8F OPX NPWF PO UP DPOTJEFS UIF UJNF FWPMVUJPO PG RVBOUVN TZTUFNT 'PS B DMPTFE TZTUFN XJUI )BNJMUPOJBO ˆ)4(U) XIFSF BO FYQMJDJU UJNF EFQFOEFODF NBZ EFTDSJCF XPSL QFSGPSNFE
WJB FYUFSOBMMZ DPOUSPMMBCMF EFHSFFT PG GSFFEPN UIF UJNF FWPMVUJPO JT PCUBJOFE GSPN UIF 4DISÚEJOHFS FRVBUJPO <óø>
JE
EU|Ψ(U) = ˆ)4(U)|Ψ(U), ññï
PS JO UFSNT PG EFOTJUZ NBUSJDFT CZ UIF -JPVWJMMFoWPO /FVNBOO FRVBUJPO
Eˆρ4(U)
EU = −J
[ ˆ)4(U), ˆρ4(U)]. ññð "MUFSOBUJWFMZ UIF UJNF FWPMVUJPO NBZ CF SFQSFTFOUFE CZ UIF UJNF FWPMVUJPO PQFSBUPS
ˆ
6(U, U) = T←F−J
U Uˆ)4(U)EU
, ñññ
XIFSFT←JT UIF UJNFPSEFSJOH PQFSBUPS FOTVSJOH B DPSSFDU PSEFSJOH PG ˆ)4(U) XIFO JU EPFT OPU DPNNVUF XJUI JUTFMG BU EJĊFSFOU UJNFT ɨJT BMMPXT VT UP XSJUF|Ψ(U) = ˆ6(U, U)|Ψ(U) PS ˆρ4(U) = ˆ6(U, U)ˆρ4(U) ˆ6†(U, U) ≡ ΦU,Uρ(Uˆ ) XIFSF ΦU,U JT B TPDBMMFE RVBOUVN PQFSB
UJPO PS RVBOUVN EZOBNJDBM NBQ EFmOJOH UIF UJNF FWPMVUJPO PG UIF EFOTJUZ NBUSJDFT <ôñ>
ɨF RVBOUVN PQFSBUJPO PSJHJOBUJOH GSPN UIF 4DISÚEJOHFS FRVBUJPO EJTQMBZT TFWFSBM JNQPSU BOU QSPQFSUJFT FOTVSJOH UIBU JU NBQT QIZTJDBM TUBUFT EFOTJUZ NBUSJDFT POUP PUIFS QIZTJDBM TUBUFT BT UJNF HPFT CZ JU JT J MJOFBS JJ USBDF QSFTFSWJOH BOE JJJ DPNQMFUFMZ QPTJUJWF ɨF MBUUFS DPOEJUJPO NFBOT UIBU JG UIF DMPTFE TZTUFN XJUI )JMCFSU TQBDFH4 JT FYUFOEFE XJUI B HFOFSJD OMFWFM TZTUFN XJUI )JMCFSU TQBDF $O UIF UJNF FWPMVUJPO ΦU,U ⊗ *OBDUJOH PO UIF DPNCJOFE )JMCFSU TQBDFH4⊗ $OTUJMM QSFTFSWFT UIF QPTJUJWJUZ PG UIF TUBUF 8F XJMM UBLF UIF UISFF QSPQFSUJFT Jo JJJ BT B EFmOJUJPO PG B RVBOUVN PQFSBUJPO
*O BEEJUJPO UP UIFTF DSJUFSJB UIF 4DISÚEJOHFS RVBOUVN PQFSBUJPO BMTP EJTQMBZT TFWFSBM QSPQ FSUJFT UIBU BSF DIBSBDUFSJTUJD GPS DMPTFE TZTUFNT 'PS JOTUBODF UIF UJNF FWPMVUJPO JT VOJUBSZ BOE QSFTFSWFT UIF WPO /FVNBOO FOUSPQZ PG UIF TZTUFN ɨJT JT DPOOFDUFE UP UIF GBDU UIBU UIFSF JT OP IFBU FYDIBOHF XJUI UIF FOWJSPONFOU GPS B DMPTFE TZTUFN 5P BDDPVOU GPS IFBU BOE QBSUJDMF FYDIBOHF XF JOTUFBE OFFE UP DPOTJEFS UIF UJNF FWPMVUJPO PG PQFO TZTUFNT
