Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Ett kulturellt besök i matematikundervisning:
En aktionsstudie med ett etnomatematiskt
perspektiv.
A cultural visit in mathematics education:
Action research with an ethnomathematical
perspective.
Annica Andersson
Magisterutbildning 20p i
Utbildningsvetenskap med inriktning mot matematik Datum för slutseminarium: 2007-06-07
Examinator: Malin Ideland Handledare: Tine Wedege
SAMMANFATTNING
I denna magisteruppsats har jag, inspirerad av etnomatematik, redovisat en teoretisk litteraturgenomgång som beskriver dels vad etnomatematik är och dels innehållet i det etnomatematiska forskningsfältet. Innebörden av en etnomatematisk forskningsdiskurs finns också beskriven.
Därefter har jag sökt besvara frågan om etnomatematik kan vara ett möjligt sätt att uppnå det programmål i matematik för det samhällsvetenskapliga programmet som säger att skolan i sin undervisning ska sträva efter att eleverna får insikt om hur matematiken har skapats av människor i olika kulturer och om hur matematiken
utvecklats och fortfarande utvecklas. Med aktionsforskning som metod genomförde jag en studie med gymnasieelever på ett samhällsvetenskapligt program, åk 2, på en
gymnasieskola i södra Sverige. Aktionsstudien bestod av två delar. Den första delen innehöll ett längre lektionspass med en introduktion till etnomatematik med bl.a. exempel på andra kulturers matematik. Inledningen följdes av en diskussion kring globala frågor, urbefolkningars matematik och rättvisefrågor. Den andra delen av aktionsstudien bestod av ett studiebesök på utställningen ”Dreamtime” på Arken i Köpenhamn där eleverna fick möjlighet att studera exempel på den australiska urbefolkningens matematik i form av kartor som konstverk.
Aktionsstudien visade att etnomatematik kan vara en möjlig ingång för att uppnå ovanstående programmål i matematik. Etnomatematik kan även vara en möjlig väg att anlägga en alternativ diskurs i matematikundervisningen som främjar diskussioner om globala frågor, global rättvisa och matematikens roll i samhället.
Förord
Ett stort varmt tack till dig, Tine, för handledning under arbetes gång.
Jag vill också rikta en varm tanke till eleverna som deltog på studieresan och vars diskussioner och svar jag här fått möjlighet att reflektera mera över. Tack ska ni ha!
ABSTRACT
Inspired of ethnomathematics I have, in this masters paper, presented a theoretical review of literature describing both what ethno mathematics is as a concept and the content of the ethnomathematical research field.
After that I have tried to answer the question if an ethno mathematic approach can be a way to achieve the goal in the social science education programs mathematical
education which says that the students shall deepen their insight into how mathematics has been influenced by people from many different cultures, and how mathematics has developed and still continues to develop. With action research as a method I carried out a study with students in the second grade in an upper secondary school in Sweden. The action research study contains of two parts. The first part is a longer lesson in school with an introduction to ethno mathematics with examples i.e. of other cultures mathematics. The introduction was followed by a discussion in class on topics like global issues, indigenous people’s mathematics and questions about mathematics, global fairness and power. The second part of the study contains of a study visit to the exhibition “Dreamtime” at Arken in Copenhagen where the students got the opportunity to study examples of the Australian aboriginals mathematics as maps as art.
The research showed that ethno mathematics can be a possible way to reach the above described goal in mathematics education. It also showed that ethno mathematics can be a possible way to build an alternative discourse in mathematics education that promotes discussions about global issues, global fairness and the roll of mathematics in society.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING Sammanfattning 3 Förord 3 Abstract 3 Innehållsförteckning 5 1. Inledning 6 2. Syfte och frågeställningar 10
3. Litteraturgenomgång 11
3.1 Etnomatematik 11
3.2 Det etnomatematiska forskningsområdet 16
3.3 Matematikundervisning – varför och för vem? 18
3.4 De aboriginiska kartorna 24 4. Aktionsforskning som metod 27 4.1 Uppsatsens placering inom en aktionsforskningsmodell 27
4.2 Studiebesöket på Dreamtime-utställningen på Arkens museum for kunst 40
4.3 Etiska hänsyn 41
5. Resultat 42
5.1 Klassrumsintroduktionen 42
5.2 Elevernas skriftliga svar på frågan och mina iakttagelser under studiebesöket 45 5.3 Aktionsforskning som metod – en kvalitetsdiskussion 50
6. Konklusioner 53
1. INLEDNING
En värld full av ockerröda slätter, porlande vattendrag,
Byar fulla av liv och drömmar om liv och död trängde fram, framför våra ögon. Vi såg topografiska kartor som visade vägar till byar och viktiga vattenhål samt mer abstrakta kartor som visar skilda vägar genom livet
Elevers poetiska beskrivning av Dreamtimeutställningen.
Ett av programmålen i matematik för det samhällsvetenskapliga programmet är formulerat på följande sätt:
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas. (Skolverket, 2000)
Detta programmål har varit en givande utmaning för mig som matematiklärare på en mindre gymnasieskola att uppfylla. Med olika klasser har jag genom åren gjort exempelvis studiebesök på Kulturen i Lund och tittat på modernismen samt på äldre byggnader och hus från olika delar av Sverige och från olika tidsperioder för att för eleverna tydliggöra konst och arkitektur ur ett matematiskt perspektiv. År 2004 hade Louisiana, Museum for Moderne Kunst i Humlebeck, en utställning om den danske arkitekten Jörn Utzon som jag besökte med två klasser. Detta studiebesök var så uppskattat och gav så goda diskussioner och ökad motivation i
matematikundervisningen för den elevgruppen att jag önskat kunna göra det igen. Reflektionerna efteråt över den positiva reaktionen har fått mig som lärare att fundera över hur ovanstående programmål både kan uppfyllas och samtidigt utnyttjas på ett positivt sätt i matematikundervisningen.
Ett stipendium gjorde det möjligt för mig att resa till Auckland, Nya Zeeland och delta i den internationella konferensen ”the Third Conference on Ethnomatematic, ICEM-3” i februari 2006. Kunskaperna från denna konferens inspirerade mig att anlägga ett etnomatematiskt och kulturellt perspektiv i min matematikundervisning (Andersson, 2007). Ett moment blev att göra en studieresa med matematikelever som går andra året
på det internationella/samhällsvetenskapliga programmet och det är erfarenheterna från denna studieresa jag redovisar i denna uppsats. Studieresans mål var Arken, Statens museum för Kunst, i Köpenhamn, Danmark där eleverna studerade utställningen ”Dreamtime, Aboriginal art from the Ebes Collection”. Utställningen omfattade mer än 100 aboriginiska konstverk och visade bl.a. exempel på aboriginiska kartor (för mer information om utställningen se www.arken.dk/exhibition). Denna utställning visade exempel på en annan kulturs matematik och därmed andra uttrycksformer för
matematik än svenska elever är traditionellt vana vid. Eleverna fick under studiebesöket besvara frågor som syftade till tydliggörande av att matematik kan ses ur andra
perspektiv än vårt västerländska perspektiv. Med denna studieresa uppfylldes målen att sammankoppla matematikundervisningen med kultur som finns i programmålen för det samhällsvetenskapliga programmet på gymnasiet och i kursplanen för deras
matematikundervisning.
Som forskare inom det matematikdidaktiska problemfältet söker man bl.a. att besvara frågorna Varför; anledning till matematikundervisning, Vad; undervisningens och lärandets mål, Vem; agenter i undervisning och lärande och Hur; kontext för
undervisande och lärande (Wedege, 2000). Dessa ord har inspirerat mig i planeringen av denna undervisningssekvens. Wedege (2006) argumenterar för att det är ett tecken på kvalitet när matematikdidaktiker deklarerar vad han eller hon uppfattar som matematiskt vetande och samtidigt tydliggör uppfattningar om varför man lär matematik och varför det bör undervisas i matematik. Wedege skriver också att
En matematikdidaktisk problematique tematiserer relationen lærer-elev-matematik og problematiquen konstitueres bl.a. ved explicitering af hvad der menes med ”matematik” og ”matematiklæring” (Wedege, 2000:38).
Vad är då matematik? Matematik definieras av Nationalencyklopedin som ”en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling”
(Nationalencyklopedin, 2007). Encyklopedia Brittanica definierar matematik som
quantitative calculation, and its development has involved an increasing degree of idealization and abstraction of its subject matter. (Encyclopedia Brittanica, 2007).
