Kraftberäkning

För att kunna ta fram rätt krafter måste vissa justeringar av attackvinkeln göras. Då rotorhastigheten har

nått sitt maximum på

120rpm kommer

attackvinkeln att öka i samband med att den inkommande vinden ökar. Genom att lösa för ett nytt löptal från ekvation (3.6) kan en ny attackvinkel för den relativa vinden tas fram. Den nya attackvinkeln kan ses i figur 4.2. Notera att attackvinkeln är

Figur 4.1. ϴ beskriver relativa vindens inkommande vinkel och β är bladets tillverkade vridning från fabrik.

Figur 4.2. Den nya attackvinkeln för den relativa vinden.

Resultat

26 konstant för 10 ≤ 𝑉_𝑖𝑛≤ 18 [^𝑚

𝑠] p.g.a. att löptalet är oförändrat i intervallet (λ=6).

Jämför gärna med tabell 3.2.

Krafterna för ett rotorblad utan pitch räknas först fram för att se storleken på krafterna för respektive vindhastighet. Som tidigare beskrivits i litteraturstudien visar [2] att effekten ökar svagt linjärt då vinden ökar linjärt. Effekt, 𝑃, är kopplat till moment och rotationshastighet, 𝑃 = 𝑀 ∙ Ω och 𝑀 = 𝐹_𝑇∙ 𝑟. Därför väljs här att kraften ska öka svagt linjärt från 16-24m/s, se figur 4.3. Kom ihåg att efter 20m/s är rotationshastigheten konstant och ett relativt konstant effektuttag kan göras över denna vindhastighet, precis i linje med resultaten i [2]. Notera också hur den axiella kraften på rotorbladen, 𝐹_𝑁, går ner i samband med detta.

Figur 4.3. Kurvorna ”Med pitch” markerar önskat beteende. Det streckade röda området markerar hur storleken på normalkraften som ligger till grund för hur fjädern skall dimensioneras för att erhålla det önskade beteendet.

Tabell 4.1 nedan visar i grönt hur mycket bladet måste vridas för att kraften ska ha utseendet i figur 4.3. Kolumnerna i mitten visar hur attackvinkeln ökar från sektion A-H för respektive vindhastighet om inte pitchen tillämpas, se figur 4.3 ”Utan

Tabell 4.1. Hur stor ändringen av alfa måste vara för att hålla önskat beteende av kraften.

Resultat

27 4.1.3 Dimensionering av torsionsfjäder

Ett fjäderelements funktion är att tillfälligt kunna lagra/ta upp energi. För de flesta metallfjädrar är sambandet mellan kraft och deformation linjärt. Utanför det linjära området finns fjädrar med progressiv- och degressivkaraktäristika. Progressiv är gradvis ökande och degressiv är gradvis avtagande [14]. I figur 4.4 syns att den

”Anpassade”-kurvan är svagt degressiv. Den kurvan är resultatet av en kvadratisk anpassning för de moment som fjädern ska följa. I figuren syns också en linjäranpassning av den degressiva kurvan samt skillnaden dem emellan. Det är tydligt här att en linjär fjäder är en mycket god approximation för konstruktionen.

Då krafterna beräknats med hjälp av värden för den nya attackvinkeln från tabell 4.1 kan momenten för intervallet 16 < 𝑉_𝑖𝑛≤ 24 [^𝑚

𝑠] beräknas.

Momentet vid 16m/s ska aktivera fjädern, dvs momenten i fjädern blir lika med noll i detta läge. Det innebär att fjädern ska förspännas till motsvarande moment som genereras vid 16m/s. Då vindhastigheter är över 16m/s kommer skillnaden mellan det förspända momentet och aktuellt moment att vrida fjädern, se ekv (3.11).

Figur 4.4. Försumbar skillnad syns mellan kurvorna i svagt blått. ”Anpassad”

kurva är svagt degressiv.

