Möjligheter och utmaningar i undervisningen angående ele vers missuppfattningar

Anledningen till att möjligheter och utmaningar i undervisningen diskuteras ihop är eftersom dem delvis går in i varandra. Det som kan tolkas som en möjlighet kan även vara en utma- ning i praktiken till exempel. Resultatet visade att alla lärare kände väl till elevernas vanliga missuppfattningar vilket Saul (2008) menar är viktigt för en lyckad undervisning - men hur de hanterade dem varierade. Resultatet på elev testet visade precis det som Kirsher och Awtry (2004) skrivit om, att många elever inte förstår vad till exempel ett bråk innebär och istället försöker minnas hur man räknar med bråk. Detta leder lätt till att man lätt blandar ihop räkne- sätten. Deras studie är gjord på elever i grundskolan, och att elever som läser matematik 2 inte klarar av enkel bråkräkning är problematiskt både för skolan som verksamhet men även för elevernas fortsatta studier i matematik.

Från intervjuerna av samtliga lärare kan det tydas att lärarna använder termer som ”flytta över” och ”ändra”. Kalder (2012) skriver om “imprecise language” vilket innebär att lärare ofta använder sig av termer som “flytta över” eller “ändra” vilket kan ge eleverna en felaktig bild av vad det är som egentligen händer matematiskt. Till exempel kan vi titta på en ekva- tion: x+3 = 5, eleverna kan uppmanas till är att “flytta över” 3:an och byta tecken. Då får man x = 5-3 och alltså x = 2. Men med detta talesätt kan eleverna missa vad man egentligen gör och plötsligt kanske eleven börjar “flytta över” allt på en sida och få svaret x-2 vilket även kunde ses hos åtminstone tre av eleverna som gjorde elev testet. Alla lärare nämnde liknande “ändra tecken i parentesen” om det är ett minustecken framför parentesen - och det är inte en felaktig sägning. Vad dom tänker är att om det står -(4x+1) så kan du byta tecken i parentesen och ta bort parentesen: -4x-1. Jag fick dock uppfattningen från elev testet i samtliga klasser

att vissa elever troligtvis tolkar det som “ändra tecken i parentesen” och att man sen kan fo- kusera på det som står inom parentesen och får på så sätt det felaktiga svaret: 4x-1. Min tolk- ning är därför, precis som Kalder (2012) skriver, att det finns en risk med att uttala minnes- regler likt denna. Kalder (2012) påstår att det gynnar eleverna i längden att använda det kor- rekta matematiska språket i undervisningen.

Det stora antalet elever som svarade fel på ekvationerna visar att de inte vet hur man kontrol- lerar ett svar i en ekvation eller helt enkelt inte gör det. Men det kan också bero på att ekva- tionerna innehöll bråktal så eleverna kanske vet hur man kontrollerar ett svar i en ekvation men på grund av bristande kunskaper i bråkräkning så blev det svårt. Enligt Löwing och Kil- born (2002) borde man som lärare undervisa om det som en avslutande del när man löser en ekvation. Men det bör nämnas att fler elever troligtvis hade klarat att lösa ekvationerna om de inte hade innehållit minustecken, parenteser eller bråk. Kieran (2004) menar att eleverna kan lösa ekvationer på formen ax+b=c men om ekvationen ser annorlunda ut får dem problem. Även Persson (2005) menar att då eleven saknar de aritmetiska kunskaperna (de manipulativa kunskaperna) får de problem med att lösa ekvationer som kräver mer än ett steg. Även Sfard och Linchevski (1994) och Huntley et al. (2007) skriver att eleverna troligtvis kan lösa ekva- tioner procedurellt men när ekvationerna ser lite annorlunda ut så saknar dem de konceptuella kunskaperna som krävs för att lösa dem. Om eleven endast möter ekvationer som innehåller x, till exempel x+4=9 så kommer eleven möjligtvis uppleva svårigheter när ekvationen inne- håller 3x eller x^2 eftersom detta kräver extra steg i lösningen.

Precis som Rosenshine (2012) lyfter är min tolkning att det är viktigt att eleverna får endast möta det rätta sättet att lösa uppgifter i början av inlärningen av ett nytt område. Att eleverna känner att de lyckas och får möjlighet att träna på rätt saker. Men med tiden så är det lätt att eleverna blandar ihop olika saker och då kan det vara en fördel att använda sig av motexem- pel eller visa på vanliga missuppfattningar och varför det inte stämmer. Variation på uppgif- terna och hur de ser ut tolkar jag också som en viktig del i undervisningen. Som tidigare nämnts: för att veta vad något är så måste du veta vad något inte är. Eleverna måste lära sig att skilja på olika uppgifter och räkna uppgifter som kräver olika typer av lösningar eller om- skrivningar. Häggströms (2008) studie visade att de svenska läroböckerna innehåller relativt

lite variation på lösningar medan de kinesiska läroböckerna innehåller stor variation. Min tolkning att detta är ett sätt att komma ifrån att eleverna endast får procedurella kunskaper, talens variation kommer kräva konceptuell kunskap eftersom det blir omöjligt att bara kom- ma ihåg alla olika typer av lösningar.

