Undersökning av mätsystem och regulatorstrukturer för industriella tillämpningar

(1)

Unders¨okning av m¨atsystem och

regulatorstrukturer f¨or industriella

till¨ampningar

Niklas Durinder och Jonas Wallmander LiTH-ISY-EX-3200-2002

(2)

(3)

Unders¨okning av m¨atsystem och

regulatorstrukturer f¨or industriella

till¨ampningar

Niklas Durinder och Jonas Wallmander LiTH-ISY-EX-3200-2002

Handledare: M˚ans ¨Ostring LiTH ISY Reglerteknik

Stig Moberg ABB Automation Technology Pro-ducts AB -Robotics

Ingvar Jonsson ABB Automation Technology Products AB -Robotics

Examinator: Mikael Norrl¨of LiTH ISY Reglerteknik Link¨oping, 4 mars 2002.

(4)

(5)

Avdelning, Institution Division, Department

Institutionen för Systemteknik

581 83 LINKÖPING

Datum Date 2002-02-22 Språk

Language Rapporttyp Report category ISBN X Svenska/Swedish

Engelska/English

Licentiatavhandling

X Examensarbete ISRN LITH-ISY-EX-3200-2002

C-uppsats

D-uppsats Serietitel och serienummer _{Title of series, numbering} ISSN

Övrig rapport

____

URL för elektronisk version

http://www.ep.liu.se/exjobb/isy/2002/3200/

Titel

Title Undersökning av mätsystem och regulatorstrukturer för industriella tillämpningar Examination of measurementsystem and controlstructures for industrial applications

Författare

Author Niklas Durinder och Jonas Wallmander

Sammanfattning

Abstract

This thesis is divided in to two different parts. The first part includes examination of the

measurementsystem of an industrial robot using a resolver sensor. The main focus is on methods for suppressing noise in the angularvelocity signal without increasing timedelay. Five different methods are investigated. Three of these are based on oversampling: burstsamplingmethod, meanvaluemethod and correlationmethod. The meanvaluemethod and the correlationmethod have given good results. The two other methods are: extended kalmanfiltering and computation of the angular velocity without using numeric method to compute the angle. Extended kalmanfilter gives the overall best result.

In part two the control structure design of an industrial robot has been studied and how different sampling times and motorinertias affect the disturbance rejection and stability of the control loop. Different control structure designs have also been studied with the aim to suppress disturbances. Mainly H-infinity and GIMC designs have been compared with an ordinary PID controller. Here it can be shown that both the H-infinity and the GIMC controller yields good disturbance rejection. But both the methods lack in the robustness of model uncertainty.

Nyckelord

Keyword

(6)

(7)

Abstract

This thesis is divided in to two different parts. The first part includes examination of the measurementsystem of an industrial robot using a resolver sensor. The main focus is on methods for suppressing noise in the angularvelocity signal without increasing timede-lay. Five different methods are investigated. Three of these are based on oversampling: burstsamplingmethod, meanvaluemethod and correlationmethod. The meanvaluemethod and the correlationmethod have given good results. The two other methods are: extended kalmanfiltering and computation of the angular velocity without using numeric method to compute the angle. Extended kalmanfilter gives the overall best result.

In part two the control structure design of an industrial robot has been studied and how different sampling times and motorinertias affect the disturbance rejection and stability of the control loop. Different control structure designs have also been studied with the aim to suppress disturbances. Mainly H∞ and GIMC designs have been compared with an ordinary PID controller. Here it can be shown that both the H∞and the GIMC controller yields good disturbance rejection. But both the methods lack in the robustness of model uncertainty.

Keywords: Control, Signal processing, GIMC, H∞, Extended kalmanfilter.

(8)

(9)

Sammanfattning

Detta arbete innefattar tv˚a större delar. I den första delen har resolvermätsystemet p˚a en industrirobot av typ IRB 2400 studerats. Mätbrusets p˚averkan p˚a hastighetssignalen har undersökts. Vi har även tagit fram fem metoder för att p˚a mätkortet förbättra hastighetssig-nalen. Tre metoder bygger p˚a översampling: skursamplingsmetoden, medelvärdesmetoden och korrelationsmetoden. Här har framförallt medelvärdesmetoden och korrelationsmeto-den gett bra resultat. De tv˚a resterande metoderna är: extended kalmanfilter och beräkning av vinkelhastigheten utan numerisk metod. Extended kalmanfilter har gett det överlag bästa resultatet.

I den andra delen har reglerloopen i sin helhet studerats för en industrirobot. Vi har utvärderat hur variationer i samplingshastigheten, tidsfördöjningar och motortröghetsmo-mentet p˚averkar prestandan. Olika regulatordesignmetoder har undersökts. Framförallt har H∞ och GIMC design utvärderats mot en PID regulator. Vi har sett att man kan ˚astadkomma bättre störingsundertryckning gentemot en PID regulatorn, b˚ade med H∞ och GIMC design. Robustheten för reglerloopen blir sämre, framförallt vid H∞ design men även vid GIMC design.

Nyckelord: Reglering, Signalbehandling, GIMC, H∞, Extended kalmanfilter.

(10)

(11)

Tackord

Vi skulle vilja tacka v˚ara handledare p˚a ABB Automation Technology Product AB - Ro-botics, Stig Moberg och Ingvar Jonsson för deras, stöd och stora kunskap. Vi vill även tacka v˚ar handledare p˚a LiTH M˚ans Östring för goda idéer samt v˚ar examinator Mikael Norrlöf för hans engagemang och uppmuntran. Vi skulle även vilja tacka Torgny Brog˚ard och Jesper Bergsjö p˚a Robotics samt Svante Gunnarsson och Fredrik Gustafsson p˚a LiTH.

Niklas Durinder Jonas Wallmander

(12)

(13)

Notationer

Symboler

Jm Tr¨oghetsmoment motor.

Ja Tr¨oghetsmoment arm.

J Totalt tr¨oghetsmoment arm och motor.

fm Friktion motor.

fa Friktion arm.

θm Vinkel motor.

θa Vinkel arm.

ω Vinkelhastighet

r Utv¨axling fr˚an motor till arm.

k Fj¨aderkonstant.

d D¨ampningskonstant.

τ Moment.

f Frekvens

fs Samplingsfrekvens.

Am Amplitud p˚a b¨arv˚ag.

Tpuls Pulsl¨angd i sekunder f¨or pulsbreddsmoduleringen.

Tperiod Periodtiden i sekunder f¨or pulsbreddsmoduleringen.

y Signal fr˚an resolver som motsvaras av Amsin(θm)

x Signal fr˚an resolver som motsvaras av Amcos(θm)

e(t) Brus.

σ Standardavvikelse.

σ2 _Varians.

ρ Kovarians mellan x och y signalen.

Q Systembrusets kovariansmatris.

R M¨atbrusets kovariansmatris.

(14)

G0 Verkligt system. Gc Slutet system. Ge Utökat system. Fy Regulator. S Känslighetsfunktionen. T Komplementärakänslighetsfunktionen.

F¨orkortningar

PWM Puls Width Modulation (pulsbreddsmodulering).

IMC Internal Model Control.

(15)

Inneh˚all

1 Inledning 1 1.1 Bakgrund . . . 1 1.2 Syfte. . . 1 1.3 Begränsningar . . . 2 2 Robotsystemet 3 2.1 Reglersystemet . . . 4 2.2 Mätsystemet . . . 5 2.2.1 Resolvern . . . 5 2.2.2 Pulsbreddsmodulering . . . 6 2.2.3 Mätkortet . . . 6 2.3 Armmodeller . . . 7 2.3.1 Enmassamodell . . . 7 2.3.2 Tv˚amassamodell . . . 7

I

Optimering av Resolversystem

11

3 Teori del 1 13 3.1 Filtrering av m¨atdata . . . 13 3.2 Fouriertransform . . . 14 3.2.1 Diskret fouriertransform (DFT) . . . 14 3.3 Korrelationsmetoden . . . 15

3.4 Best¨amma hastighet och acceleration . . . 16

3.5 Observatör. . . 17 3.5.1 Kalmanfilter . . . 18 3.5.2 Extended kalmanfilter . . . 18 3.6 Random walk . . . 19 4 Mätningar 21 4.1 Tillvägag˚angssätt . . . 21

4.2 Analys av bruset i m¨atningarna . . . 23 ix

(16)

5 Metoder f¨or att minska bruset 27

5.1 Variansen f¨or vinkeln i dagens system . . . 28

5.2 Skursamplingsmetoden . . . 29

5.3 Medelv¨ardesmetoden . . . 30

5.4 Korrelationsmetoden . . . 31

5.5 Extended kalmanfilter . . . 32

6 Resultat del 1 35 6.1 Jämförelse av metoder vid nuvarande bärv˚agsfrekvens . . . 35

6.1.1 Skursamplingsmetoden . . . 36

6.1.2 Medelv¨ardesmetoden . . . 37

6.1.3 Korrelationsmetoden . . . 38

6.1.4 Extended kalmanfilter . . . 39

6.2 Jämförelse av metoder vid ökad bärv˚agsfrekvens och samplingshastighet. 41 6.2.1 Medelvärdesmetoden och korrelationsmetoden . . . 41

