Oproti monokrystalick´ym rezon´ator˚um [6] je studiu frekvenˇcn´ıho spektra rezon´ator˚u z piezoelektrick´e keramiky vˇenov´ana v odborn´e literatuˇre menˇs´ı pozornost.
V klasick´ych publikac´ıch o piezoelektˇrinˇe [3], [17], [18], [19], u n´as napˇr´ıklad [20], je kmit´an´ı rezon´ator˚u modelov´ano pomoc´ı jednoduch´ych vlnov´ych rovnic odvozen´ych za pˇredpokladu zjednoduˇsen´eho stavu napjatosti a rozloˇzen´ı elektrick´eho pole. Na jejich z´akladˇe jsou odvozeny analytick´e elektrick´e n´ahradn´ı obvody se soustˇredˇen´ymi nebo roz-prostˇren´ymi parametry [21]. Vztahy pro r˚uzn´a proveden´ı piezokeramick´ych rezon´ator˚u jsou souhrnnˇe uvedeny v [22] a novˇe vˇcetnˇe ´upln´eho odvozen´ı v [8]. Z jednoduch´ych jed-norozmˇern´ych model˚u vypl´yvaj´ı vztahy pro rezonanˇcn´ı frekvence, frekvenˇcn´ı konstanty, koeficienty elektromechanick´e vazby apod. bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´e v technick´e praxi.
Prvn´ı pr´ace, vˇenuj´ıc´ı se studiu v´azan´ych kmit˚u kruhov´ych rezon´ator˚u s plnou elek-trodou a vlivu rozmˇer˚u na jejich frekvenˇcn´ı spektrum, vznikaly z praktick´ych potˇreb pouˇzit´ı piezokeramick´ych rezon´ator˚u v optick´ych syst´emech.
Shaw [23] provedl podrobn´a mˇeˇren´ı rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı, norm´alov´ych tvar˚u kmitu a koeficient˚u elektromechanick´e vazby tlust´ych disk˚u z BaTiO3 s pomˇerem rozmˇer˚u α v rozmez´ı 1,14 aˇz 6,63. Ve sv´e pr´aci popsal nˇekolik charakteristick´ych vlastnost´ı kru-hov´ych rezon´ator˚u. V homogennˇe polarizovan´em pˇresnˇe kruhov´em disku existuj´ı pouze m´ody, kter´e jsou symetrick´e vzhledem k ose a ke stˇredn´ı rovinˇe disku. Vysokofrekvenˇcn´ı tlouˇst’kov´e kmity maj´ı sloˇzit´e rozloˇzen´ı norm´alov´ych v´ychylek, vzd´alen´e od rovnomˇern´e planparaleln´ı deformace. Vedle radi´aln´ıch a tlouˇst’kov´ych m´od˚u jako prvn´ı ve spek-tru identifikoval tzv. hranov´e (edge) m´ody, vyznaˇcuj´ıc´ı se nejvˇetˇs´ı v´ychylkou na okraji (hranˇe) disku, jejichˇz frekvence pˇr´ıliˇs nez´avis´ı na pomˇeru rozmˇer˚u α.
Souˇcasnˇe se Shawem studoval Aggarwal [24] aˇz [27] analytick´y popis kmit˚u ohraniˇ ce-n´ych izotropn´ıch kruhov´ych desek, kter´y porovn´aval s namˇeˇren´ymi hodnotami. Pˇri ˇreˇsen´ı pouˇzil tˇr´ırozmˇern´e pohybov´e rovnice s pˇresn´ymi okrajov´ymi podm´ınkami na hlavn´ıch ploch´ach a pˇribliˇzn´ymi na okraj´ıch disku. Pro urˇcit´a frekvenˇcn´ı p´asma identi-fikoval imagin´arn´ı koˇreny vlnov´ych rovnic.
