3 Metod
3.6 Konstruktion av simuleringsmodell
När man definierar energibalanserna som ligger till grund för
simuleringsmodellen utgår man från de matematiska samband som beskriver respektive byggnadselement, se ekvation 6-9. Uppförandet av energibalanser
kommer att ske enligt metoden CCC vilket tydliggörs under rubriken 3.6.2.
En systemgräns sätts upp innan energibalansen utförs för att kunna avgränsa komplexiteten och omfattningen på arbetet. Vid uppförande av energibalansen löses den tillståndsvariabel ut som skall variera över tiden. Tillståndsvariabeln representeras av att den beskriver något som vi vill analysera samtidigt som den går att verifiera genom mätning. I detta fall kommer storheten temperatur att användas eftersom den är lätt att relatera till samt enkel att mäta. När
energibalansen är utförd kan tillståndsvariabeln beräknas över tiden genom stegvis integration. Därmed får vi en bild över hur den specifika temperaturen kommer att utvecklas över tiden.
I ekvation 9 beskrivs temperaturförändringen över tiden i en homogent
konstruerad yttervägg. Systemgränsen har dragits kring den omslutande in- och utomhusluften. Energiflödena som påverkar temperaturen i väggen är
avgränsade till de två parenteser som beskrivs i ekvationen.
Nedan följer ett exempel över hur energibalansen för en homogent konstruerad vägg kan utföras:
Förändring i värmeenergi beror på värmetillskott subtraherat med värmeförluster multiplicerat med förändring i tiden.
𝑑𝑑𝑄𝑄 = �𝑄𝑄̇𝐵𝐵𝑖𝑖 − 𝑄𝑄̇𝑢𝑢𝑡𝑡�𝑑𝑑𝑡𝑡
(6)
Båda led divideras med förändring i tiden och värmeenergin varierar nu över tiden.
𝑑𝑑𝑄𝑄
𝑑𝑑𝑡𝑡 = �𝑄𝑄̇𝐵𝐵𝑖𝑖 − 𝑄𝑄̇𝑢𝑢𝑡𝑡�
(7)
En systemgräns upprättas och energibalansen definieras.
𝑑𝑑𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 ∙ 𝑚𝑚𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 ∙ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔� 𝑇𝑇𝐵𝐵𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑅𝑅𝑠𝑠𝐵𝐵 −𝑅𝑅𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔2 � − 𝐴𝐴𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔� 𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 2 − 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑖𝑖 � (8)
21 av 43
Tillståndsvariabeln bryts ut och energibalansen slutförs.
𝑑𝑑𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 ∙ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 ⎝ ⎛�𝑇𝑇𝐵𝐵𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑅𝑅𝑠𝑠𝐵𝐵 −𝑅𝑅𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔2 � − � 𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 2 − 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑖𝑖 � ⎠ ⎞ (9) För att simulera ovan nämnda förlopp behöver energibalansen konstrueras rent matematiskt i simuleringsmodellen. I Simulink görs detta genom att koppla samman de olika block som representerar respektive matematiska formler. Exempel på hur simuleringsmodellen över energibalansen 9 kan se ut efter att ha konstruerats i programmet Simulink finns åskådliggjord i figur 6.
Figur 6, visar hur energibalansen över en homogent konstruerad vägg kan konstrueras i programmet Simulink.
22 av 43 3.6.1 Diskretisering av byggnadselement
För att korrekt beskriva värmetransporten genom ett byggnadselement behöver materialskiktet delas upp i mindre segment för att noggrannheten i
beräkningarna skall bli tillfredsställande (Hensen, Nakhi 1994). Denna metod kallas för diskretisering (Akander 2000).
Materialskikten har på grund av detta delats in fyra segment á 2,5 cm mot den sida som möter inneluften och i större relevanta segment mot uteluften, se figur 7. Motiveringen till detta är att en ökad noggrannhet krävs för att modellen korrekt skall behandla snabba temperaturväxlingar i inneluften.
Figur 7, visar en illustration som beskriver segmenteringen av en 24 cm tjock homogen vägg.
3.6.2 Cellkonfiguration
Segmenten hos de olika byggnadselementen kommer att konstrueras efter principen CCC, central capacity cell, där temperaturen beräknas utifrån cellens
geometriska mitt i horisontalled (Akander 2000). I figur 8 åskådliggörs även metoden ECC där man som jämförelse utgår ifrån cellens ränder.
Valet av metod kan motiveras med att man principiellt sett utgår ifrån
segmentens mittpunkt när vi beskriver värmetransporten genom en vägg med hjälp av dess medeltemperatur.
23 av 43
Figur 8, visar en schematisk bild av de två typerna för cellkonfiguration CCC och ECC.
3.6.3 Biot-tal och uniform temperaturfördelning
I tabell 6-7 redovisas de beräknade Biot-talen för alla specifika materialsegment som påverkas av konvektion. Biot-talet visar hur förlåtande det är att beskriva randsegmenten enbart genom dess medeltemperatur. Värden som ligger under 0,1 påvisar att det är okej att göra detta antagande medan värden över påvisar att en mer komplexitet behöver tillämpas. Detta görs genom noggrannare diskretisering av byggnadselementen.