6.2.2 Extended kalmanfilter . . . 42

6.3 J¨amf¨orelse av metoder med resolversignalerna genererade av robot . . . . 44

6.3.1 Loggad hastighet j¨amf¨ort med kalmanfiltrets hastighet . . . 44

6.3.2 Hastighetsber¨akning utan numerisk arctan-operation . . . 46

6.3.3 Uppl¨osningens p˚averkan p˚a hastighetssignalen . . . 48

6.4 Unders¨okning av olinj¨ariteter i extended kalmanfiltret . . . 49

II

Optimering av Regulator

51

7 PID reglering 53 8 Teori del 2 55 8.1 IMC - Internal Model Control . . . 55

8.1.1 Otto Smith design . . . 56

8.2 GIMC - General IMC . . . 58

8.2.1 Val av Q. . . 59

8.3 H∞design. . . 60

9 Resultat del 2 63 9.1 Verifiering av tv˚amassamodellen . . . 63

9.2 Samplingshastighetens inverkan p˚a prestandan. . . 65

9.3 Motortr¨oghetsmomentets inverkan p˚a prestandan . . . 66

9.4 Alternativa regulatorstrukturer . . . 67

9.4.1 IMC reglering. . . 67

9.4.2 GIMC reglering. . . 69

(17)

Inneh˚all xi

III

Slutsatser

81

10 Slutsatser 83 10.1 Del 1. . . 83 10.2 Del 2. . . 85 11 Framtida arbete 87

IV

Appendix

91

A H∞regulator 93 B GIMC regulator 99 C M¨atningar 103 D Design av notchfilter 105

(18)

(19)

Kapitel 1

Inledning

Examensarbetet är utfört hos ABB Automation Technology Products AB - Robotics, i Väster˚as. Företaget är en av dom ledande aktörerna inom utveckling och produktion av industrirobotar. Industrirobotar används i stor utsträckning i framförallt verkstads och bil-industrin.

Examensarbetet best˚ar huvudsakligen av tv˚a större delar. Den första innefattar signal-behandling och mätteknik. Den andra delen är mer reglerteknisk där reglerloopen studeras i sin helhet.

1.1 Bakgrund

Kraven p˚a god reglerprestanda i robotsystemen ökar ständigt. Förbättringar och utveckling är en av grundstenarna för att n˚a fördelar gentemot konkurrenter dels för att producera mer avancerade system men även för att minska kostnaderna. P˚averkan fr˚an störningar och brus vill man givetvis minska i mätsystemet.

För att mäta motorpositionen används resolvrar som avläser respektive motors vin-kelläge. Brus och rippel i systemet leder till att den avlästa positionen avviker fr˚an axelns verkliga läge. D˚a hastigheten beräknas som derivatan av positionen blir bruset extra tyd-ligt i hastighetssignalen. Tidsfördröjningar tillsammans med störningarna leder ocks˚a till begränsningar hos regulatorns förstärkning vilket p˚averkar val av motorer samt prestandan p˚a regleringen.

1.2 Syfte

Syftet med examensarbetet är att identifiera störningar hos givare p˚a roboten och förbättra den signalbehandling som sker p˚a resolversignalerna i mätkortet. Arbetet innefattar även att studera reglerloopen som helhet och undersöka om regleringen av roboten kan förbättras genom bättre val av regulatorparametrar eller genom alternativa reglerstrategier. Framförallt är det hastighets˚aterkopplingen som är i fokus d˚a den p˚averkas mycket av mätbruset.

(20)

1.3 Begr¨ansningar

Vi har begränsat oss till mätningar p˚a resolver fyra p˚a en industrirobot av typ IRB 2400. De metoder som tagits fram för att minska bruset har begränsats för att kunna användas i dagens system eller vid framtagandet av ett nytt mätkort. Det verkliga systemet har approx-imerats med en tv˚amassamodell vid simuleringar. Vi har koncentrerat oss p˚a reglering av endast en axel utan att ta hänsyn till korskopplingseffekter fr˚an andra axlar. Vid regulator-designen har ordningen p˚a regulatorn försökts att h˚allas nere för att kunna implementeras i dagens system.

(21)

Kapitel 2

Robotsystemet

Det finns idag ett flertal typer av industrirobotar. För att en robot skall ha full rörlighet krävs sex frihetsgrader. Tre för respektive koordinat i rummet, x, y och z samt tre för att rikta in gripdonet i valfri riktning. En vanlig industrirobot som vi ser i figur2.1är därför uppbyggd av sex axlar. P˚a respektive axel sitter en motor som styr axeln, en resolver för att mäta motorvinkeln samt en växell˚ada mellan motor och arm. En robot utför en rörelse

Axel 5 Axel 2 Axel 1 Axel 3 Axel 4 Axel 6 Figur 2.1. Industrirobot

genom att absoluta kartesiska koordinater (position och orientering av verktyget) matas in av en användare. Robotarmarna styrs genom att tillräckligt vridmoment läggs p˚a respektive axel s˚a att roboten rör sig till givet läge.

För att ett robotsystem ska ha tillräcklig prestanda i form av referensföljning och ro-busthet, krävs en avancerad reglering. Grundläggande sv˚arigheter som m˚aste tas hänsyn till är bland annat vekheter i robotens struktur i form av fjädrande armar och växell˚ador, korskopplingseffekter som uppst˚ar p˚a grund av att rörelse av en axel även p˚averkar and-ra axlar, samt att gand-ravitation och tröghetsmoment för respektive axel är tidsberoende och varierar med robotens position.

Figur2.2visar en översk˚adlig bild över systemet fr˚an användaren till utstyrt moment p˚a axlarna. Styrsystemet omvandlar de inmatade koordinaterna och skapar referenser med hjälp av geometriska och dynamiska modeller av roboten. Referensvärden för vinkeln θ,

(22)

vinkelhastigheten ω och momentet τ generas d˚a för respektive axel. En regulator regle-rar vinkeln samt vinkelhastigheten med hjälp av ˚aterkoppling fr˚an vinkeln. Ett drivdon omvandlar sedan momentet τref till en ström som styr motorerna med hjälp av s˚a kallad pulsbreddsmodulering (se kapitel2.2.2). Momentet fr˚an motorn g˚ar sedan via en växel ut till armen. All mätning sker p˚a robotens motorsida. En resolver sitter vid respektive motor

Användare Regulator Drivdon Motor Växel- Arm

låda Börvärdes-generator Resolver Mätkort τ θ ω Rörelsestyrning Drivsystem τ ref I τm τa θ (x,y,z)

Figur 2.2. System¨oversikt fr˚an anv¨andaren till utstyrt moment p˚a respektive axel.

och mäter dess rotationsvinkel. Resolversignalerna g˚ar sedan via mätkortet (se kapitel2.2) och motorvinkeln ˚aterkopplas sedan till regulatorn för reglering.

2.1 Reglersystemet

En regulatorstruktur som är vanlig i robotsammanhang är en PID baserad regulator [10]. Som jämförelse kommer vi därför använda en PID regulator som är uppbyggd av en inre hastighetsloop och en yttre positionsloop. För att roboten skall följa referenssignalen bra framkopplas önskat momentet vilket beräknas utifr˚an en avancerad mekanikmodell som tar hänsyn till systemets dynamik. Det kan enkelt beskrivas som att man försöker styra systemet exakt med hjälp av modellen och regulatorn tar hand om modellfel och yttre störningar p˚a systemet.

St¨orningar p˚a systemet kan delas upp i tre klasser

• Störning p˚a motor. Det finns b˚ade strömoberoende och strömberoende rippelstör-ningarna p˚a motorn. Sp˚arrippel som är det mest framträdande strömoberoende ripplet, uppkommer p˚a grund av att reluktansen mellan stator och rotor varierar. Sp˚arripplet varierar som pulser varje g˚ang rotormagneterna passerar ett statorsp˚ar vilket resulte-rar i pulser p˚a momentet. Sp˚arripplet har konstant amplitud men frekvensen varieresulte-rar med varvtalet hos motorn [11]. Polrippel som är strömberoende, uppkommer p˚a grund av att statorlindningarna runt permanentmagneterna inte är ideala vilket leder till att det ej induceras en ideal sinusv˚ag i lindningen. Detta leder till rippelstörningar p˚a momentet vilka är multiplar av antalet polpar i motorn. Polripplet varierar i amp-litud beroende p˚a den ström som läggs p˚a motorn och frekvensen är beroende av varvtalet p˚a motorn [11].

(23)

2.2 M¨atsystemet 5

• Störning p˚a arm. Störningar p˚a armen best˚ar oftast av att roboten utsätts för en be-lastning. Exempel p˚a arbetsuppgifter där yttre belastning ofta förekommer är svets-ning, polering och slipning. Andra störningar som p˚averkar systemet är omodellerad friktion, laster, störningar fr˚an andra motorer samt modellfel.

