H ∞ reglering

Id´en med H∞design ¨ar enligt kapitel8.3att forma utvalda ¨overf¨oringsfunktioner s˚a att kretsf¨orst¨arkningen uppfyller de st¨allda kraven. De slutna ¨overf¨oringsfunktionerna som vi vill begr¨ansa ¨ar:

• K¨anslighetsfunktionen S = (1 + FyG)−1som beskriver k¨ansligheten mot system- st¨orningar.

• Komplement¨ara k¨anslighetsfunktionen T = FyG(1 + FyG)−1som beskriver m¨at- st¨orningars inverkan p˚a utsignalen och stabilitet mot modellfel.

• _{Overf¨oringsfunktionen fr˚an systembrus till styrsignal G}¨ _{wu= Fy(1 + FyG)}−1_som beskriver hur stora styrsignaler som kan till˚atas.

Optimalt vore att ha de slutna ¨overf¨oringsfunktionerna s˚a sm˚a som m¨ojligt f¨or alla fre- kvenser. Detta ¨onskem˚al ¨ar ej rimligt utan f˚ar modifieras till att ¨overf¨oringsfunktionerna ¨ar sm˚a f¨or speciellt valda kritiska frekvenser. Vi vill ha S liten f¨or l˚aga frekvenser d˚a systemst¨orningar ofta ¨ar av l˚agfrekvent natur (S kan ¨aven g¨oras liten f¨or st¨orningsdomi- nerande frekvenser av h¨ogre frekvens). T i sin tur b¨or vara liten f¨or h¨oga frekvenser d˚a m¨atst¨orningar ofta ¨ar av h¨ogfrekvent ursprung. Vi inf¨or viktfunktionsmatriserna WS, WT och Wuoch s¨oker l¨osningen p˚a

Ws(iω)S(iω) < γ

WT(iω)T (iω) < γ

Wu(iω)Gwu(iω) < γ

(9.8)

d.v.s respektive funktion ska vara upp˚at begr¨ansad med talet γ. F¨or att hantera kraven p˚a ett l¨ampligt s¨att skapar vi enligt kapitel8.3utifr˚an v˚art system och v˚ara viktfunktioner det ut¨okade systemet Gec. X \ Z H ] \
2 1 :W :X * :V 2 1

Figur 9.11. Ut¨okat system med viktfunktioner

˚

Aterkopplingen kan som vi ser i figur9.11ses som en positionsloop och en hastighetsloop, liknande dagens system. Som vi diskuterat tidigare ˚aterkopplas bara motorpositionen i dagens system men att D-delen (med tillh¨orande LP-filter) i PID regulatorn egentligen kan ses som en separat hastighetsloop. D¨ar positionsfelet och hastighetsfelet sedan betraktas

9.4 Alternativa regulatorstrukturer 75

som en signal till PI och LAG-filtret. y1 ¨ar positionssignalen och y2 ¨ar hastighetsignalen.

Det slutna systemets ¨overf¨oringsfunktion fr˚an w till z ges d˚a av

z =   _WW_TSS_T WuGwu   w (9.9)

vilket allts˚a ¨ar de ¨overf¨oringsfunktioner som vi tidigare definierat och som vi vill minime- ra.

Vi har enligt figur9.11[uw]T som insignaler och som utsignaler erh˚alls [z1z2z3e]T

    Ws(G1+ G2) Ws Wu 0 WTG1 0 G1+ G2 0     (9.10)

Systemet kan p˚a tillst˚andsform beskrivas som

˙x = Ax + Bu + N w

z = M x + Du y = Cx + w

(9.11)

d¨ar G och WS saknar direkttermer vilket leder till enklare ber¨akningar. F¨or att erh˚alla enklare uttryck antar vi ocks˚a att DT[M D]=[0 I] Detta kan alltid uppfyllas om matrisen

DT_{D ¨ar inverterbar. Om vi g¨or variabelbytet}

˜

u = DT_{Du + D}T_{M x (9.12)}

vilket leder till att

At= A − B(DTD)−1DTM

Bt= B(DTD)−1

Mt= (I − D(DTD)−1DT)M

Dt= D(DTD)−1

(9.13)

uppfyller vi kravet ovan. Enklare ber¨akningar f˚as om ekvation (9.11) ¨ar given p˚a inno- vationsform, dvs att A-NC ¨ar stabil. Detta g¨aller ej d˚a t.e.x WS eller G inneh˚aller en integration. Man kan dock hantera detta genom att f¨orskjuta integreringen n˚agot ² in i stabilitetsomr˚adet. Vilket ger sm˚a praktiska konsekvenser.

