I denna uppsats har jag behandlat bokstavssymbolernas olika betydelser, med en specifik inriktning på det kontextuella beroendet. Något som ligger mycket nära detta område, men som jag helt har uteslutet är elevernas förståelse kring bokstavssymbolens praktiska nytta/användning, vilket givetvis också är mycket viktigt att undersöka. Man får t.ex. ofta höra att man inom skolalgebran håller på med meningslös symbolmanipulering (se t.ex. Bergsten m.fl., 1997; Brekke, 2001). Varför tycker eleverna så här? Eleverna bör väl få reda på den praktiska nyttan/användningen av bokstavssymbolerna, eller?
Under arbetets gång fann jag många oroväckande upptäckter, som ledde till många frågor som tyvärr måste förbises. I själva verket är detta nödvändigt, för att studien inte ska svälla allt för mycket. Något som jag t.ex. knappt hann kasta ljus över var att eleverna hade svårt att ge mening åt symboluttryck och kunde t.ex. inte koppla dessa till koordinatsystem och grafer. Zbiek, Heid, Blume och Dick (2007) menar att det är mycket viktigt att eleverna blir vana och skickliga med att skifta mellan olika representationsformer (verbalt språk, symboluttryck, tabell och graf). Det skulle därför vara väsentligt med undervisningsprojekt med särskilt fokus på representationsformerna och transformationerna mellan dessa. Två viktiga vägar som utvecklar sådana här kunskaper är modelleringsvägen och funktionsvägen. Tyvärr har dessa vägar inte fått kraft i undervisningen. Jag skulle därför gärna sett en studie som undersöker om dessa vägar kan främja algebralärandet. Givetvis krävs också tillhörande projekt som utvecklar lämpliga aktiviteter, material, handledningar och konkreta uppgifter.
En annan svårighet var parameterbegreppet, som jag också bara kunnat beröra väldigt ytligt. Det finns knappt någon forskning om begreppet, men Bloedy-Vinners (2001) och Ursini och Trigueros (2004) arbeten bör utnyttjas för forskning här i Sverige. Jag anser också det är av stor vikt att ta fram aktiviteter som kan utveckla elevernas förståelse kring begreppet, t.ex. generaliseringsaktiviteter av andra ordningen. En sådan aktivitet skulle t.ex. kunna gå ut på att man generaliserar mönsteruppgiften som presenterades i avsnitt 2.4.2 i ett andra steg. Jag menar att man även kan låta förändringen av tändstickor variera på ett godtyckligt sätt. På så vis kommer
43 parmeterbegreppet in i bilden.
De många missuppfattningar kring bokstavssymbolerna som förekom i undersökningen, fick mig att fundera över undervisningen i grundskolan, för det är faktiskt där grunderna för bokstavssymbolerna lärs ut. Hur introduceras algebran och vilka aspekter läggs tonvikten på?
Jag nämner i diskussionen att man ska förklara begrepp och använda ord som variabel och parameter på ett konsekvent sätt i undervisningen. Därför tycker jag att det skulle vara av intresse att undersöka om ett ökat fokus på språkliga aspekter kan främja elevernas förståelse.
I mina litteraturstudier framkom gång på gång att lärarnas kunskaper kring bokstavssymbolerna var mycket svaga. Det skulle därför vara av intresse att granska de svenska lärarnas kunskaper. Even (1993) menar att lärarna bör få "grundläggande repertoarer" om hur bokstavssymbolen ska tolkas, användas och undervisas om. Lärarnas ”repertoarer” är oftast läroböckerna, varför det skulle vara mycket aktuellt med en granskning av dessa. Hur presenteras bokstavssymbolerna där? Hur introduceras egentligen olika algebraiska moment, framgår det hur bokstavssymbolerna ska tolkas? För fortsatt forskning inom detta område kan Dogbys (2010) ramverk vara till stor hjälp.
En annan form av bokstavssymbol som jag inte berört i denna uppsats är tillfälliga variabler eller ”dummy”-variabler (se Bloedy-Vinner, 2001), vilka bl.a. uppkommer i samband med derivata och integraler. Ett exempel är uttrycket ∫ , där är x bara en tillfällig variabel, tills det att integrationen genomförts. Det är mycket viktigt att eleverna förstår betydelsen av sådana här dummy variabler, i synnerhet när de själv får i uppgift att ställa upp integraler. Elevernas förståelse kring dummy-variabler skulle vara en intressant och viktig forskningsfråga. Här finns inte mycket forskning, men Bloedy- Vinners (2001) forskning kan utgöra en viktig teoretisk ram. Ytterligare en annan form av bokstavssymbol är s.k. konstanta bekanta t.ex. π och e. Här finns också problemområde, i synnerhet då begreppet π introduceras. Eleverna har svårt att uppfatta detta som ett tal. Förståelsen för talet e är givetvis inte heller lätt. Det skulle därför även vara av betydelse att undersöka elevernas förståelse kring bokstavssymbol som konstant bekant.
