Lösningar på olika utmaningsnivåer

Följande kategori kunde analyseras fram då det framträdde sig ett mönster i empirin där eleverna löste lärares problemlösningsuppgifter på olika utmaningsnivåer. Denna kategori kan tänkas ingå i vissa av de andra kategorierna, då eleverna exempelvis löser uppgifterna genom matematiska begrepp, samtidigt som de löser dem på olika utmaningsnivåer. Grundat i detta särskiljer sig denna kategori från de andra, därför att det uppkom ett tydligt mönster där eleverna såg lärares problemlösningsuppgifter som olika svåra.

I följande exempel visas det hur en grupp elever arbetar med en problemlösningsuppgift, där de skall räkna ut en del av en helhet, se exempel 6 i bilaga D. Eleverna förklarade sin

förståelse för problemlösningsuppgiften när de resonerade sig fram till en lösning. Nora- Om man tar bort 30 från 120..

Viggo- Då blir det ju.

Nora- Och sen tar man det som blir kvar delat på två då borde man ju få fram svaret. Viggo- Var det 90? Om man tar 120 minus 30.

Nora- Alltså 120 minus 30 är. Nora/Viggo- Skriver på sitt papper.

Therese/Lasse- tittar på varandra och börjar skriva likadant som Nora & Viggo. Therese- Pekar på pappret och viskar till Lasse och säger du ska skriva minus 30. Lasse- Tar suddgummit och suddar på sitt papper.

Nora- Säger högt, Och det blir 90. Och sen 90 delat på två, ehm.. Samtidigt skriver hon ner det på sitt papper. Viggo- Skriver också på sitt papper.

Therese/Lasse- tittar på Nora & Viggo.

I detta exempel samtalar eleverna om en problemlösningsuppgift som handlar om delar av en helhet. Det uppenbarar sig att eleverna Nora och Viggo inte tycker problemlösningsuppgiften är lika svår som eleverna Therese och Lasse gör. Nora och Viggo resonerar tillsammans fram en lösning som Therese och Lasse inte verkar svara på. Detta visas tydligt i exemplet ovan när eleverna Nora & Viggo resonerar fram en lösning både muntligt och skriftligt medan eleverna Therese och Lasse håller sig passiva vid den muntliga redovisningen och tittar på varandra. Således löser elever lärares problemlösningsuppgifter på olika utmaningsnivåer, då gällande problemlösningsuppgift hamnade på en högre utmaningsnivå för eleverna Therese och Lasse, än för Nora och Viggo. Att eleverna Therese & Lasse ser på lärarens problemlösningsuppgift som svår visade sig då de skrev av det Nora och Viggo kommit fram till, utan att varit med och resonerat kring ett lösningsförslag av problemlösningsuppgiften.

I följande exempel löser tre elever en uppgift, där lägesmåtten median, medelvärde och

typvärde förekommer, se exempel 5 i bilaga D. Eleverna försöker därför finna olika värden på dessa lägesmått och de diskuterar kring hur man räknar ut lägesmåtten median och

37 Lova - Median ska man, ska vi se…

Mia - Om du tänker dig… Lova - Ställa alla tal i ordning.

Mia - och så ska du se vilken som är i mitten. Tova - 20 är den i mitten.

Mia - Nej, 12 är den i mitten. Lova - Ja. Medianen är 12. Tova - Ja, då förstår jag.

Mia & Lova - Då ska vi skriva ner alla. 12 plus 8 plus 20… Tova - Va?! Ska vi plussa ihop allt nu?

Mia - Ja nu är det medelvärdet. Det blir lika med 70.

Eleverna i detta exempel samtalar kring olika lägesmått och det visar sig tydligt att eleverna Lova och Mia inte finner detta så svårt som eleven Tova gör. Detta då Tova inte verkar följa med i Lovas och Mias resonemang kring lägesmåtten median och medelvärde. Grundat i detta hamnar den gällande problemlösningsuppgiften på en högre utmaningsnivå för Tova, än för Mia och Lova. Att eleverna uppfattade lärarnas problemlösningsuppgifter olika svåra

grundade sig ofta i hur väl elevernas begreppsförståelse var. Således visade det sig att många gånger så var eleverna i behov av att lösa lärarnas problemlösningsuppgifter tillsammans, då de löste uppgifterna på olika utmaningsnivåer. Därför kan det sägas att det inte var mängden räkneoperationer eller storleken på talen som gjorde att eleverna uppfattade lärarnas

problemlösningsuppgifter olika svåra. Det var istället elevernas hantering av de olika

presenterade begreppen i lärarnas problemlösningsuppgifter som gjorde att de såg problemen som olika svåra.