Midlin a jeho spolupracovn´ıci odvodili aproximaˇcn´ı rovnice vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u pro roztaˇzn´e kmity izotropn´ıch elastick´ych desek [28], [29] a aplikovali je na anal´yzu frekvenˇcn´ıho spektra kruhov´ych disk˚u [30]. Z teoretick´eho rozboru vypl´yv´a z´avislost charakteru spektra na pomˇeru mezn´ıch frekvenc´ı tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´eho m´odu a symetrick´eho tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´eho m´odu druh´eho ˇr´adu. U izotropn´ıch materi´al˚u je tento pomˇer ´umˇern´y velikosti Poissonova ˇc´ısla s limitn´ı hodnotou σE= 1/3. D´ale byla teoreticky objasnˇena pˇr´ıˇcina vzniku hranov´ych m´odu v urˇcit´em frekvenˇcn´ım p´asmu. Vypoˇcten´e rezonanˇcn´ı frekvence disk˚u z BaTiO3se velmi dobˇre shoduj´ı s pˇredchoz´ım mˇeˇren´ım [23]. Ve stejn´em obdob´ı byla odvozena tak´e teorie vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u pro vysokofrekvenˇcn´ı roztaˇzn´e kmity kru-hov´ych tyˇc´ı [31], [32].
V pr´aci [33] je provedena detailn´ı anal´yza frekvenˇcn´ıho spektra disk˚u z keramiky PbTiO3 se stˇredn´ım Poissonov´ym ˇc´ıslem σE = 0,18. Podrobnˇe byly namˇeˇreny rezo-nanˇcn´ı frekvence m´od˚u v ˇsirok´em okol´ı tlouˇst’kov´e rezonanˇcn´ı frekvence pro rozsah rozmˇer˚u α od 5 do 30. Namˇeˇren´e hodnoty jsou porovn´any s teoretick´ymi frekvencemi vypoˇcten´ymi podle [30]. Ve spektru byly identifikov´any z´akladn´ı typy m´od˚u (radi´aln´ı, hranov´e, tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´e, tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´e a vysokofrekvenˇcn´ı radi´aln´ı).
Na tuto pr´aci nav´azala detailn´ı anal´yza spektra disk˚u z keramiky PbTiO3se stˇredn´ım Poissonov´ym ˇc´ıslem σE= 0,37 [34]. Teoretick´e spektrum v ˇsirok´em okol´ı tlouˇst’kov´e re-zonance vypoˇcten´e podle [30] je ovˇeˇreno mˇeˇren´ım rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı v rozmez´ı rozmˇer˚u α od 4,8 do 7,2. V´ysledky potvrzuj´ı odliˇsn´y tvar frekvenˇcn´ıch kˇrivek v po-rovn´an´ı s materi´aly se stˇredn´ım σE < 1/3 [29].
Citovan´e pˇr´ıspˇevky [30], [33] a [34] obsahuj´ı v´ychoz´ı informace o obecn´ych vlastnos-tech frekvenˇcn´ıho spektra keramick´ych disk˚u v rozsahu od nejniˇzˇs´ıch frekvenc´ı do okol´ı z´akladn´ı tlouˇst’kov´e rezonance.
Publikace [35] uv´ad´ı v´ysledky mˇeˇren´ı rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı a rozloˇzen´ı rychlosti kmit´an´ı na povrchu disk˚u z PZT keramiky v rozsahu rozmˇer˚u α mezi 2 a 12. Studov´ano je standarn´ı a fazetovan´e proveden´ı kruhov´ych rezon´ator˚u a uvedeny jsou z´akladn´ı rozd´ıly v jejich spektrech. Pr´ace navazuje na experiment´aln´ı v´ysledky [23].