Resultat

28 Beräkning av vridfjäderkonstanten, k_M, ekv (3.11), möjliggör att övriga fjäderparametrar kan bestämmas. Tråddiameter, d, bestäms till ett heltal för att undvika udda dimensioner. På grund av att dimensionering av axeln för rotorbladet inte behandlas i denna rapporten presenteras några alternativ i tabell 4.2. Lagom är bäst sägs det, därför väljs ”Fjäder B”.

Torsionfjäderns dimensioner beräknas med ekv (3.12) till:

Parametrar 𝒌_𝑴

Tabell 4.2. Alternativ till dimensioner för vridfjädern. Se figur 4.5 för Fjäder B.

4.1.4 Dimensionering av lager

Beräkning av dimensionerande krafter görs enligt de två fall som redovisas i avsnitt 3.2.8. Då belastningen på de lager som ska dimensioneras är statiska och rörelsen i dem är försumbar blir valet av lager något enklare. SKF definierar att val av lager bör väljas utifrån statisk bärförmåga, 𝐶₀, om ”Lagret gör långsamma oscillerande rörelser eller inställningsrörelser under belastning”. Lagrets bärighetstal definierar gränsen för lagrets maximala belastning, belastningar över denna gräns kan orsaka permanenta plastiska deformationer på lagret [13].

Figur 4.5. Bilden visar Fjäder B från tabell 4.2.

Resultat

29 För rullager bestäms 𝐶₀ = 𝑃₀𝑠₀ , där 𝑠₀ är en säkerhetsfaktor för lagret. För given applikation gäller 𝑠₀ = 1. Det ger att den statiska bärförmågan 𝐶₀ = 𝑃₀ = 𝐹_𝑟 för radiellt belastade rullager och 𝐶₀ = 𝑃₀ = 𝐹_𝑎 för axiellt belastade. Specifikt val av lager återfinns i tabell 4.3. för övriga detaljer kring lagerna hänvisas [13]. Det blir

kraftiga böjande moment vid navet vid höga vindhastigheter trots reduktion av belastningen från pitchen därför bestäms här ett CC (centrum-centrum)-mått till minst 115mm, se figur 4.6.

Tabell 4.3. Dimensioner för lager för ytterligare data om lagerna se sid 658 &

1020 i SKF-katalog för respektive lager.

Notera att axiallagret har en mindre håldiameter än det andra lagret. Detta bidrar ytterligare som en naturlig låsning av axiallagret då detta lagret håller hela rotorbladet på plats. Det skall noteras att någon hållfasthets bedömning för axeln har inte gjorts i detta arbete på grund av detta kan storleken för axeldiametern, d, komma ändras något.

Figur 4.6. Vy över belastningar och lagerpositioner monterade på den mekaniska pitchen.

Resultat

30 4.1.5 Färdig konstruktion

Figur 4.7. Färdig konstruktion med rätt dimensioner. Här syns också hur inkapslingen är monterad på pitchmekanismen.

För att kunna få till en fungerande konstruktion behövs konstruktionsförslaget kompletteras. För vindhastigheter över 24m/s giras verket ur vind och i fallet då pitchmekanismen har nått sitt ändläge, är det nödvändigt att pitchen inte fortsätter förbi detta läge. För att försäkra att pitchen inte fortsätter förbi sitt ändläge införs ett skydd med ett inbyggt stopp, detaljen kallas ”Inkapsling”, se figur 4.8.

Inkapslingen monteras enligt figur 4.7 och 4.9. Notera hur stoppet på inkapslingen sitter monterad på pitchen och tillägget på topplattan.Tillsammans med en likadan mötande inkapsling (fast utan stopp) skruvas det båda delarna ihop så att fjädern omsluts och skyddas. Inkapslingen skruvas sedan fast i bottenplattan.

Figur 4.8. Ena halvan av inkapslingsdetaljen

Resultat

31 Nedan (figur 4.10) syns färdig produkt monterad och införd i navet på rotorn.

Figur 4.10. Överblick av rotor med implementerad fjädrande mekanism en inzoomad vy över den passiva pitch mekanismen.

