Bokstavssymbolens olika betydelser

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

Bokstavssymbolens olika betydelser

The different meanings of the letter symbol

Robin Persson

Lärarexamen 270 hp Handledare: Ange handledare

Matematik och lärande 2011-11-14

Examinator: Troels Lange Handledare: Per-Eskil Persson

3

Abstrakt

Syftet med denna uppsats var att undersöka elevernas förståelse kring bokstavssymbolens kontextuella beroende. För att uppfylla detta fick 93 elever, som läser matematik C, genomföra ett skriftligt test. Resultaten visade att eleverna hade mycket svag förståelse kring bokstavssymbolens kontextuella beroende. En tredjedel av eleverna trodde att bokstavssymbolerna ibland skulle uppfattas som något som saknar mening istället för kvantiteter, medan återstoden hade svårt att skilja bokstavssymbolens olika betydelser åt. Som slutsats kunde jag ponera att det är viktigt att läraren tydligt demonstrerar hur bokstavssymbolen ska uppfattas i varje given kontext, men också vad i kontexten som avgör betydelsen.

Nyckelord: Algebra, bokstavssymbol, generellt tal, konstant obekant, parameter, variabel.

5

Innehållsförteckning

1 Introduktion 7

2 Teoretisk bakgrund 8

2.1 Algebrans och bokstavssymbolens utveckling 8

2.2 Försök till att kategorisera elevernas uppfattningar om bokstavssymbolerna 9 2.3 Provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar om bokstavssymbolerna 10

2.3.1 Bokstavssymbol som objekt 10

2.3.2 Bokstavssymbol som konkret objekt i sig själv 12

2.3.3 Bokstavssymbolen utvärderas inte 13

2.3.4 Några övriga missuppfattningar 13

2.4 Bokstavssymbolens olika betydelser 14

2.4.1 Bokstavssymbol som konstant obekant 14

2.4.2 Bokstavssymbol som generellt tal 14

2.4.3 Bokstavssymbol som variabel 16

2.4.4 Bokstavssymbol som parameter 17

3 Syfte och problemställning 19

4 Metod och genomförande 20

4.1 Undersökningsmetod och analysmetod 20

4.2 Informanter 22

4.3 Praktiskt genomförande 23

5 Resultat, analys och teoretisk tolkning 24

5.1 Provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar om bokstavssymbolerna 24

5.1.1 Bokstavssymbol som objekt 24

5.1.2 Bokstavssymbol som konkret objekt i sig själv 26

5.1.3 Bokstavssymbolen utvärderas inte 27

5.2 Bokstavssymbolens olika betydelser 28

5.2.1 Bokstavssymbol som konstant obekant 28

5.2.2 Bokstavssymbol som generellt tal 28

5.2.3 Bokstavssymbol som variabel 30

5.2.4 Bokstavssymbol som parameter 32

5.3 Djupanalys för att besvara forskningsfrågan 34

5.4 Tillförlitlighetsanalys 36

6

7 Fortsatt forskning 42

8 Referenser 45

9 Bilaga A – Testet 50

9.1 Del 1 – Provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar om

bokstavssymbolerna 50

7

1 Introduktion

Låt oss säga att vi har det aritmetiska uttrycket 1+1. Det är helt meningslöst att veta att uttrycket är lika med 2 om man inte vet vad siffrorna symboliserar. Något liknande gäller för bokstavssymbolerna inom algebran. Om man inte vet vad bokstäverna symboliserar och vad de används till blir det algebraiska symbolspråket totalt meningslöst. Man räknar med symboler som saknar mening och med regler man inte förstår varför de fungerar eller varför de överhuvudtaget existerar (se t.ex. Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997; Brekke, 2001; MacGregor & Stacey, 1997). Knuth, Alibali, McNeil, Weinberg och Stephens (2005) hävdar att bokstavssymbolen är den mest grundläggande idén i algebran och att framgång i algebra handlar om att förstå vad denna symboliserar. Vad bokstavssymbolen faktiskt symboliserar är i många fall undanskymt i undervisningen, vilket till stor del leder till att eleverna memorerar regler och procedurer mer eller mindre utantill utan någon som helst förståelse (se t.ex. Demby, 1997 som bl.a. undersökt förenklingsövningar eller Ursini och Trigueros, 2004 som bl.a. undersökt bokstavssymboler i funktionssamband). Flera forskare rapporterar att såväl elever som lärare har allvarliga brister om vad bokstäverna symboliserar (se t.ex. Boz, 2007; MacGregor & Stacey, 1997; Ursini & Trigueros, 2001). Forskarna menar att problematiken grundar sig i att bokstäverna har olika betydelser i olika situationer, de är kontextberoende (se t.ex. Clement, 1982; Kieran, 1992; MacGregor & Stacey, 1997; Küchemann, 1978, 1981; Usiskin, 1988). Faktum är att bokstavssymbolen inom algebran kan anta hela fyra olika betydelser beroende på kontexten:

- konstant obekant t.ex. i ekvationer

- generellt tal t.ex. i förenklingsövningar - variabel t.ex. i funktionssamband - parameter t.ex. i funktionssamband

Denna uppsats kommer i huvudsak behandla elevernas förmåga att kunna skilja på dessa fyra olika begrepp, men även provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar om bokstavssymbolerna kommer att behandlas.

8

2 Teoretisk bakgrund

2.1 Algebrans och bokstavssymbolens utveckling

Algebran har en mycket lång historia, de äldsta källorna sträcker sig så långt tillbaka i tiden som ca 2000 f.Kr. (Persson, 2010). Algebran var i sin tidiga utveckling helt inriktad på problemlösning med generella och systematiska metoder, och uppgiften var att finna ett bestämt tal som utgjorde lösningen (Persson, 2010). Den moderna algebran, så som vi känner den idag var givetvis inte utvecklad vid denna tidpunkt, utan istället konstruerade matematikerna i huvudsak textbaserade beskrivningar ”manualer” om hur vissa matematikproblem kunde lösas. Även om algebran länge var textbaserad så baserade sig beskrivningarna på det vi idag benämner ekvationslösning (se t.ex. Bergsten m.fl., 1997; Persson, 2010). Det algebraiska språket förändrades successivts från att vara helt verbalt till ett alltmer sofistikerat teckensystem, med bokstäver som symboler för det ”hemliga” talet (Persson, 2010).

Det dröjde ända in på 1600-talet innan symbolens betydelse utvidgades. Det var framförallt fransmannen Viétes symbolik som klargjorde en tydlig skillnad mellan bokstavssymbol som ”okänt tal” och bokstavssymbol som ”parameter”. Parameterbegreppet ledde direkt in mot variabelbegreppet (Bergsten m.fl., 1997). Dessa begrepp gjorde det möjligt för forskare som t.ex. Newton att på ett tydligt sätt beskriva samband mellan storheter (Persson, 2010).

År 1637 konstruerade Fermat och Descartes den analytiska geometrin och det blev möjligt att representera kurvor och samband på ett meningsfullt sätt och de algebraiska reglerna började ta form (Persson, 2010). Under 1800 talet utvecklades algebran i en alltmer abstrakt riktning och man skapade en bred teori för algebraiska strukturer, vilket innebar att begreppet generellt tal blev mer och mer betydelsefullt. Under 1900-talet utvecklades algebran ytterligare och började utnyttjas inom i stort sett alla matematikens områden (Nationalencyklopedin, 2011).

Det intressanta med denna historia är att den till stor del kan spegla elevernas begreppsutveckling om bokstavssymbolen (se Sfard, 1995). Precis som att det tog lång tid för mänskligheten att utveckla bokstavssymbolens betydelse från att bara beteckna

9

ett konstant obekant tal till att också kunna beteckna flera andra betydelser (generellt tal, parameter och variabel) tar det också långt tid för eleverna att göra denna begreppsutveckling.

2.2 Försök till att kategorisera elevernas uppfattningar

om bokstavssymbolerna

Som nämnts har bokstavssymbolerna inom algebran fyra olika betydelser (konstant obekant, generellt tal, variabel eller parameter). Att tillfullo förstå och hålla isär dessa begrepp är givetvis inte lätt. Men innan man överhuvudtaget förstår de olika begreppen kan det uppstå många missuppfattningar om vad bokstäverna symboliserar. Küchemann fann redan på 1970- och 1980-talet viktiga resultat över hur eleverna uppfattar bokstavssymbolerna. Han skapade följande tabell för att kategorisera uppfattningarna. Tabell 2.1. Küchemanns (1978, 1981) kategoriseringar av elevernas uppfattningar om bokstavssymbolerna.