Persson (2010) skriver att det viktigt att analysera den individuella elevens missuppfattning och hjälpa eleven att lösa det. Vad är det för felaktig uppfattning eleven har fått som gör att eleven tror att man ska räkna på det felaktiga sättet? Om läraren inte ser och löser detta pro- blem kommer eleven fortsätta att träna på det felaktiga vilket resulterar i att det felaktiga be- fästs. När eleven sedan får veta att det är felaktigt kan det leda till frustration och därmed minskad motivation för matematik. Därav anser jag att det utifrån elevens enskilda prov är ett perfekt tillfälle att analysera elevens missuppfattning för att sedan kunna diskutera och hjälpa eleven att förstå.

Procedurell och konceptuell kunskap

Angående undervisningens utmaningar måste eleverna få hjälp att strukturera upp sitt räk- nande och stöttning i att göra matematiken logisk. Procedurell kunskap innebär att man vet hur något görs men man kanske inte riktigt förstår varför, konceptuell kunskap är istället att man förstår något men man kanske inte riktigt vet exakt hur. Det är alltså viktigt i matematik- undervisningen att hitta en balans mellan att förmedla procedurell- och konceptuell kunskap (Rittle-Jonson & Alibali, 1999). När lärarnas undervisning analyserades generellt berättar lä- rare 1 att hon fokuserar mycket på det rätta och hur tal ska lösas. Det jag kan tolka ur inter- vjun är att en mer procedurell kunskap förmedlas, det är mer fokus på hur man gör och “hur ser man till att man inte gör felen”. Lärare 2 verkar prata om vanliga missuppfattningar men missar möjligtvis att förklara varför det är felaktigt. Här kunde jag tolka ur intervjun att myc- ket procedurell kunskap förmedlas men att det finns en tydlig strävan efter mer konceptuell kunskap, men hon vet inte riktigt hur. Lärare 3 verkar fokusera mycket på att få eleverna att räkna med förståelse vilket tyder på att mer konceptuell kunskap förmedlas. Han lyfter flerta- let gånger betydelsen av att eleverna ska “kunna sätt ord på skillnaden vad det betyder, sätta ord på innebörden”.

Det är lätt att matematikundervisningen fokuserar för mycket på procedurell kunskap. Att eleverna får lära sig hur dem ska lösa olika tal men kanske inte lika mycket varför ett tal ska lösas på ett visst sätt. Man behöver kanske inte gå igenom exakt varför man räknar som man gör i matematik, om vi lärare istället kan hitta mönster mellan olika avsnitt så blir det iallafall enklare för eleverna att ta till sig den nya kunskapen. Detta beror på att den nya kunskapen inte kommer upplevas lika krävande för eleven att lära sig. Till exempel när eleverna ska lära sig lösa ekvationer med logaritmer, börja med att lösa en ekvation som eleverna redan kan. Visa sedan på att vi gör exakt samma sak när vi löser en ekvation med logaritmer men att vi måste använda regler som gäller för logaritmer för att kunna lösa den. Om man direkt går på och ska lösa en ekvation som innehåller logaritmer kan det upplevas mycket mer avancerat för eleven eftersom den själv möjligtvis inte ser att det faktiskt är en ekvationslösning - precis som dem man har jobbat med tidigare. Lärare ser dessa kopplingar direkt, men man måste komma ihåg att för eleverna är det kanske inte lika självklart.

Att hitta en balans mellan de konceptuella- och procedurella kunskaperna är helt klart den största utmaningen i undervisningen. Dessutom bör kopplingen mellan de konceptuella och procedurella kunskaperna vara fullt integrerade med varandra. Eleverna måste veta vad dem ska göra och vad dem faktiskt gör, inte bara ”lösa en uppgift på samma sätt som de löste en annan uppgift”. De måste få tillgång till kunskapen om matematik. Här kan ännu en utma- nande faktor nämnas, tidsbrist. Matematikkurserna innehåller många olika delar som ska lä- ras ut och det är allmänt känt att många lärare upplever tidsbrist i matematikämnet.

Jag upptäckte själv svårigheten med att avslöja specifika elevers missuppfattningar. Eleven kan visa en missuppfattning på ett tal men på ett annat visas inte samma missuppfattning. Till exempel var det tre elever som visade en missuppfattning vid beräkning av 3/7 * 2/7 och sva- rade 6/7 men när eleverna beräknade nästa tal så räknade eleverna rätt: ¼ / ⅔ = 1/4 * 3/2 = ⅜. Detta skulle kunna bero på att eleven lärt sig procedurellt hur man dividerar bråktal. När eleven har procedurell kunskap kan eleven klara av uppgiften om den ser ut på ett visst sätt, men vid variation framkommer elevens bristande konceptuella kunskap. Det är lätt att de konceptuella kunskaperna i matematiken göms bakom regler precis som lärare 1 nämner: “för matte är ju ändå reglernas regelbok liksom”. Precis som Hiebert och Grouws (2007) menar är

det viktigt att belysa kopplingar mellan olika delar i matematiken och det är viktigt att ele- verna får arbeta med matematiska begrepp. Enligt Rakes et al. (2010) kan undervisning som fokuserar mer på att förmedla konceptuell kunskap förbättra elevernas prestationer mer än undervisning som fokuserar mer på procedurell kunskap. Den konceptuella kunskapen, alltså kunskap om olika begrepp skulle kunna undervisas genom att ge eleverna en begrepps-lista. Man använder ofta regler i matematik men när man förstår varför och hur så bildas matema- tiken till en logisk enhet och därav är det viktigt att lyfta in “varför” i matematikundervis- ningen.