Matematikundervisning relaterad till elevers
upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och
meningsfullhet
Fredrik Sandberg och Sandra Ström
Institutionen för didaktik och pedagogiskt arbete
Examensarbete 15 hp Matematikundervisning
Självständigt arbete UDA01L 15 hp Höstterminen 2009
Examinator: Ingrid Berglund
English title: Education in mathematics related to students sense of Comprehensibility,
Sammanfattning
Syftet med vår studie var att öka kunskapen om verksamma lärares undervisningspraktik i ämnet matematik relaterat till elevers upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och
meningsfullhet i densamma. Dessa tre begrepp utgör i sitt ursprungliga sammanhang
komponenterna i KASAM (Känsla Av SAMmanhang), ett begrepp som har skapats av Aaron Antonovsky (2005). De tre begreppen definierades i relation till matematikundervisning för att kunna appliceras på denna studie. Ett underordnat syfte med studien var även att utveckla och utvärdera en metod för lärare att bli medvetna om sina elevers upplevelse av matematik- undervisning. I denna studie undersöktes undervisningspraktiker i ämnet matematik bedrivna av tre utbildade lärare i år 3 och jämförde med hur eleverna i respektive lärares klass upplevde undervisningen utifrån begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet. För att ta reda på lärares undervisningspraktik i ämnet matematik användes metoden observation och för att ta reda på elevers upplevelse av matematikundervisningen användes metoden enkätundersökning.
Författarna skapade en enkät utifrån det KASAM-test som Antonovsky (2005) har utformat.
Våra undersökningsresultat visade att i den klass där eleverna starkast upplevde begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i matematikundervisningen ägde en undervisning rum som i störst utsträckning genomsyrades av ett klimat där ett syfte med ämnet matematik och elevernas uppgifter var uttalat. Det matematiska innehållet var tydligast relaterat till det arbetssätt som användes för stunden och kopplingen dem emellan var oftast uttalad. Vidare erbjöds dessa elever i störst utsträckning flera olika arbetssätt inom samma moment och dessutom lärarledda sammanfattningar där dagens, gårdagens och morgondagens lektioner knöts ihop. Eleverna i denna klass kunde uttrycka sig muntligt i hel- och halvklass utan att det som sades direkt bedömdes. De fick även möjligheter att förstå matematiken utifrån en helhet och sin egen verklighet. Läraren i denna klass var dessutom synligt mer engagerad i ämnet matematik och de uppgifter eleverna ställdes inför.
Nyckelord
Matematik, Undervisning, Upplevelse, Begriplighet, Hanterbarhet, Meningsfullhet
Kapitel 1 Bakgrund...2
Inledning... 2
Kunskapsområde...3
Syfte och problem...5
Syfte... 5
Forskningsfrågor – exempel...5
Kapitel 2 Teoretiskt perspektiv...6
KASAM... 6
KASAM relaterat till skolans styrdokument...7
Centrala begrepp...9
Tidigare forskning...10
Didaktiska teorier i matematik...11
Kapitel 3 Metod...16
Urval... 16
Enkätundersökning...16
Uppläggning, val och genomförande...17
Observation... 19
Uppläggning, val och genomförande...19
Materialbearbetning...20
Etiska aspekter...22
Uppläggning, val och genomförande...23
Kapitel 4 Resultat...24
Beskrivning av data/empiri...24
Enkätresultat...24
Observation av undervisning utifrån ett helhetsperspektiv samt ett individperspektiv...27
Analys av data/empiri...33
Begriplighet...33
Hanterbarhet...36
Meningsfullhet...38
Kapitel 5 Diskussion...41
Betydelse av resultat relaterat till tidigare forskning...42
Reflektion över forskningsprocessen...46
Nya frågor/vidare forskning...46
Referenser...48
Bilagor...51
Bilaga 1: Samtyckesenkät för elever...52
Bilaga 2: Samtyckesenkät...53
Bilaga 3: Identifierad undersökningsenkät...54
Bilaga 4: Anonym undersökningsenkät...57
Bilaga 5: Enkätmall kopplad till begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet...60
Kapitel 1 Bakgrund
Inledning
Ingen annan ska bestämma över ditt matematiska lärande utan att du är delaktig. (Ljungblad, 2006 s.39)
Ann-Louise Ljungblad, specialpedagog som många år forskat inom området matematiksvårigheter, skriver detta i boken ”Matematik – en mänsklig rättighet” (2006). Att uttrycka matematik som en mänsklig rättighet kan ses som en överdriven formulering, samtidigt känns den självklar. Alla har rätt att under sin skolgång få möjligheten att lära sig matematik. Varför skulle eleverna då inte också få vara delaktiga i det som sker? Från den tid då författarna till denna studie gick i grund- skolan finns inga minnen av att eleverna fick ta del av undervisningen på ett konstruktivt sätt.
Läraren var den som bestämde vad som skulle ske och hur det skulle utföras, vad som var rätt och vad som var fel. Läraren skapade en norm som vi elever fick förhålla oss till efter vår bästa förmåga.
Dessa normer finns än i dag i skolan utifrån vad vi har sett under våra praktikperioder. Om än i mindre skala än för 20 år sedan. Normerna skiljer sig åt för olika klasser och i olika skolor, inte minst i matematikundervisningen. Man kan säga att det råder olika kulturer, sätt att se på matematikundervisning, i olika klasser och skolor. Det sätt som en lärare väljer att se på kunskapsutveckling i ämnet matematik gäller inte för en annan lärare.
För att en lärare ska ge alla elever en så stor chans som möjligt att utveckla sin matematiska förståelse tror vi att läraren kontinuerligt behöver ifrågasätta den undervisningskultur som han/hon har skapat. Det kan åstadkommas genom att försöka sätta sig in elevernas upplevelsevärld. Frågor som läraren bör ställa sig kan förväntas utgå från eleverna: Hur upplever eleverna undervisningen i matematik? På vilket sätt behöver jag som lärare utveckla min undervisning för att alla elever minst ska nå uppnåendemålen och må så bra som möjligt på matematiklektionerna?
Skolinspektionens kvalitetsgranskning av undervisningen i matematik (2009) visar att det finns lärare som tillgodoser elevers olika sätt att lära samt att de försöker variera arbetssätten för att skapa en lustfylld matematikundervisning. Samtidigt visar rapporten att många elever inte får den
undervisning de har rätt till. Många elever är inte ens medvetna om de mål de förväntas uppnå.
Frågan man kan ställa sig är om lärarna ifråga vet att eleverna upplever det så, att eleverna inte har en aning om vad som förväntas av dem.
Vi tror att elevers upplevelse av undervisningen är en oerhört viktig aspekt av vad läraren bör grunda sin utveckling av undervisning på. Vi tror även att en matematikundervisning där elevers upplevelser utgör en naturlig del av lärarens planering kan skapa en känsla av sammanhang hos eleverna som kan bidra till en förståelse byggd på begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
Kunskapsområde
Matematikundervisning har studerats mycket. Det finns många olika tankar om hur
matematikundervisning bör genomföras för att kunskaperna hos eleverna ska öka maximalt. En del tycker att matematikundervisning inte bör genomföras med en lärobok då den anses alltför snäv för att kunna möta alla elever utifrån deras tidigare kunskaper och förståelse (Kronqvist & Malmer, 1993). Andra menar att en lärobok kan vara till stöd för att alla elever ska ha rätt att nå de
kunskapsmål som finns i matematik (Johansson, 2006). Även lektioner emellan, som på en nivå är lika, menar Runesson (2004) att det finns skillnader som kan förefalla subtila men som är
avgörande för vad eleverna faktiskt lär sig. Dessa skillnader kan vara en förklaring till om eleverna har lyckats skapa sig en förståelse för den aktuella matematiken. Detta kan också vara illustrativt för de resultat på de nationella proven där utformningen av uppgifterna kan skilja sig från det som eleven sedan tidigare är bekant med. Finns inte förståelsen tror vi att det är svårt att applicera kunskaperna på olika typer av uppgifter. Ett sådant exempel som vi har fått berättat för oss i en skola var en mätuppgift i de nationella proven för år 3. Eleverna fick i uppgiften tillgång till en avbruten linjal som inte började på noll. Många elever i den aktuella skolan förstod inte hur de skulle kunna mäta ett objekt med en avbruten linjal. De hade dock fått möjlighet att träna mätning under sina lektioner och var inte obekanta med företeelsen men när mätinstrumentet såg annorlunda ut kunde de inte applicera sina kunskaper i detta nya sammanhang. Detta anser vi vara ett exempel på att eleverna troligtvis mätt saker utan att egentligen förstå mätandets princip.