De tv˚a Toolboxarna i Matlab som l¨oser H∞-problem, (µ-Analysis and Synthesis tool- box och Robust Control Design toolbox), itererar sig fram till ett optimalt γ. Vi har sett att de optimala l¨osningarna ibland inte ger ett bra resultat utan ett suboptimalt γ ofta ¨ar att f¨oredra. Bland annat p˚a grund av numeriska problem vilket kan leda till att ¨overf¨oringsfunktionernas f¨orst¨arkning ligger ¨over de formulerade straffen. N˚agot som vi- sade sig vara av stor betydelse var vilket max-v¨arde man angav (γ-startv¨arde). Olika startv¨arden ger helt olika optimala γ. Stabilare och b¨attre resultat kan man d˚a erh˚alla genom att formulera H∞-problemet f¨orhand och endast anv¨anda sig av Matlabs stan- dardl¨osare f¨or Riccatiekvationer, are, f¨or att l¨osa problemet manuellt och pr¨ova sig fram till ett suboptimalt γ som ger bra uppf¨orande.

H∞problemet med µ-Analysis and Synthesis toolbox

Denna toolbox erbjuder ett r¨attframt s¨att att hantera H∞-problem p˚a. Den ut¨okade model- len kan st¨allas upp f¨or hand eller man kan ta hj¨alp av kommandot

[A,B,C,D]=linmod(’modell’)

som skapar det ut¨okade systemet utg˚aende fr˚an modellen i figur9.11. Toolboxen anv¨ander sig sedan av kommandot

hidc=pck(A,B,C,D)

f¨or att konvertera modellen till ett internt µ-toolboox format. H∞-problemet l¨oses sedan med kommandot

[ff,gc,gfin]=hinfsyn(hidc,1,1,min,max,tol)

d¨ar max ¨ar startv¨arde f¨or γ och min ¨ar det minimala γ som till˚ats. Precisionen anges med tol. Hinfsyn l¨oser ekvation (8.17) genom att iterera γ tills ett optimalt γ erh˚alls, om l¨osning existerar. Om l¨osning till ekvation (8.17) erh˚alls s˚a s¨atts max=(max-min)/2 tills l¨osningen ligger inom angiven tolerans tol, annars min=(max-min)/2. Regulatorn erh˚alls i ff p˚a det interna µ-toolboox formatet. F¨or transformationen tillbaka till standard LTI format anv¨ands

[A,B,C,D]=unpck(ff)

Vi f˚ar v˚ar slutgiltiga diskreta regulator med bilinj¨ar (Tustin) approximation enligt

dreg=c2d(ss(A,B,C,D),T,’tustin’)

Om h¨oga straff st¨alls s˚a tenderar den framtagna regulatorn att bli instabil, vilket kan ge problem vid olinj¨ariteter som momentbegr¨ansningar. Vid intrimningen har det visat sig att det ¨ar inte helt intuitivt vad som g¨or att regulatorn blir instabil. Men ¨overlag s˚a leder mjukare straffunktioner till att regulatorns poler blir stabilare. De stabila regula- torer som vi tagit fram har haft uppf¨orande liknande PID regulatorns. Ytterligare trim- ning av straffunktionerna skulle kunna resultera i en stabil H∞regulator med relativt bra st¨orningsundertryckning men detta kr¨aver en djupare analys som str¨acker sig utanf¨or detta arbete. Vi forts¨atter ist¨allet med H∞ designen utan att anv¨anda oss av Matlabs speci- alskrivna toolboxar f¨or l¨osning av H∞ problem. Utan kommer i forts¨attningen bara att anv¨anda oss av den Riccatil¨osare som finns i Control System toolbox.