Analytick´y popis kmit˚u pomoc´ı teori´ı vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u byl postupnˇe aplikov´an do oblasti piezoelektrick´ych desek. Dvourozmˇern´e aproximaˇcn´ı rovnice, odvozen´e na z´akladˇe teorie druh´eho ˇr´adu pomoc´ı rozvoje posunut´ı a potenci´alu do ˇrady harmonick´ych funkc´ı, jsou uvedeny v [36]. V porovn´an´ı s izotropn´ım modelem [30] vykazuj´ı v´yraznˇe menˇs´ı odchylky od namˇeˇren´ych rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı [23], a to zejm´ena v oblasti hranov´ych m´od˚u.
V´azan´e aproximaˇcn´ı rovnice [36] je moˇzn´e d´ale zjednoduˇsit pro popis kmit˚u v b´ızk´em okol´ı tlouˇst’kov´e rezonance [37]. Rozˇs´ıˇren´ı p˚uvodn´ı rovnic popisuj´ıc´ıch elastick´e kmit´an´ı izotropn´ıch desek [29] a tyˇc´ı [31] do oblasti piezoelektrick´ych kmit˚u keramick´ych re-zon´ator˚u s axi´aln´ı polarizac´ı je provedeno v pˇr´ıspˇevc´ıch [38] a [39].
Dalˇs´ım zp˚usobem ˇreˇsen´ı v´azan´ych kmit˚u rezon´atoru je pouˇzit´ı numerick´ych metod.
Eer Nisse [40] aplikoval variaˇcn´ı metodu v´ypoˇctu uvaˇzuj´ıc´ı piezoelektrick´e vlastnosti
keramiky a dos´ahl lepˇs´ı shody s mˇeˇren´ım [23] neˇz izotropn´ı model [30]. Po obecn´em definov´an´ı koneˇcn´eho prvku pro piezoelektrick´e materi´aly [41] se ve vˇetˇs´ı m´ıˇre zaˇcala pro studium spekter piezoelektrick´ych rezon´ator˚u pouˇz´ıvat metoda koneˇcn´ych prvk˚u.
Kunkel [42] provedl spektr´aln´ı anal´yzu kmit˚u tyˇc´ı a tlust´ych disk˚u s rozmˇery α od 0,2 do 10 pomoc´ı metody koneˇcn´ych prvk˚u. Pouˇzit´ım vhodn´ych okrajov´ych podm´ınek jsou vypoˇcteny rezonanˇcn´ı a antirezonanˇcn´ı frekvence jednotliv´ych m´od˚u a posouzeny jejich efektivn´ı koeficienty elektromechanick´e vazby. Rozloˇzen´ı posunut´ı a vazba r˚uzn´ych m´od˚u jsou analyzov´any pomoc´ı vypoˇcten´ych mod´aln´ıch tvar˚u. V publikaci je poprv´e uvedena v´ypoˇcetn´ı anal´yza antirezonanˇcn´ıch frekvenc´ı a koeficient˚u elektromechanick´e vazby.
Analytick´y model umoˇzˇnuj´ıc´ı obdobn´y rozbor spektra kmit˚u dosud nebyl publikov´an.
Podobn´e studium frekvenˇcn´ıho spektra, vlastn´ıch tvar˚u a elektrick´e impedance po-moc´ı metody koneˇcn´ych prvk˚u a mod´aln´ıho rozkladu je uvedeno v [43] a [44]. Pro popis elektromechanick´e vazby se jako vhodnˇejˇs´ı mˇeˇr´ıtko ukazuj´ı hodnoty mod´aln´ıch konstant.
V oblastech s vysokou hustotou m´od˚u je zpravidla obt´ıˇzn´e identifikovat odpov´ıdaj´ıc´ı si dvojice rezonanˇcn´ı a antirezonanˇcn´ı frekvence a stanovit koeficient elektromechanick´e vazby.
Vedle studia frekvenˇcn´ıho spektra se obecn´emu popisu kmit˚u kruhov´ych piezokera-mick´ych rezon´ator˚u vˇenuje ˇrada dalˇs´ıch publikac´ı.