Skolverket skriver i ett pressmeddelande 21 oktober 2009 att de efter att ha sammanställt de nationella proven i matematik för år 3 kommit fram till att delprovet rörande förståelse för de fyra räknesätten visar att 27 procent av eleverna inte når upp till lägsta kravnivån. Att det just är förståelsen som brister tolkar vi som att många elever räknar mekaniskt under lektionerna i matematik. Med mekaniskt räknande menar vi att det bara handlar om ett görande utan förståelse.
Vad detta beror på kan spekuleras i men några möjliga förklaringar står att finna i matematik- delegationens betänkande ”Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens” (2004). Här framställs läraren och dennes situation som delegationens viktigaste fråga just nu. De menar att läraren är den enskilt viktigaste påverkansfaktorn för elevers kunskapsutveckling och det är upp till läraren att leda en undervisning med meningsfullt innehåll och att stimulera barns matematik- lärande. Matematikdelegationen (2004) deklarerar tydligt sitt avståndstagande från den växande trend av enskilt räknande som de uppmärksammat. De menar att om eleverna ska få lust till och vilja att lära sig meningsfull matematik krävs att tiden för matematikundervisning utnyttjas bättre.
Den internationella undersökningen TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) genomfördes våren 2007 och Sverige deltog i undersökningen bland annat utifrån elevers kunskaper i matematik i år 4 och år 8. I rapporten från TIMSS framgår det att Sverige inte har fler elever som tillhör de mest lågpresterande än genomsnittet för EU/OECD-länder men däremot har Sverige en mindre andel elever som högpresterar på provet. Testet åskådliggör också att svenska elever är relativt sett sämre på att använda begrepp och fakta än genomsnittet. En annan aspekt som visade sig var att elever som angett att de har gott självförtroende att lära och positiv inställning presterade bättre på provet än elever som uppgett att de har sämre självförtroende och mindre positiv inställning.
Många diskussioner har förts och förs fortfarande angående hur man på bästa sätt kan möta elever i deras matematikutveckling. Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM) har publicerat en
bok, ”Lära och undervisa matematik – internationella perspektiv” (2006), utifrån resultaten av ett internationellt samarbete. Studierna i boken visar bredden inom didaktiken i ämnet matematik och det gemensamma intresset i att utveckla matematiklärandet för alla. I det inledande kapitlet skriver Boesen (2006) att det i dag existerar en stor enighet om det värdefulla i att alla lär sig matematik i skolan. Han menar att synen på matematik har förändrats från att se inlärning som en kumulativ process att stegvis tillägna sig fakta och färdigheter till att se lärandet som en process att konstruera kunnande och att förklara, skapa och anpassa detta till vår omvärld. Elever utmanas nu att upptäcka, konstruera, verifiera och diskutera idéer. De ska söka samband mellan olika begrepp och konstruera meningsfulla helheter ur erfarenheter. Boesen (2006) är övertygad om att alla kan lära sig
grundläggande matematik med relevant stöd och god undervisning.
Detta är också någonting som Ann-Louise Ljungblad (2006) skriver om. Efter att ha arbetat som specialpedagog och många år forskat inom området matematiksvårigheter menar hon att alla elever har möjlighet att på olika sätt erövra ett personligt matematiskt kunnande samt att alla elever faktiskt har rätt att få möta en undervisning som kan ta tillvara individers olikheter och möjligheter.
Ljungblad (2006) menar att vi mer och mer går ifrån synsättet att den person som inte är duktig i matematik är ointelligent. Detta har i tider påverkat människors självbild. Samtidigt tar hon upp en stor studie i Finland genomförd av Linnanmäki (2002) där man studerade två faktorer: prestation och självbild. I alla skolans ämnen fanns det fyra olika uppfattningar, utom i matematik. Där fanns det bara två: hög prestationsförmåga och hög självuppfattning samt låg prestationsförmåga och låg självuppfattning. Slutsatsen hon drar är att självuppfattningen är starkt knuten till att kunna
tillgodogöra sig matematikundervisningen. En grundläggande värdering inom
matematikundervisning som hon lyfter är att alla har rätt till sin egen tanke. Elever måste få pröva sina tankar och mötas av en positiv respons. Alla har vi t ex olika bilder av hur tal förhåller sig till varandra. Ansvaret vilar på läraren att möta eleven snarare än att förvänta sig att eleven ska kunna tillgodogöra sig lärarens sätt att presentera matematik. Enligt Ljungblad (2006) är uppfattningen och upplevelsen av matematik hos människor komplexa. Hon menar att det antagligen finns lika många sätt att tänka matematik som det finns människor.
Många frågor har också ställts av forskare vad det är som gör att en del elever inte tar till sig lärarens undervisning. Många lösningar har hittats och publicerats. Det är för eleverna dessa ansträngningar görs. Det är för eleverna som forskare vänder och vrider på de elementära kunskaperna för att alla elever ska få möjligheten att nå målen. Det är för eleverna som lärarna varje dag planerar sina matematiklektioner. Har det någon betydelse om ingen tar reda på vad eleverna i den aktuella klassen upplever relaterat till den matematikundervisning som läraren ifråga försöker bedriva? Begreppet uppleva kan tyckas vara diffust och abstrakt vilket leder oss till att försöka hitta forskning där mer konkreta begrepp används som kan fungera som jämförelsebara helhetsskapande aspekter av personers upplevelser.
En internationellt känd medicinsk sociolog och professor i ämnet, Aaron Antonovsky, myntade begreppet KASAM (Känsla Av SAMmanhang). Antonovsky (2005) skriver att en stark känsla av sammanhang innebär att man på ett framgångsrikt sätt kan hantera livets påfrestningar. Att ha en känsla av sammanhang, stark eller svag, innebär en helhetskänsla av sin omvärld utifrån personens upplevelser av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
Vi är övertygade om att dessa tre begrepp är värdefulla att beakta beträffande elevers upplevelse av matematikundervisning. En lärare bör organisera, genomföra och utvärdera sin undervisning med utgångspunkt i elevernas upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet för att eleverna i slutänden ska nå så högt uppsatta ämnesmål som möjligt.
Syfte och problem
Vi ska, med hjälp av vårt valda teoretiska perspektiv, försöka finna och diskutera didaktiska lösningar som påverkar elevers upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet positivt och negativt i matematikundervisningen.
Syfte
Syftet med vår studie är att öka kunskapen om verksamma lärares undervisningspraktik i ämnet matematik relaterat till elevers upplevelse av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet i densamma. Som ett underordnat syfte vill vi även utveckla och utvärdera en metod för lärare att bli medvetna om sina elevers upplevelse av matematikundervisningen.
Forskningsfrågor – exempel
1. Hur ser tre olika lärares undervisningspraktik ut i ämnet matematik?
2. Hur upplever eleverna i respektive lärares klass ämnet matematik utifrån begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet?
Det totala kunskapsområdet inom ämnet matematik är stort men vi har nu redogjort för det område som vi anser vara relevant för denna studie. I kapitel 2 redogör vi för det teoretiska perspektiv och de centrala begrepp samt tidigare forskning som vi kommer att analysera och diskutera våra insamlade data utifrån.
Kapitel 2 Teoretiskt perspektiv
Det teoretiska perspektiv som vi har valt att använda är den salutogena teorin utarbetad av Aaron Antonovsky (2005). Nedan följer en presentation av honom och hans teori. Sedan redogör vi för de styrdokument för skolan vi hittat som nämner och resonerar kring ursprungliga och likartade begrepp som härrör från Antonovskys teori.
KASAM
Aaron Antonovsky (1923-1994) var under sin levnadstid en internationellt erkänd och högt respekterad medicinsk sociolog och prefekt vid Ben Gurion University of the Negev, Beersheba i Israel. Antonovsky föddes i Brooklyn i, New York, USA men emigrerade 1960 till Israel. Han har arbetat med att undersöka skillnader i dödlighet och sjuklighet mellan olika samhällsklasser.
Antonovsky (2005) gjorde flera djupintervjuer med människor som hade varit med om svåra trauman men som trots detta verkade må mycket bra. Detta ledde till ett utvecklande av den salutogena teorin som resulterade i att han myntade begreppet KASAM (Känsla Av SAMmanhang, engelsk översättning: Sense of coherence).
Aaron Antonovskys salutogena teori innebär att istället för att försöka finna orsaker till sjukdom fokuserar man på salutogena faktorer som får människan att bli och vara frisk (Antonovsky, 2005).