Vidare står det i artikeln att matematiken har utvecklats av praktiska behov och för särskilda ändamål exempelvis inom handel och jordbruk.”This growth has been greatest in societies complex enough to sustain these activities and to provide leisure for
contemplation and the opportunity to build on the achievements of earlier
mathematicians. “ (Encyclopedia Brittanica, 2007). I den svenska kursplanen för matematik på det samhällsvetenskapliga programmet inleds beskrivningen av matematikämnets karaktär på följande sätt:
Matematiken har genom en mångtusenårig utveckling bidragit till det kulturella arvet. Matematiken är en förutsättning för stora delar av samhällets utveckling och den genomsyrar hela samhället, ofta på ett sätt som är osynligt för den ovane betraktaren. (Skolverket, 2000)
Denna inledning i skolverkets karaktärsbeskrivning av matematikämnet tydliggör dilemmat med matematik som begrepp – matematik ”genomsyrar hela samhället” men ofta på ett sätt som inte är uppenbart för alla och envar. Ur mitt lärarperspektiv ser jag det som en del av mina arbetsuppgifter att tydliggöra matematik som finns i vår
omvärld för eleverna. Min övertygels är att om matematik tydliggörs och sätts i ett sammanhang blir ämnet både mer greppbart och elevernas motivation att lära matematik ökar då ämnet får en verklighetsförankring utanför skolmiljön. Skolverkets text
fortsätter sedan att beskriva matematik som utvecklad ur praktiska behov och
människans nyfikenhet. Matematiska begrepp och metoder har växt fram inom olika kulturer. Det står också att matematik är en internationell vetenskap, vars metoder, begrepp och kunskapsområden ständigt utvecklas. Matematikämnet beskrivs vidare som en mänsklig tankekonstruktion och matematisk problemlösning kan ses som en
skapande aktivitet. Inom matematikämnet arbetar man med definierade begrepp, och teorier byggs upp genom strikt bevisföring. De fyra aspekterna som enligt skolverket ska genomsyra undervisningen på samhällsvetenskapliga programmet är
Ordet matematik består av två delar; mathema från grekiskans förståelse och förklaring samt tics som härstammar ur teknik, tekniker och konst/hantverk (se t.ex. D’Ambrosio, 2006 och Nationalencyklopedin, 2007). När matematik kopplas ihop med ordet etno med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats fokuserar på. Ovanstående tydliggörande av matematik och skolverkets beskrivning av matematikämnets karaktär ska i denna uppsats ses som definitioner av vad matematik är och vad matematikundervisning innebär. Denna bakgrund gör det intressant för mig som matematiklärare att ur ett matematikdidaktiskt perspektiv tydliggöra för eleverna matematiken i vår egen och andras kultur. Via en etnomatematisk undervisning vill jag genom aktionsforskning prova och se vad som sker i klassrummet. Hur ser eleverna på matematik? Det blir då intressant att ge eleverna möjlighet att lära och förstå matematik med stöd av ett kulturellt perspektiv (gäller både ur vår egen kultur eller andra kulturers perspektiv) i undervisningen. Men, min nyfikenhet på hur eleverna själva kan uppfatta matematik i en annan kultur är en av grundstenarna för mig i undervisningssekvensen som redovisas i denna uppsats.
2. SYFTEN OCH FRÅGESTÄLLNINGAR
Denna uppsats har två syften. Det första syftet är att göra en presentation av ett
teoretiskt perspektiv på etnomatematik, det etnomatematiska forskningsområdet och en etnomatematisk forskningsdiskurs. Det andra syftet är att genom aktionsforskning besvara frågan om, och i så fall hur etnomatematik vara ett möjligt sätt att i en
gymnasieklass på samhällsvetenskapliga programmet i Sverige uppfylla programmålet:
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas. (Skolverket, 2000)
Med bakgrund av mina erfarenheter från undervisningssekvensen önskar jag även diskutera följande fråga: Hur kan en diskussion om etnomatematik och globala frågor berika matematikundervisningen i en gymnasieklass i Sverige och samtidigt uppfylla ett av syftena för matematikundervisning på
gymnasieskolans samhällsvetenskapliga program? Syftet för matematikundervisning är formulerat på följande sätt:
Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor, som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor. (Skolverket, 2000)
3. LITTERATURGENOMGÅNG
Etnomatematik är ett forskningsområde som beskriver hur matematik utvecklas inom olika kulturer och subkulturer. Forskare inom det etnomatematiska fältet diskuterar bl.a. urinvånares matematik, vilket detta paper delvis fokuserar på, men även andra kulturella gruppers matematik. En förutsättning för denna diskussion är att man finner acceptens för tesen att matematik utvecklas i alla kulturer, men inte nödvändigtvis på samma sätt (Bishop, 1991). Etnomatematik kan även ses som en undervisningsdiskurs med
undervisning som präglas av bl.a. frågor om global utveckling och rättvisa,
utvecklingsländernas problematik, kunskap och makt och där eleverna utvecklar en förståelse för matematikens betydelse i samhället. Etnomatematiker visar på möjligheter att utveckla matematikundervisning som baseras på en redan etablerad etnomatematisk kompetens.
The International Study Group of Ethnomathematics/ISGEm bildades för snart 15 år sedan med ett brett internationellt deltagande och intresse. Den första internationella kongressen i etnomatematik (ICEM) hölls i Granada 1998 och återkommer sedan dess vart fjärde år (D’Ambrosio, 2001). Den senaste konferensen hölls i Auckland 2006. I kapitel 3.1 definieras och beskrivs begreppet etnomatematik som ett kulturellt
fenomen ytterligare. I kapitel 3.2 beskrivs det etnomatematiska forskningsområdet och i kapitel 3.3 diskuteras den etnomatematiska undervisningsdiskursen. Teoridelen avslutas med en presentation av de australiska aboriginernas kartor som konstverk och en kort förklaring av Dreamtimebegreppet. Detta avsnitt i teorikapitlet motiveras av
utställningen vi besökte på Arkens Museum for Kunst i Köpenhamn.
3.1 Etnomatematik
D’Ambrosio (1985), matematiker och etnomatematiker från Sao Paolo i Brasilien definierade begreppet etnomatematik som den matematik man finner i olika
identifierbara kulturella grupper. Dessa kulturella grupper ser vi bl.a. hos urinvånare, exempelvis aboriginerna, men de kan även definieras i olika arbetsgrupper (se exempelvis Wedege, 2000 som beskrivit matematikanvändandet i arbetsgrupper med korttidsutbildade vuxna; och FitzSimons, 2000) och bland barn och ungdomsgrupper (Nunes et all, 1993). Nunes, lektor vid Institute of Education vid London University
definierar begreppet streetmathematics som den matematik som lärs och används av barn och ungdomar utanför skolan. I Brasilien är det vanligt att arbetarklassens barn och ungdomar tidigt börjar arbeta i föräldrarnas affärer eller själva startar upp
gatuförsäljning av varor som jordnötter, kokosnötter, popcorn eller majs. Denna försäljning kräver aritmetiska beräkningar, framför allt addition och multiplikation för att beräkna priser, men även division för att kalkylera kilopriser. Nunes och hennes medforskares studier visade att dessa barn utvecklade strategiska informella metoder att utföra beräkningarna och behärskade dessa metoder på ett bättre sätt än de formella de lärt sig i skolan. Forskningen visade också att barnen/ungdomarna utvecklade både informella och formella metoder parallellt då de räknade både i skolan och på gatorna.
Lean, tidigare antropolog och forskare på Papua Nya Guinea besökte under många år de olika folkgrupperna på Papua Nya Guinea och kartlade befolkningens olika
räknesystem. Papua Nya Guinea är ett land där invånarna enligt senaste räkning talar 867 olika språk och Lean har kartlagt över 50 olika sätt att räkna och räknesystem. Dessa olika räknesystem har utvecklats inom slutna klaner parallellt med alla de enskilda klanspråken. Vissa grupper av Papua Nya Guineas befolkning använder bodytallingsystems (en engelsk term som på svenska skulle kunna översättas till kroppsräkningsystem) och använder därmed namn på olika kroppsdelar, exempelvis de olika fingrarna, händer, armar och ansiktets delar som namn för räkneord. Andra grupper visar siffervärden genom att använda och visa korrekt antal fingrar, händer och fötter. Ytterligare andra folkgrupper på Papua Nya Guinea räknar i cykler med baser om två, fem, sex, tio eller 20 (Lean, 1992).