H∞problemet med Control System toolbox

Som vi sett tidigare best˚ar l¨osningen av H∞problemet p˚a observat¨orsform av l¨osningen till Riccatiekvationen (8.17). Med systemet p˚a formen enligt ekvation (9.11) ges l¨osningen med kommandot

Hinf = are(At,Bt*Bt’-1/gammaˆ2*N*N’,Mt’*Mt)

9.4 Alternativa regulatorstrukturer 77

Linf = Bt’*Hinf

Fy = ss(A-N*C-B*L,N,L,0)

V¨ardet p˚a γ f˚ar h¨ar justeras manuellt tills en acceptabel l¨osning erh˚alls. Vi har sett att n¨ar kraven p˚a b¨attre st¨orningsundertryckning ¨okar s˚a tenderar den framtagna regulatorn i sig att bli instabil. Detta kan ge problem vid olinj¨ariteter som momentbegr¨ansningar. Men b¨or f¨or den skull ej f¨orkastas helt. Dock s˚a b¨or stabilitetsmarginaler och robustheten utv¨arderas noggrant. Regulatorn Fy g¨ors nu diskret och ordningstalet kan reduceras till fj¨arde ordningens ¨overf¨oringsfunktion utan att tappa n˚agon prestanda med

dreg=minreal(c2d(Fy,0.0005),0.000001)

F¨or att erh˚alla god k¨anslighet mot st¨orningar v¨aljer vi att straffa k¨anslighetsfunktionen S h˚ardast. Med f¨oljande straffunktioner

Ws=s 2_+200s+10000 s2_+0.2s+0.01 Wu= 1 Wt= 2 (9.14)

och ett γ p˚a 3.5 erh˚aller vi en regulator som ¨ar instabil men bra mot st¨orningar (se figurA.1

f¨or S, T och Gwumed viktfunktioner). Vi ser i figur9.12ett stegsvar f¨or den framtagna

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 3.5 4 4.5 5 H∞ regulator PID regulator

Figur 9.12. H∞regulator mot PID regulator

H∞regulatorn och PID regulatorn. Vid tidpunkten 1 sekund l¨aggs en st¨orning p˚a armen i form av ett konstant moment vilket sedan sl¨apper vid 1.5 s. Vid 3 sekunder tillkommer en st¨orning p˚a motorn som ¨aven den sl¨apper efter 0.5 s. St¨orningsundertryckningen ¨ar klart b¨attre f¨or H∞regulatorn.

Inzoomade delar av stegsvaret d¨ar st¨orningarna sl˚ar till kan ses i figurA.2a och b. Vi ser att det existerar en h¨ogfrekvent sv¨angning p˚a cirka 300 rad/s. Denna syns framf¨orallt tydligt i v¨axelmomentet som visas i figurA.3.

Eftersom H∞regulatorn inte inneh˚aller n˚agon ren integrering adderades en I-del runt

H∞regulatorn enligt figur9.13. Vid unders¨okning av stegsvaret f¨or denna regulator som

+ _

+ _

Kp

H∞

++

I

G

Figur 9.13. H∞regulator med I-del

visas i figur9.14ses att sv¨angningarna d¨ampats bort. Detta ses ¨aven tydligt i ¨overf¨orings- funktionen fr˚an st¨orning p˚a insignal till armhastighet som visas i figurA.4. Inzoomade

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 3.5 4 4.5 5 H∞ regulator PID regulator

Figur 9.14. H∞regulator mot PID regulator

delar av st¨orningarna och referensf¨oljning visas f¨or denna regulator i figurA.5, A.6och

A.7. F¨oljningen ¨ar bra och i niv˚a med PID regulatorn men st¨orningsundertryckningen ¨ar fortfarande avsev¨art b¨attre med H∞regulatorn. Studeras v¨axelmomentet i figurA.8s˚a ser vi att efter denna modifikation har ¨aven dessa sv¨angningar minskats till acceptabla niv˚aer. En j¨amf¨orelse av de intressanta ¨overf¨oringsfunktionerna S och T i f¨orh˚allande till PID regulatorn visas i figur9.15a och b. K¨anslighetsfunktionen f¨or H∞ regulatorn och H∞ regulatorn med I-del i figur9.15a har l¨agre f¨orst¨arkning f¨or l˚aga frekvenser upp till ca 72 rad/s om vi j¨amf¨or med PID regulatorn. Vi ser ¨aven att notchen vid 300 rad/s n¨astan ¨ar helt

9.4 Alternativa regulatorstrukturer 79

Bode Magnitude Diagram

Frequency (rad/sec) Magnitude (dB) PID regulator H∞ regulator 10−1 100 101 102 103 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 H∞ regulator

