M´ody kruhov´ych rezon´ator˚u vyskytuj´ıc´ı se ve frekvenˇcn´ım spektru m˚uˇzeme podle charakteristick´eho tvaru kmitu rozdˇelit do pˇeti z´akladn´ıch skupin na radi´aln´ı (v lite-ratuˇre oznaˇcovan´e R-mode), hranov´e (E-mode nebo Eg-mode), tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´e (TS-mode), tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´e (TE-mode) a vysokofrekvenˇcn´ı radi´aln´ı m´ody (A-mode) [33], [44].
Pomˇern´e tvary kmitu lze vypoˇc´ıtat analyticky s vyuˇzit´ım rovnic (3.73), (3.85) a (3.87) a zobrazit je pomoc´ı vhodnˇe zvolen´e s´ıtˇe bod˚u. Pˇri pouˇzit´e aproximaci je tvar kmitu sloˇzen z pˇr´ıspˇevk˚u sloˇzek posunut´ı u(0)r , u(1)3 a u(2)r , jak je schematicky uvedeno na obr. 4.7. ˇSedou barvou je vykreslen nedeformovan´y tvar, modrou barvou pak maxim´aln´ı posunut´ı v´ypoˇctov´ych bod˚u pˇri rezonanˇcn´ı frekvenci.
Na obr. 4.8 jsou zn´azornˇeny pˇr´ıklady jednotliv´ych typ˚u vlastn´ıch tvar˚u vypoˇcten´e pro kruhov´y disk z NCE51 s pomˇerem rozmˇer˚u α = 13. Zobrazena je polovina pr˚uˇrezu rezon´atoru, kde na lev´e stranˇe obr´azku je osa symetrie a na prav´e stranˇe je voln´y okraj.
Skupiny mod´aln´ıch tvar˚u maj´ı n´asleduj´ıc´ı typick´e vlastnosti:
a) Radi´aln´ı m´ody (obr. 4.8a) se vyznaˇcuj´ı velk´ym posunut´ım v radi´aln´ım smˇeru spojen´em s pˇr´ıˇcnou deformac´ı ve smˇeru tlouˇst’ky. Stˇredn´ı hodnota maxim´aln´ıho (mi-nim´aln´ıho) posunut´ı povrchu v tlouˇst’kov´em smˇeru je nulov´a a leˇz´ı v rovinˇe nedefor-movan´eho tvaru. Poˇcet uzlov´ych kruˇznic na povrchu rezon´atoru odpov´ıd´a ˇc´ıseln´emu n´asobku z´akladn´ıho radi´aln´ıho m´odu.
b) Hranov´e (edge) m´ody(obr. 4.8b) jsou charakterizov´any velkou axi´aln´ı v´ychylkou na okraji disku. Vznikaj´ı vazbou deskov´ych m´od˚u typu E, kter´e maj´ı re´aln´a vlnov´a ˇc´ısla, s vyˇsˇs´ımi m´ody TSt a sTSh, kter´e maj´ı v dan´e frekvenˇcn´ı oblasti komplexn´ı vlnov´a ˇc´ısla. Vlivem komplexn´ıho charakteru vlnov´ych ˇc´ısel se vyˇsˇs´ı m´ody po odrazu na voln´em okraji disku postupnˇe utlum´ı a jejich pˇr´ıspˇevek ke tvaru kmitu smˇerem ke stˇredu rezon´atoru kles´a [30].
c) Tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´e m´ody(obr. 4.8c) vznikaj´ı vlivem vazby deskov´ych m´od˚u typu E a sTSh v okol´ı pomˇern´e mezn´ı frekvence ΩsTSh= 2. Vyznaˇcuj´ı se velkou radi´aln´ı de-formac´ı uvnitˇr disku odpov´ıdaj´ıc´ı tvaru prost´eho m´odu sTSh nekoneˇcn´e desky. Smˇerem k okraji disku se radi´aln´ı posunut´ı postupnˇe zmenˇsuje.
d) Vysokofrekvenˇcn´ı radi´aln´ı m´ody(obr. 4.8d) maj´ı podobn´y charakter kmitu jako radi´aln´ı m´ody na obr. 4.8a. Tvar kmitu je ovlivnˇen vazbou vyˇsˇs´ıch n´asobk˚u radi´aln´ıch m´od˚u s vysokofrekvenˇcn´ımi m´ody typu TSt a sTSh. Radi´aln´ı posunut´ı na okraj´ıch disku je mal´e.
e) Tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´e m´ody (obr. 4.8e) se vyskytuj´ı v bl´ızkosti pomˇern´e mezn´ı frekvence ΩTSt. Ve tvaru kmitu pˇrevaˇzuj´ı v´ychylky ve smˇeru tlouˇst’ky s maximem na ose symetrie disku. Tlouˇst’kov´e posunut´ı m´a podobn´y charakter jako radi´aln´ı m´ody s t´ım rozd´ılem, ˇze stˇredn´ı hodnota maxim´aln´ı (minim´aln´ı) v´ychylky je posunuta vzhledem k rovinˇe nedeformovan´eho tvaru.
