Det fanns ett tydligt mönster av variation i läroböckerna och dessa mönster såg nästan likadana ut i alla de tre läroböcker som analyserats. När det kom till kontrast kunde detta främst synliggöras i hur alla läroböckerna valt att arbeta med division utifrån de olika aspekterna delnings- och innehållsdivision. Men även genom hur division sätts i kontrast till multiplikation som förekom i alla läroböcker (se figur 19, 20, 21). Enligt Magnusson, Maunula (2011) & Marton (2015) sker en kontrast när ett begrepp förklaras med hjälp av ett annat begrepp där skillnaden synliggörs (Magnusson & Maunula, 2011). De variationsmönster
som fanns i läroböckerna hade många likheter till varandra, alla läroböcker använde separation genom att sätta division i kontrast till multiplikation.
Ännu ett variationsmönster som behandlades i studien var generalisering. Genom att byta ett sammanhang utan att förändra själva objektet sker en generalisering (Magnusson & Maunula, 2011). När fokus på ett ting är oförändrat medan andra ting varierar generaliseras de fokuserade tinget medan andra ting separeras (Lo, 2014). Detta sker i Uppdrag Matte och Pixel Matematik genom att uppgifterna är desamma men att det som ska delas varieras (se figur 22 & 23.
(Figur 22 ur Uppdrag Matte s.62 Kavén 2018) (Figur 23 ur Pixel Matematik 2bs.107 Alseth m.fl. 2017)
I Favorit Matematik förekom inte någon generalisering, i dessa typer av uppgifter var det som ska delas oftast av samma karaktär (se exempel i figur 24). Detta kan enligt Magnusson & Maunula skapa en förvirring. Det är viktigt med
generalisering då elever får en tydlig bild av vad som är konstant i lärandeobjektet och vad som går att varieras (Magnusson & Maunula, 2011).
(Figur 24 ur Favorit Matematik 2A, s.178 Ristola m.fl. 2018)
7.7.4. Sammanfattning av analys
Utifrån analysen framgick det att kritiska aspekter för läroböckerna gick att koppla till varandra som likheter men även i form av skillnader. Kritiskt för division var
att ha förkunskaper i multiplikation och att synliggöra sambanden mellan dessa två räknesätt, detta var något som synliggjordes i alla läroböckerna. Den lärobok som skiljde sig mest var Pixel Matematik som saknade en stor del av de begrepp som behandlats i division. En kritisk aspekt i läroböckerna var även användningen och förklaring av rest i division, detta saknades helt i läroboken Uppdrag Matte. Utifrån variationsteorin fanns det många mönster som framgick tydligt i nästan alla böcker. Detta tog sin form i kontrast genom användningen av aspekterna delnings- och innehållsdivision men även det faktum att division sattes i kontrast till räknesättet multiplikation. Det var först i generaliseringen som skillnader mellan läroböckerna synliggjordes. Alla läroböcker förutom Favorit Matematik använde sig utav variation i sina uppgifter i form av att hålla uppgifternas karaktär konstant och sedan variera det som skulle delas. På så sätt fick elever förståelse för att det viktiga i frågan inte är det objekt som skulle delas utan själva
8. Diskussion
Kommande avsnitt syftar till att avsluta och knyta ihop denna
läromedelsgranskning. I avsnittet kommer metod och resultat att diskuteras i relation till studiens inledning, syfte och frågeställningar. Avslutningsvis ges förslag på vidare forskning inom området.
8.1. Metoddiskussion
I denna analys valdes tre läroböcker, Favorit Matematik, Pixel Matematik och
Uppdrag Matte. De läroböcker som analyserats är läroböckerna i årskurs två och tre. Dessa granskades utifrån momentet division med inriktning på aspekterna delnings- och innehållsdivision. Syftet med granskningen var inte att utvärdera vilken lärobok som är bäst lämpad för undervisning. Utan syftet var att analysera hur läroböckerna introducerar och behandlar det valda momentet, och även att kartlägga kritiska aspekter ur variationsteorin. Förkunskap fanns i hur
läroböckerna kan användas i praktiken då studenterna själva fått se detta under sin verksamhetsförlagda utbildning. Detta blev en styrka när läroböckerna väl skulle granskas då innehållet var sedan tidigare bekant. En svaghet skulle kunna vara att egna värderingar och åsikter väger in i analysen då förkunskaper finns i hur
läroböckerna kan användas. Detta undviks dock med hjälp av ett analysverktyg där frågor är uppbyggda på ett sätt som gör att egna värderingar och åsikter inte kan väga in.
