Negativa tal i två läromedel för årskurs 5: En variationsteoretisk undersökning

(1)

Negativa tal i två läromedel för årskurs 5

En variationsteoretisk undersökning

Författare: Georg Evefalk

Självständigt arbete II, 15 hp

(2)

Abstrakt

Syftet med den här studien var att undersöka hur de negativa talen synliggörs i två läromedel, för årskurs 5, genom att identifiera vilka kritiska aspekter som framstår i dessa läromedel samt hur de kritiska aspekterna varieras.

De läromedel som har analyserats är Prima Formula 5 och Matte Direkt Borgen 5B.

Analysen är kvalitativ och genomförs med hjälp av två ramverk där variationsteori står som teoretisk utgångspunkt. Analysen genomförs i två delar. En första del där läromedlen undersöks för att se vilka kritiska aspekter som synliggörs. Därefter en andra del där de identifierade kritiska aspekterna undersöks för att se vilka variationsmönster som framstår då de kritiska aspekterna varieras i läromedlet.

Av resultatet framkommer att de aspekter som framstår som kritiska i Prima Formula 5 är tallinjen, tal mindre än 0, de negativa talens storleksordning och minustecknets olika funktioner. I Matte Direkt Borgen 5B framstod de kritiska aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning.

Däremot tolkades inte minustecknets olika funktioner som en kritisk aspekt i det läromedlet. De variationsmönster som hittades vid analys var främst kontrast och generalisering. Fusion framstod i Prima Formula 5 men endast för de kritiska aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning.

Minustecknets olika funktioner varierades inte med fusion. I Matte Direkt Borgen 5B används inte fusion för någon av de kritiska aspekterna.

De kritiska aspekter som framstår i läromedlen beskrivs i diskussionen som rimliga utifrån tidigare forskning. Avslutningsvis diskuteras att lärare kan behöva komplettera för variationsmönster som saknas, samt betydelsen av val av läromedel.

Nyckelord

Fusion, generalisering, grundskolan, kontrast, kritiska aspekter, lärandeobjekt, läromedel, läromedelsanalys, matematik, minustecknets funktioner, negativa tal, tallinjen, variationsmönster, variationsteori

(3)

Innehåll

1 Inledning 1

2 Syfte och frågeställningar 1

3 Litteraturbakgrund 2

3.1 Tidigare forskning 2

3.1.1 Svårigheter att koppla de abstrakta negativa talen till elevens vardag 3 3.1.2 Svårigheter kopplade till minustecknets användning 3

3.1.3 Svårigheter kopplade till tallinjen 4

4 Teoretisk bakgrund 4

4.1 Variationsteori 5

4.1.1 Lärandeobjekt 5

4.1.2 Kritiska aspekter 5

4.1.3 Variationsmönster 5

5 Metod 7

5.1 Vetenskaplig ansats 7

5.2 Urval och avgränsning 7

5.2.1 Prima formula 5 8

5.2.2 Matte Direkt Borgen 5B 8

5.3 Analysverktyg och genomförande 9

5.4 Etiska överväganden 10

5.5 Resultatskrivning 10

6 Resultat och analys 10

6.1 Kritiska aspekter för negativa tal som framstår i läromedlen 10

6.1.1 Prima Formula 5 11

6.2 Variationsmönster som används för att synliggöra de kritiska aspekterna i

läromedlen 19

6.2.1 Prima Formula 5 19

7 Diskussion 28

7.1 Resultatdiskussion 28

7.2 Metoddiskussion 30

7.3 Fortsatt forskning 30

Referenser 31

(4)

1 Inledning

De negativa talen som del av matematikundervisningen för årskurs 4-6 benämns inte uttryckligen i den svenska läroplanen för grundskolan. Istället framkommer de negativa talen indirekt som del av det centrala innehållet, genom exempelvis rationella tal och deras egenskaper samt koordinatsystem (Skolverket, 2019). De negativa talen beskrivs av McIntosh (2008) som abstrakta och avgränsade från vår vardag, men även som nödvändiga för att förstå framtida matematiska studier inom algebran.

Enligt Kilhamn (2011) är de negativa talen svåra att förstå för grundskoleelever, men även för blivande lärare. Enligt en rapport, av Skolinspektionen (2009), påverkas lärare dessutom i stor utsträckning av läromedel då de genomför undervisning i matematik och därför har de läromedel som används en styrande effekt på arbetet i klassrummet.

Utifrån en tidigare litteraturstudie framkommer att forskningen pekar på flera svårigheter vid inlärning av negativa tal (Evefalk, 2019). I forskning utförd av Bishop et al. (2014) framkom exempelvis att en del yngre elever, i låg- och mellanstadieåldern, har svårt att acceptera de negativa talen då de inte är konkret räknebara. Vidare ger Kilhamn (2011) i sin forskning elevexempel från en svensk årskurs 6 där 1 anses vara det minsta talet. Enligt Fuadiah, Suryadi och Turmudi (2017) hade de elever som deltog i deras forskning problem att knyta ihop de negativa talen och dess abstrakthet med elevernas egna konkreta verklighet. I deras studie hade över 60 % av eleverna i åldrarna 11-13 problem med uppgifter som innehöll sammanhang representerade med negativa tal. Lövström (2015) pekar istället på en osäkerhet kring minustecknets användning som ett problem vid studier av negativa tal. Vidare lyfter bland andra Kilhamn (2011) och Bofferding (2012) fram okunskap om tallinjen som en begränsning då elever studerar negativa tal.

Med hänsyn till de svårigheter som beskrivits i tidigare forskning, och den starka påverkan som läromedel har på undervisning i matematik, vill jag med denna studie få större klarhet i vilka kritiska aspekter för negativa tal som framstår i olika läromedel samt hur dessa synliggörs för den elev som använder läromedlet.

2 Syfte och frågeställningar

Syftet med studien är att undersöka hur de negativa talen synliggörs i två olika läromedel för elever i årskurs 5 genom att granska vilka kritiska aspekter och variationsmönster som framstår.

Frågeställningar:

1. Vilka kritiska aspekter för negativa tal framstår i de två läromedlen?

(5)

2. Vilka variationsmönster används för att synliggöra de kritiska aspekterna i läromedlen?

3 Litteraturbakgrund

I det här kapitlet behandlas den litteraturbakgrund som ligger till grund för den här studien. Svårigheter kopplade till abstrakt förståelse av negativa tal, minustecknets olika funktioner och tallinjens användning kopplad till negativa tal beskrivs. Nedan beskrivs den tidigare forskning som ligger till grund för det här arbetet. Forskningen förklaras övergripande under en första rubrik. Sedan visas det som framkom i forskningen under tre underrubriker.

3.1 Tidigare forskning

Följande studie utgår ifrån en tidigare litteraturstudie av Evefalk (2019) som här används som utgångspunkt för denna studies matematiska innehåll.

Litteraturbakgrunden som används i den här studien vilar på de resultat som då framkom. I litteraturstudien undersöktes hur 15 tidigare studier, som berörde negativa tal och grundskoleelever, beskrev svårigheter och eventuella pedagogiska lösningar för dessa svårigheter. Dessutom undersöktes om de svårigheter som hittats i dessa studier tenderade att vara mer konkreta eller abstrakta. Slutligen undersöktes även hur beskrivningarna av svårigheter relaterade till minustecknets funktioner och tallinjen.

För att mäta i vilken utsträckning den tidigare forskningens beskrivningar av svårigheter var konkreta eller abstrakta användes en lokal matematisk teori. Teorin är framtagen av Heddens (1986) och beskriver matematikundervisning i fyra nivåer som rör sig ifrån konkret till abstrakt. De fyra nivåerna är

 konkret nivå, där en elev arbetar med konkreta objekt som klossar

 semikonkret nivå, där bilder av konkreta objekt som exempelvis bilder av klossar används

 semiabstrakt nivå, där exempelvis streck används för att representera fysiska objekt utan att se ut som dessa

 abstrakt nivå, där siffror används för att symbolisera det matematiska innehållet (Heddens, 1986).

