Elevernas skriftliga svar på frågan och mina iakttagelser under studiebesöket

finns i de respektive konstverken divergerade i tre skilda spår, här benämnda A, B och C. Vad de inte svarade redovisas under punkt D.

A. Elever som fann matematik i form av geometri och grafer.

Majoriteten av eleverna återkopplade till tidigare geometriundervisning och sökte geometriska kunskaper i form av mönster och geometriska figurer i konstverken. De fann geometriska former som cirklar, rektanglar och trianglar. Karin konstaterade: ”Former och geometri tycks vara viktiga för aboriginerna.” I de olika mönstren på tavlorna fann eleverna exempel på symmetrier. Katrin konstaterar om tavlan ”Efter eldarna” att ”på något vis måste han (konstnären) ha räknat fram tre ganska jämnstora cirklar som består av olika prickcirklar inuti”. I aboriginernas konst symboliserar dessa former människor och fenomen i naturen. Saga skriver om tavlan Purnululu:

”Matematikkunskaper som krävs för att göra denna tavla är att kunna avläsa kurvors former med samma antal linjer och prickar”. Hon fortsätter om tavlan Tingari

Dreaming: Matematikkunskaper som krävs här är att kunna ”avbilda cirklar med jämna avstånd. Ser cirklar och halvcirklar samt upprepade matematiska mönster”. Saga skissar sedan exempel på ett av mönstren. Saga avslutar med följande reflektion:

Olika geometriska former som t.ex. cirklar, linjer, rektanglar o.s.v. finns i naturen och det är härifrån aboriginerna hämtar sin inspiration. Det blir som ett verktyg i varje individ att upptäcka föremåls former.

En elevgrupp fann bilder av funktioner. Dessa beskrev punkter som såg ut att bilda grafer. Exempelvis skriver Amanda om tavlan ”Kängurumän drömmer”: ”Det där ser ut som x2 -kurvor i ett koordinatsystem”. Hon fortsätter:

Det finns tre cirklar diagonalt över tavlan med ett fläckigt, färgat mönster som bakgrund. Ett ”L” går fram och tillbaka genom tavlan, som kurvor. Är det streck som visar där Kängurun hoppat?

Ovanstående elevsvar visar exempel på problematiken kring frusen matematik och upptining av den samma. Enligt Harris (1987), och även Ascher (1998) är vi bundna till våra egna erfarenheter och ser det vi förväntar oss att se. Eleverna har räknat mycket geometri i matematikundervisningen under hela deras skolgång. Därför blir det naturligt för dem att söka, och finna, geometri även i dessa konstverk.

Fatima hittade detaljer i bilder som liknades vid tangenter till kurvor med olika

lutningar. Som lärare fann jag det mycket intressant att lyssna till ett samtal mellan två elever som diskuterade begreppen fart och förändring i detta sammanhang. Både utifrån idén om tangenterna till kurvor och en konstnärlig diskussion kring färgval och

skuggningarna diskuterade dessa elever hur man bäst visade fart och

förändringshastigheter. Att dessa bägge elever hade begreppet derivata klart för sig fanns det ingen tvekan om, det bekräftades tydligt av deras samtal. Vad som var intressant för mig som lärare att lyssna till i deras diskussion var den nya kontexten detta samtal om derivata utspelade sig och hur fart- och förändringsbegreppen användes i denna nya kontext. Tänk att begreppet derivata ur elevernas perspektiv kan beskrivas med olika streck eller olika färger när de befinner sig på en konstutställning.

Som avslutande kommentar till geometri- och grafavsnittet väljer jag att återge ett längre avsnitt ur Maries reflektioner, där hon diskuterar konstverken utifrån ett perspektiv hon fått under en lektion i filosofi:

På filosofilektionen fick vi i uppdrag att rita det gräsligaste mönster vi kunde komma på. Slutsatsen av experimentet blev att vår fantasi är inramad! Vi kan inte skapa något nytt! Allt vad vi målar är klipp och klistrande av saker och mönster vi tidigare sätt.

