Matte Direkt Borgen 5B

Figur 25: Sjöström & Sjöström (2017) s.181.

Fusion är det variationsmönster som uppstår då flera kritiska aspekter varieras tillsammans och detta är något man vill uppnå mot slutet av undervisningen efter det att kontrast och generalisering redan använts (Magnusson och Maunula, 2011). I uppgift 12 (se figur 25) varieras aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning. Tallinjen generaliseras genom att linjediagrammet innehåller både en liggande x-axel och en stående y-axel. I y-axeln är de negativa talen dessutom markerade i blå färg medan de positiva talen är markerade med röd färg och talet 0 med grön färg. Detta kontrasterar de negativa talen och de positiva talen för att på så vis förtydliga att de negativa talen är tal mindre än 0 medan de positiva talen inte är det. Eleven ombeds dessutom att jämföra vilket av två negativa tal som är störst. Detta innebär att den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning varieras genom kontrast där ett negativt tal är störst och ett negativt tal inte är det.

6.2.2 Matte Direkt Borgen 5B

Vid analys av variationsmönster utifrån de kritiska aspekter som tolkats i Matte Direkt Borgen 5B har variationsmönstren kontrast och generalisering hittats (se tabell 2).

Kontrast Generalisering Fusion

Tallinjen x

Tal mindre än 0 x x

De negativa talens storleksordning

x x

Tabell 2. Variationsmönster som hittats för olika kritiska aspekter i Matte Direkt Borgen 5B, märkta med x.

Resultat och analys beskrivs nedan.

6.2.2.1 Variationsmönster för den kritiska aspekten tallinjen Generalisering

I informationsrutan om negativa tal (se figur 13) får eleverna se en illustrerad vågrät tallinje med de negativa talen till vänster om 0 och de positiva talen till höger.

Tallinjen sträcker sig i denna illustration från -10 till 10. Bredvid tallinjen återfinns en illustration av karaktären Sarah, som med hjälp av en pratbubbla, kommunicerar

till den elev som läser boken att tallinjen ”liknar en liggande termometer”. Eleven får här information om två olika former av tallinje. Här framgår således att tallinjen inte endast behöver ligga ner, den kan även stå upp som den mer bekanta termometern. Termometern beskrivs dock inte uttryckligen vara en tallinje utan kallas endast för termometer. I den andra informationsrutan (se figur 16) visas en termometer som används för att markera grader.

Den tallinje som finns illustrerad i informationsrutan (se figur 13) samt den tallinje som visas i uppgift 44 (se figur 14) sträcker sig från -10 till 10. I uppgift 46 (se figur 15) får eleven istället använda sig av en tallinje som sträcker sig ifrån -15 till 15.

Eleven får här möjlighet att se tallinjer som talmässigt sträcker sig olika långt till både vänster och till höger.

Den kritiska aspekten tallinjen generaliseras på två olika sätt. Dels genom att en tallinje visas vara både en vanlig vågrät tallinje men även en lodrät termometer.

Detta innebär att eleven kan bortse ifrån aspekter som inte är kritiska. Exempelvis att vågräthet eller att sträcka sig mellan just -10 och 10. Enligt Magnusson och Maunula (2011) är det när exempel möjliggör för en elev att bortse ifrån det som inte är kritiskt som generalisering uppstår. I det här fallet kan således även variationsmönstret generalisering anses ha uppstått då tallinjen visas kunna sträcka sig både från -10 till 10 men även från -15 till 15.

6.2.2.2 Variationsmönster för den kritiska aspekten tal mindre än 0 Kontrast

I informationsrutan (se figur 13) får eleven veta att negativa tal är mindre än noll.

Detta framgår av att det står skrivet att negativa tal står till vänster om 0 medan positiva tal står till höger om 0. Detta förtydligas i uppgift 47 a och 47 b (se figur 26) där eleven ombeds besvara vilket tal av två som är störst. I 47 a får eleven jämföra 6 och 0 för att se att 6 är större än 0. I 47 b får eleven sedan jämföra 0 och -7 för att se att det negativa talet --7 är mindre än 0.

