Denna uppsats har varit ett försök till att skapa en helhetsbild över elevernas totala förståelse kring bokstavssymbolens kontextuella beroende, vilket ingen forskare så vitt jag vet har gjort tidigare. Dock var Quinlans (1992) och Küchemanns (1981) forskningsresultat till stor hjälp, och deras måttstockar och taxonomier, kunde användas för att analysera elevernas begreppsutveckling på flera uppgifter. Tabellerna var emellertid inte helt tillräckliga för att besvara forskningsfrågan, Quinlans tabell behandlar nämligen bara begreppet klass av tal, medan Küchemanns tabell bara är ett schema om hur elever kan uppfatta bokstavssymbolerna i olika situationer. Dessutom behandlar deras tabeller inte parameterbegreppet, vilket ytterligare är ett steg i elevernas begreppsutveckling (se t.ex. resultat från Ursini & Trigueros, 2004). De resultat som jag har kommit fram till kan anses vara en sammansvetsning av dessa tre forskningsresultat, och skapar på så vis en helhetsbild. Om man tittar på min tabell (tabellen 5.10) ser man att nivåerna i denna tabell är likartade med Quinlans nivåer. Dock skiljer Quinlans nivåer inte specifikt på begreppet generellt tal och variabelbegreppet. Att skilja på dessa två begrepp visade sig emellertid särskilt svårförståeligt för eleverna, vilket gjorde att ”steget” mellan Küchemannskategori E och F, fick bifogas, nivå 3 i min tabell. Ett annat viktigt resultat jag fann var att eleverna hade stora svårigheter med parmeterbegreppet och kunde inte skilja variabler och parametrar åt, d.v.s. parameterbegreppet var ett steg svårare att förstå (se även Ursini & Trigueros, 2004). Detta gjorde att min tabell fick utökas med ytterligare en nivå. Min tabell stämmer således bra överens med tidigare forskningsresultat, varför den som sagt kan ses som en sammansvetsning.
Som helhet visade mina upptäckter att eleverna hade mycket svag förståelse kring bokstavssymbolens kontextuella beroende. Skrämmande nog pekar mina resultat på att många av dessa problem var helt onödiga. Jag menar att lärare och läroböcker måste ha lurat eleverna till att tro att bokstavssymbolerna ibland ska tolkas som objekt som saknar mening. Problemet kan ha haft sin grund i inledande förenklingsövningar, där man bl.a. lär sig att samla likartade termer. Det framgår inte eller är undanskymt vad bokstavssymbolerna egentligen symboliserar (se t.ex. Brekke, 2001; Demby, 1997; Dogby, 2010; Löwing & Kilborn, 2002).
40
Som matematiklärare måste man självklart ifrågasätta kursmålen. Är det rimligt att eleverna ska kunna ta sig igenom flera års algebrastudier utan att förstå vad bokstavssymbolerna egentligen representerar? Faktum är att forskning har visat att eleverna kan klara av skolalgebran utan att till fullo förstå vad bokstavssymbolerna symboliserar (Wagner & Parker, 1993). Hur är detta då möjligt? Bergsten m.fl. (1997) uttrycker det så här:
Det verkar som om många elever försöker kompensera bristen på förståelse genom att memorera regler och procedurer. Till slut tror man kanske att detta är det viktiga. (s. 51)
Detta kan vara en orsak till att många elever uppfattar matematiken som ett avskräckande pluggämne. Min studie pekar på att det är mycket viktigt att eleverna förstår vad bokstavssymbolerna symboliserar, viktigare än att t.ex. kunna utföra olika manipulationer av algebraiska uttryck. Faktum var att endast 25 % av eleverna kunde klara av en grundläggande förenklingsövning. Detta kan tyckas märkligt, men vet man inte att bokstavssymbolerna symboliserar generella tal är det omöjligt att avgöra om man gjort rätt eller fel. Reglerna blir alltså inte hållbara. Vidare fann jag att endast 30 % av eleverna kunde koppla uttrycket a + b = b + a till generaliserad aritmetik. Med dessa resultat som bakgrund anser jag att det är mycket viktigt att läraren förklarar reglernas ursprung och inte bara ser algebran som en logisk aktivitet med bestämda regler (se vidare Löwing & Kilborn, 2002, som förklarar detta undervisningsproblem). På detta sätt fås en bild av hur olika symboluttryck kan tolkas och varför räknereglerna fungerar. Arbetet med att jobba med symboluttryck blir på detta sätt både tryggare och mer meningsfullt. Dock ska det betonas att kraften i algebran ligger till stor del i att symboluttryck kan manipuleras efter samma regler oavsett vad bokstavssymbolerna refererar till. Genom att lära sig regler och procedurer utantill genom ”olika minnesregler” blir mycket av arbetet automatiserat och tankemödan vid algebraiska tillämpningsområden reduceras kraftigt.