Saluto betyder hälsa och genesis betyder ursprung. Direkt översatt betyder då salutogen hälsans ursprung. Antonovsky (2005) skriver att en stark känsla av sammanhang innebär att man på ett framgångsrikt sätt kan hantera livets påfrestningar, s. k stressorer. Detta betyder att man har starka GMR (generella motståndsresurser) som fungerar som en motverkande kraft mot de påfrestningar vi möter i livet. Begreppet KASAM består av tre olika delar. Att ha en känsla av sammanhang, stark eller svag, innebär en helhetskänsla av sin omvärld utifrån personens upplevelser av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet. Dessa tre komponenter är oupplösligt sammanflätade med varandra.
En upplevelse av begriplighet för en människa ger en känsla av att förstå det som pågår runt omkring. Omvärlden upplevs greppbar och förutsägbar.
En upplevelse av hanterbarhet för en människa ger en känsla av att kunna hantera det man upplever en begriplighet av, det man förstår. Man anser sig ha tillgång till de inre och yttre resurser som krävs för att kunna hantera de situationer man ställs inför.
En upplevelse av meningsfullhet för en människa ger en känsla av motivation att över huvud taget engagera sig i de situationer man ställs inför. En upplevelse av meningsfullhet är en förutsättning för att man ska kunna uppleva begriplighet och hanterbarhet. (Antonovsky, 2005)
Antonovsky (2005) skriver att om en person har en stark KASAM så ligger känslorna till grund för handling. Känslorna har en fokuserande effekt. Om man har en svag KASAM ligger känslorna till
grund för att bli paralyserad. Känslorna är då diffusa och har en distraherande effekt. Personer med en stark KASAM låter sina känslor komma upp till ytan och låter sig själv vara öppen med dem.
Det är då lättare att handskas med problem man ställs inför (Antonovsky, 2005).
Enligt Antonovsky (2005) är den salutogena teorin och begreppet KASAM en global hållning som bara är applicerbart på livet som en helhet. Han skriver vidare att KASAM och de tre
upplevelseaspekterna (begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet) inte kan användas på eller relateras till ett enskilt livsområde, såsom skolan. Dock har vi hittat flera texter relaterade till skolan där dessa begrepp samt likartade begrepp nämns, diskuteras och används som en grund för styrande av skolan.
KASAM relaterat till skolans styrdokument
Vi kommer nedan att redogöra för stycken och citat ur texter och styrdokument relaterade till skolan där ursprungliga och likartade begrepp från Antonovskys (2005) salutogena teori nämns och diskuteras. De texter som utdragen är hämtade från är: Läroplanskommitténs huvudbetänkande
”Skola för bildning” (1992); ”Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet Lpo 94” (Skolverket, 2006); ”Grundskolan: kursplaner och betygskriterier”
(Skolverket, 2008); ”Den individuella utvecklingsplanen med skriftliga omdömen: allmänna råd och kommentarer” (Skolverket, 2008). Efter citat följer en tolkning av oss.
Efter att ha läst ”Den individuella utvecklingsplanen med skriftliga omdömen: allmänna råd och kommentarer” (Skolverket, 2008) hittade vi ett stycke där författaren till texten direkt använder Antonovskys (2005) tre begrepp begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
Alla människor kan utvecklas och växa. Resultaten från forskning visar entydigt att höga och positiva förväntningar har stor betydelse för elevers framgång i skolarbetet. Det är därför viktigt att insatser och förändringar planeras och beskrivs så att elevens självuppfattning och självtillit bevaras och stärks. Väsentligt är att planen hjälper eleven att se sitt arbete som meningsfullt, begripligt och hanterbart. Den framåtsyftande planeringen ska innehålla realistiska målsättningar för eleven och konkret beskriva vilka insatser som ska göras av skolan och vad eleven och vårdnadshavaren kan göra för att eleven ska ha framgång i skolarbetet (Skolverket, 2008, s. 16.).
Vår tolkning av detta citat är att det inte bara är elevplanen i sig som ska hjälpa eleven att se sitt arbete som meningsfullt, begripligt och hanterbart. Efter en kort telefonintervju med Mona Bergman (091118), författare till texten ovan, framkom det att dessa tre begrepp (meningsfullhet, begriplighet och hanterbarhet) på Skolverket anses vara nyckelord för en god undervisning i alla ämnen. Vi blev hänvisade att läsa Läroplanskommitténs huvudbetänkande ”Skola för bildning”
(1992) som låg till grund för ”Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet Lpo 94” (Skolverket, 2006). Nedan är några citat hämtade från ”Skola för bildning”
(Läroplanskommittén, 1992).
Kunskap är inte en avbildning av världen, utan ett sätt att göra världen begriplig. Kunskap är beroende av sitt sammanhang, vilket utgör den (tysta) grund mot vilken kunskapen blir begriplig (s. 26). Att förstå är att begripa, att uppfatta meningen eller innebörden i ett fenomen (s. 32).
Om skola och lärare anser att det är värdefullt för eleverna att uppfatta mening och innebörd i begrepp och fenomen måste de, enligt vår tolkning av ovanstående citat, värdesätta och arbeta för elevers förståelse av det ämne de arbetar med.
I skolan måste eleverna få möta, lära känna och utveckla kunskaper inom olika
kunskapsområden. Dessa kunskaper omfattar såväl frågor och svar som förmågan att hantera praktiska och mentala verktyg (s. 41).
För att en elev ska kunna generalisera sina kunskaper och hantera dem för att lösa problem i olika situationer måste eleven, enligt vår tolkning av ovan skrivna citat, få utveckla denna förmåga genom att möta kunskaper och information inom olika kunskapsområden.
För att grundlägga en lust att lära och ta tillvara barnens nyfikenhet, kan kunskaperna istället organiseras med utgångspunkt i barnens frågor. Senare, när de har kommit i kontakt med tillräckligt många olika kunskapsområden kan en organisering av innehållet i termer av ämnen vara rimlig (s. 46).
Ovan beskrivs en del av en progression i uppdelning av kunskapande i skolämnen. Vår tolkning av detta citat är att kunskapsområdena under de första skolåren bör organiseras med elevernas frågor och intressen som grund för att hos eleverna skapa en lust att lära.
Fakta är kunskap som information. Förståelse är kunskap som meningsskapande. Färdigheter är kunskap som utförande. Förtrogenhet är kunskap som omdöme (s. 47).
Vår tolkning av detta citat är att kunskap som förståelse måste beaktas och vara en utgångspunkt för lärarens undervisning om läraren och skolan värdesätter meningsskapande elever.
Kunskaper kan inte betraktas som färdiga produkter, som kan förstås isolerade från de
sammanhang där de utvecklades. På samma sätt påverkas elevernas kunskapsutveckling av hur skolans verksamhet är organiserad. Skolan måste erbjuda ett socialt sammanhang där elevernas kunskapande blir meningsfullt. Eleverna måste tillägna sig begrepp och strukturer från olika ämnesområden på ett sätt så att de kan fungera som intellektuella verktyg (s. 48).
Vi tolkar detta citat som att elevernas kunskapande bör vara meningsfullt och att det är skolans ansvar att skapa sammanhang som krävs för att detta meningsskapande ska äga rum. Dessutom måste eleverna tillägna sig kunskap som kan fungera som generaliserbara tankeredskap.
Ur samhälleligt perspektiv betraktar vi forskning som den verksamhet som producerar ny kunskap medan skolan i allmänhet betraktas som en kunskapsreproducerande institution. Frågan är om inte skolan också måste vara producerande eftersom den skall erbjuda möjligheter att förstå nya problem och sammanhang (s. 52).
Författarna menar, enligt vår tolkning, att förståelse av verklighetsanknutna sammanhang och autentiska problem bör värdesättas i skolan.
Delvis ur dessa citerade stycken sprang år 1994 ”Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet Lpo 94” (Skolverket, 2006) och således även ”Grundskola:
kursplaner och betygskriterier” (Skolverket, 2008). Nedan följer några utdrag ur denna läroplan och kursplan.
I Lpo 94 står det skrivet att skolan ska bidra till elevers harmoniska utveckling. Läraren ska samtidigt tillsammans med eleverna planera och utvärdera undervisningen samt organisera och genomföra sitt arbete så att eleven upplever att kunskapande är meningsfullt.
En harmonisk utveckling, som nämns ovan, tolkar vi som att eleverna upplever att de är en del av ett sammanhang, att eleverna känner att deras åsikter har betydelse för det egna lärandet. I och med att Lpo 94 lägger vikt vid att läraren tillsammans med eleverna ska planera sin undervisning tyder vi det som att läraren bör sätta sig in i elevernas upplevelsevärld. Eftersom lärare, som skrivet ovan, också ska genomföra sitt arbete så att eleverna upplever kunskapandet meningsfullt bör det inte finns några andra vägar dit än att ta reda på i vad, var och hur eleverna upplever meningsfullhet.
