Diskussion

Som en inledning i detta kapitel redogör vi sammanfattande för de mönster vi har sett mellan enkätresultat och den undervisning vi har observerat.

Totalresultaten i enkäterna visar med ett medelvärde för varje klass (tabell 4) att eleverna i klass B upplever sin undervisning i matematik som mer begriplig, hanterbar och meningsfull än eleverna i klass A och C. Medelvärdet av totalresultatet för eleverna i klass B var 90,8 v.e. Eleverna i klass A fick medelvärdet 85 v.e och eleverna i klass C fick medelvärdet 85,1 v.e. Skillnaden mellan klass B och klass A är således 5,8 v.e. Skillnaden mellan klass B och klass C är 5,7 v.e. För att tydliggöra skillnaden med ett fiktivt exempel avrundar vi för detta exempel både 5,8 v.e och 5,7 v.e till 6,0 v.e. Skillnaden mellan klass B och klass A och C (6,0 v.e) kan exemplifieras av att alla elever i klass A och klass C skulle ha svarat sällan och alla elever i klass B skulle ha svarat ofta på samma sex påståenden.

Dessa resultatskillnader, relaterade till de observationer av undervisning vi har beskrivit och analyserat, sammanfattas nedan.

Den undervisning som ägde rum i klass B till skillnad från klass A och C genomsyrades i större utsträckning av ett klimat där ett syfte med ämnet matematik och elevernas uppgifter var uttalat. Det matematiska innehållet var mer tydligt relaterat till det arbetssätt som användes för stunden och kopplingen dem emellan var oftare uttalad. Eleverna i klass B kunde i högre grad uttrycka sig muntligt i hel- och halvklass utan att det som sades direkt bedömdes. De fick även möjligheter att förstå matematiken utifrån en helhet och sin egen verklighet. Lärare B erbjöd i större utsträckning än lärare A och C flera olika arbetssätt inom samma moment och dessutom lärarledda samman- fattningar där dagens, gårdagens och morgondagens lektioner knöts ihop. Lärare B var dessutom synligt mer engagerad i ämnet matematik och de uppgifter eleverna ställdes inför, än lärare A och C.

Spontant vill vi gärna se direkta relationer mellan enkätresultaten i klasserna A, B och C och den undervisning som lärare A, B och C stod för. Eftersom enkäten, som ligger till grund för det resultat som här diskuteras, är utformad och skapad av oss vill vi dock göra klart att inga definitiva

slutsatser kan dras med utgångspunkt i dessa resultat. Alltför många faktorer kan ha spelat in i varför eleverna svarade på påståendena som de gjorde. Faktorer som kan ha spelat in är t ex: förhållanden hemma; allmän självuppfattning i skolan; allmän självuppfattning i alla livsområden; dagsform då enkäten besvarades; olika tolkningar av påståendena mellan olika elever. Med detta i åtanke kan alltså, som skrivet ovan, inga definitiva slutsatser dras utifrån de tre lärarnas

undervisning i matematik och dess konsekvenser på deras elevers upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i matematikundervisningen. Dock anser vi att den undervisning alla elever tar del av i sina klasser ska räknas in som en stark påverkansfaktor på elevernas upplevelse av matematikundervisningen om inte den enskilt starkaste. Med utgångspunkt i att den undervisning som lärare A, B och C organiserar, genomför och utvärderar påverkar deras elevers

upplevelse av undervisningen ifråga kan vi börja diskutera det resultat vi har analyserat ovan i kap 4.

Betydelse av resultat relaterat till tidigare

forskning

Antonovsky (2005) hävdar att den salutogena teori han har utvecklat som har utmynnat i begreppet KASAM (Känsla Av SAMmanhang) endast kan appliceras på livet som en helhet och inte på olika livsområden var för sig. Antonovsky (2005) har definierat de tre upplevelseaspekterna begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet, som ligger till grund för en persons KASAM. Denna definition står att läsa i början av kap 2 under rubriken ”Teoretiskt perspektiv”. Med en utgångspunkt i de texter och styrdokument vi har presenterat under rubriken ”KASAM relaterat till skolans styr- dokument” finner vi dock en tillräckligt god grund att applicera dem på ett enskilt livsområde, skolan. Vi har även utifrån det begränsat området ytterligare genom att bara fokusera på matematikundervisning.