Figur 4.9. Inkapslingen monterad på den mekaniska pitchen. Det högra stoppet i bilden är fast på topplattan.

När pitchning av bladet sker minskar avståndet mellan stoppen

Diskussion och Slutsats

32

5 Diskussion

5.1 Resultatdiskussion

5.1.1 Konstruktion

Den konstruktion som återfinns i figur 4.6 ovan återger rätt dimensioner för fjäder och lager utifrån de krafter som tagits fram från de matematiska modellerna.

Huvudpunkten för arbetet var just att ge en mekanisk lösning för att kunna pitcha ett rotorblad. I [2] tar författarna upp att när vindar över märkvind inkommer till mindre verk giras i regel rotorn ur vind för att minska belastningarna, detta till ett pris av att effektproduktionen reduceras kraftigt. Samt att verket utsätts för strukturdynamiska laster som kan leda till utmattningsskador. Genom att tillämpa pitch mekanismen kan belastningarna reduceras samtidigt som produktion av effekt kan behållas, se figur 4.3 och [3]. Genom reduktionen av belastning, ökar också antalet belastningscykler som rotorn kan utsättas för innan utmattning av materialet sker [3].

På grund av att den presenterade lösningen bygger på ett idealt rotorblad där designparametrar har valts utifrån det referensverk som nämns tidigare i rapporten, samt att referensverket har en komplett implementerad passiv mekaniskpitch, stärker detta övertygelsen om konstruktionens rimlighet. Slutproduktens gränssnitt (förband mellan nav-pitch och pitch-rotorblad) kan se olika ut beroende på tillverkare och ska därför betraktas styvmoderligt. Det ses dock inte som ett problem då justeringar beroende på situation kan med enkelhet göras.

Valet av hur momentet ska genereras, dvs genom att placera momentpunkten något framför det aerodynamiska centret för rotorbladet ger goda resultat teoretiskt.

Spekulativt och utan någon större vetskap om hur tillverkning av rotorbladen går till kan det potentiellt vara svårt att få till en exakt position så att det önskade momentet genereras. Dessutom i detta arbetet betraktas rotorbladet som stelt, dvs inga deformationer på bladet sker under belastning. I det reella fallet förkommer det deformationer. Hur stora deformationerna är beror på rotorbladets flexibilitet.

Hur som helst är det troligt att detta påverkar storleken på de moment som överförs till pitchen.

I arbetet med den mekaniska pitchen bygger vridverkan av bladet på de aerodynamiska krafter som genereras av rotorbladet. De passiva mekaniska pitchlösningar som hittats bygger på centripetalkraften. För [7],[15],[6] aktiveras pitchning av bladen av ett specifikt varvtal. Det är både oroande och intressant att, hittills, har ingen pitch av typen som presenteras i denna rapporten hittats. Att utgå från centripetalkraft vid design av mekaniskpitch istället för de aerodynamiska krafterna kan vara ett enklare tillvägagångssätt rent beräkningsmässigt men också i ett praktiskt sammanhang. Centripetalkraft är beroende av massan, radien och rotationshastigheten i kvadrat, ekv (3.13). Då massan och radien är konstanter blir kraften enklare att förutsäga och varvtalen kan med enkelhet knytas till vindhastigheten. Samt att i praktiska sammanhang beror pitchen endast på

Diskussion och Slutsats

33 rotationshastigheten. Genom att utgå från de aerodynamiska krafterna är stegen, rent beräkningsmässigt, flera och det kan vara en nackdel vid beräkning av de dimensionerande krafterna men också i praktiska sammanhang. Fördelen med den mekaniska pitch som arbetats fram här är att den har en enkel konstruktion och få komplexa delar som ska samverka.