Pˇr´ıspˇevky [45], [46] se zab´yvaj´ı tlouˇst’kov´ymi kmity piezokeramick´ych disk˚u s ne´ upl-nou elektrodou. Studov´ana je problematika zachycen´ı kmit˚u (energy trapping) v oblasti pod kovovou elektrodou zp˚usoben´eho rozd´ıln´ym charakterem vlnov´ych ˇc´ısel v pokoven´e a nepokoven´e ˇc´asti disku. Vliv ne´upln´e elektrody na rezonanˇcn´ı frekvence radi´aln´ıch m´od˚u je analyzov´an v monografii [47].
V publikaci [48] jsou odvozeny analytick´e vztahy pro prost´e radi´aln´ı, ohybov´e a teˇcn´e kmity keramick´ych disk˚u. Z tˇechto m´od˚u se s elektrick´ym polem v´aˇz´ı pouze radi´aln´ı kmity. Vypoˇcten´e rezonanˇcn´ı frekvence jsou porovn´any s v´ysledky numerick´e anal´yzy pomoc´ı metody koneˇcn´ych prvk˚u, s mˇeˇren´ım impedance a mˇeˇren´ım tvar˚u kmitu pomoc´ı interferometru. Podrobn´a anal´yza ohybov´ych kmit˚u pro r˚uzn´e okrajov´e podm´ınky na obvodu disku je uvedena v [49].
Onoe [50] odvodil jednoduch´y analytick´y model se dvˇema stupni volnosti pro v´azan´e radi´aln´ı a tlouˇst’kov´e kmity keramick´ych disk˚u. Stefan [51] tyto rovnice pouˇzil pro v´ypoˇcet rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı tˇr´ı nejniˇzˇs´ıch m´od˚u kruhov´ych rezon´ator˚u s r˚uzn´ym pomˇerem α a ´uspˇeˇsnˇe jej ovˇeˇril mˇeˇren´ım. Aronov [52] odvodil podobn´y model pomoc´ı energetick´e metody a studoval z´avislost rezonanˇcn´ı frekvence, efektivn´ıho koeficientu elektromechanick´e vazby a tvaru kmitu kruhov´ych desek na pomˇeru α.
Anal´yze kmit˚u kruhov´ych rezon´ator˚u pomoc´ı modelu s nˇekolika stupni volnosti se vˇenuje tak´e Lin [53], [54], kter´y pouˇzil v´azan´e pohybov´e rovnice k odvozen´ı analytick´ych vztah˚u pro admitanci a elektromechanick´y n´ahradn´ı obvod s rozprostˇren´ymi parametry.
Kapitola 2
Reˇsen´ı kmit˚ ˇ u kruhov´ ych rezon´ ator˚ u
2.1 Elektroelastick´ e vlnˇ en´ı v piezoelektrick´ ych rezon´ atorech
Pojem piezoelektrick´y rezon´ator oznaˇcuje v´ybrus z piezoelektricky aktivn´ıho ma-teri´alu, kter´y je na vhodn´ych ploch´ach opatˇren soustavou elektrod a kmit´a nˇekter´ym vlastn´ım m´odem kmitu. Mechanick´e kmit´an´ı vznik´a d˚usledkem pˇrevr´acen´eho piezo-elektrick´eho jevu po pˇriloˇzen´ı harmonick´eho elektrick´eho pole na elektrody v´ybrusu.
Amplituda kmit˚u je nejvˇetˇs´ı v pˇr´ıpadˇe, kdy je budic´ı frekvence bl´ızk´a nˇekter´e vlastn´ı frekvenci rezon´atoru.
Podstatou ˇcinnosti piezoelektrick´eho rezon´atoru je ˇs´ıˇren´ı elektroelastick´eho vlnˇen´ı uvnitˇr prostorovˇe ohraniˇcen´eho prostˇred´ı [55], [56]. Znalost t´eto problematiky je potˇreb-n´a pro vysvˇetlen´ı sloˇzit´eho spektra kmit˚u rezon´atoru a pochopen´ı nˇekter´ych ´uskal´ı spo-jen´ych s jeho n´avrhem a pouˇzit´ım.
