+VTU BT JO DMBTTJDBM UIFSNPEZOBNJDT IFBU DPOTUJUVUFT UPHFUIFS XJUI XPSL POF PG UIF NPTU JNQPSUBOU DPODFQUT JO RVBOUVN UIFSNPEZOBNJDT "DDPSEJOH UP UIF mSTU MBX PG UIFSNPEZ OBNJDT B DMPTFE TZTUFN JF B TZTUFN XIJDI EPFT OPU FYDIBOHF NBTT XJUI JUT FOWJSPONFOU NBZ DIBOHF JUT FOFSHZ POMZ UISPVHI IFBU BOE XPSL 8PSL JT FOFSHZ BEEFE UISPVHI B DIBOHF PG UIF NBDSPTDPQJD EFHSFFT PG GSFFEPN UIBU NBZ CF DPOUSPMMFE FYUFSOBMMZ FH CZ BO BQQMJFE CJBT PS B WPMVNF DIBOHF 8PSL NBZ CF EFTDSJCFE CZ B )BNJMUPOJBO UIBU EFQFOET FYQMJDJUMZ PO UIFTF NBDSPTDPQJD EFHSFFT PG GSFFEPN PS JNQMJDJUMZ UISPVHI B UJNF EFQFOEFODF #Z DPOUSBTU IFBU JT FOFSHZ BEEFE UISPVHI UIF NJDSPTDPQJD EFHSFFT PG GSFFEPN UIBU BSF VTVBMMZ OPU BDDFTTJCMF FYUFSOBMMZ CZ BO FYQFSJNFOUBMJTU GPS JOTUBODF UIF NPUJPO PG TJOHMF QBSUJDMFT ɨF EJĊFSFODF CFUXFFO IFBU BOE XPSL GPS B RVBOUVN TZTUFN JT NPTU DMFBSMZ JMMVTUSBUFE CZ DPOTJEFSJOH BO JOmOJUFTJNBM DIBOHF E& PG UIF FYQFDUBUJPO WBMVF PG UIF )BNJMUPOJBO ˆ)(U)
<ðòñ>
E&≡ EUS)(U)ˆˆ ρ(U)= US
E ˆ)(U)ˆρ(U)+ US ˆ
)(U)Eˆρ(U)≡ E8 + E2, óð XIFSF ˆρ(U) JT UIF SFEVDFE EFOTJUZ NBUSJY PG UIF TZTUFN )FSF XF TFF UIBU BO FOFSHZ DIBOHF E& NBZ CF DBVTFE FJUIFS CZ B DIBOHF JO UIF )BNJMUPOJBO DPSSFTQPOEJOH UP UIF JOmOJUFTJNBM
XPSL E8 EFTDSJCFE CZ UIF mSTU UFSN PS CZ B DIBOHF JO UIF EFOTJUZ NBUSJY DPSSFTQPOEJOH UP UIF JOmOJUFTJNBM IFBU E2 EFTDSJCFE CZ UIF TFDPOE UFSN 'PS B DMPTFE TZTUFN XIPTF UJNF FWPMVUJPO JT EFTDSJCFE CZ UIF -JPVWJMMFoWPO /FVNBOO FRVBUJPO UIF MBTU UFSN ESPQT PVU BT UIFSF JT OP IFBU FYDIBOHF XJUI UIF FOWJSPONFOU )PXFWFS UIF TFDPOE UFSN NBZ CFDPNF JNQPSUBOU GPS TZTUFNT XIPTF UJNF FWPMVUJPO JT EFTDSJCFE CZ NBTUFS FRVBUJPOT /PUBCMZ GPS TZTUFNT FYDIBOHJOH QBSUJDMFT UIF TFDPOE UFSN NBZ BMTP DPOUBJO B XPSL DPOUSJCVUJPO E/ XIFSF JT UIF DIFNJDBM QPUFOUJBM BOE E/ JT BO JOmOJUFTJNBM DIBOHF JO UIF QBSUJDMF OVNCFS *G UIF )BNJMUPOJBO PG UIF TZTUFN JT UJNFJOEFQFOEFOU UIJT SFTVMUT JO UIF IFBU FYQSFTTJPO