5.1.2 Torsionsfjäder

Den framtagna torsionsfjädern som tar upp och kontrollerar moment från rotorbladet har verifierats i samråd med Lesjöfors AB (en tillverkare av mekaniska fjädrar) att de valda dimensionerna är fullt rimliga och realiserbara. Det som krävs ytterligare prövning och undersökning är precisionen av fjädern vid små vinkelutslag som det rör sig om i det presenterade förslaget. Valet av att inte ha några skänklar på fjädern kan utgöra en potentiell felkälla för fjäderns precision.

Rekommendation för torsionsfjädrar för att erhålla god precision är att ha ett större vinkelutslag. En amerikansk tillverkare [13] av maskinbearbetade vridfjädrar hävdar ett fel av vinkelutslag på 1%, det nämns inget om pålagda krafter/moment eller om vinkelförskjutningen måste ligga inom något visst intervall, bedömning görs att detta även gäller små vinkeländringar. Hur det än ligger till, bör den framtagna lösningen testas och mätas för att en god bedömning av dess precision skall kunna göras. Fjädern bör också ha stöd vid dess innerdiameter för att förhindra att fjädern kränger åt oönskat håll. En lösning är en inverterad fjäder, ett spår där fjädern får stöd runt om.

5.1.3 Lager

Val av lager och lagerkombinationer kan göras på många olika sätt. Valet för det här specifika fallet bygger på två radiallager och ett axiallager som tar upp respektive krafter. Majoriteten av lasterna på lagerna är statiska och i det här specifika fallet roterar dem högst endast 7,6 grader. Detta motsvarar en rörelse i lagret på cirka 10 mm. Valet är också beroende av storleken på axeln.

5.1.4 Vidare arbete

Utifrån de dimensionerande krafterna kan till exempel förband för pitchens gränssnitt undersökas närmare, dimensionering av axeln för rotorbladet, implementera en dämpare till torsionsfjädern för att reducera vibrationer. En intressant studie hade varit att tillverka den framtagna fjäderlösningen och utföra tester för att bedöma dess precision och beteende. Rekommendationen är då att hitta en tillverkare av vindkraftverk i storleksordningen 3-20 m i rotordiameter.

Konstruktionen möjliggör som bekant att effektproduktion tillåts även för vindhastigheter ovan märkvind. Utan pitchen sker ingen effektproduktion. I arbetet redogörs inte hur den extra effektproduktionen påverkar verket

ekonomiskt, dvs vinsten och effekten av vinsten med att ha effektproduktion ovan märkvind är av stort intresse. För att göra en god skattning för den potentiella vinsten och dess effekter kan t.ex. följande besvaras/väljas:

Diskussion och Slutsats

34

• Välja en plats för verket.

• Rotorns höjd ovan marken.

• Generator typ och kvalité.

• Vad är medelvinden för denna plats?

• Hur ofta blåser det ovan märkvind?

• Vilka vindhastigheter är ovan märkvind och hur frekventa är dessa vindarna under ett år?

Listan ger några exempel på tänkbara parametrar/frågor att ta med i en studie kring vinsten och dess effekter.

5.2 Metoddiskussion

5.2.1 Bedömning av vald metod

Målet för de matematiska beräkningarna för detta arbetet har aldrig varit att räkna fram den perfekta rotorn. Ändamålet har varit att få fram hur krafterna med avseende på hur vindhastighet varierar då de genereras över en vingprofil i rotation.

Med andra ord överslagsberäkningar har gjorts för att kunna dimensionera den färdiga konstruktionen. Det ses inte som ett hinder i framtagandet av dimensioner och konstruktion för den mekaniska lösning som presenterats. Snarare visar det att även i det extrema fallet är det fortfarande möjligt att mekaniskt kontrollera pitchen för ett rotorblad. Vid bestämmandet av en rotor tar litteraturen upp två faktorer, s.k.

induktionsfaktorer, axial och tangentiell. Dessa faktorer, lite förenklat beskrivet, gör avdrag på både den inkommande vinden samt den tangentiella vinden som uppkommer vid rotation. Karaktären för dessa faktorer varierar beroende på bl.a.

löptal och vingprofiler. Skulle BEM-teorin fullt ut genomföras i beräkningarna skulle, högst sannolikt, de krafter som tas fram från modellen konvergera mot ett mer verkligt scenario.