Ett exempel på stöd som vi har funnit i styrdokumenten för att kunna applicera de tre begreppen på matematikundervisning kan nämnas Läroplanskommittén (1992). De lyfter vid ett flertal gånger att det grundläggande för en god bildning är att eleverna får många möjligheter att lära i meningsfulla situationer. Vidare ska elevplaner, enligt Skolverket (2008), hjälpa elever att se sitt arbete som begripligt, hanterbart och meningsfullt. Här dyker de tre begreppen upp precis som de är skrivna i sitt ursprungliga sammanhang (Antonovsky, 2005). I en telefonintervju med Mona Bergman (091118) berättade hon att man på Skolverket såg dessa tre begrepp som en genomgående upplevelsegrund ur elevers perspektiv och en utgångspunkt för allt arbete i och för skolan. Vidare berättade Mona Bergman att man använde de tre begreppen, direkt hämtade från Antonovsky (2005) som grund i många av sina texter, på vår fråga om Skolverket eller hon själv hade definierat begreppen utifrån undervisning var svaret att inga definitioner fanns att tillgå. Klart är dock att vi kan luta oss mot Skolverket och Mona Bergman (091118) när vi använder begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet för att undersöka elevers upplevelse av matematikundervisning. Mycket av den forskning vi har presenterat under rubriken ”Tidigare forskning” rör frågor som handlar om lärares ansvar att skapa situationer för eleverna att uppleva undervisningen begriplig, hanterbar och meningsfull. Relaterat till upplevelsen av begriplighet efterfrågar t ex Wyndhamn (1987) och Samuelsson och Lawrot (2009) en undervisning som prioriterar gedigen förståelse och menar att muntlig matematik har en roll att spela där språket kan kommunicera och utveckla en elevs förståelse både för denne själv och för läraren. Vår uppfattning är att läraren har en stor potentiell informationskälla i eleverna för att kunna utveckla sin undervisning. Om läraren skapar sig en förståelse för elevens upplevelse av matematikundervisningen kan ett utvecklande samarbete mot en större begriplighet införlivas. Detta bör, som sagt, gynna både eleven och läraren. Det som Wyndhamn (1987) och Samuelsson och Lawrot (2009) efterfrågar ovan får stöd i vår undersökning som visade att den klass där muntlig matematik ägde rum i störst utsträckning också hade elever som starkast upplevde begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i matematik- undervisningen. Vi fann i vår undersökning att lotsning var den oftast förekommande vägledningen av läraren gentemot eleverna. Även lärare B, vars elever fick de högsta resultaten i vår enkätundersökning, använde sig mest av denna metod. Om eleverna enbart får en vägledning där det rätta svaret är

målet anser vi att både läraren och eleven förlorar på det i slutänden. Eleven då han/hon missar väsentliga kunskaper mot fortsatt lärande i matematik och läraren då han/hon antagligen kommer att behöva lägga mer energi i framtiden på att förklara redan genomgångna kunskapsområden och kanske får stå till svars för bristande resultat i tester/prov. Foisack (2003) skriver att en lärares vägledning av en elev bör vara av typen scaffolding där eleven tar eget ansvar för tolkning av processen i arbetet samt får utföra den fysiska handling det innebär. Detta för att vägledningen ska vara begreppsutvecklande och främjande av gedigen förståelse. Emanuelsson (1998) menar att just denna gedigna förståelse är en sorts dynamiskt kunnande som i motsats till statiskt kunnande kan generaliseras och således användas i flera olika situationer. En förutsättning, tror vi, för att detta dynamiska kunnande och en gedigen förståelse ska utvecklas hos alla elever är att läraren kontinuerligt sätter sig in i var och en av elevernas upplevelse av sin egen förståelse av och förförståelse till de uppgifter de ställs inför.