• Störning p˚a mätsignalen. Rena mätstörningar behandlas mer ing˚aende i kapitel2.2. Eftersom det inte finns n˚agon hastighetsgivare p˚a roboten erh˚alls en hastighetsskattning genom derivering av positionssignalen. Den resulterande signalen l˚agpassfiltreras sedan för att den inte skall ha allt för stort brusinneh˚all.

2.2 M¨atsystemet

Resolvrarna i dagens system matas med en bärv˚ag med frekvensen f p˚a 4 kHz. Samp-lingsfrekvensen fs ligger p˚a 2 kHz och samplingen är synkroniserad med bärv˚agen s˚a att sampling alltid sker p˚a toppen av bärv˚agen. D˚a samplingsfrekvensen är hälften av bärv˚agsfrekvensen innebär det att man samplar p˚a varannan topp p˚a bärv˚agen.

2.2.1 Resolvern

En resolver är en analog vinkelgivare som transformerar en mekanisk rotation till en elekt-risk sinussignal. Resolvern best˚ar av en stator och en rotor enligt figur2.3. Statorn har tv˚a lindningar placerade i rät vinkel mot varandra. Om rotorlindningarna exciteras med en signal U = Amsin(ωt), induceras spänningar i statorlindningarna x och y. Beloppet av dessa spänningar varierar som cos och sin av rotorpositionen θ.

Rotor

Stator

U

x

y

Rotationsoberoende koppling

Figur 2.3. Schematisk bild ¨over en resolver

Respektive statorlindning x och y ger d˚a

x = Amcos(θ) sin(ωt)

y = Amsin(θ) sin(ωt) (2.1)

Vinkel kan sedan ber¨aknas genom arctan(_xy) = arctan ³

sin(θ) cos(θ)

´ = θ

(24)

2.2.2 Pulsbreddsmodulering

Grundprincipen för PWM (Pulse Width Modulation) är att styra motorn med hjälp av snabba pulser enligt figur2.4. Periodlängden Tperiod är konstant och genom att variera pulslängden Tpuls, varieras strömmen och därmed momentet i motorn.

v

T

period

T

puls

Figur 2.4. Pulsbreddsmodulering

I dagens system är periodtiden Tperiod=0.125 ms och pulsbreddsmoduleringen sköts av tv˚a separata system som styr vardera tre motorer. D˚a dessa ligger inbördes förskjutna i förh˚allande till varandra s˚a kommer pulser att ˚aterkomma med en frekvens av 2∗8=16 kHz.

2.2.3 M¨atkortet

Resolversignalerna x och y filtreras p˚a mätkortet med ett första ordningens l˚agpassfilter med en brytfrekvens p˚a 60 kHz. Anledningen till att brytfrekvensen ligger s˚a pass högt och att ett första ordningens filter används är att man vill bibeh˚alla amplituden p˚a bärv˚agen samtidigt som tidsfördöjningen blir s˚a liten som möjligt.

P˚a mätkortet sitter det tv˚a A/D omvandlare som har en samplingstakt p˚a 200 kHz. Dessa A/D omvandlare har som uppgift att läsa av vinkeln p˚a de 6 axlarna. D˚a det finns tv˚a kanaler per axel s˚a läser respektive A/D omvandlare 6 kanaler var. Vid byte av kanal m˚aste jord läsas av för att synkronisera referensen. Detta gör att det finns utrymme att sampla med ca 8 kHz per kanal.

Kommunikationen mellan mätkort och axeldator sker via en seriell buss som har be-gränsad överföringshastighet. Datatakten mellan enheterna är idag 2 kHz per kanal men en fördubbling av denna kan komma att bli möjlig.

(25)

2.3 Armmodeller 7

2.3 Armmodeller

För att analysera och simulera ett verkligt system behövs en modell över systemet. Graden av komplexitet hos modellen beror p˚a hur väl man vill efterlikna det verkliga systemet samt hur stor del av systemet som man vill modellera. Vi ställer upp tv˚a modeller av en robotarm med motor och växell˚ada. Den första är en enkel enmassamodell d.v.s armen, motorn och växell˚adan betraktas som ett solitt stycke. Nästa antagande är att systemet kan beskrivas med tv˚a massor kopplade med en fjäder och en dämpare (tv˚amassamodell).

2.3.1 Enmassamodell

En enkel modell av en robotaxel är att betrakta axeln, motor och växell˚ada som en styv klump utan vekheter. Massan har tröghetsmoment J och p˚averkas av den dynamiska frik-tionen fmi motorn. Vi har

J ¨θm+ fm˙θm= u (2.2)

där u är p˚alagt motormoment. ¨Overföringsfunktionen fr˚an insignal till motorhastighet blir enligt ekvation (2.2)

G1mass= 1

Js + fm

(2.3)

2.3.2 Tv˚amassamodell

En robots axel är inte helt stel utan växell˚ada samt arm har en viss vekhet. Detta kan förenklat beskrivas som tv˚a ihopkopplade massor med en dämpande och en fjädrande del, enligt figur2.5. Utväxling

Jm

fm

fa

Ja

Figur 2.5. Tv˚amassamodell

Jmoch Ja är motorns respektive axelns tröghetsmoment, k är fjäderkonstanten och d är dämpningen. Friktionen för massorna är farespektive fm.

Ekvationerna för en linjär modell med tv˚a massor, en fjäder och en dämpare kan nu ställas upp

Jmθ¨m+ fm˙θm+ d( ˙θm− ˙θa) + k(θm− θa) = u (2.4)

Jaθ¨a+ fa˙θa− d( ˙θm− ˙θa) − k(θm− θa) = 0 (2.5)

Axelns tröghetsmoment är här modifierat med utväxlingen r, det vill säga Ja= Jareal/r2. ¨

(26)

utväxlingen. Här är θmmotorns vinkel och θaarmens vinkel. Insignalen är motormomen-tet u. Att det finns skillnad mellan vinklarna beror p˚a att armen och växell˚adan har en viss vekhet.

Systemet kan p˚a tillst˚andsform beskrivas som

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) (2.6)

Om vi v¨aljer f¨oljande tillst˚and

x(t) =     θm ˙θm θa ˙θa     (2.7)

erh˚alls f¨oljande systemmatriser

A =     0 1 0 0 − k Jm −f m+dJm Jmk Jmd 0 0 0 1 k Ja Jad −Jak − f a+d Ja     (2.8) B =     0 1 Jm 0 0     (2.9) C =£1 0 0 0¤ (2.10)

Insignalen ¨ar allts˚a momentet u och utsignalen motorvinkeln θm.

Systemets ¨overf¨oringsfunktionen fr˚an styrsignal u till motorvinkel θmblir d˚a

Gum= Jas 2_{+ (d + f} a)s + k a1s4+ a2s3+ a3s2+ a4s (2.11) d¨ar a1= JaJm, a2= Ja(d + fm) + Jm(d + fa) a3= k(Ja+ Jm) + d(fa+ fm) + fafm a4= k(fa+ fm)

(27)

2.3 Armmodeller 9

F¨or att unders¨oka systemets frekvenssvar plottas bodediagrammet som vi ser i fi-gur2.6. Placeringen av dippen markerad med 1 och toppen markerad med 2 i figuren

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

Bode Diagrams −100 −50 0 50 From: U(1) 100 101 102 103 104 −200 −150 −100 −50 0 To: Y(1) 1 2 1 2

Figur 2.6. Bodediagram för tv˚amassasystemet. Systemets beräknade egenvärden är markerade med

tv˚a streck, 1 och 2. Uppf¨orandet vid respektive frekvens ses tydligt som en dipp och en topp

motsvaras av egenv¨ardena till Gumvilket om man g¨or approximationen

d = 0 fm= 0

fa= 0 (2.12)

kan ber¨aknas som

ωn1= r k Ja+ Jm (2.13) ωn2= s k(Ja+ Jm) JaJm (2.14)

I figur2.6är värdet för ωn1och ωn2markerade med tv˚a streck vilket visar att

(28)

(29)

Del I

Optimering av Resolversystem

(30)

(31)

Kapitel 3

Teori del 1

I det här kapitlet kommer vi att behandla den teori som ligger till grund för undersökningen av resolvermätsystemet. Först beskriver vi allmän filtrering och fourieranalys sedan bak-grunden för n˚agra av de metoder som vi använder oss av för att minska bruset i hastighets-signalen.

3.1 Filtrering av m¨atdata

Analoga signaler som ska bearbetas i en dator m˚aste först samplas. En signal kommer d˚a att endast beskrivas i diskreta punkter som samplas med jämna mellanrum med samplings-frekvensen fs. Informationen mellan varje samplingstillfälle g˚ar s˚aledes förlorad vilket leder till att den samplade signalen kan tolkas felaktigt om det är s˚a att den kontinuerliga signalen inneh˚aller frekvenser som är högre än fs/2, detta problem brukar kallas aliasef-fekten. För att undvika detta är det brukligt att analogt filtrera signalen med ett l˚agpassfilter med en brytfrekvens p˚a fs/2 s˚a kallad antialiasfiltrering.