Det valda tillvägagångsättet i detta arbete bedöms sammantaget som god. I ett tidigt stadium av en produktutvecklingsfas där en konstruktion består av kvalificerade gissningar är de beräkningar som presenterats här ett bra sätt att driva processen framåt. Genom att gå den valda väg som gjorts i arbetet har en övergripande förståelse för teorierna erhållas. Samt att den konstruktion som tagits fram utgör en bra bas för nya problemformuleringar och förbättring av beräkningar kan göras i efterhand.

5.1.1 Källor till fel

Valet av vingprofil påverkar hur rotorbladets kraftgenerering ser ut. I vanliga fall består ett rotorblad av fler vingprofiler för att optimera bladets prestanda. I detta fallet har det bara använts en vingprofil. I ljuset av detta kan argument föras att den mekaniska pitchens dimensioner och sammansättning kan komma att bli unik för varje ny typ av rotor. Har rotorn 2 eller 3 blad, hur ser den specifika

Diskussion och Slutsats

35 sammansättningen av vingprofiler ut för rotorbladet, hur påverkar den kraftgenereringen över bladet osv.

5.1.2 Metodförbättring

Som det har nämnts i tidigare diskussion hade en implementering av BEM- teorin varit den absolut bästa vägen att gå för att få en bättre uppskattning av de krafter som påverkar bladet. BEM-teorin är den matematiska modell som många analyser vilar på ute i industrin och BEM (Blade Element Method) är en metod för att ta fram krafterna på en rotor. Metoden tar hänsyn till mer komplexa flödesförhållande (induktionsfaktorerna) än vad som har gjorts i denna rapport vilket, som sagt, ger ett mer konvergent svar. CFD analyser kan tyckas vara det mest självklara valet för detta arbete, men för att en sådan analys ska bli trovärdig krävs mycket kraftfulla datorer på grund av storleken på den mesh som måste genereras och beräknas för att kunna få ett bra resultat.

5.2 Sociala, ekonomiska, miljö- och arbetsmiljöaspekter

5.2.1 Potentiella positiva effekter

En produkt som den mekaniska pitchen skulle potentiellt kunna bidra till ett mervärde av en investering för vindkraftverk i mindre skala. Lösningen skulle enligt bedömning t.ex. kunna bidra till att förlänga livslängden, producera mer energi över tid och reducera kostnaden över tid. Förlängning av ett verks livslängd medför att en högre avkastning per investerad energienhet kan erhållas. Vilket betyder att verket kan producera energi under en längre period. Det blir ett bättre utnyttjande från den investerade energi som krävdes att ta fram de fungerade verket.

Detta medför också att kostnaden för verket kan spridas på en längre tidsperiod och på så sätt minskar den årliga kostnaden för det investerade verket. Om intresset ökar på grund av detta kan det för t.ex. mindre industriella verksamheter/lantbrukare betyda att användandet av dieselgeneratorer byts ut mot vindkraft. Vilket på längre sikt bidrar till en minskning av växthusgaser. Det ligger i vindkraftens natur att vara en källa till ren förnybar energi, detta bidrar uppenbarligen globalt till planetens välmående i avseendet koldioxidutsläpp.

6. Slutsatser

• Pitchen reducerar belastningar

• Pitchen bidrar till effektproduktion ovan märkvind

• Storleken för vridfjädern kan relativt enkelt anpassas till axeldiametern för rotorbladet och ändå behålla samma karaktäristika.

• Lagerarrangemangen kan också relativt enkelt anpassas till axeldiametern då det är den statiskbärighetsförmågan på lagret som styr.

• Pitchmekanismens gränssnitt mot rotorbladet kan enkelt justeras efter den infästning som behövs.