Samma sak gäller med aboriginernas konst. De föremål och former de målar är sådant de sett i t.ex. naturen. En apelsin/sol blir en cirkel, en kakaoböna en oval, en orm blir en x2 – kurva o.s.v.

Naturen följer ett visst mönster och vissa är återkommande och målas ner och bildar konstverk. Det finns matematiska mönster i naturen! I naturen kan dock avvikelser ske (mutationer). Helt plötsligt blir treklövern en treklöver med fyra blad. Sådana avvikelser förekommer dock aldrig inom matematiken!

B. Elever som fann matematik i form av talföljder

En grupp om tre elever fann talföljder då de började räkna prickar och cirklar i de olika konstverken: ”… och så upptäckte vi ett mönster i tavlorna. Talen 4, 5, 8 och 10 tycktes dyka upp överallt i tavlorna. Var det en slump eller låg det något bakom? ”undrade Lisa som sedan, mycket engagerat fortsatte att räkna och fann att talföljden fortsatte. Enligt dessa flickor bestod cirklarna av prickar som växte i antal enligt följande serie: 4, 5, 8,10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 128, 160…

Hon skrev:” Till vår förtjusning upptäckte vi ytterligare ett samband. Efter sju steg har det första talet 10-dubblats” och denna grupp elever fann även sambandet: ” Om man multiplicerar två tal som följer efter varandra som t.ex. 4x5 = 20 och 5x8 = 40 så blir det ett tal som ligger längre fram i talföljden” och de avslutar käckt muntligt: - Inom detta område behövs mera forskning!!

Denna elevgrupp fick under besöket en för dem annorlunda upplevelse av matematiken. Det var intressant för mig som lärare att iaktta dem räkna prickar och cirklar och prova olika räknesätt för att kunna hitta eventuella samband i och mellan de olika tavlorna. I vanliga fall under lektionstid är en av dessa elever en mycket ambitiös flicka som exempelvis räknar alla tal i boken för att säkert förstå allt och lyckas i matematik. Enligt Skemps (1976) beskrivning av matematiklärande och matematisk förståelse skulle jag beskriva henne som en relationellt lärande elev – alltså en elev som både förstår vad hon ska göra när och varför. En av de andra eleverna som hon arbetade med denna dag är mycket olik henne i sitt lärande. Denna andra elev är inte speciellt intresserad av matematik under våra vanliga matematiklektioner och jag som lärare upplever att hon föredrar ett instrumentellt lärande (Skemp, 1976). Hon lär sig nya matematiska metoder relativt snabbt dock utan att reflektera över frågorna varför och när. Denna flicka kommer under lektionstid med frågor av typen: Kan du inte bara lära oss reglerna så vi

kan börja räkna direkt? Hon räknar därefter undan de lättaste uppgifterna i boken och är nöjd med detta lärande i matematik. Matematiska förklaringar är för henne onödigt utnyttjande av tiden enligt vad jag som lärare förstår. Samtidigt, även denna flicka lyckas i sitt matematiklärande utifrån de egna mål hon satt upp för sitt eget

matematiklärande.

Denna sistnämnda flicka visade däremot en stor aktivitet och intensitet under deras prövande av olika talföljdsteorier på studiebesöket. Detta var mycket intressant för mig som lärare att iaktta. Hon provade och testade och kom med flera nya uppslag och idéer om hur antalet prickar och cirklar i konstverken skulle, med olika räknesätt, kunna kombineras för att hitta matematiska samband mellan dem. Detta är dessutom ingen matematik vi sysslat med under gymnasiet, däremot förstod jag av deras samtal att söka mönster var sådant hon tyckt var roligt under tidigare matematikundervisning i

grundskolans mellanstadium. Hade resurser funnits hade jag intervjuat henne för att ta reda på hur hon uppfattade matematiklärande innan hon började på gymnasiet.