ññð 2VBOUVN PQFSBUJPOT
'PS BO PQFO RVBOUVN TZTUFN UIF FRVBUJPO PG NPUJPO NBZ CFDPNF NVDI NPSF DPNQMJD BUFE UIBO UIF -JPVWJMMFoWPO /FVNBOO FRVBUJPO <&R ññð> )PXFWFS VOEFS UXP RVJUF HFOFSBM BTTVNQUJPOT XF NBZ TUJMM EFTDSJCF UIF UJNF FWPMVUJPO XJUIJO UIF GSBNFXPSL PG UIF RVBOUVN PQFSBUJPOT EFmOFE JO UIF QSFWJPVT TVCTFDUJPO 5P UIJT FOE XF DPOTJEFS B HFOFSJD TZTUFN DPVQMFE UP BO FOWJSPONFOU BT TIPXO JO 'JH ññ B ɨF mSTU BTTVNQUJPO JT UIBU UIF TZTUFN UPHFUIFS XJUI JUT FOWJSPONFOU GPSNT B DMPTFE TZTUFN JF UIF UJNF FWPMVUJPO PG UIF DPNCJOFE TZTUFN JT TUJMM EFTDSJCFE CZ UIF -JPWJMMFoWPO /FVNBOO FRVBUJPO ɨF FWPMVUJPO
(a) (b)
'JHVSF B "O PQFO TZTUFN CMVF XJUI )BNJMUPOJBO ˆ)4BOE EFOTJUZ NBUSJYρˆ4(U) DPVQMFE UP BO FOWJSPONFOU ZFMMPX XJUI )BNJMUPOJBO ˆ)&BOE EFOTJUZ NBUSJYρˆ&(U) UIBU UPHFUIFS DPOTUJUVUF B DMPTFE TZTUFN EFTDSJCFE CZ UIF UPUBM )BNJMUPOJBO ˆ
) BOE EFOTJUZ NBUSJYρ(U) 5IF )BNJMUPOJBO ˆˆ )JOUEFTDSJCFT UIF JOUFSBDUJPO CFUXFFO UIF TZTUFN BOE JUT FOWJSPONFOU C #Z DPOTJEFSJOH UIF EZOBNJDT PG UIF DPNQPTJUF DMPTFE TZTUFN BOE UIFO USBDJOH PVU UIF FOWJSPONFOUBM EFHSFFT PG GSFFEPN POF NBZ EFSJWF B RVBOUVN EZOBNJDBM NBQΦU,UUIBU EFTDSJCFT UIF UJNF FWPMVUJPO PG UIF SFEVDFE EFOTJUZ NBUSJYρˆ4(U) POMZ
PG UIF TZTUFN EFOTJUZ NBUSJY ˆρ4(U) BMPOF JT UIFO PCUBJOFE CZ USBDJOH PVU <DG &R ñðñ> UIF FOWJSPONFOUBM EFHSFFT PG GSFFEPN <ôñ> ZJFMEJOH
ˆ
ρ4(U) = US&{ˆρ(U)} = US&{ˆ6(U, U)ˆρ4(U) ⊗ |Ψ&Ψ&|ˆ6†(U, U)} ≡ ΦU,Uρˆ4(U), ññò XIFSF XF IBWF NBEF VTF PG UIF TFDPOE BTTVNQUJPO UIBU UIFSF BSF OP DPSSFMBUJPOT CFUXFFO UIF TZTUFN BOE UIF FOWJSPONFOU BU UIF JOJUJBM UJNF JF ˆρ(U) = ˆρ4(U) ⊗ |Ψ&Ψ&| 8F
OPUF IFSF UIBU ˆ6†(U, U) OPX JT UIF UJNF FWPMVUJPO PQFSBUPS BDUJOH PO UIF DPNCJOFE DMPTFE TZTUFN ɨF NBQ ΦU,U EFmOFE CZ &R ññò EFTDSJCFT UIF FĊFDUJWF UJNF FWPMVUJPO PG UIF TZTUFN GSPN UJNF U UP U <TFF 'JH ññò C> BOE GVMmMMT BMM UIF QSPQFSUJFT PG B RVBOUVN PQFSBUJPO <ôñ> 8F UIVT DPODMVEF UIBU VOEFS WFSZ HFOFSBM BTTVNQUJPOT UIF UJNF FWPMVUJPO PG BO PQFO TZTUFN JT EFTDSJCFE CZ RVBOUVN PQFSBUJPOT