Referenser

36

7. Referenser

[1]History of Wind Energy, Martin Pasqualetti, Robert Righter, Paul Gipe. 2004.

[2]Passive Pitch Control Of Small Horizontal Axis Wind Turbines,Jonas N. Hertel et al, 2004.

[3] Comparative Fatigue Life Assessment of Wind Turbine Blades Operating with Different Regulation Schemes, Brian Loza , Josué Pacheco-Chérrez , Diego Cárdenas , Luis I. Minchala and Oliver Probst.

[4]Annual Wind Report, GWEC.

[5]Comparative life-cycle assessment of a small wind turbine for residential off-grid use, Brian Fleck, Marc Huot.

[6] Wind Power: Renewable Energy for Home, Farm, and Business, 2nd Edition.

Paul Gipe

[7] The Design and Analysis of Passive Pitch Control for Horizontal Axis Wind Turbine. Yu-Jen Chen, Yi-Feng Tsai, Chang-Chi Huang, Meng-

Hsien Li, Fei-Bin Hsiao

[9]Wind Energy Explained - Theory, Design and Application. J. F. Manwell and J.

G. McGowan. Second Edition.

[10] Fluid Mechanics, Fundamentals and applications, Yunus A. Cengel, John M.

Cimbala, Third Edition In SI-Units.

[11] https://windenergysolutions.nl/turbines/windturbine-wes-80/, 2020-04-29 [12] http://machinedsprings.com/, Helical Solutions. 2020-05-04

[13] SKF Rullager-katalog. Tryckt 2014

[14] Maskinelement, Olsson,K-O, Första upplagan

[15] Patent på en pitchmekanism som använder centrifugalkraften. För detaljer sök (Google): ”US20110135471A1”.

Bilagor

37

8. Bilagor

Bilaga 1 – Beräkningar

Bilaga 1 - Beräkningar

In[ ]:= Remove["Global`*"]

■ Data för interpolering av C _L & C _D

C

_L

& C

_D

tabell inkl

_α

och Re

Re-tal interpolation för olika Cl värden.

CL(_α,Re) CL som funktion av _α & Re. Här ordnas datan så att interpolering kan utföras

CD(_α,Re) CD som funktion av _α & Re.Här ordnas datan så att interpolering kan utföras

Interpolerande funktion. Här är de båda funktionerna Exempel plot över CL& CD (_α).

In[ ]:= t1= Plot3Dcl[x, y], {x, 0., 30.}, y, 40 000., 5. × 10⁶;

t2= Plot3Dcd[x, y], {x, 0., 30.}, y, 40 000., 5. × 10⁶;

In[ ]:= Plot[{cl[x, 100 000], cd[x, 100 000]}, {x, 0, 30},

AxesLabel {Style["α [deg]", FontSize  14], Style["Belopp", FontSize  14]}, PlotRange {{0, 30}, {0, 1.2}}, PlotLabel  Style["NACA 0018", FontSize  24], PlotLegends {"Cl", "C_d"}, GridLines -> Automatic,

PlotStyle Thick, Epilog  {PointSize[0.03], Point[{{8, 71.5}}]}]

Out[ ]=

C_l C_d

Val av _α ,Cl/Cd

In[ ]:= ReförVrel10ms= 1.6 10⁶;

In[ ]:= Maximizec_l[x, ReförVrel10ms]

c_d[x, ReförVrel10ms], x

Out[ ]= {71.5466, {x  9.}}

Valet blir 8grader för att ligga på “rätt” sida

In[ ]:=

c_l[x, ReförVrel10ms]

c_d[x, ReförVrel10ms] /. x  8

Out[ ]= 71.5026

In[ ]:= Plotc_l[x, ReförVrel10ms]

c_d[x, ReförVrel10ms], {x, 0, 30},

AxesLabel {Style["α [deg]", FontSize  14], Style["Cl/Cd", FontSize 14]}, PlotRange {{0, 30}, {0, 75}}, PlotLabel  Style["Val av α", FontSize  24], PlotLegends {"Cl/Cd"}, GridLines -> Automatic,