De matematiska idéerna och hur de uttrycks varierar mellan olika kulturer och hittas i skilda kontexter som exempelvis konst, spel och religion. Ett exempel är kalendrar och almanackor. Även om vi sedan 1582 har en internationellt gemensam kalender används idag cirka 40 olika kalendrar runt om i världen. Beräkningar och tidsregistrering är ett ypperligt exempel på etnomatematik (D’Ambrosio, 2001). Ett annat exempel är rumsuppfattning, rumsorientering och kartritning (Harris, 1991).
D’Ambrosio (1985) diskuterar även begreppet kreativitet och skriver att kreativiteten och därmed elevernas lärande stärks om de upplever en känsla av kulturell tillhörighet. Han resonerar kring en alternativ pedagogisk diskurs som tydliggör elevernas kulturella bakgrund och låter den ligga till grund i undervisningen. Kultur ska här ses i ett vidare begrepp:
The main fact of interest … is the recognition that culture is a broad concept and goes beyond the traditional view of regarding it as associated with ethnic or geographic parameters. (D’Ambrosio, 1985:42).
D’Ambrosio definierar kulturbegreppet specifikt till matematik på följande sätt: En kulturell grupp är en grupp som utvecklat gemensamma kunskaper, koder och praxis. D'Ambrosios forskning visar även exempel på att sociala grupper, exempelvis olika åldersgrupper, har sin egen kultur med avseende på symboler, jargonger och koder för uppträdande och förväntningar. Dessa grupper utvecklar sin egen matematik, vad D’Ambrosio beskriver med termen ”mathematizing”. Detta står i kontrast till den akademiska matematiken, den som undervisas i skolor. Denna alternativa pedagogiska diskurs i matematikundervisningen beskriver D’Ambrosio genom en liknelse med en planta – insikt och kreativitet behöver en god jord och måste skötas om: ”Here, fertility is determined by motivation, curiosity and initiative” (D’Ambrosio, 1985:80).
D’Ambrosio ifrågasätter inte om den akademiska och formella matematiken verkligen utvecklar dessa egenskaper hos eleverna. Hans resonemang visar istället att den till vissa delar motverkar dessa egenskaper.
En brittisk, dock numera bosatt i Australien, matematikdidaktiker är Bishop. Bishop (1991) definierade begreppet kultur som ”a set of shared understandings”. Han diskuterar kultur utifrån fyra olika kategorier av kulturbegrepp: ideologiska (övertygelser), sociologiska (sedvänjor), sentimentala (attityder) och teknologiska (verktyg). Bishop har studerat likheterna och sambanden mellan olika kulturella grupper med avseende på matematiska idéer och aktiviteter. Likheterna lär oss om
kulturfenomenet matematik och möjliggör enligt Bishop en förståelse för det
finna förklaringsmodeller till fenomen. Dessa sex aktiviteter ser Bishop som
tvärkulturella, de går alltså att finna oberoende av vilken kultur vi befinner oss inom. Likheterna kan också uppfattas som en rekonstruktion av urbefolkningars matematiska tankar, begrepp och principer. Etnomatematiker söker matematiken i produkter och artefakter från olika kulturer t.ex. brukshantverk och brukskonst, redskap, arkitektur och konst. Bishop visar med andra ord på olika forskningsingångar med fokus i den
etnomatematiska forskningen.
Att begreppet kultur är subtilt och mångfacetterat diskuteras av amerikanskan Ascher (1998). Då hon analyserat ett antal definitioner av begreppet kultur kom hon fram till att ur ett etnomatematiskt perspektiv finns signifikans i att i alla kulturer delar människor ett språk, en plats; med traditioner, organisering, föreställningar och tolkningar för att ge orden en fysisk och social innebörd. Detta påverkar de matematiska idéerna. Olika kulturer delar vissa idéer, men inte alla. Även om vissa idéer är lika eller liknande uttrycks de på olika sätt i olika kulturer. Detta påstående gäller matematiska idéer precis som andra idéer. Siffror och numeriska beräkningar (se exempelvis Lean, 1992 och Owens, 2001), logiska resonemang, spatiala konfigurationer, strukturer och system tar sig olika uttryck i olika kulturer enligt Ascher. Hon påpekar att då vi studerar andra kulturers matematiska idéer är det troligen lättare för oss att upptäcka mönster och idéer som påminner om de som finns i vår egen kultur. Detta beror på att vi är begränsade av våra egna kulturella och matematiska begrepp. Då vi diskuterar med andra människor med annan kulturell bakgrund tvingas vi relatera till vår egen (västerländska) modell (Ascher, 1998).
Konst och konsthantverk innehåller till viss del matematik, det som allmänt benämns allmän- eller vardagsmatematik eller det den norske matematikern Mellin-Olsen definierar som folkmatematik (Mellin-Olsen, 1987). Materialberäkning, beräkningar under tillverkningsprocessen och ekonomiska beräkningar kan ses som exempel på detta. Men det finns också en stor del av tillverkningen som inte är matematisk, men som kan efterkonstrueras som matematik och/eller matematiska
tillämpningar/former/abstraktioner. Harris (1987), lärarutbildare och forskare vid University of North Texas diskuterar två begrepp av intresse i detta sammanhang.
Begreppen definierades av Gerdes (1982 i Gerdes, 1996) nämligen frosted mathematics och defrosted mathematics. Harris (1987) och Gerdes (1996) använder begreppet frosted, fruset, om matematik som är gömd i kulturella artefakter. Ett exempel Harris använder är traditionella mönstervävnader:
A glance at any piece of traditional weaving reveals a huge range of obvious geometry to anyone who chooses to notice. How could it have got there without mathematical thinking? (Harris, 1987:27)
Begreppet defrost, upptining, beskrivs av Gerdes (1996) på följande sätt:
… one may try to identify, reconstruct, and thereby ”unfreeze” the mathematical thinking that which is “hidden” or “frozen” in old techniques (like , for example, basket making). (Gerdes, 1982 i Gerdes, 1996)
Upptiningsbegreppet är däremot mer komplicerat enligt Harris. Hon ser en fara i att förutfattade meningar om vad som finns i det frusna kan begränsa vad vi ser vid upptiningen:
We need a term that implies hatching or germination of undefined potential, as well as defrosting, because much of the mathematical thinking that has become frozen in an artefact has been put there by someone who has not been reared on North American textbooks or a standard Western mathematics education with all its attitudes and prejudices. (Harris, 1987:27)
Harris ger i sin artikel ett mycket konkret exempel på frusen/tinad matematik. Hon jämför ett vinkelrätt cylinderformat rör som används inom den kemiska industrin eller inom viss VVS. Problemet vid tillverkningen av dessa vinkelräta rör är att tillverka vinkeln så att den kan rätas ut till 180 grader då slaggprodukter som fastnat i rörvinkeln ska sköljas ur effektivt. Inom industrin ses detta som ett typiskt matematiskt problem. Jämförelsevis ses inte designen vid stickning av hälpartiet på en raggsocka i allmänhet som ett matematiskt problem enligt Harris som undrar: Vari ligger skillnaden? ”Dare it be suggested that the reason is that socks are
traditionally knitted by Granny – and nobody expects her to be mathematical. What, dear old gran?” (Harris, 1987:28). Detta som ett exempel på att våra
begränsningar i tanken och förutfattade meningar och kunskaper ibland begränsar oss i möjligheten att upptäcka matematik i artefakter och därmed blir problemet med begreppet ”defrosting” tydliggjort.
D’Ambrosios (1985) och Bishops (1991) definitioner av kulturbegreppet och dess relation till matematik och matematikundervisning ska ses som en definition av hur dessa begrepp ska uppfattas i denna uppsats.
3.2 Det etnomatematiska forskningsområdet
Gerdes, etnomatematiker och forskare från Moçambique, definierar det
etnomatematiska forskningsområdet som ”the cultural anthropology of mathematics and
mathematical education” (Gerdes, 1996:915). Det etnomatematiska forskningsområdet beskrivs vidare av Gerdes (1996) som accepterande och reflekterande över en
medvetenhet om flera olika matematikers existens. Gerdes karaktäriserar vidare etnomatematiker som forskare med bl.a. acceptens för matematik i vid bemärkelse (jfr Bishops matematiska aktiviteter ovan). Etnomatematiker betonar, framhåller och analyserar hur sociokulturella faktorer påverkar matematikundervisningen på alla olika skolnivåer. Matematiken ses enligt Gerdes som en ”universal, pan-human activity” och etnomatematiska forskare argumenterar för att matematiska tekniker och sanningar är kulturella produkter i olika samhällen. Ytterligare exempel på detta är etnomatematiker som i tredje världen söker efter matematiska traditioner och aktiviteter. Målet med denna forskning är att underlätta matematiklärandet för barnen i dessa länder genom att utnyttja barnens kulturella bakgrund och kunskaper i undervisningen. Gerdes skriver att i undervisningssammanhang söker etnomatematiker möjligheter att använda kulturella aktiviteter för att utveckla matematikundervisning och lärande i klassrummen.