Analysverktyget som framställts kunde appliceras på alla tre läroböckerna. Vilket tyder på att verktyget inte är bundet till en specifik lärobok, utan går att
återanvändas i granskning av fler matematiska läroböcker. Analysen utgick från ett antal frågor inom tre olika kategorier: introduktion, variation och kritiska
aspekt. Alla läroböckerna granskades utifrån dessa frågeställningar, vilket senare ökar resultatets tillförlitlighet då kvalitén är densamma genom hela analysen. Enligt Bryman (2016) krävs det att en analys är objektiv och systematisk. Vilket innebär att analysen bygger på att det tydligt framgår hur kvantifieringen av innehållet ska ske, för att undvika personliga värderingars påverkan. Samt att regler noggrant följs för att minimera risk för felkällor (Bryman, 2016). Som tidigare nämnts förhåller sig läromedelsgranskningen till detta med hjälp av kategorier och en struktur som gör att egna värderingar och åsikter inte vägs in.
8.2. Resultatdiskussion
Efter en analys av läroböckerna syntes en stor variation mellan alla tre böckerna. Detta syntes fram både genom likheter och skillnader. I alla tre läroböcker märktes en stor skillnad på hur introduktionen av divisionsaspekterna, delnings- och
innehållsdivision såg ut. Delningsdivision var den aspekt som introducerades först i alla läroböcker följt av innehållsdivision. Som tidigare nämnts i inledning
beskrivs division ofta som ett svårt räknesätt som kräver ett komplext
tillvägagångssätt för att kunna lösa uppgifter. Det är därför viktigt att eleverna blir introducerade till division i syfte till att öka elevens förståelse för räknesättet samt möjligheten för eleven att nå målen (Häggblom, 2000). Som analysen visar, används terminologier i två av tre läroböcker, begreppen förekom inte i Pixel
Matematik. Det är viktigt att eleverna får tillgång till centrala begrepp inom räknesättet för en ökad förståelse. Om eleverna får möjlighet till att utveckla ett matematiskt ordförråd ökar det också möjligheten till en bättre förståelse. Med ett djupare ordförråd ökar även elevernas intresse, då de inte bara ser siffror utan också betydelsen för själva siffran i en divisionsuppställning (Olteanu, 2016). Resultatet visar att läroböckerna är lika vid behandling av räknesättet division och dess aspekter. Alla läroböcker behandlar de två aspekterna, delning- och
innehållsdivision i samband med att dela lika och grupperingar. Neuman (1991) menar att dela lika är det första eleverna kommer i kontakt med vid beräkning av division och aspekterna. Hansson (2011) skriver om hur de matematikkunskaper som eleverna får med sig i lågstadiet spelar stor roll för den fortsatta matematiken som kommer i de högre årskurserna. Om eleverna inte får med sig de
grundkunskaper som krävs för en utvecklad förståelse kan det senare leda till bristande kunskaper inom matematiken. Därför är det viktigt att division
introduceras och behandlas på ett utvecklat sätt i läroböckerna för att eleverna ska kunna utveckla förståelse och kunskap.
Genom analysen syns det tydligt att läroböckerna skiljer sig åt trots att de riktar sig till samma årskurs.Därför är det av stor vikt att lärarna är noga med vilken
lärobok de väljer att använda i undervisningen så att eleverna får tillräckligt med kunskap för att uppnå målen för division som finns i skolans läroplan. Men även så att Sveriges resultat för division i TIMSS undersökningen kan utvecklas. Dessutom är resultatet av läromedelsgranskningen viktig för oss studenter i vår framtida roll som lärare, då resultatet kan användas som ett hjälpmedel i vårt kommande yrke när vi ska välja lärobok. Genom studien har även studenterna fått ökad förståelse för de olika kritiska aspekterna som fanns inom området och hur variation kunde tillämpas.
Det finns kopplingar mellan resultat och tidigare forskning. Enligt Mårtensson (2015) är det av vikt att de olika aspekterna, delnings- och innehållsdivision är lika fördelade i läroböcker. Detta för att eleverna ska få förståelse för båda sätten att räkna division samt att kunna urskilja dem. I granskningen analyserades
relativt jämn medan delningsdivision var tydligt dominerande i de andra läroböckerna. Här kan funderingar uppstå ifall det finns följder av att räkna division utifrån enbart en aspekt och vilka dessa följder kan bli. Även Löwing (2008) menar att det är av stor vikt att läroböcker behandlar båda aspekterna för att stödja eleverna och främja deras matematiska utveckling. Häggblom (2000) lyfter hur viktigt det är att grundkunskaper inom matematik befästs i de första skolåren. Om detta inte sker kan eleven i fråga med stor sannolikhet få bristande
matematikkunskaper som i sin tur kan påverka elevens resultat och fortsatta skolgång negativt. I resultatet av läromedelsgranskningen märktes en tydlig skillnad i Uppdrag Matte jämfört med de andra läroböckerna. Skillnaden var i form av antalet uppgifter och utrymme för division och dess aspekter i läroboken. Det fanns få sidor som behandlade aspekterna i både Uppdrag matte 2b och 3b. För att eleverna inte ska riskera att hamna i svårigheter är det viktigt att arbeta med division utöver läroboken då innehållet för division var väldigt svag. I de andra läroböckerna var innehållet av division betydligt mer omfattande.
