Jedním z jevů, který potvrzuje, že světlo má vlnovou povahu, je interference světla.
3. 1. Matematický popis vlnění
Prochází-li nějakým prostředím vlnění, uvede postupně jednotlivé částice prostředí do periodického pohybu. Doba, za kterou se pohyb opakuje, se nazývá perioda a značí se T.
Předpokládejme, že pohyb nějaké částice M se děje po přímce y. Zvolme na této přímce pevný bod O a označme okamžitou vzdálenost částice M od bodu O písmenem y.
Potom můžeme periodický (opakující se) pohyb v nejjednodušším případě vyjádřit rovnicemi
t A
y= sinω nebo y= Acosωt,
kde A a ω jsou konstanty a t je proměnný čas. Periodický pohyb vyjádřený těmito rovnicemi se nazývá harmonický.
Aby se pohyb částice M opakoval za dobu T, musí být
T ω = 2π .
Konstanta
f T1
= se nazývá frekvence kmitavého pohybu, π πω
ω = 2 =2
T se nazývá úhlová frekvence pohybu, tω je fáze pohybu a A je amplituda.
Zatím jsme popsali jen pohyb jedné částice prostředí. Probíhá-li prostředím vlnění, budou uváděny do kmitavého pohybu postupně všechny jeho částice. Nyní popíšeme, jak bude přecházet periodický pohyb na jednotlivé body přímky x vyznačující směr, podél kterého se šíří uvažovaný shluk vln.
Obr. 1: K mat.
popisu vlnění
Nechť v bodě O, ze kterého se začíná rozruch šířit, je stav vyjádřen rovnicí
t
y=sinω . (1) Do jednotlivých bodů přímky x bude tento rozruch přicházet s určitým časovým zpožděním.
Předpokládáme-li, že v prostředí nenastává absorpce, takže amplituda A zůstává stálou, můžeme vyjádřit stav v bodě P vzdáleném o x od bodu O,
kde v je rychlost šíření rozruchu. Do kmitavého pohybu budou postupně uvedeny všechny body uvažovaného prostředí. Tento způsob šíření kmitavého rozruchu na jednotlivé částice prostředí se nazývá vlnění.
Za dobu T dospěje vlnění do určité vzdálenosti
=vT
λ , (3)
která se nazývá vlnová délka vlnění.
Dosadíme-li ze vztahu (3) do vztahu (2), dostaneme po úpravě
(
vt x)
kde = x=kx λ
ϕ 2π . Kterákoliv z předešlých rovnic popisuje vlnění.
Zaměříme se ještě na fyzikální význam amplitudy vlnění. Vyšetříme blíže energetické poměry kmitavého pohybu. Předpokládejme, že kmitající hmotný bod má hmotnost m. V každém okamžiku je jeho energie rovna součtu energie kinetické a potenciální. Vyjádříme si obě tyto energie.
Pro rychlost částečky plyne derivací (1) t
Potenciální energie je rovna práci, která je třeba na vychýlení částečky z rovnovážné polohy do vzdálenosti y. Protože pro zrychlení platí
y t
dt A
a= dv =− ω2sinω =−ω2 ,
je elementární práce potřebná na zvětšení výchylky o dy rovna ydy
m mady= ω2
− ,
takže potenciální energie je
.
Celková energie je pak
2
Z výsledku je patrné, že celková energie kmitající částice je přímo úměrná čtverci amplitudy. Množství energie, procházející pří šíření vlnění jednotkovou plochou kolmo na směr šíření, se nazývá intenzita vlnění. Podle předchozího výsledku je tedy intenzita vlnění přímo úměrná čtverci amplitudy, takže lze obecně psát
KA2
I = . (4)
3. 2. Skládání vlnění
Pro vlnění je charakteristické, že postupují-li v témž prostředí současně stejným směrem dvě vlnění, skládají se podle principu superpozice ve vlnu výslednou.
Předpokládejme, že do určitého bodu P prostředí přicházejí vlnění ze dvou míst B1, B2
vzdálených od P o x1, x2. Nechť obě vlnění mají stejnou úhlovou frekvenci ω, stejnou vlnovou délku λ a amplitudy A1, A2.
Výchylka přicházejícího z bodu B1 bude v bodě P vyjádřena rovnicí
(
1)
Podobně výchylka přicházejícího z bodu B2 bude v bodě P vyjádřen rovnicí
Výsledná výchylka se získá podle principu superpozice jako součet jednotlivých výchylek, tj. y= y1+ y2, takže lze psát
Protože A1, ϕ1, A2, ϕ2 jsou konstanty, můžeme položit
Je tedy zřejmé, že výsledné vlnění má stejnou úhlovou frekvenci ω jako obě původní vlnění, přičemž konstanty A a ϕ souvisí s konstantami jednotlivých vlnění vztahy plynoucími z (5). Dělením první a druhé rovnice (5) dostaneme
Umocněním a sečtením obou rovnic (5) vyplývá
(
2 1)
se proto fázový rozdíl. Platí(
2 1)
počtu půlvln), tedy2 2
tj. výsledné vlnění má největší amplitudu.
