toto okno nadefinovat jako odkaz na stránku (na kliknutí):
view layout [
backcolor white
image http://www.adresa.com/grafika/obrazek.jpg [ browse http://www.odkaz.com
] ]
Jako tlačítko může okénko využívat všechny síťové funkce Rebolu, jako čtení e-mailových zpráv, práci se soubory přes FTP a mnohé další.
A konečně neméně důležitá vlastnost Rebolu je, že jeho skripty můžeme pouštět přímo z internetu:
do http://www.adresa.com/skript.r
A nyní můžeme provádět nekonečné kombinování jednotlivých příkazů a skriptů. Například obrázkové tlačítko se spouštěcím příkazem do. Klikneme-li na obrázek, spustí se skript.r:
view layout [
backcolor white
image http://www.adresa.com/grafika/obrazek.jpg [ do http://www.programy.com/skripty/skript.r ]
]
Nyní se dostáváme k samotnému zápisu skriptových souborů.
Každý soubor Rebolu začíná hlavičkou, která popisuje jeho obsah, jméno, autora, verzi, datum, historii a další informace. Hlavičky jsou zapsány v meta-data formátu, který je kompatibilní s Rebolem. To umožňuje vyhledávačům založeným na bázi Rebolu zjistit všechny informace o souboru.
Takto může vypadat minimálně zapsaná hlavička. Datum a verze jsou napsány v rebolovském datovém typu:
REBOL [
Title: "Můj skript"
Date: 20-May-2003 Author: "Petr"
Version: 1.0.0
5. Aplikace pro ř ešení problému
5.1. Načtení dat z Yahoo
Prvním krokem v řešení problému řady je možnost tuto řadu mít k dispozici. Internetový server Yahoo tuto možnost dává, a to dokonce nejen ve formě webové stránky, ale také jako stažitelný soubor typu *.csv, což je datový soubor, kde jsou data oddělena čárkou. Vzhled stránky je možno shlédnout jako přílohu. Aplikace simuluje činnost uživatele na této stránce, kde provádí následující kroky. Vybere si časový úsek, interval (den, měsíc, rok). Po potvrzení se otevře nová stránka dohromady zmíněnou adresu. Nejprve máme doménu table.finance.yahoo.com, za kterou následuje
table.csv?a=" a "&b=" b "&c=" c "&d=" d "&e=" e "&f=" f
"&s=%5Edji&y=0&g=d&ignore=.csv
kde a, b, c, d, e, f jsou proměnné nesoucí dny, měsíce a roky. Interval je vyjádřen proměnnou g. Ovšem pro mé potřeby je vhodné počítat s denním intervalem.
Data se načtou v poli bloků, které dále převedu na dvourozměrné tak, že jeden blok vystupuje jako jeden den, který má šest položek. V tomto poli se mohu pohybovat podobně jako v souřadném systému, např. pole/2/3 znamená třetí položka druhého bloku. Dále tento postup využívám jako pole/:i/:j, například v cyklech, kdy postupně „projíždím“ všechny položky.
Převod na dvourozměrné pole provádím pomocí cyklu loop, kde rozděluji původní pole na části po šesti položkách, které zapisuji do bloků.
Zároveň logaritmuji každou denní závěrečnou hodnotu DJIA, se kterou posléze počítám.
Funkce:
Načítání dat provádí funkce djia
kde v argumentu vystupuje od a do jako datum začátku, resp.
konce, deklarované v Rebolu typem date!.
Převod pole na dvourozměrné zajišťuje funkce prevod, ale také funkce log zároveň s logaritmováním dat
Logaritmování provádím rebolovskou funkcí log-e pro přirozený logaritmus.
V této práci je index sledován s délkou časového kroku 1 měsíc = 1/12. Tato volba je motivována faktem, že pro mnohaleté pozorování je měsíční interval relativně krátký a předpokladem, že v měsíčním intervalu se projeví předpokládaná nezávislost náhodných veličin.
5.2. Výpočet statistických veličin
K měření časové řady potřebuji znát některé statistické veličiny, jimiž jsou roční míra výnosnosti µ a rozptyl σ2 . Tyto hodnoty vypočítám ze zlogaritmovaných přírůstků indexu a časových přírůstků podle vztahů uvedených výše v kapitole 4.
Tyto vzorce jsem použil ve tvaru
( )
výpočet rozptylu slouží funkce rozptyl.Přesnost výpočtů spočítáme jako rozdíl skutečné a odhadované hodnoty u přírůstku a podíl u odchylky.
95996
µ... odhadovaná hodnota µ ... skutečná hodnota
T ... součet časových přírůstků = celkový čas 1,95996 ... koeficient pro pravděpodobnost 95%
MIN
n odchylky odpovídající simulacím. Abychom mohli míru výnosu změřit s přesností na 1%, potřebovali bychom k tomu přibližně 1218 let. Tuto hodnotu dostaneme položením vzorce rovného 0,01 a vyjádřením času. Výše zmíněný vzorec k výpočtu přesnosti Studentovo rozdělení nenajdeme tolik hodnot. Z těchto důvodů zůstáváme u Normálního rozdělení.
