Numerisk modellering-PLAXIS 2D

PLAXIS 2D är ett beräkningsprogram som är utvecklat för att utföra tvådimensionella geotekniska deformations- och stabilitetsanalyser med hjälp av finita element. (Brinkgreve, et al., 2015) Enligt Nilsson (2015) förklaras den finita elementmetoden som en numerisk metod vilken söker approximativa lösningar till komplicerade partiella differentialekvationer genom interpolation och minimering av dessa funktioner. Det verkliga fallets geometri diskretiseras (delas in) i finita element med enkel geometri, vilka förbinds i nodpunkter som vanligtvis finns i elementens hörn eller kanter. Inom elementen utförs lokala interpolationer av väsentliga storheter mellan nodpunkterna. Enligt Brinkgreve, et al. (2015) beskrivs frihetsgraderna som obekanta storheter i det randvärdesproblem som ska lösas och motsvarar förskjutningskomponenterna i tidigare deformationsteorier. Efter att frihetsgraderna har lösts kan exempelvis spänningar och töjningar bestämmas i nodpunkterna. Nilsson (2015) beskriver FEM förenklat genom att göra en liknelse till LEGO där komplicerade strukturer byggs ihop av små finita element, vilka motsvaras av varje enskild LEGO-bit.

Karaktäristiskt för PLAXIS 2D är att elementnätet är triangulärt och har 6 eller 15 noder, där 15 noder är förhandsval eftersom de ger en ökad noggrannhet i beräkningsresultaten. Elementnätet ska vara tillräckligt fint så att noggrannheten hos beräkningsresultaten blir tillfredsställande.

Praktiska fall kan studeras både som axelsymmetriska modeller och i plant töjningstillstånd. 2.6.1. Plant deformationstillstånd

De beräknade krafterna som uppstår vid bestämda förskjutningar representerar krafter per längdenhet i riktning in mot planet. Modellering i plant töjningstillstånd är tillämpbart för långsträckta konstruktioner, exempelvis vägbankar som kan anses som oändligt långa. (Brinkgreve, et al., 2015)

2.6.2. Axelsymmetriska modeller

Axelsymmetriska modeller används för cirkulära strukturer, exempelvis cirkulära fundament. Strukturerna bör ha mer eller mindre likformigt radiellt tvärsnitt och lastspridning runt den centrala axeln för att kunna hanteras i en axelsymmetrisk modell. (Brinkgreve, et al., 2015) 2.6.3. Materialmodellerna – Soft soil och Soft soil creep

Följande text om materialmodellerna Soft soil och Soft soil creep är baserad på text från Brinkgreve, et al. (2015).

Det finns ett flertal avancerade materialmodeller som är anpassade för lösa finkorniga jordar. Soft soil, SS, är en modell speciellt anpassad för primär kompression i mycket lösa jordar. Modellen kan dock inte simulera sekundär kompression (krypning), vilket förväntas i kompressiva och organiska jordar som sulfidjord.

För modellering av krypning har bl.a. Soft soil creep, SSC, tagits fram och modellen är främst anpassad till sättningsproblem i bankar och vid grundläggning av fundament.

Grundläggande egenskaper hos materialmodell SS samt SSC:

 Spänningsberoende styvhet (kompression har logaritmiskt uppförande)  Skillnad mellan primär pålastning och avlastning-pålastning

 Minne av förkonsolideringstryck

 Brott enligt Mohr-Coulombs brottkriterium Ytterligare egenskaper SSC:

 Sekundär (tidsberoende) kompression  Åldrande av förkonsolideringstryck

I SS och SSC antas ett logaritmiskt samband mellan volymetrisk töjning, εv, och medeleffektivspänning, p’, se Figur 2.13. Modifierat kompressionsindex, λ*, motsvarar lutningen för kompressionskurvan och modifierat svällindex, κ*, motsvarar lutningen för kurvan för avlastning-pålastning. Avlastning-pålastningslinjen överskrider aldrig det isotropa förkonsolideringstrycket, då spänningar över det motsvarar plastisk deformation. Kvoten λ*/ κ* är normalt mellan 2,5 och 7.