Figur 26: Falck och Picetti (2012) s. 16.

Variationsmönstret kontrast uppstår när vad en kritisk aspekt är jämförs med vad den inte är (Marton et al., 2004). Den kritiska aspekten tal mindre än 0 varieras i uppgift 47 (se figur 26) genom att den ställs bredvid det som inte är mindre än 0.

Kontrast har uppstått. Detta sker även i informationsrutan (figur 13) då negativa tal på tallinjen placeras till vänster och positiva tal placeras till höger.

Generalisering

Ett annat exempel där den kritiska aspekten tal mindre än 0 varieras finns i uppgift 49 a (se figur 27). Eleven ska här besvara vilket tal som är störst. Istället för talen 0 och -7 som jämfördes i ovan nämnda uppgift 47 b får eleven i 49 a det jämförande exemplet 0 och -8. Med andra ord får eleven, med hjälp av dessa två uppgifter tillsammans, se två olika negativa tal jämföras med talet 0.

Figur 27: Falck och Picetti (2012) s. 16.

Den kritiska aspekten tal mindre än 0 kan därför anses ha generaliserats, om än något otydligt, genom att både uppgift 47 b (se figur 26) och uppgift 49 (se figur 27) a innehåller jämförelser mellan ett negativt tal och talet 0. Talen -7 och -8 är nämligen olika vilket innebär att eleven kan bortse ifrån aspekten av det specifika talet och förstå att denna aspekt är icke-kritisk. Detta kräver dock att eleven är medveten om både uppgift 47 och 49.

6.2.2.3 Variationsmönster för den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning

Kontrast

I uppgift 48 (se figur 28) ställs eleven inför frågan: vilket tal är störst? Alla tal i denna uppgift är negativa och eleven behöver därför svara på vilket av två negativa tal som är störst. De negativa tal som ges i denna uppgift skiljer sig ifrån varandra men är alla under 0.

Figur 28: Falck och Picetti (2012) s. 16.

I uppgift 50 a (se figur 18) jämförs positiva tal, negativa tal och talet 0. I denna uppgift ska eleven storleksordna talen 0, 7, -2 och 5. Här får eleven möjlighet att jämföra det faktum att de två olika positiva talen 7 och 5 är större än 0 medan -2 är mindre än 0. I denna uppgift finns dock endast ett exempel på ett negativt tal som jämförs med 0.

Den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning varieras med hjälp av variationsmönstret kontrast. Detta sker i uppgift 48 (se figur 28) där alla tre deluppgifter innehåller exempel med två negativa tal som jämförs. Det ena talet är störst och det andra talet är inte störst. Den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning blir synlig då två tal jämförs utifrån vilket som är störst och vilket som inte är störst. Kontrast har därför uppstått.

Generalisering

I den sista uppgiften av denna storleksjämförande typ, uppgift 51 b (se figur 18), finns nu istället tre olika negativa tal och ett positivt tal. Talen är -6, 4, -13 och -1.

Eleven behöver här rangordna de tre negativa talen och det positiva talet för att lösa uppgiften. I denna uppgift finns inte talet 0 med.

Generalisering är det variationsmönster som uppstår när det som är kritiskt i en kritisk aspekt skiljs från det som inte är kritiskt (Lo och Marton, 2012). Den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning varieras genom generalisering i uppgift 51 b (se figur 18). Detta sker då flertalet negativa tal behöver jämföras med varandra, vilket innebär att aspekten av ett specifikt negativt tals värde i relation till ett specifikt annat tal kan sorteras bort. Ett negativt tals storlek står alltså i relation till flera andra negativa tal och inte endast ett specifikt tal. Den kritiska aspekten har varierats genom variationsmönstret generalisering.