Detta slutgiltiga exempel framvisar en muntlig interaktion mellan två elever, dock var det fyra elever totalt som arbetade tillsammans. Den ena eleven söker förståelse för uppgiften genom att fråga den andra eleven som har förstått uppgiften och har påbörjat sin lösning. Uppgiften som eleverna arbetar med handlar om att finna längden av olika sträckor, se exempel 3 i

bilaga D.

Jonna - Men kan ni snacka med oss, så vi förstår? Eleven tittar ner på vad Max skriver på den lilla whiteboard tavlan.

Marvin - Men jag räknar i min hjärna som inte du har. Kolla åtta gånger femtio är fyrahundra.

I exemplet ovan ses det hur eleven Jonna och eleven Marvin resonerar kring lärarens

problemlösningsuppgift på olika utmaningsnivåer. Jonna uttrycker tydligt för sin klasskamrat Marvin att hon inte riktigt förstår det han gör och han responderar på ett sätt som indikerar på att han inte vill klargöra hur han har gått tillväga när han löst problemet. Eleven Marvins respons till eleven Jonna är problematisk, då Marvins respons är kränkande och kan störa eleven Jonnas lärande. Att elever löste lärarens problemlösningsuppgifter på olika

utmaningsnivåer resulterade i vissa fall att eleverna jobbade var för sig och den elev som såg problemet som inte så utmanande, uttryckte ibland en ovilja att visa sina klasskamrater hur hen tänkte kring problemet. I kontrast till exemplet ovan, delade inte alltid eleverna med sig av sina lösningar av problemet. De jobbade hellre på var för sig.

9 Resultatdiskussion

I följande diskuterande text skall resultatet för denna studie förstås och diskuteras i skenet av tidigare forskning. Eftersom resultatet består utav både lärares uppfattningar och elevers lösningar, ska dessa uppfattningar och lösningar jämföras nedan och diskuteras. Således ska denna diskuterande text problematisera kring om lärarnas uppfattningar överensstämmer med elevernas lösningar av lärarnas problemlösningsuppgifter.

38

Som det framgick i resultatet av lärarnas uppfattningar och elevers lösningar av lärarnas problem visade det sig att eleverna löste uppgifterna som rutinuppgifter och lärarna uppfattade att deras matematikundervisningen skedde via läroboken. Att eleverna löste problemlösningsuppgifterna i läroboken som rutinuppgifter, kan tänkas bekräftas av Boalers (2001), Chengs (2013), Löwings (2006), Pettersons (2008), Taflins (2007) och Westers (2015) studier där de beskriver att matematikundervisning som utgår från läroboken oftast innehåller rutinuppgifter. Taflin (2007) har konstruerat ett schema där hon har kategoriserat fram tre typer av matematikuppgifter som är rutinuppgifter, textuppgifter och matematiska problem. Utifrån dessa tre framgår det att elevernas problemlösningsförmåga kan vara olika beroende på vilka uppgifter de blir tilldelade av läraren. Taflin (2007) beskriver att

rutinuppgifter är uppgifter som endast kräver lite ansträngning för att lösa dem och som syftar till en färdighetsträning.

Att eleverna löser problemlösningsuppgifter som rutinuppgifter handlar om att uppgifterna inte leder till någon svårighet och kan därför inte ses som ett problem (Taflin, 2007, s.31). Detta blir tydligt då det kan kopplas till att lärarna uppfattade att uppgifterna som eleverna arbetade med inte enbart skedde när eleverna arbetade med rika problemlösningsuppgifter utan att det även skedde kopplat till när de arbetade med uppgifter i läroboken (Cheng, 2013). Därför uppfattade lärarna att undervisningen skedde via läroboken, då några elever tyckte uppgifterna var enkla och löste därför dem som rutinuppgifter och att några andra uppfattade uppgifterna i läroboken som svåra och blev därför en problemlösningsuppgift för dem. Enligt Mellroth (2009, s.61) kan detta vara problematiskt, då hon menar att både för svåra och för enkla uppgifter gör elever mindre motiverade till att lösa dem. Pólya (1990, s.171) beskriver även att då elever löser uppgifter som rutinuppgifter handlar det om att svaren direkt kan utläsas av elever. Att eleverna löste uppgifterna som rutinuppgifter grundar sig i att läraren inte tilldelade eleverna en problemlösningsuppgift som var tillräckligt utmanande. Pólya (1990, s.4) menar att för en uppgift ska anses som en problemlösning behöver eleverna under en period och vid flertals gånger arbeta med den för att träna deras problemlösningsförmåga. Att lärarna uppfattade att undervisningen där problemlösning ingick skedde via lärobok och att elevers lösningar ansågs som rutinuppgifter kan inte ställas i relation till vad Pólya (1990) definierar som en problemlösningsuppgift då det i vissa fall inte ställs några krav på elever för att lösa dessa. Därmed kan det sägas att lärarna uppfattade att undervisning skedde via

läroboken och detta kan relateras till att vissa av eleverna som ingick i studien löste uppgifterna som rutinuppgifter.

