2. Rešeršní část
2.10. Použité statistické metody vyhodnocení naměřených dat
Naměřená data byla statisticky zpracovávána podle níže uvedených vzorců. Všechny hodnoty byly vyhodnoceny z hlediska normality a homogenity.
Test homogenity výběru: k nehomogenitě naměřených dat dochází všude tam, kde se vyskytuje výrazná nestejnoměrnost měřených vlastností vzorků, mění se náhle podmínky experimentu a data obsahují vybočující měření. Proto se provádí test homogenity výběru, jehož cílem je stanovit vybočující měření (27). Ta musí být poté ze souboru vyloučena. Daný soubor je podložen kombinovaným testem normality založeným na shodě šikmosti a špičatosti s normálním rozdělením.
34
Normální rozdělení N(μ,σ2) nazývané také Gaussovo. Je nejpoužívanějším rozdělením pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Proto se využívá pro popis náhodných chyb, při měření fyzikálních a technických veličin, apod.
Obr. 15: Gaussova křivka
Grafem hustoty pravděpodobnosti je zvonovitá tzv. Gaussova křivka (obr. 15), kde μ (střední hodnota) a σ2(rozptyl) jsou parametry ovlivňující její tvar.
Aritmetický průměr x̄ je součtem všech hodnot x1, x2 ... xn vydělený jejich počtem n.
(5) Rozptyl s2 udává, jak náhodná veličina xikolísá kolem střední hodnoty x̄.
(6)
Směrodatná odchylka svypovídá o tom, jak se od sebe navzájem liší hodnoty v souboru zkoumaných dat. Je-li malá, jsou si prvky souboru většinou navzájem podobné. Naopak velká směrodatná odchylka signalizuje velké odlišnosti.
35
(7) Variační koeficient v je definovaný jako poměr směrodatné odchylky s a průměru x̄.Čím nižší je variační koeficient, tím je větší homogenita souboru.
(8) Při výpočtu výběrových charakteristik se formulují závěry z omezeného počtu měření provedeném na vybraném zkušebním vzorku, který reprezentuje celý soubor. Jelikož jednotlivé naměřené hodnoty díky nahodilosti vzájemně kolísají, kolísají i vypočtené hodnoty výběrových charakteristik (průměr, rozptyl), takže nemají pevnou hodnotu. Konečné, správné hodnoty parametru souboru leží uvnitř určitého intervalu, jehož velikost je závislá na přesnosti, se kterou byly stanoveny příslušné hodnoty výběrových charakteristik. Proto je při vyhodnocování výsledků měření nutné klást důraz především na výpočet intervalu spolehlivosti daného parametru θ (za parametr θ je považována střední hodnota, rozptyl souboru). Interval od L1 do L2 se nazývá 100 (1-α) % interval spolehlivosti, pokud pro něj platí, že pravděpodobnost výskytu parametru θ je v tomto případě právě 1-α (10).
, (9) Kde je kvantilem studentova rozdělení se stupněm volnosti
(n-1).
V případě, že počet vad na 1 km příze je menší než 30, nelze použít výše uvedenou statistickou metodu (10), neboť rozdělení daného počtu vad je nesymetrické, odpovídá Poissonovu rozdělení celočíselných náhodných veličin.
Pro konstrukci intervalu spolehlivosti je doporučeno použít rozdělení chí kvadrát a konstruovat interval spolehlivosti dle rovnice (11).
36
1 2𝑁𝜒2
2
∝(𝑣3) ≤ 𝜆 ≥2𝑁1 𝜒1−𝛼 2
2 (𝑣4) (10)
𝑣3 = 2 ∗ 𝑁 ∗ 𝜆ˆ (11)
𝑣4 = 2 ∗ (𝑁 ∗ 𝜆ˆ+ 1) (12)
Kde v3 a v4 (11) jsou počtem stupňů volnosti, N je počet měření a 𝜆ˆ je pozorovaný počet výskytů náhodného jevu v jednom pokusu, tj. počet vad v přízi [1/1000m].
Pro porovnání naměřených souborů dat byla zvolena metoda ANOVA.
Jedná se o všeobecně používanou metodu jejíž název je odvozen z anglického analysis of variance, česky analýza rozptylu. Modul ANOVA slouží k porovnání různých zdrojů nebo vlastnosti různých tříd materiálu na základě změřených hodnot nebo charakteristik. Tyto zdroje se nazývají faktory.