Je-li však
( )
tj. výsledné vlnění má amplitudu nejmenší. Odvozené výsledky platí pro každý periodický děj, šířící se bez absorpce stálou rychlostí.
Ze vztahu (6) je vidět, že amplituda výsledného vlnění je rovna vektorovému součtu amplitud jednotlivých vlnění. To je velmi důležité pro skládání většího počtu vlnění.
3. 3. Interference světla ze dvou zdrojů
Předpokládejme, že každý bod P osvětlený světelným zdrojem, je v určitém světelném stavu, definovaném periodickou proměnou y. Periodicita v prostoru spojená s konečnou rychlostí šíření má za následek periodicitu v čase, takže můžeme například psát
(
ω −ϕ)
Podle vztahu (4) je intenzita světelného vlnění úměrná čtverci amplitudy. Vztah (6) určuje čtverec amplitudy světelného vlnění vyvolaného v určitém bodě dvěma vlněními téže frekvence a přicházejícími ze dvou různých zdrojů. Můžeme tedy pro intenzitu světelného vlnění psát
( )
Obr. 4: K vektorovému sčítání dvou amplitud vlnění
Odtud je patrné, že se intenzita světla v uvažovaném bodě při
tj. fázový rozdíl je roven lichému násobku π, nebo je dráhový rozdíl roven lichému násobku
tj. fázový rozdíl je roven sudému násobku π, nebo je dráhový rozdíl roven sudému násobku
Z výsledku je patrné, že v prvém případě je výsledná intenzita rovna čtverci rozdílu amplitud a v druhém případě je intenzita rovna čtverci součtu.
Ve zvláštním případě, kdy A1 = A2 = A, je výsledná amplituda buď rovna nule nebo rovna čtyřnásobku intenzity jednoho světelného vlnění.
Nabývá-li fázový rozdíl ϕ2 −ϕ1 libovolných hodnot, bude podle toho výsledná intenzita I nabývat hodnot ležících mezi uvedenými krajními hodnotami, tj. mezi nulou a 4KA . Tato změna intenzity světla.vyvolaná 2 skládáním dvou světelných vlnění se nazývá interference světla.
3. 4. Podmínka koherence
Odvozené podmínky interference platí za předpokladu, že fázový rozdíl
(
ϕ2 −ϕ1)
není během pozorování časově proměnný. ϕ1 a ϕ2 se však časem mohou měnit tak, že jejich rozdíl zůstává stálý. Kdyby se fázový rozdíl(
ϕ2 −ϕ1)
během pozorování měnil, měnil by se také ráz interferenčního jevu a kdyby tyto změny následovaly velmi rychle za sebou, tak by je nebylo možné vůbec rozhodnout, zda dochází k interferenci. Je-li fázový rozdíl(
ϕ2 −ϕ1)
konstantní, jsou svazky koherentní.
Pokud mají být interference pozorovatelné, musí se fáze dvou nebo více světelných vlnění měnit současně, tedy zdroje spolu musí určitým způsobem souviset. Zdroje, které mají tuto vlastnost, nazveme koherentní.
3. 5. Interference světla N zdrojů
Dosud jsme sledovali interferenci světla dvou svazků. Nyní budeme zkoumat podmínky interference světla. Nyní budeme zkoumat podmínky interference světla přicházejícího z většího počtu koherentních zdrojů.
Předpokládejme, že A1 = A2 =…= AN = A. Vlnění přicházející do
Abychom mohli určit intenzitu výsledného vlnění v bodě P, stanovíme jeho amplitudu.
Z předchozího víme, že výsledná amplituda je rovna vektorovému součtu amplitud jednotlivých vlnění.
Z obrázku plyne
( )cosΦ= + cosϕ+ cos2ϕ+ + cos
(
−1)
ϕNásobíme-li druhou z rovnic (7) číslem i a sečteme-li obě rovnice, dostáváme
( ) ( )
Použitím (8) dále plyne
( )
[
eiϕ e iϕ e N iϕ]
A iS
C+ = 1+ + 2 +…+ −1 a po sečtení této řady dostaneme
1
Obr. 5: K určení amplitudy vícesvazkové interference
1
Vynásobením posledních dvou vztahů dostaneme