Utifrån lärares uppfattningar och elevers lösningar av lärarnas problem i resultatet för denna studie, yttrade det sig att elever löser problem på olika utmaningsnivåer och därför uppfattade lärare att de var tvungna att ha en varierad lärarroll. Att elever löser problem på olika

utmaningsnivåer, kan relateras till Schoenfelds (1985) teori om hur man bör se på personer som löser problem. Han menar att personer är beroende av vissa resurser vid lösning av problem. Dessa är fyra till antalet och han benämner dem som resurser, heuristisk, kontroll och tilltrosystem. Dessa fyra ligger till grund för en persons problemlösningsförmåga och bestämmer i vilken grad en person är kapabel till att lösa ett problem (Schoenfeld, 1985, s.44- 45). Att dessa fyra resurser är säregna förmågor kopplade till just en persons problemlösande blir tydligt då lärarna uppfattade att elever som de ansåg vanligtvis inte var duktiga i

matematik, var väldigt duktiga på att lösa problem. Därför uppfattade lärarna att de var tvungna att variera sin lärarroll, i syfte med att identifiera dessa elever och låta dem som en lärare uttryckte det “glänsa lite”. Utifrån Schoenfelds (1985) teori om att en persons

problemlösande är beroende av bland annat ett tilltro system, är detta viktigt att lärarna uppmärksammade och visade eleverna just tilltro till deras problemlösningsförmåga. Om detta tilltro system talar Schoenfeld (1985, s.45) hur det bestämmer en person tillgång till de

39

resterande tre resurserna. Om sedan elever lyckas utveckla ett starkt tilltrosystem hos sig själv, kan detta påverka hens inställning till matematik generellt, eftersom Schoenfeld (1985, s.15) visar hur tilltrosystemet består utav en persons syn på sig själv, på sin omgivning, på ämnet och på matematik. Grundat i detta är lärarnas uppfattningar om att de har en varierad lärarroll viktig då elevers förmåga till att lösa problem stöttas av detta.

Att lärarna uppfattar att uppgifterna är viktiga för att deras undervisning där problemlösning ingår ska fungera, blir tydligt när de uttrycker hur antalet uppgifter inte var det viktiga. Istället uppfattar lärarna att uppgifterna borde vara anpassade till den elevgrupp som de undervisade och att uppgifterna borde ge eleverna möjligheter till att träna på de lösningsmetoder som de blivit undervisade om. Att lärarna uppfattade att antalet uppgifter inte var det viktigaste kan ställas i kontrast till Lesters (1988) och Taflins (2007) syn på hur problemlösning bör undervisas. De visar hur lärarnas matematikundervisning via problemlösning bör präglas av att den tillåter eleverna lösa många problem under hela skolgången (Lester, 1988, s.37; Taflin, 2007, s.42). Således uppfattade lärarna istället att uppgifterna var viktiga eftersom de borde anpassas till de enskilda eleverna. De uttryckte detta genom att bland annat säga att “Asså denna problemlösning kan ju vara en rutinuppgift för någon annan. Det beror på.” och nämnde inget om att eleverna borde få lösa många problem under sin skolgång.

Lärarnas uppfattningar om uppgifternas roll vid deras matematikundervisning kan istället bättre speglas i Schoenfelds (1985, s.74-75) syn på detta. Detta då han menar att en uppgifts karaktär bestäms av en elevens relation till uppgiften och att definitionen av ett problem därför alltid är relativ. Han beskriver hur en uppgift kan vara en rutinuppgift för en elev och ett problem för en annan elev (Schoenfeld, 1985, s.74). Grundat i detta visar det sig därför att lärarnas uppfattningar om att uppgifterna är viktiga, grundar sig i att de ser på uppgifterna som relativa till karaktären och att de bör vara utformade till eleverna på ett sådant sätt som gör så att eleverna löser dem som problem. Dock står lärarnas uppfattningar om deras matematikundervisning där problemlösning ingår inte helt i motstridighet till Taflins (2007) teori om hur problem bör presenteras till eleverna. Både lärarnas uppfattningar och Taflin (2007, s.42) grundar sig i att elevernas möte med problem bör tillåta dem att träna på olika lösningsmetoder. Lärarna uttryckte att uppgifterna borde tillåta dem som lärare att “dela ut nycklarna” och detta kan därför sättas i relation till Taflins (2007, s.42-43) och Arsevens (2015) syn på att metoder är viktiga att undervisa om, då de exempelvis möjliggör tillfällen för elever att kontrollera sina svar.