6.2.2.4 Variation av flera kritiska aspekter tillsammans - fusion

Fusion har inte hittats för de kritiska aspekterna för negativa tal i Matte Direkt Borgen 5B. Fusion är enligt Magnusson och Maunula (2011) när flera olika kritiska aspekter varieras tillsammans. I Matte Direkt Borgen 5B kan vid en första anblick fusion misstänkas i uppgift 51 b (se figur 18) när den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning generaliseras i och med att flera olika negativa tal behöver rangordnas i samma uppgift. Att den kritiska aspekten tal mindre än 0 generaliseras är dock en långsökt tolkning då talet 0 inte är med i uppgiften. Den kritiska aspekten tallinjen återfinns inte heller i denna uppgift. För att fusion ska kunna tolkas i Matte Direkt Borgen 5B behöver flera vitt skilda uppgifter ses tillsammans vilket inte är rimligt utifrån ett elevperspektiv. Fusion får därför anses frånvarande utifrån de kritiska aspekter som har tolkats i den här studien.

7 Diskussion

I följande kapitel presenteras först diskussion av resultatet och därefter diskussion av den metod som använts i studien. Kapitlet avslutas med en diskussion om möjlig fortsatt forskning. Resultatdiskussionen, metoddiskussionen och diskussionen om fortsatt forskning står under egna underrubriker.

7.1 Resultatdiskussion

De kritiska aspekter för negativa tal som beskrivits i resultat och analys stämmer till viss del överens med de svårigheter som beskrivits i den tidigare forskning som beskrivits i litteraturstudien av Evefalk (2019). I Matte Direkt Borgen 5B urskiljdes de kritiska aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning. Prima formula 5 innehöll också dessa tre kritiska aspekter men tillförde även aspekten minustecknets olika funktioner.

Att tallinjen framstod som kritisk aspekt framstår inte som förvånande. Svårigheter med tallinjen har nämligen, som framkom av bakgrundslitteratur, berörts i tidigare forskning. Det som är intressant är dock att denna kritiska aspekt varierades med alla tre olika variationsmönster i Prima Formula 5 men endast med variationsmönstret generalisering i Matte Direkt Borgen 5B. Svårigheter vid användning av tallinjen har beskrivits i tidigare forskning av bland andra Kilhamn

(2011) och Bofferding (2012). I forskning av Kilhamn (2011) framkom exempel på hur svenska elever i årskurs 6 saknade en grundläggande förståelse över vad en tallinje är även om de tidigare sett en tallinje. Dessutom är förmågan att placera tal på en tallinje enligt Brez et al. (2016) även en bra indikator på hur bra en elev klarar matematiken framöver. Det var därför förvånande att variationen skiljde sig så mycket mellan de två läromedlen, som båda är för årskurs 5.

Den kritiska aspekten tal mindre än 0 har också beskrivits i den tidigare forskningen. Bishop et al. (2014) beskrev bland annat hur elever kan ha svårt att acceptera att tal mindre än 0 existerar då de ser tal som konkreta representationer av det de kan räkna. Detta berördes till viss del även av Fuadiah et al. (2017) då de visade att många elever i åldrarna 11-13 hade svårt att lösa uppgifter där negativa tal kopplas till elevernas vardag. Även om denna kritiska aspekt fick omformuleras i den här studien kan den kritiska aspekten i sig inte påstås vara direkt överraskande.

Denna aspekt varierades även med fler variationsmönster än tallinjen i Matte Direkt Borgen 5B. Både kontrast och generalisering används för tal är mindre än 0. De uppgifter som beskrevs i Matte Direkt Borgen 5B innehöll dock inte tillräckligt många kritiska aspekter för att variationsmönstret fusion ska uppstå. Detta uppnåddes dock i Prima Formula 5 där uppgift 12 varierade tal mindre än 0, tallinjen och de negativa talens storleksordning samtidigt (se figur 25).

De negativa talens storleksordning varierades också i båda läromedlen med hjälp av kontrast och generalisering. Men endast med fusion i uppgift 12 i Prima Formula 5.