E2 = E&− E/. óñ
.VDI PG UIJT DIBQUFS XJMM GPDVT PO IFBU USBOTQPSU BOE JUT DPOOFDUJPO UP UFNQFSBUVSF nVD UVBUJPOT JO OBOPTDBMF TZTUFNT *O UIJT TFDUJPO XF JOUSPEVDF UIF CBTJD DPODFQUT UP EFTDSJCF IFBU USBOTQPSU TUBUJTUJDBMMZ VTJOH UIF UPPMT GSPN $I ñ )FBU USBOTQPSU JT PG WJUBM JNQPSUBODF
c h
h c
'JHVSF " TJOHMF SFTPOBODF MFWFM DPVQMFE XJUI DPVQMJOH TUSFOHIUTγDBOEγI UP UXP SFTFSWPJST POF XJUI UFNQFSBUVSF 5DBOE UIF PUIFS XJUI UFNQFSBUVSF 5I 5IF PDDVQBUJPO OVNCFST PG UIF SFTFSWPJST BSF¯OD,I= (exp[ε/(L#5D,I)] ± )−
GPS PVS GPMMPXJOH EJTDVTTJPO PO UFNQFSBUVSF nVDUVBUJPOT BOE RVBOUVN DBMPSJNFUSZ 5P FY FNQMJGZ BMM DPODFQUT XF BHBJO DPOTJEFS UIF FYBNQMF TZTUFN JOUSPEVDFE JO $I ñ )PXFWFS UP NBLF UIJT TZTUFN TPNFXIBU NPSF JOUFSFTUJOH XF OPX DPOTJEFS B TJOHMF SFTPOBODF MFWFM DPVQMFE UP UXP SFTFSWPJST POF IPU XJUI PDDVQBUJPO OVNCFS ¯OIBOE POF DPME XJUI PDDVQB UJPO OVNCFS ¯OD TFF 'JH óð 'PS TJNQMJDJUZ JO UIF GFSNJPOJD DBTF XF BTTVNF UIBU UIFSF JT OP WPMUBHF CJBT BQQMJFE CFUXFFO UIF SFTFSWPJST 8F DPOTJEFS UIF OFU IFBU USBOTGFSSFE GSPN UIF TZTUFN UP UIF DPME SFTFSWPJS CVU BMM DPODFQUT NBZ FRVBMMZ XFMM CF VTFE UP EFTDSJCF UIF OFU IFBU USBOTGFS UP UIF IPU SFTFSWPJS *O UIF CPTPOJD DBTF UIJT BMMPXT VT UP QSFTFOU TPNF PG UIF LFZ mOEJOHT PG UIF TFDPOE QBSU PG 1BQFS 7
óðð .BTUFS FRVBUJPO BQQSPBDI
5P FYUSBDU UIF IFBU USBOTGFS TUBUJTUJDT GPS B DFSUBJO TZTUFN XF QSPDFFE JO UIF TBNF XBZ BT XF EJE JO $I ñ UP PCUBJO UIF QBSUJDMF FNJTTJPO TUBUJTUJDT ɨF NBJO EJĊFSFODF JT UIBU XF OPX VTF B DPVOUJOH mFME T UIBU DPVQMFT UP UIF USBOTGFS PG IFBU JOTUFBE PG QBSUJDMFT *OUSPEVDJOH UIF EFOTJUZ NBUSJDFT ˆρ(&, U) EFTDSJCJOH UIF TZTUFN TUBUF QSPWJEFE UIBU B DFSUBJO BNPVOU PG
IFBU & IBT CFFO USBOTGFSSFE UP UIF DPME SFTFSWPJS EVSJOH B NFBTVSFNFOU UJNF U XF PCUBJO UIF GPMMPXJOH FOFSHZSFTPMWFE NBTUFS FRVBUJPO