C. Elever som var tveksamma till om det finns matematik i konstverken.

Denna sista grupp elever karaktäriseras av de elever som var tveksamma och ifrågasatte om det verkligen finns dold matematik i konstverken. Linda skrev exempelvis: ”Är detta matte eller avbildas en form som finns i naturen?” Hon svarade själv på sin fråga genom att skriva så här:

Jag vet inte riktigt, men människan är ju född till en logisk varelse och matte består av logik så på ett sätt kan man nog en slags matte innan man lär sig ”vår” matematik.

Detta är en intressant kommentar om hon ur sitt perspektiv likställer ”vår” matematik med skolmatematik. Självklart är det så för henne då det är den kultur hon växt upp i. Anneli reflekterade på följande vis:

Frågan är om det verkligen ligger matematik bakom konstverken. Matten finns där men när konstverken gjordes tänkte man antagligen inte på matte…

Annelis kommentar sammankopplar jag med Harris (1987) begrepp om upptining av matematik som är frusen i artefakter. Varför tror Anneli att man inte tänkte på matematiska problem när konstverket tillverkades? Ändå säger hon att matematiken finns i konstverket. Problematiken kring begreppet

defrosting/upptining av dold matematik tydliggörs här av Annelis kommentar. Anneli skrev också då hon studerade tavlan ”Kvinnofigurer”: ”Jag ser mest en stor noggrannhet, snarare än särskilda matematikkunskaper”. Tora gav följande kommentar:

Jag stirrade på dom (tavlorna) och försökte komma på det matematiska, vilket var ganska svårt, och fortsätter: Aboriginerna inspirerades av formerna de såg i naturen, men vad är matematiken i det?

Tora avslutar sina tankegångar med reflektionen:

Är det jag som är så fjättrad vid det traditionella tänkandet att matematik kräver en fråga, svarsuppställning och lösning?

Tora visar i denna mening en (nyfunnen?) insikt om att det finns matematik i olika kulturer och i olika kontexter och frågar sig själv om det är hennes egen kulturella bakgrund som hindrar henne från att se och uppleva matematik i just dessa konstverk.

D. Vad har då eleverna inte tagit upp i sina redovisningar?

Denna fråga ställde jag mig då jag studerade elevernas skriftliga svar. Exempelvis finner jag inga elever som funderat över matematik som liknar våra läroböckers textuppgifter. Aritmetikuppgifter som de är vana vid i skolan t.ex. Hur mycket kostade det att tillverka en tavla? Beräkna hur mycket trä som gick åt till ramen? Hur många procent av tavlan är röd? Denna matematik finns inte representerad bland svaren hos någon elev. Kanske hade jag fått denna typ av svar om eleverna inte lyssnat till presentationen av etnomatematik som föregick besöket på utställningen. Men det kan även finnas andra orsaker.

Boaler (1993) diskuterar kontexten i matematikklassrummet och visar exempel på dikotomin mellan s.k. verklighetsuppgifter, matematikuppgifter ofta satta i en

kontext som ignorerar komplexiteten och omfattningen av elevernas erfarenheter och övertygelser och som därmed inte alltid upplevs som verklighetsanknuten i elevernas värld. Då vi nu befann oss utanför klassrumsmiljön med dess inbyggda kultur och kontext hade eleverna friheten att använda sina egna metoder som ett alternativ till skolmatematiken. Det var intressant för mig som lärare att notera framför allt

instrumentellt lärande elevers matematiskt fördjupade diskussioner och resonemang.