Ovan nämnda litteraturstudie av Evefalk (2019) visade att även om det finns beskrivningar av svårigheter, vid inlärningen av negativa tal inom alla Heddens (1986) nivåer, fokuseras tidigare forskning främst i de semiabstrakta och de abstrakta nivåerna. De svårigheter som i tidigare forskning beskrivs uppstå vid elevers inlärning av negativa tal är således, enligt Evefalk (2019), mer abstrakta än konkreta.

Som utgångspunkt för den analys som genomfördes av tidigare forsknings beskrivningar av negativa tal, relaterade till minustecknets funktioner, användes Vlassis (2004) beskrivning där minustecknet förklaras ha tre olika användningar.

Dessa tre funktioner är:

(6)

 en beskrivande funktion, då minustecknet beskriver ett negativt tal

 en opererande funktion, då minustecknet beskriver hur ett tal subtraheras från ett annat

 en opererande funktion, då minustecknet opererar på flera tal när de exempelvis står framför en parentes.

Som utgångspunkt för den analys som genomfördes av tidigare forsknings beskrivningar av negativa tal, relaterade till tallinjen, användes en beskrivning av tallinjen från Heeffer (2011). Enligt den definition Heeffer (2011) skriver fram är tallinjen en representation av tal längs en linje, där de positiva heltalen brukar räknas åt höger och de negativa talen åt vänster. Dessutom finns punkter markerade längs linjen och avståndet mellan dessa punkter skiljer sig lika mycket från varandra som den beräknade skillnaden mellan de tal de representerar. Linjen, talen och punkterna kan utökas både åt höger och vänster i oändlighet.

Under de tre rubrikerna nedan beskrivs vad som framkom i litteraturstudien om hur tidigare forskning beskriver svårigheter vid inlärningen av negativa tal.

3.1.1 Svårigheter att koppla de abstrakta negativa talen till elevens vardag I Evefalk (2019) hittades flertalet beskrivningar i tidigare forskning som framhävde elevers svårighet att koppla de negativa talen till sin egen vardag. Enligt Fuadiah et al. (2017) innebär de negativa talen att elever måste omvärdera det de lärt sig under tidigare skolår eftersom de nu måste ta till sig att tal som är mindre än noll existerar.

Kilhamn (2011) visade även att en del elever anser att talet 1 är det minsta tal som finns.

Svårigheterna att acceptera negativa tal hos många yngre barn, i låg- och mellanstadieåldern, beskrevs av Bishop et al. (2014) som sprunget ur en del elevers oförmåga att acceptera tal som något mer än konkreta representationer av det de räknar med. Eleverna i studien av Bishop et al. (2014) hade även svårt att acceptera att man kan ha en negativ mängd av något. De hade även svårt att förändra sitt tänkande kring beräkningar med negativa tal som, till skillnad från beräkningar med positiva tal, kan resultera i att de kan få en större summa när de subtraherar.

Svårigheten att koppla negativa tal till vardagen beskrivs även av Altiparmak och Ozdogan (2010) som anser att elever i årskurs 6 generellt sett vet vad +5 är men har svårare att förstå -5 då den typen av tal inte används i vardagen. Enligt Fuadiah et al.

(2017) hade hela 60,4% av de 11-13 år gamla eleverna i deras studie svårigheter då de försökte lösa uppgifter där negativa tal användes för att representera verkliga sammanhang.

3.1.2 Svårigheter kopplade till minustecknets användning

Tidigare forskning beskriver även svårigheter som uppstår då elever saknar förståelse för minustecknets funktioner. I en learning study av Lövström (2015) framkom att en del yngre elever inte förstår att subtraktion inte är kommutativt.

Vissa elever i studien försökte därför felaktigt subtrahera det mindre talet från det större oavsett vilket av talen som var minuend och vilket som var subtrahend. Både subtraktionens kommutativitet och huruvida det första eller andra talet ska subtraheras beskrivs av Lövström (2015) som kritiska aspekter när elever ska förstå

(7)

negativa tal. Även Kilhamn (2011) beskriver oförståelse för minustecknets användning och visar hur en elev i årskurs 6 tolkar 3-7 som 7-3. En annan svårighet som lyfts av Lövström (2015) är minustecknets olika användning, dels som operator då något tas bort och dels som beskrivande del av det negativa talet.

Fuadiah, Suryadi och Turmudi (2019) visar i sin forskning hur snabba operationsregler kan skapa svårighet vid beräkningar med negativa tal. Detta sker enligt Fuadiah et al. (2019) då elever kopierar sin lärares räkneregler rakt av utan att ha lärarens bakomliggande förståelse för dessa. Sådana missförstånd kan resultera i att elever tror att ett minustecken alltid signalerar rörelse åt vänster och additionstecken alltid signalerar rörelse åt höger. I sin forskning visar Fuadiah et al.

(2019) även hur bristfällig förståelse av räkneregler kan göra att elever övergeneraliserar räkneregler som att två negativa blir positivt och missförstår förklaringar som att -(-a) = +a. Fuadiah et al. (2019) drar i sin forskning slutsatsen att sådana svårigheter uppstår om eleverna inte får möta matematiken i mer än ett sammanhang.

3.1.3 Svårigheter kopplade till tallinjen

Tallinjens betydelse samt svårigheter som uppstår då elever inte har tillräcklig förståelse för dess användning hittades som del av den tidigare forskning som undersöktes i ovan nämnda litteraturstudie (Evefalk, 2019). Enligt Brez, Miller och Ramirez (2016) är en elevs förmåga att placera tal på en tallinje en bra indikator på hur väl elever klarar matematik längre fram i livet. Brez et al. (2016) visar i sin forskning att yngre elever har svårare än äldre elever att föreställa sig de positiva och de negativa talens placering på tallinjen med korrekta avstånd, som inte felaktigt varierar. De yngre eleverna har dessutom, enligt Brez et al. (2016) ännu större svårigheter att placera ut tal på tallinjen om tydliga referenspunkter saknas.

I forskning av Kilhamn (2011) visas hur en del svenska elever i årskurs 6 saknar en grundläggande förståelse för vad en tallinje är för något. Då eleverna av forskaren ombads att rita en tallinje kunde de inte det, trots att tallinjen användes i undervisningen. Enligt Kilhamn (2011) visade elevsvaren att en del elever blev förvirrade av ordet tal i tallinje och istället trodde att en tallinje exempelvis var ett talstreck eller den vibrerande linje som används för att representera ljudvolym.

Kilhamn (2011) förklarar att många elever inte förstår att tallinjen är en representation av tal utan ser den endast som en bild i matematikboken. Kilhamn (2011) anser att tallinjen bör användas kontinuerligt i undervisningen. Bofferding (2012) förespråkar placering av tallinje med både positiva och negativa tal i alla klassrum, även klassrum med yngre elever, för att hjälpa dem att visualisera de abstrakta negativa talen.

4 Teoretisk bakgrund

Variationsteori är den lärandeteori som används för analys i den här studien. Nedan beskrivs inledningsvis variationsteorin kortfattat. Därefter presenteras de bärande begrepp som är en central del av variationsteorin och dess vetenskapliga språk. De

(8)

centrala begreppen lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster beskrivs nedan under egna rubriker.

4.1 Variationsteori

Variationsteori är en teori om lärande vilken har utvecklats utifrån en fenomenografisk forskningsgrund. Teorin utgår från idén att vårt medvetande fokuserar på endast en sak i taget, medan andra saker runt omkring hamnar i medvetandets bakgrund (Lo, 2012). Utifrån variationsteorin räcker det vid inlärning inte att endast observera flera lika exemplar av samma sak, istället krävs att den elev som ska lära observerar något som skiljer sig ifrån den sak som lärs. För att exempelvis förstå vad temperatur innebär behöver den som lär sig uppleva olika temperaturer. Med endast samma temperatur blir inlärningen omöjlig eftersom variation saknas (Magnusson & Maunula, 2011).

4.1.1 Lärandeobjekt

Lärandeobjektet, vad som ska läras, är ett centralt begrepp inom variationsteorin och beskrivs av Lo (2012) som början av inlärningen snarare än det slutliga målet.

