Analys av läromedel i matematik för lågstadiet
- med fokus på delnings- och innehållsdivision
Författare: Linnea Arven,
Fitore Bislimi & Nariman Salame Handledare: Susanne Erlandsson
Examinator: Torsten Lindström Datum: 2021-01-15
Kurskod: 1GN02E Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Grundläggande nivå Institutionen för matematik
Examensarbete
Abstrakt
Syftet med studien är att granska hur aspekterna innehålls- och delningsdivision är fördelade i tre olika läroböcker. Fokus ligger i att analysera introduktion, behandling och kritiska aspekter inom delnings- och innehållsdivision.
Läroböckerna som används i studien är riktade till årskurs två och tre.
Läromedelsgranskningen görs utifrån variationsteorin och lägger stor vikt vid att analysera vilka kritiska aspekter som finns för att öka elevernas förståelse för division och dess två aspekter, delnings- och innehållsdivision. Även vilka kritiska aspekter som saknas i läroböckerna, samt vilka variationsmönster som används för att synliggöra de olika kritiska aspekterna. Den metod som
granskningen lutar sig mot, är utformad genom ett analysverktyg som förhåller sig till olika frågeställningar med kategorierna introduktion, kritiska aspekt och variation. Resultatet visar att det finns både likheter och skillnader mellan de olika läroböckerna när det gäller fördelning, kritiska aspekter och variation. Hur jämn fördelningen var skiljde sig mycket mellan de olika läroböckerna. Flera kritiska aspekter identifierades som var kritiska för elevernas lärande inom delnings- och innehållsdivision som kunde synliggöras och som saknades i läroböckerna. Bland annat begrepp, samband och användning av rest. Utifrån variationsteorin fanns det många mönster som framgick tydligt i nästan alla böcker. Den slutsats som kan dras från denna läromedelsgranskningen är vikten av att vara kritisk, granska och jämföra läroböcker noggrant innan de väljs ut för undervisningen. Denna studien är ett bevis på att läroböcker kan se väldigt annorlunda ut på många olika plan. Den lärobok som blir vald har stor betydelse för hur undervisningen kan se ut samt vilka kunskaper och erfarenheter som eleverna bär med sig in i framtiden.
Nyckelord
Matematik, division, delningsdivision, innehållsdivision, läroböcker, kritiska aspekter och variationsteorin.
Tack
Vi vill tacka alla klasskamrater som gett oss flera goda opponeringar med nyttjande feedback. Men också vår handledare Susanne Erlandsson och vår examinator Torsten Lindström som tagit sig extra tid för att handleda oss i vår process och givit oss olika möjligheter till att göra vårt arbete bättre.
Innehållsförteckning
Inledning 5
Syfte och frågeställningar 6
Centrala begrepp 7
Täljare, nämnare och kvot 7
Kritiska aspekter 7
Problemlösningsuppgift 8
Rutinuppgift 8
Litteraturbakgrund 9
Lärobokens roll i undervisningen 9
Division 9
Delningsdivision 10
Innehållsdivision 11
Introduktion av division 11
Kritiska aspekter inom division 12
Teori 14
Variationsteori 14
Lärandeobjekt 14
Kritiska aspekter 14
Variationsmönster 15
Separation 15
Generalisering 16
Kontrast 16
Metod 17
Val av metod 17
Urval av läroböcker 17
Favorit Matematik 18
Uppdrag Matte 18
Pixel Matematik 19
Forskningsetiska principer 19
Genomförande 20
Analysverktyg och tillvägagångssätt 21
Resultat och analys 23
Introduktionen av delnings- och innehållsdivision i läroböckerna. 23 Behandling av aspekterna delnings- och innehållsdivision i läroböckerna. 26 Fördelning av delnings- och innehållsdivision i läroböckerna. 27
Kritiska aspekter 28
Variationsmönster i form av separation i de olika läroböckerna 29
Sammanfattning av resultat 31
Analys 31
Kritiska aspekter 32
Variationsmönster i form av separation i läroböckerna 34
Sammanfattning av analys 35
Diskussion 37
Metoddiskussion 37
Resultatdiskussion 37
Fördjupad forskning 40
1. Inledning
Läroböcker är mycket viktiga i dagens skola och undervisningen idag är till stor del styrd av dem (Skolverket, 2020). Undersökningar i TIMSS (Trends in
International Mathematics and Science Study) visar att elever har kunskapsbrister inom matematiken, specifikt division. De visar även att Sverige från 1995 till 2015 inte haft bra resultat i matematik jämfört med andra deltagande länder. Däremot ökade resultaten i TIMSS 2015, men trots förbättringarna finns det än brister (Skolverket, 2020). För att eleverna ska kunna få bra kunskaper inom division är det väsentligt att eleverna behärskar både delnings- och innehållsdivision i lika stor grad. Det är även viktigt att de läromedel som används i undervisningen stödjer eleverna och behandlar båda aspekterna för att främja elevernas matematikutveckling (Löwing, 2008).
Division är ett av de fyra räknesätten och är det moment inom matematiken som oftast upplevs som svårt för elever i lågstadiet. Både innehålls- och
delningsdivision är två aspekter som är betydelsefulla inom räknesättet, många elever har däremot svårigheter vid dessa beräkningar. Därför är det av stor vikt att elever får ta del av dessa aspekter och att de blir belysta i lika stor omfattning. En kritisk aspekt kan vara att division kräver ett komplext tillvägagångssätt, vilket kan begränsa elevernas möjligheter att uppnå målen (Häggblom, 2000). Den nationella undersökningen (NU03) visar att undervisningen oftast är styrd på ett traditionellt sätt genom läroböcker. Läroboken avgör vad eleverna lär sig i större omfattning än vad läroplanen och kursplanen i matematiken gör (Sandahl, 2014).
Enligt Hansson (2011) är de matematikkunskaper som elever får med sig i tidig ålder bärande för den fortsatta matematiken som kommer i de högre klasserna. Om grundkunskaperna för matematik inte befästs i de första skolåren, finns det stor risk att eleven i fråga får bristande matematikkunskaper. Detta kan med stor sannolikhet påverka elevens resultat och fortsatta skolgång negativt. Därför är det viktigt att matematikundervisningen är utformad på ett betydelsefullt sätt för elevers lärande. Hur division introduceras och behandlas i läroböcker har stor betydelse för elevernas matematiska utveckling.
Något som nämnts ovan är att division oftast upplevs som ett svårt räknesätt, men samtidigt kan det även vara en av de enklare (Häggblom, 2000). Delningsdivision introduceras oftast tidigt och kan läras ut genom att dela lika, att dela lika är oftast mer anknutet till elevens vardag än strategier som lärs ut i andra räknesätt
(Neuman, 1991). Däremot är innehållsdivision väldigt komplext då den beräknas genom upprepad subtraktion som inte förekommer naturligt i vardagen hos elever.
I jämförelse med delningsdivision introduceras innehållsdivision senare i
lågstadiet, oftast genom en mer formell undervisning (Fischbein m.fl. 1985;
Kilborn, 1989)
Därav är det intressant att undersöka hur aspekterna delnings- och
innehållsdivision introduceras, behandlas och fördelas i tre matematikläroböcker för lågstadiet. En läromedelsgranskning sparar tid till lärarens val av läroböcker eftersom många lärare inte hinner granska sina läroböcker innan användning. Sju av tio lärare i Sverige anser att valet av kvalitetsgranskning av läroböcker inte hinner göras (Skolvärlden, 2014). Därför är granskningens resultat av stor vikt för oss i vårt framtida yrke. Det är även av intresse att granska vilka kritiska aspekter som förekommer i läroböckerna, men även de kritiska aspekt som inte
förekommer. Kritiska aspekt behöver synliggöras för att eleverna ska få förståelse för det moment som ska läras ut, som i detta fall är delnings- och
innehållsdivision. Nedan framställs studiens syfte och frågeställningar
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med denna läromedelsanalys är att undersöka hur delnings- och innehållsdivision introduceras och behandlas i tre olika matematiska läroböcker för elever i årskurs 2 och 3. Vidare kommer studien att beröra fördelningen av delnings- och innehållsdivision. Studien syftar även till att redogöra för de kritiska aspekter som finns och saknas i läroböcker inom division.
Syftet kommer att behandlas utifrån följande frågeställningar:
- Hur introduceras och behandlas delnings- och innehållsdivision i olika läroböcker för lågstadiet?