Enligt kursplanen i ämnet matematik (Skolverket, 2008) ska undervisningen ge eleven möjlighet att
utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på problem (s.26).
Att aktivt och öppet kommunicera matematik mot en förståelse borde enligt oss vara en självklarhet i undervisningen. Att lärare, eller möjligtvis elever, lyfter relevanta och meningsfulla situationer som diskuteras utifrån ett matematiskt perspektiv är enligt oss ett arbetssätt som kan främja elevers upplevelse av konkretion i ett annars så abstrakt ämne som matematik.
Ett mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det tredje skolåret i matematik är bland annat att eleverna ska kunna:
uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av vardagligt språk, grundläggande matematiska begrepp och symboler, tabeller och bilder (s.28).
Enligt vår tolkning av detta citat bör elever få möjlighet att först förstå och begripa de matematiska begreppens innebörd innan de avkrävs att kunna uttrycka dem i symboler, tabeller och bilder.
Med stöd i ovan nämnda styrdokument och dess användning av begrepp som är identiska med eller tangerar Antonovskys (2005) tre komponenter, begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet, motiverar vi vår användning av dessa tre komponenter som centrala begrepp i denna studie för att undersöka matematikundervisning och elevers upplevelse av densamma. Nedan presenterar vi de centrala begreppen i denna studie samt vår definition av dem. Därefter redogör vi för tidigare forskning om didaktiska teorier i ämnet matematik relaterat till de centrala begreppen.
Centrala begrepp
De centrala begreppen i denna uppsats är begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet. Det är samma tre begrepp som Antonovsky (2005) en gång använde i sina teorier och undersökningar om hälsans ursprung. Innan vi använder dem för att analysera våra resultat bör de tolkas och definieras av oss utifrån det område vi rör oss inom, nämligen lärares matematikundervisning och elevers upplevelse av densamma. Vi upplever det svårt att helt särskilja de tre begreppen från varandra
eftersom deras betydelser i vissa sammanhang är lika men vi har ändå försökt definiera dem var och en för sig.
Begriplighet
Att uppleva begriplighet i matematikundervisningen är att just begripa den. Att känna att skeenden runt omkring, aktiviteter och de uppgifter man ställs inför är gripbara, förståeliga och förutsägbara.
Upplevelsen av begriplighet har innebörden att man verkligen förstår de begrepp man använder i arbetsprocessen med en uppgift, inte bara att förstå hur man ska få rätt svar, utan snarare att förstå och kunna förklara den väg som leder fram till rätt svar. Tvärtemot mekanisk oreflekterad handling innebär upplevelse av begriplighet att känna att man bemästrar förståelsen av de handlingar man utför.
Hanterbarhet
Att uppleva hanterbarhet i matematikundervisningen innebär att man upplever sig besitta de resurser som krävs för att kunna hantera det som sker runt omkring och de uppgifter man ställs inför. Det innebär att uppleva att man kan möta och tillmötesgå de krav som är ställda av läraren - via stenciler och mattebok - på gruppen och på mig som enskild elev. Att uppleva hanterbarhet av en uppgift betyder inte alltid att man ska kunna lösa uppgiften och få rätt svar utan snarare att uppleva att man har de intellektuella och praktiska verktyg/resurser samt annan hjälp som krävs för att ha möjligheten att förstå uppgiften.
Meningsfullhet
Att uppleva meningsfullhet i matematikundervisningen är att förstå och uppleva ett syfte med ämnet matematik, de uppgifter i matematik man ställs inför och att känna en drivkraft att vilja lära sig matematik. Det innebär i sin tur en känsla av lust och motivation att ta sig an allehanda
matematiska problem. Man själv och andra viktiga personer har positiva förväntningar att man kommer att lyckas.
Tidigare forskning
Vi har varit intresserade av forskning som berör eller snuddar vid matematikundervisning relaterat till de våra centrala begrepp. Vi har sökt på databaserna http://www.sub.su.se/, www.kb.se/libris, http://scholar.google.se/intl/sv/scholar/about.html/ och CSA Illumina efter avhandlingar och artiklar med hjälp av sökord såsom ”matematikundervisning” tillsammans med sökorden som redovisas nedan. De sökord som vi har använt för att leta matematikdidaktiska teorier är de centrala begreppen samt likartade begrepp. Sökorden är:
Begriplighet: Förutsägbarhet, förståelse, insikt, förklaring, information, upplysning, struktur och regler, tydlighet, benämningar, regelbundenhet, sammanhangsmarkeringar.
Hanterbarhet: Resurser, möjligheter, kontroll, bemästra, behärska, tillgångar, kunskap, påverka, optimism, tillit, trygghet
Meningsfullhet: Framtidstro, delaktighet, positiva illusioner, gemenskap, tillhörighet, sammanhang, engagemang, intresse, motivation, lust, nyfikenhet.
Didaktiska teorier i matematik
Nedan redogör vi för olika författares teorier om hur undervisning i matematik bör förhålla sig till elever och kunskap och vilka antaganden samt förhållningssätt undervisningen bör utgå ifrån.
Teorierna är uppdelade under rubrikerna Begriplighet, Hanterbarhet och Meningsfullhet efter vilka av dessa tre begrepp teorierna är relaterade till.
Begriplighet
En färdighet kan ses som automatiserad kunskap men den behöver inte vara grundad i en god förståelse. Wyndhamn (1987) menar att en lärare inte får luras av en elevs beteende. På ytan är beteendet ändamålsenligt och mekaniskt men innehållet kan ha missats fullständigt. Malmer (1983) diskuterar även hon vikten av att prioritera innehållet framför formen. En undervisning som
fokuserar först och främst på helheten för att sedan analysera alla delar efterlyses. För att eleverna t ex ska få en förståelse för talrelationer bör läraren ge eleverna möjligheter att använda konkret material utifrån uppgifter som motiverar eleven att se kopplingar mellan olika områden och räkneoperationer. Clarke (2006) tar upp införandet av algoritmer i de tidigare skolåren och
diskuterar matematikens roll som bör utvecklas från ett mer mekaniskt lärande till främjande av en djupare förståelse. Han menar att ett tidigt införande av algoritmer kan få allvarliga konsekvenser på elevers förståelse och självförtroende. Detta är en sammanfattning av forskningsresultat med speciellt fokus på tänkbara risker med att införa algoritmer för tidigt. Tesen i artikeln är att de tidigare åren i skolan bör ägnas åt att fördjupa begreppsutveckling och huvudräkningsstrategier.
Clarke (2006) skriver att standardalgoritmer inte bör införas de första fem åren utan att eleverna i stället bör ges ett problemlösningsfokus genom att möta en mängd varierande problem,
företrädelsevis från områden som intresserar dem.
Både Malmer (2002) och Wyndhamn (1987) förespråkar även att muntlig matematik får en stor plats i klassrummet. Språket kan fungera som en brygga mellan verkligheten och begrepp. Eleven kan med hjälp av språket bygga upp matematiska föreställningar av verkligheten. Språket kan också visa vilka uppfattningar eleven har av ett område och vilka begrepp eleven verkligen förstår.
Samuelsson och Lawrot (2009) argumenterar också för detta och att läraren bör ställa frågor till eleverna som får dem att argumentera för sina lösningar. Då använder eleverna språket för att både för sig själva, och för läraren, ta reda på vilken förståelse de besitter. Dessutom är verbaliseringen viktig för att utveckla förståelsen skriver Wyndhamn (1987), som menar att lärarens frågor till eleverna är en kritisk punkt i matematikundervisningen. De frågor som ställs bör inte vara lotsande, dvs. att läraren hjälper eleven runt den egentliga problematiken utan att låta eleven få en chans att förstå vad han/hon gör. Foisack (2003) diskuterar skillnaden mellan lotsning och scaffolding.
Interaktion mellan lärare och elev är grundläggande för båda och det kan därför ibland vara svårt att skilja dem åt. Med stöd av Schoultz (1999) och Säljö (2000) skriver Foisack (2003) att lotsning dock innebär att eleven tillåts undvika den centrala problematiken och ta ställning utan att ha
kognitiv kontroll. Detta är inte begreppsutvecklande eller förståelsefrämjande, medan scaffolding ger eleven möjlighet att utveckla förståelse. Vid lotsning utför eleven handlingar på instruktion av en vuxen. Vid scaffolding får eleven själv bära ansvar för både tolkningen av vad man skall göra för att nå målet och för att dessutom utföra den fysiska handlingen.
Stedoys (2006) har skrivit en rapport som ingår i ett utvecklingsprojekt med syfte att förändra klassrumspraktiken mot mer elevaktiva arbetssätt. Stedoy (2006) menar att det i dag finns
internationell enighet om att den som lär behöver vara aktivt involverad i sin egen lärandeprocess.
