4.9.1 Motivering till val av matematisk modell
Under projektet p˚a Vasaplan uppkom det sv˚arigheter ang˚aende ˚atkomst och placering av de oli-ka granith¨allarna som anv¨andes f¨or ombyggnationen. D¨arf¨or har en modell skapats utifr˚an de f¨oruts¨attningar och krav som finns. Modellen placerar ut de olika typer av granith¨allar som finns f¨or att de ska ligga p˚a ett mer optimalt s¨att. Denna modell har skapats i Matlab.
4.9.2 Modellen
Kvadratisk packning g˚ar ut p˚a att p˚a ett s˚a platsbesparande s¨att som m¨ojligt rymma ett antal mindre kvadrater i en st¨orre rektangel. Eftersom problemet ¨ar v¨aldigt specifikt har vi ingen stan-dardmodell att utg˚a ifr˚an. En optimeringsmodell har d¨arf¨or skapats genom att formulera villkor f¨or en optimal lagerplacering. Problemet ¨ar till sin natur kvadratiskt d˚a en yta ska minimeras, det vill s¨aga en produkt av rader och kolumner. H¨ar g¨ors en linj¨ar approximation som verkar ge ett anv¨andbart resultat. Nedan f¨oljer de variabler som ing˚ar i modellen.
xi,j,k=
Nedan f¨oljer ocks˚a de parametrar som ing˚ar i modellen.
bk = lagringsbehov (i kvadratmeter) f¨or respektive typ av granith¨allar, k fi = kostnad f¨or att anv¨anda rad i, d¨ar f = (1, 22, ..., m2)
gj = kostnad f¨or att anv¨anda kolumn j, d¨ar g = (1, 22, ..., n2)
Kostnadsfunktionerna f och g ovan medf¨or att objektfunktionen blir mindre om pallarna placeras p˚a platser s˚a l˚angt till v¨anster och s˚a l˚angt fram som m¨ojligt. Detta p˚a grund av att kostnaden f¨or varje plats ¨okar kvadratiskt med antal meter som placeringen ¨ar fr˚an f¨orsta positionen (l¨angst fram till v¨anster). Detta inneb¨ar i praktiken att pallarna placeras s˚a n¨ara ing˚angen till lagret och s˚a kompakt som m¨ojligt. Nedan f¨oljer den objektfunktion som skapats.
min z =
xi,j,k+ xi,j+1,l≤ 1, om k 6= l (16)
Ekvation (16)-(19) s¨akerst¨aller en meters mellanrum mellan pallar med olika typer av granith¨allar.
Ekvation (20) och (21) s¨atter f¨orsta respektive sista kolumnen till en kolumn med bara nollor. Ek-vation (22) s¨akerhetsst¨aller att ˚atminstone en av varje typ av granith¨all ligger i den f¨orsta raden.
Dessa sju villkor garanterar tillsammans att en hjullastare alltid kan ha tillg˚ang till alla typer av granith¨allar.
Ekvation (23) inneb¨ar att det p˚a en plats endast f˚ar ligga en pall med en typ av granith¨all, vilket i praktiken inneb¨ar att endast granith¨allar av samma typ f˚ar staplas p˚a varandra. I Ekvation (24) s¨atts m¨angden pallar av varje typ k.
Ekvation (25) och (27) fungerar som r¨aknare som unders¨oker om varje rad respektive kolumn in-neh˚aller tomma pallplatser mellan fyllda pallplatser f¨or varje typ av pall. Ekvation (26) och (28) s¨akerst¨aller att r¨aknaren som finns i Ekvation (25) respektive (27) kan bli maximalt 1. Dessa fyra villkor s¨akerst¨aller att varken rad eller kolumn inneh˚aller tomma pallplatser mellan fyllda pallplat-ser f¨or varje typ av pall.
Ekvation (29) och (30) s¨akerst¨aller att lagret inte har hela rader respektive kolumner som ¨ar tom-ma mellan tv˚a rader respektive kolumner som det finns pallar i.
Ekvation (31) och (32) tar fram variabler R och C f¨or vilka rader respektive kolumner som anv¨ands.
H¨ar kan R och C ”sl˚as” av och p˚a d˚a en rad respektive kolumn anv¨ands.