5.3. Simulace náhodného pohybu
Pro porovnání skutečných dat s teorií, jinými slovy zjištění, zda je řada DJIA popsatelná geometrickým Brownovým pohybem, byla použita jeho simulace. Náhodná veličina
ξ
bylazískána ze serveru www.random.org. Zpracoval jsem ji funkcí normal-ppf inverzní k funkci normal-distrib (normální rozdělení), aby měla parametry normálního rozdělení a dosadil do vzorečku pro přírůstek indexu
t t
S = ∆ + ∆
∆ln µ. σ.ξ. . (7) viz. (4)
S náhodnou veličinou simulujeme celou zlogaritmovanou číselnou řadu ekvivalentní ke skutečné řadě. Postup jsem zopakoval třikrát a tyto tři výsledné grafy porovnal s grafem ze skutečných hodnot. K optickému posouzení jsem grafy poskytl deseti lidem, z nichž šest rozpoznalo skutečnou křivku od simulovaných. To znamená, že mohu s 95% pravděpodobností konstatovat, že průběh řady DJIA nevykonává náhodnou procházku, protože vykazuje o mnoho menší kmitání a celkově budí klidnější dojem, než náhodne křivky.
Simulaci provádí funkce simul, která si zavolá funkci ran, která stahuje náhodná čísla ze serveru www.random.org, jenž poskytuje skutečně náhodná čísla, na rozdíl od funkcí, např.
implementovaných v programovacích prostředích, typu randomize, ze kterých dostaneme pouze pseudonáhodná čísla. Tato vlastnost spočívá v tom, že jestliže se čísla generují nějakým algoritmem, nutně se musejí někdy v budoucnu opakovat stejné kombinace. Avšak na www.random.org získávají čísla pomocí vysílání nepoužívaných rádiových vln, které nelze nijak předem odhadnout. Zvuky jsou zpracovány pomocí mikrofonu do pracovní stanice a převzorkovány jako 8-bitový mono signál na frekvenci 8 kHz. Používá se poslední bit, který se dále zpracuje, aby poskytnul kýžený výsledek v podobě čísla.
Pro simulované řady vyšly hodnoty µS1=4,6%, µS2=2,2%, µS3=7,8% a σS1=17,9%, σS2=17,5%, σS3=17,8%.
A nyní se můžete se mnou podívat na výsledné grafy a pokusit se je porovnat a tím poznat, který není simulace:
PRŮBĚH 1
0 2 4 6 8 10 12
1.1.1930 2.1.1940 2.1.1950 3.1.1960 3.1.1970 4.1.1980 4.1.1990 5.1.2000 čas
index
PRŮBĚH 2
0 2 4 6 8 10 12
1.1.1930 2.1.1940 2.1.1950 3.1.1960 3.1.1970 4.1.1980 4.1.1990 5.1.2000 čas
index
PRŮBĚH 3
0 2 4 6 8 10 12
1.1.1930 2.1.1940 2.1.1950 3.1.1960 3.1.1970 4.1.1980 4.1.1990 5.1.2000 čas
index
PRŮBĚH 4
0 2 4 6 8 10 12
1.1.1930 2.1.1940 2.1.1950 3.1.1960 3.1.1970 4.1.1980 4.1.1990 5.1.2000 čas
index
5.4. Kumulace a hustota pravděpodobnosti
Výsledky simulace jsou dále zpracovány, abychom dostali grafy, na kterých jsou rozdíly více patrné. První takový graf je kumulativní křivka, jejíž hodnoty νi na ose x jsou dány vztahem
i i i
i t
t S
∆
∆
−
= ∆ σ
ν ln µ (8)
a hodnoty na ose y, tzv. „ranky“ spočívají podle Mediánovy metody v rozdělení osy na 1/n-tiny
+1
=n
R i .
Pro tento účel jsou vypracovány funkce kumul pro skutečná data a kumulsim pro simulovaná data.
Opět se na dalších stránkách podíváme na grafy, přičemž tentokrát je už změna výrazně patrná.
KUMULACE 1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
KUMULACE 2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
KUMULACE 3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
KUMULACE 4
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Derivací kumulační křivky dostaneme křivku hustoty pravděpodobnosti, kde je rozdíl podle mého názoru nejvíce zřetelný. Tuto úpravu provádí funkce deriv, která na ose x rozdělí hodnoty do úseků po 300 z důvodu zahlazení příliš velkých kmitů, které jinak znesnadňují pohled na celkový průběh. Derivaci osy y vypočítá jako
i
Znovu se podíváme na grafy a potom si řekneme, které grafy nevycházejí ze simulace a z jakých důvodů.