Hon använder i sin rapport ett verktyg av Clarke (2006) för att identifiera undervisning av hög kvalitet. En av de punkter som ingår i verktyget handlar om att läraren använder informella utvärderingsmetoder som grund för beslut om undervisningen. Använder läraren det har hon en uppfattning om vikten av att observera och lyssna på eleverna för att få en uppfattning om deras tänkande vilket kan användas för att planera fortsatt undervisning. Under projektets gång blev lärarna mer medvetna om vikten av att lyssna på elevernas idéer i syftet av att möta deras behov för att bygga upp begreppslig förståelse utifrån deras egna erfarenheter och tidigare kunskaper.
Emanuelsson (1998) diskuterar också kring förståelse och kunskap. Han skiljer på flexibelt och dynamiskt kunnande i relation till statiskt och passivt. Emanuelsson (1998) menar att den elev som besitter flexibelt och dynamiskt kunnande kan generalisera sina kunskaper, använda dem i olika sammanhang. Han frågar sig vad som fokuseras i skolan. Ska eleverna kunna regler utantill eller ska de utveckla en förståelse? I en skola som beskrivs i forskningstexten arbetar man med matematik enbart utifrån projekt och problemorienterande uppgifter. I en annan är arbetet starkt styrt av läraren och läroboken. I den första skolan når eleverna helt klart godare kunskapsresultat.
Hanterbarhet
För att främja elevers upplevelse av hanterbarhet bör läraren, enligt Samuelsson och Lawrot (2009), beakta svårigheten för många barn att abstrahera. Varje nytt kursmoment kräver en viss
abstraktionsförmåga av elever. För att undvika att elever krävs på en förmåga som kanske inte är tillräckligt utvecklad måste alla elever ha förstått den matematik som det nya kursmomentet bygger på. För att börja med ett nytt matematiskt område krävs en konkret bakgrundserfarenhet som grund.
Liknande resonerar Ahlberg (2000) som hävdar att de matematiska symbolerna och begreppen inte får införas förrän eleverna har en begreppslig förståelse för dem. Ett tomt nyttjande av symboler utan förståelse främjar inte elevers känsla av kontroll och förståelse. Läraren bör kontinuerligt kontrollera elevernas uppfattning av de matematiska symbolerna och begreppen för att inte, som ovan beskrivet, påbörja ett undervisningsmoment för tidigt. Även Wyndhamn (1987) förespråkar att det är av stor vikt att läraren vet vilka kunskaper eleven bör ha/besitter innan läraren fortsätter sin undervisning. Malmer (2002) anser också att läraren bör vänta med symbolerna tills eleverna har bildat sig en stabil förståelse av begreppen.
Just denna förmåga att hantera abstrakta begrepp är grundläggande för att en elev ska kunna tillgodogöra sig matematikundervisning (Malmer, 2002). Som skrivet ovan förespråkar Malmer (2002) att konkret material används för att just konkretisera och gestalta det abstrakta momentet i matematiken. Löwing och Kilborn (2002) är dock noggranna med att påpeka att detta laborerande med material måste vara bara en övergångsfas. Målet med användningen av material måste vara att eleverna ska utveckla förmågan att själva, utan material, kunna utföra de abstrakta processerna i huvudet.
Enligt Samuelsson och Lawrot (2009) menar Brophy (2004), Marshall (1984) och Jenner (2004) att läraren spelar stor roll för vilken dialog som förs i klassrummet och vilket förhållningssätt till kunskap som präglar den. För att alla elever ska känna att matematiken är möjlig att förstå behöver undervisningen i matematik präglas av ett tillåtande gruppklimat. Läraren måste vara empatisk, förstående och tålmodig för att alla elever ska tillåtas arbeta och få hjälp på sin förståelsenivå.
Samuelsson och Lawrot (2009) påpekar också att undervisning som bygger på korta lärarledda genomgångar med efterföljande enskild elevträning av innehållet missgynnar många elevers möjligheter att utveckla en gedigen förståelse av det matematiska innehållet. Enligt Samuelsson och Lawrot (2009) menar Magne (1998) att matematik utan utrymme för diskussioner kring olika idéer och tolkningar lätt kan uppfattas som en mängd färdiga odiskutabla regler. Överbetonande av läraren av vad som är rätt och fel i sin undervisning skapar och förstärker dessutom stresstendenser hos elever.
Wyndhamn (1987) skriver att matematiska problem bör vara hämtade från en miljö eller kontext som är bekant för eleven för att eleven ska få goda möjligheter att kunna lösa problemet. Eftersom ett begrepps betydelse varierar beroende på situation, miljö och tid måste läraren tänka på att presentera begreppet i många olika sammanhang och vara öppen för diskussion.
Kilborn och Löwing (2002) presenterar begreppet aritmetisk dopning. Detta begrepps användning förutsätter att vi ser på kunskap tvådelat, som kompetens och färdighet. En elev kan t ex ha den kompetens som krävs för att förstå vad areabegreppet innebär, dvs. storleken av en yta. Om samma elev inte behärskar de numeriska operationer som uppgifterna om area är uppbyggda av lyckas inte eleven lösa uppgifterna trots att kompetensen finns. Elever som hänger med på kompetensnivån slås ut på grund av för högt ställda krav på färdighetsnivån. Eleverna kan därmed tappa förtroendet till sin förmåga och kompetens och således till slut även sin egentliga förståelse för begreppet area.
Istället för att då ge elever uppgifter som avhandlar ett specifikt område i matematik som samtidigt kräver av eleverna en förmåga att utföra komplicerade räkneoperationer kan uppgifterna
aritmetikdopas. När uppgifterna aritmetikdopas bygger alla uppgifter från början i varje
matematiskt område på grundläggande aritmetiska färdigheter. Senare kan större krav ställas på denna förmåga.
Meningsfullhet
Enligt Samuelsson och Lawrot (2009) har Brophy (2004) myntat begreppet expectancy-values som innebär att en persons motivation inför något beror på hur stort värde detta har för personen. Det värde en elev ger en uppgift påverkas av uppgiftens svårighetsgrad, uppgiftens innehåll, lärares och föräldrars förväntningar och elevens självuppfattning i ämnet ifråga. Enligt Samuelsson och Lawrot (2009) menar Brophy (2004) att det är avgörande för en elevs motivation till uppgifter i matematik vilka förväntningar som finns på att eleven kommer att lyckas med dessa. Linnanmäki (2002) har studerat elevers matematikprestationer och självuppfattning. Hon skriver att det upplevs viktigt att lyckas i matematik, både för eleverna själva och för deras föräldrar, då det är ett ämne som genom tiderna har haft hög status i skolan.
Relaterat till en uppgifts innehåll skriver Löwing och Kilborn (2002) att diffus orientering, när eleven inte förstår varför han/hon ska lära sig något, är ödesdigert för motivationen. Syfte och
motiv med uppgifter i matematik är ett måste för att hålla lusten att lära levande. För att öka känslan hos elever att det finns ett syfte med matematiken är vardagsanknytningen viktig. Samuelsson och Lawrot (2009) menar att lärares förmåga att få eleverna att se nyttan av att kunna använda
matematiken i vardagen är motivationshöjande och därmed resultatfrämjande. Liknande resonemang förs av Dahl (1995) som skriver att en demokrati är beroende av att människor kan vara kritiska mot siffror. För att detta ska ske måste de ha lärt sig att använda sina matematiska kunskaper i verkligheten. Således måste lärare tänka på att konkretisera matematiken, sätta in den i ett sammanhang. Löwing och Kilborn (2002) resonerar vidare att den verklighetsanpassning som bör finnas i matematikundervisning samtidigt som den diskuteras i vardagliga ordalag måste kopplas och refereras till med det formella matematikspråket och de formella symbolerna. De steg som läraren tar för att möta eleven språkligt där de är bör tas med en fot kvar i det matematiska språket. Annars riskerar de två olika språken att inte relateras till varandra.