Kategori A Letter evaluated: The letter is assigned a numerical value from the outset. Kategori B Letter not considered: The letter is ignored or its existence is

acknowledged without giving it meaning.

Kategori C Letter considered as a concrete object or as a concrete object in its own right.

Kategori D Letter considered as a specific unknown: The letter is regarded as a specific but unknown number.

Kategori E Letter considered as a generalized number: The letter is seen as representing, or at least as being able to take on, several values rather than just one.

Kategori F Letter considered as a variable: The letter seen as representing a range of unspecified values and a systematic relationship is seen to exist between two such sets of values.

Källa: Persson, 2005, s. 17

Kategori A, B och C handlar om provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar om bokstavssymbolerna och kan inte ordnas hierarkiskt, medan kategorierna D, E och F mer handlar om en begreppsutveckling kring bokstavssymbolens olika betydelser. Notera dock att parameterbegreppet inte behandlas i denna tabell.

Ett annat försök till att kategorisera elevernas uppfattningar om bokstavssymbolen har gjorts av Quinlan (1992). Han delade in elevernas uppfattningar i fem hierarkiskt ordnade nivåer, se tabell 2.2:

10

Tabell 2.2. Quinlans (1992) hierarkiskt ordnade nivåer av elevernas förståelse om bokstavssymbol som representant för en klass av tal.

Nivå 1 Bokstaven ses som ett objekt som saknar mening, eller dess värde fås som bokstavens plats i alfabetet.

Nivå 2 Det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstavssymbolen. Nivå 3 Det är nödvändigt att pröva med flera tal.

Nivå 4 Man uppfattar bokstavssymbolen som en representant för en klass av tal. Det räcker att pröva med något av dessa tal.

Nivå 5 Man uppfattar bokstavssymbolen som en representant för en klass av tal. Man behöver inte pröva med något av dessa tal.

Källa: Bergsten m.fl., 1997, s. 19

Till skillnad från Küchemanns tabell är Quinlans tabell hierarkiskt ordnad och i sin helhet direkt inriktad för att analysera elevsvar på enskilda uppgifter. Tabellen kan endast användas i situationer där bokstavssymbolen representerar en hel klass av tal, d.v.s. då bokstavssymbolen symboliserar ett generellt tal eller en variabel. Några exempel på hur de båda tabellerna kan användas presenteras i avsnitt 2.4.

2.3 Provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar

om bokstavssymbolerna

Inom forskningslitteraturen är det i huvudsak tre missuppfattningar om bokstavssymbolerna som är dominerande: Bokstavssymbol som objekt, bokstavssymbol som konkret objekt i sig själv samt att bokstavssymbolen inte utvärderas. Dessa tre provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar kommer att presenteras nedan.

2.3.1 Bokstavssymbol som objekt

Den första delmängden av kategori C i Küchemans tabell, att bokstäverna betraktas som objekt, är särskilt intressant, eftersom det finns så många forskningsresultat som bekräftar detta. Ett mycket känt problem för att upptäcka sådana objekttankar är det så kallade Student-professor-problemet. Problemet lyder:

Skriv ett uttryck med hjälp av variablerna S och P för att representera följande uttalande: "På detta universitet finns sex gånger så många studenter som professorer". Använd S för antalet studenter och P för antalet professorer.

11

Rosnick (1981) ställde frågan till 150 teknologer på universitetet Massachusetts. Hela 37 % fick fel svar. Det vanligaste fel svaret var det omvända uttrycket 6S = P istället för det korrekta uttrycket S = 6P. Kaput (1987) kastar ljus över hur ordföljden i problemtexten ”lurar” elever till att algebraiskt översätta sex gånger så många studenter som professorer ”rakt av” till 6S = P (se även Cohen & Kanim, 2005). Vissa av studenterna läser alltså uttrycket 6S = P ungefär som en vanlig mening ”sex studenter är lika med en professor” som vidareutvecklas till ”sex studenter för varje professor” som i sin tur är ekvivalent med uttalandet i problemtexten ”sex gånger så många studenter som professorer”. Studenterna uppvisar här ett objekttänkande där de använder ”S” och ”P” som etiketter istället för kvantiteter. Student-professor-problemet har även förekommit i en omvänd variant, där fokus ligger på tolkning istället för algebraisk översättning. T.ex. så formulerade McIntyre (2007) följande problem:

A university has six times as many students as professors. This fact is represented by the equation 6Y = X. In this equation, what does the letter Y stand for?

McIntyre fann att hela 31 % av 358 studenter (tre algebrakurser) trodde att Y stod för ”students”. Även i detta problem sker någon form av direkt översättning där X och Y ses som objekt/etiketter istället för kvantiteter. Studenterna inser inte att den mindre kvantiteten Y måste multipliceras med 6 för att ”bli lika med” den större kvantiteten X.

Persson (2010) återanvände student-professor-problemet (något omformulerat) i den svenska gymnasieskolan och fick fram liknande resultat som Rosnick (1981). Att se bokstäver som objekt/etiketter är oerhört vanligt hos elever, och som framgick av Rosnicks och McIntyres (2007) undersökningar så finns dessa tankar kvar även på universitetsnivå. Genom att undersöka yngre elever, som precis inlett sina algebrastudier, har man konstaterat att sådana här uppfattningar är omedelbara och spontana (se Stacey & MacGregor, 1997). Stacey och MacGregor (1997) skriver också om hur missuppfattningen förstärks i algebraundervisningen t.ex. kan läraren säga ”låt P beteckna pris” eller ”låt t stå för tid”.

Flertalet forskare (se t.ex. Booth, 1984, 1988; Clement, 1982; Kieran, 1992; Küchemann, 1978, 1981; Rosnick, 1981) menar att elevernas tidigare erfarenheter av bokstäver inom matematiken starkt bidrar till objekttänkande. Tre exempel:

Exempel 1 – bokstäver som enheter

I de tidigare skolåren får man bl.a. bekanta sig med att vissa bokstäver betecknar enheter t.ex. 10 m för att beteckna 10 meter. Denna kunskap om att bokstäver

12

representerar enheter kan förvirra eleverna inom algebran. I uttrycket 10x är x:et inte en enhet utan ett generellt tal. Observera att mätetal och enheter skiljs med mellanrum samt att enheter inte kursiveras.

I skolan får man också tidigt kunskap om att man inte kan lägga ihop tal med olika enheter t.ex. så kan 10 m och 10 cm inte direkt adderas, utan måste göras om till samma enhet. Inom algebran kan eleverna ha liknande uppfattningar om varför 2x + 3y inte kan adderas, medan 2x + 3x kan. Det intressanta med en sådan uppfattning (kvasiregel) är att den faktiskt fungerar på de flesta förenklingsuppgifter inom algebran, vilket gör missuppfattningen svårupptäckt.

Exempel 2 – bokstäver som förkortningar

Inom geometrin bekantar sig eleverna tidigt med att vissa bokstavssymboler betecknar centrala storheter (d och r, för diameter och radie, l och b för längd och bredd, O och A för omkrets och area etc.). Detta leder lätt till att eleverna tror att bokstavssymbolerna inom algebran är förkortningar på hela namn. Ett exempel: Vi antar att priset för apelsiner är a kr/st och priset för bananer b kr/st. Vad betyder då uttrycket 3a + 4b? Om frågan ställs till elever som är osäkra på bokstavssymbolernas innebörd blir svaret ofta ”3 apelsiner och 4 bananer” (exemplet är hämtat från Persson, 2010). Som framgår av exemplet uppfattar eleverna bokstavssymbolerna som förkortningar d.v.s. a står för ”apelsiner” och b står för ”bananer”.

Exempel 3 – bokstäver i formler

I formler används bokstäver som symboler för storheter. T.ex. används t som symbol för tid. Detta kan precis som i föregående exempel leda till att eleverna tror att bokstavssymbolerna inom algebran är förkortningar på hela namn. Men det som också är intressant med formler, är att de avläses ”rakt av” t.ex. A = l · b utläses som ”arean är lika med längden gånger bredden”. Inom algebran kan man inte alltid göra sådana direkta översättningar vilket framgick i avsnittet kring student-professor-problemet.