H∞ regulator med I−del PID regulator

(a)

Bode Magnitude Diagram

Frequency (rad/sec) Magnitude (dB) PID regulator H∞ regulator 100 101 102 103 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 H∞ regulator H∞ regulator med I−del PID regulator

(b)

Figur 9.15. (a) K¨anslighetsfunktionens f¨orst¨arkning f¨or H∞regulatorn, H∞regulatorn med I-del

och PID regulatorn. (b) Komplement¨arak¨anslighetsfunktionens (slutna systemets) f¨orst¨arkning till motorvinkel f¨or H∞regulatorn, H∞regulatorn med I-del och PID regulatorn

borttagen f¨or den rena H∞regulatorn. Men genom att inf¨ora I-del vi f˚att en ganska brant notch vid 300 rad/s. Det ¨ar tydligt att straffet p˚a k¨anslighetsfunktionen vid H∞designen borde ha utformats med en notch p˚a 300 rad/s eftersom denna egenfrekvens hos systemet m˚aste d¨ampas ut. Eftersom straffunktionerna till H∞ regulatorn designats med s˚a litet ordningstal som m¨ojligt f¨or att implementering i dagens system skulle vara m¨ojlig, s˚a har detta tyv¨arr ej pr¨ovats.

Om vi ist¨allet studerar den komplement¨ara k¨anslighetsfunktionen i figur9.15b som ocks˚a ¨ar det slutna systemet kan man se att notchen fr˚an egenfrekvensen vid 72 rad/s ¨ar smalare f¨or H∞regulatorerna. En dipp sker vid egenfrekvensen 300 rad/s f¨or H∞regula- torn med I-del d¨ar f¨orst¨arkningen ligger under PID regulatorn. Vi ser ocks˚a att bandbred- den f¨or H∞regulatorn ¨ar h¨ogre d˚a den smala notchen vid 72 rad/s g¨or att f¨orst¨arkningen ligger runt 0 dB vid h¨ogre frekvenser ¨an PID regulatorn. Detta g¨or samtidigt att st¨orningar (rippel) runt 100-200 rad/s f¨orst¨arks mer.

I figur9.16a visas f¨orst¨arkningen f¨or regulatorerna. Vi ser att det ¨ar st¨orre f¨orst¨arkning f¨or l˚aga frekvenser f¨or H∞regulatorerna och att egenfrekvensen 300 rad/s d¨ampas mer. Amplitudmarginalen ¨ar ej definierad f¨or en ¨overf¨oringsfunktion som sk¨ar negativa ima- gin¨ara axeln mer ¨an en g˚ang. Robustheten f¨or H∞regulatorn kan dock p˚avisas genom att j¨amf¨ora vilken faktor signalen in till regulatorn kan ¨okas. Vi studerar h¨ar H∞regulatorn med I-del d˚a det ¨ar denna som ¨ar intressant. Systemet med H∞regulatorn med I-del kan multipliceras med en faktor 2.5 och PID regulatorn med en faktor 3.5. H∞regulatorn med I-del har allts˚a s¨amre amplitudmarginal. Ett stegsvar d¨ar f¨orst¨arkningen i PID regulatorn ¨okats med en faktor 3.5/2.5=1.4 f¨or att erh˚alla samma amplitudmarginal visas i figurA.9. Vilket fortfarande visar att H∞regulatorn ger ¨overl¨agsen st¨orningsundertryckning vid lik- nande robusthet.

Bode Magnitude Diagram Frequency (rad/sec) Magnitude (dB) 100 101 102 103 −80 −60 −40 −20 0 20 40 H_H∞ regulator

∞ regulator med I−del

PID regulator

Figur 9.16. F¨orst¨arkningar f¨or regulatorerna

Robustheten verifieras ocks˚a genom att unders¨oka k¨ansligheten f¨or modellfel. Under drift varierar tr¨oghetsmoment Jaf¨or respektive axel beroende p˚a vilken l¨age roboten be- finner sig i. Vi studerar ¨aven robustheten f¨or variationer av fj¨aderkonstanten k.