*OUSPEVDJOH UIF ,SBVT PQFSBUPST ,J(U) ≡ ϕJ|ˆ6(U, )|Ψ& XIFSF |ϕJ JT BO PSUIPOPSNBM
CBTJT PG UIF FOWJSPONFOU )JMCFSU TQBDF XF OPUF UIBU BOZ RVBOUVN PQFSBUJPO NBZ CF FY QSFTTFE BT ˆ ρ4(U) = J ,J(U)ˆρ4(U),†J(U), J ,†J(U),J(U) = . ññó )PXFWFS UIF RVBOUVN PQFSBUJPOT PS FRVJWBMFOUMZ UIF ,SBVT SFQSFTFOUBUJPOT DBO JO HFO FSBM CF WFSZ DPNQMJDBUFE UIFZ NBZ EFQFOE PO UIF TZTUFN UIF FOWJSPONFOU BOE UIFJS NV UVBM DPVQMJOH *O HFOFSBM UIFZ BMTP EFQFOE PO UIF JOJUJBM UJNF 'PS QSBDUJDBM QVSQPTFT UIFZ BSF UIVT OPU BMXBZT UIF NPTU DPOWFOJFOU UPPMT UP EFTDSJCF UIF UJNF FWPMVUJPO PG PQFO TZTUFNT 8F XJMM UIFSFGPSF NBLF BOPUIFS GFX BTTVNQUJPOT UP BSSJWF BU B TJNQMFS DMBTT PG RVBOUVN PQFSBUJPOT VTFE JO 1BQFST * *** BOE 7 DBMMFE NBTUFS FRVBUJPOT
ñññ .BTUFS FRVBUJPOT
ɨF JEFB CFIJOE NBTUFS FRVBUJPOT JT UP DBTU CBDL UIF RVBOUVN PQFSBUJPOT JOUP UJNFMPDBM mSTUPSEFS EJĊFSFOUJBM FRVBUJPOT MJLF UIF -JPVWJMMFoWPO /FVNBOO FRVBUJPO *O GBDU BMM
EJWJTJCMF RVBOUVN PQFSBUJPOT GPS XIJDI UIF JOWFSTF Φ−U,U FYJTUT GPS BMM UJNFT U≥ U MFBE UP UJNFMPDBM NBTUFS FRVBUJPOT <ôñ> PG UIF GPSN
Eˆρ4(U)
EU = LUρˆ4(U), ññô
XIFSFLU JT UIF HFOFSBUPS PG UIF NBTUFS FRVBUJPO "O JNQPSUBOU DMBTT PG EJWJTJCMF RVBOUVN PQFSBUJPOT BSF UIPTF GVMmMMJOH UIF TFNJHSPVQ QSPQFSUZ ΦU,UΦU,U = ΦU+U,U GPS XIJDI UIF HFOFSBUPS JT UJNFJOEFQFOEFOU LU = L "DDPSEJOH UP UIF (PSJOJo,PTTBLPXTLJo 4VEBSTIBOo-JOECMBE UIFPSFN <ôò ôó> UIFTF HFOFSBUPST IBWF UP UBLF B WFSZ QBSUJDVMBS GPSN BU MFBTU GPS mOJUFEJNFOTJPOBM )JMCFSU TQBDFT EFTDSJCFE CZ UIF -JOECMBE FRVBUJPO
Eˆρ4(U) EU = Lˆρ4(U) = −J[ ˆ), ˆρ4(U)] + J ΓJ ˆ-Jρˆ4(U)ˆ-†J − {ˆ-†Jˆ-J, ˆρ4(U)} . ññõ )FSF UIF mSTU UFSN PO UIF SJHIUIBOE TJEF SFTFNCMFT UIF -JPVWJMMFoWPO /FVNBOO FRVBUJPO BOE EFTDSJCFT UIF DPIFSFOU UJNF FWPMVUJPO PG UIF TZTUFN )PXFWFS ˆ) JT OPU OFDFTTBSJMZ