Lärandeobjektet är det eleven behöver lära för att nå ett specifikt mål.

Lärandeobjektet är dessutom ofta dynamiskt då elevers behov ändras vid interaktion med lärare. När lärare bildar sig en djupare förståelse för elevers inlärning kan lärandeobjektet justeras under både planering och undervisning. Wernberg (2009) skriver att ett lärandeobjekt alltid är en förmåga. Enligt Lo och Marton (2012) utgörs lärandeobjektet av olika aspekter. För att en elev ska kunna uppfatta ett lärandeobjekt på ett särskilt sätt behöver eleven vara medveten om lärandeobjektet samtidigt som dess olika aspekter urskiljs.

4.1.2 Kritiska aspekter

Kritiska aspekter är det som behöver synliggöras för att vi ska kunna förstå något (Lo & Marton, 2012). Kritiska aspekter är enligt Magnusson och Maunula (2011) skillnaden mellan olika uppfattningar av något. Då en lärares uppfattning av något skiljer sig ifrån en elevs uppfattning av något är de kritiska aspekterna det som skiljer sig. Eftersom olika elever dessutom kan ha olika uppfattningar om samma sak, exempelvis ett matematiskt innehåll, innebär det att de kritiska aspekterna inte alltid är samma för varje elev. Magnusson och Maunula (2011) beskriver därför kritiska aspekter som föränderliga, eftersom de upphör att vara kritiska då en elevs uppfattning förändras. Författarna påpekar dock att många kritiska aspekter är vanliga, då vissa uppfattningar delas av många människor, exempelvis det kritiska i att förstå olika funktioner av minustecknet för att subtrahera negativa tal.

4.1.3 Variationsmönster

Enligt Magnusson och Maunula (2011) måste ett innehåll varieras för att bli förståeligt. Variationsmönster är de verktyg som används för att synliggöra det som är kritiskt för att förstå innehållet. För att verkligen kunna urskilja vad något är måste det finnas variation. Marton, Runesson och Tsui (2004) beskriver fyra olika mönster som används för variation. Dessa är separation, kontrast, generalisering och fusion. De variationsmönster som används i denna uppsats är endast kontrast, generalisering och fusion. Dessa förklaras närmare nedan.

(9)

4.1.3.1 Kontrast

Kontrast uppstår enligt Marton et al. (2004) när någon görs medveten om vad något är och vad det inte är, samtidigt. Marton och Pang (2006) beskriver detta som att X inte kan förstås såvida inte det ömsesidigt uteslutande ~X upplevs samtidigt.

Som exempel kan vi här använda aspekten minustecknet som en kritisk aspekt för lärandeobjektet negativa tal. Om det negativa talet med minustecken jämförs med ett positivt tal som alltså inte har ett minustecken så upplever vi vad det negativa talet är och vad det inte är, samtidigt. Se figur 1 för exempel på sådan kontrast.

Figur 1. Exempel på kontrast. Illustrerad av Georg Evefalk.

Variationsmönstret kontrast är enligt Magnusson och Maunula (2011) bra att använda när elever ska lära sig något nytt.

4.1.3.2 Generalisering

När vi vill att en elev ska bortse från något som eleven felaktigt tror är kritiskt bör vi enligt Magnusson och Maunula (2011) använda variationsmönstret generalisering.

För att förstå vad något är måste vi enligt Marton et al. (2004) uppleva olika exempel av samma sak. Lo och Marton (2012) förklarar att när det som inte är viktigt varieras kan eleven göra en generalisering kring den aspekt som är oföränderlig. Generalisering uppstår när den kritiska aspekten framstår mot den föränderliga bakgrunden av icke-kritiska aspekter (Lo och Marton, 2012).

Låt oss åter igen använda aspekten minustecknet som en kritisk aspekt för lärandeobjektet negativa tal. Genom att visa många olika exempel på negativa tal kan minustecknet uppstå mot bakgrunden av föränderliga siffror. Siffran blir där igenom en icke-kritisk aspekt som varierar medan minustecknet är oföränderligt och kritiskt för det negativa talet. Se figur 2 för exempel på sådan generalisering.

Figur 2. Exempel på generalisering. Illustrerad av Georg Evefalk.

4.1.3.3 Fusion

Enligt Magnusson och Maunula (2011) vill man efter separation av aspekter samt användning av kontrast och generalisering av dessa aspekter, vid slutet av en lektion, nå fram till variationsmönstret fusion. Fusion är enligt författarna när olika

(10)

kritiska aspekter varieras tillsammans. Lo (2012) skriver att förståelse ibland kräver att en elev är medveten om flera kritiska aspekter på samma gång, samtidigt som den är medveten om hur dessa olika kritiska aspekter relaterar både till det som lärs och till varandra.

I ovan använda exempel används minustecknet som en kritisk aspekt för negativa tal. För att fusion ska uppstå krävs dock mer än en kritisk aspekt. Minustecknet behöver sedan varieras samtidigt som en annan kritisk aspekt varieras. Eleven behöver dessutom samtidigt vara medveten om både de kritiska aspekterna samt hur de relaterar till varandra och de negativa talen.

5 Metod

I det här avsnittet beskrivs den vetenskapliga ansatsen, de urval och avgränsningar som gjorts för läromedel och innehåll, hur och med vilket analysverktyg studien har genomförts och slutligen vilka etiska överväganden som gjorts.

5.1 Vetenskaplig ansats

Den här studien genomförs med en kvalitativ ansats. Huruvida forskning är kvalitativ eller kvantitativ avgörs av vilken typ av data som samlas in för analys. I kvalitativ forskning är det ord och bilder som är insamlad data medan det i kvantitativ forskning är siffror som analyseras (Denscombe, 2018). I det här arbetet analyseras två läromedel på djupet genom att text och bild analyseras.

5.2 Urval och avgränsning

Under arbetet kommer data samlas in från två olika läromedel. Dessa har valts utifrån två kriterier. Dels ska böckerna vara av sådan typ att de kan förväntas användas vid undervisning av negativa tal i ett svenskt klassrum för årskurs 5 år 2020. Det andra kriteriet är att de ska vara tillgängliga, möjliga att få tag på, och kan därför till viss del ses som ett så kallat bekvämlighetsurval. Denscombe (2018) definierar bekvämlighetsurval som längre gånget än att bara välja det minst kostsamma av två likvärdiga alternativ, bekvämligheten i denna form av urval är ännu starkare och urvalet kan kritiseras vad gäller god forskningssed. Då jag har lånat läromedel från Linnéuniversitetet och valt av det utbud som fanns tillgängligt kan detta ses som ett bekvämlighetsurval. Detta bekvämlighetsurval har skett delvis på grund av den allmänna svårighet att röra sig obegränsat i samhället som uppstått som ett resultat av rådande covid-19 pandemi. När läromedlen lånades från Linnéuniversitetet valdes två läromedel som jag har sett användas i svenska klassrum under de senaste tre åren. Läromedlen ansågs därför rimligen kunna användas även år 2020. De valda läromedlen innehöll även uppgifter med negativa tal.

Vid analys av läromedlen har endast de delar som berör negativa tal analyserats.

Detta innebär att datainsamlingen har fokuserats inte bara till specifika kapitel utan även till specifika delar eller uppgifter i dessa kapitel. Detta har gjorts då området negativa tal vid en första överblick av läromedlen inte haft egna kapitel utan har

(11)

varit del av kapitel som innehåller annat, för den här studien icke-relevant, matematiskt innehåll.

5.2.1 Prima formula 5

Elevboken Prima Formula 5 är ett läromedel för matematik i grundskolans årskurs 5. Boken är författad av Bo Sjöström och Jacob Sjöström och ges ut av Gleerups Utbildning AB. Boken innehåller totalt 6 kapitel. Utöver det finns en repetitionsdel för kapitel 1-2, en repetitionsdel för kapitel 3-4 samt en repetitionsdel för alla kapitel, 1-6. Varje kapitel inleds med en sida där kapitlets mål och matematiska begrepp beskrivs. Större delen av varje kapitel består av en presentation och träning av det matematiska innehållet. Det framgår av innehållsförteckning att dessa sidor är ämnade att bygga en förståelse för innehållet. Därefter följer en del som innehåller problemlösning och sedan ”tänk efter”, vilket är kluriga uppgifter. I slutet av varje kapitel finns en diagnos följt av ett mindre antal sidor med grönfärgade kanter.