Eˆρ(&, U)
EU = (L − JB− JF)ˆρ(&, U) + JFρ(& + ε, U) + Jˆ Bρ(& − ε, U),ˆ óò XIFSFJBρ(U) = γˆ D¯ODˆB†ρ(U)ˆB JT UIF BCTPSQUJPO DVSSFOU TVQFSPQFSBUPS BOE Jˆ Fρ(U) = γˆ D( ± ¯OD)ˆBˆρ(U)ˆB†JT UIF FNJTTJPO DVSSFOU TVQFSPQFSBUPS GPS BEEJOH BOE TVCUSBDUJOH SFTQFDUJWFMZ BO BNPVOU PG FOFSHZε JO UIF TZTUFN GSPNUP UIF DPME SFTFSWPJS ɨF -JOECMBEJBO TVQFSPQFSBUPS L JT BT CFGPSF PCUBJOFE GSPN &R ñòò
&NQMPZJOH B -BQMBDF USBOTGPSNBUJPO ˆρ(T, U) = E&ˆρ(&, U)F&T XF PCUBJO UIF DPVOUJOHmFME SFTPMWFE NBTUFS FRVBUJPO XIJDI JO UIF GFSNJPOJD DBTF PG PVS FYBNQMF TZTUFN JT
E EU 1(T, U) 1(T, U) =
−γD¯OD− γI¯OI γD( − ¯OD)FεT+ γI( − ¯OI)
γD¯ODF−εT+ γI¯OI −γD( − ¯OD) − γI( − ¯OI)
1(T, U)
1(T, U)
, óó
XIFSF 1(T, U) = |ˆρ(T, U)| BOE 1(T, U) = |ˆρ(T, U)| BSF UIF QPQVMBUJPOT PG UIF DPVOUJOHmFME SFTPMWFE EFOTJUZ NBUSJY *O UIF CPTPOJD DBTF UIF TZTUFN EJNFOTJPO JT JO mOJUF BOE UIF NBUSJY SFQSFTFOUBUJPO PG UIF NBTUFS FRVBUJPO CFDPNFT JOmOJUFMZ MBSHF TFF
1BQFS 7 GPS GVSUIFS EFUBJMT )PXFWFS EVF UP UIF XFBL DPVQMJOH MJNJU XIFSF POMZ POF QBSUJDMF JT FYDIBOHFE XJUI UIF FOWJSPONFOU BU B UJNF UIJT NBUSJY SFQSFTFOUBUJPO IBT B TJN QMJmFE USJEJBHPOBM TUSVDUVSF
óðñ -POH UJNF TUBUJTUJDT
5P DIBSBDUFSJ[F UIF IFBU DVSSFOU TUBUJTUJDT XF FYUSBDU UIF MPOHUJNF DVNVMBOU HFOFSBUJOH GVODUJPO ɨJT JT EPOF DPNQMFUFMZ BOBMPHPVT UP UIF QSPDFEVSF EFTDSJCFE JO $I ñ GPS FNJT TJPO DVSSFOUT JF GSPN UIF FJHFOWBMVF PG UIF DPVOUJOHmFME SFTPMWFE -JOECMBEJBO UIBU HPFT UP [FSP XIFO UIF DPSSFTQPOEJOH DPVOUJOH mFME HPFT UP [FSP ɨJT ZJFMET
'(T, U) U = γD+ γI ∓ ± ± γDγI (γD+ γI)κ(T) , óô
XIFSFκ(T) = (FεT− )( ∓ ¯OD)¯OI+ (F−εT− )¯OD( ∓ ¯OI)
'SPN UIF $(' XF PCUBJO BMM UIF DVNVMBOUT UIBU EFTDSJCF UIF IFBU USBOTGFS TUBUJTUJDT 'PS JOTUBODF UIF BWFSBHF IFBU DVSSFOU JT