Kontexten kan enligt Gerdes ofta bli sociokritisk och stimulerar därmed eleverna att även reflektera över bl.a. samhällsfrågor (Gerdes, 1996).
Barton (1996), lärarutbildare och forskare inom etnomatematik med inriktning mot språk och matematik i Auckland, Nya Zeeland har konstruerat en skala i sju steg där olika typer av forskning om matematik och kultur kan placeras in. Denna skala tydliggör det etnomatematiska forskningsområdet inom det större forskningsområdet matematisk forskning. Barton definierar här kultur genom att hänvisa till D’Ambrosios och Bishops definitioner av kulturbegreppet inom matematik. I denna linjära skala anlägger Barton även ett antropologiskt perspektiv för att tydliggöra antropologins betydelse för forskning inom detta område.
Matrisens sju steg är formulerade på följande sätt:
1. Pure Mathematics: pure mathematicians tend to record their work in formally approved ways in mathematical journals and conference proceedings.
2. Applied Mathematics: this form of writing uses mathematics explicitly, in the form of mathematical models which are intended to assist analysis and to enable predictions to be made within other subjects… Writings are also formal, and appear in journals or conference proceedings of subjects or disciplines. 3. Mathematical Studies: forms of writing in this category might be described as
mathematical, but are not usually identified as such (as in, for example, articles on design and navigation)
4. Mathematics in Cultural Settings: descriptions of activities which are particular to a cultural grouping, but which might be described as ‘mathematical’ (like, for example, weaving systems, counting procedures, sporting statistics).
5. Descriptions of the Culture of Mathematics: writing which has mathematics as the subject but which is in another mode (like, for example, history of
mathematics, sociology of mathematics, anthropology of mathematics).
6. The Cultural System of Mathematics: writing which describes the way in whioch mathematics is itself a system or a culture, and which describes its cultural characteristics.
7. Mathematics as a Cultural Phenomenon: writing which describes mathematics as a way of knowing, or places it in relation to other cultural forms such as art or religion (like, for example, the historiography of mathematics – how we write about the development of mathematics. (Barton 1996:1037-1038)
Modellen ses som linjär, med ren (pure) matematik som punkt ett och då man förflyttas längs skalan mot punkt sju behandlar forskningen mer och mer forskningsbegrepp om matematik. Skalan stödjer och pekar på en viktig skillnad som Barton formulerar som ”to distinguish between the anthropology of mathematics and an anthropological perspective on mathematics” (Barton, 1996:1039). Ungefär vid den fjärde punkten går en distinkt skiljelinje. Ur en antropologisk synvinkel berör punkterna fyra och fem forskning ur ett antropologiskt perspektiv av matematik emedan punkterna sex och sju ger ett antropologiskt perspektiv på matematik. I punkt sex ses matematik som ett eget kulturellt system och om matematikforskningen ser matematiken som en del av kulturen befinner sig forskaren under den sjunde punkten. Det etnomatematiska
forskningsområdet placeras oftast runt punkt fyra, t.ex. Aschers och Gerdes forskning men flera forskare kan även placeras under punkt sju. D’Amdrosios senare arbeten är enligt Barton exempel på detta. Denna uppsats, som för svenska elever beskriver aboriginernas matematik i form av kartritning torde placeras under punkt fyra. Men, det är också möjligt att placera den under punkt sju eftersom vi studerade matematikens utveckling hos de Aboriginiska folken. Ser vi till programmålet för matematik (Skolverkat, 2000), att skolan i sin undervisning i matematik ska sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas, kan forskning kring detta programmål placeras både under punkt fyra och under punkt sju. Barton påpekar också att möjligheter finns att konstruera flera liknande modeller parallellt för forskning i matematikens historia, filosofi och sociologi. På så sätt skulle man kunna konstruera en teoretisk matris för all forskning inom matematikämnet.
3.3 Matematikundervisning – varför och för vem?
Då jag sökt och läst litteratur om ”the justification problem”, - varför
matematikundervisning och för vem -, är det svårt att finna litteratur och forskare som inte är normativa. Därför kan detta avsnitt i min uppsats uppfattas som normativt. Den litteratur jag läst och det urval jag senare gjort för att skriva detta kapitel är gjorda med ett etnomatematiskt perspektiv så till vida att dessa forskare tar ställning för att globala frågor och frågor om global utveckling och rättvisa bör vara ett (av många andra) inslag i matematikundervisningen i våra skolor. Tanken med detta är att både göra
matematikundervisningen mer intressant för eleverna men även att visa på matematikens roll som ett kraftfullt verktyg att använda vid diskussioner om samhällsfrågor.
Frågorna i rubriken är centrala frågor inom den matematikdidaktiska forskningen idag. De nationella styrdokumenten tydliggör vad undervisningen ska innehålla, vilka moment som ska genomgås och vilka bedömningskriterier lärare ska använda i sin undervisning (Skolverket, 2000). Ascher (1991) argumenterar i detta sammanhang för att styrdokument inom matematikundervisning även bör ha en multikulturell tyngdpunkt och att matematikundervisningen bör organiseras även med historiska och kulturella perspektiv.
Let us take a step toward a global, multicultural view of mathematics. To do this, we will introduce the mathematical ideas of people who have generally been excluded from discussions of mathematics. (Ascher, 1991:1).
Ernest är en brittisk forskare och professor i matematikens filosofi med ett socialkonstruktivistiskt perspektiv i sin forskning om matematik och
matematikundervisning. Ernest (1998) tar som alternativ i sina diskussioner utgångspunkt i de förväntningar och uppfattningar som han uppfattar finns i
matematikundervisningen. Han föreslår följande sju punkter i ett försök till en bred tolkning om varför det ska finnas matematikundervisning och vad
matematikundervisningen bör innehålla:
1. Having a qualitative understanding some of the big ideas of mathematics such as infinity, symmetry, structure, recursion, proof, chaos, randomness, etc.
2. Being able to understand the main branches and concepts of mathematics and having a sense of their interconnections, interdependencies, and the overall unity of mathematics;
3. Understanding that there are multiple views of the nature of mathematics and that there is controversy over its philosophical foundations;
4. Being aware of how and the extent to which mathematical thinking permeates everyday and shopfloor life and current affairs, even if it is not called mathematics;
5. Critically understanding the uses of mathematics in society: to identify, interpret, evaluate and critique the mathematics embedded in social and political systems and claims, from advertisements to government and interest-group pronouncements; 6. Beeing aware of the historical development of mathematics, the social contexts of
the origins of mathematical concepts, symbolism, theories and problems;
7. Having a sense of mathematics as a central element of culture, art and life, present and past, which permeates and underpins science, technology and all aspects of human culture. (Ernest, 1998:50)
De tre danska didaktikerna Höjgaard, Niss och Wedege har konstruerat en ”justification matris” för att grafisk åskådliggöra deras tolkning av termen ”justification”. Denna matris tydliggör genom placering i matrisen objektiva som subjektiva skäl för
matematiklärande på både en global och lokal nivå. Ernst m.fl. forskare diskuterar dessa begrepp med objektiva ( eller materiella, institutionella) skäl på en global nivå. Som lärare i matematik på en gymnasieskola i Sverige verkar även jag objektivt,
institutionellt, men på en lokal nivå, i skolan.
Agent level Extent Objective (’system’) reasons Subjective ’individual’ reasons Global reasons
The objective reasons for the very
existence of studies involving
mathematics or physics.
The subjective reasons for engaging in studies involving mathematics and physics at all.
Local
reasons
The objective reasons for the specific
design, organisation and implementation
of specific programs.
The subjective reasons for
engaging in particular aspects and activities of a programme in particular ways.