Denna uppgift 12 varierade tre av totalt fyra olika kritiska aspekter.

Något som vid analysen framstod som förvånande var att den kritiska aspekten minustecknets olika funktioner endast hittades i ett av läromedlen, Prima Formula 5.

Detta ter sig märkligt då tidigare forskning tar upp just minustecknets olika funktioner som viktig vid förståelse av de negativa talen. Detta beskrivs av bland annat Lövström (2015) och Vlassis (2004). Denna kritiska aspekt tycks ha fått en lägre prioritet än de andra, detta gäller även i Prima Formula 5 där den kritiska aspekten visserligen varierades med flera variationsmönster men trots det var den enda kritiska aspekt som inte var med i den uppgift som innehöll fusion. En möjlig förklaring till avsaknad av variationsmönstret fusion för minustecknets olika funktioner är att detta ses som komplicerat eller inte relevant för det matematiska innehållet på denna nivå. Variationsmönstret fusion är, som nämnts av Magnusson och Maunula (2011), ett variationsmönster som man vill använda mot slutet av undervisningen. Den fusionsuppgift som varierade de andra tre kritiska aspekterna var placerad i slutet av de uppgifter som berörde negativa tal. Då den kritiska aspekten minustecknets olika funktioner trots detta inte var del av någon uppgift med fusion kan det vara så att författarna av Prima Formula 5 anser att variationen av just denna kritiska aspekt fortfarande behöver kontrasteras och generaliseras mer innan variationsmönstret fusion börjar användas.

Övergripande tycks dock innehållet i Prima Formula 5 hålla en något högre matematisk nivå än det som står att finna i Matte Direkt Borgen 5B. En förklaring till varför de kritiska aspekterna i Matte Direkt Borgen 5B inte varieras genom fusion skulle därför kunna vara att författarna ansett att den tilltänkte läsaren ännu inte är redo för detta variationsmönster.

Då både mängden variation och nivån på det matematiska innehållet skiljer sig mellan de båda läromedlen tycks kraven på den undervisande läraren skilja sig beroende på vilket läromedel som valts. Om kritiska aspekter inte varieras eller varieras otydligt behöver läraren variera dessa på annat sätt, bortom läromedlet. De negativa talen är trots allt något som dels ska ingå i den undervisning lärare tillhandahålla elever i mellanstadiet (Skolverket, 2019). Men de är även nödvändiga för att klara framtida matematiska studier (McIntosh, 2008). I det här arbetet har negativa tal fokuserats och det resultat som framkommer visar därför inte vilka kritiska aspekter för andra matematiska lärandeobjekt som varieras i läromedlen.

Trots det kan resultaten i denna studie vara av intresse för den lärare som väljer läromedel. Dels då den belyser det som är viktigt vid inlärning av negativa tal men även då den kan ge en indikation av vad läraren behöver kompensera för, vid användning av de båda läromedlen. Detta ter sig än mer viktigt med hänsyn till den styrande effekt läromedel har på den matematikundervisning som sker i det svenska klassrummet (Skolinspektionen, 2009). läromedel som valts kan dock i efterhand anses ha fyllt studiens syfte. Det är dock möjligt att valet av andra läromedel hade gett ett bättre, annorlunda eller mer intressant resultat.

Den teori som låg till grund för analys av de data som samlats in är variationsteorin.

Valet av variationsteori grundade sig i vad kursansvariga på Linnéuniversitet har kommunicerat i ord och handling. Variationsteorin tycks ha passat väl utifrån studiens syfte. Det är dock möjligt att någon annan teori som inte övervägts hade fungerat lika bra eller bättre.

Då denna kvalitativa forskning i stor utsträckning styrs av tolkning ska det poängteras att detta arbete skrevs av en person. Detta innebär att de tolkningar som gjorts riskerar subjektivitet. Det är möjligt att arbetet hade haft en högre kvalitet om fler än en person hade genomfört analysen av läromedlen.