- Hur fördelas delnings- och innehållsdivision i olika läroböcker för lågstadiet?
- Vilka aspekter av innehållet i läroböckerna är kritiskt för elevernas lärande inom området division? Samt vilka kritiska aspekter som saknas?
3. Centrala begrepp
I följande stycke definieras först de centrala begreppen inom räknesättet division.
Sedan förklaras även begreppet kritiska aspekter. Stycket avslutas sedan med en förklaring på problemlösningsuppgift och rutinuppgift.
3.1. Täljare, nämnare och kvot
I räknesättet division finns det tre centrala begrepp. Dessa begrepp är täljare, nämnare och kvot. Vid en division divideras täljaren med nämnaren och resultatet blir en kvot (NE, 2020).
Täljaren är det tal som ska delas och befinner sig alltid ovanför divisionstecknet (NE, 2020). Nämnaren befinner sig alltid under divisionstecknet. Bredvid
divisionstecknet medföljer ett likhetstecken, därefter kommer kvot som ett resultat på uträkningen (NE, 2020). Se figur 1.
(Figur 1, exempel på kort division med symboler).
Andra mindre vanliga begrepp är dividend och divisor. I Divisionens matematik delas en viss given storhet, det vill säga ett givet tal som även kallas för dividend.
Dividend är detsamma som täljaren. Sedan har vi det tal som ska divideras, det vill säga det som tal eller grupper som ska delas. Detta kallas divisor men även
nämnare (Kevius, UÅ).
3.2. Kritiska aspekter
Kritiska aspekter är aspekter elever behöver ha förståelse över för att utveckla kunskap. Dessa aspekter är väsentliga för att ett lärande ska ske och de sker genom en variation av undervisning. Det är viktigt att göra en variation av undervisningen
för att varje elev ska stimuleras på sin egen nivå och därefter få ökad kunskap. En varierad undervisning skapar möjligheter till lärande och ökar möjligheten till att tillgodose elevernas individuella behov. Det gäller även att lärandet blir synligt för eleverna för att de ska kunna utveckla kunskap om momentet som lärs ut. När eleverna behärskat kunskapen inom momentet som varit kritiskt ses det inte längre som en kritisk aspekt för eleverna (Lo, 2014).
3.3. Problemlösningsuppgift
En problemlösningsuppgift definieras oftast som en uppgift där lösningen inte är given, utan att det finns något hinder som står i vägen för att eleverna ska kunna lösa uppgiften direkt. Hindret som eleverna kan möta är beroende på elevens erfarenhet. Det kan va svårt att bedöma vilka uppgifter som innehåller problemlösningar eftersom alla elever har olika individuella svårigheter som behöver lösas. Begreppet problem kan enligt Palmer & Van Bommel (2016) vara en matematisk uppgift som en elev vill lösa men där lösningsmetoden inte på förhand är känd för eleven. Eleverna behöver därför pröva sig fram i arbetet med att hitta en lämplig lösning på det problem som de möter i matematiken. På grund av det blir en uppgift ett problem huruvida relationen är mellan eleven och
problemsituationen. För att kunna lösa dessa problemlösningsuppgifter krävs det att eleverna har kunskap om olika strategier för att kunna lösa problem. De behöver främst kunna tolka problemen och därefter kunna översätta dem från ett vardagsspråk till matematiska modeller. Slutligen överföra det till vardagsspråket för att kunna få en förståelse (Karlsson & Kilborn, 2015). Exempel på en
problemlösning kan vara: Tre böcker kostar 120 kronor. Hur mycket kostar varje bok om alla tre böcker kostar lika mycket? Visa din beräkning och skriv svar.
3.4. Rutinuppgift
Motsatsen till en problemlösningsuppgift är en rutinuppgift. I en rutinuppgift är lösningen oftast given och ingår i baskunskaperna inom matematik. Dessa uppgifter förekommer oftast i läroböckerna, där alla elever ska använda samma metod för att komma fram till samma svar (Taflin, 2007). Rutinuppgifter är uppgifter där eleven känner till en given metod för att lösa problemet, även här kan det bli svårt att bedöma vilken uppgift som är en rutinuppgift eftersom det alltid är individuellt. En annan elev kan med samma uppgift uppleva och stöta på ett problem där hen måste undersöka och pröva sig fram till en lösningsmetod. En rutinuppgift kan enligt Hagland, Hedrén och Taflin (2005) således definieras som en uppgift som eleven känner sig trygg och bekant med, eleven bör inte möta eller känna några svårigheter. Exempel på rutinuppgift kan vara: 10/2, skriv ditt svar.
4. Litteraturbakgrund
I detta avsnitt redogörs tidigare forskning som är relevant för studien. Avsnittet inleds med en redogörelse för lärobokens roll i undervisningen. Därefter en beskrivning av räknesättet division och de två aspekterna inom division, delnings- och innehållsdivision. Slutligen redogörs vanliga kritiska aspekter inom området.
4.1. Lärobokens roll i undervisningen
Läroboken kan förklaras som en artefakt, den kan användas som ett slags verktyg i samspel mellan elever och lärare. Både i svenska skolor och i internationella kontexter finns det tydliga tecken på att läroboken har stor betydelse och inflytande för hur undervisningen i matematik är utformad (Jäder, 2015).
Anledningen till att läroboken har en central roll i undervisningen beror bland annat på att lärare ser på läroboken som en garanti på att kursplanens mål uppfylls (Englund, 1999). Enligt Johansson (2003) har dock produktionen av läroböcker nu för tiden ett allt mer kommersiellt syfte där stora delen av fokuset ligger på design och marknadsföring. Detta tar i många fall mer fokus än att faktiskt koppla alla läroplanens delar med innehållet (Johansson, 2003). Vidare förklarar Sood, S &
Jitendra, A (2007) att dåligt utformade läroböcker är ett potentiellt hinder för elevers tillgång till den allmänna läroplanen. Dessa läroböcker ger inte eleverna tillräckligt med kunskap för att utveckla egna matematiska idéer. Däremot påstår Svensson (2000) att flera lärare som använder sig av läroböcker i sin undervisning, anser att läroböcker ger en tydlig struktur. Dessutom kan lärarna känna sig säkra att de följer läroplanen när de använder sig av rätt lärobok.
4.2. Division
Division är ett av de fyra räknesätten som ingår i aritmetiken. Inom räknesättet ingår tre viktiga begrepp täljare, nämnare och kvot. Division går ut på att dividera täljaren med nämnaren. Resultatet blir sedan en kvot. Ibland när det sker en division kan kvoten bli ojämn. Exempelvis om tre barn ska dela på tio godisbitar, går det inte jämnt ut då en godisbit blir över. Det som blir över kallas för rest och omvandlas sedan till decimaltal. Som övriga räknesätt förekommer division ofta i vår vardag, därför är det viktigt att eleverna får ta del av räknesättet (Cooper &
Karsenty, 2018). Elever upplever ofta division som meningslöst och lärarna upplever många gånger att eleverna har svårigheter med att koppla division med vardagliga sammanhang (Sellers, 2010). Det är alltså av stor vikt att eleverna i
lågstadiet får den kunskap som krävs för att behärska division. Utav de fyra olika räknesätten är division oftast de räknesätt som väljs att introduceras sist, detta leder till att divisionen många gånger introduceras sent i lågstadiet. Dessutom upplevs oftast räknesättet som svårt. Genom en tidigare introduktion av division kan svårigheter undvikas som oftast följer av att eleverna får lära sig division sent i lågstadiet (Cooper & Karsenty, 2018). För att eleverna ska kunna utveckla en förståelse för division, krävs det en kombination av olika uppgifter. Eleverna behöver få arbeta med problemlösningar och inte bara med rutinuppgifter såsom att traggla uppställning genom regler och steg som ska memoreras och upprepas.
Genom problemlösningsuppgifter kan eleverna på ett annat sätt få möjlighet till att diskutera, reflektera och koppla uppgifterna till egna erfarenheter både enskild och tillsammans med klasskamrater. Detta är något som eleverna inte får genom att enbart arbeta med rutinuppgifter och ett arbetssätt som går ut på att memorera innehåll och tillvägagångssätt (Kouba & Franklin, 1993).