I figurA.10visas uppf¨orandet vid en f¨orflyttning p˚a 5 mm (samt en armst¨orning vid 1-1.5 sekunder och en motorst¨orning vid 3-3.5 sekunder) d¨ar Ja och k har varierats med

±50%. Vi ser att vid en ¨okning av Jamed +50% b¨orjar framf¨orallt H∞regulatorn att visa

ett sv¨angigt upptr¨adande, men st¨orningsundertryckningen ¨ar fortfarande god. PID regula- torn f˚ar en rej¨al ¨oversl¨ang medan H∞ regulatorn fortfarande har v¨aldigt liten ¨oversl¨ang och bra banf¨oljning. Vid -50% Ja uppvisar b˚ada systemen en n˚agot utdragen ¨oversl¨ang som dock ¨ar mycket mindre f¨or H∞regulatorn. Robustheten mot st¨orningar ¨ar likv¨ardig normalfallet.

Med k ¨okat med +50% ¨ar banf¨oljningen och st¨orningsk¨ansligheten bra. Med en ¨okning p˚a +80% blir systemet med H∞regulatorn instabil medan PID regulatorn kan ¨okas med 600% innan stabilitetsgr¨ansen n˚as. En minskning av k med -50% leder till att H∞regu- latorn blir instabil medan PID regulatorn endast sv¨anger lite. Det visade sig att k endast kunde s¨ankas med 15% innan H∞regulatorn n˚ar stabilitetsgr¨ansen.

Detta p˚avisar den framtagna H∞regulatorns f¨ordelar och nackdelar. Den b¨attre st¨ornings- undertryckningen leder till s¨amre robusthet i form av variationer i modellparametrar. Olika individer kan ha ganska stor variation i modellparametrar, vilket g¨or att marginalerna b¨or vara ganska stora s˚a att systemet inte g˚ar ¨over stabilitetsgr¨ansen. Det kan diskuteras om

H∞ regulatorn uppfyller tillr¨ackligt krav p˚a robusthet. Vi har dock visat att optimering- en kan ge en bra k¨anslighet mot st¨orningar men att en st¨orre tilltro d˚a m˚aste s¨attas till modellens giltighet.

Del III

Slutsatser

Kapitel 10

Slutsatser

10.1

Del 1

Den f¨orsta delen av detta arbete har inneburit en analys av resolverm¨atsystemet p˚a en indu- strirobot av typ IRB 2400. De m¨atningar som gjorts av x och y signalerna fr˚an en resolver har legat som grund f¨or arbetet. Identifieringen av de st¨ork¨allor som p˚averkar resolver- signalerna ledde framf¨orallt till den slutsatsen att mycket av de tydliga brusspikar som finns i signalerna kommer fr˚an pulsbreddsmoduleringen av motorerna. Dessa upptr¨ader som toppar p˚a b¨arv˚agen med en ˚aterkommande frekvens av 16 kHz, vilka blir markanta vid liten b¨arv˚agsamplitud. Vid frekvensanalysen av signalerna visar det sig att den st¨orsta energin givetvis ligger vid 4 kHz som ¨ar b¨arv˚agens frekvens. Man ser ¨aven tydliga top- par vid b.l.a 12, 20 och 32 kHz, men ¨aven mindre toppar vid dom flesta multiplar av 4 kHz som ¨ar ¨overtoner av b¨arv˚agen. Eftersom amplituden p˚a dessa toppar varierar un- gef¨ar proportionellt mot amplituden p˚a respektive x och y signal antas dessa ha bildats vid framtagandet av b¨arv˚agen. Framf¨orallt ¨ar det uppl¨osningen p˚a sex bitar vid konstruktion av b¨arv˚agen som kan ge upphov till dessa ¨overtoner samt att komponenternas toleranser p˚averkar b¨arv˚agen. Detta leder till att b¨arv˚agen ej skapas som en perfekt sinussignal utan inneh˚aller ¨overtoner. Eftersom dessa fel i b¨arv˚agen sl˚ar igenom proportionellt mot ampli- tuden p˚a b˚ade x och y signalen kommer de inte att p˚averka f¨orh˚allandet mellan signalerna och inget vinkelfel f˚as. Vid en n¨armare analys ser man ¨aven ett p˚atagligt energiinneh˚all vid 1.2-1.8 kHz vilket har varit sv˚arare att h¨arleda till n˚agon specifik st¨ork¨alla. Den ˚aterst˚aende energin ligger i stort sett j¨amt f¨ordelad ¨over resterande frekvenser. Eftersom samplingshas- tigheten ligger p˚a 2 kHz sker det invikning av frekvenser ¨over nyquistfrekvensen p˚a 1 kHz. Energiinneh˚allet p˚a 1.2-1.8 kHz kan d¨arf¨or vara ett argument att t.e.x dubbla samplings- hastigheten s˚a att invikning av dessa frekvenser ej sker.