Figur 2.13 Logaritmisk relation mellan εv och p’ från ett isotropt triaxialförsök (Brinkgreve, et al., 2015)

Styvhetsparametrarna är gemensamma för SS och SSC. I SSC tillkommer dock krypparametern, modifierat krypindex, μ^*. Parametrarna κ^* och λ^* utvärderas fördelaktigt ifrån isotropiska kompressionsförsök, dvs triaxialförsök. SS och SSC är baserade på materialmodellen Cam Clay och parametrarna κ^* och λ^* relaterar till motsvarande Cam Clay-parametrar κ och λenligt

𝜆∗ = _1+𝑒^𝜆 ( 2.28)

𝜅∗ =_1+𝑒^𝜅 ( 2.29)

Motsvarande parametrar kan bestämmas utifrån endimensionella kompressionsförsök, dvs stegvisa ödometerförsök. Skillnaden blir att det modifierade kompressionsindexet, λ^*och det modifierade svällindexet, κ^*, ersätts med de motsvarande endimensionella och internationellt normaliserade parametrarna C_c respektive C_s.

Olsson (2010) beskriver sambandet mellan λ^*, Cc, och ML enligt

𝜆∗ = ^𝐶𝑐

𝑙𝑛10∙(1+𝑒₀) ≈^1,1∙𝜎𝑣𝑐^′

𝑀_𝐿 ( 2.30)

och sambandet mellan κ^*, Cs, och M0 beskriver han enligt

𝜅∗ ≈ ^2∙𝐶𝑠

𝑙𝑛10∙(1+𝑒₀)≈^2∙𝜎𝑣^′

𝑀₀ ( 2.31)

där e0 är initalt portal, M0, ML är ödometermodulen och σ’vc är medelvärdet mellan

förkonsolideringstryck och den definierade effektivspänningen och σ’v är

medeleffektivspänning innan förkonsolideringstrycket uppnåtts.

Enligt Olsson (2010) är beräkningssambanden av parametrarna λ^* och κ^* känsligt eftersom valet av σ’_v och σ’_vc påverkar resultatet avsevärt. Om möjligt rekommenderas det därför att utvärdering sker enligt de respektive parametrarnas definition, enligt Figur 2.13, eller med de normaliserade parametrarna. Om endast CRS-försök har utförts kan samband (2.30) och (2.31) användas för att uppskatta ett approximerat värde för respektive parameter, λ^*och κ^*. I materialmodellerna SS och SSC finns en flytfunktion som beskriver gränsen mellan den elastiska och den plastiska deformationen i jorden. I Figur 2.14 beskrivs detta med en ellips. M i figuren motsvarar ellipsens höjd och är beroende av den kritiska friktionsvinkeln, φ_cv. M bestämmer vilojordtryckskoefficienten, K0^NC, så att ett känt värde på K0^NC matchar den primära edimensionella kompressionen. I Figur 2.14 visas en streckad linje med lutningen M. Linjen motsvarar den kritiska tillståndslinjen och motsvarar spänningstillstånd långt över brottgräns. I SS och SSC-modellerna relaterar dock inte alltid brott till det kritiska tillståndet. Mohr- Coulombs brottkriterium är en funktion av friktionsvinkeln, φ, och kohesionen, c, och behöver inte motsvara M-linjen. Förkonsolideringstrycket, pp, bestämmer ellipsens längd längs p’-axeln. Vid pålastning kan ett oändligt antal ellipser existera, enligt Figur 2.14, vilka samtliga motsvarar ett värde på p_p. Vid drag blir p’<0 och ellipsen expanderar med avståndet c cotφ åt vänster om 𝑞̃ -axeln. I PLAXIS har det därför angetts ett minsta möjliga värde på c cotφ för p_p. Detta för att säkerställa att ellipsens kalott, alltid är på den högra sidan om 𝑞̃-axeln, dvs i kompressionszonen. I Figur 2.14 finns något som namngetts till tröskelellips, vilket motsvarar detta minsta värde. (Brinkgreve, et al., 2015)

Figur 2.14 Flytfunktionen beskriven som en yta i p’-q planet (Brinkgreve, et al., 2015)

Brottstillstånd modelleras av en idealplastisk Mohr-Coloumb flytfunktion, vilken motsvarar en rät linje i Figur 2.14 med flackare lutning än M-linjen. Spänningspunkter under Mohr-Coulombs brottlinje och inom ellipsens kalott resulterar endast i elastiska töjningar. Plastiska töjningar erhålls när flytytan (och därmed ellipsen) expanderar vilket sker då spänningspunkterna är belägna på kalotten och spänningsökningen är riktad utåt från ellipsen. Jordens plastiska uppträdande definieras därmed som en kombination av kalottens flytfunktion och Mohr-Coloumbs flytfunktion. I Figur 2.15 visas kombinationen av dessa i en tredimensionell effektivhuvudspänningsrymd. (Brinkgreve, et al., 2015)