I tabellerna kan vi utläsa att det är långt ifrån rimligt att anta uniform
temperaturfördelning för gällande diskretisering angående några material som gips, mineralull och trä. För utsidan av klimatskalet syns detta extra tydligt då värmeövergångstalet leder till såpass höga Biot-tal. Detta är en förenkling som trots allt kommer att göras för att undvika alltför omfattande tidsåtgång till konstruktion av simuleringsmodellerna.
24 av 43
Tabell 6, visar beräkning av Biot-talet utifrån Boverkets riktlinjer om konvektiva värmemotstånd för insidan av klimatskalet.
Material Tjocklek, L [m] Lc, L/2 [m] [K∙mRsi 2∙W-1] [W∙Kh -1∙m-2] [W∙Kk -1∙m-1] Biot [1] Betongtak 0,025 0,0125 0,10 10 1,7 0,07 Betongvägg 0,025 0,0125 0,13 7,7 1,7 0,06 Fönsterglas 0,002 0,001 0,13 7,7 2,9 0,00 Gipstak 0,013 0,0065 0,10 10 0,22 0,30 Gipsvägg 0,013 0,0065 0,13 7,7 0,22 0,23
Mineralull ovan tak 0,025 0,0125 0,17 5,9 0,04 1,84
Tegelvägg 0,025 0,0125 0,13 7,7 0,6 0,16
Trägolv 0,02 0,01 0,17 5,9 0,14 0,42
Träspån ovan tak 0,05 0,025 0,17 5,9 0,08 1,84
Trätak 0,02 0,01 0,10 10 0,14 0,71
Trävägg 0,02 0,01 0,13 7,7 0,14 0,55
Tabell 7, visar beräkning av Biot-talet utifrån Boverkets riktlinjer om konvektiva värmemotstånd för utsidan av klimatskalet.
Material Tjocklek, L
[m] Lc, L/2 [m] [K∙mRsi 2∙W-1] [W∙Kh -1∙m-2] [W∙Kk -1∙m-1] Biot [1] Tegelvägg 0,025 0,0125 0,04 25 0,6 0,52
Träpanel 0,02 0,01 0,04 25 0,14 1,79
3.6.4 Korrigering av medeltemperatur med Fourier-tal
Enligt tidigare genomförda studier vid Karlstads universitet kan Fourier-tal användas för att justera beräkningarna av medeltemperaturen hos olika materialsegment vid simulering i Simulink (Forsberg 2010). Eftersom det är medeltemperaturen i varje segment vi utgår ifrån i modellen är detta en vital del för att bättre kunna beskriva värmetransporten.
För att beräkna ett specifikt Fourier-tal används grundekvationen för
densamma med undantag för att man ersätter tiden t i ekvationen mot
tidskonstanten τ för ett linjärt dynamiskt system av första ordningen.
Tidskonstanten definieras till när medeltemperaturen för objektet nått 1-(1/e) av det simulerade temperatursteget mellan ränderna. Vidare tillämpas hälften av tjockleken hos den karakteristiska längden eftersom man utgår ifrån segmentets medeltemperatur som ligger i dess mitt.
För att få fram tidskonstanten tillämpas COMSOL Multiphysics för att utföra de specifika simuleringarna (COMSOL 2010).
25 av 43
I programmet skapar man en 2D-modell av tvärsnittet hos segmentet i
horisontalled med en väggarea på 1 m2 vilken simuleras över tiden.
Temperaturdifferensen mellan ränderna har i detta fall satts till 2 °C. När man nu tagit fram tidskonstanten för varje specifikt objekt kan även Fourier-talen beräknas varefter de tillämpas i Simulink. Tillvägagångssättet åskådliggörs i ekvation 10 där den teoretiska värmekapaciteten för varje segments energibalans multipliceras med Fourier-talet.
𝑑𝑑𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 ∙ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 ∙ 𝑭𝑭𝑭𝑭 ⎝ ⎛�𝑇𝑇𝐵𝐵𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑅𝑅𝑠𝑠𝐵𝐵 −𝑅𝑅𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔2 � − � 𝑇𝑇𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 − 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑣𝑣ä𝑔𝑔𝑔𝑔 2 − 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑖𝑖 � ⎠ ⎞ (10) I figur 9 visas en jämförelse mellan den mer fysikaliskt korrekta simuleringen av medeltemperaturen i COMSOL jämfört med en likadan konfiguration simulerat i Simulink med och utan tillämpning av det beräknade Fourier-talet. Det
specifika segmentet består av ett 12 cm tjockt väggelement av tegel med en temperaturdifferens på 2 °C mellan ränderna och initialtemperaturen 20 °C.
Figur 9, visar en jämförelse mellan de olika simuleringarna, grön (COMSOL), rosa (Simulink med Fourier-tal), blå (Simulink utan Fourier-tal).
26 av 43