Dessa kallas spår 1 och innehåller uppgifter för repetition och reparation. Därefter finns rödfärgade sidor som kallas spår 2 som innehåller mer avancerade uppgifter som fungerar som en vidareutveckling av kapitlets innehåll (Sjöström & Sjöström, 2017).

De negativa talen används inte i kapitel 1-5. Negativa tal återfinns däremot i kapitel 6 vilket framgår av kapitlets mål och begrepp. Kapitel 6 berör temperaturer, negativa tal, kartor, koordinatsystem, grafer, proportionella samband och problemlösningsstrategier. Enligt målen för kapitel 6 ska eleven bland annat kunna använda negativa tal. Begreppet negativa tal ingår även i kapitlets inledande begreppslista. De negativa talen används i kapitel 6 i de uppgifter som berör termometern samt de uppgifter som behandlar koordinatsystem (Sjöström &

Sjöström, 2017). Avgränsningen för den här studien blir således de uppgifter i kapitel 6 som berör negativa tal.

5.2.2 Matte Direkt Borgen 5B

Elevboken Matte Direkt Borgen 5B är ett läromedel för matematik i grundskolans årskurs 5, en fortsättning på Matte Direkt Borgen 5A. Boken är skriven av Pernilla Flack och Margareta Picetti och ges ut av läromedelsförlaget Sanoma Utbildning.

Boken innehåller totalt 5 kapitel, kapitel 6-10. Varje kapitel i boken har ett upplägg där eleven först arbetar med kapitlets matematiska innehåll på de ordinarie sidorna som kallas Borggården. Därefter genomförs en diagnos vars resultat avgör om eleven behöver träna mer eller är redo att gå vidare med svårare uppgifter. De sidor som innehåller mer träning kallas Rustkammaren och sidorna med lite svårare uppgifter kallas Tornet. Kapitlen avslutas med en sammanfattning av det matematiska innehållet och avslutningsvis en del som kallas Utmaningen som innehåller problemlösningsuppgifter (Falck & Picetti, 2012).

De negativa talen berörs i kapitlet om tal, kapitel 6. På kapitlets försättsblad beskrivs matematiska begrepp som finns i kapitlet samt kapitlets mål. Negativa tal är ett av dessa begrepp och två av målen innefattar negativa tal. Enligt dessa mål ska eleven veta vad som menas med negativa tal samt kunna jämföra och storleksordna negativa tal. De negativa talen används inte i de andra kapitlen. De negativa talen berörs i kapitel 6 på sidorna 16 och 17, två av de ordinarie sidor som kallas

(12)

Borggården. Utöver detta får den elev som får ett svagt resultat på kapitlets diagnos möjlighet att repetera samma typ av uppgifter i Rustkammaren på sidan 26. Dessa uppgifter skiljer sig inte ifrån uppgifterna på sidorna 16 och 17 (Falck & Picetti, 2012). Avgränsningen för det här arbetet blir därför sidorna 16 och 17.

5.3 Analysverktyg och genomförande

I den här studien undersöks hur negativa tal synliggörs i läromedel med hjälp av två variationsteoretiska analysverktyg.

Analysverktyget för den första frågeställningen består av ett ramverk som grundar sig i variationsteorin men även till viss del innefattar de svårigheter som tidigare forskning beskrivit för inlärning av negativa tal. Det variationsteoretiska begreppet kritiska aspekter används för att undersöka vad som framstår som kritiskt för förståelse av lärandeobjektet negativa tal. Dessutom definierades innan datainsamling preliminära kritiska aspekter utifrån den tidigare forskning som framkom i litteraturbakgrunden. Dessa kritiska aspekter var:

 tallinjen

 minustecknets användning

 abstrakt förståelse av negativa tal.

Dessa kritiska aspekter används som en utgångspunkt vid analysen och är inte menade att vara statiska. Kritiska aspekter är nämligen föränderliga då de är kopplade till en elevs förståelse av ett innehåll (Magnusson och Maunula, 2011). Då det inte på förhand går att veta vilka de kritiska aspekterna i läromedlen är, då detta kan påverkas av vem författarna har som tilltänkt läsare, omformuleras de kritiska aspekterna efter läsning och analys av böckerna.

För den andra frågeställningen används endast variationsteorin. Lärandeobjektet negativa tal analyseras utifrån de variationsteoretiska begreppen:

 kritiska aspekter

 kontrast

 generalisering

 fusion.

De kritiska aspekter som formuleras då den första frågeställningen besvaras undersöks utifrån de variationsmönster som är del av det andra analysverktygets ramverk. Detta genomförs för båda läromedlen var för sig.

Analysen sker således i två steg där frågor ställs till läromedlen. I det första steget ställdes frågorna:

 Vilka aspekter, kopplade till negativa tal, syns?

 Vem är tänkt att läsa boken?

 Vilka av dessa aspekter är kritiska?

I det andra steget ställdes frågorna:

 Används variationsmönstret kontrast för att variera de olika kritiska aspekterna?

(13)

 Används variationsmönstret generalisering för att variera de olika kritiska aspekterna?

 Används variationsmönstret fusion för att variera de olika kritiska aspekterna?

Med hjälp av dessa ramverk och dessa frågor har studiens frågeställningar kunnat besvaras.

5.4 Etiska överväganden

Enligt Thornberg och Fejes (2019) finns det inga allmänt accepterade kvalitetskriterier för kvalitativ forskning. De beskriver dock att ett etiskt värde finns i god forskningsetik och att forskaren inte ska fabricera data. Data för denna studie är det som ses och tolkas vid läsning av läromedlen. Detta kommer tydligt att redovisas i resultat och analysdel.

Vid framställningen av arbetet har även hänsyn tagits till förlagens upphovsrätt.

Läromedelsförlaget Sanoma Utbildning har kontaktats via mejl och tillstånd för användning av inskannade exempel från läromedlet Matte Direkt Borgen 5B har av förlaget getts för denna studie. Även förlaget Gleerups Utbildning AB kontaktades via mejl för tillstånd att använda inskannade exempel från deras Prima Formula 5 i det här arbetet. Gleerups Utbildning AB gav tillstånd för den typ av användning som berör detta arbete.

5.5 Resultatskrivning

Då många bilder används i resultatskrivningen kommer resultat och efterföljande analys att skrivas i segment utifrån studiens frågeställningar för respektive läromedel. Detta sker för att underlätta läsningen och för att i så stor utsträckning som möjligt ha bilderna i nära anslutning till den text som läses. Vidare sammanfattas resultat och analys med punktlistor och tabeller. Dessa har placerats i början av de resultatavsnitt som berör studiens frågeställningar. Detta har gjorts för att få en bättre översikt och underlätta läsningen.

6 Resultat och analys

I detta kapitel beskrivs först det resultat som framkommit om de kritiska aspekterna för negativa tal samt den analys som gjorts av empirin. Därefter presenteras det resultat som framkommit om de variationsmönster som används för att synliggöra de kritiska aspekterna, samt tillhörande analys. De kritiska aspekterna presenteras först för både läromedlet Prima Formula 5 och Matte Direkt Borgen 5B. Därefter presenteras variationsmönstren utifrån de kritiska aspekter som identifierats i båda läromedlen.

6.1 Kritiska aspekter för negativa tal som framstår i läromedlen

Nedan visas resultat och analys av kritiska aspekter för negativa tal i Prima Formula 5 och Matte Direkt Borgen 5B. De två läromedlen har varsin rubrik under vilka resultat och analys, för respektive läromedel, följer på varandra i segment.