+&= U& = U ∂'(T, U) ∂T T= = ε γDγI γD+ γI (OI− OD). óõ 8F TFF UIBU UIF BWFSBHF IFBU DVSSFOU EFQFOET PO UIF EJĊFSFODF JO UIF PDDVQBUJPO OVNCFST JG UIF EJĊFSFODF HPFT UP [FSP UIF OFU IFBU DVSSFOU HPFT UP [FSP BT XFMM ɨF FYQSFTTJPO JO &R óõ NBZ CF VOEFSTUPPE BT B OVNCFS PG QBSUJDMFT OIBOE ODCFJOH USBOTGFSSFE BU B SBUF
γDγI
γD+γI JO FBDI EJSFDUJPO XJUI FBDI QBSUJDMF DBSSZJOH BO BNPVOUε PG IFBU *OUFSFTUJOHMZ JO
UFSNT PG UIF PDDVQBUJPO OVNCFST UIJT FYQSFTTJPO JT JEFOUJDBM GPS CPUI CPTPOT BOE GFSNJPOT ɨF [FSPGSFRVFODZ OPJTF PO UIF PUIFS IBOE EPFT EFQFOE PO UIF QBSUJDMF TUBUJTUJDT BT TIPXO CZ 4+&() = U& = U ∂'(T, U) ∂T T= = ε γDγI γD+ γI
¯OD( ∓ ¯OI) + ¯OI( ∓ ¯OD) ∓ (¯OI− ¯OD) γDγI
(γD+ γI)
. óö
0OF NBZ FBTJMZ DPOTJEFS IJHIFSPSEFS DVNVMBOUT CZ DPOTJEFSJOH IJHIFSPSEFS EFSJWBUJWFT PG UIF $('
óðò ɧFSNBM DPOEVDUBODF
ɨF UIFSNBM DPOEVDUBODFκ JT UIF BOBMPH RVBOUJUZ PG FMFDUSJDBM DPOEVDUBODF GPS EFTDSJC
JOH IPX XFMM B KVODUJPO TVTUBJOT B IFBU DVSSFOU $IBSBDUFSJ[JOH UIF MJOFBS SFTQPOTF UP B
UFNQFSBUVSF HSBEJFOU JU JT EFmOFE <ðòò> BT UIF BNPVOU PG BWFSBHF IFBU +&nPXJOH UISPVHI UIF KVODUJPO QFS VOJU UJNF XIFO BO JOmOJUFTJNBM UFNQFSBUVSF CJBT Lj5 JT BQQMJFE PWFS UIF KVODUJPO
κ = − lim
Lj5→
+&
Lj5. ó÷
ɨF UIFSNBM DPOEVDUBODF JT UZQJDBMMZ UFNQFSBUVSF EFQFOEFOU 'PS JOTUBODF GPS PVS FYBNQMF TZTUFN XF PCUBJO κ = E+& E5I 5≡5I=5D = ε L#5 γDγI γD+ γI¯O( ∓ ¯O), óø XIFSF XF DMFBSMZ TFF UIF NBOJGFTUBUJPO PG UIF 1BVMJ QSJODJQMF JO UIF GFSNJPOJD DBTF BT B CMPDLJOH GBDUPS ¯O(− ¯O) )FSF ¯O ≡ ¯OI = ¯ODJT UIF FRVJMJCSJVN PDDVQBUJPO OVNCFS ɨF UIFSNBM DPOEVDUBODF JT TVQQSFTTFE BU MPX UFNQFSBUVSFT GPS CPUI CPTPOT PS GFSNJPOT "U IJHI UFNQFSBUVSFT UIF DPOEVDUBODF JODSFBTFT BOE SFBDIFT B NBYJNVN GPS CPUI CPTPOT GPS XIJDI ¯O→ ∞ BOE GFSNJPOT GPS XIJDI ¯O → /
'PS NFUBMT UIF UIFSNBM DPOEVDUBODF BU UFNQFSBUVSF 5 JT UZQJDBMMZ MJOLFE UP UIF FMFDUSJDBM DPOEVDUBODF ( WJB UIF 8JFEFNBOOo'SBO[ MBX <ðòó>