Det finns flera kritiska aspekter inom delnings- och innehållsdivision. Därför är det viktigt att läroböckerna behandlar området med variation. För att göra det kritiska till okritiskt (McIntosh, 2015). Detta kunde vi tydligt se genom vårt resultat, då läroböckerna använde sig av bland annat separation i form av kontrast och generalisering.
Gällande variationsteorin finns det tydliga mönster som går att koppla till de tre olika läroböckerna som analyserats. Detta sker i form av kontraster, hur alla läroböcker valt att arbeta med division utifrån delnings- och innehållsdivision, samt hur sambandet mellan division och multiplikation används som likhet och skillnad i läroböckerna. I läroböckerna får eleverna möjlighet att se multiplikation som ett hjälpmedel att enkelt kontrollräkna och lösa divisionsuppgifter. Detta ger en förutsättning för eleverna att snabbare kunna räkna division med hjälp av huvudräkning (Neuman, 1999). Generalisering synliggjordes då många av uppgifterna i läroböckerna var uppbyggda på samma sätt med samma karaktär, men att det som ska delas lika varierar. Detta sker genom att vid ett tillfälle dela lika på 7 äppel och vid ett annat tillfälle dela lika på 7 oliver. På detta viset markerar läroboken att det viktiga inte är objektet som ska delas utan själva antalet.
I denna läromedelsgranskning är resultatet inte generaliserbart, för att den skulle kunna bli generaliserbar hade fler läroböcker behövts granskas. Därav kan inga slutsatser dras från presenterat resultat. Utifrån resultatet kunde vi däremot konstatera att delningsdivision introduceras innan innehållsdivision, samt att aspekten delningsdivision förekommer i större utsträckning. Detta gällde dock
bara de tre läroböckerna som vi valt att granska i studien. För att kunna dra en slutsats som är generaliserbar, hade det behövts betydligt fler läroböcker som ingick i granskningen. Därav är granskningen för detta arbete inte generaliserbart, men väcker frågeställningar som kan användas till fortsatt granskning. Dessutom finns det ett utformat analysverktyg som kan återanvändas av lärare i
verksamheten med syfte att granska division i olika matematiska läroböcker.
8.3. Fördjupad forskning
Det har varit mycket intressant att genomföra denna studie och under arbetets gång har det kommit fram flera frågor och funderingar. Framförallt tankar kring hur momentet division används i praktiken. Vad tycker eleverna egentligen är kritiskt inom delnings- och innehållsdivision? Hur ser undervisningen ut kring variation för att förebygga de kritiska aspekterna? Hur ser lärarnas kunskap om division och dess aspekter ut? Hur tänker eleverna när de löser olika divisionsuppgifter, tänker dem utifrån delningsdivision eller innehållsdivision? En annan fundering vi har haft är hur synliggörs kraven och målen från läroplanen lgr11 i läroböckerna inom division. Detta hade varit mycket intressant att undersöka för att få ett större perspektiv på området.
Referenser:
Alseth, Bjørnar (2017). Pixel matematik 2A Grundbok. Stockholm: Natur och kultur
Alseth, Bjørnar (2017). Pixel matematik 3A Grundbok. Stockholm: Natur och kultur
Alseth, Bjørnar (2017). Pixel matematik 3B Grundbok. Stockholm: Natur och kultur
Bryman, Alan (2016). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber
Cooper, Jason & Karsenty, Ronnie. (2018). Can teachers and mathematicians
communicate productively? The case of division with remainder. Math Teacher Educ 21, 237–261. [Elektronisk resurs] Hämtad: 2020-11-19 Tillgänglig på Internet: https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10857-016-9358-7
Englund, Boel. (1999). Lärobokskunskap, styrning och elevinflytande. Pedagogisk
forskning i Sverige, 4 (4), 327-348.[Elektronisk resurs] Hämtad 2020-11-17 Tillgänglig på Internet: https://open.lnu.se/index.php/PFS/article/view/1076/927 Fischbein, Efraim, Deri, Maria, Nello, Maria Sainati. & Marino, Maria Sciolis. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication
and division. Journal for Research in Mathematics Education, No. 16, pp. 3-17
[Elektronisk resurs] Hämtad 2020-12-14 Tillgänglig på Internet:
https://pdfs.semanticscholar.org/a358/d95e385ea09593860a48ab1453ceb8cbd01d. pdf?_ga=2.238810377.805577542.1610623059-342269118.1610623059
Hagland, Kerstin., Hedrén, Rolf. och Taflin, Eva. (2005). Rika matematiska
problem: inspiration till variation. Stockholm: Liber.