2.3.2 Bokstavssymbol som konkret objekt i sig själv

I Küchemanns kategori C ryms förutom det som nämnts ovan också en uppfattning om att bokstavssymboler kan vara konkreta objekt i sig själv. Exempelvis kan elever med denna uppfattning få 4x – x till 4, eftersom de uppfattar x:en som två objekt som tar ut varandra (Persson, 2010). Ett annat exempel är att eleverna får x · x till 2x. Eleverna ser

13

två stycken x och skriver därför 2x. MacGregor och Stacey (1997) har funnit liknande resultat, elever förklarade att x gånger x är det samma som 1 gånger 1, ”x är bara en enda sak”. Genom samma resonemang fick eleverna uttrycket 8 + x + y till att vara lika med 10.

Ett likartat problem, så kallat bristande avslut (Persson, 2010), innebär att elever t.ex. inte kan acceptera att uttrycket x + y kan vara svaret på en uppgift. Det finns en operation (+) kvar och det ser eleven som en uppmaning till att slutföra beräkningen, svaret kan då ofta bli xy (se t.ex. Booth, 1988; Persson, 2010). Booth (1988) menar att eleverna i detta specifika fall ser additionstecknet som en uppmaning till att ”fysiskt lägga ihop” x och y till xy. Svårigheten har sin grund i aritmetiken, man lämnar t.ex. inte 1 + 2 som svar, man ”lägger ihop” talen. Bergsten m.fl. (1997) belyser svårigheten för eleverna att ”ignorera” operationstecken och menar att en del av svårigheten i algebraundervisningen beror på att hela uttryck ofta måste ses som ”slutna”.

Demby (1997) visade i sin forskning att elevernas arbete vid förenklingsövningar till stor del är procedurstyrt, de förstår inte vad bokstavssymbolerna symboliserar, utan förlitar sig helt till regler de lärt sig mer eller mindre utantill, men uppfinner även egna påhittade regler (kvasiregler). Sannolikheten att man kommer ihåg någon regel fel eller använder den i fel sammanhang är tämligen stor (se även Persson, 2010).

2.3.3 Bokstavssymbolen utvärderas inte

Küchemanns kategori B – letter not considered, innebär att bokstavssymbolerna mer eller mindre ignoreras, vilket t.ex. kan innebära att eleven anger 2x som större än x + 2. Eleven lägger fokus på operationerna (multiplikation ger större tal) och ignorerar helt bokstavssymbolerna. Christou och Vosniadou (2005) frågade högstadieelever vilket värde uttrycket ”–b” kunde anta. Av de 44 intervjuade eleverna angav hela 72 % att uttrycket bara kunde anta negativa värden. Resultatet visade att eleverna inte utvärderade bokstavssymbolen.

2.3.4 Några övriga missuppfattningar

En känd nybörjar missuppfattning är att olika bokstäver representerar olika tal, ofta alfabetiska värden d.v.s. bokstäver i slutet av alfabetet representerar stora tal medan bokstäver i början representerar små (se t.ex. Booth, 1984, 1988; Stacey & MacGregor,

14

1997; Wagner, 1981). Küchemanns kategori A innebär att eleven själv hittar på ett värde på bokstavssymbolen. Ett exempel: sidan i en kvadrat är x, bestäm arean. Elever i denna kategori startar med att hittar på ett värde för x för att sedan beräkna arean (se även Warren, 1999). Persson (2010) anger att denna missuppfattning kan komma från icke generella ekvationslösningsmetoder t.ex. gissa och pröva.

2.4 Bokstavssymbolens olika betydelser

2.4.1 Bokstavssymbol som konstant obekant

Ett av de första synsätt eleverna får lära sig är att bokstavssymbolen symboliserar ett konstant okänt tal som ska avslöjas. Bergsten m.fl. (1997) menar att eleverna inte har några större svårigheter med att kunna uppfatta bokstavssymbolen på detta sätt, i alla fall inte på gymnasiet. Problematiken ligger istället i att den stora mängden träning på ekvationslösning allt från ”prealgebraiska uppgifter”1 och ”gissa och pröva” till generella lösningsmetoder kan medföra att eleverna tror att bokstavssymbolen alltid har denna roll (se t.ex. Persson, 2010). Givetvis möter eleverna många problem kring uppgifter där bokstavssymbolen ska ses som ett konstant obekant tal. Men dessa problem handlar i första hand inte om att förstå att en bokstavssymbol kan symbolisera ett konstant obekant tal. Elevernas svårigheter handlar istället mest om att kunna ställa upp ekvationer (se t.ex. Bergsten m.fl.,1997; MacGregor & Stacey, 1997; Malisano & Spagnolo, 2009), vilket inte kommer att behandlas i denna uppsats.

2.4.2 Bokstavssymbol som generellt tal

Bokstavssymbol som generellt tal möter vi då vi inom skolalgebran jobbar med ”ren” symbolmanipulering. Denna symbolmanipulering är egentligen inget annat än generaliserad aritmetik. Ett exempel: Kommutativa lagen vid addition lyder a + b = b + a. I detta uttryck är a och b generella tal och lagen talar om för oss att ordningen vid addition inte påverkar resultatet. Ett annat exempel är potenslagen

a



a



a

15

Då man inom skolan arbetar med ren symbolmanipulering t.ex. förenklar 2a + 3a till 5a är det få elever som refererar till att bokstäverna symboliserar generella tal. Istället uppfattas ofta bokstäverna som någon form av objekt t.ex. ”2 apelsiner + 3 apelsiner blir 5 apelsiner” (se t.ex. Booth, 1984, 1988; Brekke, 2001; MacGregor & Stacey, 1997; Küchemann, 1978, 1981). Även lärare har problem med att se bokstäverna som generella tal. Boz (2007) rapporterade att 80 % av 149 tillfrågade blivande lärare inte kunde ange en giltig förklaring till varför 2a + 5b inte blir 7ab. Hälften av deltagarna behandlade bokstäver som objekt, t.ex. ”du kan inte lägga ihop äpplen med bananer”.

Trigueros och Ursini (2003) lät elever lösa ekvationen (x + 1)2 = x2 + 2x + 1. Eleverna kunde inte på direkten referera till kvadreringsregeln, som är sann för alla x, eleverna kunde inte ens inse att x kunde representera en hel klass av tal; bara 28 % av eleverna kunde ge ett korrekt svar.

Ett annat område inom skolalgebran där begreppet generellt tal dyker upp är vid mönsteraktiviteter. Dessa aktiviteter går ut på att generalisera ett givet mönster. Slutprodukten är någon form av regel av algebraisk karaktär. Ett exempel:

Figur 2.1. Exempeluppgift där bokstavssymbolen symboliserar ett generellt tal.

I exemplet är n ett generellt tal inom klassen naturliga tal. Värt att nämna, är om vi t.ex. inför en ny storhet, T för antalet tändstickor i en generell figur och uttrycker T som funktion av n, T = 3 + 2 · (n – 1), blir n en variabel (diskret variabel).

Att förstå begreppet generaliserat tal innebär i stora drag att man förstår att bokstavssymbolen kan representera en hel klass av tal. Ett försök till att dela upp elevernas uppfattningar kring uppgifter där bokstavssymbolen representerar en hel klass av tal har gjorts av Quinlan (1992). Tabellen återfinns i avsnitt 2.2.

För att mäta elevernas förståelse kring begreppet generellt tal formulerade Küchemann (1981) följande problem:

Studera mönstret nedan. Hur många tändstickor finns i figur 5? Finn ett uttryck för antalet tändstickor i en generell/godtycklig figur (figur n). Använd sedan regeln för att beräkna antalet tändstickor i figur 100.

Figur 2 Figur 3

16

Vad kan man säga om c, om c + d = 10 och c är mindre än d?

Uppgiften är tänkt att mäta en begreppsutveckling från att bokstavssymbolen bara kan representera ett konstant obekant tal till att också kunna representera en hel klass av tal. Det korrekta svaret är c < 5 (nivå 5 enligt Quinlan). Küchemann (1981) fann i sin forskning att ett vanligt svar var c = 4 (nivå 2). Persson (2005) återanvände frågan på elever som läste sista året på naturvetenskapligt program. Han fann att cirka 2/3 av eleverna klarade att ge ett acceptabelt svar. Bland de övriga svaren var det många som prövade med specifika tal, ofta heltal och gav ofullständiga exempel (nivå 3 och 4).