Ett antal metoder f¨or att ¨oka kvaliteten p˚a hastighetssignalen har unders¨okts. Hastig- hetssignalen tas fram genom differentiering av vinkeln. Tre av de metoder som unders¨okts bygger p˚a ¨oversampling:

Medelv¨ardesmetoden Standardavvikelsen f¨or hastighetssignalen vid konstant hastig- het minskar till en faktor 0.70. F¨ordelen med medelv¨ardesmetoden ¨ar att den ¨ar l¨att att implementera. Nackdelen ¨ar att medelv¨ardesmetoden ger en tidsf¨ord¨ojning eftersom in- formation l¨angre tillbaka i tiden anv¨ands.

Korrelationsmetoden Standardavvikelsen f¨or hastighetssignalen vid konstant hastig- het minskar till en faktor 0.70. F¨ordelen med korrelationsmetoden ¨ar det inte finns n˚agon begr¨ansning i hastigheten p˚a ¨oversamplingen d˚a denna metod ej kr¨aver att man samplar p˚a toppen av b¨arv˚agen. En stor nackdel ¨ar att metoden ¨ar ber¨akningskr¨avande.

Skursamplingsmetoden Standardavvikelsen f¨or hastighetssignalen vid konstant has- tighet minskar till en faktor 0.95. Teoretiskt ska skursamplingsmetoden i f¨orh˚allande till medelv¨ardesmetoden ge likv¨ardig minskning av standardavvikelsen. Anledningen till att denna metod inte ger lika bra resultat ¨ar att korrelationen mellan respektive sampel ¨ar mycket st¨orre p˚a grund av att m¨atv¨ardena ligger s˚a pass n¨ara varandra i tiden.

Tv˚a metoder som bygger p˚a olinj¨ar filtrering:

Extended kalmanfilter Denna metod ger en klar f¨orb¨attring av standardavvikelsen f¨or hastighetssignalen vid konstant hastighet. Standardavvikelsen har minskat till en fak- tor 0.52. Detta ¨ar ingen ¨oversamplingsmetod vilket g¨or att den kan anv¨andas i kombination med n˚agon av de ovanst˚aende ¨oversamplingsmetoderna. Med denna metod beh¨ovs ej hel- ler n˚agon yttre varvr¨aknare eftersom detta ¨ar inbyggt i filtret. En nackdel ¨ar att den ¨ar ber¨akningskr¨avande och ¨ar inte lika intuitiv att trimma som ett vanligt l˚agpassfilter. D˚a filtret ¨ar olinj¨art kommer ¨aven filtreringen att variera f¨or olika vinklar.

Ber¨akning av hastighet utifr˚an resolversignalerna Genom att utveckla derivatan av

arctan¡y x

¢

kan man ber¨akna hastigheten utan att anv¨anda sig av en numerisk metod. Hur mycket b¨attre resultat som erh˚alls med hj¨alp av denna metod ¨ar beroende av hur noggrann den numeriska metoden f¨or ber¨akning av vinkeln ¨ar. Vid j¨amf¨orelse med den Cordicalgo- ritm som anv¨ands i dagens m¨atsystem s˚a minskas standardavvikelsen i hastigheten till en faktor 0.99.

Vi har ¨aven unders¨okt vilka f¨orb¨attringar respektive metod skulle ge vid en f¨ordubbling av b¨arv˚agsfrekvensen och m¨ojlighet till snabbare sampling. Vid en ¨oversamplingshastighet av 16 kHz gav medelv¨ardesmetoden och korrelationsmetoden en minskning av standar- davvikelsen till en faktor 0.38. Kalmanfiltret gav vid en samplingshastighet p˚a 8 kHz en minskning av standardavvikelsen till en faktor 0.24.