4.3. Delningsdivision
Division utgår ifrån två aspekter. Den ena aspekten är delningsdivision som eleverna främst kommer i kontakt med när de blir introducerade till division. Barn utvecklar matematisk förståelse och samlar på sig nya kunskaper under loppet av hela sin uppväxt, detta går hand i hand med kopplingar till matematiken med olika föremål som delas lika. Delningsdivision innebär att en fördelning sker av
helheten i antalet grupper. Att dela upp täljaren i nämnarens antal (Cooper &
Karsenty, 2018). Ett praktiskt exempel är när eleverna ska lära sig att dela olika föremål som exempelvis frukter eller ritpapper lika mellan varandra. Ett annat exempel på delningsdivision kan handla om att dela 15 elever i tre olika rum där eleverna ska fördelas lika rummen. Se figur 2.
(Figur 2, exempel på delningsdivision.)
Syftet är att eleverna kommer att räkna ut hur många elever det kommer finnas i varje rum. Detta ger en förståelse kring delningsdivision där eleverna fördelar helheten lika i olika rum. Dessa uppgifter ger eleverna möjlighet till att utveckla kunskap och knyta an matematiken till deras vardag (Cooper & Karsenty, 2018).
4.4. Innehållsdivision
Nästa aspekt som ingår i division är innehållsdivision. Innehållsdivision skiljer sig från delningsdivision då räknemetoden inte alltid går att koppla till elevernas tidigare erfarenheter. Fokus i innehållsdivision ligger i att dela antal i grupper, att få reda på hur många gånger nämnaren får plats i täljaren (Cooper & Karsenty, 2018). Ett exempel på en innehållsdivision kan vara att beräkna hur många grupper det blir totalt ifall 15 elever ska delas in i grupper om 3, se figur 3.
(Figur 3, exempel på innehållsdivision.)
Syftet blir då att räkna ut hur många grupper det blir totalt efter en uppdelning av de 15 eleverna. Innehållsdivision ger eleven en förståelse för hur de kan dela upp division på ett annat sätt än att dela lika (Cooper & Karsenty, 2018).
4.5. Introduktion av division
På grund av att division ofta upplevs som svårt för elever i lågstadiet, är det enligt Jonas Jäder (2019) av stor vikt att läroböckerna introducerar division på ett lustfyllt och konkret sätt. Detta för att skapa intresse och nyfikenhet hos eleverna.
Uppgifterna utgör en central del i läroböckerna. Därför är det viktigt att de uppgifter som eleverna blir introducerade till utgår från elevernas förkunskaper.
Detta för att inte tappa eleverna under arbetets gång, men även för att kunna bygga en stabil grund innan eleverna börjar arbeta med mer komplicerade uppgifter (Jäder, 2019). Vid en introduktion av division bör fokus ligga på innebörden av divisionstecknet för att eleverna ska kunna utveckla en fördjupad förståelse för division. Elever behöver ta del av två kunskapsaspekter, först förmågan att förstå begrepp och relationer, sedan relatera dessa förmågor till att faktiskt utföra själva beräkningen. Det är viktigt att läroböcker behandlar divisionsuppgifter som både innehåller delnings- och innehållsdivision för att få den kunskap som krävs för att
förstå division. Det är även väsentligt att de olika aspekterna är lika fördelade i läroböcker. Detta för att eleverna ska få möjlighet att utveckla förståelse för båda aspekterna och för att kunna urskilja dem (Mårtensson, 2015).
4.6. Kritiska aspekter inom division
Division är det räknesättet som eleverna i skolan många gånger upplever som svårast i matematikundervisningen. Oftast upplevs division som komplicerat på grund av de två aspekterna, delnings- och innehållsdivision. Detta på grund av att eleverna inte kan se skillnaden på aspekterna (Neuman, 1999). I svensk skola har division under en längre tid introducerats som motsatsen till multiplikation, detta kan komplicera det för elever då multiplikation i själva verket har många samband med division. Exempel på ett samband mellan multiplikation och division är att det går att kontrollräkna division med multiplikation. För att kontrollräkna en division gäller det att ta kvoten multiplicerat med nämnaren som senare skall resultera till täljaren. Ett annat exempel på samband mellan multiplikation och division är att eleverna kan räkna division utifrån dess kunskap om
multiplikationstabellen. Ett exempel kan vara ifall eleven i fråga har kunskap inom femmans multiplikationstabell kan eleverna därigenom räkna ut att 15/5=3
eftersom 3 x 5=15. Detta ger en förutsättning för eleverna att snabbare kunna räkna division med hjälp av huvudräkning (Neuman, 1999). Många gånger uppstår svårigheter när eleverna ska lösa uppgifter med innehållsdivision. Detta beror oftast på att eleverna är bekanta med begreppet dela. Dessutom introduceras eleverna tidigare för delningsdivision än innehållsdivision, vilket leder till att eleverna har mer koll på den delen/det momentet. Detta medför att
innehållsdivision inte får lika mycket utrymme i undervisningen. Det är av stor vikt att eleverna har förståelse över att division inte enbart handlar om att dela utan även hur mycket något innehåller (Cooper & Karsenty, 2018).
Division med rest kan vara ett kritiskt moment då det är svårt att koppla till verkligheten som oftast inte är lika strikt. Delningen i det verkliga livet behöver inte alltid vara korrekt eller helt rättvis, och delar behöver inte alltid vara exakt lika stora (Cooper & Karsenty, 2018). En annan kritisk aspekt är förståelsen för de matematiska begreppen som är centrala i division. Elever som har bristande förståelse för begreppen: täljare, nämnare och kvot kan ha svårt att läsa
instruktioner och lösa uppgifter där begreppen har en central roll. Det är viktigt att elever har kunskap om dessa begrepp för en ökad förståelse inom räknesättet (Olteanu, 2016).
I skolans värld är det mest fokus på att räkna och skriva från vänster till höger.
Men däremot kan det i matematiken uppkomma tillfällen där eleven helt plötsligt
ska behöva räkna från höger till vänster, detta sker exempelvis i division. I division uppkommer svårigheter och förvirringar där eleverna möter ett räknesätt som innehåller flera olika räknesteg. Eleverna behöver också ha koll på fler saker samtidigt vilket kan bli väldigt krångligt för elever med svår
koncentrationsförmåga (Sellers, 2010).
5. Teori
I detta avsnitt kommer vald teori att redogöras. Studien kommer grunda sig i ett variationsteoretiskt perspektiv på lärande. Nedan presenteras centrala begrepp av perspektivet som kommer att beröra vårt arbete med en kort beskrivning.
5.1. Variationsteori
Variationsteorin utgår från att allt lärande är icke-dualistiskt. Icke-dualistiskt innebär att det som lärs är unikt och kunskapen finns varken ute i världen eller inom oss, utan mitt emellan. Lärande handlar om att betrakta omvärlden på ett nytt sätt (Holmqvist, 2006). Variationsteorin har sin grund i fenomenografin. Det centrala i teorin är hur olika människor beroende på sina erfarenheter uppfattar samma fenomen. Enligt teorin är det viktigt att läraren tar hänsyn till elevernas olika perspektiv och förhållande till ett ämnesinnehåll på grund av att eleverna kommer uppfatta samma ämnesinnehåll på varierande sätt (Lo, 2014). För att eleverna ska kunna förstå uppgifterna på samma sätt krävs det att de har samma erfarenheter och upplevelser, vilket Magnusson och Manunula (2011) menar är omöjligt. En hel klass kan inte ha samma erfarenheter för ett lärandeobjekt. Därför är det viktigt att läraren undervisar om de kritiska aspekterna utifrån
variationsmönster för att öka elevernas kunskap.
5.2. Lärandeobjekt
Lärandeobjekt är ett centralt begrepp i variationsteorin. Lärandeobjekt utgår från vad eleverna ska lära sig (Magnusson & Maunula, 2011). Det är lärarens uppgift att förmedla lärandeobjektet till eleverna. Meningen med lärandeobjekt är att både läraren och eleverna ska vara medvetna om vad som ska läras ut och vad som förväntas av eleverna för att de ska få kunskaper om lärandeobjektet (Lo, 2014).
Under undervisningen är det viktigt att läraren är tydlig med vad hen skall undervisa om och vad eleverna ska lära sig (Magnusson & Maunula, 2011). I studien är lärandeobjektet division med inriktning på innehålls- och
delningsdivision.