Number sense är ett begrepp som framförs av Reys and Reys (1995). Om en elev har number sense kan eleven foga samman ny information med redan förvärvad kunskap och ha en drivkraft att göra det. Begreppet innebär ett fokuserande på meningsskapande istället för ett automatiskt användande av formler och regler utan förståelse. Lärarens roll här är att ställa nyckelfrågor som får eleven att reflektera och finna samband mellan tal och områden för att nå en djupare kunskap i matematik. Att skapa en atmosfär som uppmuntrar utforskande, reflektion och diskussion ökar möjligheterna för att eleverna ska skaffa sig en number sense. Aktiviteter som gynnar ett utvecklande av number sense präglas av ett processorienterat arbetssätt där eleverna ofta får tänka på vad de gör och där många olika lösningsstrategier uppmuntras. Ahlberg (2000) nämner också det viktiga i att eleverna får många möjligheter i olika sammanhang att dela upp helheter och hitta samband mellan tal. Eleverna behöver med alla sinnen erfara talens helheter och delar för att utveckla en säkerhet i senare
numeriska operationer och matematiskt tänkande. Enligt Ahlberg (2000) och Malmer (2002) besitter barn generellt från början den viljan och förmågan att hitta samband och se de naturliga helheterna mellan matematikens olika delar. Det gäller bara för läraren att beakta denna process från början och bejaka den. Läraren bör låta eleverna få möjligheter att finna dessa kopplingar i undervisningen.
En förutsättning för att barn över huvud taget ska bli intresserade av matematik och förstå dess användbarhet beror enligt Ahlberg (2000) på barnets tilltro till sin egen förmåga att förstå och lust att lära. Därför behöver läraren lägga ned mycket energi på att i matematikundervisningen stärka alla elevers uppfattningar om sig själva som matematiker. Elevernas känslomässiga inställning till ämnet behöver uppmärksammas. Malmer (2002) lägger stor vikt vid att alla lär sig saker lättare om det samtidigt är lustbetonat. Skolverkets (2003) inspektörer har undersökt vilka lärandesituationer som förekommer där elever har känt lust och motivation. Undersökningen visar att det är
lärandesituationer när både kropp och själ har engagerats. Även när de får använda språkliga uttryck i tal, skrift, bild och kroppsspråk genom t ex konst, drama, musik, lek. Förhållanden i undervisningen som är förankrade i elevernas erfarenheter och upplevelsebaserad undervisning skapar lust hos eleverna. Undervisningsmiljöer där lust och motivation hos eleverna har varit påtaglig har kännetecknats av utrymme för känsla och tanke, upptäckarglädje och engagemang hos både elever och lärare. Arbetssätten har varit varierande. Både individuellt lärande och i par/grupp med diskussion som grund. Elever har hela tiden fått möjlighet att visa sina lösningsidéer för klassen och läraren. Läraren vägleder eleverna med dialog och frågor istället för ledtrådar och lotsande (begreppet beskrivs ovan och under ”Materialbearbetning i kap 3”). Okonventionella
lösningar, okända även för läraren, är hela tiden tillåtna och välkomna. Autentiska situationer utnyttjas ofta och ämnet matematik kopplas även till andra skolämnen.
Bergius och Emanuelsson (2000) skriver att skolan och läraren i matematikundervisningen ska möta elevernas uppfattningar om vad matematik är och vad det kan användas till. För att anknyta till barns kunskaper och förförståelse måste man söka sig bortom matematikboken och stenciler.
Karakteristiska drag för framgångsrik matematikundervisning är att den bygger direkt på den kunskap elever har med sig. För att komma underfund med vilka kunskaper det rör sig om bör undervisningen präglas av ett öppet diskussionsklimat där det ömsesidiga samtalet har en självklar plats. Morten Blomhoj (2006) lektor i matematik, Danmark, menar att arbete utifrån matematisk modellering skapar en motivation till lärande och etablerar en stabil grund för förståelse. Att arbeta med matematisk modellering innebär att arbeta med en matematisk modell där en relation mellan matematiska objekt och dess relationer samt ett fenomen eller situation av icke-matematisk natur.
Läraren skapar alltså en situation från verkligheten eller en situation där eleven kan arbeta med välkända fenomen. Eleven ska utifrån detta kunna använda sig av sina matematikkunskaper i modelleringsprocessen. Malmer och Kronqvist (1993) resonerar liknande och menar att de matematiska processerna måste medvetandegöras genom läraren. Eleverna måste själva få undersöka, upptäcka och uppleva de olika matematiska områdena. Vikt bör även läggas vid att skapa inlärningssituationer där det blir naturligt för eleverna att reflektera och formulera sin tankar och dra logiska slutsatser. Malmer och Kronqvist (1993) har som utgångspunkt i sin forskning att eleverna måste kunna tolka de matematiska symbolerna och uppleva att de är bärare av ett verkligt innehåll. Det gör processen meningsfull för dem. Forskningen visar att elever ofta inte förstår vad de håller på med i matematiken. Malmers och Kronqvists (1993) tolkning av detta är att eleverna inte ser någon koppling till den egna verkligheten och att de matematiska symbolerna då blir alltför abstrakta för eleverna.
Vi har hittills presenterat syftet med denna studie, vilket kunskapsområde vi rör oss inom, vårt valda teoretiska perspektiv, motiverat användandet av våra centrala begrepp och definierat dem, samt redogjort för tidigare forskning relaterat till dessa begrepp.
Vi ska i följande kapitel 3 beskriva de metoder vi har använt vid insamlande av data i vår undersökning för att försöka besvara våra forskningsfrågor.
Kapitel 3 Metod
Relaterat till våra forskningsfrågor (beskrivs i kapitel 1) har vi med observation som metod inhämtat data som rör tre lärares undervisning i ämnet matematik. Vi har också med enkät- undersökning som metod inhämtat data som rör elevers upplevelser av respektive lärares matematikundervisning. Först redogör vi för de urval vi har gjort som gäller generellt för båda metoderna. Under varje metods rubrik ”Uppläggning, val och genomförande” skriver vi även om de urval vi har gjort som gäller specifikt för varje metod. Presentationen och redogörelsen för de två metoderna sker i ordningen ”Enkätundersökning” och sedan ”Observation”.
Urval
För att undersöka elevers upplevelser av matematikundervisning, observera matematikundervisning och sedan jämföra och diskutera dessa delar inom varje klass och mellan lärare och klasser ville vi besöka tre skolor för att få ett relativt brett underlag för analys och diskussion. Två lärare känner vi sedan tidigare och de blev tillfrågade och lämnade sitt samtycke till att vi kunde besöka dem för genomförande av observation och upplevelseenkät. Dessutom har en av oss vikarierat på en tredje skola och där hört sig för med skolledaren om möjligheten att besöka en lärare även där.
Vi har observerat lärare och elever i tre olika klasser. Eleverna vi har observerat går alla i år 3 i grundskolan och lärarna är alla tre utbildade lågstadielärare. Klasserna benämns vidare klass A, klass B och klass C. Klass A (24 elever) och klass B (10 elever) återfinns i skolor norr om Stockholm, klass C (19 elever) i en skola söder om Stockholm. De tre klassernas lärare benämns således lärare A, lärare B och lärare C. Klass B består både av elever i år 2 och år 3. Lärare B har vid varje observationstillfälle haft undervisning med hela klassen, dvs. både elever i år 2 och år 3, totalt 19 elever.
Enkätundersökning
Att använda sig av en enkät vid insamlande av data innebär frågor som besvaras med den svarandes egen hand enligt Trost och Hultåker (2007). Enkäten kan bestå av öppna och/eller slutna utsagor.
Vid öppna utsagor lämnar man, enligt Björndal (2005), mycket utrymme till den svarande att fritt tolka frågan och svara. Vid slutna utsagor lämnar man således litet utrymme till den svarande att fritt tolka frågan och svara. Trost och Hultåker(2007) nämner att gruppenkäter är vanligt
förekommande i skolor då man lätt kan nå många svarande. Viktigt är att den som sköter distributionen av enkäterna är beredd att förklara egendomligheter och att svara på frågor (Trost och Hultåker, 2007). Enkäter kan användas för att samla in data kvantitativt eller kvalitativt. Trost och Hultåker (2007) menar att en kvantitativ studie mäter värden representerade av siffror eller ord som går att jämföra medan en kvalitativ studie mäter data som inte går att jämföra med varandra på samma sätt. Viktigt är att ha syftet med enkäten klar för sig innan man utformar enkäten. Trost och Hultåker (2007) skriver att enkätskaparen måste veta vilka sorts data han/hon vill åt innan den enkäten utformas.
Björndal (2005) redogör för fördelar och nackdelar med öppna respektive slutna utsagor. Fördelar med öppna utsagor kan vara att den svarande kan ge svar som man själv kanske inte har tänkt och att den svarande kan förklara sitt svar. Dessutom kan den svarande visa oförstånd eller miss- uppfattningar. Nackdelar med öppna utsagor kan göra det svårt och tidskrävande att bearbeta svaren och jämföra svaren mellan svarande.
Fördelar med slutna utsagor kan vara att frågorna är mer konkreta och att de är lättare att jämföra mellan svarande. Det kan också vara lättare att bearbeta svaren och sammanställa dem. Nackdelar med slutna utsagor kan vara att de svarande inte får chansen att förklara varför de har svarat på ett visst sätt (Björndal, 2005).