Hansson, Åse (2011). Ansvar för matematiklärande [Elektronisk resurs] : effekter av undervisningsansvar i det flerspråkiga klassrummet. Diss. Göteborg :
Göteborgs universitet, 2011. Göteborg. [Elektronisk resurs] Hämtad 2020-10-27 Tillgänglig på Internet: http://hdl.handle.net/2077/26669
Holmqvist Olander, Mona (2006). Lärande i skolan: learning study som
skolutvecklingsmodell. Lund: Studentlitteratur
Hwang, Philip & Nilsson, Björn (2019). Utvecklingspsykologi. Stockholm: Natur och Kultur
Häggblom, Lisen. (2000). Räknespår. Barns matematiska utveckling från 6 till 15
års ålder. Åbo: Åbo akademi.
Jacobsson, Katharina & Skansholm, Ann (2019). Handbok i uppsatsskrivande -
för utbildningsvetenskap. Lund: Studentlitteratur
Johansson, Monica. (2003). Textbooks in mathematics education: a study of
textbooks as the potentially implemented curriculum. Lic.-avh. Luleå : Luleå tekniska univ., 2003. Luleå. [Elektronisk resurs] Hämtad: 2020-11-17 Tillgänglig på Internet:
http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:991466/FULLTEXT01.pdf
Jäder, Jonas (2015). Elevers möjligheter till lärande av matematiska resonemang. Linköping: Linköping Universitet [Elektronisk resurs]. Hämtad: 2020-11-17 Tillgänglig på Internet:
http://webstaff.itn.liu.se/~micho58/research/Licentiatavhandling_Jonas_Jader.pdf
Jäder, Jonas (2019). Med uppgift att lära. Om matematikuppgifter som en resurs
för lärande. Umeå: Umeå Universitet [Elektronisk resurs]. Hämtad: 2020-11-25 Tillgänglig på Internet:
http://umu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1378919/FULLTEXT02.pdf
Karlsson, Natalia & Kilborn, Wiggo (2015). Matematikdidaktik i praktiken: att
undervisa i årskurs 1-6. Malmö: Gleerups Utbildning
Kavén, Anna (2018). Uppdrag Matte 3B Grundbok. Stockholm: Liber Kavén, Anna (2018). Uppdrag Matte 2B Grundbok. Stockholm: Liber
Kevius, Bruno (U,Å). Matematiklexikon, Matematik minimum - Terminologi,
Division - delning. [Elektronisk resurs] Hämtad: 2020-12-04 Tillgänglig på Internet: http://matmin.kevius.com/division.php
Kouba, Vicky L, & Franklin, Katarin. (1993). Multiplication and division: Sense making and meaning. In J. Jansen (Eds.), Research ideas for the classroom early childhood mathematics (pp. 103-126). New York: Macmillan Publishing
Liber (U.Å). Uppdrag matte åk 1-3. [Elektronisk resurs] Hämtad: 2020-12-07 Tillgänglig på Internet: https://www.liber.se/serie/uppdrag-matte-ak-13-25515 Lo, Mun Ling (2014). Variationsteori: för bättre undervisning och lärande. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur
Löwing, Madeleine (2008). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för
lärare. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur
Marton, Ferrence (2015). Necessary conditions of learning. London: Routledge. Magnusson, Joakim & Maunula, Tuula (2011). Variationsteorin ur ett
undervisningsperspektiv. I Maunula, Tuula, Magnusson, Joakim & Echevarría, Christina Learning study: undervisning gör skillnad. (2011). Lund:
Studentlitteratur
McIntosh, Alistair (2015). Förstå och använda tal: en handbok. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning (NCM), Göteborgs universitet Mårtensson, Pernilla (2015). Att få syn på avgörande skillnader. Lärarens kunskap
om lärandeobjektet. Jönköping: Jönköping Universitet. [Elektronisk resurs] . Hämtad: 2020-11- 25 Tillgänglig på Internet:
http://hj.diva-portal.org/smash/get/diva2:805788/FULLTEXT01.pdf
Nationalencyklopedin (2020), division. [Elektronisk resurs] Hämtat 2020-11-24 Tillgänglig på Internet: https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/division Natur och kultur (U,Å) Pixel övrigt FK - 3. [Elektronisk resurs] Hämtad 2020- 12- 07 Tillgänglig på Internet:
https://www.nok.se/titlar/laromedel-b1/pixel-ovrigt-fk-3/
Neuman, Dagmar (1999). Early learning and awareness of division: a
phenomenographic approach. Educational studies in mathematics, 40(2). 101-128.
