Den klassiska skalteorin som grundar sig på den matematiska elasticitetsteorin kallas ibland också för böjteori. Membranteorin är en förenklad variant utav böjteorin och uppställdes redan under 1800-talets första hälft utav Lamé och Clapeyron. Teorin förut-sätter att enbart tangentiella krafter uppstår i skalet, alltså endast normalkrafter och skjuvkrafter.
Detta antagande stämmer approximativt för skal med positiv Gauss-krökning och ju tunn-are skalet är relativt krökningsradien desto noggranntunn-are blir resultatet. Positiv Gauss-krökning inträffar när de båda huvudGauss-krökningarna har samma tecken. Antagandet fungerar även i praktiska sammanhang fullt tillfredställande när det gäller normala skal-dimensioner, om lasten är kontinuerlig samt att upplagen varken framtvingar moment eller tvärkrafter. Uppläggningen skall alltså vara statiskt bestämd. Samtliga snittkrafter kan ur membranteorin bestämmas ur jämviktsekvationerna.
Om uppläggningen inte är statiskt bestämd får man istället använda sig av böjteorin, där i jämviktsekvationerna även tvärkrafter sam böj- och vridmoment tas med. Samband mellan deformationer och påkänningar används för att få fram snittkrafterna. Böjteorin bygger som tidigare nämnts på den matematiska elasticitetsteorin och innehåller en rad approximationer som är betydelselösa ur praktisk synpunkt för homogena, isotropa (samma egenskaper i alla riktningar) skal om förhållandet r/t > 10 och att de största deformationerna inte överstiger t/3. Där r är krökningsradien och t skalets tjocklek.
Membranteorins lösning kan ofta användas som en partikulär lösning till böjteorins differentialekvationer, till denna behövs sedan endast adderas en lösning som uppfyller randvillkoren vid upplaget. Vid dubbelkrökta skal med likriktad krökning ger böjteorin störspänningar av betydande storlek endast inom en smal zon från upplaget. Membran-teorin ger alltså en mycket bra bild av spänningarna över den allra största delen av skalets yta. För cylinderskal och dubbelkrökta skal med olika huvudkrökningsriktningar är däremot området där störspänningarna spelar en väsentlig roll mer utbrett från randen. [2]
4.1.1 Beräkningsgång enligt membranteori
Det horisontella trycket ph ska tas upp av ringkrafter i silon och uppfylla jämviktsvillkoret uppställt i figur 4.1. Hur horisontaltrycket vid tömning varierar med djupet beskrivs enligt Eurokoden med hjälp av formel 3.13.
d r
N : 2·N-d·ph=0
N=d/2·ph
N=r·ph
N ph
t
t
Figur 4.1 Jämviktsvillkor för membranteori
Att lösa det jämviktsvillkoret är det enda som behöver göras om enbart dimensionering enligt membranteori skall göras. Men för vidare beräkning enligt böjteori är det av intresse att även ta fram förskjutningen samt vinkeländringen. Till att börja med så fås spänningen i skalet genom att dividera den framtagna ringkraften, NJ, som kan anses verka på en höjd av 1 meter, med tvärsnittsaren, A, av skalet.
t p r t
t A
p r N
A N
h h
J
J ⋅
=
⎪⇒
⎭
⎪⎬
⎫
=
⋅
=
⋅
=
=
σ σ
1
(4.1)
Dragkraften i skalet leder till att silons omkrets töjs ut och dess längd får ett tillskott Δl om omkretsens längd betecknas l enligt följande formel.
l l = ⋅
Δ ε (4.2)
I vilken σ E
ε = (4.3)
där E = elasticitetsmodulen
Det som är intressant i fortsättningen är hur mycket radien förlängs på grund av det invändiga jordtrycket. Men då omkretsen och radien förhåller sig som l =2⋅π⋅r så betyder det att radien förlängs på samma sätt som omkretsen.
r r = ⋅
Δ ε (4.4)
Radiens utvidgning blir då slutligen om man kombinerar ihop formlerna 4.1, 4.3 och 4.4:
t E
r rJ ph
⋅
= ⋅
Δ 2 (4.5)
Där ph är beroende av djupet, x, under fyllningens ekvivalenta höjd. Vidare är som sagt även vinkeländring av intresse för den vidare studien, vore det en vätska i behållaren hade den varit konstant över hela höjden. Vinkeländringen, ϑ , fås nämligen genom att derivera uttrycket för förskjutningen (formel 4.5) med avseende på x, vilket i detta fall med ett kornmaterial ger uttrycket:
t E
r ph
J ⋅
= '⋅ 2
ϑ (4.6)
4.1.2 Beräkningsgång enligt böjteori
Till att börja med krävs att krökningen, κ, bestäms enligt följande formel.
(
1 2)
1 3 ν
κ = −
rt (4.7)
där ν = materialets kontraktionstal
4 Effekter i konstruktionen
25 Enligt böjteorin delar man in beräkningen i två delar, en för inverkan av böjande moment och en för inverkan av en horisontell kraft. För inverkan av ett böjande momentet, M1, av storleken 1 kNm/m bestäms de intressanta parametrarna som följer.
( )
( (
h x) (
h x) )
re
NM =2κ2 −κ h−x cosκ − −sinκ − (4.8)
( )
( (
h x) (
h x) )
Et e
rM = r h x − − −
Δ κ −κ − κ κ
sin 2 2 2 cos
(4.9)
( )
(
h x)
Et e
r h x
M = κ − − κ −
ϑ 4 3 2 κ cos
(4.10)
( )
( (
h x) (
h x) )
e
MM = −κ h−x sinκ − +cosκ − (4.11)
Där h är fyllningens ekvivalenta höjd. För inverkan av en horisontell kraft, R1, av stor-leken 1 kN/m bestäms motsvarande parametrar som följer.