Enligt vår definition av begriplighet ska eleven uppleva att det som sker i matematikundervisningen är gripbart, förståeligt och förutsägbart. Om lektionerna i matematik tar sin början enbart på grund av yttre omständigheter, t ex att rasten är slut, framkommer det inte vad som kommer att hända och vad som krävs av eleverna inför stundande matematiklektioner. Undervisningen blir allt annat än förutsägbar. Utifrån vår undersökning kan vi se att den klass där inledning och avslutning av matematiklektioner var tydligast, och där det informerades om vad lektionerna har handlat och ska handla om, hade elever som starkast upplevde begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i matematikundervisningen. Vi tror att många lärare missar vikten av tydliga ramar i matematik- undervisningen. Tydliga ramar och tydligt innehåll tror vi skapar en större möjlighet för eleverna att nå en upplevelse av att undervisningen är gripbar, förståelig och förutsägbar. Skolverket

uppmärksammar detta resonemang i sin rapport ”Lusten att lära: med fokus på matematik” (2003) och skriver att s. k sammanhangmarkeringar i undervisningen, där läraren tydliggör samband mellan olika företeelser under tid, är en viktig förutsättning för elevers lärande. Detta tror vi är av ännu större vikt vid arbete mot yngre åldrar för att eleverna ska kunna veta vad som förväntas av dem under kommande lektionen och kunna knyta an till tidigare kunskaper.

Lärare A och C i vår undersökning vandrade mellan både innehåll och arbetssätt under en och samma lektion utan tydlig koppling till varandra vilket skapade ett osammanhängande intryck för oss observatörer. Detta kan skapa ett glapp mellan elever och undervisningsstoff. Ett glapp som för en del elever kan ta hela lektionstiden att fylla upp. När dessa elever är på jakt efter en förståelse av lektionens innehåll kan energi förloras åt att samtidigt förstå och följa med i oannonserade och icke underbyggda byten mellan innehåll och arbetssätt. Samuelsson och Lawrot (2009) lyfter också denna problematik då de menar att varje nytt kursmoment kräver en abstraktionsförmåga av eleverna. Detta bör läraren, enligt dem, beakta för att främja elevernas upplevelse av hanterbarhet och inte riskera att eleven krävs på en förmåga som inte är tillräckligt utvecklad. Frågan vi ställer oss är om läraren vid dessa tillfällen är medveten om vilka höga krav hon ställer på eleverna. Konkret material var någonting som framförallt två av lärarna använde sig av, dock i olika stor utsträckning. Malmer (2002) förespråkar användandet av konkret material för att konkretisera abstrakta fenomen så att eleverna kan få större möjligheter att tillgodogöra sig det matematiska innehållet. I vår undersökning framkom det dock att elevers upplevelse av begriplighet,

hanterbarhet och meningsfullhet inte måste påverkas positivt av användande av konkret material. Materialet i sig är inte alltid konkretiserande då lärarens presentation och hantering av materialet spelar en avgörande roll. Den lärare vars klass hade högst enkätresultat hade en uttalad tanke och en

tydlig struktur kring hanteringen av materialet vilket skilde sig från övriga lärare. Att

organiseringen i sig av ett material har en stor betydelse för elevers möjligheter till lärande är inte något nytt. I ”Skola för bildning” (Läroplanskommittén, 1992) nämns organisationen av skolans verksamheter som en möjlig påverkansfaktor av elevers kunskapsutveckling. De menar att skolan måste erbjuda sammanhang där kunskapandet blir meningsfullt. Att erbjuda elever konkret material är i sig alltså inte en garanti för kunskapsutveckling. De sammanhang där materialet presenteras och nyttjas spelar en stor roll för det lärande som sker.

Det framkom i vår undersökning att enskilt arbete i läroboken eller framlagda stenciler inte alltid är en undervisning som främjar förståelse hos eleverna. Johansson (2006) skriver att även om alla elever börjar i samma kapitel i boken så dröjer det oftast bara till fjärde lektionen innan alla elever arbetar spritt i samma kapitel. Detta menar hon gör det svårt för läraren att vägleda eleverna på ett optimalt sätt. Detta arbetssätt försvårar också för aritmetisk doping som myntats som begrepp av Löwing och Kilborn (2002). Vi ställer oss frågan hur läraren kan se om en elev verkligen har en kunskap om den aktuella matematiken utifrån en kompetens och inte bara en färdighet när han/hon arbetar i sin lärobok. Samtidigt visade det sig också i våra observationer att i de klasser där eleverna arbetade nära läroboken fanns en tendens hos eleverna att mäta sig med varandra utifrån antal gjorda sidor eller antal rätt i boken. I en av klasserna uppmuntrade även läraren, omedvetet eller medvetet, ett snabbt genomförande av lärobokens uppgifter då de elever som var klara fick göra vad de ville resten av lektionen. Att antalet utförda uppgifter fungerar som motivation rimmar illa med kursplanen i matematik (Skolverket, 2008) där undervisningen ska ge eleven möjlighet att utöva matematik i meningsfulla och relevanta situationer. Eleven ska också få möjlighet att aktivt och öppet söka efter förståelse av problem. Om eleverna inte finner matematik som ämne