κ = L(5, óðï
XJUI UIF -PSFO[ OVNCFSL = Ż
L
F "T B TJEF SFNBSL XF OPUF UIBU GPS UIFSNPFMFDUSJDBM BQQMJDBUJPOT JU JT EFTJSBCMF UP SFBDI B BT IJHI SBUJP PG (5/κ BT QPTTJCMF UP PCUBJO B IJHI WBMVF
PG UIF mHVSF PG NFSJU ;5 = 4(5/κ XJUI 4 UIF UIFSNPQPXFS 8JUI UIF 8JFEFNBOOo
'SBO[ MBX TFUUJOH B mYFE WBMVF GPS UIJT SBUJP NVDI SFTFBSDI IBT GPDVTFE PO WJPMBUJOH UIJT SFMBUJPOTIJQ CFUXFFO UIF UIFSNBM BOE UIF FMFDUSJDBM DPOEVDUBODF <ðòôoðóò> 4VDI WJPMBUJPOT UZQJDBMMZ PDDVS XIFSF JOUFSBDUJPOT BSF QSFTFOU UIBU DBVTF UIF TJOHMFQBSUJDMF UIFPSZ UP GBJM )FSF PVS JOUFSFTU JO UIF UIFSNBM DPOEVDUBODF JOTUFBE MJFT JO JUT DSVDJBM SPMF GPS UIF SFMBUJPO CFUXFFO IFBU BOE UFNQFSBUVSF nVDUVBUJPOT "T XF XJMM TFF MBUFS JO UIJT DIBQUFS B IJHI UIFSNBM DPOEVDUBODF UP UIF FOWJSPONFOU TVQQSFTTFT UFNQFSBUVSF nVDUVBUJPOT BT BOZ FYDFTT FOFSHZ JT NPSF RVJDLMZ EJTTJQBUFE UP UIF FOWJSPONFOU
óðó 'MVDUVBUJPOoEJTTJQBUJPO UIFPSFN
4P GBS XF IBWF TFFO TFWFSBM EJĊFSFOU XBZT PG DIBSBDUFSJ[JOH IFBU USBOTQPSU GPS JOTUBODF JO UFSNT PG BWFSBHF IFBU DVSSFOUT [FSPGSFRVFODZ OPJTF BOE UIFSNBM DPOEVDUBODFT 8IJMF UIF BWFSBHF DVSSFOU EPFT OPU DPOUBJO BOZ JOGPSNBUJPO BCPVU UIF QBSUJDMF TUBUJTUJDT CPUI UIF [FSPGSFRVFODZ OPJTF BOE UIF UIFSNBM DPOEVDUBODF EP 2VJUF TVSQSJTJOHMZ UIF UXP MBUUFS RVBOUJUJFT BSF JOUFSMJOLFE ɨJT JT UIF FTTFODF PG UIF nVDUVBUJPOoEJTTJQBUJPO UIFPSFN <ðóó
ðóô> XIJDI SFMBUFT nVDUVBUJPOT JO FRVJMJCSJVN UP UIF MJOFBS SFTQPOTF UP B TNBMM QFSUVSCBUJPO ɨF UIFPSFN TUBUFT UIBU
4+& = L#5κ, óðð
XIJDI JT BMTP XIBU XF mOE CZ DPNQBSJOH &RT óö BOE óø GPS PVS FYBNQMF TZTUFN #FTJEFT QSPWJEJOH B EFFQFS QIZTJDBM VOEFSTUBOEJOH GPS UIF SFMBUJPO CFUXFFO nVDUVBUJPOT BOE EJTTJQBUJPO UIF nVDUVBUJPOoEJTTJQBUJPO UIFPSFN BMMPXT VT UP PCUBJO UIF UIFSNBM DPO EVDUBODF GSPN UIF OPJTF BOE WJDF WFSTB
óðô 'MVDUVBUJPO SFMBUJPO