Z´ˇadn´a z uveden´ych skupin m´od˚u nem´a jednoduch´y tvar s rovnomˇern´ym rozloˇzen´ım v´ychylky, odpov´ıdaj´ıc´ı pˇredpoklad˚um jednorozmˇern´ych model˚u pro prost´e m´ody kmitu (viz obr. 1.2).
=
u(0)r
+
u(1)3
+
u(2)r
Obr. 4.7: Pˇr´ıspˇevek d´ılˇc´ıch sloˇzek posunut´ı k celkov´emu tvaru kmitu. Pˇr´ıklad pro kru-hov´y rezon´ator z NCE40 s pomˇerem rozmˇer˚u α = 2,43 a Ω = 1,6347
a) radi´aln´ı m´od (m´od ˇc. 4, Ω = 0,9805)
b) hranov´y m´od (m´od ˇc. 8, Ω = 1,5703)
c) symetrick´y tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´y m´od (m´od ˇc. 13, Ω = 1,9931)
d) vysokofrekvenˇcn´ı radi´aln´ı m´od (m´od ˇc. 18, Ω = 2,2421)
e) tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´y m´od (m´od ˇc. 22, Ω = 2,5342)
Obr. 4.8: Z´akladn´ı skupiny m´od˚u kruhov´ych rezon´ator˚u a jejich charakteristick´e tvary kmitu. Vypoˇcteno pro kruhov´y rezon´ator z NCE51 s pomˇerem α = 13, zob-razena je polovina pr˚uˇrezu rezon´atoru
Obr. 4.9: Porovn´an´ı tvaru kmitu hranov´eho m´odu rezon´atoru s pomˇerem α = 13.
Nahoˇre: NCE51 (m´od ˇc. 8, Ω = 1,5703), dole: BaTiO3(m´od ˇc. 8, Ω = 1,5038).
Zobrazena je polovina pr˚uˇrezu rezon´atoru
Kapitola 5
Vybran´ e probl´ emy
spektr´ aln´ıch vlastnost´ı
Kruhov´e rezon´atory z piezoelektrick´e keramiky nach´azej´ı uplatnˇen´ı v r˚uzn´ych obo-rech vˇedy a techniky. Kaˇzd´a z aplikac´ı klade specifick´e poˇzadavky na proveden´ı re-zon´atoru, kter´e zpravidla pˇr´ımo souvisej´ı s jeho spektr´aln´ımi vlastnostmi.
Prvky v oscilaˇcn´ıch a filtraˇcn´ıch elektrick´ych obvodech vyˇzaduj´ı stabilitu rezonanˇcn´ı frekvence a optim´aln´ı ˇs´ıˇrku p´asma s minim´aln´ım ovlivnˇen´ım impedanˇcn´ıho spektra pa-razitn´ımi m´ody.
V akustick´ych pˇrevodn´ıc´ıch je poˇzadov´ana vysok´a ´uˇcinnost pˇrenosu pod´eln´eho akus-tick´eho vlnˇen´ı do okoln´ıho prostˇred´ı. Pˇrenos je nej´uˇcinnˇejˇs´ı pˇri rovnomˇern´em pohybu koncov´ych ploch rezon´atoru. U vysokofrekvenˇcn´ıch m´od˚u povrch kruhov´eho rezon´atoru nekmit´a rovnomˇernˇe, a proto je nutn´e zn´at rozloˇzen´ı rychlostn´ıho pole pro stanoven´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky a smˇerovosti akustick´eho z´aˇren´ı.
Zvl´aˇstn´ı oblast´ı je mˇeˇren´ı materi´alov´ych vlastnost´ı piezoelektrick´e keramiky re-zonanˇcn´ı metodou. Vyuˇz´ıvaj´ı se kruhov´e rezon´atory s vhodn´ym pomˇerem rozmˇer˚u, kter´e pˇribliˇznˇe splˇnuj´ı podm´ınku jednoos´e nebo rovinn´e napjatosti. Dalˇs´ı podm´ınkou je potlaˇcen´ı vlivu parazitn´ıch m´od˚u na frekvenˇcn´ı spektrum impedance u vysokofrekven-ˇ
cn´ıch kmit˚u.