Vår enkät är baserad på ett barnKASAM-test som i sin tur bygger på det KASAM-test som Antonovsky (2005) har utformat. BarnKASAM-testet konstruerades, enligt Ljungblad (2007), av Marka Margalit, professor vid universitet i Tel Aviv. I sina studier har Margalit framför allt fokuserat på skillnader mellan normalpresterande elever och elever med olika svårigheter (Ljungblad, 2007). Den svenska versionen av barnKASAM-testet vi använde som grund för vår enkät hämtade vi från Ljungblads studie ”KASAM och matematiksvårigheter” (2007) och är, enligt Ljungblad (2007), översatt av Anders Olsson, Familjeforum, Lund (2002).
Uppläggning, val och genomförande
Eftersom vi sökte elevernas egen tolkning av sin undervisningssituation bestämde vi oss för att använda enkäter med 27 färdiga påståenden och fyra olika svarsalternativ. De tre begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet är som skrivet ovan ibland svåra att skilja ut från varandra. Vi har ändå försökt att koppla varje påstående av alla 27 till ett av de tre begreppen.
Således avses nio frågor mäta elevens upplevelse av begriplighet, nio frågor mäta elevens
upplevelse av hanterbarhet och nio frågor mäta elevens upplevelse av meningsfullhet i matematik- undervisningen (enkätmallen med påståenden kopplade till begrepp bifogas som bilaga 5).
Eftersom vi själva stod för dessa ställningstaganden innebär detta att de enskilda resultaten för upplevelsen av de tre begreppen för varje elev och klass grundar sig i vår tolkning av påståendena och även i vår tolkning av vilket begrepp varje påstående skulle mäta. Vi är dessutom medvetna om det som Björndal (2005) tar upp, nämligen att resultaten från enkäter inte ger djupgående
information utöver det som har formulerats i påståendena men eftersom det vid mer fria utsagor är svårt att jämföra resultat mellan elever och klasser valde vi ändå detta förfaringssätt.
Varje påstående gick att besvara med ett av fyra svarsalternativ. Svarsalternativen var aldrig, sällan, ofta och alltid. På grund av att vi ville undvika en känsla hos eleverna att de utsätts för ett prov undviker vi begreppet ”poäng”. På alla påståenden utom två där vi räknar tvärtom, eftersom de avses mäta en negativ upplevelse av en aspekt i matematikundervisning, tolkas svarsalternativen av oss som att aldrig ger 1 värdeenhet (v.e). Sällan ger 2 v.e, Ofta ger 3 v.e och Alltid ger 4 v.e. På hela enkäten (27 påståenden) är således det minimalt nåbara värdet 27 v.e och det maximalt nåbara värdet 108 v.e. För var och en av de tre begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet (9 påståenden vardera) är det minimalt nåbara värdet 9 v.e och det maximalt nåbara värdet 36 v.e.
Ett starkt skäl till att vi valde att använda enkäter i vår undersökning var att vi dels vill kunna använda denna enkät i vår framtida lärargärning för att orientera oss i elevernas upplevelse av vår
matematikundervisning. Ännu ett skäl till detta och till att vi valde att ha färdiga påståenden och svarsalternativ är att det, som Björndal (2005) skriver, inte är en så tidskrävande datainsamling samt att resultaten är ganska lätta att jämföra elever emellan. Som färdiga lärare tänker vi att tiden för dessa sorters undersökningar kommer att vara liten. Därför är det bra att redan nu använda och sedan kunna förbättra en metod som kräver en liten tidsram.
Nagy (2004) har utfört en valideringsstudie av ”BarnKASAM”, som formuläret kallas, i
årskurserna 1-6 (ålder 7-12). Studien visar att ”BarnKASAM” inte är adekvat för barn i åldrarna 7- 9 år då ganska många av testdeltagarna i denna ålder inte förstod påståendena. Nagy (2004) efterfrågar en enklare variant.
Vi är medvetna om att dessa påståenden inte förstås av alla elever och i synnerhet förstås de inte av alla elever på samma sätt. Eftersom eleverna själva tolkar de påståenden som de ställs inför i enkäterna innebär detta givetvis en variation från elev till elev hur påståendet förstås och tas ställning till. Vi avsåg initialt att gå igenom alla påståenden med alla elever före de skulle besvara enkäten så att alla hade en gemensam tolkningsgrund att stå på. Detta förfaringssätt stöds av Björndal (2005) som påpekar att respondenterna bör uppfatta begrepp som används i enkäten på samma sätt och att främmande ord bör undvikas. Det visade sig dock att tiden inte räckte för att gå igenom alla begrepp som användes i de 27 påståendena. De som vi uppfattade som de svåraste begreppen att förstå gick vi igenom med eleverna innan de besvarade enkäten.
Dessutom genomförde vi ett pilottest av enkäten. Dagen innan vi genomförde enkäten på riktigt bad vi således alla elever i en utomstående klass i år 3 i skola A att svara på enkätfrågorna och markera varje fråga och varje del i den frågan som de inte förstod. Sedan skulle eleverna också skriva om de tyckte att några frågor efterfrågade samma sak eller var alldeles för lika varandra. De omdömen, markeringar och kommentarer använde vi oss av och tog hänsyn till när vi färdigställde enkäten.
Med bara fyra svarsalternativ till de påståenden som eleverna ställdes inför i enkäterna upplevde en del elever att alternativen inte räckte till. De ville sätta kryss mellan två alternativ. Vi bad dem att ändå välja det alternativ som kändes lite mer korrekt än det andra. Det är dock ett faktum att testets utformning bestämmer hur eleverna svarar.
För att få syn på en viktig aspekt av undervisningen, nämligen elevers enskilda
undervisningssituation, valde vi att först låta alla elever i de tre klasserna genomföra enkäten och skriva sitt namn på papperet (identifierad enkät, bifogas som bilaga 3). Vi tittade på resultaten i varje klass och valde ut de elever som hade lägst värde och högst värde för att sedan kunna observera dessa två elever i varje klass extra noggrant. För att närmare förstå vilka resultat som menas se kapitel 4.
Björndal (2005) nämner att anonyma tester kan göra känsliga svar mer trovärdiga men samtidigt kan de vara omöjliga att följa upp och fördjupa sig i. För att få ett medelvärde för varje klass på enkätundersökningen genomförde vi även en anonym enkätundersökning (bifogas som bilaga 4) med samma 27 påståenden men i en annan ordning för att eleverna inte lika lätt skulle ”komma ihåg” vilket svarsalternativ de valde senast. Det anonyma testets resultat borde, enligt Björndals (2005) resonemang komma närmare sanningen än det icke anonyma testet. Några påståenden kan t ex för vissa elever vara känsliga och därför pinsamma att svara på. Med namn på enkäten vet
eleverna att vi kan se vem som fyllt i vad. Även vid det anonyma testet kan det tyvärr inte uteslutas att eleverna tror att vi kan se vem som har fyllt i vad och därför inte är helt sanningsenliga.
Dessutom genomfördes de båda testen endast en gång för varje elev och därför kan man inte utesluta att dagsformen spelar in i resultatet. Kanske hade någon elev en dag då de mådde sämre än vanliga dagar.
Observation
Vid observation av människor utför man en etnografisk studie skriver Kullberg (2004). Ordet etnografi betyder beskrivning av folk (människor). De människor som observeras kallas
informanter (Kullberg, 2004). Datainsamlingen kan ske med direkt observation med forskaren som deltagande observatör. Deltagande observation är, enligt Kullberg (2004), en observationsteknik där observatören befinner sig i det sociala sammanhanget som observeras. Observatören kan då vara mer eller mindre deltagande i gruppens aktiviteter.
Kullberg (2004) redogör för begreppet observatör-som-deltagare som innebär att forskaren har talat om för gruppen vem han/hon är men deltar inte i gruppens aktiviteter. Forskaren måste då direkt eller relativt direkt i anslutning till den observerade situationen anteckna vad han/hon har sett.
En checklista (rubriker) bör en observerande forskare använda sig av skriver Kullberg (2004).
Björndal (2005) menar också att ett observationsschema bör användas vid observationer då det kan ge stöd under observationsprocessen till vad som ska observeras. Det kan även underlätta för forskaren genom att ge stöd för att komma ihåg att studera informanterna i sin hela kontext, dvs. att observera ur ett brett perspektiv.
Kullberg (2004) berättar att det inte finns någon sanning att söka i kvalitativa observationer. Det kan bara finnas olika sannolikheter under olika tider, i olika sammanhang och i vissa kontexter.