… if students are encouraged to use their own methods and explore their usefulness, general mathematical understanding will be deepened. (Boaler, 1993:16)

5.3 Aktionsforskning som metod – en kvalitetsdiskussion.

Feldman (2007) utvecklar i sin artikel ”Validity and quality in action research” vikten av validitet inom aktionsforskning. Han ställer frågan hur man mäter validitet inom kvalitativ forskning, speciellt aktionsforskning och ställer detta i relation till validitet inom kvantitativa studier. Dilemmat Feldman lyfter fram är att då man söker definitioner av begreppet validitet kopplas dessa ofta till kvantitativa studier. Feldman citerar en bred, allmänt accepterad definition på validitet inom kvalitativforskning:

An account is valid or true if it represents accurately those features of the phenomena that it is intended to describe, explain, or theorise. ( Hammersley in Feldman 2007:23).

Feldmans åsikt är att denna definition av validitet inom kvalitativ forskning öppnar upp en validitetsdiskussion för andra metoder inom forskning som är kvalitativa och inte kvantitativa. Feldman påpekar vidare att aktionsforskning inom

undervisningssektorn ska medföra till positiv förändring för lärare, elever och studenter. Därför skriver Feldman om vikten att tydliggöra i vilken riktning

undervisning skall förändras och det i sig är en politisk och/eller moralisk fråga att ta ställning till som aktionsforskare. I forskningsrapporten ska det framgå vilka

principer som ligger bakom just denna forskningsrapport och hur dessa principer ledde fram till forskningsresultatet. Jag citerar avslutningen i Feldmans artikel:

…it is when we, as action researchers, pay attention to validity that our action research can become good. I believe that we should be concerned with validity because action research is moral and political work. Because our practice affects other people, we have a moral

obligation that any change in our practice is good for others. Action research is also political wok because it has a normative, teleological component. Not only must the change be good for those who are affected by the changes, the knowledge embedded in the nature of the change and why it is good should be presented in ways that affect the political context of schooling. (Feldman 2007:31)

Forskning bör beskrivas i termer av opartiskhet, förmåga till distans och kritisk reflektion. Forskaren bör ha en distans till det/de som studeras. Enligt Berlin, refererad i Rönneman (2004) skiljer sig aktionsforskning markant från det traditionella forskningsidealet då det är aktionsforskaren som tar initiativ, väcker frågor och driver sina förändringsförslag. Ett annat problem i sammanhanget som beskrivs är att händelseförloppet kan vara svårt att förutsäga och kan utvecklas i oförutsedda riktningar inom en aktionsforskningsprocess. Frågan om reliabilitet blir därmed problematisk. I denna studie finns uppenbart en relation till eleverna då jag är den undervisande läraren i klassen. Opartiskheten ligger i att eleverna inte

bedömdes under denna undervisningssekvens. Elevnärvaro var självklart obligatorisk vilket medförde att alla deltog – både de elever som var intresserade och de som var ifrågasättande. Detta framgår också av resultatet. Vill man upprepa denna

undersökning får det ske i andra klasser och på andra utställningar då dessa klasser nu slutat på skolan och utställningen på Arken är stängd. Ändå, det vore en poäng i att upprepa studien med andra klasser och på andra utställningar eller liknande med ett matematiskt innehåll som inte tillhör klassrumsvardagen för våra elever och se vad dessa resultat ger. Det kunde också vara intressant, om det vore möjligt, att visa t.ex. aboriginernas tavlor i klassrummet på skolan och se om elevernas svar blev annorlunda. Skulle ovan beskrivna frågor som inte eleverna redovisade i denna undersökning finnas med om vi befann oss inom skolans undervisningskontext?

Kvaliteten inom aktionsforskning är beroende av forskarens reflexiva sensitivitet då all datainsamling, analys och reflektioner görs av forskaren själv och kommer att påverkas av forskarens självuppfattning och identitet skriver Somekh (2006). Somekh påpekar att man som aktionsforskare inom läraryrket måste tydliggöra varför man forskar och vilken roll som ska tydliggöras – om det är rollen som lärare, undervisningen i sig eller rentav för egen personlig del. Hon skriver också:

In more recent years I have come to see that conceptualizing the self as socially constructed and multiple rather than unitary provides many useful insights into the nature of action in action research. Somekh (2006:15)