(14)

6.1.1 Prima Formula 5

De kritiska aspekter som har identifierats, och omformulerats, utifrån analys av resultatet för Prima Formula 5 för lärandeobjektet, negativa tal och dess användning, är

 tallinjen

 tal mindre än 0

 de negativa talens storleksordning

 minustecknets olika funktioner.

Resultat och analys beskrivs nedan.

6.1.1.1 Tallinjen

I en första informationsruta (se figur 3) får eleven se en tallinje som sträcker sig från -5 till 5. På denna tallinje är de negativa talen färgade med blå färg och de positiva talen är färgade i röd färg. Talet 0 är färgat med grön färg. Under de negativa talen på den vänstra sidan av tallinjen står ”Negativa tal” skrivet i blå färg och under de positiva talen på den högra sidan av tallinjen står ”Positiva tal” skrivet med röd färg.

Ingen text är skriven om talet 0 och den gröna färgen är svår att se då endast nollan samt dess sträck är grönfärgat. Bredvid tallinjen i informationsrutan finns även två termometrar placerade. En analog termometer och en digital. Båda dessa termometrar visar 5 °C.

Figur 3: Sjöström & Sjöström (2017) s.179.

I kapitel 6 får eleven möta flertalet liknande tallinjer och analoga termometrar.

Ibland stående själva och ibland i nära anslutning till varandra. Termometrarna används för att representera negativa tal.

Dessutom får eleven i kapitlet arbeta med koordinatsystem som innehåller fyra kvadranter. Ett sådant koordinatsystem består av två tallinjer med positiva och negativa tal, en vågrät och en lodrät.

Ett exempel på ett sådant koordinatsystem finns i uppgift 21 (se figur 4) där eleven ska avgöra vilka koordinater som är markerade i systemet.

(15)

Då tallinjen används genomgripande i kapitlet för att beskriva lärandeobjektet negativa tal framstår kunskap om tallinjen, närmare bestämt att veta vad den är och hur den används, som en kritisk aspekt som måste synliggöras för att lärandeobjektet ska kunna förstås. Det finns uppgifter som inte innefattar tallinjen, men det sätt som negativa tal presenteras på med hjälp av tallinjen, samt temperaturer på termometer, kräver att eleven förstår tallinjen. Om tallinjen inte förstås kan de negativa talen inte heller förstås.

Enligt Magnusson och Maunula (2011) är en kritisk aspekt det som skiljer sig mellan elev och lärares syn av något. Stöd för att en sådan skillnad i uppfattning finns framstår som rimligt då tallinjen är en av de preliminära kritiska aspekter som skrevs fram utifrån bakgrundslitteratur innan datainsamling och analys. Man kan därför förvänta sig att den elev som läser Prima Formula 5 har en uppfattning av tallinjen som skiljer sig från det som krävs för att förstå det matematiska innehåll som finns i kapitel 6. Om boken Prima Formula 5 ses som läraren och den som läser boken ses som eleven framstår tallinjen som en aspekt som är kritisk.

6.1.1.2 Tal mindre än 0

I kapitel 6 finns ett stort utbud av tallinjer, både vanliga liggande tallinjer (se figur 5) och stående termometrar (se figur 6). I de liggande tallinjerna och termometrarna skiljs positiva tal, negativa tal och talet 0 genom färgläggning. Denna färgläggning

finns dock inte i koordinatsystemen.

(16)

Att negativa tal är mindre än 0 får eleven även träna på utan hjälp av tallinje och termometer. En sådan uppgift erbjuds redan i uppgift 3 (se figur 7) efter informationsrutan. I denna uppgift ska eleven ordna flera tal i storleksordning och talen innefattar två negativa tal, två positiva tal och talet 0.

Förmågan att se att negativa tal är tal mindre än 0 framstår som en kritisk aspekt för att nå lärandeobjektet negativa tal i Kapitel 6. Den kritiska aspekten tal mindre än 0 linkar den preliminärt framskrivna kritiska aspekten abstrakt förståelse av negativa tal. Den elev som boken riktar sig till kan rimligen förväntas ha en uppfattning om tal mindre än 0 som skiljer sig ifrån den uppfattning som står att finna i kapitel 6.

Detta kan tolkas utifrån den inledande informationsrutan (se figur 3) där de negativa talen tydligt märktes ut på en tallinje med hjälp av både färg och förklarande text.

Utifrån detta kan tolkas att förmågan se att negativa tal är tal mindre än 0 är en kritisk aspekt.

6.1.1.3 De negativa talens storleksordning

Det finns i kapitlet även uppgifter där eleven behöver storleksordna negativa tal. Ett sådant exempel är ovan nämnda uppgift 3 (figur 7) där eleven ska ordna talen 2, -2, 5, -5, 0 och 1 i ordning. Uppgiften är formulerad så att eleven ombeds utgå från det som är minst.

En annan uppgift som indirekt berör rangordning av negativa tal men som har en något annorlunda utformning är uppgift 6 (se figur 8). I denna uppgift ska eleven göra jämförelser mellan temperaturerna i olika städer för att på så vis avgöra hur mycket varmare det är i en stad än en annan. För att lösa uppgift 6 d behöver eleven förstå att -4 är varmare än -6.

Rangordning av negativa tal berörs även på de gröna reparationssidorna efter diagnosen. I uppgift 53 a (se figur 9) ombeds eleven att rangordna talen -4, -7, -12, 3 och 0.

(17)

Även på de röda sidorna, efter diagnosen, som innehåller mer utvecklande uppgifter utifrån kapitel 6 matematiska innehåll finns en uppgift där negativa tal ska storleksordnas. I denna uppgift 65 (se figur 10) får eleven nu istället rangordna negativa decimala tal. Eleven ombeds i denna uppgift, till skillnad från uppgift 3, att rangordna talen genom att börja med det som är störst. Talen som ska rangordnas är 2,5, 25, -25, -2,5, 0,25 och -0,25.

Utifrån läsning av de uppgifter som finns presenterade i kapitel 6 kan förmågan att se de negativa talens storleksordning ses som en kritisk aspekt då den uppfattning som framstår i uppgifterna kan tänkas skilja sig ifrån den uppfattning den läsande eleven har. I kapitlet har det placerats flertalet uppgifter där jämförelser mellan negativa tal krävs för lösning. Dessa uppgifter finns dessutom i olika former vilket talar för att aspekten de negativa talens storleksordning har ansetts viktig av författarna. De ovan nämnda uppgifterna 3, 53 och 65 är alla exempel på rangordningsuppgifter.

Aspekten de negativa talens storleksordning fokuseras dessutom vid jämförelser mellan vilken temperatur som är varmast. Detta sågs i uppgift 6 (se figur 8) där olika stadstemperaturer ställdes mot varandra.

Det är utifrån den upprepade användningen av dessa jämförelser i kapitel 6, samt utifrån det sätt på vilket de negativa talen skiljer sig ifrån de positiva, rimligt att förvänta sig att den elev som läser boken har en syn av aspekten de negativa talens storleksordning som skiljer sig ifrån den syn som författarna ger uttryck för i boken.

Magnusson och Maunula (2011) beskriver en kritisk aspekt som skillnaden i elevens uppfattning av något och lärarens uppfattning av samma sak. Detta innebär i vårt fall att aspekten de negativa talens storleksordning kan tolkas som en kritisk aspekt av lärandeobjektet negativa tal.

6.1.1.4 Minustecknets olika funktioner

När minustecknet används i kapitel 6 är det främst som del av ett negativt tal och det presenteras då utan en specifik förklaring av dess funktion. Sådan användning finns exempelvis i kapitlets tallinjer där det negativa talet inte är del av en beräkning utan endast visar en position på tallinjen.

(18)

På den inledande aktivitetssidan för kapitel 6 visas minustecknets olika funktioner i aktivitet D (se figur 11). Här används även begreppet differens och en ekvation för temperaturminskning från 5°C till -3°C beskrivs matematiskt med utsagan 5 – (-3) = 5 + 3 = 8. Här påpekas att det är olika längd på minustecknen.