V neohraniˇcen´em prostˇred´ı se ˇs´ıˇr´ı elektroelastick´e vlnˇen´ı sloˇzen´e ze tˇr´ı rovinn´ych elastick´ych vln, jejichˇz polarizace (smˇery posunut´ı ˇc´astic) jsou navz´ajem kolm´e. Polari-zace vln obecnˇe nejsou rovnobˇeˇzn´e nebo kolm´e na smˇer ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı. Vlna s polarizac´ı nejbliˇzˇs´ı smˇeru ˇs´ıˇren´ı se naz´yv´a kvazipod´eln´a, ostatn´ı jsou kvazipˇr´ıˇcn´e. Postupuj´ıc´ı elek-trick´e pole m´a povahu pod´eln´e vlny, jej´ıˇz vlnoplochy jsou ekvipotenci´alami a kter´a tvoˇr´ı ˇ
ctvrtou sloˇzku postupuj´ıc´ıho vlnˇen´ı.
Vlny postupuj´ı se stejnou frekvenc´ı jedn´ım smˇerem s obecnˇe r˚uzn´ymi rychlostmi, kter´e z´avis´ı tak´e na smˇeru ˇs´ıˇren´ı. Mezi frekvenc´ı f a kruhovou frekvenc´ı vlnˇen´ı ω, vlnov´ym ˇc´ıslem ξ, vlnovou d´elkou λ a (akustickou) rychlost´ı vlny va plat´ı vztah
ω = 2πf = ξ va, ξ = 2π
λ . (2.1)
Neohraniˇcen´e prostˇred´ı je nedisperzn´ı a akustick´e rychlosti vajsou konstantn´ı, nez´avisl´e
na velikosti vlnov´ych ˇc´ısel ξ.1
Piezoelektrick´e rezon´atory jsou prostorovˇe ohraniˇcen´a tˇelesa koneˇcn´ych rozmˇer˚u.
Obvykle maj´ı pravideln´y tvar tvoˇren´y jednou nebo nˇekolika dvojicemi planparaleln´ıch ploch. Pˇri popisu vlastn´ıch kmit˚u nahrazujeme rezon´ator modelem ohraniˇcen´e rovinn´e desky. V n´asleduj´ıc´ım textu budeme uvaˇzovat desku o tlouˇst’ce 2b s norm´alovou osou x3 a stˇredn´ı rovinou x1, x2 (obr. 2.1).
Obr. 2.1: Model rovinn´e ohraniˇcen´e desky um´ıstˇen´y v souˇradn´em syst´emu
V nekoneˇcnˇe rozlehl´e desce se elektroelastick´e vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ı ve smˇeru kolm´em na osu x3 stˇr´ıdav´ym odr´aˇzen´ım od hraniˇcn´ıch rovin x3=±b. Sloˇzky postupuj´ıc´ıho vlnˇen´ı (jednot-liv´e vlny) naz´yv´ame m´ody (m´ody kmitu, kmity) nekoneˇcnˇe rozlehl´e desky. Rovinn´a vlna dopadaj´ıc´ı na hranice desky m˚uˇze obecnˇe vyvolat tˇri odraˇzen´e vlny s odliˇsnou polari-zac´ı (jednu kvazipod´elnou a dvˇe kvazipˇr´ıˇcn´e) se stejnou frekvenc´ı. Pokud tento pˇr´ıpad nast´av´a, neˇs´ıˇr´ı se jednotliv´e vlny deskou nez´avisle, ale jsou v´azan´e prostˇrednictv´ım okrajov´ych podm´ınek na rozhran´ı.