Z´asadn´ım krokem pˇri n´avrhu rezon´atoru je volba vhodn´ych rozmˇer˚u piezoelek-trick´eho v´ybrusu, kter´y je z´akladn´ım v´yrobn´ım polotovarem a definuje v´ychoz´ı spektr´ al-n´ı vlastnosti. V nˇekter´ych aplikac´ıch je jeden z rozmˇer˚u rezon´ator˚u pevnˇe urˇcen, a pak je nutn´e optimalizovat ostatn´ı parametry pro dosaˇzen´ı poˇzadovan´ych vlastnost´ı. Vzhle-dem k rozmanit´emu sloˇzen´ı piezoelektrick´ych keramik lze ˇradu poˇzadavk˚u splnit tak´e vhodnou volbou materi´alu. D´ılˇc´ı materi´alov´e parametry mohou m´ıt r˚uzn´y vliv na dy-namick´e chov´an´ı rezon´atoru. Vysok´y plan´arn´ı koeficient kpukazuje na efektivn´ı buzen´ı radi´aln´ıch kmit˚u, tyto m´ody vˇsak mohou vlivem elastick´e vazby nepˇr´ıznivˇe ovlivnit chov´an´ı v oblasti tlouˇst’kov´ych kmit˚u.
V bˇeˇzn´e praxi se vych´az´ı ze zjednoduˇsen´ych n´avrhov´ych vztah˚u odvozen´ych za pˇredpokladu prost´ych m´od˚u kmitu. Jak jsme uk´azali v pˇredchoz´ıch kapitol´ach, plat´ı
tyto vztahy pouze v omezen´em rozsahu rozmˇer˚u a frekvenc´ı. Poˇzadavky na pˇresnost n´avrhu tak vedou k pouˇzit´ı pokroˇcil´ych analytick´ych model˚u nebo numerick´ych v´ypoˇct˚u pomoc´ı metody koneˇcn´ych prvk˚u.
Pro spolehlivou aplikaci piezoelektrick´ych rezon´ator˚u je d˚uleˇzit´a znalost jejich ´ upl-n´ych spektr´aln´ıch vlastnost´ı. V dalˇs´ım textu se zamˇeˇr´ıme na nˇekter´e probl´emy souvi-sej´ıc´ı s touto oblast´ı.
5.1 Z´ akladn´ı m´ od kmitu
Z´akladn´ımu m´odu kmitu odpov´ıd´a nejniˇzˇs´ı frekvenˇcn´ı kˇrivka ´upln´eho frekvenˇcn´ıho spektra. Jak je zˇrejm´e napˇr. z obr. 4.1, mˇen´ı se postupnˇe s rostouc´ım pomˇerem α stav napjatosti v rezon´atoru z jednoos´e na rovinnou napjatost a charakter m´odu pˇrech´az´ı od prost´eho pod´eln´eho kmitu tyˇce L1 do prost´eho radi´aln´ıho kmitu kruhov´e desky R1.
Vedle ˇrady dalˇs´ıch aplikac´ı se z´akladn´ı m´od kmitu pouˇz´ıv´a pro stanoven´ı materi´ alo-v´ych konstant piezoelektrick´e keramiky rezonanˇcn´ı metodou. U pod´eln´eho m´odu tyˇce L1 se mˇeˇren´ım rezonanˇcn´ıho a antirezonanˇcn´ıho kmitoˇctu stanovuj´ı pˇr´ımo konstanty k33, sD33 a sE33, u radi´aln´ıho m´odu disku R1 jsou to kp, σ12E, sE11 a sE12 [8].
Podm´ınkou pro stanoven´ı materi´alov´ych konstant je takov´y tvar vzorku, jehoˇz stav napjatosti je bl´ızk´y nˇekter´emu z mezn´ıch geometrick´ych proveden´ı. Mezin´arodn´ı normy [12], [13] pˇredepisuj´ı doporuˇcen´e rozmˇery pro tyˇce α < 0,3 a pro kruhov´e desky α > 10.
Anal´yza mezn´ıch pomˇer˚u α pro tyˇce je provedena napˇr´ıklad v [68] a pro kruhov´e desky napˇr´ıklad v [70].
Vliv rozmˇer˚u na stav napjatosti v rezon´atoru lze studovat pomoc´ı vlastn´ıch tvar˚u z´akladn´ıho m´odu. Na obr. 5.1 je zn´azornˇena z´avislost pomˇern´ych amplitud m´od˚u u(0)r , u(1)3 a u(2)r (viz obr. 3.7) na pomˇeru rozmˇer˚u α. Pomˇern´e amplitudy byly vypoˇcteny pomoc´ı vztah˚u (3.85b) a (3.87) jako pod´ıl maxim v´ychylek jednotliv´ych m´od˚u k maximu v´ychylky m´odu s nejvˇetˇs´ı amplitudou. Jedn´a se tedy o relativn´ı zastoupen´ı maxim´aln´ıch mod´aln´ıch v´ychylek pˇri dan´em α.