( )
(
h x)
re
NR =2κ2 −κh−x cosκ − (4.12)
( )
(
h x)
Et e
rR = r h x −
Δ κ −κ − κ
2 2 2 cos
(4.13)
( )
( (
h x) (
h x) )
Et e
r h x
R = κ − − κ − + κ −
ϑ 2 2 2 κ sin cos
(4.14)
( )
(
h x)
e
MR = − h−x κ − κ
κ sin
1 (4.15)
Ovanstående formler har tagits fram utav Geckeler och gäller för konstant skaltjocklek.
4.1.3 Randvillkor och bestämning av definitiva snittkrafter
För att bestämma storleken av de obekanta randstorheterna M1 och R1 måste ett randvill-kor finnas. I detta fall anses randen vara fast inspänd (vid x=h), vilket innebär att både den sammanlagda förskjutningen och vinkeländringen ska vara lika med noll.
R1
x
ϑM
RM
Δ ΔRR
ϑR
R1
M1
M1
x
Figur 4.2 Förskjutning och vinkeländring på grund av böjande moment respektive horisontell kraft
Ställs dessa två villkor upp fås följande ekvationer.
1 0
1Δ + Δ =
+ Δ
=
Δr rJ M rM R rR (4.16)
1 0
1 + =
+
=ϑJ M ϑM RϑR
ϑ (4.17)
Ur dessa två ekvationer går de två sökta storheterna (M1 och R1) att lösas ut. Som sedan används för att bestämma de definitiva snittkrafterna i konstruktionen. Till den ursprung-liga från membranteorin framräknade kraften (NJ = ph⋅r) adderas störspänningarna som randvillkoret ger upphov till, formel 4.18.
R M
B M N R N
N = 1⋅ + 1⋅ (4.18)
NMoch NRsom kan fås ur ekvationerna 4.8 och 4.12 ger att uttrycket kan skrivas om till:
( )
( (
h x) (
h x) )
R re ( )(
h x)
re M
NB = 1⋅2κ2 −κh−x cosκ − −sinκ − + 1⋅2κ2 −κh−x cosκ − (4.19) Den slutgiltiga snittkraften som konstruktionen skall dimensioneras för blir:
B
J N
N
N = + (4.20)
Momentet som ska tas upp av den vertikala armeringen beräknas på liknande sätt som för snittkraften. I detta fall blir momentet
R M
B M M R M
M
M = = 1⋅ + 1⋅ (4.21)
För fullständiga beräkningar av snittkrafter och moment se bilaga 3.
4.1.4 Resultat
För exempelsilon beräknades tre olika fall, samtliga från det gällande tömningstrycket enligt Eurokodens definition. Då det inte går att bedöma exakt hur det osymmetriska trycket kommer att verka med denna metod förstorades det symmetriska trycket upp i två av fallen. I det första fallet ignoreras dock det symmetriska trycket, resultatet av detta framgår i figur 4.3. De två diagrammen visar hur stor dragkraften blir i armeringen samt hur momentet som ska tas upp av vertikal armeringen sprider sig upp från den fast inspända randen.
Figur 4.3 Fördelning av kraft och moment för silo belastad med ordinarie tömningstryck
-150 0 150 300
0
16
32
48
Djup [m]
Ringkraft [kN]
Resulterande Inspänning Membran
-5 0 5 10
0
16
32
48
Djup [m]
Moment [kNm/m]
Ordinarie tömningstryck
4 Effekter i konstruktionen
27 I det andra fallet ökades trycket i silon med storleken av den del av det osymmetriska trycket som verkar utåt. Trycket ökades med andra ord genom att multiplicera det symmetriska trycket med 1+Cpe.
Det sista fallet genomfördes utifall det skulle visa sig att det andra fallet med det lokalt utåtriktade trycket över hela silon gav jämförelsevis orimligt stora dragkrafter. Därför beräknades en ny ekvivalent tryckökning fram. Tillägstrycket från det andra fallet förmin-skades genom att fördela de från det utåtriktade osymmetriska tryckens resulterande krafter längs hela omkretsen i stället för på de två mindre zonerna. Trycket ökades med andra ord genom att multiplicera det symmetriska trycket med
pe pe
c
c C C
d
d = + ⋅
⋅
⋅ + ⋅
π π
4 , 1 0 2
, 0
1 2 .
Figur 4.4 Fördelning av kraft och moment för silo belastad med ordinarie tömningstryck samt över hela silon den utåtriktade delen av det osymmetriska trycket
Figur 4.5 Fördelning av kraft och moment för silo belastad med ordinarie tömningstryck samt över hela silon det ekvivalenta trycket
-150 0 150 300
0
16
32
48
Djup [m]
Ringkraft [kN]
Resulterande Inspänning Membran
-5 0 5 10
0
16
32
48
Djup [m]
Moment [kNm/m]
Tömningstryck med lokal tryckökning
-150 0 150 300
0
16
32
48
Djup [m]
Ringkraft [kN]
Resulterande Inspänning Membran
-5 0 5 10
0
16
32
48
Djup [m]
Moment [kNm/m]
Tömningstryck med ekvivalent tryckökning
Storleken av extremvärdena i ovanstående sex diagram framgår av nedanstående tabell.
Maximal dragkraft [kN] Moment [kNm/m]
Membran Resulterande Max Min
Ordinarie tryck 168,4 175,6 9,8 -2,0
Inkl. lokal
tryckökning 213,5 222,6 12,4 -2,6
Inkl. ekvivalent
tryckökning 174,1 181,5 10,1 -2,1