Uppläggning, val och genomförande
Totalt tillbringade vi mellan 205-215 minuter i varje klass för att observera lärare och elever. Vi har använt oss av ett observationsschema (checklista) för observation av lärarnas undervisning och ett annat observationsschema för observation av specifika elevers undervisningssituation. Vi tror att observation av dessa två delar i den totala undervisningen båda är viktiga för att kunna se situationerna från så många perspektiv som möjligt. Vi växlade roller då och då så att båda fick chansen att observera båda delarna. Hela tiden var vi båda i klassrummet och observerade
samtidigt. På de två observationsscheman vi har använt har vi skrivit ner fritt vad vi sett men under olika rubriker som var tänkt att göra det lättare för oss som observatörer att direkt kunna
kategorisera observationerna utifrån olika delar av undervisningen så att vi inte skulle fokusera för snabbt på detaljer och således missa helheten.
Rubrikerna på schemat för observationer av lärarnas undervisning var: Inledning av lektion;
Innehåll; Arbetssätt och elevernas engagemang i dessa; Interaktion elev-elev; Lärarens vägledning av elever; Diskussioner; Lärarens försök att motivera elever; Lärarens allmänna roll och
förhållningssätt; Elevengagemang; Avslutning av lektion.
Rubrikerna på schemat för observationer av specifika elevers undervisningssituation var: Inledning av lektion; Engagemang under lektion, Interaktion med andra elever, Interaktion med lärare, Allmän inställning till matematik, Verkar förstå syftet med lektionen, Hanterar
oförståelse/problem; Övrigt.
Kort efter varje observationstillfälle skrev vi rent observationerna och reflekterade tillsammans över vad vi skrivit.
Björndal(2005) nämner att vi som besökare antagligen påverkar eleverna med vår närvaro vid båda testtillfällena och i synnerhet vid observationerna då vi som två relativt främmande människor sitter i klassrummet, tittar på lärare och elever och skriver på våra observationsscheman. Kanske började eleverna vid mötet med enkäterna att reflektera mer kring sin undervisningssituation. Kanske har detta påverkat hur de uppträder i klassrummet vid observationerna.
Materialbearbetning
Utifrån vårt insamlade material har vi gått tillväga på följande sätt:
Enkätbearbetningen genomfördes med hjälp av Microsoft Office Excel 2007 där vi infogade alla elevers resultat klassvis, både det identifierade och det anonyma separat separerade från varandra.
Utifrån den identifierade enkätundersökningen hittade vi två elever i varje klass, en elev med lägst resultatvärde och en elev med högst resultatvärde, för att sedan observera dessa elever extra noggrant. Från den anonyma enkätunderökningen räknade vi ut medelvärden för de tre klasserna utifrån ett totalvärde och utifrån de tre begreppen begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet.
Dessa medelvärden för varje klass har sedan legat till grund för vår analys och diskussion.
Observationsmaterialet sammanfattade vi klassvis med de två enskilda eleverna i varje klass som tillägg för att få ett mer övergripande perspektiv på undervisningen. Vi började sedan leta efter situationer som där vi ansåg oss kunna applicera de tre begreppen. Vi utgick då ifrån våra definitioner av begriplighet, hanterbarhet och meningsfullhet som vi har presenterat under
”Centrala begrepp” . Vi använde oss även av begrepp, som enligt oss fungerar konkretiserande utifrån de tre begreppen, som vi funnit i de teorier om matematikdidaktik som vi redogör för i
”Tidigare forskning”. Dessa redogörs för nedan under rubriken ”Konkretiserande begrepp”.
Vi grupperade de situationer vi observerade i de olika klasserna utifrån vilket av de tre begreppen med tillhörande konkretiserande begrepp vi har använt i vår analys av situationen ifråga. Vi
presenterade dessa grupper under rubriker som utgjordes av de tre begreppen. För att få en tydligare struktur på innehållet använde vi oss även av passande underrubriker. Vi kopplade även dessa observationsresultat till enkätresultaten. I vår diskussion lyfte vi sedan de mönster vi funnit och relaterade dessa till tidigare forskning, teorier och skolans styrdokument
Konkretiserande begrepp Begriplighet
Förståelse: en kunskapsform som skapar mening och innebörd.
Innehåll: det ämnesinnehåll som undervisningen avhandlar.
Form: det/de arbetssätt och material som eleverna arbetar efter/med för att tillgodogöra sig ämnesinnehållet.
Talrelationer: samband mellan tal och storheter.
Scaffolding: vägledning som fokuserar på att främja förståelse hos eleven för de processer och begrepp som förekommer.
Lotsning: vägledning som hjälper eleven till rätt svar på uppgiften men som i sig inte utvecklar elevens förståelse för processen och de begrepp som används.
Muntlig matematik: ett arbetssätt där det matematiska innehållet uttrycks muntligt mellan elever och mellan elever och lärare.
Begreppsutveckling: Att en elev ges möjligheter att öka sin förståelse för ett begrepps innebörd.
Hanterbarhet
Förförståelse: Den förståelse som en elev har innan han/hon presenteras ett nytt moment i ett ämne.
Symbolhantering: Användande och uttryckande av symboler som representerar begrepp.
Diagnosticering: En ”kontroll” av elevers kunskaper i ett moment i ett ämne.
Abstrakta fenomen: Händelser och begrepp som bara existerar i tankevärlden, möjliga att mentalt föreställa sig.
Konkretiserande material: Material som praktiskt kan symbolisera abstrakta fenomen och begrepp.
Tillåtande klassrumsklimat: barngruppen och läraren präglas av en social miljö där allt kan sägas om det inte är kränkande mot någon.
Aritmetisk dopning: en elev får börja träna sin förståelse av ett specifikt område i ämnet matematik med tal och aritmetik (räkning) som eleven redan kan hantera och utföra. Syftet är att eleven kan koncentrera hela sin energi på att utveckla sin förståelse för momentet i sig och inte på
räkneoperationerna.
Generaliseringsförmåga/transfer: Att kunna använda sina kunskaper på nya områden och i nya situationer.
Meningsfullhet
Förväntningar: Tankar hos eleven själv och folk omkring att eleven ska lyckas/misslyckas.
Självuppfattning: Hur en elev uppfattar sig själv och upplever sina egna kunskaper och kompetenser i ett ämne.
Motivation: Den positiva energi en elev besitter som kan användas för att ta sig an uppgifter och problem.
Lust: Den positiva och spontana känsla en elev har gentemot något.
Verklighetsanknuten undervisning: Undervisning som har tydliga kopplingar och referenser till verkligheten.
Syfte och motiv bakom uppgifter: Den pedagogiska och allmänna anledningen till att en lärare ger elever vissa uppgifter eller presenterar ett visst matematiskt innehåll på ett visst sätt.
Koppling från vardagsspråk till formellt matematiskt språk: Att sambandet mellan de vardagliga beskrivningsbegreppen och de matematiska begreppen synliggörs.
Numbersense: Förmågan att kunna se och förstå samband mellan tal och storheter.
Flexibelt och dynamiskt kunnande i relation till statiskt och passivt: Kunskaper som kan generaliseras i relation till kunskaper som bara gäller i en eller enstaka situationer.
Arbetslust och kreativitet: En vilja och glädje i att arbeta och skapa.
Etiska aspekter
Utifrån de forskningsetiska principerna inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning (2002) har vi tagit hänsyn till de fyra huvudkraven som följer:
Informationskravet: Forskaren skall informera uppgiftslämnare och undersökningsdeltagare om deras uppgift i projektet och vilka villkor som gäller för deras deltagande. De skall därvid upplysas om att deltagandet är frivilligt och att de har rätt att avbryta sin medverkan. Informationen skall omfatta alla de inslag i den aktuella undersökningen som rimligen kan tänkas påverka deras villighet att delta.
Samtyckeskravet: Forskaren skall inhämta uppgiftslämnares och undersökningsdeltagares samtycke. I vissa fall bör samtycke dessutom inhämtas från förälder/vårdnadshavare
(t.ex. om de deltagande är under 15 år och undersökningen är av etiskt känslig karaktär). De som medverkar i en undersökning skall ha rätt att självständigt bestämma om, hur länge och på vilka villkor de skall delta. De skall kunna avbryta sin medverkan utan att detta medför negativa följder för dem. I sitt beslut att delta eller avbryta sin medverkan får inte undersökningsdeltagarna utsättas för otillbörlig påtryckning eller påverkan. Beroendeförhållanden bör heller inte föreligga mellan forskaren och tilltänkta undersökningsdeltagare eller uppgiftslämnare.
Konfidentialitetskravet: All personal i forskningsprojekt som omfattar användning av etiskt känsliga uppgifter om enskilda, identifierbara personer bör underteckna en förbindelse om