I spår 2, bland de mer utvecklande matematiska uppgifterna, finns en uppgift där minustecknets olika funktioner berörs. I uppgift 69 (se figur 12) läggs vikt vid minustecknets olika funktioner. Eleven får här se en tabell som innehåller olika subtraktionsuttryck till vänster samt uttryckens differens till höger. De tal som subtraheras är både positiva och negativa och de negativa talen skrivs därför i parentes. Eleven ombeds i uppgift 69 a att fylla i tabellen och i uppgift 69 b att utföra en egen subtraktion efter samma mönster. Denna beräkning är en subtraktion med ett negativt tal.

Den preliminära kritiska aspekten minustecknets användning har omformulerats till minustecknets olika funktioner då detta stämmer bättre överens med kapitlets innehåll. I kapitel 6 är det många uppgifter som innehåller minustecknet med en beskrivande funktion, men desto färre som innehåller minustecknet vid subtraktion.

Endast två exempel finns där de båda funktionerna används tillsammans. Detta är uppgift D i Aktivitet 6:1 (se figur 11) där det påpekas en längdskillnad i minustecknen då en subtraktion genomförs med ett negativt tal 5 – (-3). Det andra exemplet är uppgift 69 (se figur 12) där flertalet exempel på subtraktion med ett negativt tal ges. Trots detta används minustecknet med den beskrivande funktionen genomgripande i kapitlet i allt från tallinjer till jämförelse av olika negativa tal.

Dessutom är subtraktion något eleverna arbetar med utanför kapitlet. För att verkligen förstå det negativa talet måste eleven förstå att minustecknet är del av det

(19)

negativa talet. Minustecknets olika funktioner kan därför ses som en kritisk aspekt för att förstå negativa tal.

De kritiska aspekter som har identifierats, och omformulerats, utifrån analys av resultatet för Matte Direkt Borgen 5B för lärandeobjektet, negativa tal och dess användning, är

 Tallinjen

 De negativa talens storleksordning

 Tal mindre än 0

6.1.2.1 Tallinjen

Direkt på den första sidan av kapiteldelen Negativa Tal erbjuds läsaren en informationsruta (se figur 13) innehållande en tallinje som sträcker sig från -10 till 10 samt texten ”Här är en tallinje som visar talen -10 till 10”. Bredvid tallinjen finns en illustration av karaktären Sarah som i en pratbubbla säger ”Den liknar en liggande termometer”. Boken Matte Direkt Borgen 5B presenterar här, för den läsande eleven, två olika representationer av tallinjen: en vågrät tallinje som innehåller både positiva och negativa tal samt begreppet termometer.

Figur 13: Falck och Picetti (2012) s. 16.

Efter denna inledande beskrivning av tallinjen samt Sarahs påpekande att tallinjen liknar en termometer används tallinjen för att representera negativa och positiva tal.

I uppgift 44 (se figur 14) får eleven använda en redan existerande tallinje där pilar pekar på olika tal längs linjen. Eleven ska i denna uppgift svara på vart pilarna pekar genom att ange rätt tal. I uppgift 45 ska eleven istället rita av samma tallinje.

I uppgift 46 (se figur 15) ska eleven precis som i uppgift 44 skriva vilket tal en existerande pil pekar på längs en i boken illustrerad tallinje. Den här tallinjen skiljer

(20)

sig dock ifrån tallinjen i uppgift 44 i den bemärkelse att den nu sträcker sig från -15 till 15 istället för som i uppgift 44 där tallinjen endast sträckte sig från -10 till 10.

På nästa sida finns ännu en informationsruta (se figur 16). I denna illustreras en termometer som sträcker sig från graderna -10 till 10. En temperaturökning illustreras med hjälp av färg, text samt utsagan ”-2 + 5 = 3” under termometern.

Efter informationsrutan möter eleven flera uppgifter som handlar om temperaturökning och temperatursänkning. Dessa uppgifter har ingen illustrerad tallinje men står direkt efter informationsrutan och dess tallinje (Falck och Picetti, 2012).

I Matte Direkt Borgen 5B framstår tallinjen som en kritisk aspekt. Detta kan tolkas utifrån kapitlets disposition och innehåll. Information om tallinjen är det som författarna har placerat precis först (i informationsruta) i det avsnitt som berör negativa tal. Då författarna genom att ha disponerat kapiteldelens undervisning på ett sådant sätt kan det tolkas som att den uppfattning som eleverna tros ha om vad en tallinje är och om hur den används skiljer sig ifrån bokens uppfattning. Magnusson och Maunula (2011) beskriver kritiska aspekter som skillnaden mellan hur en lärares och en elevs uppfattning om något skiljer sig. I det här fallet kan Matte Direkt Borgen 5B ses som läraren och den förväntade läsaren som elev. Ett lärandeobjekt består av olika aspekter (Lo och Marton, 2012). Om den elev som läser om negativa tal i Matte Direkt Borgen 5B, saknar förståelse för den kritiska aspekten tallinjen blir det omöjligt för eleven att förstå kapitlets lärandeobjekt.

6.1.2.2 De negativa talens storleksordning

I uppgifterna 47-49 (se figur 17) ska eleven rangordna både positiva och negativa tal efter storlek. Eleven får två tal och ska ange vilket som är störst.

(21)

Även uppgifterna 50 och 51 (se figur 18) innehåller rangordning av både positiva och negativa tal men i det fallet får eleven istället fyra tal som ska sorteras från minst till störst.

En aspekt som framgår vid analys av de uppgifter som finns i Matte Direkt Borgen 5B är att kunna jämföra storleken mellan två negativa tal. Detta kan tolkas utifrån ett helhetsperspektiv av uppgifterna 44, 45, 46, 48, 49, 50 och 51. Eftersom de negativa talen, till skillnad från de positiva, ökar i värde då de rör sig vänsterut längs tallinjen kan aspekten de negativa talens storleksordning tolkas som kritisk för att förstå vad som menas med lärandeobjektet negativa tal.

6.1.2.3 Tal mindre än 0

I den informationsruta (se figur 13), som inleder sidorna om negativa tal, skrivs nedanför den illustrerade tallinjen att ”talen till vänster om 0 kallas negativa tal” och

”talen till höger kallas positiva”. Av detta framgår att de negativa talen är tal mindre än 0. Mer information kring denna aspekt av de negativa talen får eleven när denne arbetar med uppgifterna 47, 48, 49, 50 och 51 (se figur 17 & 18).

I uppgifterna 47, 48, och 49 (se figur 17) ställs eleven inför frågan vilket av två tal som är störst. I dessa uppgifter jämförs positiva och negativa tal med varandra.

Vidare jämförs både ett positivt och ett negativt tal med talet 0 i uppgift 47 och ett negativt tal jämförs med 0 i uppgift 49. I uppgift 48 jämförs istället negativa tal med varandra. I uppgifterna 50 och 51 (se figur 18) ombeds eleven att storleksordna fyra olika tal. Dessa tal är främst positiva tal och negativa tal men i uppgift 51 a finns även talet 0.

I Matte Direkt Borgen 5B framstår tal mindre än 0 som en kritisk aspekt. Det som talar för det är att denna aspekt av de negativa talen framgår av den inledande

(22)

informationsrutan. De negativa talen visas implicit vara mindre än noll. Detta kan utläsas av att de negativa talen förklaras stå till vänster om noll på tallinjen medan de positiva talen förklaras stå till höger om noll. Detta förstärks av att det i informationsrutan även står ”talen till vänster om 0 kallas negativa tal” och ”talen till höger kallas positiva”. Som nämnts tidigare är en kritisk aspekt skillnaden mellan hur en lärare och elevs uppfattning av något skiljer sig (Magnusson &

Maunula, 2011). Utifrån beskrivningen av negativa tal som ståendes till vänster om 0 kan uppfattningen om detta antas vara något som skiljer sig mellan den elev boken riktar sig till och hur aspekten beskrivs i informationsrutan.