5.3. Kritiska aspekter
För varje lärandeobjekt finns det flera kritiska aspekter som läraren måste ta hänsyn till när hen planerar sin undervisning. För att eleverna ska kunna utveckla kunskap om lärandeobjektet krävs det att de har förståelse för de kritiska
aspekterna som finns inom området. Dessa kritiska aspekter blir tydliga när det
sker variation i undervisningen (Magnusson & Maunula, 2011). Undervisning som berör de kritiska aspekter för ett lärandeobjekt ger möjlighet till eleverna att nå djupare kunskaper. Men för att kunna behandla de kritiska aspekterna krävs det att läraren har god ämneskunskap och har kunskap om elevernas förkunskaper om lärandeobjektet (Lo, 2014). Ett exempel på en kritisk aspekt kan vara att synliggöra sambandet mellan multiplikation och division. Kunskap inom
multiplikation är avgörande för att eleven ska lära sig division. Ett annat exempel på en kritisk aspekt inom division kan vara de två aspekterna, innehålls- och delningsdivision. Ytterligare en kritisk aspekt som kan leda till ökade förståelse för räknesättet är öppna utsagor, detta innebär att ett tal fattas i ett räkneuttryck.
Det kan vara 12 / ? = 2 sedan får eleverna räkna ut vilket tal ? står för. Eleverna kan genom öppna utsagor kontrollräkna genom sambandet mellan division och multiplikation (McIntosh, 2015).
5.4. Variationsmönster
För att synliggöra de kritiska aspekterna i division kan läraren använda sig utav variationsmönster. Variationsmönster är olika sätt att variera innehållet på utifrån att urskilja det betraktaren, eleven, ska se och få en förståelse för. För att eleverna ska kunna utveckla sin kunskap behövs kopplingar göras till tidigare erfarenheter av det ämne eller område som ska läras ut. När eleverna ska utveckla kunskaper om ett lärandeobjekt väljer läraren det utifrån vilka kritiska aspekter som finns inom området. Detta för att eleverna ska få kunskap om lärandeobjektet och för att det kritiska ska bli okritiskt vilket är möjligt genom variation. De olika sätt som synliggörs är separation, generalisering och kontrast (Magnusson & Maunula, 2011, Lo, 2014).
5.4.1. Separation
Ett av de övergripande variationsmönster är seperationsmönstret. Detta mönster innebär att separera en kritisk aspekt av lärandeobjektet medans det andra hålls konstanta. I läroböcker kan uppgifter innebära att elever ska variera tecknets betydelse men att talen hålls konstanta, det vill säga oföränderliga. Exempelvis att 4/2 separeras från 4*2. Separationen i lärandet kan ske på olika sätt, antingen genom en generalisering eller en kontrastering. För att lära sig ett nytt budskap är det av central vikt att urskilja skillnader. Två aspekter eller fler ska inte varieras under samma tillfälle för att det då inte kan ske en separation (Magnusson &
Maunula, 2011, Lo, 2014).
5.4.2. Generalisering
Att generalisera är att byta ett sammanhang utan att själva objektet förändras (Magnusson & Maunula, 2011). Alltså när ett ting eller fokus på ett ting är
oförändrat medan andra ting i samma händelse varierar. De kritiska aspekter skiljs då från de icke-kritiska. De fokuserade tingen generaliseras medan andra ting separeras (Lo, 2014). Ett tydligt exempel på detta är när eleverna stöter på räknehändelser som innehåller delningsdivision. Dels ska eleverna förknippa division med att dela lika på ett antal kulor i olika påsar, och därefter får eleverna räkna hur många kulor som räcker till varje elev. Detta är två olika matematiska sammanhang, som innehåller samma typ av division, delningsdivision.
5.4.3. Kontrast
En kontrast kan synliggöras genom att förklara ett begrepp med hjälp av ett annat begrepp som är det motsatta. Den skillnad som synliggörs mellan två begrepp kallas då för en kontrast (Magnusson & Maunula, 2011). Ett tydligt exempel på detta kan vara att förklara division med hjälp av multiplikation, både för att förklara vad en division är men även vad en division inte är. Det kan även ske genom att se på sättet eleverna tidigare uppfattade en sak och det nya önskade sättet att se på det. Kontrast är när lärandeobjektet hålls konstant och händelser runt omkring varierar eller urskiljer dess likheter eller skillnader (Marton, 2015).
De skillnader som uppkommer kan vara mellan tidigare kunskaper och nya kunskaper som matematiken vill att eleverna ska ta till sig och lära sig för att överföra en kritisk aspekt till ett okritiskt (Lo, 2014). Exempelvis kan kontrast användas när uttrycket 12/2 och 2/12 ska jämföras för att förklara platsernas olika betydelser.
6. Metod
I detta avsnitt redogörs för val av metod och en beskrivning av valda läroböcker.
Detta följs av en redogörelse för etiska aspekter med konsideration till granskning av läroböckerna. Avsnittet avslutas med en framställning av analysverktyg och tillvägagångssätt för läromedelsgranskningen.
6.1. Val av metod
Studiens metod består av en läromedelsanalys som analyseras genom en innehållsanalys. Metoden går ut på att analysera dokument och texter. För att kunna kvantifiera innehållet utifrån förutbestämda kategorier bör innehållet vara objektivt och systematiskt. Dessa två begrepp är centrala i en innehållsanalys.
Objektivitet bygger på att det tydligt ska framgå hur kvantifieringen av innehållet ska ske. Detta för att skribenternas personliga värderingar inte ska påverka
granskningen. Systematik går ut på att reglerna noggrant ska följas, vilket leder till liten risk för felkälla (Bryman, 2016).
Genom att förhålla sig till dessa begrepp och vad de innebär, bör förhoppningsvis alla som tillämpar reglerna komma fram till samma resultat. Det väsentliga i en innehållsanalys är att analysprocessen leder till att resultatet inte påverkas av egna värderingar och åsikter (Bryman, 2016, Hwang & Nilsson, 2019). Vilket passar bra för en läromedelsanalys, där syftet är att synliggöra styrkor och svagheter utan att skribenterna ska ta ställning.
6.2. Urval av läroböcker
I läromedelsgranskningen valdes tre läroböcker som förekommer i lågstadiet:
Favorit Matematik (2012), Uppdrag Matte (2017) och Pixel Matematik (2017). En av anledningarna till att dessa tre läroböcker valdes var att de förekom under skribenternas verksamhetsförlagda utbildning. På så sätt fanns det en inblick i hur området division behandlades genom läroböckerna ute i verksamheten. Ytterligare en anledning till att just dessa läroböcker valdes var för att det fanns intressanta skillnader och likheter mellan läroböckerna. Då syftet med studien är att
undersöka och granska hur olika läroböcker introducerar och behandlar området division.
Denna läromedelsgranskning har enbart granskat läroböckerna för årskurs 2-3. I läroböckerna för vissa årskurser och terminer fanns inte området eller kapitlet division. Därav saknas vissa av utgåvorna i studien med anledning att
läroböckerna inte behandlat det valda området, division. Detta är även en utav anledningarna till att vi inte granskat läroböckerna för årskurs 1.
6.3. Favorit Matematik
Favorit Matematik kommer ursprungligen från Finland och har blivit översatt och anpassat till den svenska läroplanen av en stor grupp författare. Enligt förlaget Studentlitteratur (U.Å) beskrivs Favorit Matematik som ett av de basläroböcker i matematik för hela grundskolan i svenska skolor. Läroboken blev översatt till svenska år 2012 och har kommit till att bli enligt Studentlitteratur Sveriges mest använda lärobok i matematik. Vidare hävdar förlaget att Favorit matematik är en lärobok med tydliga strukturer som ger eleverna goda resultat. Eleverna får arbeta tillsammans men ändå individualiserat. Med Favorit Matematik får elever enligt förlaget möjlighet att arbeta med olika uppgifter för att stimulera och utveckla den matematiska utvecklingen. Läroböckerna består av två elevböcker per läsår, med fyra sidor för varje moment. Varje kapitel inleds med en genomgång av det nya momentet. Här får eleverna titta på en samtalsbild och lyssna på en ramberättelse som läraren läser från lärarmaterialet. Detta ger eleverna möjlighet att
kommunicera och resonera kring kapitlets innehåll. Efter detta arbetar eleverna enskilt med öva-uppgifter som består av repetition från genomgången. Därefter arbetar de med pröva-uppgifter som består av nya tillämpningar eller lite mer utmanande uppgifter. Det finns även kopieringsunderlag för fler uppgifter om läraren bedömer att det behövs. I slutet av varje kapitel finns även en diagnos, i detta avsnitt får eleverna visa vad de har lärt sig. Utöver detta finns det prov som kan kopieras ut och göras efter avslutat kapitel (Studentlitteratur, U.Å)
6.4. Uppdrag Matte
Uppdrag Matte är skriven av författare Anna Kavén, i samarbete med forskarna Per-Olof och Christine Bentley. De beskriver läroböckerna som intresseväckande för matematiken med uppdrag som eleverna får prova att lösa. Läroböckerna har sin utgångspunkt i följande citat:
“Matematik är en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet” (Lgr 11).