Küchemann (1981) undersökte vidare i sin forskning hur elever besvarade frågan: När är likheten L + M = L + P sann? 51 % av 3000 gymnasieelever klarade inte uppgiften; många gav svaret ”aldrig” med motiveringar av typen ”M kan ej vara lika med P” eller ”M och P är olika nummer”. Sådana här resultat har också bekräftats av andra forskare (se t.ex. Stephens, 2005, som undersökt högstadieelever). McIntyre (2007) återanvände frågan på högskolestuderande och fann att flera av dessa studenter också hade samma tankar som gymnasie- och högstadieeleverna. Dessa resultat indikerar att eleverna har mycket svårt att uppfatta en bokstavssymbol som ett generellt tal.

2.4.3 Bokstavssymbol som variabel

En variabel är en bokstavssymbol vars värde tänks variera. Variabler förekommer oftast i par. Ett exempel är funktionen y = x + 5. Där är x och y variabler. Då x varierar fås olika värden på y, efter det givna sambandet; y är alltid 5 mer än x. Värt att notera är att om vi t.ex. vill bestämma värdet på x då y = 1 ”förvandlas” funktionen till en ekvation där x nu symboliserar ett konstant okänt tal, som ska avslöjas.

Att förstå variabelbegreppet handlar om två aspekter, dels att förstå att variabler alltid tillhör en klass av tal (varierar inom en viss klass), men också att förstå att det existerar ett systematiskt samband mellan variablerna. För att analysera elevsvar där bokstavssymbolerna ska ses som variabler kan Quinlans nivåer användas. Men ofta används de sista kategorierna i Küchemanns tabell, se avsnitt 2.2.

Küchemann (1981) formulerade i sin forskning följande fråga. Vilket är störst 2n eller n + 2? Av de tillfrågade eleverna svarade 71 % att 2n alltid skulle vara större, vilket innebär att dessa elever är kvar i de lägre kategorierna i Küchemanns schema, eller nivå 1 i Quinlans tabell. Frågan har även testats på högskolestudenter, t.ex. så fann

17

McIntyre (2007) att hela 39 % av 373 studenter (tre algebrakurser) angav att 2n var störst. Felet berodde på att studenterna inte kunde uppfatta n som ”en rörlig kvantitet” (variabel eller generellt tal). Flera elever angav bara att multiplikation ger större resultat än addition. Grevholm (2003) beskrev hur i stort sett samma fråga gavs till lärarstudenter för grundskolans senare år. En fjärdedel av studenterna kunde inte ge en korrekt förklaring, utan satte bara in ett enda värde på bokstavssymbolen och baserade sitt svar utifrån det (nivå 2 i Quinlans tabell).

Gray, Loud och Sokolowski (2007) undersökte college studenters förståelse kring hur variabler hänger ihop, en intressant fråga var:

a = b + 3 Vad händer med a om b ökar med 2?

De fann att studenterna inte förstod variabelbegreppet utan resonerade aritmetiskt. Det vanligaste felsvaret var a = b + 5. D.v.s. man betraktar b som ett obekant tal som adderas med 2 (se även Küchemann, 1981). Det korrekta svaret är förstås att a ökar med 2. Detta inses lättast genom att tänka sig grafen till funktionen. Persson (2010) har undersökt hur eleverna tolkar funktionen y = x + 5. Han fann att många elever tolkar detta uttryck som en ekvation, d.v.s. att bokstavssymbolerna betraktas som konstanta obekanta tal (kategori D i Küchemanns schema).

2.4.4 Bokstavssymbol som parameter

En parameter är enligt definitionen ett tal som är konstant under en viss process men som sedan kan ges ett annat värde. Parametrar förekommer framförallt tillsammans med variabler och utnyttjas för att beskriva sambandet mellan dem. I uttrycket

m

x

k

x

y

(

)







Ofta när parametrar är inblandade används beteckningar av typen y(x), vilket anger att y beror på x och inte på t.ex. k eller m. Tyvärr är man i matematiken ”lat” och låter det vara underförstått vad som är parametrar och variabler. Då gäller som riktlinje att de sista bokstäverna representerar variabler (oftast x, y, z men även g och f är vanliga) medan de första bokstäverna i alfabetet representerar parametrar (oftast a, b, c, d men även mitten bokstäverna som k, m, p och q brukar användas).

18

Ursini och Trigueros (2004) undersökte gymnasieelevers förståelse för parameterbegreppet. De fann att eleverna hade stora svårigheter med att avgöra vad som är parametrar och variabler i uttryck som de ej är bekanta med. I mer kända uttryck av typen

y



k



x



m

Uttrycket x2 + y2 = k2 är givet. Förklara vad som är konstant och vad som varierar. Vad representerar x, y och k?

Eleverna hade stora svårigheter med att tydliggöra skillnaden mellan parametrar och variabler. Det var vanligt att eleverna sa att ”alla bokstavssymbolerna är variabler” eller ”alla bokstavssymbolerna kan förändras”, utan att koppla sambandet till koordinatsystem och grafer. Endast 1 av 112 elever hänvisade till att sambandet mellan x och y beskrivs av en cirkel med radien k. Det fanns också flera svar av typen ”x och y är variabler, k är konstant eftersom k är lutningen”. Detta fenomen om att vissa bokstavssymboler står för bestämda egenskaper upprepade sig i undersökningen och Ursini och Trigueros kunde bl.a. dra slutsatsen att eleverna memorerar fakta utan att förstå. Det ”omvända fenomenet” till detta problem uppträder dagligen i den svenska gymnasieskolan då linjär regression tillämpas på grafräknaren. Resultatet kan då t.ex. illustreras på följande vis:

Eleverna kan ofta inte uppfatta detta som en rät linje, bara för att k och m är utbytta mot andra bokstäver (Persson, 2010).

y = ax + b a = 3,56 b = 2,75

19

3 Syfte och problemställning

Denna empiriska undersökning syftar till att undersöka elevernas förståelse kring bokstavssymbolens kontextuella beroende. Att förstå bokstavssymbolens kontextuella beroende handlar dels om att förstå och kunna skilja på bokstavssymbol som, konstant obekant tal, generellt tal, variabel och parameter, men också att inte ha helt felaktiga uppfattningar om vad bokstavssymbolen symboliserar. Min forskningsfråga, innefattar samtliga av dessa aspekter. Den lyder:

 Vilken förståelse har elever som läser matematik C kring bokstavssymbolens kontextuella beroende?

Eftersom denna fråga innehåller många aspekter, blev den mycket svår att besvara. Därför formulerades två delfrågor, som i sin tur delades in i underfrågor:

1. Förekommer följande missuppfattningar om bokstavssymbolen: - Bokstavssymbolen ska ibland uppfattas som ett objekt

- Bokstavssymbolen ska ibland uppfattas som ett konkret objekt i sig själv - Bokstavssymbolen ska ibland inte utvärderas?

2. Hur uppfattar eleverna bokstavssymbolerna i situationer där bokstavssymbolen symboliserar:

- Ett konstant obekant tal - Ett generellt tal

- En variabel - En parameter?

20

4 Metod och genomförande

4.1 Undersökningsmetod och analysmetod

För att besvara min problemställning genomfördes en kartläggande undersökning (surveyundersökning) i form av ett skriftligt test. Löwing och Kilborn (2002) menar att ett väl uppbyggt skriftligt test är en bra metod, förutsatt att det bygger på en hållbar teori om elevers förståelse. Vidare är det viktigt att tester är utformade så att de kan analyseras på ett meningsfullt och tydligt sätt (se t.ex. Jensen 1997; Johannson & Svedner, 2006). Skriftliga tester inom matematiken har ofta fått kritik eftersom det i allmänhet bara är uträkningarna som kan kontrolleras; den underliggande tankeprocessen framkommer oftast inte (se t.ex. Jensen, 1997; Korp, 2003; Ljungblad, 2001). Jensen (1997) menar att det vanligen bara är de felaktiga svaren som är av intresse vid analysen. Det är endast dessa svar som ”direkt” avslöjar elevernas begreppsförståelse (se även Johannson och Svedner, 2006). Boesen (2006) har konstaterat att de flesta lärarkonstruerade matematiktester inte mäter elevens verkliga förståelse, utan kan lösas med memorerade regler och procedurer. Med utgångspunkt från dessa fakta drog jag slutsatsen att mitt test måste bygga på väldokumenterade upptäckter och teorier inom forskningsfältet. Dessutom måste uppgifterna vara annorlunda, så att de inte kan lösas genom memorerade regler och procedurer. Att detta angreppssätt verkligen är rimligt i just mitt forskningsområde bekräftas av mina teoretiska bakgrundsstudier. Forskare inom området använder sig ofta av annorlunda uppgifter som är direkt inriktade på att avslöja elevernas underförståelse kring begrepp. Dessutom har de i huvudsak förlitat sig på insamlade räkneuppgifter med förklaringar, varför jag inte betvivlade min metod. ”God forskning utmärks bl.a. av att forskaren utgår från etablerade metoder” (Johannson och Svedner, 2006, s. 32).

I mitt test eftersträvade jag att få en helhetssyn över elevernas totala förståelse kring bokstavssymbolen. För att få detta var det nödvändigt att spalta upp det skriftliga testet i två huvuddelar. Del 1 var helt inriktad på att upptäcka provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar om bokstavssymbolen, medan del 2 i huvudsak var inriktad på att fastställa elevernas förståelse kring bokstavssymbolens olika betydelser. I dessa två

21

huvuddelar återfanns uppgifter som var systematiskt inriktade på att besvara varje delfråga i min problemformulering (se föregående avsnitt). Testet i sin helhet återfinns i bilaga A. Uppgifterna som gavs var valda med stor omsorg och är djupt förankrade med tidigare forskning inom området framförallt verk skapade av Küchemann (1980, 1981), Quinlan (1992) och Ursini och Trigueros (2004). Flera av uppgifterna var direkt skräddarsydda för att gå att analysera med hjälp av Küchemanns och Quinlans tabeller, vilka får anses väl acceptabla måttstockar. Exempel på tre sådana uppgifter som gavs var:

- Vad kan man säga om c, om c + d = 10 och c är mindre än d? (Küchemann, 1981) - Vilket är störst 2n eller n + 2? Förklara! (Küchemann, 1981)

- När är 3a – 2b = 1? Alltid, ibland eller aldrig. Förklara! (Egenkonstruerad)

För att undersöka om eleverna hade provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar om bokstavssymbolerna gavs ett flertal uppgifter. Här fanns t.ex. en omvänd variant av det berömda student-professor-problemet (se avsnitt 2.3.1). Uppgiften löd:

En stor fruktskål är fylld med a stycken apelsiner och b stycken bananer. Vad betyder uttrycket 3b = a?

För att testa elevernas förståelse kring parameterbegreppet valde jag att utgå från två egenkonstruerade uppgifter. Anledningen till detta val var att jag ville att mina uppgifter skulle kunna besvaras snabbt utan längre uträkningar. Jag ville således undvika det som vanligen benämns ”enkättrötthet” (se t.ex. Bryman, 2011; Johansson & Svedner, 2006). Även om jag gjort ett skriftligt test, så gäller till viss del samma principer som enkäter (se Johannson & Svedner, 2006). Jag bedömde att Ursinis och Trigueros (2004) testuppgifter kring parameterbegreppet skulle bli för påfrestande för eleverna. Det skulle finnas en risk att eleverna inte skulle orka besvara uppgifter av sådan karaktär. Beträffande Ursinis och Trigueros (2004) uppgift som presenterades i avsnitt 2.4.4 hade flera elever bara svarat att alla bokstavssymbolerna kan variera. Dessa elever kan mycket väl ha förstått parameterbegreppet, men inte orkat eller insett att det krävdes en djupare redovisning. Jag menar att detta svar delvis är korrekt och säger därför inte om eleven kan skilja variabler och parametrar åt. Precis som enkätfrågor måste testuppgifter vara tydligt formulerade och kunna besvaras snabbt (Johannson & Svedner, 2006).

För att få logik i uppsatsen och underlätta för läsaren kommer varje testuppgift presenteras i resultatdelen tillsammans med resultaten. Orsaken är också att det är många uppgifter, varför det kan bli svårt för läsaren att minnas. I avsnittet teoretisk bakgrund, finns nödvändig bakgrundsteori till varje testuppgift.

22

Testuppgifterna analyserades i relevanta fall efter förståelsenivåer enligt teorin, men i vissa fall utarbetades egna kategoriseringar av elevsvar utav typen ”kategorisering i efterhand” (se Johannson & Svedner, 2006). Men för att besvara forskningsfrågan och dra generella slutsatser har jag varit mycket försiktig med att bara analysera på uppgiftsnivå. Istället har jag tittat på varje elevs test som helhet där jag försökt upptäcka tendenser eller speciellt uppseendeväckande resultat. Såväl den summativa analysen som analysen på uppgiftsnivå förlitar sig helt på kvantitativa data.

4.2 Informanter

Jag inledde med att kontakta två olika skolor som jag var väl bekant med. Anledningen till att jag valde dessa två skolor var p.g.a. att både undervisningen och typen av elever är skilda från varandra. Detta bidrar till en stor bredd i undersökningen där jag fångar in helt olika elevtyper, vilket i sin tur gör det möjligt att dra slutsatser om generaliserbarheten. Jag menar att om resultaten från de båda skolorna är helt skilda från varandra är sannolikheten för generalisering i princip lika med noll. Däremot om resultaten är någorlunda lika, så föreligger sannolikhet för generaliserbarhet.

Ett viktigt kriterium för undersökningen var att eleverna skulle vara väl bekanta med algebra och funktioner, och garanterat stött på bokstavssymbolernas olika betydelser. Egentligen har eleverna träffat på alla bokstavssymbolens olika betydelser redan i matematik A. Valet blev dock elever som läser matematik C. Jag valde denna kurs eftersom funktioner och algebra utgör att mycket viktigt inslag här, vilket gör att eleverna regelbundet möter bokstavssymbolens olika betydelser.

Fyra olika klasser undersöktes, två klasser från en komvuxskola och två klasser som läste det naturvetenskapliga programmet på gymnasiet. Komvuxskolan ligger i en storstad och 60 % av de undersökta eleverna var tvåspråkiga. Den undersökta gymnasieskolan befinner sig i en välbärgad kommun, där samtliga undersökta elever hade svensk bakgrund. Totalt deltog 93 elever, 41 komvuxelever och 52 NV-elever. De fyra olika klasserna hade precis (1-2 dagar) innan undersökningen haft kursprov på algebra och funktioner.

23

4.3 Praktiskt genomförande

Jag inledde med att presentera mig själv och det övergripande syftet med undersökningen, dock utan att direkt avslöja vad undersökningen handlade om. Eleverna uppmanades att göra sitt bästa och tydligt motivera sina beräkningar och svar. Vidare nämndes att provet var frivilligt, helt anonymt och endast var till för att hjälpa mig med mitt examensarbete. Alla elever utom en ville delta i testet.

Testet genomfördes enskilt utan räknare. Jag gick runt i klassrummet för att kontrollera så att eleverna inte samarbetade. Även klasslärarna hjälpte till med ordningen, bl.a. bad de elever som hunnit bli klara tidigt att inte prata med varandra så att de kvarstående eleverna inte skulle störas. Endast en enda fråga (en enda elev) uppkom i samband med testet. Frågan påverkade inte resultatet av undersökningen och kommer därför inte diskuteras. Jag hade inte satt upp någon tidsgräns på hur länge eleverna fick hålla på, men samtliga elever var klara efter ca 30 minuter.

24

5 Resultat, analys och teoretisk tolkning

I detta kapitel kommer varje delfråga i min problemformulering systematiskt besvaras, därefter görs en djupanalys som besvarar forskningsfrågan. I slutet av kapitlet kommer studiens tillförlitlighet att utredas.

5.1 Provisoriska eller direkt felaktiga uppfattningar

om bokstavssymbolerna

5.1.1 Bokstavssymbol som objekt

För att testa om eleverna uppfattade bokstavssymbolerna som objekt vid förenklingsövningar gavs följande uppgift:

Från algebraundervisningen känner vi till att 2a + 3a = 5a. Men varför kan inte 2a + 3b adderas på något liknande vis?

Eleverna fick fyra alternativ att välja på. Resultatet visas i tabellen nedan Tabell 5.1. Resultat – uppgift 1.

Alternativ A 2a + 3b kan adderas, det blir 5ab! 4 st

Alternativ B a och b är enheter. Man kan inte addera tal med olika enheter! 40 st Alternativ C a och b olika sorters objekt. Man kan inte lägga ihop olika sorters

objekt, det är som att lägga ihop äpplen med bananer! 43 st

Alternativ D Annan förklaring. Förklara gärna nedan. _{6 st}

Endast 6 av 93 elever kunde ange att bokstavssymbolerna representerar tal och angav alternativ D. Deras förklaringar innehöll dock felaktiga resonemang om att a och b var olika tal, varför additionen inte kan genomföras. Det korrekta svaret ska vara: 2a + 3b kan inte adderas på ett liknande sätt, eftersom det inte finns någon enklare form att skriva uttrycket på, som gäller för alla kombinationer av värden på a och b. Som framgår uppfattade nästan samtliga elever bokstavssymbolerna som enheter eller objekt.

25

Min andra uppgift som testade objekttankar, var fruktskålsproblemet, en annan variant av studentprofessorproblemet, se avsnitt 2.3.1. Utgångspunkten var:

En stor fruktskål är fylld med a stycken apelsiner och b stycken bananer.

Uppgiften var att förklara vad uttrycket 3b = a betyder. Elevernas resultat visas i tabellen nedan.

Tabell 5.2. Resultatsammanfattning för uppgift 2. Ger ett fullt korrekt svar Ej fullt korrekt svar, men

inga objekttankar Tydliga objekttankar

22 st 8 st 63 st

Några exempel på svar som innehåller tydliga objekttankar:

”Egentligen inget, men tre bananer = en apelsin” ”3b betyder tre bananer, a betyder en apelsin” ”Att det finns tre gånger så många bananer som apelsiner” ”3 bananer per apelsin” ”3 bananer har lika stor volym som 1 apelsin” ”3 bananer kostar lika mycket som en apelsin” ”3 bananer motsvarar en apelsin, exempelvis i vikt eller pris”

Två typexempel på svar i den mellersta kolumnen:

”Apelsinerna kostar 3 gånger så mycket som bananerna” ”Apelsinerna är tre fler”

Uttrycket 3b = a anger att om antalet bananer multipliceras med tre fås antalet apelsiner, d.v.s. apelsinerna är tre gånger så många. Totalt 63 av 93 elever visade här upp tydliga objekttankar. De läste uttrycket rakt av ”tre bananer är lika med en apelsin”. Detta uttryck omformulerades av vissa till ”det finns tre gånger så många bananer som apelsiner”, men de flesta elever svarade direkt ”tre bananer är lika med en apelsin”. Dessa elever uppfattar således inte a och b som kvantiteter, d.v.s. de inser inte att den mindre kvantiteten b måste multipliceras med 3 för att få den större kvantiteten a, varför dessa elever placerats i kategorin ”tydliga objekttankar”.

Resultatsammanfattning

Ingen av de undersökta eleverna vet att bokstavssymbolerna representerar generella tal vid förenklingsövningar. Av dessa var det 95 % som trodde att bokstavssymbolerna här skulle tolkas som objekt eller enheter. Gällande fruktskålsproblemet hade 68 % av de undersökta eleverna en tendens att behandla bokstavssymbolerna som objekt istället för kvantiteter.

26

5.1.2 Bokstavssymbol som konkret objekt i sig själv

Uppgift 3 i testet handlade om att om möjligt förenkla fyra stycken uttryck. Elevernas resultat visas i tabellen nedan:

Tabell 5.3. Resultat på uppgift 3. Uppgift Klarar Klarar inte x + y = 83 st 10 st x · x · x = 74 st 19 st 4 · x – x = 47 st 46 st    x b x a 47 st 46 st

Totalt var det endast 23 av 93 elever som klarade samtliga dessa förenklingsövningar. Eleverna visade en provkarta på resultat från tidigare forskning inom området se avsnitt 2.3.2. De två vanligaste fel svaren var att

b a x b x a   

samt att 4 · x – x inte gick att förenkla. Det sistnämnda fel svaret är särskilt intressant eftersom det till viss mån skiljer sig från min teoretiska bakgrund. Enligt denna hade jag förväntat mig svaret 4, d.v.s. att eleverna uppfattar x:en som två objekt som tar ut varandra (se avsnitt 2.3.2). Men min uppgift är inte direkt jämförbar med teorin, eftersom jag har skrivit ut multiplikationstecknet. Resultatet kan tolkas som att eleven inte kan skilja på 4x och 4 · x. 4x uppfattas kanske som ”fyra stycken x” (mindre korrekt). Medan 4·x uppfattas som 4 multiplicerat med x (mer korrekt). Men trots en korrekt tankegång kan eleverna inte förstå att 4 multiplicerat med x minus x kan bli 3x. Det uppfattas alltså lättare att tänka på ett mindre korrekt sätt ”fyra stycken x minus ett x är lika med 3 stycken x”. Att hälften av eleverna hade svårigheter med en sådan här grundläggande förenklingsövning bekräftar att bokstavssymbolen har behandlats som ett konkret objekt i sig själv (Küchemanns kategori C).

Resultatsammanfattning

Totalt 75 % av de undersökta eleverna klarade inte denna grundläggande förenklingsövning; hälften av eleverna visade tydlig indikation på att tillhöra Küchemanns kategori C.

27

5.1.3 Bokstavssymbolen utvärderas inte

Elever som inte utvärderar bokstavssymbolerna tillhör Küchemanns kategori B:

Letter not considered: The letter is ignored or its existence is acknowledged without giving it meaning.

För att se om det fanns elever i denna kategori gavs följande uppgift:

Ange om möjligt vilket av nedanstående uttryck som är störst respektive minst. a) b2 y2 2a 2x Störst: _____ Minst: _____ b) -5x 2y Störst: _____ Minst: _____

I denna uppgift vet vi inte vad bokstavssymbolerna symboliserar. Svaret är alltså att det inte är möjligt att ange vilket uttryck som är störst respektive minst. Vid första anblicken kan denna uppgift anses som dålig, särskilt a-uppgiften. Jag menar att eleverna kan uppfatta y2 och b2 som störst samt 2a och 2x som minst och ändå få rätt svar (välja att inte svara, eller att säga att det inte är möjligt). Men faktum var att flera elever (35 av 93) valde att placera y2 och b2 (båda uttrycken) som störst samt 2a och 2x som minst. Ett sådant svar visar tydligt att eleven tror att det endast är uttryckets form som avgör värdet. Bokstavssymbolens innebörd har således inte utvärderats. Det fanns även några elever (16 av 93) som angivet y2 som störst och 2a som minst, d.v.s. indikation på alfabetiska värden. Uppgift b var inspirerad av Christou och Vosniadou (2005) (se avsnitt 2.3.3). Hela 49 av de 93 eleverna angav att 2y var större än -5x. Detta tyder på att eleverna lägger sin fokus på minustecknet och helt ignorerar bokstavssymbolen. Dessa elevsvar kan därför placeras i Küchemanns kategori B.

Resultatsammanfattning

Totalt sett visade hela 53 % av eleverna indikation på att tillhöra Küchemanns kategori B. För att få denna procentsats har jag bara bedömt b-uppgiften, eftersom det i a-uppgiften fanns svar som visade indikation på alfabetiska värden, d.v.s. bokstavssymbolen har faktiskt utvärderats.

28

5.2 Bokstavssymbolens olika betydelser

5.2.1 Bokstavssymbol som konstant obekant

För att testa elevernas förståelse om att bokstavssymbolen kan representera konstanta obekanta tal gavs följande kontext:

Undersök om talen 1, 2, 3 löser ekvationen: y3 – y2 = 4

6 stycken elever klarade inte denna uppgift, 4 av dessa hade gjort en felaktig beräkning av 23. Den 5:e eleven hade skrivit av uttrycket fel, medan den siste inte alls visste vad som skulle göras.

Resultatsammanfattning

På denna uppgift förstod totalt 99 % av de undersökta eleverna att en bokstavssymbol kan beteckna ett konstant obekant tal, Küchemanns kategori D.

5.2.2 Bokstavssymbol som generellt tal

För att mäta elevernas förståelse kring begreppet generellt tal gavs följande uppgift: Vad kan man säga om c, om c + d = 10 och c är mindre än d?

Uppgiften är hämtad från Küchemanns arbete (1981). Resultatet kan bäst beskrivas med hjälp av Quinlans nivåer se tabell nedan.

Tabell 5.4. Resultatbeskrivning – uppgift 6.

Nivå 1 Bokstaven ses som ett objekt som saknar mening, eller dess värde fås som

bokstavens plats i alfabetet. 0 st

Nivå 2 Det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstavssymbolen. 16 st Nivå 3 Det är nödvändigt att pröva med flera tal. 10 st Nivå 4 Man uppfattar bokstavssymbolen som en representant för en klass av tal.

Det räcker att pröva med något av dessa tal. 10 st

Nivå 5 Man uppfattar bokstavssymbolen som en representant för en klass av tal.

Man behöver inte pröva med något av dessa tal. 43 st

Svar som inte riktigt går att avgöra var de skall föras in: 14 stycken. Dessa elever hade bara svarat c < d.

Trots att en del elever inte angett det korrekta svaret c < 5 kunde de ändå visa förståelse på Quinlans högsta nivå. Några sådana vanliga svar var c<4 eller 0<c<5.

29

Eleverna som placerats i nivå 3 har inte uppfattat c som en representant för en klass av tal utan istället prövat/svarat med två eller flera värden på c. Det vanligaste svaret på denna nivå var ”c kan vara 1, 2, 3 eller 4”. Eleverna på nivå 4 hade angett att det fanns ett samband mellan c och d och sedan gett ett eller flera exempel på när likheten med villkoret kunde gälla. Att det bara var exempel bekräftar att dessa elever kan uppfatta c som en representant för en hel klass av tal.

Min andra uppgift för att mäta förståelsen kring bokstavssymbol som generellt tal, var också hämtad från Küchemanns forskning, bara att jag använt andra symboler, uppgiften löd:

När är följande likhet x – y = z – y sann? Alltid, ibland eller aldrig. Motivera! Resultatet visas i tabellen nedan.

Tabell 5.5. Resultat för uppgift 7.

Några exempel på felaktiga motiveringar:

”När x = z, men eftersom det är olika tecken, blir mitt svar aldrig” ”Det kommer aldrig att

fungera eftersom x och y inte har samma värde” ”Alla tre är olika objekt x och y kan aldrig

bli z” ”Aldrig, päron och äpplen kan inte bli jordgubbar” ”Alltid, eftersom det bara är

variabler de ändrar inte själva ekvationen” ”Det är fel” ”Kan vara sann om variablerna

kan ersättas med siffror” ”Aldrig, för x och z måste vara lika, vilket de aldrig är” ”Aldrig

x och z måste vara samma tal och då skriver man samma bokstav” ”Aldrig x ≠ z”

I denna likhet skall x och z tolkas som generella tal inom klassen reella tal, vilket de flesta kunde förstå och angav svaret ibland, då x = z.

Min sista uppgift som skulle testa begreppet generellt tal löd: Förklara vad följande uttryck a + b = b + a betyder!

Tabellen på nästa sida är ett försök till att sammanfatta resultatet. Alltid Ibland Aldrig Ej svarat

30 Tabell 5.6. Resultatsammanfattning uppgift 8.

Helt felaktiga förklaringar (ofta objekttankar) 22 st Ingen förklaring mer än ”att a + b = b + a” 10 st Förklaringar av typen: ”det är samma sak” eller ”VL = HL” 23 st Förklarar med ett eller flera siffor exempel 18 st

Generell förklaring (kommutativa lagen) 20 st

Några exempel på elevförklaringar från den översta raden:

”Att ekvationerna bara har omvända platser, men är lika dana” ”a och b är positiva” ”Att 0 = 0” ”2a + 2b” ”att ekvationerna är de samma” ”att man inte kan blanda enheter” ”det betyder samma sak alla värden är ju positiva” ”ett objekt plus ett annat

objekt, men vi vet inte vad det är” ”objekten har bytt platser” ”enheterna har kastats om”

Endast 38 av 93 elever kunde på ett någorlunda sätt koppla detta uttryck till generaliserad aritmetik, kommutativa lagen. Bland de ”helt felaktiga svaren” var det vanligt att eleverna angav att a och b var positiva, eller tolkade a och b som objekt/enheter.

Resultatsammanfattning

Om man tittar på testet som helhet kan man konstatera att hur eleverna uppfattar bokstavssymbolen beror helt på kontexten. I den ena stunden kan en viss elev nå de högsta nivåerna i Quinlans tabell, för att i andra stunden uppfatta bokstavssymbolen som ett objekt som saknar mening, eller helt ignorera bokstavssymbolen. T.ex. så kunde flertalet elever klara uppgift 6 och 7, trots att de i testets första del presterat mycket dåligt. Generellt sett om man tittar på hela testet var elevernas förståelse om begreppet generellt tal svagt. Men trots detta kunde 79 av de 93 eleverna i uppgift 6, visa att de förstod att en bokstavssymbol kan symbolisera mer än ett värde. Detta innebär således att dessa elever kan nå Küchemanns kategori E:

Letter considered as a generalized number: The letter is seen as representing, or at least as being able to take on, several values rather than just one.

5.2.3 Bokstavssymbol som variabel

För att testa variabelbegreppet gavs två uppgifter. Den första uppgiften som gavs var följande:

När är 3a – 2b = 1? Alltid, ibland eller aldrig. Förklara!

31 Tabell 5.7. Resultatanalys uppgift 9.

Nivå 1 Bokstaven ses som ett objekt som saknar mening, eller dess värde fås

som bokstavens plats i alfabetet. 35 st

Nivå 2 Det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstavssymbolen. 21 st Nivå 3 Det är nödvändigt att pröva med flera tal. 12 st Nivå 4 Man uppfattar bokstavssymbolen som en representant för en klass av tal.

Det räcker att pröva med något av dessa tal. 16 st

Nivå 5 Man uppfattar bokstavssymbolen som en representant för en klass av tal.

Man behöver inte pröva med något av dessa tal. 9 st

Några typexempel på elevsvar som hamnat i nivå 1:

”Aldrig, 3a – 2b går ej beräkna” ”Aldrig, man kan ej subtrahera tal med olika enhet” ”Ibland, om a och b står för något” ”Aldrig, a och b är två olika sorters objekt” ”Aldrig, a och b är olika enheter” ”Ibland, om a och b kan ha värden”

Som framgår av tabellen hade eleverna oerhörda svårigheter med att uppfatta bokstavssymbolerna som variabler. Istället behandlade majoriteten av eleverna uttrycket som en felaktig förenkling, där bokstavssymbolerna i sin tur uppfattades som objekt (nivå 1), se även uppgift 1. Endast 9 elever kunde ange att det råder ett linjärt samband, a = (1 + 2b)/3 d.v.s. förstå att bokstavssymbolerna i denna kontext ska tolkas som variabler, vilka i sin tur representerar en hel klass av tal (nivå 5). Elever som hamnat i nivå 4 har angett att uttrycket är sant ibland, genom ett eller flera exempel (det har framgått tydligt att det bara är exempel). Generellt sätt hade eleverna mycket svårt att koppla uttrycket till en grafisk representation.

Den andra uppgiften för att testa variabelförståelse var hämtad från Küchemann (1978). Uppgiften löd:

Vilket är störst 2n eller n + 2?

Resultatet från denna uppgift illustreras i tabellen nedan. Observera att Quinlans första nivå har gjorts om, för på ett exakt sätt kunna beskriva mina resultat på just denna uppgift.

Tabell 5.8. Resultatanalys uppgift 10.

Nivå 1 Multiplikation ger större resultat än addition 32 st

Nivå 2 Det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstavssymbolen. 13 st

Nivå 3 Det är nödvändigt att pröva med flera tal. 7 st

Nivå 4 Man uppfattar bokstavssymbolen som en representant för en klass av tal.

Det räcker att pröva med något av dessa tal. 6 st

Nivå 5 Man uppfattar bokstavssymbolen som en representant för en klass av tal.

32

Det är förvånansvärt många som hamnar på nivå 1. Men som helhet klarades denna uppgift mycket bättre än föregående uppgift. Skillnaden mellan de båda resultaten beror på att variabelbegreppet handlar om två aspekter:

1. Förstå att variabler representerar en hel klass av tal

2. Förstå att det råder ett systematiskt samband mellan variabler

Den andra uppgiften mäter i huvudsak den första aspekten, det räcker att förstå att n kan symbolisera flera olika tal, för att man ska klara uppgiften. I den första uppgiften kommer båda aspekterna in i bilden, därför blir denna uppgift betydligt svårare.

Resultatsammanfattning

Eleverna har mycket svårt att förstå variabelbegreppet. Om man tittar på varje elevs totala resultat kan man konstatera att de allra flesta elever bara som högst kan nå Küchemannskategori E:

Letter considered as a generalized number: The letter is seen as representing, or at least as being able to take on, several values rather than just one.

För att nå den högsta kategorin, kategori F, krävs i huvudsak också en förståelse om att det finns ett systematiskt samband mellan två variabler, vilket endast 9 elever kunde visa, d.v.s. klara uppgiften när är 3a – 2b = 1?

5.2.4 Bokstavssymbol som parameter

Uppgift 11 i testet var till för att testa om eleverna kunde tolka parametrar på ett djupare plan än bara etiketter för lutning och skärning. Utgångspunkten var:

Uttrycket y = k ·

2

Jag valde att förstora och fet-markera tvåan så att eleverna med största sannolikhet skulle upptäcka och reflektera över denna. Uppgiften var att med ett exempel placera detta uttryck i ett koordinatsystem. Uttrycket ska tolkas som en punkt, punkten (2, y(2)) i fjärde kvadranten. Parametrarna avgör uttryckets position och kan således inte ses som etiketter (lutning och skärning). Elevernas svar på uppgiften illustreras i tabellen på nästa sida.

33 Tabell 5.9. Resultatsammanfattning uppgift 11.

Eleven ritar linjen y = kx + m * 61 st

Eleven ritar en felaktig punkt 3 st

Eleven ritar en korrekt punkt 4 st

Eleven ritar en konstant funktion 5 st

Eleven förklarar att det inte går att rita p.g.a. att det inte finns en linje med de egenskaperna som går genom punkten (2,0) 8 st Eleven förklarar att det inte går att rita, det finns inget x! 5 st

Inget svar 7 st

*Här fanns alla möjliga typer av linjer, men följande typer var dominerande:

Linje med lutningen 2 eller -2, linjer som gick genom punkten (-2,0) eller (2,0). Det fanns också ett flertal linjer med negativ lutning som gick genom punkten (2,0) för att sedan vara avbrutna innan de skar y-axeln.

Som framgår av tabellen ritade de allra flesta en rät linje, d.v.s. de flesta elever kan bara uppfatta k och m som lutning och skärning. Detta bekräftar resultaten från tidigare studier inom området, se avsnitt 2.4.4. Utmärkande för just min uppgift är att den tydligt visar att flertalet av eleverna inte förstår en funktions grafiska konstruktion, d.v.s. att funktionen plottas genom att x varierar. Det ska poängteras att eleverna som ritat en konstant funktion inte är helt fel ute. Dessa elever förstår faktiskt att k och m är tal, och inte direkta etiketter som ”bygger upp funktionen”.

Min sista uppgift som skulle testa elevernas förståelse för parametrar löd: Anta att y är en funktion av x enligt:

y = x + c

a) Förklara vad som händer (eller kan hända) med x och y om c ökar med 2. Varför händer detta? Motivera!

b) Vad händer (eller kan hända) med c om värdet på x ökar med 2? Varför händer detta? Motivera!

Förklara tydligt hur du resonerar!

I denna uppgift är x och y variabler och c en parameter. Svårigheten i uppgiften handlar dels om att förstå dessa två begrepp, men också att skilja begreppen åt. Då c ökar med två (a-uppgiften) påverkas inte variablerna, utan det är sambandet mellan dessa som förändras. Då variabeln x ökar med 2 (b-uppgiften) påverkas endast variabeln y. c påverkas inte, ty parametrar är alltid konstanta under en viss process (definitionen). Eleverna hade mycket svårt att föra ett sådant här resonemang. Den i särklass

34

vanligaste tankegången var att man behandlade hela uttrycket som en ”balansvåg” med likhetstecknet som rotationspunkt, där det gällde att öka och/eller minska olika bokstavssymboler så att en jämvikt skulle ställa in sig. Det fanns också många svar där hela funktionen förändrades på ett felaktigt sätt. Trots att ordet funktion nämndes i problemtexten kunde nästan ingen elev koppla uttrycket till en grafisk representation. Endast 12 elever kunde klara a uppgiften, med en någorlunda godtagbar förklaring t.ex. ange att skärningen med y-axeln ändras eller att sambandet mellan x och y förändras. Dock var det endast 2 av dessa elever som kunde klara b uppgiften. De övriga 10 eleverna, gick här över till helt felaktiga tankar och angav att lutningen förändras eller att c minskar med 2.

Några exempel på typiska elevsvar/motiveringar:

a) ”y kan då öka med två eller så kan x minska med två” ”x måste då minska med 2 för att

det skall bli y” ”y måste öka med 2 om det ska bli lika” ”x blir större med samma y, y

blir större med samma x” ”y = x + (c + 2)” ”y = x + 2” ”y = x + 2c”

b) ”lutningen ändras” ”y = (x + 2) + c, c förändras inte” ”c måste då minska med 2, för

att det ska bli y” ”c kan minska med 2” ”om y är samma tal, måste c sjunka med 2 för

att likheten skall gälla” ”y = 2x + c” ”y = x + 2 + c”

Resultatsammanfattning

Totalt sett på dessa två uppgifter kunde eleverna inte visa upp mer förståelse om parametrar, mer än att de kan referera till vissa egenskaper, som t.ex. lutning och skärning. De flesta elever behandlade parametrar och variabler, på i princip samma sätt som generella tal i en ekvivalens.

5.3 Djupanalys för att besvara forskningsfrågan

I detta avsnitt kommer analysen ske på ett djupare plan, där jag tittar på varje elevs test som helhet. Att de resultat jag presenterar i detta avsnitt verkligen är rimliga framgår till stor del av föregående avsnitt. Jag kommer därför att avvakta till slutet av avsnittet med att presentera vilka specifika upptäckter i varje elevs test som fastslog svaret på forskningsfrågan.

Som helhet på testet visade de flesta eleverna förståelse för att en bokstavssymbol ska tolkas olika i olika kontexter, men hur bokstavssymbolerna skulle tolkas visade sig

35

mycket svårförståeligt. T.ex. i uppgiften när är 3a – 2b = 1? kunde eleverna inte uppfatta bokstavssymbolerna som kvantiteter, utan istället behandlades uttrycket av majoriteten som en felaktig förenkling, där bokstavssymbolerna i sin tur sågs som objekt. Liknande felaktiga tankar upprepades på flera uppgifter. Det fanns alltså mycket allvarliga brister om vad bokstavssymbolerna symboliserade. Men om man tittar på varje elevs test som helhet kan man dra slutsatsen att de flesta elever förstår att en bokstavssymbol i vissa situationer kan representera dels ett obekant tal, men också ett generellt tal. En del elever visade svårigheter på att skilja dessa två betydelser åt, men underligt nog låg många elevers förståelse på en mycket lägre nivå, nämligen att skilja på en helt felaktig uppfattning kring bokstavssymbolen, ”bokstavssymbol som något som saknar mening”, och en mer korrekt uppfattning om bokstavssymbolen. Denna svårighet visade sig i flera uppgifter och var ett märkbart hinder i de svagare elevernas begreppsutveckling. Ett annat hinder som var särskilt noterbart var att förflytta sig mellan Küchemannskategori E och F (se avsnitt 5.2.3). Flera elever kunde inte ta detta steg, trots att de på andra uppgifter visat förståelse på de högsta nivåerna i Quinlans tabell (t.ex. på uppgift 6 och 10). Generellt sett hade eleverna mycket svårt att koppla ett symboluttryck till koordinatsystem och grafer. Nästa tydliga steg i elevernas begreppsutveckling var att förstå parmeterbegreppet. Det var nästan ingen elev som kunde uppfatta parametrar på ett djupare plan än etiketter för lutning och skärning. En del av de elever som hade visat förståelse kring variabelbegreppet i uppgift 9 fick problem då parametrar var involverade och kunde inte skilja de båda begreppen åt.

Dessa upptäckter leder fram till att elevernas totala förståelse kring bokstavssymbolens kontextuella beroende kan sammanfattas i fem hierarkiskt ordnade nivåer, se tabell 5.10.

Tabell 5.10. Hierarkiskt ordnade nivåer, som beskriver elevernas förståelse kring bokstavssymbolens kontextuella beroende. Kategorierna är bara meningsfulla i ett större sammanhang, då en helhetsbedömning av varje elev görs. Det går bara att ange var en elev mest befinner sig.

Nivå 1 Har svårt att skilja mellan ”bokstavssymbol som något som saknar

mening” och en kvantitet. 32 st

Nivå 2 Har svårt att skilja på bokstavssymbol som obekant tal och generellt tal 18 st Nivå 3 Har svårt att skilja mellan generellt tal och variabel 34 st Nivå 4 Har svårt att skilja mellan variabel och parameter 7 st Nivå 5 Full förståelse för bokstavssymbolens kontextuella beroende 2 st