Givare p˚averkas ofta av n˚agon form av störning, det vill säga den signal som mäts best˚ar ofta av brus enligt

y = x + e (3.1)

Där y är mätsignalen och e är störningen (mätbrus). Det önskade är att bestämma x som är den verkliga signalen genom att filtrera bort störningen. Tv˚a vanliga tillvägag˚angssätt för att ˚astadkomma detta är:

• Frekvensbaserad filtrering.

• Modellbaserad filtrering.

Vid filtrering baserad p˚a frekvensspektrum antas bruset ligga inom vissa frekvenser och d˚a minskas förstärkningen för dessa frekvenser. Detta görs genom att använda ett l˚ag, band eller högpassfilter. Den filtrerade signalen har sedan ett lägre energiinneh˚all för dessa frekvenser.

(32)

Modellbaserad filtrering används med fördel d˚a mer information om signalen finns att tillg˚a. Modellbaserad filtrering bygger p˚a att man har en matematisk modell för syste-met som används vid skattningen av signalen. Modellen kan vara en mycket enkel modell typiskt random-walk (kapitel3.6), eller en mer komplicerad modell framtagen genom fy-sikalisk kännedom av systemet (kapitel2.3).

Fr˚an modellen tas sedan ett filter fram baserat p˚a n˚agot kriterium, till exempel att mini-mera variansen hos skattningsfelet. Beroende p˚a vilket kriterium som skall uppfyllas ska-pas olika optimala filter. Om signalmodellen är p˚a tillst˚andsform brukar man säga att man använder sig av en observatör [4] för att skatta framtida värden p˚a signalen (kapitel3.5). En observatör där filtret optimerats med avseende p˚a mätosäkerheten och modellosäkerheten kallas kalmanfilter.

Vid alla former av filtrering sker alltid en tidsfördröjning av signalen. Desto h˚ardare filtrering som görs desto större blir tidsfördröjningen. Detta är ett problem framförallt vid reglering, eftersom alltför stora tidsfördröjningar leder till att bandbredden för systemet sänks [3].

3.2 Fouriertransform

För att undersöka vilka frekvenser som en signal inneh˚aller studeras signalens spektrum. Spektrumet för en signal bildas genom att signalen transformeras till frekvensplanet med hjälp av fouriertransform. Fouriertransform är ett sätt att dela upp en funktion till en sum-ma av ortogonala basfunktioner. Standardbasfunktionerna som används vid fouriertrans-form är

{sin(ωt), cos(ωt), w ∈ R} (3.2)

eller ekvivalent

{e−iωt_{∈ C}} _(3.3)

Här spänner ω över alla reella tal, vilket skapar en oändlig samling av basfunktioner. Funk-tionen f projiceras p˚a basfunktionerna e−iωtför att erh˚alla fourieramplituderna F (ω) för respektive frekvens ω. Vi har allts˚a

F (ω) = F (f (t)) =

Z _∞

−∞

f (t)e−iωtdt (3.4)

Generellt kommer F (ω) att vara komplex och F uttrycks ofta p˚a formen

F (ω) = |F (ω)| eiΦω _(3.5)

Normen |F (w)| kallas för beloppet av fouriertransformen av f (t) och exponenten Φ för fasvinkeln. Kvadraten p˚a beloppet av fouriertransformen kallas för energispektrumet av

f (t).

3.2.1 Diskret fouriertransform (DFT)

D˚a funktionen inte är kontinuerlig används diskret fouriertransform som har stora likhe-ter med den kontinuerliga fouriertransformen. DFT genererar enbart information över ett diskret antal frekvenser.

(33)

3.3 Korrelationsmetoden 15

Den högsta frekvens som kan representeras vid sampling är nyquistfrekvensen ωs/2. Det vill säga samplingen av en funktion m˚aste ske med dubbelt s˚a hög frekvens som den snabbaste frekvens som skall beskrivas. Integralen i Fouriertransformen kan d˚a approxi-meras med en Riemannsumma. Det finns en snabb implementering av denna algoritm vid namn FFT som löser denna ekvation p˚a ett effektivt sätt.

För att erh˚alla ett mer översk˚adligt spektrum kan Welchs metod användas. Insignal-sekvensen delas här upp i mindre segment och energispektrumet beräknas för respektive segmentdel. Spektralskattningen bildas sedan ur energispektrumens medelvärde.

3.3 Korrelationsmetoden

Korrelationsmetoden bygger p˚a samma grundteori som fourirertransform, skillnaden är att istället för att använda sig av ett oändligt antal basfunktioner s˚a gör man transformationen för endast en frekvens vilket resulterar i att man f˚ar fram amplitud respektive fas för denna frekvens. Om signalen är y(t) f˚ar vi allts˚a

Is= Z _t 0 y(t) sin(ωt)dt (3.6) Ic= Z _t 0 y(t) cos(ωt)dt (3.7)

Om signalen e(t) ¨ar brus och signalen beskrivs av

y(t) = Amsin(ωt + ϕ) + e(t) (3.8)

vilket ger Is=Am 2 cos(ϕ) − Z t 0 Am 2 cos(2ωt + ϕ)dt + Z t 0 e(t) sin(ωt)dt (3.9)

H¨ar kommer den andra termenR₀tAm

2 cos(2ωt + ϕ)dt att bli noll om m¨attiden t v¨aljs till

ett helt antal perioder. Om e(t) har ett utseende liknande normalfördelat vitt brus, vilket i kontinuerlig tid motsvarar en Diracpuls, kan förenklingen R₀te(t) sin(ωt)dt ≈ sin(t) göras. EnligtR_−∞∞ φ(t)δ(t − T ) =R_−∞∞ φ(t + T )δ(t) = φ(T ) [2].

Vi f˚ar allts˚a

Is≈ Am

2 cos(ϕ) (3.10)

Motsvarande resonemang kan f¨oras med Ic

Ic= Am 2 sin(ϕ) + Z t 0 Am 2 sin(2ωt + ϕ)dt + Z t 0 e(t) cos(ωt)dt (3.11) Ic≈ Am 2 sin(ϕ)t (3.12)

(34)

I det tidsdiskreta fallet har vi liknande ber¨akningar Idiskret s = Am 2 cos(ϕ) − 1 N N X t=1 Am 2 cos(2ωt + ϕ) + 1 N N X t=1 e(t) sin(ωt) (3.13) Idiskret c = Am 2 sin(ϕ) + 1 N N X t=1 Am 2 sin(2ωt + ϕ) + 1 N N X t=1 e(t) cos(ωt) (3.14)

Vi kan även här göra samma approximation som i ekvation (3.10), vilket ger

Isdiskret≈ Am 2 cos(ϕ) (3.15) Idiskret c ≈ Am 2 sin(ϕ) (3.16)

3.4 Best¨amma hastighet och acceleration

Framtagning av hastighet och acceleration kan göras p˚a flera sätt. Vanligtvis beräknas hastigheten genom en differentiering av positionen följt av n˚agon sorts filtrering för att minska bruset i signalen. Likas˚a en differentiera och filtrering av hastigheten för f˚a fram accelerationen.

D˚a hastigheten beräknas genom en differentiering av vinkeln kommer hastighetens utseende att bero p˚a kvaliteten p˚a vinkeln. Vinkeln i dagens system beräknas som vi s˚ag tidigare genom en arctan-operation som i h˚ardvaran implementerats som en numerisk me-tod. Kvaliteten p˚a hastighetssignalen kommer därför bero att p˚a den numeriska metodens precision. Det kan vara önskvärt att slippa numeriska metoder vid beräkningar eftersom en numerisk metod kan tillföra brus i signalen. För att komma undan detta undersöker vi möjligheten att beräkna hastigheten direkt fr˚an resolversignalerna x och y genom en utveckling av derivatan av arctan(y_x) enligt ekvation (3.17).

D ³ arctan³ y x ´´ =y ˙x − x ˙y y2_{+ x}2 (3.17)

Tidsdiskret kan detta skrivas som

ω = x(t)y(t − 1) − y(t)x(t − 1)

(x(t)2_{+ y(t)}2_)T (3.18)

Eftersom fler operationer p˚a värden kan leda till sämre noggrannhet är det intressant att undersöka hur detta p˚averkar resultatet. Därför har jämförelse gjorts med den numeriska metod Matlab använder för att beräkna arctan(y_x) resultatet visar p˚a knappt märkbara skillnader mellan denna metod och Matlabs metod.

En annan metod är att använda sig av ett modellbaserat angreppssätt, genom att utifr˚an den fysikaliska modellen av systemet estimera vinkel och hastighet. Detta görs enklast med hjälp av en s˚a kallad observatör [3]. Om modellen är detaljerad är modellens prediktion av systemets uppförande nära det verkliga.