Förutom rena missuppfattningar om vad bokstavssymbolerna symboliserade, visade eleverna också stora svårigheter med att skilja bokstavssymbolernas olika betydelser åt, i synnerhet begreppen generellt tal, variabel och parameter. Generellt sätt hade eleverna mycket svårt att koppla ett symboluttryck till en grafisk representation.
Som slutsats anser jag att det är viktigt att läraren tydligt demonstrerar hur bokstavssymbolen ska uppfattas i varje given kontext, men också vad i kontexten som avgör betydelsen, eller som Bloedy-Vinner (2001) uttrycker det:
41
As to the difficulty in determining which letters holds which roles, students should know that the roles are context dependent (an issue rarely discussed in the classroom). They should always be told what the role of each letter is, and where the information which determines it comes from. (s. 184)
Vidare anser jag att de olika orden för bokstavssymbolens olika betydelser (konstant obekant, generellt tal, variabel och parameter) ska förklaras och sedan användas konsekvent i undervisningen. På detta sätt undviks missförstånd och det blir lättare för eleverna att förstå. Jag har gång på gång varit med om att lärare kallar bokstavssymbolerna variabler i helt felaktiga situationer, vilket kan vara mycket förvirrande. Ofta försöker lärarna lära ut en överförenklad bild av bokstavssymbolen, vilket leder till att elevernas lärande avstannar (se t.ex. Usiskin, 1999b). Jag menar att lärare måste hjälpa eleverna att upptäcka rikedomen och flexibiliteten i bokstavssymbolens komplexa natur genom explicita aktiviteter. T.ex. genom problemlösningsvägen, generaliseringsvägen, funktionsvägen eller modelleringsvägen (se vidare Bergsten m.fl., 1997; Persson, 2010).
Faktumet om att det ofta är läroböckerna som styr undervisningen, får inte glömmas bort, varför jag anser att dessa måste vara flexibla med att blanda bokstavssymbolernas olika tillämpningsområden (t.ex. inte behandla funktioner helt skilt från övrig algebra). På detta sätt kanske eleverna får upp ögonen för att bokstavssymbolen ska tolkas olika i olika kontexter, men också vad i kontexten som avgör betydelsen.
Slutligen vill jag belysa att lärarens åsikt och kunskap om bokstavssymbolen i vissa fall kan vara avgörande för hur undervisningen bedrivs och därmed kanske också vilka uppfattningar eleverna får (se Ball, Hill & Bass, 2005). Som avslutning vill jag därför citera Dogby (2010). Han skriver:
Taken as a whole, these results indicate that teachers have limited understanding of variables2, as well as narrow knowledge of students’ misconceptions and difficulties with variables. On the contrary, teachers’ knowledge of variable should be broad, and should include, among others, the principal uses of variables, awareness of different roles of variables, flexibility, versatility and connectedness among the different roles and uses, and students’ difficulties with variables./…/ With respect to variables, the general and more complicated knowledge is the teachers’ ability to integrate all the uses of variables into one concept, being able to shift from one use to the other flexibly, and being aware of students’ difficulties and misconceptions with this concept. (s. 43)
2
Ordet ”variable” betyder inte variabel utan i engelskspråkig litteratur används ordet ”variable” för att beteckna en bokstavssymbol i allmänhet.
42