8IJMF UIF nVDUVBUJPOoEJTTJQBUJPO UIFPSFN QSPWJEFT VT XJUI UIF OPJTF BU FRVJMJCSJVN JU TBZT OPUIJOH BCPVU nVDUVBUJPOT GBS GSPN FRVJMJCSJVN )PXFWFS FWFO nVDUVBUJPOT BSCJUSBSJMZ GBS BXBZ FRVJMJCSJVN EP PCFZ DFSUBJO SFMBUJPOT BT JMMVTUSBUFE CZ UIF $SPPLT nVDUVBUJPO SFMBUJPO <ò÷> ɨFTF nVDUVBUJPO SFMBUJPOT NBZ CF PCUBJOFE EJSFDUMZ GSPN B TZNNFUSZ QSPQFSUZ PG PVS $(' 6TJOH UIBU F−σ/ε( ∓ ¯OD)¯OI= ( ∓ ¯OI)¯OD XF mOE
'(−T − Ljβ, U) = '(T, U), Ljβ = (βD− βI), óðñ
XIJDI CZ USBOTGPSNJOH CBDL UP UIF QSPCBCJMJUZ EJTUSJCVUJPOT SFTVMUT JO UIF nVDUVBUJPO SFMBUJPO U ln 1(+&, U) 1(−+&, U) = Ljβ+&. óðò
)FSF XF TUSFTT UIBU +&JT UIF BWFSBHF IFBU DVSSFOU NFBTVSFE PWFS B MPOH UJNF U ɨF nVDUV BUJPO SFMBUJPO EFTDSJCFT UIF QSPCBCJMJUZ 1(+&, U) PG IBWJOH B DFSUBJO +&PWFS B UJNF U SFMBUJWF UP UIF QSPCBCJMJUZ PG IBWJOH UIF TBNF BWFSBHF DVSSFOU nPXJOH JO UIF PQQPTJUF EJSFDUJPO ɨJT SFMBUJPO JT HPWFSOFE CZ UIF FOUSPQZ QSPEVDUJPO SBUF Ljβ+&BTTPDJBUFE XJUI UIF IFBU DVSSFOU
+& ɨF NPSF FOUSPQZ QSPEVDUJPO BTTPDJBUFE XJUI B DFSUBJO DVSSFOU UIF MFTT MJLFMZ JU SVOT JO UIF PQQPTJUF wXSPOHw EJSFDUJPO
'SPN UIF nVDUVBUJPO SFMBUJPO XF NBZ EFSJWF PUIFS JNQPSUBOU SFTVMUT TVDI BT UIF TFDPOE MBX PG UIFSNPEZOBNJDT GPS UIF BWFSBHF FOUSPQZ QSPEVDUJPO PWFS B MPOH UJNF U
4U ≡
∞
−∞E441(4, U) = ULjβ
∞
−∞E+&+&1(+&, U)
= ULjβ ∞
E+&+&1(+&, U)( − F−4) ≥ , óðó XIFSF 1(4, U) = E+&
E41(+&, U) JT UIF QSPCBCJMJUZ UIBU BO BNPVOU PG FOUSPQZ 4 = ULjβ+& JT QSPEVDFE PWFS B UJNF U *O UIF UIJSE TUFQ XF IBWF NBEF VTF PG UIF nVDUVBUJPO SFMBUJPO GSPN &R óðò
'JHVSF 5IF TJOHMF FMFDUSPO CPY DPOTJTUJOH PG B NFUBMMJD JTMBOE HSFFO DJSDMF XJUI B RVBTJUFNQFSBUVSF 5F(U) UVOOFMDPVQMFE HSBZ DPOOFDUJPO UP B OPSNBM NFUBMMJD MFBE HSFFO SFDUBOHVMBS XJUI B UVOOFM SFTJTUBODF 35BOE B DBQBDJUBODF $- 5IF JTMBOE JT BMTP DPVQMFE UP B HBUF ZFMMPX XJUI DBQBDJUBODF $HBOE BO BQQMJFE CJBT 7H