4.9.3 Validering av matematisk modell
Modellen har k¨orts under olika l˚ang tid f¨or att kunna se att resultatet blir mer optimalt ju l¨angre tid optimeringsprogrammet f˚ar k¨ora. F¨or att s¨akerhetsst¨alla att placeringen av granith¨allarna re-sulterar i den minsta m¨ojliga ytan har ¨aven ber¨akning av arean gjorts vid varje k¨orning. Totalt omfattar modellen i Matlab mer ¨an 2 000 variabler och cirka 13 000 bivillkor. En optimal l¨osning visade sig vara v¨aldigt ber¨akingskr¨avande. D¨arf¨or har det vid skapandet av modellen experimen-terats med olika k¨orkoder f¨or att se om resultatet ¨andrades. Total tid som den slutgiltiga koden har k¨orts ¨ar ungef¨ar tv˚a timmar.
5 Resultat
Ber¨akningar f¨or EOQ och JIT utf¨ors f¨or att j¨amf¨ora kostnader f¨or dessa tv˚a s¨att att hantera transport, lagring och leveranser av material. Kostnader j¨amf¨ors ocks˚a med hj¨alp av en optime-ringsmodell baserad p˚a ALP. EOQ och ALP kombineras sedan f¨or att ta reda p˚a hur mycket material som ska best¨allas, samt vilken lageryta som ska anv¨andas f¨or det best¨allda materialet.
P˚a grund av sekretess har alla ber¨aknade kostnader i tabellerna nedan avrundats till tusental.
5.1 EOQ
EOQ anger den optimala orderkvantiteten, samt hur ofta best¨allningar av material ska g¨oras.
Formeln f¨or EOQ samt den resulterande ˚arliga kostnaden (TC) f¨or EOQ finns angivet i Avsnitt 3.1.
5.1.1 Nul¨age
I nul¨agesber¨akningen av EOQ anv¨ands den faktiska lagerytan som nyttjades under ombyggnationen p˚a Vasaplan som underlag. Kostnader f¨or lagerytor ber¨aknas per kvadratmeter och dag som ytan hyrts. Extra avgifter tillkommer ocks˚a ifall ytan ¨ar en parkeringplats, vilket ofta ¨ar fallet f¨or hyrbara ytor i centrum. I Tabell 1 redovisas resultatet fr˚an EOQ-modellen i form av kostnaden f¨or order-och lagerkostnaden (TC), orderkvantitet samt orderfrekvensen f¨or respektive kostnadsscenario;
Projekt Vasaplan; Ume˚a Kommun; Uppsala Kommun.
Tabell 1: EOQ f¨or 3 olika kostnadsscenarier d¨ar ber¨akningar f¨or lagerytor, m¨angd material och kostnader baserats p˚a projektet p˚a Vasaplan. I totala ˚arliga kostnaden (TC) ing˚ar Lager- och enhetskostnad.
Kostnadsscenario TC Orderkvantitet Orderfrekvens
Projekt Vasaplan 7 000 000 kr 3 811 kvm 1 g˚ang totalt
Ume˚a Kommun 41 000 000 kr 15 kvm 3 g˚anger/dag
Uppsala Kommun 66 000 000 kr 9 kvm 5 g˚anger/dag
5.1.2 Optimalt
I en ytterligare ber¨akning av EOQ ber¨aknas f¨orst den optimala lagerytan som hade beh¨ovts f¨or att lagra totalt antal granith¨allar som lades under hela perioden av ombyggnationen p˚a Vasaplan.
Hur stor yta som granith¨allarna tar upp beror p˚a hur m˚anga pallar av dessa som kan staplas p˚a varandra. Genom att lasta tre pallar p˚a varandra, ist¨allet f¨or en eller tv˚a, minskar den totala lagerytan som beh¨ovs markant. Den optimala lagerytan anv¨andes sedan f¨or att ber¨akna den ˚arliga kostnaden, hur mycket som skulle best¨allas per g˚ang, samt hur ofta. I Tabell 2 redovisas resulta-tet fr˚an EOQ-modellen i form av kostnaden f¨or order- och lagerkostnaden (TC), orderkvantitet samt orderfrekvensen f¨or respektive kostnadsscenario; Projekt Vasaplan; Ume˚a Kommun; Uppsala Kommun.
Tabell 2: EOQ f¨or 3 olika kostnadsscenarier d¨ar lagerytan antas vara optimal. I totala ˚arliga kostnaden (TC) ing˚ar lager- och enhetskostnad
Kostnadscenario TC Orderkvantitet Orderfrekvens
Projekt Vasaplan 7 000 000 kr 3 811 kvm 1 g˚ang totalt
Ume˚a Kommun 14 000 000 kr 68 kvm var 3:e dag
Uppsala Kommun 20 000 000 kr 39 kvm 1 g˚ang varannan dag