Uppdrag matte består av två grundböcker per läsår, där varje kapitel inleds och avslutas med ett uppdrag. Sedan finns det även 2 övningsböcker per år med övningar på tre olika nivåer. Utöver detta finns det även digitalt
undervisningsmaterial och övningsmaterial. Varje kapitel inleds med en berättelse som finns i lärarmaterialet (Liber, U.Å). Liber (U.Å) avser att matematik bör byggas upp kring gemensamma genomgångar där läraren tillsammans med eleverna diskuterar matematik. Det är genom detta möte som eleverna på ett naturligt sätt tränar begrepp och får ta del av olika lösningsmetoder. Efter inledning och gruppdiskussion där eleverna får hjälpa till att lösa uppdraget arbetar de med en gemensam grundkurs, där de får ta del av genomgångar och övningar som berör momentet. I grundböckerna ligger det fokus på att arbeta gemensamt i klassen, enskilt arbete sker sedan i övningsboken och digitalt
övningsmaterial. Avslutning för grundkursen består av att eleverna får höra lösningen på uppdraget och jämföra den med sina egna lösningar (Liber, U.Å)
6.5. Pixel Matematik
Pixel Matematik är skriven av författarna Bjørn Alseth, Henrik Kirkegaard, Gunnar Nordberg och Mona Røsseland. Författarna har skrivit grundboken
tillsammans med det norska förlaget Gyldendal Norsk Forlag som i första hand har originalnamnet Multi 4a Grunnbok. Det svenska bokförlaget Natur och Kultur har valt att överta läroboken och istället namnge det till Pixel Matematik. Med samma författare och en genomtänkt pedagogik avser förlaget Natur och Kultur (U.Å) att Pixel Matematik har en trygg jämn tillväxt av läroböcker från förskoleklass fram till årskurs 6. De fem olika böcker som inkluderas för de olika årskurserna är grundboken A och B, lärarboken A och B samt en övningsbok. Till Pixel Förskoleklass fram till årskurs 3 finns även en pärm med kopieringsunderlag.
Pixel Matematiks läroböcker behandlar matematiska moment och begrepp grundligt och över en längre period. Syftet med detta är att ge eleverna en trygg konkret nivå som övergår till halvabstrakt och slutligen abstrakt nivå på ett för eleverna intressant och lekfullt sätt. Förlaget Natur och Kultur (U.Å) avser att Pixel Matematik är det tydliga, korta instruktioner med enkla designade förklaringsmodeller som är bra anpassade för elever i lågstadiet. Vidare menar förlaget att innehållet är baserad på vetenskap och beprövad erfarenhet och är ägnat till att göra undervisningen och lärandet stimulerande och roligt för eleverna.
Läroboken är utformat för att ge eleverna en chans till att reflektera över matematiken och inte bara på att räkna ut uppgifterna, vilket ger en annan förutsättning för att eleven ska förstå matematiken
6.6. Forskningsetiska principer
I forskning där människor är inkluderade måste etiska aspekter tas hänsyn till (Jacobsson & Skansholm, 2019). Forskningsetik är den relation som finns mellan forskning och etik. Detta område rör frågor om hur personer som medverkar i forskningen, som informanter får enligt lag behandlas. I forskningen skall skribenterna ställas inför flera olika etiska frågor och ställningstaganden.
Forskningsetiska principer behandlar och ser till så att forskningsdeltagare har informerat samtycke från informanterna samt att nationell lag följs
(Vetenskapsrådet, 2017). De läroböcker som studien behandlar innefattar relevanta bilder som använts i studien vilket medförde krav på godkännande från
illustratörerna. De krav som anses lämpliga i studien är informationskravet, samtyckeskravet samt nyttjandekravet.
Informationskravet innebär att skribenterna skall informera de personer som berörs utav själva forskningsinsatser om den aktuella analysens syfte. Något som är av vikt är att deltagarna och författarna skall ha vetskap om att deras medverkan är frivillig och att de har rätt att ta tillbaka deras godkännande om de så önskar. Av stor vikt är det även att deltagarna skall fått tillräcklig information om vad
innehållet kommer användas till samt alla de moment som ingår i undersökningen (Hwang & Nilsson, 2019). Samtyckeskravet innebär att deltagarna själva får bestämma över sin medverkan och får därför inte tvingas eller pressas till sin medverkan. Slutligen inkluderas nyttjandekravet som handlar om att uppgifter som samlats in om ett moment inte får användas för något annat än det som ägarna ha givit sitt samtycke för.
I detta arbete har hänsyn tagits till etiska aspekter. Författarna för de valda läroböckerna har kontaktats och informerats om de krav som studien vidhåller samt vilket syftet är. Författarna har i sin tur godkänt läroböckernas medverkan i studien. De har även informerats om att materialet som samlats in bara används till studiens syfte.
6.7. Genomförande
Studien påbörjades genom en sökning av vetenskapliga texter via databasen ERIC och Swepub för att hitta relevant forskning till studien. De vetenskapliga texterna studien fick fram genom databaserna ligger till grund för arbetet. För att hitta relevanta texter via databasen användes sökord såsom matematik, division,
lågstadie, svårigheter och läroböcker. Dessa sökord användes både på svenska och engelska för att utvidga chanserna till att hitta relevant information till studien. Att hitta relevanta vetenskapliga texter genom ett likprogram som använts för arbetet var en utmaning då begreppet division på engelska har många olika betydelser och definitioner. Efter att studenterna testat en variation av olika sökord hittades vetenskapliga texter som på ett bra sätt kunde stärka syftet med litteraturanalysen.
När texten började få form skapades ett analysverktyg som utgick från studiens frågeställningar, syfte och teori. Analysverktyget användes sedan för att granska läroböckerna Favorit Matematik, Pixel Matematik och Uppdrag Matte.
Genom hela studien har studenterna ständigt haft kontakt och samarbetat. Det första de gjorde var att komma på ett område att skriva om. Alla studenterna kom med förslag och slutligen bestämde de att de skulle skriva om division som student 1 kom på. Men division var för brett, så tillsammans med handledaren kom
studenterna fram till att de skulle rikta in sig inom ett moment i räknesättet.
Studenterna valde de två aspekterna, delnings- och innehållsdivision som student 2 kom på. Sedan gav student 3 förslaget om att de kunde ha med kritiska aspekter som resterande studenter gick med på. De skrev sedan inledningen, syftet och
frågeställningarna tillsammans. Därefter gjorde student 2 ett sökschema och alla studenter började söka efter relevanta artiklar. Studenterna delade sedan upp artiklarna och alla fick läsa några artiklar var för att se om de var relevanta och gick att använda i studien. Efter avsnittet Tidigare forskning började studenterna skriva på teorin. Där student 1 riktade in sig på lärandeobjekt och kritiska aspekter medan student 2 och student 3 tillsammans skrev om variationsteorin och
variationsmönster. Därefter skulle studenterna välja läroböcker som skulle granskas. Eftersom de var tre studenter kom de fram till att de skulle granska tre läroböcker och att varje student skulle rikta in sig på en lärobok. Varje student valde den lärobok som de hade mött under sin verksamhetsförlagda utbildning, som de sedan fördjupade sig i och analyserade.
6.8. Analysverktyg och tillvägagångssätt
Metoden som användes i denna studie är en läromedelsanalys genom en
innehållsanalys. Första steget var att ta reda på hur delnings- och innehållsdivision introducerades och behandlades i valda läroböcker. Vidare granskades uppgifter och fokus låg på skillnader och likheter mellan läroböckerna. Därefter undersöktes fördelningen mellan de två aspekterna delnings- och innehållsdivision. Slutligen granskades och analyserades läroböckerna utifrån vilka kritiska aspekter som behandlats och vilka variationsmönster som tillämpats i böckerna med hjälp av variationsteorin. Utgångspunkten var att ta reda på vilka kritiska aspekter som fanns men också saknades inom avsnittet division i läroböckerna. Utifrån resultatet av undersökningen fortsattes granskningen genom att analysera olika variationsmönster som använts. Vidare granskades kopplingar mellan vilka kritiska aspekter som upptäcktes och vilka variationsmönster som använts för att synliggöra dessa.