Vidare visade det sig att eleverna löser problem visuellt och genom matematiska begrepp. Detta kan förstås i skenet av en av Gardners (1994, s.156-188) formulerade intelligens, spatial intelligens. Han menar hur personers användning av den spatiala intelligensen gör så att man tränar på att uppfatta den visuella världen. Detta kan göras genom att exempelvis rita av ett föremål och en sådan visuell handling ställer något högre krav på en människa än om hen bara skulle försöka urskilja ett föremål (Gardner, 1994, s.160). Därför kan det sägas hur elevers möte med lärarnas problemlösningsuppgifter innefattas av att de fick möjligheter till att träna på att uppfatta olika visuella världar. Att eleverna löste lärarnas problem genom olika

matematiska begrepp kan antyda på att de löste problemen på ett sätt som Smith & Stein (1998, s.348) benämner som doing mathematics. Detta eftersom Smith & Stein (1998, s.348) menar att doing mathematics innefattas av att elever måste utforska den bakomliggande matematiken i uppgiften och därför även söka förståelse för olika matematiska begrepp. Grundat i detta löste eleverna lärarnas problem på ett sätt som ofta påminde om det som Smith & Stein (1998, s.348) benämner som doing mathematics.

40

Vidare utifrån lärares uppfattningar om deras matematikundervisning där problemlösning ingår visade det hur de uppfattade att deras undervisning skedde i grupp. Lärarna beskrev att undervisningen där problemlösning ingick ibland skedde utifrån EPA-metoden som innebär att eleverna arbetar enskilt, i par och tillsammans i helklass. Men också att den skedde i smågrupper där eleverna samtalade om olika problem. Att lärarna uppfattade att deras undervisning skedde i grupp handlar om att lärarna tilldelade elever uppgifter som de valfritt fick lösa. Enligt Widjaja (2013, s.155-156) är grupparbeten viktiga för elevers

matematiklärande, då det möjliggör tillfällen för elever att stötta varandra. Lärares

uppfattningar om att undervisningen skedde i grupp står även i enlighet med Lesters (1989) och Taflins (2007) teorier. Vidare uppfattade lärare att undervisning som skedde i grupper även skedde via helklassdiskussion. Detta arbetssätt beskriver Lester (1989, s.26-27) i sin teori att undervisning där problemlösning ingår bör ske före och efter eleverna har löst uppgifterna. I denna studie fanns det några lärare som uppfattade att undervisningen där problemlösning ingick skedde i grupp då hela klassen var involverade. Taflin, (2007, s.41-43) beskriver ett arbetssätt om hur lärares undervisning via problemlösning bör ske när eleverna arbetar i grupp. Grundat i argumentet ovan visade det sig i linje med Lester (1989), Taflin (2007) och Widjaja (2013) att alla lärare uppfattade och tyckte att det var viktigt att låta undervisningen där problemlösning ingick ske i grupper.

Det visade sig även att lärarnas uppfattningar om sin matematikundervisning där

problemlösning ingår, karaktäriserades av att de såg processen som eleverna gick igenom som viktigare än att de kom fram till ett svar. Därför uppfattar lärarna att de sällan visade eleverna exakt hur man skulle lösa ett problem, utan de gav eleverna mer tips på hur de kunde gå tillväga, i syftet att eleverna själva skulle nå förståelsen för uppgifterna. Detta kan sättas i likhet med hur Lester (1989, s.26-28) förespråkar att lärare bör hjälpa elever vid deras problemlösningsprocess. Han talar om hur man endast bör ge elever tips under deras arbete med problem, för att hjälpa elever att komma över svårigheter som de möter på under deras process med att lösa ett problem. Han förespråkar dock att om elever kommer fram till någon typ av lösning, bör man kräva att eleven ska svara på problemställningen med hjälp av deras lösning. Han menar att ett sådant förhållningssätt är fördelaktigt då man kräver att eleven ska undersöka om deras lösning verkligen svarar mot problemställning och på så vis ställa krav på att eleven kan uppskatta om sitt svar är rimligt (Lester, 1989, s.26). Avslutningsvis visar även Smith & Stein (1998, s.348) på att problem eller som de benämner problem, doing

mathematics, bör kräva att elever går igenom en process för att nå sitt svar. Således menar de

att som i linje med lärarnas uppfattningar för denna studie, bör eleverna vara utmanade på ett sådant sätt så att de inte kan lösa ett problem rent numeriskt och att uppgiften inte talar om hur den kan lösas. Ett problem bör därför istället lösas via ett komplext icke-numeriskt tänkande, där eleverna från början inte har en uppfattning om vad ett möjligt svar kan vara (Smith & Stein, 1998, s.348).