(35)

3.5 Observat¨or 17

3.5 Observat¨or

Ett system kan p˚a tillst˚andsform beskrivas med f¨oljande ekvationer

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + N w(t)

y(t) = Cx(t) + v(t) (3.19)

Här betecknar w(t) systembrus och ν(t) mätbrus. Tillst˚andsvektorn x(t) observeras inte, utan endast de mätbara utsignalerna y(t). En observatör kan användas för att skatta eller rekonstruera tillst˚and enbart med hjälp av signalerna u och y enligt figur3.1. Grundiden

X \

A[

* 2EVHUYDW|U

* *

Figur 3.1. Observat¨or

med en observatör är att man använder sig av en fysikalisk modell av systemet för att beräkna tillst˚and som ej mäts. Följande simulering av systemet ansätts

˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) (3.20) Som m˚att p˚a hur bra skattningen ˆx ¨ar kan y(t) − C ˆx(t) anv¨andas. Denna storhet brukar

benämnas innovationen och beskriver skillnaden mellan utsignal och predikterat värde. Med mätbruset v = 0 och ˆx(t) = x(t) blir allts˚a innovationen noll. Observatören erh˚alls

nu genom ˚aterkoppling av det simulerade systemet ovan med innovationen skalad med en konstantmatris K.

˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + K(y(t) − C ˆx(t)) (3.21) M˚alet ¨ar att ˆx(t) ska vara en s˚a bra approximation av det sanna tillst˚andet som m¨ojligt. Om vi bildar skattningsfelet

˜

x(t) = x(t) − ˆx(t)) (3.22)

S˚a f˚ar vi fr˚an (3.21) och (3.22)

˜

x(t) = (A − KC)˜x(t) + N w(t) − Kv(t) (3.23)

Förstärkningen K, p˚averkar här skattningsfelet genom matrisen A − KC samt mätstör-ningen v. A − KC anger hur snabbt effekter fr˚an gamla fel klingar av, vi vill allts˚a att dess egenvärden ska vara s˚a stabila som möjligt vilket erh˚alls med ett stort K. Men eftersom K

(36)

även förstärker mätstörningar vill vi samtidigt ha ett s˚a litet K som möjligt vilket strider mot det tidigare önskem˚alet. Detta leder till att valet av K blir en avvägning mellan hur snabbt man vill att tillst˚andsrekonstruktionen ska ske (A − KC:s egenvärden) samt hur känslig för mätstörningar man till˚ats vara.

3.5.1 Kalmanfilter

Kalmanfiltret är den optimala observatör som minimerar skattningsfelet E ˜x(t)˜xT(t) [4]. Kalmanfilter används ofta vid signalfusion, d.v.s d˚a information fr˚an ett antal olika signaler ska vägas samman p˚a bästa sätt för att skatta en relaterad icke mätbar signal x. Om vi utg˚ar fr˚an tillst˚andsbeskrivningen i ekvation (3.19) där w och v är Gaussiskt vitt brus med intensiteten R1resp R2och korsspektrumet R12. Kan kalmanfiltret (kontinuerligt)

nu definieras enligt ekvation (3.23) med ett val av K enligt definitionen som

K = (P CT _{+ N R}

12)R2−1 (3.24)

där P är den symmetriska positivt semidefinita lösningen till Riccatiekvationen

AP + P AT _{− (P C}T _{+ N R}

12)R2−1(P CT+ N R12)T+ N R1NT = 0 (3.25)

som beskriver det minimala skattningsfelet (dess kovariansmatris). Som kan skrivas som

P = E¡x(t)˜˜ xT_(t)¢_{. Optimeringen utg˚ar allts˚a ifr˚an att man vet m¨atos¨akerheten och}

mo-dellosäkerheten. Mätosäkerheten kan man f˚a en uppfattning av genom att mäta varians och kovarians av mätsignalerna.

3.5.2 Extended kalmanfilter

Vid olinjäriteter i modellen kan denna linjäriseras kring aktuellt ˆx med hjälp av

Taylor-utveckling för att användas i ett kalmanfilter. Följande tillst˚andsbeskrivning beskriver ett system med olinjär system- och mätmodell.

˙x = f (x(t), u(t)) + b(t)w(t)

z = h(x(t)) + v(t) (3.26)

D¨ar systembruset har intensiteten Qk = E(wkwTk) och m¨atbruset har intensiteten Rk =

E(vkvkT). Följande ekvationer beskriver förfarandet vid varje diskret tidpunkt för ett ex-tended kalmanfilter [1].

Systemet linjäriseras genom att Jacobianerna för mät och systemmodellen beräknas (högre termer i Taylorutvecklingen försummas)

Fk =∂f ∂ ˆx(ˆxk, uk), Gk = ∂f ∂u(ˆxk, uk), Hk= ∂h ∂ ˆx(ˆxk) (3.27) Kalmanförstärkningen beräknas Kk= Pk|k−1HkT(HkPk|k−1HT + Rk)−1 (3.28)

(37)

3.6 Random walk 19

Filteruppdatering av tillst˚anden ber¨aknas

ˆ

xk|k= ˆxk|k−1+ Kk(zk− H ˆxk|k−1) (3.29) Uppdatering av kovariansmatrisen ber¨aknas

Pk|k= (I − KkHk)Pk|k−1(I − KkHk)T + KkRkKkT (3.30) Prediktering av n¨asta tillst˚and samt kovariansmatrisen ber¨aknas

ˆ

xk+1|k= Fkxˆk|k+ Gkuk|k (3.31)

Pk+1|k= FkPk|kFkT + BQkBT (3.32) Det är i regel termen BQBT som beskriver systembruset som ger en ökning av osäkerheten.

3.6 Random walk

Den enklaste rörelsemodell som kan användas för att beskriva ett system är en random walk modell (även kallad Wienerprocess eller Brownsk rörelse) [5].

Random walk i en dimension, med en modell best˚aende av vitt brus med en k¨and hastighet som styrsignal u(t), kan d˚a skrivas

dx

dt = u(t) + b ˙w(t) (3.33)

där ˙w(t) betecknar vitt brus, det vill säga formella derivatan av en Wienerprocess. En Wienerprocess w(t) är allts˚a integralen av vitt brus där vi valt väntevärdet E(w(t)) = 0 och normeringen E(w(t)2) = t.

Om hastigheten inte är konstant ansätter vi istället en andra ordningens modell där hastigheten är integralen av vitt brus (dubbelintegratorn) enligt

d2_x

dt2 = u(t) + b ˙w(t) (3.34)

d¨ar E( ˙w(t)) = 0 och E( ˙w(t) ˙w(τ )) = δ(t − τ ) (δ=Diracs deltafunktion). Med tillst˚andsvektorn X(t) = · x dx dt ¸ (3.35) erh˚alls den tidskontinuerliga modellen enligt

dX(t) dt = · 0 1 0 0 ¸ X(t) + · 0 1 ¸ u(t) + b · 0 1 ¸ ˙ w(t) (3.36)

En tidsdiskretisering av modellen med samplingstid T blir d˚a

X(k + 1) = · 1 T 0 1 ¸ X(k) + T · T /2 1 ¸ u(k) + BW (k) (3.37)

(38)

som beskriver rörelsen hos ett förem˚al som förflyttar sig utefter en axel med en modell best˚aende av vitt brus som integrerats tv˚a g˚anger.

Det tidsdiskreta systembruset BW (k) i ekvation (3.37) kan skrivas som

BW (k) =Rtk+1 tk · 1 (tk+1− s) 0 1 ¸ · 0 1 ¸ b ˙w(tk+ s)ds =Rtk+1 tk · tk+1 1 ¸ b ˙w(tk+ s)ds (3.38)

(39)

Kapitel 4

M¨atningar

Vi kommer i detta kapitel beskriva genomförandet av de mätningar som gjorts p˚a en IRB 2400. Vi gör ocks˚a en analys av brusinneh˚allet i mätningarna och undersöker vart detta brus kommer ifr˚an.

4.1 Tillv¨agag˚angss¨att

För att studera brusinneh˚allet i signalen fr˚an en resolver användes en ABB industrirobot av typ IRB 2400 som mätobjekt. Resolvern p˚a axel fyra valdes ut för mätningarna, d˚a denna axel bör p˚averkas mycket av störningar eftersom det finns flera närliggande motorer samt att kablaget fr˚an resolvern till mätkortet är l˚ang. Detta motsvarar att v˚ara mätningar kan ses som ett värsta fall. Ett oscilloskop kopplades in där signalen fr˚an resolvern g˚ar in p˚a mätkortet. Mätkortet var först tvunget att flyttas en bit ut ur det skärmande chassit för att ge plats ˚at mätproberna. Bruset visade sig bero mycket p˚a vilken avskärmning som lades runt kortet. Med mindre prober kunde dock mätkortet placeras i sin ursprungsposition och frontluckan endast ha en liten glipa för att ge plats ˚at kablarna som vi kan se i figur4.1.

Figur 4.1. Frontluckan nästan stängd. En liten glipa m˚aste lämnas för att ge plats ˚at mätkablarna.

Dessa g˚ar ut till h¨oger i bilden till notchfiltret och sedan vidare till oscilloskopet.