Innehållsanalysen av läroböckerna började med att se över vilka kapitel som innehöll division. Sedan tog studien hjälp av ett analysverktyg (se figur 4) som utformades för att synliggöra och granska syftet i studien. Först undersöktes fördelningen mellan innehålls- och delningsdivision. Därefter granskades innehållet med hjälp av analysverktyget. Där syftet var att svara på
frågeställningarna. Sedan användes resultatet till att se över syftet och svara på studiens frågeställningar. Genom att använda sig av ett analysverktyg kommer undersökningens validitet påverkas positivt. Detta på grund av att fokus kommer att ligga på att svara på frågeställningarna och skribenternas personliga
värderingar får då inget utrymme i studien. Även reliabiliteten speglas i studien genom att begreppen, objektivitet och systematisk ligger till grund i hela studien (Bryman, 2019, Hwang & Nilsson 2019).
(Figur 4. Analysverktyg för innehållsanalysen)
En nackdel som påverkade studiens analys var brist på tid. Det märktes snabbt att det inte fanns tillräckligt med tid för att kunna analysera de olika läroböcker till den utsträckning som skribenterna hade velat. Därför gjordes en avgränsning och studenterna valde området delnings- och innehållsdivision. De tankar och
funderingar över hur lång tid som skulle läggas på arbetet vägdes in och var
ständigt en tanke som fanns under hela analysens gång. Ytterligare en nackdel som påverkades av tid var antalet läroböcker som granskades. Till en början var tanken att tre läroböcker skulle granskas. Det hela slutade med att sju läroböcker ingick i studien då läroböckerna granskades utifrån två olika årskurser med både höst- och vårtermin.
Analysverktyg
Introduktion
- Hur ser
introduktionen av delnings- och innehållsdivisio n ut i de olika läroböckerna?
- Hur behandlas delnings- och innehållsdivisio n ut i de olika läroböckerna?
- Hur fördelas delnings- och innehållsdivisio n i de olika läroböckerna?
Kritiska aspekter
- Vilka kritiska aspekter av innehållet är kritiska för elevernas utveckling och förståelse för division samt vilka saknas?
Variation
- Vilken typ av variationsmönst er används för att synliggöra de olika kritiska aspekterna?
7. Resultat och analys
I detta avsnitt presenteras resultatet med hjälp av analysverktyget och frågeställningarna i studiens syfte. De olika läroböckerna analyseras utifrån frågeställningar och jämförs utifrån likheter och skillnader. Resultatets syfte är inte att väga vilken lärobok som är bäst lämpad för skola. Utan att ta reda på om de enskilda läroböckerna förhåller sig till variation, hur de väljer att introducera och behandla aspekterna samt vilka kritiska aspekter som finns eller saknas inom området innehålls- och delningsdivision. Avsnittet avslutas sedan med en analys.
7.1. Introduktionen av delnings- och innehållsdivision i läroböckerna.
Favorit matematik
I läroboken Favorit matematik introducerades division och dess aspekter först i a-boken för årskurs 2 i samband med uppgifter som behandlar moment som dela lika och grupperingar. I båda läroböckerna var författarna noga med att behandla divisionsaspekterna, delnings- och innehållsdivision. Dessa presenterades med tydliga rubriker. I både 2a-boken och 3a-boken presenterades delningsdivision innan innehållsdivision. I 2a-boken var det däremot bara den ena aspekten som presenterades tydligt och konkret med bilduppgifter (se figur 5). I den
introduktionen uppmärksammades divisionens centrala begrepp, täljare, nämnare och kvot. Den andra aspekten, innehållsdivision, hade ingen introduktion (se figur 6), utan eleverna mötte uppgifterna direkt och de var mer textbaserade. Nästa lärobok som behandlade division och dess aspekter var 3a-boken. Denna lärobok hade samma upplägg som 2a-boken, där delningsdivision introducerades först och därefter innehållsdivision. Men där introducerades båda aspekterna tydligt och konkret med en bilduppgift på ett liknande sätt som delningsdivision
introducerades i 2a-boken. Det förekom dock ingen begreppsförklaring för divisionens terminologier. I både 2a-boken och 3a-boken fanns de uppgifter som behandlade aspekterna samlade under tydliga rubriker. Favorit matematik 3B behandlade inte division (Ristola, Tapaninaho & Vaaraniemi, 2018).
(Figur 5 ur Favorit matematik 2A, s.162 Ristola m.fl. ) (Figur 6 ur Favorit matematik 2A, s.166 Ristola m.fl. )
Uppdrag matte
Det var i Uppdrag matte 2b som eleverna första introduceras till delningsdivision, detta skedde genom en exempeluppgift med tillhörande bild där svaret fanns färdigskrivet. Under exempeluppgiften fanns det en ruta där det stod att division är omvänd multiplikation, sedan en modell på hur en beräkning av delningsdivision ser ut (se figur 7). Detta skedde utan att nämna att det var delningsdivision som eleverna jobbade med. Innehållsdivision introduceras därefter på samma sätt på nästkommande sida genom en uppgift med tillhörande bild där svaret var
färdigskrivet. Under exempeluppgifter stod det “exemplet ovan är också division”
sedan en modell på hur man beräknar en innehållsdivision (se figur 8). Även här undvek läroboken att nämna att det är innehållsdivision som eleverna jobbar med.
Läroboken introducerade division ännu en gång i Uppdrag matte 3b, här fanns det ingen introduktion till innehålls- och delningsdivision, utan kapitlet började direkt med att lösa uppgifter för division och multiplikation (Kavén, 2018).
(Figur 7 ur Uppdrag matte 2b, s.62 Kavén 2018) (Figur 8 ur Uppdrag matte 2b, s.63 Kavén 2018)
Pixel Matematik
I läroboken Pixel Matematik förekom division först i 2a-boken. I läroboken introducerades varken momentet division eller aspekterna delnings- och
innehållsdivision på ett tydligt sätt. Kapitlet introducerades genom uppgifter för delningsdivision med en exempeluppgift där svaret var färdigskrivet. Bredvid det färdigskrivna svaret fanns det en pratbubbla där det stod “Vi skriver så här” (se figur 9). På nästkommande sida fanns det uppgifter för innehållsdivision, där det varken fanns någon introduktion eller exempeluppgift med färdigskrivet svar.
Senare i boken förekom det uppgifter med figurer som förklarade tillvägagångssätt till vissa uppgifter för delnings- och innehållsdivision, men ingen tydlig
introduktion i början av kapitlet (Alseth, Kirkegaard, Nordberg & Rosseland, 2017).
(Figur 9 ur Pixel Matematik 2a s.107 Alseth m.fl. 2017)
7.2. Behandling av aspekterna delnings- och innehållsdivision i läroböckerna.
Favorit matematik
2a-boken var den första läroboken i serien som behandlade aspekterna i division.
Detta skedde tydligt genom rubriker och bilder. Uppgifterna som behandlade delningsdivision i 3a-boken bestod främst av rutinuppgifter, där eleverna skulle dela lika på paket. Slutligen mötte eleverna problemlösningsuppgifter. En sida bestod av problemlösningsuppgifter, där de också skulle dela lika på olika föremål. Uppgifterna kring innehållsdivision gick främst ut på att bilda grupper och ringa in olika föremål. Dessutom fanns det en liten ruta med rutinuppgifter och även en sida där eleverna skulle handla och lista ut hur mycket de fick för sina pengar. Kapitel fem i 2a-boken behandlade ytterligare division i dem sista sidorna som bestod av repetition. Där bestod en sida av delningsdivision, där eleverna skulle dela lika på pepparkakor och en annan sida innehöll innehållsdivision, där eleverna skulle bilda grupper. I 3a-boken fanns det ett avsnitt som hette
delningsdivision, nästan alla uppgifter var rutinuppgifter som gick ut på att dela karameller eller klistermärken mellan två eller tre barn med hjälp av bilder på antalet godisbitar. Utöver detta fanns det en problemlösningsuppgift och sedan rutinuppgifter för multiplikation. Innehållsdivision fanns också som ett eget avsnitt i boken. Hälften av uppgifterna var rutinuppgifter som gick ut på att ringa in hur många påsar det behövdes för olika typer av bakverk om det exempelvis skulle finnas 3 bullar i varje påse. Utöver detta fanns det problemlösningsuppgifter där bild skulle ritas till text, ett band skulle delas i lika stora delar samt rutinuppgifter för multiplikation. Vidare i kapitlet för division fanns det rikligt med uppgifter som gick att koppla till både delnings- och innehållsdivision. De moment som kapitlet division behandlade var att beräkna division, samband mellan division och multiplikation samt division med bland annat rest och problemlösning. (Ristola, Tapaninaho & Vaaraniemi, 2018).