Prostor omezen´y dvˇema hraniˇcn´ımi rovinami se chov´a jako vlnovod, ve kter´em doch´az´ı k disperzi vlnˇen´ı. Plat´ı obecn´y vztah mezi frekvenc´ı a vlnov´ym ˇc´ıslem (2.1), ve kter´em ξ a va oznaˇcuj´ı vlnov´e ˇc´ıslo a akustickou rychlost ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı deskou (tj. kolmo na osu x3). Akustick´e rychlosti jiˇz nejsou konstantn´ı, ale z´avis´ı geome-trii prostˇred´ı a ˇs´ıˇr´ıc´ıho se vlnˇen´ı. Sloˇzit´a z´avislost mezi akustickou rychlost´ı a vlnov´ym ˇc´ıslem (pˇr´ıpadnˇe frekvenc´ı a vlnov´ym ˇc´ıslem) se vyjadˇruje graficky ve formˇe spektra disperzn´ıch kˇrivek (viz obr. 4.2 nebo 4.3). Kaˇzd´y m´od kmitu m´a svou vlastn´ı z´avislost akustick´e rychlosti a vlnov´eho ˇc´ısla, kter´e odpov´ıd´a jedna disperzn´ı kˇrivka.
Z disperzn´ıho charakteru vlnˇen´ı v desce vypl´yv´a nˇekolik v´yznamn´ych skuteˇcnost´ı [57]. V nekoneˇcnˇe rozlehl´e desce m˚uˇze existovat nekoneˇcn´e mnoˇzstv´ı m´od˚u s r˚uznou frekvenc´ı, jejichˇz vlnov´e d´elky jsou v urˇcit´em pomˇeru k tlouˇst’ce desky 2b. V z´avislosti na frekvenci vlnˇen´ı mohou b´yt vlnov´a ˇc´ısla re´aln´a (ˇs´ıˇr´ıc´ı se vlna), ryze imagin´arn´ı (neˇs´ıˇr´ıc´ı se vlna) nebo komplexn´ı (tlumen´a vlna). Vyˇsˇs´ı m´ody kmit˚u se zaˇc´ınaj´ı deskou ˇs´ıˇrit aˇz po pˇrekroˇcen´ı sv´e mezn´ı frekvence (cut-off frequency), takˇze pˇri jedn´e frekvenci m˚uˇze deskou postupovat pouze koneˇcn´y poˇcet m´od˚u.
Pokud studujeme kmit´an´ı rezon´atoru v urˇcit´em rozsahu frekvenc´ı, staˇc´ı n´am pro jeho popis uvaˇzovat kombinaci pouze nˇekolika nejniˇzˇs´ıch m´od˚u kmitu, kter´e nejv´ıce ovlivˇnuj´ı charakter vlnˇen´ı. Kaˇzd´y z tˇechto m´od˚u vych´az´ı z odpov´ıdaj´ıc´ıho prost´eho
1Pro pˇrehlednost budeme v jednorozmˇern´ych vlnov´ych rovnic´ıch pouˇz´ıvat pro oznaˇcen´ı vlnov´eho ˇc´ısla symbolη.
tlouˇst’kov´eho m´odu nekoneˇcn´e desky, coˇz je limitn´ı pˇr´ıpad stojat´eho vlnˇen´ı ve smˇeru tlouˇst’ky desky s vlnov´ym ˇc´ıslem ξ = 0. Prost´y tlouˇst’kov´y m´od charakterizuje rozloˇzen´ı posunut´ı a napjatosti v rezon´atoru a jeho vlastn´ı frekvence odpov´ıd´a mezn´ı frekvenci dan´eho m´odu.