UIF TBNF BT UIF TZTUFN )BNJMUPOJBO ˆ)4PG UIF TZTUFN BT JU NBZ BMTP DPOUBJO B -BNC TIJGU EVF UP UIF FĊFDU PG UIF FOWJSPONFOU PO UIF FOFSHJFT PG UIF TZTUFN 'VSUIFSNPSF UIF TPDBMMFE KVNQ PQFSBUPST ˆ-J EFTDSJCF JODPIFSFOU JOUFSBDUJPOT XJUI SBUFT ΓJ CFUXFFO UIF TZTUFN BOE UIF FOWJSPONFOU FH USBOTGFS PG IFBU BOE QBSUJDMFT ɨF PQFSBUPSTDJρˆ4(U) = ΓJ
ˆ-Jρˆ4(U)ˆ-†J −
{ˆ-†Jˆ-J, ˆρ4(U)}BSF TPNFUJNFT DBMMFE EJTTJQBUPST 5JNF FWPMVUJPO VOEFS UIF -JOECMBE FRVBUJPO NBZ CF OPOVOJUBSZ BOE MFBE UP B DIBOHF PG UIF WPO /FVNBOO FOUSPQZ PG UIF TZTUFN B DIBSBDUFSJTUJD QSPQFSUZ PG PQFO TZTUFNT
ɨF -JOECMBE FRVBUJPO o PS UIF DMBTTJDBM 1BVMJ NBTUFS FRVBUJPO XIFSF OP DPIFSFODFT BSF QSFTFOU o JT VTFE FYUFOTJWFMZ JO CPUI 1BQFST * *** BOE 7 BOE GPSNT B DPSOFSTUPOF GPS BMM USBOTQPSU UIFPSZ EJTDVTTFE JO UIF SFNBJOEFS PG UIJT DIBQUFS *NQPSUBOUMZ UIJT FRVBUJPO NBZ CF NJDSPTDPQJDBMMZ EFSJWFE GPS FYBNQMF VOEFS UIF TPDBMMFE #PSOo.BSLPW BQQSPYJNBUJPO XIFSF UIF DPVQMJOH CFUXFFO UIF TZTUFN BOE JUT FOWJSPONFOU JT USFBUFE QFSUVSCBUJWFMZ UP TFDPOE PSEFS BOE UIF DPSSFMBUJPO UJNFT PG UIF FOWJSPONFOU BSF BTTVNFE UP CF NVDI TIPSUFS UIBO UIF UZQJDBM UJNF TDBMFT PG UIF TZTUFN EZOBNJDT TFF "QQ " GPS GVSUIFS EFUBJMT PG UIF NJDSPTDPQJD EFSJWBUJPO PG NBTUFS FRVBUJPOT
ɨF GPSNBM TPMVUJPO UP UIF -JOECMBE FRVBUJPO NBZ CF XSJUUFO BT ˆ
ρ4(U) = FLUρˆ4(), ññö
XIFSF ˆρ4() JT UIF JOJUJBM EFOTJUZ NBUSJY ɨF FJHFOWBMVFT λα XIJDI NVTU CF OPOQPTJUJWF UP ZJFME B QIZTJDBM TPMVUJPO PG UIF NBUSJY SFQSFTFOUBUJPO PG UIF -JOECMBEJBOL EFUFSNJOFT
UIF UJNF TDBMFT PO XIJDI WBSJPVT USBOTJFOUT EJF PVU ɨF USBDF QSFTFSWBUJPO PG UIF -JOECMBE FRVBUJPO FOTVSFT UIBU UIFSF JT BMXBZT BU MFBTU POF TUFBEZTUBUF TPMVUJPO ˆρTPCUBJOFE GSPN
LˆρT= . ññ÷
1SPWJEFE UIBU UIFSF JT B VOJRVF TUFBEZTUBUF UIF TZTUFN XJMM BQQSPBDI UIJT TUBUF BGUFS B TVċDJFOUMZ MPOH UJNF 8IFO XF DPOTJEFS USBOTQPSU TUBUJTUJDT XF XJMM UZQJDBMMZ BTTVNF UIBU UIF TZTUFN JT TUBSUJOH JO JF IBT BMSFBEZ SFBDIFE JUT TUFBEZ TUBUF
ññò +VNQ PQFSBUPST BOE DVSSFOU PQFSBUPST