Om man som läsare vill utnyttja mina ramverk för fortsatt forskning tycker jag det skulle vara av vikt att undersöka fler elever, men det skulle också vara intressant att undersöka fler matematikkurser och göra jämförelser. På så vis kan man dra slutsatser om matematikundervisningen. Jag menar om t.ex. elevernas förståelse inte ökar med
44
högre matematik kan man konstatera att lärandet domineras av memorerade regler och procedurer, istället för förståelse. I de nya kursplanerna är det mycket fokus på att förbättra algebraundervisningen, i synnerhet med mer förståelse för bokstavssymboler och symboluttryck. Det skulle därför vara av stort intresse att jämföra mina resultat med resultat från elever som studerat utifrån det nya kurssystemet.
45
8 Referenser
Ball,Deborah Loewenberg, Hill, Heather C. & Bass, Hyman (2005). Knowing mathematics for teaching: Who knows mathematics well enough to teach third grade, and how can we decide? American Educator, 5(3), 43-46.
Bergsten, Christer, Häggström, Johan & Lindberg, Lisbeth (1997). Algebra för alla. Göteborg: Nämnaren.
Bloedy-Vinner, Hava (2001). Beyond unknowns and variables – Parameters and
dummy variables in high school algebra. I Rosamund. Sutherland, Teresa Rojano, Allan Bell & Romulo Lins (red.), Perspectives on school algebra (s. 177-190). Dordrecht: Kluwer.
Boesen, Jesper (2006). Assessing Mathematical Creativity. Umeå: Print & Media, Umeå university.
Booth, Lesley R. (1984). Algebra: Children’s strategies and errors. Windsor, Berkshire: NFER Nelson.
Booth, Lesley R. (1988). Children’s difficulties in beginning algebra. I Arthur F. Coxford & Albert P. Schulte (red.), The ideas of algebra, K-12, 1988 Yearbook, (s. 20-32), Reston, Va.: NCTM.
Boz, Nihat (2007). Interactions between knowledge of variables and knowledge about teaching variables. Sosyal Bilimler Arastırmaları Dergisi, 1, 1-18.
Brekke, Gard (2001). School algebra: Primarily manipulations of empty symbols on a piece of paper? I Helen Chick, Kaye Stacey, Jill Vincent & John Vincent (red.), The Future of the Teaching and Learning of Algebra. Proceedings of the 12th ICMI Study Conference, Vol.1 (s. 96-102). Melbourne, Australia: The University of Melbourne.
Bryman, Alan (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber.
Christou, Konstantinus P. & Vosniadou, Stella (2005). How Students Interpret Literal Symbols in Algebra: A Conceptual Change Approach. I Bruno G. Bara, Lawrence Barsalou & Monica Bucciarelli (red.), Proceedings of the XXVII Annual
46
Clement, John (1982). Algebra word problem solution thought process underlying a common misconception. Journal of research in Mathematics Education, 3(1), 16- 30.
Cohen, Elaine & Kanim, Stephen (2005). Factors Influencing the Algebra “Reversal Error”. American Journal of Physics, 73(11) s. 1072-1078.
Demby, Agnieszka (1997). Algebraic procedures used by 13-to-15-years-olds. Educational Studies in Mathematics, 33, 45-70.
Dogbey, James K. (2010). Concepts of variable in middle-grades mathematics
textbooks during four eras of mathematics education in the United States. Theses and Dissertations, paper 1615.
Even, Ruhama (1993). Subject-matter knowledge and pedagogical content knowledge: prospective secondary teachers and the function concept. Journal for Research in Mathematics Education, 24(2), 94–116
Gray, Susan S., Loud, Barara J. & Sokolowski, Carole P. (2007). Calculus students’ difficulties in using variables as changing quantities. Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education, Tenth Special Interest Group of the Mathematical Association of America on Research in Undergraduate Mathematics Education, San Diego.
Grevholm, Barbro (2003). Student teachers’ conceptions of equations and inequalities. Paper presenterat vid förkonferensen till ICME 10, Växjö. Hämtad 2011-09-01 från http://www.vxu.se/msi/picme10/L4GB.pdf
Jensen, Eric (1997). Hjärnbaserat lärande. Jönköping: Brain Books AB.
Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2006) Examensarbetet i lärarutbildningen. Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget. Kaput, James J. (1987). Representation systems and mathematics. I Claude Janvier
(red.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (s. 19-26). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Kieran, Carolyn (1992). The Early Learning of Algebra: A Structural Perspective. Research Agenda for Mathematics Education, Reston, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics; Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum.
Knuth, Eric J., Alibali, Martha W., McNeil, Nicole M., Weinberg, Aaron & Stephens, Ana C. (2005). Middle-school Students’ Understanding of Core Algebraic Concepts: Equality and Variable. Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik— International Reviews on Mathematical Education, 37, 1–9.
47
Korp, Helena (2003). Kunskapsbedömning – hur, vad och varför. Myndigheten för skolutveckling. Stockholm: Fritzes.