PlotStyle Thick, Epilog  {PointSize[0.03], Point[{{8, 71.5}}]}

Out[ ]= C_l/Cd

In[ ]:=

■ Inkommande vindintervall

In[ ]:= in= Table[i, {i, 4, 24, 2}]

Out[ ]= {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

■ Skruvning av rotorblad

In[ ]:= β0 = ArcTan R rλ  - α;

2 Examensarbete_redigerad_KLAR.nb

In[ ]:=

■ Plot _{β 0} och vinkel, _θ , för _{ rel} .

In[ ]:= betaplot=

Plot[{β0/. {in 10, α  8 °, R  8.95, λ  6}, β0 /. {in 10, α  0, R  8.95, λ  6}}, {r, 1.15, 8.95}, Ticks -> {Automatic, Table[i, {i, 0, 70 °, 5 °}]},

AxesLabel {Style["r [m]", FontSize  20], Style["Grader", FontSize  20]}, PlotRange {{1.15, 8.95}, {-5 °, 70 °}}, PlotLabel 

Style["Fabriksvridning β0 och θ då λ=6", FontSize  24], PlotLegends  {"β0", "θ"}, GridLines-> {Automatic, Table[i, {i, 0, 70 °, 5 °}]}, PlotStyle  Thick]

Out[ ]= β0

θ

■ Uttrycken för krafterna som påverkar vingen ges av:

Notera “dr” har medvetet lämnats utanför ekvationerna nedan.

Det läggs till vid integration.

In[ ]:= dF_l = 1

2ρ Vrel2l1 /. l cl[α, re];

dF_d = 1

2ρ Vrel2d1 /. d cd[α, re];

■ Kordan, _{ 1} , varierar enligt:

Där _h är kordan vid roten av bladet. _rär minskningen i r-led. Vingen ökar sin korda linjärt från topp till botten, 500mm till 625mm.

In[ ]:= kordakoeff= Solve[{0.625  1.15 r+ h, 0.5 r8.95+ h}, {r,h}] // First

Out[ ]= {r -0.0160256, h 0.643429}

Examensarbete_redigerad_KLAR.nb 3

In[ ]:= 1 = h+ rr/. kordakoeff

Out[ ]= 0.643429- 0.0160256 r

■ Plot för korda variationen

In[ ]:= kordaplot1= Plot-1

2 , {r, 0, 100}, PlotRange {1.15, 8.95}, -0.625

2 , 0.625

2 , Filling  Axis, AspectRatio  0.2, AxesLabel {Style["Radie [m]", FontSize  16], Style["Korda[m]", FontSize  16]};

In[ ]:= kordaplot2= Plot1

2, {r, 0, 100}, PlotRange {1.15, 8.95}, -0.625

2 , 0.625

2 , Filling  Axis, AspectRatio  0.2;

In[ ]:= Show[kordaplot1, kordaplot2]

Out[ ]=

■ Relativa vindhastigheten vid rotorbladet

In[ ]:= V_rel= 2in

3 Sin[θ] ;

■ Omskrivning av krafterna så att integration görs möjlig.

In[ ]:= Rotordiameter = 17.9 (*[m]*);

Bladlängd = 7.8 (*[m]*);

In[ ]:= data = R  1

2Rotordiameter,ρ  1.2, λ  6

Out[ ]= {R  8.95, ρ  1.2, λ  6}

4 Examensarbete_redigerad_KLAR.nb

In[ ]:= θ = β0+ α;(*rel infallvinkel*)

dF_n = dFlCos[θ] + dFdSin[θ] /. data // Simplify;

dF_t = dFlSin[θ] - dFdCos[θ] /. data // Simplify;

Relativmedelvind, _rel , och resp för varje sektion av vingen.