meningsfullt i sig tror vi att risken är stor att matematik till slut hamnar långt ner på elevernas lista över ämnen där de finner lust att lära.

En intressant företeelse vi fann när vi observerade en elev med lägst upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i sin klass, var att denna elev hela lektionen satt vid sin bänk och arbetade koncentrerat i läroboken. Wyndhamn (1987) tar upp detta fenomen och menar att man som lärare inte får luras av ett sådant beteende. Att en elev på ytan verkar arbeta ändamålsenligt kan vara ett mekaniskt görande då förståelsen har missats fullständigt. Då vi inte har relaterat våra resultat till kunskap vet vi inte var denna elev befinner sig rent kunskapsmässigt. Att eleven, enligt enkäten, upplever sig ha sådan låg upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i matematiken är dock nog så anmärkningsvärt. Kan detta fenomen generaliserat vara en anledning till att så många som 27 procent av eleverna inte når upp till kravnivån i de nationella proven i år 3 beträffande förståelse för de fyra räknesätten (Skolverket, 2009)? Hur många elever sitter i sina klassrum och plikttroget räknar tal efter tal utan någon egentlig förståelse för sitt handlande? Konsekvenserna av detta bör i längden bli förödande då matematiken utvecklas och blir än mer abstrakt i de högre åldrarna. Att elever ofta inte förstår vad de håller på med i ämnet matematik var någonting som Malmer och Kronqvist (1993) också kom fram till i sin forskning. De menar att eleverna måste kunna tolka de matematiska symbolerna och uppleva att de är bärare av ett verkligt innehåll för att processen ska vara meningsfull. Undervisning med tydligast relationer till elevernas verklighet fann vi enligt vår undersökning i den klass med elever som hade starkast upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i matematikundervisningen och möjligtvis är detta arbetssätt en bidragande orsak till det höga resultatet. Även företeelsen att arbeta med höga tal i matematiken får en annan innebörd om det höga talet relateras till någonting i elevernas vardag.

De elever som fick högst resultat i vår undersökning verkade genomgående ha höga förväntningar på sig själva samt uppleva att även andra hade höga förväntningar på dem. Utifrån vår definition av meningsfullhet är just positiva förväntningar något som betonas. Enligt ”Den individuella

utvecklingsplanen med skriftliga omdömen: allmänna råd och kommentarer” (Skolverket, 2008) visar entydiga forskningsresultat att positiva och höga förväntningar på elevens skolarbete är av stor betydelse för elevens framgång. Enligt Samuelsson och Lawrot (2009) menar Brophy (2004) att lärarens förväntningar är en del av att eleven ska finna ett värde i matematiken. Finner eleven att ett värde skapas kring hans/hennes undervisningssituation kan detta fungera som motivation för eleven att försöka utföra uppgifterna han/hon ställs inför. En annan sak som framkom under våra

observationer var att elevernas motivation ökade då deras egna idéer, tankar och viljor fick en naturlig plats i arbetet. Detta är också någonting som påpekats i ”Skola för bildning” (Läroplans- kommittén, 1992) där författarna menar att barnens nyfikenhet bör tillvaratas för att grundlägga en lust att lära. De menar att kunskaperna bör organiseras med utgångspunkt i barnens frågor. Stedoy (2006) menar att det i dag råder en internationell enighet kring att den som lär bör vara aktivt involverad i sin egen lärandeprocess. Detta är också någonting som våra resultat kan styrka då den klass där eleverna fick vara mest aktiva i undervisningsprocessen också hade starkast upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.