Figur 2.15 Mohr-Coloumbs och kalottens flytfunktion i en effektivhuvudspänningsrymd (Brinkgreve, et al., 2015)

I SSC tillkommer dessutom krypning och parametern modifierat krypindex, μ*. Modellen grundar sig i Buismans endimensionella krypteorier från 1936. För att kunna implementera teorierna i tredimensionella fall har de först omvandlats till differentialekvationer. (Olsson, 2010) (Brinkgreve, et al., 2015)

Som tidigare nämnts bestäms krypmodulen, α_s, som lutningen på kurvan under sekundär konsolidering och fås genom att plotta den volymetriska töjningen mot logaritmen av tiden, se Figur 2.10. På motsvarande sätt bestäms det modifierade krypindexet, μ*, genom att plotta deformationen mot den naturliga logaritmen av tiden, enligt Figur 2.16. (Waterman & Broere, 2005)

Figur 2.16 Logaritmisk relation mellan volymetrisk töjning och tiden (Waterman & Broere, 2005)

Olsson (2010) beskriver ett direkt samband mellan det modifierade krypindexet, μ*, och krypmodulen, αs enligt:

𝜇

=

𝑙𝑛10 ^{( 2.32)}

där krypmodulen, αs, bestäms ur stegvisa ödometerförsök eller CRS-krypförsök som utförs under tillräckligt lång tid att krypning uppstår.

För att säkerställa att materialmodellen beter sig som förväntat med de bestämda värdena för parametrarna, λ^* och κ^* rekommenderar Olsson (2010) att laboratorieförsöken simuleras i PLAXIS och jämförs mot de försök som har utförts i laboratorium.

Överkonsolideringsgraden, OCR, beskrivs som kvoten mellan den största effektivspänning som jorden någonsin har utsatts för och rådande effektivspänning på motsvarande djup. Waterman & Broere (2005) förklarar att detta även gäller för materialmodellerna SS och SSC. Även om definitionen av OCR är densamma för SSC måste en korrigering göras. I SSC blir skillnaden att flytfunktion till ellipsens kalott är tidsberoende, vilket resulterar i att även OCR blir det. Vid bestämning av OCR måste därmed hänsyn tas till den tid som passerat sedan jordmaterialet bildades och krypning initierades. Simulering av denna krypning kan utföras på två sätt. Det första är att ge jordmaterial ett OCR-värde som motsvarar inverkan av denna krypning och beräknas enligt

OCR = 𝑒𝜆∗−𝜅∗^𝜇∗ ln (Δ𝑡)

(2.33) där ∆t motsvarar den tid som passerat sedan jordmaterialet bildades.

Det andra sättet att simulera den initiala krypningen är att skapa ett så kallat plastic nil step, vilket är en beräkningsfas där ingen last tillförs med konsolideringstid som motsvarar tiden

som passerat sedan jordmaterialet bildades. Tidens inverkan på resultatet visar större skillnad för små tidsspann, ca 10-20 år, än långa, ca 100-200 år.

Parametrar till materialmodellen SSC finns listade i Tabell 2.1. Hållfasthetsparameterna är definierade enligt Mohr-Coulombs brottkriterie.

Tabell 2.1 Parametrar till materialmodellen SS och SSC^¤ (Brinkgreve, et al., 2015)

Parameter Symbol Enhet

Hållfasthetsparametrar

Effektiv kohesion C kPa

Friktionsvinkeln Φ ° Dilatansvinkel Ψ ° Styvhetsparametrar Modifierat svällindex κ* - Modifierat kompressionsindex λ* - Modifierat krypindex^¤ μ* -

Internationellt normaliserade styvhetsparametrar

Svällindex/Rekompressionsindex C_s/C_r - Kompressionsindex Cc - Krypindex Cα - Tillståndsparametrar Ekvivalent spänning p_eq - Förkonsolideringstryck pp - Överkonsolideringsgrad OCR -

Hardening Soil, Soft Soil och Soft Soil Creep, är alla lämpliga modeller för lösa jordar. Enligt Brinkgreve, et al. (2015) har HS bättre modelleringskapacitet, samtidigt som SS bättre modellerar kompression i mycket lösa jordar, som sulfidjord. SSC är dock den enda av dessa som kan simulera krypning.