(40)

¨

Aven kablarna mellan mätprober och oscilloskop är skärmade för att inte ta upp ytterligare störningar p˚a grund av mätningarna. Oscilloskopet som användes hade en noggrannhet p˚a 8 bitar och eftersom bärv˚agens amplitud är dominerande i förh˚allande till brusets ampli-tud s˚a ställdes resolvern i ett läge d˚a en av kanalerna hade s˚a l˚ag bärv˚agsampliampli-tud som möjligt. Bruset f˚as d˚a med god noggrannhet. För att reducera bärv˚agsamplituden ytterli-gare och erh˚alla s˚a hög upplösningen p˚a bruset som möjligt p˚a b˚ada signalerna samtidigt, byggde vi tv˚a analoga andra ordningens notchfilter p˚a 4 kHz (se figur4.2). Detta för att eliminera bärv˚agen. Designen av notchfiltret visas i figurD.1.

Figur 4.2. Analogt notchfilter som använts för att filtrera bort bärv˚agen.

Som brusindata till v˚ara simuleringar har vi använt signalen fr˚an notchfiltret d˚a roboten varit i stillast˚aende läge men med motorerna (och pulsbreddsmoduleringen) p˚aslagna. Sig-nalen inneh˚aller d˚a endast mätbruset enligt figur4.3. Resolversignalerna (x och y), vinkeln och vinkelhastigheten har loggats genom axeldatorn. x och y har även dom använts som indata till v˚ara simuleringar för att verifiera modellen av mätkortet samt för att jämföra de metoder som ej bygger p˚a översampling.

(41)

4.2 Analys av bruset i m¨atningarna 23 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8 x 10−3 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 Tid (s) Amplitud (V)

Figur 4.3. Signal fr˚an resolvern filtrerad med det analoga notchfiltret. Ytterst lite av b¨arv˚agen finns

kvar, energispektrum av signalen finns i figurC.1

4.2 Analys av bruset i m¨atningarna

Brusspikarna i figur 4.3kommer framförallt fr˚an pulsbreddsmoduleringen av motorer-na. Motorerna är synkroniserade mot bärv˚agen för systemet p˚a ett s˚adant sätt att puls-breddsmoduleringen fr˚an den motor som resolvern sitter p˚a ej sl˚ar till samtidigt som samp-lingen av signalen sker. Detta för att minimera inverkan av störningar fr˚an motorerna. Dock är det s˚a att det kan ske inverkan fr˚an pulsbreddsmoduleringen av de andra motorer-na. I figur4.4a är amplituden p˚a bärv˚agen liten och brusspikarna fr˚an

pulsbreddsmodule-−0.1247 −0.1246 −0.1245 −0.1244 −0.1243 −0.1242 −0.1241 −0.124 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 t (s) Amplitud (V) (a) −0.1247 −0.1246 −0.1245 −0.1244 −0.1243 −0.1242 −0.1241 −0.124 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 t (s) Amplitud (V) (b)

Figur 4.4. (a) Tidsplanet: Tydliga brusspikar vid liten b¨arv˚agsamplitud. (b) Samma signal som i (a)

(42)

ringen syns tydligt. Spikarna ˚aterkommer med en frekvens p˚a 2 ∗ 8 kHz och härstammar fr˚an pulsbreddsmoduleringen. Vid l˚aga hastigheter ligger spikarna fr˚an pulsbreddsmodu-leringen konstant p˚a samma ställe p˚a bärv˚agen men vid höga moment och accelerationer vandrar dom längs bärv˚agen d˚a Tpuls i figur2.4 ökar. Vid l˚ag amplitud p˚a bärv˚agen är signalbrusförh˚allandet (SNR) som vi ser litet och felet blir stort. Det l˚agpassfilter med brytfrekvens p˚a 60 kHz som sitter p˚a mätkortet minskar och smetar ut de högfrekventa brusspikarna n˚agot enligt figur4.4b.

Det största frekvensinneh˚allet i x och y signalerna ligger givetvis runt 4 kHz som är bärv˚agens frekvens. Studerar vi figur 4.5 där bärv˚agen minimerats av ett notchfilter tillverkat i Matlab, s˚a ser man tydligt ytterligare frekvenser med hög energi. Tydliga toppar syns p˚a bland annat 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 och 44 kHz. Dessa är troligtvis övertoner av bärv˚agen vilka har uppkommit när denna genererats p˚a grund av att en upplösning p˚a sex bitar används och att komponenterna har en viss felmarginal.

Vid frekvenserna 1.2-1.8 kHz finns ett betydande energiinneh˚all. (En inzoomning av detta intervall finns i figurC.2). Dessa frekvenser är sv˚arare att härleda till n˚agot speciellt fenomen. En djupare analys av de ing˚aende delarna i systemet m˚aste i s˚a fall utföras. Aliaseffekter kommer uppträda i form av invikning av dessa frekvenser som ligger mellan nyquistfrekvensen p˚a 1 kHz och l˚agpassfiltrets brytfrekvens p˚a 60 kHz.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x 104 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x 10 −3 Frekvens (Hz) Energi innehåll

Figur 4.5. Energiinneh˚all f¨or x-signalen med b¨arv˚agen bortfiltrerad.

Ett exempel p˚a brusets storlek i förh˚allande till bärv˚agsamplituden visas i figur4.6a och b. I figur a syns x signalen med en amplituden p˚a cirka 10% av maxamplituden vilket gör att brusspikarna syns tydligt (signalerna har blivit skalade en faktor 0.1 p.g.a mätproberna). I figur b som visar y signalen vid samma tidpunkt är amplituden nära maxamplitud och signalbrusförh˚allandet är givetvis avsevärt bättre.

(43)

4.2 Analys av bruset i m¨atningarna 25 0.05610.05620.05630.05640.05650.05660.05670.05680.0569 0.057 0.0571 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tid (s) Amplitud (V) (a) 0.05610.05620.05630.05640.0565 0.05660.05670.05680.0569 0.057 0.0571 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tid (s) Amplitud (V) (b)

Figur 4.6. (a) x signalen med liten b¨arv˚agsamplitud (P.g.a m¨atproberna har signalen skalats en

faktor 0.1, d.v.s amplituden p˚a signalen är cirka 10% av maxamplituden). Roboten st˚ar i läge run on (med pulsbreddsmoduleringen tillslagen). (b) y signalen vid samma tidpunkt, amplituden är här nära maxamplitud.

Energiinneh˚allet för x och y signalen i figur 4.6visas i figur4.7. Bärv˚agen är mer utsmetad i figur4.7b vilket gör att mycket av bärv˚agens energi fortfarande är kvar och störfrekvenser under 4 kHz syns inte. För högre frekvenser är det framförallt 12, 20 och 32

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 104 0 1 2 3 4 5 6x 10 −3 Frekvens (Hz) Energi innehåll (a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 104 0 1 2 3 4 5 6x 10 −3 Frekvens (Hz) Energi innehåll (b)

Figur 4.7. (a) Energiinneh˚all f¨or x signalen i figur4.6a (4kHz har minskats med ett notchfilter). (b)

Energiinneh˚all för y signalen i figur4.6b (4kHz har minskats med samma notchfilter som i (a)) kHz som har högre energiinneh˚all. Detta härstammar som vi tidigare nämnt att det bildas övertoner till bärv˚agen när denna skapas. Detta leder till att när amplituden p˚a bärv˚agen

(44)

ökar s˚a kommer även dessa övertoner att förstärkas och slutsatsen kan dras att dessa verk-ligen har bildats d˚a bärv˚agen konstruerats.

Om roboten ställs i ett läge som ger samma bärv˚agsamplitud p˚a b˚ade x och y signalen s˚a ser energispektrumen för de b˚ada signalerna väldigt lika ut, vilket visas i figur4.8. Vi ser frekvensinneh˚all framförallt p˚a 8, 12 och 20 kHz i de b˚ada spektrumen. Frekvensen 32 kHz finns här enbart i x signalen. Det kan nämnas att 12 kHz överlag har varit den dominerande störfrekvensen. I detta fall har den ca 10 g˚anger större energiinneh˚all än toppen vid 20 kHz som har näst störst energi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 104 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 Frekvens (Hz) Energi innehåll (a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 104 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 Frekvens (Hz) Energi innehåll (b)

Figur 4.8. (a) Energiinneh˚all för x signalen där bärv˚agen har samma amplitud som y signalen.

(4kHz har minskats med ett notchfilter). (b) Energiinneh˚all för y signalen där bärv˚agen har samma amplitud som x signalen. (4kHz har minskats med ett notchfilter).

(45)

Kapitel 5

Metoder f¨or att minska bruset

Vi kommer i det här kapitlet att beskriva de metoder vi undersökt för att minska bruset i vinkel och hastighetssignalen.

I dagens system är kvaliteten p˚a vinkeln tillräckligt bra för att erh˚alla god precision. Dock är kvaliteten p˚a hastighetssignalen ej tillfredsställande. Detta leder till att metoder för att ta fram bättre hastighetssignal framförallt bygger p˚a att ändra filtreringen av has-tigheten. Men även att öka kvaliteten p˚a mätsignalen. Eftersom signalerna är ˚aterkopplade i reglerloopen är det viktigt att man inte ökar tidsfördröjningen i systemet eftersom detta ger upphov till lägre bandbredd [3].