F¨orb¨attringar av resolversignalerna skulle ocks˚a kunna g¨oras genom mer fysiska ˚atg¨arder som b¨attre avsk¨armning av resolvrarna. Fr¨amst f¨or att minska p˚averkan fr˚an pulsbreddsmo- duleringen.

10.2 Del 2 85

10.2

Del 2

Den andra delen av arbetet har inneburit en analys av dagens regulatorstruktur samt en unders¨okning av n˚agra alternativa reglerdesigner.

En studie ¨over hur samplingstidens inverkan p˚a prestandan har gjorts genom att j¨amf¨ora den ¨okning av kretsf¨orst¨arkning som kunde g¨oras vid ¨okad samplingshastighet. H¨ar kun- de konstateras att det framf¨orallt ¨ar tidsf¨ordr¨ojningar som p˚averkar amplitudmarginalen negativt men ˚atminstone en f¨ordubbling av samplingshastigheten kan rekommenderas.

Vi har ¨aven unders¨okt vilken p˚averkan variationer av motortr¨oghetsmomentet Jmhar p˚a kretsf¨orst¨arkningen. Ett l¨agre Jm p˚averkar kretsf¨orst¨arkningen negativt. Problem kan d¨arf¨or uppst˚a vid val av motorer med allt f¨or l˚agt tr¨oghetsmoment. Man kan konstatera att ett l¨agre motortr¨oghetsmoment kan kompenseras genom ¨okad samplingshastighet f¨or att bibeh˚alla kretsf¨orst¨arkning.

M¨atningar p˚a roboten har gjorts f¨or att verifiera ¨overf¨oringsfunktionen fr˚an moment- st¨orning till armhastighet. Det visade sig att den uppst¨allda modellen st¨amde bra ¨overens med verkligheten.

De alternativa reglerdesigner som vi har studerat ¨ar IMC design med Otto-Smith, GIMC design och H∞ design. Den regulator som vi h¨anvisar till som j¨amf¨orelseobjekt ¨ar en PID regulator med f¨orfiltrering och framkoppling. Framkopplingen st˚ar f¨or den st¨orsta delen av signalen och s¨akerst¨aller bra referensf¨oljning. PID regulatorn har som uppgift att motverka modellfel och st¨orningar.

IMC regulator Med IMC regulatorn d¨ar en enmassamodell av systemet anv¨ants, var det sv˚art att erh˚alla n˚agra f¨orb¨attringar av st¨orningsundertryckningen gentemot en PID regualtor.

GIMC regulator GIMC som ¨ar en relativt ny regulatordesign har n¨ar designen utg˚att fr˚an en tv˚amassamodell gett bra st¨oringsundertryckning, god f¨oljning av referens och go- da robusthetsegenskaper. Den designmetodik som valts ger en ingej¨orsm¨assig och intuitiv l¨osning. N˚agra nackdelar ¨ar att regulatorns ordningstal blir h¨ogt och att modellk¨annedomen m˚aste vara god f¨or att f˚a bra st¨orningsundertryckning. N¨ar designen ist¨allet utg˚ar fr˚an en enmassamodell har inga f¨orb¨attringar j¨amf¨ort med en PID regulator erh˚allits.

H∞regulator H∞design har gett bra st¨orningsundertryckning, god f¨oljning av refe- rens men s¨amre robusthetsegenskaper. Den resulterande regulatorn ¨ar ¨aven instabil vilket kan st¨alla till problem vid olinj¨ariteter som momentbegr¨ansningar. Vid framtagandet av

H∞ regulatorn har vi konstaterat att den numeriska metoden har problem med att hit- ta korrekta l¨osningar. Designen ¨ar tilltalande eftersom krav st¨alls direkt p˚a de intressanta ¨overf¨oringsfunktionerna. Mer avancerade straff m˚aste st¨allas f¨or att f˚a tillr¨ackligt bra ro- busthet.

Kapitel 11

Framtida arbete

En djupare unders¨okning och identifiering av brusk¨allor ¨ar ett omr˚ade som kan ¨agnas mer tid. ¨Aven utf¨ora m¨atningar p˚a flera robotfamiljer f¨or att verifiera v˚ara m¨atningar b¨or g¨oras. De metoder som tagits fram f¨or att minska bruset b¨or utv¨arderas p˚a ett verkligt system.

In document Undersökning av mätsystem och regulatorstrukturer för industriella tillämpningar (Page 92-124)