Uppdrag matte
I uppdrag matte var det först i 2b-boken som innehållet började behandla delnings- och innehållsdivision. Detta skedde utan att tydligt nämna de två aspekterna, utan förklarades istället som två olika sätt att räkna division. I 2b-boken fanns
delningsdivision i uppgifter där frukter ska delas lika mellan barn och genom problemlösningsuppgifter. På samma sätt behandlades innehållsdivision med uppgifter där en hund skulle lägga ben i högar och sedan genom olika
problemlösningsuppgifter. I sin stora helhet fanns det inte många uppgifter för division i 2b-boken, det fanns få rutinuppgifter och avsnittet behandlade främst problemlösningsuppgifter. Division introducerades återigen i 3b-boken, där fortsatte innehållet att behandla delnings- och innehållsdivision genom
problemlösningsuppgifter. Utöver detta fanns det några få uppgifter för samband
mellan division och multiplikation. I 3b-boken behandlades division i ännu mindre mån än den förekommande (Kavén, 2017).
Pixel Matematik
I alla tre läroböcker behandlas främst delningsdivision och uppgifterna bestod mest av rutinuppgifter. Detta var något som upprepas och följdes genom alla tre läroböcker. De rutinuppgifter som 2a-boken främst utgick från var att dela lika på olika föremål, exempelvis människor, bollar, bullar och glass. Vilket även gällde i resterande läroböcker (se figur 9). De problemlösningar som fanns i läroböckerna var förknippade med innehållsdivision. Där uppgiften gick ut på att räkna hur många bananer som varje apa skulle få när de fördelades jämnt. Det som inte fanns vid problemlösningsuppgifterna var utrymme för beräkning.
Problemlösningsuppgifter utgjorde endast en liten del av sidan som innehöll möjligheter för eleverna att förklara hur de löste uppgiften. Innehållsdivision fick inte lika stort utrymme för beräkningar vid problemlösningsuppgifter som
delningsdivision (Alseth, Kirkegaard, Nordberg & Rosseland, 2017).
7.3. Fördelning av delnings- och innehållsdivision i läroböckerna.
(Tabell 1 - fördelningen mellan aspekterna i de olika läroböckerna samt dess termins böcker)
Fördelningen av de två aspekterna, delnings- och innehållsdivision såg olika ut i läroböckerna. I Favorit Matematik 2a var fördelningen mellan aspekterna någorlunda jämn. Det skiljde endast 6 uppgifter. I Favorit Matematik 3a var fördelningen ojämn. Delningsdivision var dominerade med 76 uppgifter som
innehöll delningsdivision och 55 uppgifter med innehållsdivision. Något som synliggjordes och blev tydligt i Uppdrag Matte var att innehållsdivision knappt behandlades i läroböckerna. I 2b-boken fanns det nio uppgifter som innehöll delningsdivision och tre som utgick från innehållsdivision. I Uppdrag Matte 3b var skillnaden stor mellan de två aspekterna med 36 uppgifter delningsdivision respektive 11 innehållsdivision. Även i Pixel matematik 2a och 3a var
fördelningen mellan aspekterna inte jämn. Delningsdivision var den aspekten som syntes mest med hela 36 uppgifter, innehållsdivision förekom sedan i 9 uppgifter.
Däremot när det kom till 3b-boken var fördelningen relativt jämn, där det endast skiljde en uppgift mellan aspekterna.
7.4. Kritiska aspekter
Favorit matematik
En kritisk aspekt kan som Olteanu (2016) nämner vara begreppsförståelsen. Denna kritiska aspekt identifierades i 2a- boken. Vid introduktionen av division och dess aspekter synliggjordes divisionens terminologier, täljare, nämnare och kvot. Detta är däremot något som saknades i 3a-boken. Enligt Neuman (1999) är sambandet mellan division och multiplikation en annan kritisk aspekt. Denna aspekt
behandlades i 3a-boken men saknades i 2a-boken. Multiplikation presenterades före division i läroboken i följd av sambandet mellan de två räknesätten,
exempelvis 8/2 = 4 och 4 * 2 = 8. Ytterligare en kritisk aspekt var användningen av rest (Cooper & Karsenty, 2018) som synliggjordes i 3a-boken, exempelvis 11/5
=___ , rest ___ (Ristola, Tapaninaho & Vaaraniemi, 2018).
Uppdrag matte
En kritisk aspekt för division var begreppsförståelsen (Olteanu, 2016). Detta var något som inte synliggjordes i 2b-boken för uppdrag matte. I introduktionen fanns det förklaringsmodeller för hur en delnings- och innehållsdivision beräknas. Dock förklarades de olika stegen utan att begreppen täljare, nämnare och kvot nämndes.
Dessa begrepp nämndes inte förens i 3b-boken. Delningsdivision presenterades genom en bild med en text som löd “exempel ovan är division” sedan presenteras innehållsdivision som “exemplet ovan visar också division” (se figur 5) dessa presenterades utan att nämna begreppen delnings- och innehållsdivision. I
introduktionen för 2b-boken beskrevs division som omvänd multiplikation. Senare i 3b-boken beskrevs division som en likhet till multiplikation, då de har ett
samband. Enligt Neuman (1999) är sambandet mellan division och multiplikation en annan kritisk aspekt. Ytterligare beskriver Cooper & Karsenty (2018)
användningen av rest i division som en kritisk aspekt. Användningen av rest i division var ett moment som saknades i både 2b och 3b-boken för Uppdrag matte (Kavén, 2017).
Pixel matematik
En kritisk aspekt som identifierades i Pixel Matematik var bristen på
begreppsförklaring. Det är enligt Olteanu (2016) viktigt att eleverna har förståelse för de centrala begreppen inom division, täljare, nämnare och kvot. Det förekom ingen förklaring kring divisionens tre terminologier i läroböckerna. Däremot förekom begreppet rest i läroböckerna som Cooper & Karsenty (2018) menar kan vara en annan kritisk aspekt. Ett exempel på en sådan uppgift är 9/4 ___, rest ___.
En ytterligare kritisk aspekt som synliggjordes i läroböckerna var uppgifterna som behandlade öppna utsagor. Detta är enligt McIntosh (2015) en kritisk aspekt som kan leda till ökad förståelse för räknesättet. En ytterligare kritisk aspekt enligt Neuman (1999) är sambandet mellan division och multiplikation, som
synliggjordes i 3b-boken. Detta är något som förekom under två sidor som i sin tur underlättar förståelsen av sambandet mellan multiplikation och division (Alseth, Kirkegaard, Nordberg & Rosseland, 2017).
7.5. Variationsmönster i form av separation i de olika läroböckerna
Favorit matematik
Kontrast var det enda variationsmönster som förekom i läroböckerna. Detta variationsmönster behandlades i 3a-boken för att synliggöra sambandet mellan multiplikation och division (se figur 10).