Pro srovn´an´ı je ve spodn´ı ˇc´asti diagramu na obr. 5.1 zobrazena z´avislost pomˇern´e rezonanˇcn´ı frekvence Ω na pomˇeru α s limitn´ımi frekvenˇcn´ımi kˇrivkami m´od˚u L1 a R1.
Hodnoty pomˇern´ych amplitud u(0)r , u(1)3 a u(2)r pro vybran´e pomˇery rozmˇer˚u α jsou uvedeny v tab. 5.1 a jejich odpov´ıdaj´ıc´ı tvary kmitu jsou zn´azornˇeny na obr. 5.2.
α [1] 0,3 1 1,93 5 10
u(0)r [1] 0,10 0,37 1,00 1,00 1,00
u(1)3 [1] 1,00 1,00 1,00 0,27 0,13
u(2)r [1] 0,05 0,17 0,19 0,02 0,01
Tab. 5.1: Pomˇern´e amplitudy sloˇzek posunut´ı u(0)r , u(1)3 , u(2)r pˇri r˚uzn´em pomˇeru rozmˇer˚u α. Vypoˇcteno pro kruhov´y rezon´ator z BaTiO3
V diagramu na obr. 5.1 m˚uˇzeme sledovat d´ılˇc´ı pˇr´ıspˇevky jednotliv´ych m´od˚u na cel-kovou deformaci rezon´atoru, kter´e vlivem elastick´e vazby urˇcuj´ı v´ysledn´y tvar kmitu.
V nejniˇzˇs´ı frekvenˇcn´ı oblasti je zastoupen´ı sloˇzky u(2)r mal´e a v posunut´ı pˇrevl´ad´a radi´aln´ı m´od u(0)r nebo axi´aln´ı m´od u(1)3 .
U tenk´ych tyˇc´ı s rozmˇerem α < 0,3 pˇrevaˇzuje pod´eln´e kmit´an´ı u(1)3 . Pˇri mezn´ım pomˇeru α = 0,3 m´a pˇr´ıˇcn´y m´od u(0)r pˇribliˇznˇe desetinovou amplitudu.
Tenk´e desky s rozmˇerem α > 10 maj´ı analogick´y charakter deformace a v posunut´ı pˇrevaˇzuje radi´aln´ı kmit´an´ı u(0)r . Pˇri mezn´ım pomˇeru α = 10 m´a pˇr´ıˇcn´y m´od u(1)3 tak´e pˇribliˇznˇe desetinovou amplitudu.
V rozmez´ı 0,3 < α < 10 se projevuje vazba radi´aln´ıho a axi´aln´ıho m´odu kmitu.
V uveden´em pˇr´ıkladˇe BaTiO3 je vazba nejvˇetˇs´ı pˇri pomˇeru rozmˇer˚u bl´ızk´em α = 1,93;
kdy maj´ı m´ody u(0)r a u(1)3 stejnou relativn´ı amplitudu.5V t´eto oblasti je stav napjatosti vzd´alen´y od jednoos´e nebo rovinn´e napjatosti, jak je tak´e zˇrejm´e z odpov´ıdaj´ıc´ıho tvaru kmitu na obr. 5.2c.
Podobn´a anal´yza v´azan´ych tvar˚u kmitu z´akladn´ıho m´odu je provedena tak´e v [52].
Pouˇzit je model se dvˇema stupni volnosti pro radi´aln´ı a axi´aln´ı kmity, vliv m´odu u(2)r
na tvar kmitu je zanedb´an.
X
ʨ DE
ʠ
ʨ DE /
5
Obr. 5.1: Z´avislost mod´aln´ıch parametr˚u z´akladn´ıho m´odu kruhov´eho rezon´atoru na pomˇeru rozmˇer˚u α. Vypoˇcteno pro kruhov´y rezon´ator z BaTiO3.
Nahoˇre: Pomˇern´e amplitudy sloˇzek posunut´ı u(0)r (ˇcern´a), u(1)3 (ˇcerven´a) a u(2)r
(modr´a). Dole: Pomˇern´a rezonanˇcn´ı frekvence Ω (ˇcern´a), frekvenˇcn´ı kˇrivky pod´eln´eho m´odu tyˇce L1 a radi´aln´ıho m´odu disku R1 (modr´a)
5Pro keramiku NCE40 je tento pomˇer pˇribliˇznˇeα = 2,41; pro keramiku NCE51 pˇribliˇznˇe α = 2,45.
a) α = 0,3
b) α = 1
c) α = 1,93
d) α = 5
e) α = 10
Obr. 5.2: Tvary kmitu z´akladn´ıho m´odu kruhov´eho rezon´ator˚u s r˚uzn´ym pomˇerem roz-mˇer˚u α. Vypoˇcteno pro kruhov´y rezon´ator z BaTiO3