■ Hur varierar vinkeln för den relativa vinden vid olika V _in ?

In[ ]:= U = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24};

In[ ]:= R= 8.95;

Vi ser nedan att _Ω underskrider ³⁶⁰_s^° (60rpm) vid 8m/s och överskrider ⁷²⁰_s^° (120rpm) vid 20m/s.

Kanske t o m lite innan, så ungefär 9 och 19m/s kanske är mer rimligt. Men vi räknar på med jämna vindhastigheter.

In[ ]:= omegadesign = Ω /. Solve6 == Ω R

U〚#〛,Ω & /@ Table[i, {i, 1, 11}] // Flatten

Out[ ]= {2.68156, 4.02235, 5.36313, 6.70391, 8.04469, 9.38547, 10.7263, 12.067, 13.4078, 14.7486, 16.0894}

In[ ]:= omegadesign/ °

Out[ ]= {153.642, 230.463, 307.285, 384.106, 460.927, 537.748, 614.569, 691.39, 768.212, 845.033, 921.854}

■λ ny då _Ω =2 _π ?

In[ ]:= lambda0= Solveλ  R 2π

U〚#〛,λ & /@ Table[i, {i, 1, 3}] // Flatten

Out[ ]= {λ  14.0586, λ  9.37242, λ  7.02931}

■λ ny då _Ω =4 _π ?

In[ ]:= lambda1 = Solveλ == 720° R

U〚#〛 ,λ & /@ Table[i, {i, 9, 11}] // Flatten

Out[ ]= {λ  5.62345, λ  5.11223, λ  4.68621}

Examensarbete_redigerad_KLAR.nb 5

■ ( _λ =6).

In[ ]:= relativvindvinkelkonstΩ2pi = ArcTan R

λ r /. lambda0〚#〛 & /@ Table[i, {i, 1, 3}]

Out[ ]= tan^-1 0.63662

r , tan^-1 0.95493

r , tan^-1 1.27324

r 

In[ ]:= relativvindvinkelkonstΩ4pi = ArcTan R

λ r /. lambda1〚#〛 & /@ Table[i, {i, 1, 3}]

Out[ ]= tan^-1 1.59155

r , tan^-1 1.7507

r , tan^-1 1.90986

r 

In[ ]:= relativvindvinkel1 = ArcTan R

λ r /. lambda2〚#〛 & /@ Table[i, {i, 1, 5}]

Relativavindens vinkel för samtliga _Ω

In[ ]:= vinkelrel= {relativvindvinkelkonstΩ2pi,

relativvindvinkel1, relativvindvinkelkonstΩ4pi} // Flatten

Out[ ]= tan^-1 0.63662

6 Examensarbete_redigerad_KLAR.nb

■ r-gränser för varje sektion

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  8.95,

in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  7.975 /.

lambda0〚#〛 & /@ Table[i, {i, 1, 3}];

In[ ]:= LsektionBrel= Mean in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  7.975,

in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  7 /.

lambda0〚#〛 & /@ Table[i, {i, 1, 3}];

In[ ]:= LsektionCrel= Mean in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  7,

in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  6.025 /.

lambda0〚#〛 & /@ Table[i, {i, 1, 3}];

In[ ]:= LsektionDrel= Mean in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  6.025,

in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  5.05 /.

lambda0〚#〛 & /@ Table[i, {i, 1, 3}];

In[ ]:= LsektionErel= Mean  in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  5.05,

in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  4.075 /.

lambda0〚#〛 & /@ Table[i, {i, 1, 3}];

Examensarbete_redigerad_KLAR.nb 7

In[ ]:= LsektionFrel= Mean in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  4.075,

in〚#〛

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  3.1 /.

Sin[relativvindvinkelkonstΩ2pi〚#〛] /. r  3.1 /.

In document Examensarbete. Dimensionering och konstruktion av passiv mekanisk pitch för småskaliga horisontalaxlade vindkraftverk. Maskinteknik 15 hp (Page 26-0)