(Wedege et all, 1998:10)
Enligt Ernest (1998) bör förväntningar på matematikundervisning vara att den ska ge förståelse för olika synsätt av matematikens skiftande natur och även ge insikt i den filosofiska grunden matematiken vilar på. Den bör också tydliggöra matematiken i allas vår vardag, både den synliga och den osynliga. Vi bör också förvänta oss att
kritisera matematik som används i allt från reklam till samhällsstyrning och olika intressegruppers särintressen. Dessa punkter överensstämmer väl med den danske filosofen och matematikdidaktikern Skovsmoses (1994) intentioner i förslaget att skapa ”Critical Mathematics Education”, en kritisk matematikundervisning. Han pekar på undervisningstraditionen i vår västerländska kulturella och filosofiska tradition att separera begreppen undervisning (education) och kritik. Så länge dessa bägge begrepp förblir separerade handlar undervisning om att leverera information och socialisering av elever. Användes begreppet kritik tillsammans med matematik diskuteras enligt
Skovsmose samhällsfrågor, demokratisk kompetens etc.
Tillsammans med Nielsen har Skovsmose (1996) utvecklat begreppet kritisk matematikundervisning ytterligare. De har fokuserat på några intressepunkter: att medborgerlighet innebär att utbildning krävs för att bli aktiv i det politiska livet, att matematik kan ses som ett verktyg för identifiering och analysering av egenskaper i samhället - både globala och lokala. Vidare skriver Nielsen och Skovsmose att kritisk matematikundervisning fokuserar på så sätt samspelet i klassrummet som inriktas på kommunikation mellan lärare och elever för att ”acknowledge the importance of developing critiqueas as an ongoing educational task with a broad cultural and political scope” (Skovsmose och Nielsen, 1996:1261). I sin sammanfattning argumenterar Ernest (1998) för att den traditionella reproducerande matematikundervisningen inte bara medför reproducerade kunskaper och färdigheter hos elever, utan att den även
reproducerar sociala orättvisor. Vissa elever gynnas, andra missgynnas med denna typ av undervisning. Denna ståndpunkt tar, som tidigare sagt, även D’Ambrosio. ” Critical Mathematics Education must strive to provide equal opportunities and outcomes for all.” (Skovsmose och Nielsen, 1996:1271).
Om kritisk matematikundervisningsperspektivets tyngdpunkt ligger i kommunikationen mellan lärare och elever bör som komplement fokus även läggas på
undervisningsmaterial och läroböcker och hur dessa utformas. Läroböckernas och andra undervisningsmaterials karaktär och kontext har även de stor betydelse för elevernas motivation och lärande i matematik. Boaler (1993), tidigare gymnasielärare i
hur matematikuppgifternas eller problemens kontext påverkar elever är vida undervärderat. Resultaten av den stora skillnaden mellan kontexter i
problemlösningsuppgifter och klassrumsexempel i försök att relatera till ”verkliga livet” - uppgifter eller vardagsuppgifter för att göra matematiken mer motiverande och
intressant är svårt. Hon frågar sig vems vardag – vems verklighet är det som används i dessa textuppgifter? Strategin med vardagsuppgifter och s.k. verklighetsbaserade uppgifter ignorerar enligt Boaler komplexiteten, omfånget och elevernas erfarenheter, bakgrund och kultur så väl som sambanden mellan individernas tidigare erfarenheter och matematiska mål och övertygelser (Boaler, 1993).
Den danske forskaren Niss (1996) beskriver utvecklingen av motiven för
matematikundervisning, (the justificationproblem) mellan olika länder och under olika tidsperioder. Sammanfattningsvis visar hans forskning att länder med traditioner av demokratiskt styre och kontroll och en något centralt kontrollerad ekonomi (t.ex. de Skandinaviska länderna och Holland) tenderar att lägga större vikt på utbildningsmål formulerade som kompetens, aktivitet, empati och ett aktivt kritiskt medborgarskap. I Sverige beskrivs idag ett av de tre syftena för matematikundervisning på gymnasiets samhällsvetenskapliga program på följande sätt:
Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor, som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor. Skolverket (2000)
Denna formulering stämmer någorlunda väl överens med innehållet i
utbildningsmålen Niss beskriver. Som kontrast till dessa ord nämner Niss länder med auktoritärt styrelseskick som främst motiverar matematikundervisning dels till ett färre antal personer, dels med mål som beskrivs av en teknisk- och socioekonomisk utveckling.
Den brittiska forskaren Benn, som studerat aboriginernas kultur men som troligen är mest känd för sin forskning om vuxna och matematiklärande, deltog i ett projekt år 2001 vars mål var att kartlägga hur australiska aboriginer lär matematik och utvecklar
numeralitet. Projektets namn var” Numeracy as a social-cultural construct: an
investigation of how Aboriginal learners engage with and make sense of mathematics curricula” (Benn, 2002). Hennes studier visar att föräldrar till aboriginiska barn önskar att barnen ska studera akademisk matematik för att “gain access to the powerfull and prestigious discourse of western mathematics” (Benn 2002:55). Detta förklarar enligt Benn varför så många aboriginer inte är intresserade av att bygga vidare på sin egen vardagsmatematiska diskurs – den är inte lika högt värderad av samhället som den västerländska matematiken är. Föräldrarna är övertygade om att deras barn får större social makt och större kontroll över sina liv om de lär matematik med en västerländsk diskurs. Benn argumenterar för att detta sätt att se på matematik sammankopplar
matematik med de olika maktstrukturerna som finns i ett samhälle. Några av de punkter hon föreslår att lärarna måste beakta för att underlätta aboriginernas lärande i matematik är följande:
• To see through the ”commonsenseness” of their own mathematics to the recognition that other mathematics exist and that they are valuable
• To have at least some awareness of the Aboriginal locale (including language, interests and customs) and everyday mathematics
• To be able and confident in western academic mathematics
• To be able to construct a pathway from the everyday mathematics to academic mathematics by use of appropriate language and metaphors (Benn, 2002:57)
Vad jag undrar är – vad skiljer dessa punkter från de reflektioner en lärare borde göra vid planering av matematikundervisning i ett svenskt klassrum? Genom att byta ut ordet Aboriginal i ovanstående citat mot ordet barn, ungdomar, en specifik yrkesgrupp eller vilken annan kulturell grupp man som lärare ska undervisa kan kanske underlätta lärandet i matematik och planeringen av matematiklektionerna även hos oss i Sverige. Teorin har påverkat mig att reflektera över planering och innehåll i min matematik-undervisning och fundera över hur dessa nya kunskaper kan utnyttjas direkt i
undervisningen. D’Ambrosios och Bishops teorier om elevers matematiska kreativitet och hur den kan påverkas i olika riktningar då hänsyn tas till elevers kulturella bakgrund är intressant ur ett matematikdidaktiskt perspektiv. Självklart önskar jag som lärare att elever ska uppleva kreativitet i matematiklärandet. Målet för mig är att göra
undervisningen intressant för eleverna och sätta den i ett sammanhang som tydliggör matematikens möjligheter för olika människor med olika kulturell bakgrund.
Skovsmoses, Ernests m.fl. diskussioner om kritisk matematikundervisning är didaktiskt intressant. Detta perspektiv, att diskutera samhällsfrågor ur ett matematiskt perspektiv i matematikundervisningen gör mig nyfiken på om och i så fall hur det kan påverka elevernas motivation och resultat i positiv riktning.
3.4 De Aboriginiska kartorna
Dreamtime är ett begrepp inom den australiska aboriginiska kulturen som beskriver en
spirituell dimension av de australiska aboriginernas existens och länkar samman nutid med tiden då världen skapades. Dreamtime representeras av sånger, danser och
målningar men även kartor som visar spår i naturen av de allra första urinvånarna i form av bäckar, sjöar och berg (The Oxford Companion to Australian History). En australisk forskare som under många år forskat inom det etnomatematiska forskningsområdet ur en kulturell kontext och speciellt inom aboriginisk kultur, Harris, beskriver
aboriginernas rumsuppfattning och spatiala förmåga så här:
If Aboriginal people were to set up their own mathematics programs uninfluenced by white Australian traditions of what is important in a school mathematics program… the highest priority would certainly go to the space strand. (Harris, 1991:19)
Harris beskriver aboriginernas förmåga att var de än befinner sig kunna beskriva
riktningarna för väderstrecken även på för dem nya platser och i nya omgivningar, både ute i öknarna och inomhus i byggnader. Då (vi) västerlänningar skulle använda
begreppen höger/vänster utnyttjar aboriginer väderstrecken som riktningsangivelser. Harris använder de aboriginiska kartorna som exempel då hon förklarar aboriginernas uttryck för abstraktioner. De västerländska kartorna är fyllda av abstraktioner i form av likartade symboler och ekvidistanslinjer. De aboriginiska kartorna är även de fyllda med abstraktioner – beroende på om kartan är ”bara en karta” för exempelvis en resa eller om den även har ett mytiskt eller heligt ändamål. Det är inte ovanligt att aboriginiska kartor är fyllda med mytologiska symboler för olika platser.