HUSTOTA 1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
HUSTOTA 2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
HUSTOTA 3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
HUSTOTA 4
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Výsledek zní, že u všech třech průběhů, tedy logaritmů indexu, kumulativní křivky a hustoty pravděpodobnosti, jsou první tři grafy simulované a skutečný graf má číslo 4. Zde máme ideální průběhy kumulace a hustoty. Simulace se jim velmi blíží.
IDEÁLNÍ KUMULACE
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
IDEÁLNÍ HUSTOTA
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
5.5. Ověření Kuiperovou metodou
Kuiperova metoda vylepšuje Kolmogorov-Smirnovův test, který je citlivý pouze na okrajích spektra. Na rozdíl od ní
F je distribuční funkce veličiny V, tj.
Uveďme tabulku QKP(V) pro N > 900:
V QKP(V)
1 0
0,055 0,05 (krit)
0,051 0,1
0,038 0,5
0,027 1
Tab.5.1. Závislost QKP na V (hodnoty jsou orientační)
Pro normalizovanou napozorovanou veličinu (8) stanovíme distribuční funkci, kterou Kuiperovou metodou budeme srovnávat s distribuční funkcí rozdělení N(0,1). Ukázalo se, že při použití odhadů parametrů vzorci (5), (6) byla hypotéza, že veličina νi (8) má normální rozdělení, zamítnuta. Zvolil jsem tedy následující postup. Parametry µ,σ2 odhaduji tak, aby Kuiperova veličina V byla minimální. Užil jsem při tom gradientní metody pro minimalizaci
min V(µ,σ2).
Tímto postupem jsem dostal
µ=0,041 σ2=0,107 a odpovídající hodnota V=0,00112.
Jelikož tato hodnota je menší než Vkrit, vidíme, že pro jisté hodnoty parametrů µ,σ2 lze přijmout hypotézu, že veličina ν (viz. (8)) má normální rozdělení. Dále je nutno ověřit hypotézu, že napozorované hodnoty νi představují realizaci
Obr.5.1. Ilustrace meření rozdílů
Označme počet změn znamének ν1, ν2,...,νn symbolem PZ.
Potom PZ má přibližně normální rozdělení N(Np, Np2) kde p = 2 1, N = 900.
Potom
15 450
4 900
2 900
= −
− PZ
PZ
má přibližně rozdělení N(0,1).
V našich datech je počet změn 430 a tedy
333 , 15 1
450 430− =−
Jelikož kritická hodnota rozdělení N(0,1) pro pravděpodobnost 0,95 je 1,96, hypotézu o nezávislosti přírůstků přijímáme.
5.6. Seznam použitých rebolovských funkcí
djia – převzata a výrazně upravena: stahování dat prevod – vlastní: převod dat do pole bloků
log – vlastní: převod dat do pole bloků a logaritmování log2 – vlastní: totéž jako log, ale pro krok 1 měsíc
uloz – vlastní: ukládání potřebných dat z pole do souborů uloz-ln – vlastní: ukládání obecné řady do souboru
stred – vlastní: výpočet výnosnosti µ rozptyl – vlastní: výpočet odchylky σ
rozsim – vlastní: výpočet odchylky obecného pole
chybami – vlastní: výpočet přenosti odhadu výnosnosti µ
chybasig – vlastní: výpočet přenosti odhadu výnosnosti σ ran – převzata a lehce upravena: stahování náhodných čísel simul – vlastní: používá ran, provede náhodnou simulaci a uloží řadu do pole a do souboru
kumul – vlastní: výpočet paramterů kumulativní křivky ze skutečných hodnot, uložení do souboru *.xls
kumulsim – vlastní: výpočet paramterů kumulativní křivky ze simulace, uložení do souboru *.xls
kuiper – vlastní: provádí Kuiperův test
distrib – vlastní: používá normal-distrib, vytvoří řadu pro ideální křivku Normálního rozdělení
density – vlastní: používá normal-density, vytvoří řadu pro ideální křivku hustoty pravděpodobnosti
normal-density – převzata: výpočet hodnoty pravděpodobnosti normal-distrib – převzata: používá simple, spočte hodnotu Normálního rozdělení
ppf – převzata: používá simpleppf, inverzní k normal-distrib
simple, simpleppf – pomocné funkce
6. Záv ě r
Vyřešením úlohy časové řady DJIA pro časový krok 1 den se potvrdila domněnka z posledních let, že řada Dow Jones Industrial Average nevykonává náhodnou procházku geometrickým Brownovým pohybem. Postupoval jsem následujícím způsobem:
1) Seznámení s problematikou burzovních indexů 2) Prostudování serveru http://finance.yahoo.com 3) Získání hodnot DJIA
4) Matematické úpravy hodnot DJIA 5) Ověření hypotézy a odhad přesnosti 6) Grafické znázornění výsledků
Hlavní pozitivní výsledek diplomové práce lze shrnout do následující úvahy:
Hlavní pozitivní výsledek diplomové práce lze shrnout do následující úvahy: