Vlnov´a ˇc´ısla ξ vyhovuj´ıc´ı okrajov´ym podm´ınk´am (3.90) na obvodu kruhov´eho re-zon´atoru definuj´ı rezonanˇcn´ı frekvence Ω pro zvolen´y pomˇer rozmˇer˚u α. V´ysledn´e ˇreˇsen´ı pak tvoˇr´ı frekvenˇcn´ı spektrum rezon´atoru sloˇzen´e z jednotliv´ych frekvenˇcn´ıch kˇrivek.
Pˇri studiu frekvenˇcn´ıho spektra hovoˇr´ıme o vazbˇe m´od˚u kmitu. Term´ın vazba uˇz´ıv´ame ve dvou odliˇsn´ych v´yznamech:
a) Vz´ajemn´a vazba m´od˚u kmitu ve smyslu vazby nˇekolika elektroelastick´ych vln.
V´ychylky jednotliv´ych vln jsou v´azan´e elasticky (pˇres elastick´y modul cλμ) a v urˇcit´ych frekvenˇcn´ıch oblastech m˚uˇze b´yt jejich vazba zes´ılena vlivem okrajov´ych podm´ınek.
Na obr. 4.4 je sch´ematicky zn´azornˇen vliv vazby radi´aln´ıch m´od˚u (R) s tlouˇst’kov´ymi (T) na pr˚ubˇeh frekvenˇcn´ıho spektra. Frekvence radi´aln´ıch m´od˚u jsou nepˇr´ımo ´umˇern´e pr˚umˇeru desky 2a a ve zobrazen´ı Ω(α) jim odpov´ıdaj´ı klesaj´ıc´ı frekvenˇcn´ı kˇrivky. Frek-vence tlouˇst’kov´ych m´od˚u jsou nepˇr´ımo ´umˇern´e tlouˇst’ce 2b a jejich frekvenˇcn´ı kˇrivky jsou pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e s vodorovnou osou. Tenk´e ˇc´ary na obr´azku pˇredstavuj´ı spektrum tˇechto m´od˚u pro teoretick´y pˇr´ıpad, ve kter´em by se ˇs´ıˇrily nez´avisle a nebyly vz´ajemnˇe v´az´any. Vlivem vazby se frekvenˇcn´ı kˇrivky radi´aln´ıch kmit˚u deformuj´ı a vznikaj´ı cha-rakteristick´e vodorovn´e ´useky oznaˇcovan´e jako terasovit´y (terrace-like) pr˚ubˇeh. ˇC´ım je vazba s tlouˇst’kov´ym m´odem silnˇejˇs´ı, t´ım jsou ve spektru vodorovn´e ´useky v´yraznˇejˇs´ı.
b) Vazba m´odu kmitu s elektrick´ym polem ve smyslu vybuditelnosti vlastn´ıho kmitu o frekvenci Ω pomoc´ı elektrick´eho pole. V´ychylka vlny je v´az´ana piezoelektricky s elektrick´ym potenci´alem (pˇres piezoelektrick´y modul eiλ). Pro m´ody v´azan´e s elek-trick´ym polem je ˇcasto pouˇz´ıv´an term´ın piezoelektricky aktivn´ı m´od. Velikost vazby popisuje koeficient elektromechanick´e vazby k.
Obr. 4.4: Sch´ematick´e zn´azornˇen´ı vlivu vazby radi´aln´ıch (R) a tlouˇst’kov´ych (T) m´od˚u na tvar frekvenˇcn´ıho spektra
Vazba m´od˚u kruhov´ych rezon´ator˚u je zˇrejm´a z tvaru pohybov´ych rovnic (3.76).
N´azornˇe ji lze tak´e pozorovat z charakteru posunut´ı v jednotliv´ych tvarech kmitu. Pro v´ypoˇcet elektromechanick´e vazby v ´upln´em frekvenˇcn´ım spektru kruhov´ych rezon´ator˚u zat´ım nebyl odvozen potˇrebn´y obecn´y analytick´y model, a tak se tato hodnota obvykle urˇcuje experiment´alnˇe nebo numericky pomoc´ı metody koneˇcn´ych prvk˚u.
Podobnˇe jako u disperzn´ıch kˇrivek je pr˚ubˇeh frekvenˇcn´ıho spektra z´avisl´y na pomˇeru mezn´ıch frekvenc´ı prost´ych tlouˇst’kov´ych m´od˚u ΩTSta ΩsTSh. Oba pˇr´ıpady frekvenˇcn´ıch spekter odpov´ıdaj´ıc´ı disperzn´ım z´avislostem na obr. 4.2 a 4.3 jsou zobrazeny na obr. 4.5 a 4.6.
Nejdˇr´ıve pop´ıˇseme pr˚ubˇeh frekvenˇcn´ıho spektra pro pˇr´ıpad ΩTSt< ΩsTSh, kter´y je pro kruhovou desku z BaTiO3zn´azornˇen na obr. 4.5. Stejnˇe jako u disperzn´ıch z´avislost´ı je tento pr˚ubˇeh vymezen nˇekolika mezn´ımi frekvencemi.
1) V oblasti nejniˇzˇs´ıch frekvenc´ı se ve spektru vyskytuj´ı pouze radi´aln´ı m´ody a jejich vyˇsˇs´ı n´asobky (tvar kmitu je zn´azornˇen na obr. 4.8a). Z´akladn´ı radi´aln´ı m´od disku R1 pˇrech´az´ı pro mal´e hodnoty α postupnˇe do z´akladn´ıho pod´eln´eho m´odu tyˇce L1.
2) Pˇri frekvenci Ω = Ωe ≈ 1,5 se objevuj´ı vodorovn´e terasovit´e ´useky, ve kter´ych rezonanˇcn´ı frekvence pˇr´ıliˇs nez´avis´ı na pomˇeru α. V t´eto oblasti se vyskytuj´ı hranov´e m´ody, charakterizovan´e nejvˇetˇs´ı v´ychylkou na okraji disku, postupnˇe se zmenˇsuj´ıc´ı smˇerem k jeho stˇredu [23]. Tvar kmitu je zn´azornˇen na obr. 4.8b. Hranov´e m´ody vznikaj´ı v d˚usledku vazby radi´aln´ıch m´od˚u s vyˇsˇs´ımi m´ody TSt a sTSh, kter´e maj´ı v t´eto oblasti komplexn´ı vlnov´a ˇc´ısla. Pro hranov´e m´ody kmitaj´ıc´ı v okol´ı frekvence Ωezat´ım nebyl publikov´an analytick´y v´ypoˇcetn´ı model.
3) Ve frekvenˇcn´ı oblasti Ωe< Ω < Ω∗ jsou ve spektru zastoupeny pouze radi´aln´ı m´ody.
Jejich vazba s elektrick´ym polem je obvykle slab´a [42].
4) Pˇri frekvenci Ω∗ (vlnov´a ˇc´ısla m´od˚u TSt a sTSh maj´ı minim´aln´ı re´alnou hod-notu) vznik´a dalˇs´ı terasovit´a ˇc´ast spektra, omezen´a shora mezn´ı frekvenc´ı prost´eho tlouˇst’kov´eho m´odu ΩTSt. V p´asmu Ω∗ < Ω < ΩTSt se vyskytuje ˇrada slab´ych rezonanc´ı, vznikl´ych d˚usledkem vazby radi´aln´ıch m´odu s neharmonick´ymi n´asobky m´od˚u TSt a sTSh maj´ıc´ıch re´aln´a vlnov´a ˇc´ısla. S rostouc´ım α jsou tyto m´ody st´ale v´ıce tlumen´e a dominantn´ım m´odem z˚ust´av´a siln´a tlouˇst’kov´a rezonance v bl´ızkosti frekvence ΩTSt [33], [42].
5) V bl´ızkosti mezn´ı frekvence prost´eho tlouˇst’kov´eho m´odu nekoneˇcn´e desky ΩTSt se vyskytuje z´akladn´ı tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´y m´od kruhov´eho rezon´atoru, jehoˇz frekvence
se pro tenk´e disky (α 1) limitnˇe shora bl´ıˇz´ı hodnotˇe ΩTSt. Tvar kmitu tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´eho m´odu je uveden na obr. 4.8e.
6) Ve frekvenˇcn´ı oblasti Ω > ΩTSt nad tlouˇst’kovou rezonanc´ı se vyskytuj´ı vysoko-frekvenˇcn´ı radi´aln´ı m´ody v´azan´e s vyˇsˇs´ımi m´ody TSt a sTSh. Pˇr´ıklad tvaru kmitu je zn´azornˇen na obr. 4.8d.
7) Dalˇs´ı terasovit´y pr˚ubˇeh spektra se pro vyˇsˇs´ı pomˇery α objevuje v bl´ızkosti mezn´ı frekvence ΩsTSh. V´azan´e kmity maj´ı v t´eto oblasti charakteristick´y tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´y tvar zn´azornˇen´y na obr. 4.8c. Vazba tˇechto m´od˚u s elektrick´ym polem je obvykle slab´a.
Ve druh´em pˇr´ıpadˇe ΩTSt > ΩsTSh m´a frekvenˇcn´ı spektrum pr˚ubˇeh zn´azornˇen´y na obr. 4.6 pro kruhovou desku z NCE51. V oblasti n´ızk´ych frekvenc´ı je charakter spektra stejn´y. V okol´ı Ωe≈ 1,5 se tak´e objevuje terasovit´y pr˚ubˇeh odpov´ıdaj´ıc´ı v´yskytu hranov´ych m´od˚u. Dalˇs´ı terasovit´a ˇc´ast spektra vznik´a pˇri frekvenci Ω∗, na rozd´ıl od prvn´ıho pˇr´ıpadu ale nen´ı shora ohraniˇcena mezn´ı frekvenc´ı prost´eho tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´eho m´odu ΩsTSh4 a s rostouc´ım pomˇerem α ve spektru pˇrib´yv´a poˇcet ”teras“. V bl´ızkosti frekvence ΩTSt doch´az´ı k siln´e vazbˇe radi´aln´ıch m´od˚u s tlouˇst’kov´ymi a vznik´a dalˇs´ı terasovit´y pr˚ubˇeh. Pro tenk´e disky (α 1) se spodn´ı ˇc´ast terasovit´eho spektra limitnˇe shora bl´ıˇz´ı hodnotˇe ΩTSt. Okol´ı tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´eho m´odu je pro vyˇsˇs´ı pomˇery α detailnˇe zn´azornˇeno na obr. 5.6.
V n´ızkofrekvenˇcn´ı oblasti maj´ı re´aln´e vlnov´e ˇc´ıslo pouze pod´eln´e m´ody typu E a ve spektru pˇrevl´ad´a pod´eln´y (radi´aln´ı) charakter kmit˚u. Po pˇrekroˇcen´ı mezn´ıch frekvenc´ı Ω∗, ΩTSt, resp. ΩsTSh se zaˇc´ınaj´ı deskou volnˇe ˇs´ıˇrit tak´e vysokofrekvenˇcn´ı tlouˇst’kov´e m´ody typu TSt a sTSh a jejich neharmonick´e n´asobky, kter´e se vˇsechny v´aˇz´ı s n´ızkofrek-venˇcn´ımi pod´eln´ymi m´ody. D˚usledkem je zv´yˇsen´ı poˇctu m´od˚u ve spektru, patrn´e na obr. 4.5 a 4.6 jako zv´yˇsen´ı hustoty frekvenˇcn´ıch kˇrivek nad mezn´ımi frekvencemi.
Existence komplexn´ıch vˇetv´ı v disperzn´ım spektru na obr. 4.2 a 4.3 zp˚usobuje, ˇze vlnov´a ˇc´ısla m´od˚u TSt a sTSh maj´ı re´aln´e minimum pˇri sv´e nenulov´e hodnotˇe ξ = 0 a terasovit´e spektrum vznik´a jiˇz pˇri frekvenci Ω∗. To je v´yznamn´y rozd´ıl proti vlnov´ym ˇc´ısl˚um v´azan´ych ohybov´ych a tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´ych kmit˚u desek [91], [92], kter´e maj´ı re´aln´e minimum vˇzdy pˇri mezn´ıch kmitoˇctech prost´ych tlouˇst’kov´ych m´od˚u, kde je vl-nov´e ˇc´ıslo nulov´e (ξ = 0) a pˇri kter´ych vznik´a terasovit´e spektrum.
Obecn´y charakter frekvenˇcn´ıho spektra uveden´y pro oba pˇr´ıpady ΩTSt ≷ ΩsTSh
je platn´y pro vˇsechny kruhov´e piezokeramick´e rezon´atory. Skuteˇcn´y pr˚ubˇeh a veli-kost vazeb mezi d´ılˇc´ımi m´ody z´avis´ı na vlastnostech pouˇzit´eho materi´alu. Napˇr´ıklad u rezon´ator˚u z keramiky NCE51 (obr. 4.6) se ukazuje slabˇs´ı vazba radi´aln´ıch m´od˚u s tlouˇst’kov´ymi v oblasti frekvence hranov´ych m´od˚u. Patrn´e je to z m´enˇe v´yrazn´eho te-rasovit´eho spektra v bl´ızkosti Ωe≈ 1,5 v porovn´an´ı se spektrem rezon´ator˚u z BaTiO3. Rozd´ıl je zˇrejm´y tak´e z porovn´an´ı tvar˚u kmitu na obr. 4.9, kde je patrn´a v´yraznˇejˇs´ı deformace na okraji disku pro materi´al BaTiO3.
Ve frekvenˇcn´ım spektru se vedle z´akladn´ıch m´od˚u bl´ızk´ych prost´ym kmit˚um kru-hov´ych rezon´ator˚u vyskytuje velk´e mnoˇzstv´ı dalˇs´ıch m´od˚u. Tyto m´ody maj´ı r˚uznˇe vel-kou elektromechanicvel-kou vazbu a r˚uzn´e mod´aln´ı tlumen´ı. Pouze nˇekter´e z m´od˚u kmitu maj´ı praktick´y v´yznam pro re´aln´e pouˇzit´ı.
4V pˇr´ıkladov´em pˇr´ıpadˇe NCE51 je frekvence Ω∗bl´ızk´a ΩsTSha na diagramu je nelze rozliˇsit.
ʠ
ʨ DE
ʠ76W ʠV76K ʠ
Obr. 4.5: Frekvenˇcn´ı spektrum kruhov´ych rezon´ator˚u z BaTiO3 (ΩTSt< ΩsTSh), Ω∗= 1,7447 a ΩTSt= 1,8489
ʠ
ʨ DE
ʠ76W
ʠV76K ʠ
Obr. 4.6: Frekvenˇcn´ı spektrum kruhov´ych rezon´ator˚u z NCE51 (ΩTSt> ΩsTSh), Ω∗= 1,9907 a ΩTSt= 2,4954