De stora konstverken som visades på Dreamtimeutställningen är figurativa bilder som visar specifika landskap, heliga platser, vegetation och djurspår som har både symbolisk så väl som praktisk innebörd för den australiska urbefolkningens livsföring i
vildmarken. Aboriginiska kartor visades här som stilfull konst med symboler och bilder för exempelvis de heliga platserna. På Dreamtimeutställningen studerade eleverna cirklar och prickar som symboler för platser, men även för vandraren, alltså människan, och tiden. För att ge sig ut i den okända australiska terrängen krävs att man kan tolka tecken och symboler för exempelvis vattenhål och träd. Antalet cirklar i konstverken, kartorna, kan också uppfattas som tid. Fem cirklar före en stor kan tydas som ”fem dagar senare kommer du fram till ett stort träd”. En bild som föreställer fem män kan återge en mans resa under fem dagar i landskapet (Ebes, 2006).
Nedanstående bilder är exempel på två konstverk och samtidigt två kartor som visades på Arkens Museum under Dreamtime-utställningen. Ytligt sett påminner dessa bilder med punkter, cirklar och streck mest om abstrakta kompositioner. Men, det är figurativa bilder som fungerar som en slags kommunikation. Med målningarna vidarebefordrar aboriginer information om sitt levnadssätt, sina förfäder och ritualer till
gruppmedlemmarna. Denna konst är äldre än de egyptiska pyramiderna och kulturen anses vara den äldsta levande i världen. Däremot är framställandet på duk en relativt ny företeelse. Ursprungligen målades bilderna på bark, klippor, i trä, sand eller rent av på marken. Kroppsmålningar förekom också. Först på 70-talet började aboriginerna tillverka bilder som inte var fysiskt bundna till platser eller kroppar. Holländaren Hank Ebes var en av dem som med hjälp av ockra- och akrylfärger inspirerade och
uppmuntrade aboriginerna att uppföra sina bilder på duk istället. Denna historik fanns att läsa på informationsblad på Arkens Museum för Kunst (www.arken.dk).
Bild 1. Love story, målad 1972 av Clifford Possum Tjapaltjarri. Syntetiskt polymer på board, 61x45 cm. Målningen föreställer en drömsång, “Dreamsong” vid berget Ngarlu, även kallat Red Hill. Symbolerna i bilden visar en vandring till Ngarlu som startar i målningens nedre vänstra hörn. Promenerar man runt i tavlan motsols träffar man på gränserna till Ngarlu, en utsikts- och riktningsbeskrivning från Ngarlu, en älskares fotsteg och bumeranger som symboler för kärleksmusik och i slutet regnsymboler. (Exihibitionguide, 2006:40, min översättning)
Bild 2. Tjirilpatja Dreaming, målad 1992 av Tommy Skeen. Akryl på canvas, 178x119 cm. Denna målning föreställer Emu och ”Bush Carrot” (Tjirilpatja) som drömsånger vid en plats med namnet Lirrwarti, nära Balgo. Bush carrot omger tavlan. Fötterna representerar
vandringen mellan olika geografiska platser och samtidigt mellan olika ”ancestors”, föregångares aktiviteter och ceremonier som associeras med Tingari ancestors. (Exihibitionguide, 2006:51, min översättning)
4. AKTIONSFORSKNING SOM METOD
I kapitel 4.1 presenteras inledningsvis aktionsforskning som metod och därefter placeras denna undersökning in i en aktionsforskningmodell och beskrivs mer detaljerat.
Studiebesöket på Dreamtimeutställningen presenteras under 4.2. Etiska hänsyn
diskuteras under punkt 4:3. En kvalitetsdiskussion av aktionsforskning finns längre fram i uppsatsen, i kapitel 5.3.
4:1 Uppsatsens placering inom en aktionsforskningsmodell
Enligt Mertens (2005) förklaringar av de olika forskningsparadigmen bör denna forskningsrapport placeras inom ett transformativt paradigm under ”Participatory theory”. Det transformativa paradigmets ontologi beskrivs bl.a. av sociala, kulturella och etniska värderingar. Epistemologin karaktäriseras av ett nära samarbete mellan forskare och forskningsdeltagare med en kunskap som är både socialt och historiskt situerad. Metoder som används är oftast kvalitativa (som i denna undersökning) men även andra metoder används beroende på forskningens syfte och mål (Mertens, 2005).
Aktionsforskning är en forskningsmetod som ofta används för att utvärdera en
förändring av praxis i exempelvis undervisning, men även inom andra sociala verksamheter är aktionsforskning vanlig för att utvärdera förändringsarbete. Robson (2002) skriver att aktionsforskning medverkar till beskrivning, förklaring och förståelse av förändringar. Improvement och involvement (förbättring och engagemang) är enligt Robson centrala begrepp inom aktionsforskning. Robson ger följande beskrivning av aktionsforskning:
There is, first, the improvement of a practice of some kind; second, the improvement of the understanding of a practice by its practitioners; and third, the improvement of the situation in which practice takes place. (Robson, 2002:215)
I Mertens definieras begreppet practical participatory evaluation i kontexter som handlar om utvärdering och som samtidigt involverar de deltagande i forskningen. Specifikt inom undervisning benämns detta ”classroom action research” (Mertens 2005:243) där lärare, ibland – men inte alltid - med stöd av akademiker genomför
Aktionsforskning beskrivs även av en svensk forskare, Rönneman (2004) som en ansats med utgångspunkt i den praktiska verkligheten och som verkar för en forskning som leder till förändring. Den handlar om att utveckla och förändra en verksamhet, men också om att skaffa sig kunskap om hur förändring sker och vad som händer under arbetes gång. Praktikern, i detta fall läraren, är delaktig i vad som sker och kan därmed åstadkomma en bättre grund att agera från.
Förloppet gör att aktionsforskning kan ses ur ett ‘bottom-up’- perspektiv, vilket innebär att det är praktikern själv som ställer frågorna och agerar för en förändring. (Rönneman, 2004:14)
Detta till skillnad från när någon annan utifrån bestämmer vad som ska ske eller forskar i verksamheten, ett ”top-down”-perspektiv. Rönneman beskriver aktionsforskningens historia utifrån en amerikansk forskare, Lewins, modell. En liknande modell finns beskriven av Robson (2002). Lewins modell beskrivs som cyklisk, Robsons som spiralisk men stadierna i de olika modellerna är i princip de samma. Bägge modellerna beskriver olika stadier av aktionsforskning t.ex. reflektion över nuvarande situation, planering av en aktion utifrån dessa erfarenheter, genomförandet, observationer under genomförandet samt ett resultat som i sin tur blir föremål för ny reflektion. Denna reflektion leder vidare till en ny planering, föder nya frågor och därmed ny aktion. Enligt denna modell planerade jag den nya undervisningssekvensen utifrån nya
kunskaper och inspiration jag fick på ICEM-3 i Auckland samt erfarenheter från tidigare studiebesök med elever. Undervisningen och studiebesöket genomfördes och
observationerna skedde dels genom elevernas skriftliga reflektioner och svar på frågorna, dels genom mina observationer i klassrummet och under studiebesöket. Resultaten beskrivs i denna rapport som förhoppningsvis ska leda vidare till nya frågor och ny forskning.
Skovsmose och Borba (2000) beskriver en modell för aktionsforskning inom
matematikundervisning och påvisar samband mellan den nuvarande situationen (NS), den arrangerade situationen (AS) och föreställningen om en ny tänkbar situation (TS) som visas i figur 1. Den nuvarande situationen, NS, beskriver den rådande
situation initierar en föreställning om att förändra, att göra annorlunda vilket så
småningom blir en föreställning om en ny tänkbar situation, TS. Denna består endast av olika hypoteser och idéer och ingår i undervisningsdiskursen. Då förändringar i
undervisningen genomförs övergår de tänkbara situationerna till att bli arrangerade
situationer, AS.