Kruhov´e rezon´atory z piezoelektrick´e keramiky se v bˇeˇzn´ych aplikac´ıch pouˇz´ıvaj´ı do frekvenc´ı bl´ızk´ych z´akladn´ı tlouˇst’kov´e rezonanci. V tomto frekvenˇcn´ım rozsahu je vlnˇen´ı v rezon´atoru sloˇzeno z pˇr´ıspˇevk˚u tˇr´ı m´od˚u odpov´ıdaj´ıc´ıch nejniˇzˇs´ım symetrick´ym prost´ym tlouˇst’kov´ym m´od˚um desky [29]. Jsou to roztaˇzn´y m´od 0. ˇr´adu E (extensional ), tlouˇst’kovˇe rozp´ınav´y m´od 1. ˇr´adu TSt (thickness-stretch) a tlouˇst’kovˇe stˇriˇzn´y m´od 2. ˇr´adu sTSh (second-order symmetric thickness-shear ). Rozloˇzen´ı mod´aln´ıch posunut´ı pˇres tlouˇst’ku desky je harmonickou funkc´ı souˇradnice x3 a schematicky je zn´azornˇeno na obr. 2.2.
Obr. 2.2: Nejniˇzˇs´ı symetrick´e prost´e tlouˇst’kov´e m´ody nekoneˇcn´e desky
U postupuj´ıc´ıho vlnˇen´ı (ξ = 0) se ve smˇeru kolm´em na osu x3 mod´aln´ı posunut´ı E, TSt a sTSh spojitˇe mˇen´ı. Zastoupen´ı tˇechto m´od˚u odpov´ıd´a experiment´aln´ımu po-znatku, ˇze elektricky vynucen´e kmity kruhov´ych rezon´ator˚u jsou symetrick´e vzhledem ke stˇredn´ı rovinˇe [23], i Aggarwalovˇe pozn´amce o potˇrebˇe tˇr´ı vlnov´ych ˇc´ısel k matema-tick´emu popisu tvar˚u kmitu [26]. Pouze tyto m´ody jsou v´az´any s elektrick´ym polem v rezon´atoru [36].
Mezn´ı frekvence prost´ych tlouˇst’kov´ych m´od˚u E, TSt a sTSh lze vypoˇc´ıtat ˇreˇsen´ım tˇr´ırozmˇern´ych rovnic piezoelektˇriny (viz kap. 2.3). Pˇri uvaˇzov´an´ı piezoelektrick´ych vlast-nost´ı keramiky a buzen´ı kmit˚u elektrick´ym polem, kter´e je pˇriloˇzeno na elektrody um´ıstˇen´e na ploch´ach x3=±b, z´ısk´ame vztahy pro mezn´ı frekvence
ωE= 0 , ωTSt= η
cD33
ρ , ωsTSh= π b
cE55
ρ , (2.2)
kde cD33 a cE55 jsou elastick´e moduly, ρ je hustota a vlnov´e ˇc´ıslo η je ˇreˇsen´ım rovnice (3.32). Nejniˇzˇs´ı roztaˇzn´y m´od E se deskou ˇs´ıˇr´ı jiˇz od nulov´e frekvence.
V ohraniˇcen´e desce vznikaj´ı pˇri odrazech vlnˇen´ı na okraj´ıch desky prostorov´e stojat´e vlny a pro kaˇzd´y m´od nekoneˇcn´e desky existuj´ı v ohraniˇcen´e desce tak´e jeho n´asobky (overtones).2 Vˇsechny kmity jsou vz´ajemnˇe v´az´any pˇri odrazech na rozhran´ıch a na-rozd´ıl od nekoneˇcn´e desky nemohou existovat nez´avisl´e m´ody. Protoˇze se m´ody vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u ˇs´ıˇr´ı deskou aˇz od urˇcit´e mezn´ı frekvence, jsou sice vysokofrekvenˇcn´ı kmity ovlivnˇeny
2Bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´y ˇcesk´y term´ınharmonick´e nen´ı pˇresn´y, protoˇze pomˇer frekvence vyˇsˇs´ıch n´asobk˚u k frekvenci z´akladn´ıho m´odu obvykle nen´ı cel´e ˇc´ıslo.
vazbou s niˇzˇs´ımi m´ody kmit˚u, ale pro n´ızkofrekvenˇcn´ı kmity je vazba s vyˇsˇs´ımi m´ody kmit˚u slab´a. V´ysledn´e pole posunut´ı a napjatosti v rezon´atoru je sloˇzit´e.