Om en elev inte har förståelse för att negativa tal är tal mindre än 0 saknar de förståelse för en viktig aspekt av negativa tal. Utan förståelse för denna aspekt blir möjligheten att förstå lärandeobjektet omöjligt. Aspekten tal mindre än 0 framstår därför som kritisk. Tal mindre än 0 kan även ses som nära stående till den utifrån bakgrundslitteraturen beskrivna preliminära kritiska aspekten abstrakt förståelse av negativa tal. Detta stärker bilden av att tal mindre än 0 kan vara en kritisk aspekt för den elev som är tänkt att läsa boken.

6.2 Variationsmönster som används för att synliggöra de kritiska aspekterna i läromedlen

Nedan visas resultat och analys av de variationsmönster som används för att synliggöra de kritiska aspekterna för negativa tal i Prima Formula 5 och Matte Direkt Borgen 5B. De två läromedlen har varsin rubrik under vilka resultat och analys, för respektive läromedel, följer på varandra i segment.

6.2.1 Prima Formula 5

Vid analys av variationsmönster utifrån de kritiska aspekter som tolkats i Prima Formula 5 har kontrast, generalisering och fusion hittats (se tabell 1).

Kontrast Generalisering Fusion

Tallinjen x x x

Tal mindre än 0 x x x

De negativa talens storleksordning

x x x

Minustecknets olika funktioner

x x -

Tabell 1. Variationsmönster som hittats för olika kritiska aspekter i Prima Formula 5, märkta med x.

6.2.1.1 Variationsmönster för den kritiska aspekten Tallinjen Kontrast

I en inledande informationsruta (se figur 3) får eleven se ett exempel på en stående lodrät tallinje i formen av en termometer. Eleven får dessutom se en digital termometer som alltså inte är en tallinje.

(23)

Kontrast är ett variationsmönster som är bra när ett nytt innehåll presenteras för eleven. Variationsmönstret innebär att man visar vad något är och vad det inte är (Magnusson & Maunula, 2011). Då den lodräta tallinjen i formen av en analog termometer i informationsrutan (se figur 3) visas jämte en digital termometer som alltså inte är en tallinje kontrasteras dessa. Här får eleven se vad den kritiska aspekten tallinje är och vad den inte är, om än något otydligt då det är termometerversionen som syns i kontrast.

Generalisering

I kapitel 6 får eleven möta många exempel på tallinjer, både vanliga liggande tallinjer och termometrar. I den inledande informationsrutan (se figur 3) får eleven se ett exempel på en liggande tallinje och ett exempel på en stående lodrät tallinje i formen av en termometer.

Stående och liggande termometrar finns även i flera olika linjediagram som beskriver temperatur. Ett sådant linjediagram finns bland annat i uppgift 10 (se figur 19) där eleven besvarar uppgifter om temperaturer vid olika klockslag.

I kapitlet finns även flertalet uppgifter innehållande koordinatsystem med fyra kvadranter. I dessa koordinatsystem är x-axel och y-axel en liggande respektive en stående tallinje. Dessa tallinjer presenteras här i nära anslutning till varandra.

Exempel på sådan uppgift är uppgift 21 (se figur 20) där eleven ombeds ange koordinater för punkter i 1:a, 2:a och 4:e kvadranten.

I en informationsruta (se figur 21) som berör koordinatsystem förklaras dessutom uttryckligen för eleven att x-axel och y-axel är tallinjer.

(24)

Det finns även exempel då eleven får se flera olika exempel på tallinjer i nära anslutning till varandra. Detta kan ses i uppgift C i aktivitet 6:1 (se figur 22). Denna illustration innehåller ett linjediagram där x-axel visar klockslag och y-axel visar temperatur. Utöver detta linjediagram innehåller samma illustration även en termometer som visar diagrammets inledande temperatur.

Generalisering uppstår då en kritisk aspekt varieras genom att en elev får se flera exempel på samma aspekt för att på så vis bortse från det som inte är kritiskt (Magnusson & Maunula, 2011). När tallinjen visas som vanlig liggande tallinje och stående analog termometer plockas aspekten liggande bort och visas vara en icke- kritisk del. Dessutom visas att termometern är en tallinje trots att den kan existera utanför matematikboken i fysisk form, även denna aspekt upphör att vara kritisk med hjälp av variationsmönstret generalisering. Tallinjen generaliseras även i linjediagram där tallinje finns både i liggande och stående form. Då tallinjer kombineras i linjediagrammen kan eleven även förstå att aspekten självstående inte är kritisk. Variationsmönstret generalisering uppstår även i koordinatsystemen eftersom två tallinjer tillsammans utgör systemet. Detta blir tydligt när informationsrutan tydligt beskriver både x-axel och y-axel som tallinjer.

6.2.1.2 Variationsmönster för den kritiska aspekten Tal mindre än 0.

Kontrast

(25)

I många av de vågräta tallinjer som presenteras i kapitel 6 har de negativa talen blå färg, de positiva talen röd färg och talet 0 har grön färg. Detta kan exempelvis ses i uppgift 4 (se figur 5).

I informationsrutan om temperaturer och negativa tal (se figur 3) finns en sådan tallinje. Illustrationen av denna tallinje har också de negativa talen i blå färg, de positiva talen i röd färg och talet 0 i grön färg. Dessutom står det under tallinjens negativa tal skrivet i blå färg ”negativa tal” och under tallinjens positiva tal i röd färg ”positiva tal”. Talet 0 har dock inte fått någon text och den gröna färgen framstår som svår att urskilja.

Den kritiska aspekten tal mindre än 0 varieras med hjälp av variationsmönstret kontrast när de negativa talen står till vänster om 0 och de positiva till höger. Eleven får se att de negativa talen är mindre än 0 medan de positiva inte är det. Detta sker som ovan nämnts både i informationsrutan (se figur 3) och i uppgift 4 (se figur 5).

Generalisering

I uppgift 3 (se figur 7) ombeds eleven storleksordna positiva tal, negativa tal och talet 0. Eleven får flera exempel på negativa tal som är mindre än 0. Eleven får dessutom exempel på två positiva tal som inte är mindre än 0.

Även i uppgift 7 (se figur 23) får eleven se flera exempel på tal som är mindre än 0 och som inte är mindre än 0. I denna uppgift illustreras talen som minusgrader på termometrar.

Den kritiska aspekten tal mindre än 0 generaliseras i uppgift 3 (se figur 7) då mer än ett negativt tal jämförs med talet 0. Detta innebär att eleven kan bortse ifrån aspekten av ett specifikt negativt tal. Även i uppgift 7 (se figur 23) framstår variationsmönstret generalisering då flera tal mindre än 0 presenteras.

6.2.1.3 Variationsmönster för den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning

Kontrast

I uppgift 6 (se figur 8) ska eleven besvara frågan om hur många grader varmare det är i en stad än i en annan. I deluppgift 6 d behöver eleven jämföra temperaturerna - 6° i Kiruna och -4° i Östersund. När eleven beräknar hur mycket varmare det är i

(26)

Östersund än i Kiruna behöver eleven storleksordna dessa två negativa tal. Det ena är större och det andra är inte större.

I den ovan beskrivna uppgift 6 (se figur 8) varieras den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning. Variation uppstår då eleven ska beräkna hur mycket varmare -4° är än -6°. Vid denna beräkning ställs eleven inför två tal där det ena är värdemässigt större än det andra. Då det ena är större än det andra har den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning varierats i kontrast.

Generalisering

När eleven i uppgift 3 (se figur 7) storleksordnar negativa tal ställs eleven inför en situation där två negativa tal behöver jämföras för att en slutsats om vilket tal som är större ska kunna dras. I uppgiften finns dock tre negativa tal, två positiva tal och talet 0. I uppgiften behöver eleven dock göra mer än en storleksmässig jämförelse, en för varje enskilt negativt tal som finns. De negativa talen är -1, -2 och -5. Den typen av uppgift finns även bland reparationsuppgifterna i spår 1 där eleven i uppgift 53 (se figur 9) ska storleksordna de negativa talen -4, -7 och -12.

En något svårare uppgift att beräkna är uppgift 65 (se figur 10) i spår 2. Denna uppgift kräver ett storleksordnande av negativa tal men eleven ska nu använda decimaltal, och börja med det största talet. De negativa tal som här jämförs är -0,25, -2,5 och -25.