AS
NS TS
Figur 1. Modell som visar samband mellan nuvarande situation (NS), den tänkbara situationen (TS) och den arrangerade situationen (AS). (Skovsmose och Borba, 2000:11)
Förändringarna är inte statiska, som triangeln kan ge sken av, utan förflyttningarna mellan de olika situationerna är en pågående process. Sambandet som visas i figur 2 mellan den nuvarande situationen och den tänkbara situationen benämns av Skovsmose och Borba för den Pedagogisk föreställningen, PF, och beskrivs som en process som ger stöd för att skapa de nya, tänkbara situationerna. Processen innebär också att som lärare komma till insikt om att undervisningen skulle kunna förändras och göras annorlunda. Sambandet mellan den nuvarande situationen och den arrangerade situationen beskrivs av Skovsmose och Borba som en process för planering av aktiviteter och praktisk
organisation, PO. Slutligen, sambandet mellan den tänkbara situationen och
arrangerade situationen handlar om en analytisk och reflekterande process av de nya erfarenheterna, RP.
AS
PO RP
NS PF TS
Figur 2. Figuren visar sambandet mellan den pedagogiska föreställningen (PF), praktisk organisation (PO) och den reflekterande processen (RP) i förhållande till nuvarande situation (NS), den tänkbara situationen (TS) och den arrangerade situationen (AS). (Skovsmose och Borba, 2000:12)
Denna undersökning placeras inom Skovsmoses och Borbas modell på följande sätt: Den nuvarande situationen som jag ville förändra var den vardagliga
matematikundervisningen i klassrummet vad gällde programmålet
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas (Skolverket, 2000).
Eleverna som deltog i denna studiesekvens gick andra terminen i åk 2 på gymnasiet och var 17-18 år gamla. De var sammanlagt 16 stycken, 14 flickor och 2 pojkar.
Gymnasieprogrammet de valt är i grunden ett samhällsprogram som är
universitetsförberedande med kommunikation och språk som speciell inriktning. I Sverige startar eleverna på gymnasiet med Matematik A som innehåller grundläggande aritmetik och geometri, fortsätter i Matematik B med sannolikhetslära och funktionslära av första och andra graden som huvudsakligt innehåll. Därefter följer Matematik C bestående av derivata och exponentialfunktioner och avslutas i Matematik D som behandlar momenten trigonometri och integraler och som ger behörighet att söka till naturvetenskapligt- och tekniskt universitet/högskola i Sverige. Eleverna som deltog i denna undersökning befann sig i mitten av kurs C. Den vanliga dagliga undervisningen i klassen baseras till stor del på undervisningslitteraturens innehåll som i sin tur väl följer Skolverkets uppsatta mål i matematikämnet. De matematiska momenten genomgås
noga och undervisningsmetoderna varierar beroende på vilket matematiskt avsnitt som är i fokus under pågående lektion. Min strävan i undervisningssituationen är en hög både muntlig och skriftlig elevaktivitet under lektionerna. Under genomgångar när jag som lärare står vid whiteboarden och beskriver/förklarar nya moment i kusen är det viktigt för mig som lärare att eleverna stannar upp, reflekterar och ställer frågor så att budskapet blir klart och tydligt. Eleverna är aktiva både genom att skriva, ställa frågor och genom ”bikupor”, där vi tar en paus och eleverna själva diskuterar den
genomgångna teorin eller metoden. De får sedan lösa uppgifter tillsammans med den de sitter bredvid som sedan löses gemensamt från tavlan. På så sätt ökar jag
elevaktiviteten och att alla frågor och oklarheter reds ut innan eleven börjar lösa bokens uppgifter och problem på egen hand. Det didaktiska kontraktet jag strävar efter under mina lektioner med elever präglas alltså till stor del av samtal och diskussioner.
Klassrumsklimatet ska vara tryggt och tillåtande. De flesta elever är inte vana vid detta sätt att arbeta under matematiklektioner när de kommer till vårt gymnasium från olika högstadieskolor. Det tar ungefär en termin för dem att vänja sig – och att våga - ställa frågor och öppet diskutera matematik och matematiska frågeställningar. En del moment lärs helt och hållet i grupp och examineras därefter. Exempel på moment i
matematikundervisningen när denna metod fungerar bra i min undervisning är
procentberäkningar, ränteberäkningar, statistik och sannolikhetslära. Ibland får eleverna gå ut och söka faktiska exempel på de moment som är nya eller nyligen genomgångna i skolans närområde– detta för att ge eleverna en känsla av att matematiken verkligen finns utanför skolan (dock brukar vi då upptäcka att matematiken ofta förekommer på andra sätt än i undervisningsböckernas problemformuleringar).
Ett programmål som varit en givande utmaning att uppnå är målet att eleverna ska fördjupa sina insikter i hur matematiken utvecklats och utvecklas av människor i olika kulturer. Detta mål är jämfört med de matematiska målen inte lika tydligt utan kan upplevas som diffust. Det är heller inget mål som testas vid exempelvis nationella prov. I läroböckerna kan man ibland finna faktarutor som behandlar detta mål, men de
upplevs enligt min erfarenhet mest som kuriosa av eleverna och tillför inte lärandet i matematik någon extra dimension. För att nå en annan bild av matematikundervisningen med en ny diskurs och en ökad samhällsvetenskaplig programinfärgning av
matematikundervisningen och med en undervisning med elever och matematik
placerade i en kulturell kontext utvecklade jag en pedagogisk föreställning om en ny
undervisningssituation där vi under matematiklektioner skulle diskutera kulturella och globala frågor ur ett matematiskt perspektiv. Frågor jag ställde mig under denna period var av typen: Hur skulle jag få in min idé på ett naturligt sätt i undervisningen? Vilka moment i matematikundervisningen skulle passa in? Vilka möjligheter såg eleverna med sina egna olika kulturella bakgrunder?
Under denna tid besökte jag privat utställningen Dreamtime på Arkens Museum i Köpenhamn och insåg att här fanns en möjlighet att realisera mina idéer och
pedagogiska föreställningar. Jag skulle kanske kunna ta med eleverna till utställningen och låta dem söka matematiken i de australiska aboriginernas kartor och konstverk? De praktiska arrangemangen och organisering av studieresan tog vid. Idéerna
förankrades hos skolans rektor både till sitt innehåll och vad gällde ekonomin. Elever fick en dag ledigt från andra ämnen för att kunna åka på studiebesöket. Buss bokades. Jag planerade introduktionslektionen och satte ihop en PowerPoint-presentation med bilder att använda som diskussionsunderlag vid introduktionslektionen. Den nya arrangerade situationen bestod alltså av en undervisningssekvens i två delar – dels en längre matematiklektion med introduktion till etnomatematik och dels studiebesöket på Dreamtime-utställningen där eleverna fick möjlighet att studera en annan
befolkningsgrupps, de australiska aboriginernas, matematik i form av deras kartor, konstverk och artefakter.
Vid det längre lektionstillfället drygt två veckor före studiebesöket introducerades eleverna till området etnomatematik med en PowerPoint-presentation av mig. Presentationen bestod av bilder av maorikonst och hantverk och bilder av intressant arkitektur ifrån Nya Zeeland och Australien. Bilderna tog jag dels under ICEM
-konferensen i Auckland och dels i Sydney. Exempel på bilder från presentationen finns nedan, se bild 3-10. Under presentationen berättade jag bl.a. om D’Ambrosio, vem han är och om hans definition och beskrivning om etnomatematik. Jag beskrev de olika delarna av matematik man kan studera för att hitta etnomatematik med utgångspunkt i Bishops definition av etnomatematik. Vi tittade på arkitektur, bl.a. Utzons verk
Operahuset i Sydney. PowerPoint presentationen kompletterades efteråt med frågor och efterföljande diskussioner i klassen om globala frågor, rättvisefrågor samt om vad urbefolkningar egentligen är. Matematik, makt, vem ska lära matematik och vems matematik är den riktiga är exempel på problem som diskuterades. Diskussionen leddes i helklass, men delar av den arrangerades i mindre grupper som sedan redovisade sina samtal i helkass. Med detta upplägg tänkte jag att så många som möjligt skulle få möjlighet att diskutera frågorna. De elever som inte önskade uttrycka sina reflektioner och tankar i den stora gruppen fick möjlighet att göra det i de mindre grupperna.