Däremot är det intressant undersöka om det finns möjlighet att öka kvaliteten p˚a sig-nalen utan att det resulterar i för stora tidsfördröjningar. Detta resulterar i mindre brus i signalen som differentieras vilket skulle leda till bättre hastighets˚atergivelse.

Om man ser till den digitala sidan av mätkortet finns det huvudsakligen tv˚a angreppssätt att öka kvaliteten p˚a signalen:

• _{Oversampling. Att sampla signalen med hög samplingsfrekvens och sedan väga}¨ samman ett antal sampel till ett sampel. Man kan tänka sig flera varianter av över-sampling och vi har undersökt tre olika metoder.

– Skursampling.

– Medelv¨ardesbildning.

– Amplitudbest¨ammning m.h.a korrelationsmetoden.

• Effektivare ber¨akningsmetod som ej ¨okar signalens varians.

– Här har vi framför allt ett förslag p˚a att göra ett olinjärt kalmanfilter som kon-tinuerligt tar hänsyn till vinkelpositionen samt korrelationen mellan resolver-signalerna x och y och sedan viktar dessa beroende p˚a denna vinkel.

(46)

5.1 Variansen f¨or vinkeln i dagens system

Som vi nämnt tidigare s˚a samplas systemet p˚a varannan topp av bärv˚agen. Vinkeln beräknas med en arctan-operation av resolversignalerna x och y, det vill säga

θ = arctan³ y

x

´

(5.1) Det är intressant att undersöka hur variansen för vinkeln varierar beroende p˚a vilket vin-kelläge resolvern st˚ar i. Med ζ =£x y¤beräknas variansen för funktionen f som

V ar(f (ζ)) ≈ df dζP (ζ) df dζ T (5.2) Kovariansmatrisen P f¨or x och y signalerna ans¨atts som

P (ζ) = · σ2 1 ρ ρ σ2 2 ¸ (5.3) Termen ρ beskriver h¨ar hur stark korrelation som finns mellan signalerna. D˚a f = arctan s˚a erh˚alls variansen av θ enligt ekvation (5.2) ovan.

V ar(θ) =h_x2_+yy 2 _x+y12_/x i ·σ2 _ρ ρ σ2 ¸ " y x2_+y2 1 x+y2_/x # (5.4)

Vilket med resolversignalerna x och y enligt ekvation (2.1) resulterar i variansen

V ar(θ) = σ

2

1sin2(θ) + σ22cos2(θ) − ρ2sin(θ)cos(θ)

A2

msin(ωt)2

(5.5) Här kan nämnaren ses som en konstant vilket gör att ändringar i variansen kommer att bero p˚a täljaren. Om signalerna har samma varians det vill säga σ1= σ2= σ blir täljaren

σ2_{− ρ2sin(θ)cos(θ). Vi ser d˚a att det ¨ar korrelationstermen ρ som leder till att variansen}

är beroende p˚a vilken vinkel resolvern st˚ar i. Utan korrelation mellan x och y blir allts˚a variansen för θ konstant. Men med korrelerade signaler ser vi att −ρ2sin(θ)cos(θ) ger ett positivt bidrag d˚a resovlervinkeln befinner sig i andra och fjärde kvadranten. Variansen av

(47)

5.2 Skursamplingsmetoden 29

5.2 Skursamplingsmetoden

Skursamplingsmetoden g˚ar ut p˚a att man utnyttjar att A/D-omvandlaren har möjlighet att sampla med en hög frekvens. Man kan d˚a erh˚alla ett stort antal sampel under en kort tid p˚a respektive topp av bärv˚agen (se figur5.1). De samplade värdena fr˚an x respektive y signalen summeras sedan och θ f˚as som tidigare

θ = arctan µ P y P x ¶ (5.6) Detta ger allts˚a ett medelvärde av vinkel fr˚an tidpunkten för första samplet till tidpunkten för det sista.

Anledningen att summeringen av respektive x och y signal gjorts innan arctan-opera-tionen utförts är att s˚a f˚a trigonometriska beräkningar som möjligt bör göras. Vi har dock gjort simuleringar d˚a vi istället för att beräkna θ enligt ekvation (5.6), gjort en summering av flera arctan-operationer enligtParctan(y/x). Detta visade sig dock inte ge n˚agon skillnad av resultatet.

Figur 5.1. Schematisk bild av skursamplingsmetoden d¨ar ett antal sampel erh˚alls p˚a en b¨arv˚agstopp

Vi ansätter variansen för x signalen som σ2och undersöker minskningen av varians för x signalen med skursamplingsmetoden enligt ekvation (5.7).

V ar Ã 1 N N X i=1 xi ! = 1 N2V ar Ã_N X i=1 xi ! (5.7)

Om E(x) antas vara normalf¨ordelad f˚as

V ar(1 N N X i=1 xi) = σ 2 N (5.8)

Vi ser att minskningen av variansen är proportionell mot antalet sampel N . Om mätningarna är korrelerade f˚as variansen p˚a motsvarande sätt och vi visar detta med ett räkneexempel

(48)

med tre m¨atningar V ar(1 3 3 X i=1 xi) =σ 2 3 + 2P (x1, x2) + 2P (x1, x3) + 2P (x2, x3) (5.9)

Här ser vi samma term som i ekvation (5.8) men vi har här ocks˚a tre kovarianstermer. Detta kan ses som en nackdel med skursamplingsmetoden eftersom mätvärdena kommer tätt vilket gör att korrelationen mellan respektive sampel är stor. Med andra ord finns det risk att en lokal störningar f˚ar ett större genomslag än om sampel hade tagits med större mellanrum.

5.3 Medelv¨ardesmetoden

Tanken med medelvärdesmetoden är att sampling sker p˚a varje topp och botten av bärv˚agen. Sedan nedsamplas signalen genom att medelvärdesbildning av ett antal sampel görs. Vin-keln beräknas här p˚a samma sätt som med skursamplingsmetoden enligt ekvation (5.6).

Skillnaden mellan denna metod och skursamplingsmetoden är att medelvärdesmetoden tar ett medelvärde av mätvärden samplade över en längre tidsperiod än skursamplingen vil-ket leder till större tidsfördröjningar av den nedsamplade signalen.

Figur 5.2. Ett sampel p˚a varje topp och botten av b¨arv˚agen.

Beräkningarna för minskning av variansen med medelvärdesmetoden blir identiska med skursamplingsmetoden. B˚ada metoderna tar ett medelvärde av ett antal sampel. Vid okor-relerade mätvärden f˚as en varians enligt ekvation (5.8) och med korrelerade mätvärden som i ekvation (5.9). Teoretiskt skulle de tv˚a metoderna allts˚a ge likvärdig variansminsk-ning. Vid medelvärdesmetoden löper man dock mindre risk för korrelation mellan respek-tive sampel eftersom mätvärdena tas med ett längre inbördes tidsintervall.

(49)

5.4 Korrelationsmetoden 31

5.4 Korrelationsmetoden

Genom att anta att vinkeln är konstant under en kort tidsperiod kan korrelationsmeto-den användas för att bestämma amplitukorrelationsmeto-den p˚a bärv˚agen och därigenom öka säkerheten i mätningen. Resolversignalerna x och y definieras enligt ekvation (5.10) och (5.11) där e1

och e2¨ar bruset i respektive signal.

x = Amcos(θ) sin(ωt + ϕ) + e1(t) (5.10)

y = Amsin(θ) sin(ωt + ϕ) + e2(t) (5.11)

Fasen för bärv˚agen är känd eftersom den genereras av systemet vilket gör att vi endast är intresserade av att bestämma amplituden p˚a bärv˚agen. D˚a räcker det att endast betrakta Is i ekvation (3.9). Vi har allts˚a

Isx= 1 N N X t=1 x sin(ωt) (5.12) Isy= 1 N N X t=1 y sin(ωt) (5.13)

Om vinkeln θ kan anses konstant under perioden 1 till N s˚a ger ekvation (5.10) till (5.13) p˚a samma sätt som i kapitel3.3att följande utveckling kan göras

Isx= Am 2 cos(θ) cos(ϕ) − 1 N N X t=1 Am 2 cos(θ) cos(2ωt + ϕ) + 1 N N X t=1 e1(t) sin(ωt) (5.14) Isy=Am 2 sin(θ) cos(ϕ) − 1 N N X t=1 Am 2 sin(θ) cos(2ωt + ϕ) + 1 N N X t=1 e1(t) sin(ωt) (5.15) Om periodtiden N är l˚ang vilket leder till att θ inte kan ses som konstant, kan utvecklingen till ekvationerna (5.14) och (5.15) inte göras och vi kommer istället f˚a ett medelvärde av amplituden under tidsperioden.