5P VTF UIF -JOECMBE FRVBUJPO GPS QSBDUJDBM QVSQPTFT POF OFFET UP JEFOUJGZ UIF KVNQ PQ FSBUPST ˆ-J EFTDSJCJOH UIF JOUFSBDUJPO PG UIF TZTUFN XJUI JUT FOWJSPONFOU ɨFTF PQFSBUPST EFQFOE PO UIF NJDSPTDPQJD QIZTJDT PG UIF TZTUFN BOE JUT DPVQMJOH UP UIF FOWJSPONFOU *O UIJT UIFTJT XF EFBM XJUI UXP LJOET PG KVNQ PQFSBUPST ɨF mSTU POF VTFE JO 1BQFS * JT
ˆ-(E)
J = ˆB†ˆB, ΓJ = Γ(E), ññø
BOE SFQSFTFOUT QVSF EFDPIFSFODF XJUI B EFDPIFSFODF UJNF /Γ(E) *U TVQQSFTTFT BOZ DPIFS FODFT PG UIF EFOTJUZ NBUSJY PO UIF UJNF TDBMF TFU CZ UIF EFDPIFSFODF UJNF VOMFTT UIFSF JT BOPUIFS NFDIBOJTN DPOUJOVPVTMZ DSFBUJOH OFX DPIFSFODFT
*O 1BQFST * BOE 7 XF BMTP VTF KVNQ PQFSBUPST UP EFTDSJCF FNJTTJPO BOE BCTPSQUJPO PG QBSUJDMFT UP B SFTFSWPJS XJUI BWFSBHF PDDVQBUJPO OVNCFS ¯O GPS XIJDI UIF KVNQ PQFSBUPST BSF
ˆ-(F)= ˆB, Γ(F)J = Γ( ± ¯O) ñòïB ˆ-(B)= ˆB†, Γ(B)J = Γ¯O. ñòïC *O UIJT DBTF XF OPUF UIBU XF NBZ JOUFSQSFU
JFρˆ4(U) = γ( ± ¯O)ˆBˆρ4(U)ˆB†, JBρˆ4(U) = γ¯OˆB†ρˆ4(U)ˆB, ñòð BT FNJTTJPO BOE BCTPSQUJPO DVSSFOU TVQFSPQFSBUPST SFTQFDUJWFMZ 'VSUIFSNPSF XF OPUF UIBU UIF FNJTTJPO BOE BCTPSQUJPO SBUFT GVMmMM EFUBJMFE CBMBODF
Γ(F)J = FβεΓ(B)J , ñòñ
XIFSFε JT UIF FOFSHZ PG UIF RVBOUB UIBU JT CFJOH USBOTGFSSFE
"T B DPODSFUF FYBNQMF PG B -JOEMCBE FRVBUJPO XF OPUF UIBU GPS PVS FYBNQMF TZTUFN XF PCUBJO Eˆρ(U) EU = −J ε[ˆB†ˆB, ˆρ] + γ( ∓ ¯O) ˆBˆρ(U)ˆB†− {ˆB†ˆB, ˆρ} + γ¯O ˆB†ρ(U)ˆB −ˆ {ˆBˆB†, ˆρ} , ñòò XIFSF XF GPS CSFWJUZ GSPN OPX PO IBWF ESPQQFE UIF TVCJOEFY 4 GPS UIF EFOTJUZ NBUSJY 4JODF UIF DPIFSFODFT EFDPVQMF GSPN UIF QPQVMBUJPOT XF NBZ JO UIJT QBSUJDVMBS DBTF XSJUF
'JHVSF "O JMMVTUSBUJPO PG B QSPCBCJMJUZ EJTUSJCVUJPO 1(O, U) CMVF TPMJE XJUI B (BVTTJBO mU CMBDL EBTIFE 5IF mSTU UISFF DFOUSBM NPNFOUT EFTDSJCF UIF NFBO UIF WBSJBODF BOE UIF TLFXOFTT PG UIF EJTUSJCVUJPO
UIF -JOECMBE FRVBUJPO BT B DMBTTJDBM 1BVMJ FRVBUJPO GPS UIF QPQVMBUJPOT POMZ 'PS JOTUBODF JO UIF GFSNJPOJD DBTF XF HFU
E EU 1(U) 1(U) = γ −¯O − ¯O ¯O − + ¯O 1(U) 1(U)