Sammanfattningsvis kan vi se mönster i vår undersökning där undervisningsstruktur utgör en stor skillnad mellan klasserna. Tydliga ramar både vid inledning, avslutning och under lektionerna innebär större möjligheter för lärande. Dessa behöver förmedlas till eleverna så att de vet vad som förväntas av dem. Eleverna behöver få utrymme under lektionen att komma till tals men det är, som tidigare sagt, lärarens ansvar att sätta tydliga ramar för vad som då är aktuellt för diskussion. Eleverna behöver också bemötas med ett öppet förhållningssätt där deras svar inte alltid bedöms som rätt eller fel. Matematiken kan innehålla flera vägar mot en lösning och lärarens lösning är inte alltid den bästa. Här kan båda parter utveckla ett utbyte av idéer och läraren kan även få en insikt i elevernas förkunskaper i det aktuella ämnesområdet. Om eleverna får ta del i och påverka sin lärandeprocess är det troligt att eleven också lyckas förstå sin omvärld utifrån ett matematiskt perspektiv samt finna den meningsfull. Positiva förväntningar och ett förhållningssätt från läraren som visar en lust att lära matematik utgör skillnader hos eleverna. Läraren behöver visa eleverna att lektionsinnehållet är viktigt.

Frågan är då bara hur läraren ska kunna veta om eleverna upplever matematikundervisningen begriplig, hanterbar och meningsfull. Vi återkopplar till det vi skrev i början av denna uppsats under rubriken ”Inledning”:

För att en lärare ska ge alla elever en så stor chans som möjligt att utveckla sin matematiska förståelse tror vi att läraren kontinuerligt behöver ifrågasätta den undervisningskultur som han/hon har skapat. Det kan man göra genom att försöka sätta sig in elevernas upplevelsevärld. Frågor som läraren bör ställa sig kan förväntas utgå från eleverna: Hur upplever eleverna undervisningen i matematik? På vilket sätt behöver jag som lärare utveckla min undervisning för att alla elever minst ska nå uppnåendemålen och må så bra som möjligt på matematiklektionerna?

Vi anser att vårt underordnade syfte, att finna och utveckla en metod för lärare att bli medvetna om sina elevers upplevelser av matematikundervisning, är uppfyllt då våra undersökningsresultat

avslöjar mönster mellan undervisningspraktiker och elevers upplevelser av begriplighet,

hanterbarhet och meningsfullhet. Vi anser att detta legitimerar ett användande av enkäten och att läraren utifrån det kan ifrågasätta den undervisningspraktik han/hon har skapat.

Reflektion över forskningsprocessen

Denna process har varit lång men givande. Att definiera begrepp utifrån matematikundervisning, som från början är skapade ur ett hälsoperspektiv, var till en början en stor utmaning. Vi var dock hela tiden fast övertygade om att det skulle gå att genomföra. Vi fann att Skolverket (Bergman, 091118) tagit fasta på de tre, i denna studie genomgående använda begreppen och använder dem som en betydande grund för kunskapsutveckling. Under processens gång har vi blivit än mer övertygade om vad dessa begrepp har för betydelse för matematikutveckling samt vikten av att ta del av elevers upplevelse av undervisning i allmänhet.

Det är för alla elever vi vill utveckla matematikundervisning. Alla elever har rättigheten att få den bästa undervisning som går att skapa och för att detta ska vara möjligt menar vi att eleverna bör få vara delaktiga i utvecklingsprocessen av undervisningen.

Vår undersökning genererade en stor mängd data och information. Det var till en början svårt att begränsa sig då vi ansåg att det var mycket som var relevant och intressant att fortsätta undersöka. Vi har gång på gång ventilerat våra tankar och idéer för att hitta och upprätthålla ett fokus i vår studie och för att kunna tydliggöra i denna uppsats vad vi kommit fram till.

Om vi skulle genomföra en liknande studie igen skulle vi antagligen ha försökt strukturera vår arbetsgång tydligare från början. Samtidigt som detta arbetssätt har varit givande har vi mer eller mindre förutsättningslöst försökt finna grund och underlag för våra tankar om att de tre begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet kan ha en stor betydelse för utveckling av

matematikundervisning.

Nya frågor/vidare forskning

Vi finner många nya områden att utforska utifrån de resultat som framkom i vår undersökning. Då