Vinkeln erh˚alls som tidigare genom

θ = arctan(Isy

Isx)

(5.16) Detta ger en varians av Isxoch Isyp˚a

V ar(Isx) = σ

2

x

(50)

V ar(Isy) =

σ2

y

N (5.18)

Fördelen med korrelationsmetoden framför medelvärdesbildningen och skursamplingsme-toden är att den ej kräver att man samplar p˚a toppen av bärv˚agen utan att man istället kan sampla p˚a hela bärv˚agen och änd˚a uppn˚a samma prestandahöjning av kvaliteten p˚a x och

y signalen.

5.5 Extended kalmanfilter

Genom att man vet att resolversignalerna x och y är korrelerade eftersom de b˚ada kommer fr˚an samma givare och har utsatts för samma störningar. Används ett extended kalmanfilter vid beräkningen av θ och ω. Detta gör att respektive signal kommer viktas p˚a ett optimalt sätt beroende p˚a dess varians och kovarians. Anledningen till att ett extended kalmanfilter används är att mätekvationen är olinjär och därför m˚aste denna linjäriseras i varje punkt för att sedan kunna användas vid beräkningen av kalmanförstärkning.

Det diskreta systemet utan insignal kan p˚a tillst˚andsform beskrivas som

˙x = F x + Bw

z = Hx + v (5.19)

Tillst˚andsvektorn ans¨atts som

x = · θk ωk ¸ (5.20) Modellen definieras enligt kapitel3.6som en random walk modell, det vill s¨aga

Fk = · 1 T 0 1 ¸ (5.21) En linj¨arisering av m¨atekvationen ger

Hk= · Amcos(θk−1) 0 −Amsin(θk−1) 0 ¸ (5.22)

Amplituden Amber¨aknas vid varje sampel genom Am=

p

z2

1+ z22. Där mätvärdena z1

och z2allts˚a ¨ar y respektive x signalen fr˚an resolvern.

Beräkningarna följer nu de matrisekvationerna som definierades för ett extended kalman-filter i kapitel3.5.2(Qk är systembrusets kovariansmatris och Rk är mätbrusets kovarians-matris). Kalmanförstärkningen Kk= Pk|k−1HkT(HkPk|k−1HkT + Rk)−1 (5.23) Filteruppdatering av tillst˚anden ˆ xk|k= ˆxk|k−1+ Kk(zk− H ˆxk|k−1) (5.24)

(51)

5.5 Extended kalmanfilter 33

Uppdatering av kovariansmatrisen

Pk|k= (I − KkHk)Pk|k−1(I − KkHk)T + KkRkKkT (5.25) Prediktering av n¨asta tillst˚and samt kovariansen

ˆ

xk+1|k= Fkxˆk|k (5.26)

Pk+1|k= FkPk|kFkT + BQkBT (5.27) Termen BQkBT är här en designparameter och beskriver ökningen av osäkerhet i system-bruset. Ofta ansätts Qk = I vilket ger BQkBT med hjälp av ekvation (3.38) enligt

BQkBT = Z _T 0 · T − s 1 ¸ £ T − s 1¤b2ds = · T3_{/3 T}2_/2 T2_/2 _T ¸ b2 (5.28)

Denna term har endast använts som utg˚angspunkt vid designen och har modifierats vid intrimningen av filtret. Rk är framtagen genom att kovariansen för de loggade resolversig-nalerna beräknats.

För att visa hur viktningen av respektive resolversignal görs har vi nedan plottat absol-utbeloppet av kalmanförstärkningen. I figur5.3a kan vi se hur x och y signalerna viktas mot varandra om dom anses okorrelerade. Här är beteendet ganska intuitivt och följer uppförandet för en arctan-operation. Men i v˚art fall där x och y signalerna kan antas vara korrelerade ser vi i figur5.3b en annan viktning av signalerna. Här är uppförandet inte alls lika intuitivt och det är allts˚a denna information som kalmanfiltret utnyttjar genom att använda sig mer av den signal som har minst varians.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 theta

Viktning av x och y signalen om signalerna okorrelerade

x y (a) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 theta Viktning av x och y signalen när signalerna korrelerade

x y

(b)

Figur 5.3. (a) Viktning av resolersignalerna om de har samma varians och ¨ar okorrelerade. (b)

(52)

(53)

Kapitel 6

Resultat del 1

Vi kommer här att presentera resultaten för de metoder som vi undersökt för att minska bruset i vinkel- och hastighetssignalen. Vi börjar med att presentera vad dessa metoder ger för förbättring med de förutsättningar som finns idag. Sen undersöker vi vad resultatet blir om bärv˚agsfrekvensen och samplingshastigheten kunde ökas ytterligare. Utvärderingen har gjorts med hjälp av simuleringsmodeller i simulink. Där vi använt oss av brus mätt fr˚an robot med hjälp av oscilloskop och ett notchfilter (se kapitel4). Vi har även använt oss av loggade resolversignaler fr˚an roboten för att verifiera de metoder som inte bygger p˚a n˚agon förändring av h˚ardvaran.

6.1 Jämförelse av metoder vid nuvarande bärv˚agsfrekvens

Vi har här utg˚att fr˚an de begränsningar som finns p˚a mätkortet idag för att undersöka vilka förbättringar som skulle kunna göras. För att kunna jämföra resultaten mellan de olika me-toderna har vi trimmat in alla filter s˚a att de har samma prestanda och sedan undersökt hur mycket respektive filter minskat variansen av signalen. Med samma prestanda menas att respektive metod har samma tidskonstant. Detta motsvaras av att alla metoder har samma tidsfördröjning vid ett steg p˚a ing˚angen. Vi förutsätter att det finns möjlighet att sampla mer än en resolver p˚a samma topp.

Vinkelpositionen beräknas genom arctan(y_x) med undantag för v˚art extended kalman-filter eftersom denna metod modellbaserat skattar vinkeln och vinkelhastigheten. Vi kom-mer studera vinkelhastighetssignalen eftersom bruset syns tydligast hastighetssignalen. I hastighetssignalen blir just fenomenet att arctan-operationen ger upphov till ökning av variansen vid vissa vinklar extra tydligt (se kapitel5.1). Som jämförelseobjekt (referens-hastighet) används en hastighet framtagen genom att resolversignalerna samplats med 2 kHz, vinkeln framtagen genom en arctan-operation och filtrerats med ett l˚agpassfilter p˚a 250 Hz samt differentierats.

(54)

6.1.1 Skursamplingsmetoden

I figur6.1a ser vi hastigheten framtagen med hjälp av skursamplingsmetoden. Fyra mätvärden tas med en frekvens av 200 kHz p˚a toppen av bärv˚agen som sedan medelvärdesbildas och samplas ut med 2 kHz. Signalen filtreras med samma l˚agpassfilter (250 Hz) som i referens-signalen d˚a metoden inte bidrar med n˚agra extra tidsfördröjningar. Hastigheten beräknas genom en differentiering. I figur6.1b ser vi referenshastigheten enligt kapitel6.1 (samp-lingstakt p˚a 2 kHz, filtrerad genom ett l˚agpassfilter p˚a 250 Hz samt differentierad). Vi ser att skursamplingsmetoden knappt ger n˚agon förbättring av variansen. Standardavvikelsen

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 Skursamplingsmetoden (a) 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 atan(y/x) (b)

Figur 6.1. (a) Signalen samplad med skursamplingsmetoden. Skurarna ¨ar om fyra sampel som ¨ar

medelvärdesbildade och sedan nedsamplade till 2 kHz. Hastigheten tas fram genom en arctan-operation, l˚agpassfiltrering (250 Hz) samt differentiering. (b) Referenshastigheten enligt kapitel6.1. minskar endast till en faktor 0.95. Om vi jämför resultatet med ekvation (5.9) kan vi dra slutsatsen att det är stor korrelation mellan mätvärdena. En förklaring är att om signalen först filtreras med ett analogt filter med en brytfrekvens p˚a 60 kHz vilket är betydligt lägre än översamplingsfrekvensen p˚a 200 kHz s˚a kommer mätvärdena vara korrelerade eftersom det knappt existerar frekvenser större än brytfrekvensen för filtret i signalen.

Frekvensinneh˚allet i signalerna visas i figur6.2. Vi ser tydligt hur invikning har gett tydliga toppar p˚a vissa frekvenser. Minskningen av störfrekvenser med hjälp av skursamp-lingsmetoden är som vi kan se liten. De flesta frekvenserna i referenssignalen finns kvar med bibeh˚allen energi.

(55)

6.1 Jämförelse av metoder vid nuvarande bärv˚agsfrekvens 37 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Frekvens (Hz) Energi innehåll atan(y/x) Skursamplingsmetoden

Figur 6.2. Energispektrum f¨or referenshastigheten och hastigheten framtagen med

skursamplings-metoden (se figur6.1).

6.1.2 Medelv¨ardesmetoden

Figur 6.3 visar hastigheten framtagen med medelvärdesmetoden plottad mot referens-hastigheten. Vid medelvärdesmetoden samplas respektive topp och botten av bärv˚agen

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 atan(y/x) Medelvärdesmetoden

Figur 6.3. Den heldragna linjen ¨ar hastigheten framtagen med medelv¨ardesmetoden. Den streckade