[Elektronisk resurs] Hämtad: 2020-11-19 Tillgänglig på Internet:
https://rdcu.be/cdyuT
Olteanu, Lucian (2016), Framgångsrik kommunikation i matematikklassrummet (matematikdidaktik/mathematics education). [Elektronisk resurs] ISBN:
Internet:
https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1045390/FULLTEXT03.pdf
Palmér, Hanna. & Van Bommel, Jorryt. (2016). Problemlösning som
utgångspunkt: matematikundervisning i förskoleklass. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Ristola, Kerttu, Tapaninaho, Tina & Vaaraniemi, Leena (2018). Favorit matematik
2A Grundbok. Lund: Studentlitteratur
Ristola, Kerttu, Tapaninaho, Tina & Vaaraniemi, Leena (2018). Favorit matematik
Grundbok. Lund: Studentlitteratur
Sandahl, Anita (2014). Matematikdidaktik: för de tidiga skolåren. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Sellers. A, Patricia (2010). The trouble with long division. National Council of Teachers of Mathematics. [Elektronisk resurs] Hämtad: 2020-12-04 Tillgänglig på Internet:
https://www.mcs4kids.com/documents%5Cmath%5Ck-6%5CMath%20Content% 5CMultiplication%20and%20Division%5CThe%20Trouble%20with%20Long%2 0Division.pdf
Skolverket (2020). Läromedlen styr hur kunskapsmålen kommuniceras.
[Elektronisk resurs] (Reviderad 2020). Stockholm: Skolverket. [Elektronisk resurs] Hämtad 2020-10-27 Tillgänglig på Internet:
https://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning-och-utvarderingar/forskning/l aromedlen-styr-hur-kunskapsmalen-kommuniceras
Skolverket (2020). TIMSS 2015 Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik
och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. [Elektronisk resurs] (Reviderad 2020). Stockholm: Skolverket.
[Elektronisk resurs] Hämtad 2020-10-27 Tillgänglig på Internet:
https://www.skolverket.se/publikationsserier/rapporter/2016/timss-2015.-svenska-grundskoleelevers-kunskaper-i-matematik-och-naturvetenskap-i-ett-internationellt -perspektiv
Stridsman Sofia (2014). Skolvärlden.se. Åtta av tio lärare hinner inte granska
läromedel. [Elektronisk resurs] (Reviderad 2014). Hämtad 2020-12-28 Tillgänglig på Internet:
Sood, Sheetal & Jitendra, Asha K (2007) “A Comparative Analysis of Number Sense Instruction in Reform-Based and Traditional Mathematics Textbooks” in the journal of special education VOL. 41/NO. 3/2007/PP. 145–157 Lehigh University. [Elektronisk resurs] Hämtad: 2020-11-17 Tillgänglig på Internet:
https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ785949.pdf
Studentlitteratur (U.Å). Favorit matematik läromedel 1-3. Hämtad: 2020-12-07 Tillgänglig på Internet:
https://www.studentlitteratur.se/serier/favorit-matematik/favorit-matematik-1-3/
Svensson Juhlin, Ann-Christine (2000). Nya redskap för lärande: studier av
lärarens val och användning av läromedel i gymnasieskolan. Stockholm: HLS Förlag. [Elektronisk resurs] Hämtad 2021-01-09 Tillgänglig på Internet:
https://pubs.sub.su.se/5265.pdf
Taflin, Eva (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande,
Department of Mathematics and Mathematical Statistics, Umeå University, Umeå: Umeå universitet. [Elektronisk resurs] Hämtad: 2020-12-14 Tillgänglig på
Internet: http://umu.diva-portal.org/smash/get/diva2:140830/FULLTEXT01.pdf Vetenskapsrådet (2017). God forskningssed. Stockholm. [Elektronisk resurs] Hämtad: 2020- 12-07 Tillgänglig på Internet:
https://www.vr.se/download/18.2412c5311624176023d25b05/1555332112063/Go d-forskningssed_VR_2017.pdf
Fakulteten för teknik
391 82 Kalmar | 351 95 Växjö Tel 0772-28 80 00
teknik@lnu.se