Generalisering av den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning sker då fler än två negativa tal storleksordnas. Detta sker då aspekten av ett specifikt tals värde inte längre kan ses som en kritisk aspekt. I uppgift 3 (se figur 7) gör eleven inte endast jämförelse mellan exempelvis -5 och -2 utan måste även jämföra -2 med -1. Eleven behöver därför bortse från värdet av endast siffran 2 i -2 som kritisk.

Samma sak sker i uppgift 53 (se figur 9) då aspekten av siffrans värde inte längre kan ses som kritisk.

6.2.1.4 Variationsmönster för den kritiska aspekten minustecknets olika funktioner

Kontrast

Minustecknet används i kapitel 6 främst i egenskap av sin beskrivande funktion då det är en del av det negativa talet. Subtraktion där det negativa talet används som operator återfinns vid ett fåtal tillfällen i kapitlet. Exempelvis i uppgift D (se figur 11) på den inledande aktivitetssidan. Här beskrivs hur karaktären Maya har beräknat en temperatursänkning. Som del av beräkningen finns uttrycket 5 – (-3) vilket innefattar två olika funktioner av minustecknet. Eleven ombeds förklara hur Maya tänkt när hon gjort minustecknen olika långa. Här används även begreppet differens.

I de flesta operationsuppgifter i kapitlet visas inte minustecknet, istället efterfrågas differensen. Minustecknets funktion används men minustecknet skrivs inte ut. Detta kan exempelvis ses i uppgift 7 (se figur 23).

(27)

Kontrast uppstår då minustecknets olika funktioner varieras genom att det visas vad den beskrivande funktionen är och vad den inte är. Detta sker i uppgift D (se figur 11) eftersom eleven får se kontrast då två olika funktioner ställs mot varandra i uttrycket 5 – (-3).

Generalisering

Ett annat exempel där minustecknet som beskrivande del av ett negativt tal jämförs med en operator finns bland de mer utvecklande uppgifterna i spår 2. I uppgift 68 (se figur 24) där Algot har beräknat ett medelvärde för temperaturer och eleven får i uppgift att utifrån samma formel beräkna medelvärde för andra lägre temperaturer. I den beräkning eleven genomför måste denne använda flera olika negativa tal för sin beräkning.

I uppgift 69 (se figur 12), även denna bland de mer utvecklande uppgifterna i spår 2, får eleven se ett stort utbud av operationer med minustecknet. Dessa operationer innefattar ett positivt tal och ett negativt tal.

Den kritiska aspekten minustecknets olika funktioner varieras genom variationsmönstret generalisering i uppgift 68 (se figur 24). Detta sker då eleven först får se en beräkning med endast ett negativt tal, för att sedan vid lösning av uppgiften istället använda flera tal som innehåller minustecknet som en beskrivande del. Då aspekten av siffran i det negativa talet som presenteras i den ursprungliga beräkningen inte längre framstår som kritisk har minustecknets funktion, som en beskrivande del av flera olika negativa tal, förtydligats genom generalisering.

6.2.1.5 Variation av flera kritiska aspekter tillsammans - fusion

Den näst sista uppgiften på de ordinarie sidor som rör negativa tal innehåller flera kritiska aspekter. I uppgift 12 (se figur 25) visas eleven ett linjediagram med temperaturförändring över tid. I diagrammet är de negativa talen på y-axeln markerade med blå färg, de positiva med röd färg och talet 0 med grön färg.

Linjediagrammet innefattar två olika tallinjer nämligen x-axeln och y-axeln. Eleven ombeds i deluppgift b att göra jämförelser mellan temperaturerna för februari och mars. Båda dessa temperaturer är negativa tal.

(28)

Fusion är det variationsmönster som uppstår då flera kritiska aspekter varieras tillsammans och detta är något man vill uppnå mot slutet av undervisningen efter det att kontrast och generalisering redan använts (Magnusson och Maunula, 2011). I uppgift 12 (se figur 25) varieras aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning. Tallinjen generaliseras genom att linjediagrammet innehåller både en liggande x-axel och en stående y-axel. I y-axeln är de negativa talen dessutom markerade i blå färg medan de positiva talen är markerade med röd färg och talet 0 med grön färg. Detta kontrasterar de negativa talen och de positiva talen för att på så vis förtydliga att de negativa talen är tal mindre än 0 medan de positiva talen inte är det. Eleven ombeds dessutom att jämföra vilket av två negativa tal som är störst. Detta innebär att den kritiska aspekten de negativa talens storleksordning varieras genom kontrast där ett negativt tal är störst och ett negativt tal inte är det.

Vid analys av variationsmönster utifrån de kritiska aspekter som tolkats i Matte Direkt Borgen 5B har variationsmönstren kontrast och generalisering hittats (se tabell 2).

Kontrast Generalisering Fusion

Tallinjen x

Tal mindre än 0 x x

De negativa talens storleksordning

x x

Tabell 2. Variationsmönster som hittats för olika kritiska aspekter i Matte Direkt Borgen 5B, märkta med x.

6.2.2.1 Variationsmönster för den kritiska aspekten tallinjen Generalisering

I informationsrutan om negativa tal (se figur 13) får eleverna se en illustrerad vågrät tallinje med de negativa talen till vänster om 0 och de positiva talen till höger.

Tallinjen sträcker sig i denna illustration från -10 till 10. Bredvid tallinjen återfinns en illustration av karaktären Sarah, som med hjälp av en pratbubbla, kommunicerar

(29)

till den elev som läser boken att tallinjen ”liknar en liggande termometer”. Eleven får här information om två olika former av tallinje. Här framgår således att tallinjen inte endast behöver ligga ner, den kan även stå upp som den mer bekanta termometern. Termometern beskrivs dock inte uttryckligen vara en tallinje utan kallas endast för termometer. I den andra informationsrutan (se figur 16) visas en termometer som används för att markera grader.

Den tallinje som finns illustrerad i informationsrutan (se figur 13) samt den tallinje som visas i uppgift 44 (se figur 14) sträcker sig från -10 till 10. I uppgift 46 (se figur 15) får eleven istället använda sig av en tallinje som sträcker sig ifrån -15 till 15.

Eleven får här möjlighet att se tallinjer som talmässigt sträcker sig olika långt till både vänster och till höger.

Den kritiska aspekten tallinjen generaliseras på två olika sätt. Dels genom att en tallinje visas vara både en vanlig vågrät tallinje men även en lodrät termometer.

Detta innebär att eleven kan bortse ifrån aspekter som inte är kritiska. Exempelvis att vågräthet eller att sträcka sig mellan just -10 och 10. Enligt Magnusson och Maunula (2011) är det när exempel möjliggör för en elev att bortse ifrån det som inte är kritiskt som generalisering uppstår. I det här fallet kan således även variationsmönstret generalisering anses ha uppstått då tallinjen visas kunna sträcka sig både från -10 till 10 men även från -15 till 15.

6.2.2.2 Variationsmönster för den kritiska aspekten tal mindre än 0 Kontrast

I informationsrutan (se figur 13) får eleven veta att negativa tal är mindre än noll.

Detta framgår av att det står skrivet att negativa tal står till vänster om 0 medan positiva tal står till höger om 0. Detta förtydligas i uppgift 47 a och 47 b (se figur 26) där eleven ombeds besvara vilket tal av två som är störst. I 47 a får eleven jämföra 6 och 0 för att se att 6 är större än 0. I 47 b får eleven sedan jämföra 0 och - 7 för att se att det negativa talet -7 är mindre än 0.

Variationsmönstret kontrast uppstår när vad en kritisk aspekt är jämförs med vad den inte är (Marton et al., 2004). Den kritiska aspekten tal mindre än 0 varieras i uppgift 47 (se figur 26) genom att den ställs bredvid det som inte är mindre än 0.

Kontrast har uppstått. Detta sker även i informationsrutan (figur 13) då negativa tal på tallinjen placeras till vänster och positiva tal placeras till höger.

Generalisering