(Figur 10 ur Favorit matematik 3A, s.166 Ristola m.fl. 2018)
Uppdrag matte
Variationsmönster som synliggjordes i 2b-boken var de olika sätten att beräkna division, det var genom delningsdivision och innehållsdivision eleverna fick arbeta med täljare, nämnare och kvot på olika sätt genom att separera och skapa
kontraster. Ännu ett variationsmönster som synliggjordes senare i 3b-boken var att sätta division i kontrast till multiplikation (se figur 11). Variation skedde även
genom en generalisering i 2b-boken eftersom alla uppgifter gick ut på att dela, men det som delas varierades från exempelvis äpplen till oliver (se figur 12)
(Figur 11 ur Uppdrag matte 3b, s.70 Kavén 2018) (Figur 12 ur Uppdrag matte 2b, s.62 Kavén 2018)
Pixel Matematik
Den typ av variation som synliggjordes i 2a-boken var separation genom både generalisering och kontrast. En generalisering som synliggjordes i läroboken var bland annat när eleverna skulle dela lika, eftersom de föremål som skulle delas lika varierade. Exempelvis fick eleverna i introduktionen av division först dela lika på glas och senare på bär (se figur 13). Uppgifterna såg olika ut men handlade fortfarande om samma sak, nämligen att dela lika. Kontrasten som synliggjordes i läroböckerna var bland annat att i slutet av 3b-boken då eleverna fick möjlighet att öva på sambandet mellan division och multiplikation (se figur 14). Detta var en typ av kontrastering eftersom läroboken gav utrymme till förståelsen och jämförelsen av de olika räknesätten. Men i samma område förekom också en generalisering eftersom läroboken behandlade öppna utsagor.
(Figur 13 ur Pixel Matematik 2a s107. Alseth m.fl. 2017) (Figur 14 ur Pixel Matematik 3b s.62 Alseth m.fl. 2017)
7.6. Sammanfattning av resultat
Alla läroböcker valde att först presentera delningsdivision för att senare arbeta vidare med innehållsdivision. Däremot behandlades aspekterna olika i
läroböckerna. I alla läroböcker var fördelningen mellan de olika aspekterna ojämna. Hur jämn fördelningen var skiljde sig mycket mellan de olika läroböckerna. Delningsdivision var dock den aspekt som trädde fram mest.
Slutligen identifierades flera kritiska aspekter som var kritiska för elevernas lärande inom området division som kunde synliggöras och som saknades i läroböckerna. Dessa var begrepp, samband och användningen av rest i division.
Kontrast var de variationsmönster som syntes på liknande sätt i alla läroböcker.
Detta variationsmönster blev synligt via sambandet mellan division och multiplikation. Sedan syntes även en generalisering på två av tre läroböcker, genom att uppgifterna var av samma karaktär men att objektet som skulle delas ändrades.
7.7. Analys
7.7.1. Introduktion och behandling
Utifrån resultat framgick det att delnings- och innehållsdivision introducerats i årskurs 2 på höstterminen i Pixel Matematik samt Favorit Matematik, medans de introducerats på vårterminen i Uppdrag Matte. Introduktionen av delnings- och innehållsdivision såg olika ut i alla läroböckerna, det som läroböckerna hade gemensamt var att delningsdivisionen presenterades först och följdes sedan upp av innehållsdivision. I fördelningen mellan de olika aspekterna märktes det tydligt att delningsdivision var dominerande i alla läroböcker förutom i Favorit Matematik 2a (se tabell 1). Det var även i denna lärobok som fördelningen var jämnast mellan de två aspekterna, med 34 uppgifter för delningsdivision och 40 uppgifter för innehållsdivision. Pixel Matematik var den lärobok som var minst jämn i sin
fördelning av aspekterna med 36 uppgifter för delningsdivision och 9 uppgifter för innehållsdivision. Utifrån resultatet gick det även att se likheter mellan de olika läroböcker.Alla läroböcker tenderade att öka antalet uppgifter med
innehållsdivision i böcker för senare årskurser. Favorit Matematik var den lärobok som behandlade begrepp som ingår i division tydligast. Bland annat genom att använda sig av aspekterna delnings- och innehållsdivision som två olika rubriker som tydligt visade de olika sätten att räkna division på. Även genom en tidig introduktion av täljare, nämnare och kvot. I både Uppdrag Matte och Pixel Matematik introducerades inte de olika aspekterna på ett tydligt sätt, och olika begrepp inom division presenterades inte förens i slutet av kapitlet. En likhet var att alla läroböckerna använde sig av problemlösning och rutinuppgifter.
Problemlösning förekom i form av räknehändelser där något skulle räknas ut och även som tomma rutor där eleven själv får skriva en räknehändelse med bild.
Problemlösning förekom i form av uppgifter där lösningen inte var given, utan att det finns något hinder som gör att eleven inte kan lösa uppgiften direkt. För att lösa en sådan uppgift krävs det oftast att eleven har kunskap i olika strategier för räknesättet. Lösningen ska sedan översättas till matematiska modeller (Karlsson &
Kilborn, 2015). Rutinuppgifter förekom i form av flera liknande uppgifter som trädde fram under flera ställen i läroboken, på detta vis blir eleverna välbekanta med sättet de ska lösa uppgifterna på. Läroboken har tidigare presenterat hur eleverna bör göra, hur de kan tänka, ställa upp, rita, räkna ut eller skriva. Eleverna ska kunna känna igen uppgifterna och koppla den med de lösningsstrategier som förklarats i boken (Karlsson & Kilborn, 2015)
7.7.2. Kritiska aspekter
I alla tre läroböckerna fanns det kritiska aspekter som behandlades på olika sätt.
Det fanns en del kritiska aspekter som behandlade begreppsförståelsen vilket utvecklar elevernas matematiska kunskap inom division (Magnusson & Maunula, 2011). I både Favorit Matematik samt Uppdrag Matte förekom terminologier som täljare, nämnare och kvot i introduktionen av division (se figur 15 och 16. Detta är något som saknades i Pixel Matematik och som inte nämndes alls i någon av de tre läroböckerna som analyserats. En skillnad som synliggjordes mellan Favorit Matematik och Uppdrag Matte var att i Favorit Matematik nämndes och förklarades de olika begreppen för division väldigt tidigt i 2a-boken, medan i Uppdrag Matte behandlades divisionens terminologier väldigt sent i 3b-boken.
(Figur 15 ur Uppdrag Matte 3b s.70 Kavén 2018) (Figur 16 ur Favorit matematik 2a, s.162 Ristola m.fl.
2018)
Användningen av rest i division är ännu en kritisk aspekt som fanns i alla
läroböckerna förutom Uppdrag Matte. Uppdrag Matte var dessutom den lärobok med minst uppgifter och utrymme för division i sina läroböcker. Uppgifterna skiljde sig däremot. Introduktionen av momentet rest förklarades med text och tillhörande bild i läroboken Favorit Matematik (se figur 17) medan i momentet med rest var kortfattat i läroboken Pixel Matematik (se figur 18) utan någon direkt introduktion. Som figuren nedan visar, så fanns det endast en förklaring på hur rest skrivs, men inte varför den förekommer.
(Figur 17 ur Favorit Matematik 3a s178 Ristola m.fl. 2018) (Figur 18 ur Pixel Matematik 3b s52 Alseth m.fl. 2017)
En ytterligare kritisk aspekt som synliggjordes i alla tre läroböcker var sambandet mellan multiplikation och division. Kunskap inom multiplikation är avgörande för att eleven ska lära sig division (McIntosh, 2015). Alla läroböcker, Favorit
Matematik, Uppdrag Matte och Pixel Matematik presenterade multiplikation före
division vilket gav eleverna en god förförståelse om division (se figur 19, 20 och 21). Alla läroböckerna hade avsnitt som på ett tydligt sätt med olika modeller förklarade sambandet och försökte på olika sätt utveckla en förståelse för sambandet mellan multiplikation och division. Det är av stor vikt att uppmuntra eleverna till att använda strategier som är meningsfulla och utvecklande när de räknar division. Eleverna behöver även en kombination av olika räknestrategier för att utveckla elevernas förutsättningar för en matematisk förståelse (Kouba &
Franklin,1993).
(Figur 19 ur Favorit Matematik 3A, s.166 Ristola m.fl. 2018) (Figur 20 ur Uppdrag Matte s.70 Kavén 2018)
(Figur 21 ur Pixel Matematik 3b s.62 Alseth m.fl. 2017)
7.7.3. Variationsmönster i form av separation i läroböckerna
Det fanns ett tydligt mönster av variation i läroböckerna och dessa mönster såg nästan likadana ut i alla de tre läroböcker som analyserats. När det kom till kontrast kunde detta främst synliggöras i hur alla läroböckerna valt att arbeta med division utifrån de olika aspekterna delnings- och innehållsdivision. Men även genom hur division sätts i kontrast till multiplikation som förekom i alla läroböcker (se figur 19, 20, 21). Enligt Magnusson, Maunula (2011) & Marton (2015) sker en kontrast när ett begrepp förklaras med hjälp av ett annat begrepp där skillnaden synliggörs (Magnusson & Maunula, 2011). De variationsmönster