Podstatou analýzy rozptylu je rozklad celkového rozptylu dat na složky objasněné (známé složky variabiltiy) a složku neobjasněnou, o které se předpokládá, že je náhodná (28). Cílem je rozhodnout, zda se střední hodnota měření pro různé faktory liší, či nikoliv. To se prokazuje testováním hypotézy o vlivu faktoru na střední hodnotu.
Faktory se vyskují na jistých úrovních. Zdrojem variability výsledků měření yij jsou jednotlivé úrovně faktoru. Tomu odpovídá jednoduchý model:
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇𝑖+ 𝜀𝑖𝑗 (13)
Kde 𝜇𝑖 je skutečná hodnota výsledků analýz a 𝜀𝑖𝑗 je náhodná chyba.
Veličina i se rozkládá na složku odpovídající celkovému průměru μ ze všech úrovní faktoru a efektu i-té úrovně daného faktoru i.
𝜇𝑖 = 𝜇 + 𝛼𝑖 (14)
Testuje se shoda jednotlivých úrovní, tj.nulová hypotéza H0: 1=2=3,
resp.H0: i =0. (tj.vliv efektu je nevýznamný).
37
Sleduje-li se jeden faktor jde o jednofaktorovou analýzu, sledují-li se faktory dva, jde o dvoufaktorovou analýzu. Model analýzy rozptylu má v tomto případě tvar:
𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘 (15)
Kde μij je skutečná „teoretická“ hodnota výsledku analýzy pro kombinaci faktorů a εijk značí náhodnou chybu. Podobně jako u jednofaktorové analýzy rozptylu můžeme i zde provést rozklad μij na celkový průměr, složky αi odpovídající efektům faktoru Z, složky βj odpovídají efektům faktoru L a interakce τij.
𝜇𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛼𝑖+ 𝛽𝑗 + 𝜏𝑖𝑗 (16) Člen τij označuje efekt interakce úrovní.
Výsledkem dvoufaktorové analýzy rozptylu je tab. A vypočítenými testovacími kritérii FA, FB, FT:
Tab. A: Analýza rozptylu pro dvojné třídění s interakcí Tukeyova typu
𝑆𝑇 = ( 𝑁𝑖=1 𝑀𝑗 =1𝑦𝑖𝑗𝛼𝑖𝛽𝑗)
2 𝛼𝑖2 𝑀𝑗 =1
𝑁𝑖=1 𝛽𝑗2 (17)
Pomocí F-kritéria se testuje nulová hypotéza. Nulová hypotéza H0:“Tukeyova interakce je nevýznamná“, pro kterou lze poučít testovací statistiku FT z tabulky A. Za předpokladu platnosti nulové hypotézy H0 má tato testovací statistika F-rozdělení s 1 a N M – N – M stupni volnosti. Pokud nelze
38
tuto hypotézu zamítnout, testuje se nulová hypotéza H0: αi = 0, i = 1,...,N (efekty řádků, čili faktoru A, jsou nevýznamné) pomocí statistiky FA nebo nulová hypotéza H0: βj = 0, j = 1, …, M (efekty sloupců, čili faktoru B, jsou nevýznamné) pomocí statistiky FB. Obě tyto testovací statistiky jsou uvedeny v tabulce A. Za předpokladu platnosti hypotézy H0 má F-rozdělení s N – 1 a (N - 1) (M - 1) stupni volnosti a statistika FB také F rozdělení s M – 1 a (N - 1) (M - 1) stupni volnosti. Pokud však vyjde FT vyšší než odpovídající kvantil F-rozdělení, je efekt Tukeyovy interkace významný (28).
Pokud vyjde vliv jednotlivých efektů jako významný, jsou rozdíly mezi průměry μi, μj, i≠j, významné. Pro hlubší analýzu se pak používá technika výcenásobného porovnání. Testujeme hypotézu H0: μi = μj pro všechny dvojice (i, j), která se zamítá. Při platnosti nulové hypotézy H0 má tato testovací statistika F-rozdělení s 1 a N – K stupni volnosti. Hypotéza H0 se zamítá, pokud je Fq větší než kvantil F1 – α (1, N - K) (28).
Předpokladem pro výpočet je normalita dat pro jednotlivé úrovně faktorů a nepřítomnost vybočujících měření. Předpoklad normality není zcela nezbytný, rozdělení náhodné veličiny však musí být relativně „rozumné“, tj.
alespoň blízké normálnímu. Předpoklad o shodnosti rozptylů naopak důležitý je (29).
39