Küchemann, Dietmar (1978). Children’s understanding of numerical variables. Mathematics in School, 7(4), 23-26.
Küchemann, Dietmar (1981). Algebra. I Kathleen Hart (red.), Children’s understanding of mathematics: 11-16, (s. 102-119). London: John Murray.
Ljungblad, Ann-Louise (2001). Matematisk medvetenhet. Varberg: Argument Förlag. Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik. Lund:
Studentlitteratur.
MacGregor, Mollie & Stacey, Keye (1997). Students’ understanding of algebraic notation. Educational Studies in Mathematics, 33, 1-19.
Malisano, Elsa & Spagnolo, Filippo (2009). From arithmetical thought to algebraic thought: The role of the ”variable”. Educational Studies in Mathematics, 71, 19- 41.
McIntyre, Scott Zackary (2007). An analysis of variable misconceptions before and after various collegiate level mathematics courses. B.S. University of Maine Nationalencyklopedin. Hämtat från http://www.ne.se. Uppdaterad 2011. Hämtat 2011-
07-21
Persson, Per-Eskil (2005). Bokstavliga svårigheter: Faktorer som påverkar gymnasieelevers algebralärande. Licentiatavhandling 2005:09. Luleå: Matematikinstitutionen, Luleå tekniska universitet.
Persson, Per-Eskil (2010). Räkna med bokstäver! En longitudinell studie av vägar till en förbättrad algebraundervisning på gymnasienivå. Luleå: Luleå tekniska
universitet.
Quinlan, Cyril (1992). Levels of understanding of algebraic symbols and relationship with success on algebraic tasks. I Annette Baturo & Tom Cooper (red.), New directions in algebra education (s. 124-157). Red Hill, Qld: Centre for Mathematics and Science Education, Queensland University of Technology. Rosnick, Peter (1981). Some Misconceptions Concerning the Concept of Variable. Are
you Careful About Defining your Variables? The Mathematics Teacher, 74(6), 418- 420, 450.
Sfard, Anna (1995). The Development of Algebra: Confronting Historical and Psychological Perspectives. Journal of Mathematical behavior, 14, 15-39.
48
Skemp, Richard R. (1982). Communicating mathematics: Surface structures and deep structures. I Visible langugae, Vol. 16, No.3.
Stacey, Kaye & MacGregor, Mollie (1997). Ideas about symbolism that students bring to algebra. The Mathematics Teacher, 90(2), 110–113
Stacey, Kaye & MacGregor, Mollie (2000). Learning the Algebraic Method of Solving Problems. Journal of Mathematical Behavior, 18(2), 149-167.
Stephens, Alick C. (2005). Developing Students’ Understanding of Variable. Mathematics Teaching in the Middle School, 11(2), 96–100.
Svenning, Conny (1999). Metodboken – samhällsvetenskaplig metod och metodutveckling. Staffanstorp: Lorentz Förlag.
Trigueros, Maria & Ursini, Sonia (2003). Starting college students' difficulties in working with different uses of variable, in Research in Undergraduate Mathematics Education. American Mathematical Society. Vol. 5.
Ursini, Sonia & Trigueros, Maria (2001). A model for the uses of variable in elementary algebra. I Marja Van den Heuvel-Panhuizen (red.), Proceedings of the 25th
conference of the international group for the psychology of mathematics education, 4, 327–334. Utrecht, Netherlands: Freudenthal Institute. Ursini, Sonia & Trigueros, Maria (2004). How do high school students interpret
parameters in algebra? I Marit J. Hoines & Anne Berit Fuglestad (red.),
Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, s. 361-368). Bergen University College.
Usiskin, Zalman (1988). Conceptions of school algebra and uses of variable. I Arthur F. Coxford & Albert P. Shulte (red.), The ideas of algebra, K-12 (s. 8-19). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Usiskin, Zalman (1999b). Conceptions of school algebra and uses of variables. I Barbara Moses (red.), Algebraic thinking, Grades K-12: Readings from the NCTM’s school-based journals and other publications (s. 316-320). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Wagner, Sigrid (1981). Conservation of equation and function under transformations of variables. Journal for Research in Mathematics Education, 12, 107–118.
Wagner, Sigrid & Parker, Sheila (1993). Advancing Algebra. I Patricia S. Wilson (red.), Research Ideas for the Classroom: High School Mathematics (s. 117-139). New York: Macmillan Publishing Company.
49
Warren, Elizabeth (1999). The Concept of Variable: Gauging Students’ Understanding. I Orit Zaslavsky (red.), Proceedings of the 23rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, s. 313-320). Haifa: Technion, Israel Institute of Technology.
Zbiek, Rose Mary, Heid, M. Kathleen, Blume, Glendon & Dick, Thomas. (2007). Research on technology in mathematics education: The perspective of constructs. I Frank K. Lester (red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 1169-1207). Charlotte, NC: NCTM, Information Age Publishing.
50