Frågorna som vi diskuterade i anslutning till presentationen var formulerade på följande sätt:
• Jag visade en privat flätad korg med en rund cirkulär form och med geometriska mönster (romber) i olika färger. Korgen är tillverkad i Afrika. Frågan eleverna fick var: Vilken matematik behövs för att tillverka den här korgen? Tror du kvinnan som tillverkat den kan denna matematik?
• Orättvisorna i världen – hur kan de kopplas till matematiska kunskaper? • På Papua Nya Guinea använder man ett bodytallingsystem – man räknar och visar siffror med kroppen. Kan du tänka dig det? Vilket är det rätta sättet?
• Jag beskrev bakgrunden för ”A settlement of the Brazilian Landless Movement”, en reform för ockupation av mark i Brasilien, och redogjorde för den brasilianska professorn och lärarutbildaren Knijniks (Knijnik, 1999 och Knijnik, 2006) beskrivningar av barnens konkreta matematikundervisning i dessa områden, exempelvis i forma av salladsodlingar. Eleverna fick sedan diskutera kring detta tema.
Den större diskussionen i helklass leddes av mig och eleverna fick demokratiskt begära ordet som jag sedan fördelade efter hand. Under tiden eleverna diskuterade i mindre grupper om tre till fem elever förflyttade jag mig runt i klassrummet och lyssnade på de olika samtalen som pågick. Dessa samtal redovisades sedan muntligt i den stora
gruppen. En mindre grupp redovisade vad de diskuterat och sedan fick de besvara eventuella följdfrågor från oss andra innan nästa grupp fick redovisa. Efter lektionens slut satt jag kvar i klassrummet och antecknade vad som diskuterats och vilka som varit mer aktiva under diskussionerna än under ordinarie matematiska diskussioner i
klassrummet. Dessa anteckningar ligger till grund för mina reflektioner i redovisningen av klassrumsdiskussionen.
Exempel på bilder från PowerPoint-presentationen kommer nedan:
Bild 3. Exempel på repknytningsteknik som byggteknik i Pacific Ocean House i Auckland, Nya Zeeland.
Bild 4. En bild inifrån ett Maori meeting house, ett whare whakairo med namnet Tane-Nui-A-Rangi i Auckland. Huset är byggt på så sätt att det är”conceptualized metaphorically as a human body, usually representing the eponymous ancestor of atribe” (University of Auckland, 1988). Vid denna bild diskuterade vi geometri och symmetrier samt vilka matematiska kunskaper som krävs för att tillverka detta kostverk.
Bild 5. Ett annat exempel på mattor och träsnidesarbete från Tane-Nui-A-Rangi. Träsniderierna och vävnaderna/mattorna beskriver berättelser och myter från respektive maoriklans historia. Här diskuterades också mönster, symmetrier och geometri.
Bild 6. Två inuitiska lärare för yngre barn; Evelyn Yanez och Dora Andrew-Ihrke från Yup’ikfolket i Alaska visar en traditionell anorak. Förr tillverkade de yngre kvinnorna dessa anoraker till en hemgift. Skinn var, och är, en dyr vara så det är viktig att lära sig hushålla och inte slösa med skinn. Hur kan man tillverka dessa bårder och kanter med så lite material som möjligt? Hur viker man och klipper en perfekt kvadrat direkt utan att slösa med sälskinn?
Bild 7. Denna bild visar en detalj från en anorak hos Yup’ikfolket. Dessa mönster pryder anorakerna. Barn i de lägre årskurserna använder dessa mönster i geometriundervisning och lär
sig språket, hur man ritar och klipper ut jämna fina former utan att slösa med material. I dessa klasser tar man tillvara de äldres kunskaper genom att de är närvarande och sitter och arbetar med mönstren i klassrummet. Man arbetar tillsammans men var och en gör sitt eget arbete.
Yupik Border Patterns
Pretend Windows
Pretend teeth or pretend mountains
Pretend Mountains with reflections Pretend Boxes
Pretend Boxes on top of each other and connected
Taquruat (pretend braids)
Bild 8. Yup'ik Border Patterns (Lipka, 2006:9). Exempel på olika mönster som pryder kanterna på de Yu’pikska anorakerna.
Bild 9. Operahuset i Sydney, Australien ritat av den danske arkitekten Jörn Utzon. Anledningen till att operahuset upplevs som harmoniskt lär vara att de ingående ”skalen” tillsammans bildar ett klot vilket ögat uppfattar som en helhet.
Bild 10. Darling Harbour i Sydney, Australien. Darling Harbour färdigställdes i sin nuvarande form till de Olympiska Spelen som hölls i Sydney år 2000. Arkitekturen med alla dess
4.2 Studiebesöket på Dreamtime-utställningen på Arkens Museum for kunst Vid studiebesöket på Dreamtime-utställningen fick eleverna som uppgift att besvara tre frågor under tiden de vistades på utställningen. Observera att i denna uppsats redovisas
och diskuteras endast resultaten från den första frågan. Anledningen till detta är att det
är denna fråga som knyter an till uppsatsens teoriavsnitt.
Den fråga eleverna besvarade under dagen de vistades på utställningen och som alltså redovisas i denna uppsats var formulerad på följande sätt:
1. Vilka matematikkunskaper tror du kan ligga bakom de respektive konstverken? Välj ut några av konstverken och reflektera mer över dem.
De matematikkunskaper som underförstås i denna fråga är de kunskaper som de fått tidigare i sin skolgång – alltså de matematiska kunskaper som beskrivits av Skolverket (2000) och som ligger till grund för skolundervisningen i matematik.
De två frågorna som inte redovisas i denna uppsats men som eleverna också funderade på och resonerade kring var följande:
2. Kan du se någon möjlighet att använda urinvånares konst och hantverk i vår matematikundervisning? Vilka moment i matematiken skulle kunna förstås bättre ur detta perspektiv?
3. Våra egna svenska konst- och hantverkstraditioner, ser du någon möjlighet för hur vi skulle kunna använda dem i matematikundervisningen?
Frågorna jag ställde till eleverna besvarades enskilt, individuellt, men eleverna var fria att studera konstverken tillsammans i mindre, självvalda grupper och även att diskutera tavlorna och uppgifterna med varandra. Väggtidningar på museet i anslutning till utställningen gav tillgång till information om de olika konstverken och vad mönstren och symbolerna i de respektive konstverken betydde samt myterna och historierna bakom konstverken. Eleverna svarade enskilt på frågorna och skrev ner sina svar under tiden de befann sig på utställningen och 13 av dem lämnade dem sedan direkt till mig. Tre elever valde att renskriva sina svar och istället maila dem till mig två dagar senare. Elevernas skriftliga svar och olika synpunkter genomlästes därefter flera gånger och sorterades sedan i tre olika grupper som naturligt framkom ur materialet. Två av dessa grupper definierar olika matematiska kunskaper som ingått i den tidigare
undervisningen: geometri, grafer, derivering och talföljder. Den tredje gruppen representeras av kommentarer som ifrågasätter om det finns någon matematik i
konstverken. Observera att det är kommentarer och reflektioner, och inte enskilda elever som delats in i grupperna. Exempelvis kan en elev som funnit geometriska former även ifrågasätta den matematiska bakgrunden och då finns denne elevs kommentarer i bägge grupperna.
Under studiebesöket gick jag runt och lyssnade på elevernas samtal samtidigt som jag noterade punkter ur deras samtal och diskussioner på ett medhavt block. Jag valde oftast att inte delta i samtalen utan satte/ställde mig lite avsides så det inte var uppenbart att jag lyssnade på deras konversationer. I några av samtalen deltog jag genom att svara på vissa konkreta kunskapsfrågor men avstod från att direkt delta i samtalen som berörde frågeställningarna. Noteringarna jag gjorde under studiebesöket ligger till grund för mina personliga lärarkommentarer i resultatkapitlet.
4:3 Etiska hänsyn
Eleverna informerades före studiebesöket om att deras svar troligen skulle användas i min magisteruppsats, och i samband med att uppsatsen skrevs vidtalades de en gång till. Informationen gavs under ordinarie matematiklektion i skolan. Alla elever sa OK, men en av eleverna med tillägget ”bara man inte kan se vad jag skrivit”. Hänsyn har tagits till denna elevs önskemål och personens svar har inte citerats i uppsatsen.
Alla namngivna elever i resultatdelen har fått fingerade namn. De två elever som skrev det inledande poemet i inledningskapitlet på s. 6 tillfrågades speciellt och de gav bägge, med glädje, sitt samtycke.
